课时教学计划表-泸州职业技术学院word参考模板

课时教学计划表授课日期：教案编号第二章01第二章 导数与微分1.引入提问（1）怎样求变速运动的瞬时速度呢？（2）怎样求平面曲线在一点的切线斜率呢？（1）设物体作变速直线运动，它的运动方程(即路程s 与时间t 的函数关系)是()s f t =从而可以求得物体在时段t ∆内的平均速度()()00.f t t f t s v t t+∆-∆==∆∆ 很明显，当t ∆无限变小时，平均速度v 无限接近于物体在0t 时刻的瞬时速度v 因此，平均速度的极限值就是物体在0t 时刻的瞬时速度v ，即可定义()()00000lim limlim .t t t f t t f t sv v t t→→→+∆-∆===∆∆ （2）如图2—1所示, 设曲线C 所对应的函数为()y f x =,M ，N 点的坐标分别为M (()00,x f x )),N (()00,x x f x x +∆+∆)，则()()00,,MR x RN f x x f x y =∆=+∆-=∆割线MN 的斜率是()()00tan ,f x x f x y x xϕ+∆-∆==∆∆ 其中ϕ是割线MN 的倾斜角．当0x ∆→时,点N 沿着曲线无限趋近于点M ,而割线MN 就无限趋近于它的极限位置MT .因此,切线的倾斜角α是割线倾斜角ϕ的极限，切线的斜率tan α是割 线斜率的极限，即()()00000tan lim tan limlim .x x x f x x f x yx xαϕ∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆tan yxϕ∆=∆以上两例，虽然实际意义不同，但从数学结构上看，都可归结为计算函数增量与自变量增量之比的极限问题，也就是下面我们要研究的导数问2．导数定义 (板书) ()()()00'00lim.h f x h f x f x h→+-=讨论:该极限一定存在吗?结论: 存在称函数()y f x =在点0x 处具有导数，称可导;不存在导数就不存在, 称不可导．注：（1）如果极限为无穷大，这时函数()y f x =在点0x 不可导，但为了方便，也称函数()y f x =在点0x 的导数是无穷大．（2）上述导数的定义式还有以下几种常用的形式：①令x ∆=h ，则有 ()()()00'00lim.h f x h f x f x h→+-= ②令0x x x +∆=，则当0x ∆→时，有0x x →，于是有()()()00'00lim.x x f x f x f x x x →-=-例3 求函数()2f x x =在点3x =的导数．分析:根据导数的定义先计算()()()()22233336.y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆再计算 ()266.x x y x x x∆+∆∆==+∆∆∆ 最后由导数定义得: ()()()2200'000000lim lim lim 22.x x x x x x y f x x x x x x∆→∆→∆→+∆-∆===+∆=∆∆思考::函数()2f x x =在点0x x =处的导数怎样求?例4 设()21f x x x =++,求：()()()'''2,1,ff f x -．分析:先求出()'fx ,再把x=2,x=-1带入()'f x 即得()'2f ，()'1f -3.导函数定义如果函数()y f x =在区间I 内的每一点x 都有导数，则称函数()y f x =在区间I 内可导．这时，对于区间I 内每一点x ,都有一个导数值()'f x 与它对应．因 此()'f x 是x 的函数，称为函数()y f x =的导函数，记作()()'',,,df x dy f x y dx dx或 即 ()()()'00limlim .x x f x x f x yfx x x∆→∆→+∆-∆==∆∆由于函数()y f x =在点0x 的导数,就是导函数()'f x 在点0x x =的函数值， 即()()''0.x x f x f x ==因此，求函数()f x 在点0x 的导数,可以先求它的导函数()'f x ，再将0x x =代入()'f x 中，求得函数()f x 在点0x 的导数()'0f x ．注： 通常情况下，导函数也简称为导数． 例5 求函数)()(为常数C C x f =的导数． 提示：该题的导数就是导函数 解：0lim )()(lim)(00=-=-+=→→hC C h x f h x f x f h h 即 0)'(=C 所以，常数的导数等于零．小结：用定义求导数，可分为以下三个步骤：(1)求增量 给自变量x 以增量x ∆,求出对应的函数增量()();y f x x f x ∆=+∆-(2)算比值 计算出两个增量的比值()();f x x f x y x x+∆-∆=∆∆(3)取极限 对上式两端取极限 ()()()'0lim lim x x f x x f x yfx x x∆→∆→+∆-∆==∆∆例6 求函数xy a = (a >0，a ≠0)的导数． 解 (1)求增量：()1.x x x x x y a a a a +∆∆∆=-=-(2)算比值：1.x x x xx y a a a a x x x+∆∆∆--==∆∆∆ (3)取极限：令1xa t ∆-=，则()log 1a x t ∆=+，且当0x ∆→时0t →．由此得()()00011lim lim lim 1log 1log 1x x t t a a a t x t t t∆∆→→→-==∆++()1011lim ln .log log 1t a t a a et →==+= 即 ()'ln .x xaaa =特别地，当a =e 时， ln e=1，则 ()'x xee=上式表明，以e 为底的指数函数的导数就是它自己，这是以e 为底的指数函数的一 个重要特性．要求同学课后论证： ()log a x '=1ln x a()'sin cos x x = ()'cos sin x x =-（参考书上例7，例8）4．导数的几何意义结合图2—1，函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0'x f 是曲线)(x f y =的点))(,(00x f x M 处的切线的斜率．由点斜式得曲线)(x f y =上点))(,(00x f x M 处切线方程：'000()()()y f x f x x x -=-法线方程为 )()(1)(00'0x x x f x f y --=-．（()'0f x ≠o） 例9求曲线2y x =在点(1,1)处的切线方程和法线方程．分析：关键是求出曲线2y x =在点(1,1)处的切线的斜率，而法线与切线垂直即知法线斜率与切线斜率互为负倒数关系，从而求出法线斜率，再用点斜式分别得切线方程和法线方程．解 因为()''22y xx ==,所以曲线2y x=在点(1,1)处的切线的斜率为'11122,x x k y x=====所以，所求切线方程为 ()121y x -=- 即 210.x y --=所求法线的斜率为 2111,2k k =-=- 于是所求法线方程为 ()111,2y x -=--即 230.x y +-= 5．函数的可导性与连续性的关系提问:函数0||==x x y 在处连续与可导吗?(画图分析, 连续则不可导) 定理 如果函数)(x f y =在点0x 处可导，则函数)(x f y =在点0x 处连续． 证：因)(x f y =在点0x 处可导，所以()'00lim x y fx x∆→∆=∆ 由于 0x ∆≠ yy x x∆∆=⋅∆∆ 所以 '00000lim limlim lim ()00x x x x y y y x x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆∆∆=⋅∆=⋅∆=⋅=∆∆．于是函数()y f x =在点0x 处连续．6、小结本次课内容:本次课主要讲解了：（1）导数的概念 （2）导数几何意义：k=()'fx（3）可导与连续的关系:可导⇒ 连续课时教学计划表授课日期：教案编号：第二章02第二章 导数与微分引入:大家知道,用导数的定义求导数是比较困难的,我们能否寻求更简便的求导数的方法呢?在本次学习中将学习函数的和、差、积、商的求导法则及复合函数的求导法则1.函数和、差、积、商的求导法则由导数定义，可以推导出函数和、差、积、商的求导法则假设()()(),,u x v x w x 的导数均存在,则法则一()()[]()()x v x u x v x u '±'='± 法则二()()[]()()()()x v x u x v x u x v x u '+'='⋅()[]()x u c x cu '='()w uv w v u vw u uvw '+'+'='法则三这里仅证法则二证 设自变量增量x ,则函数()u u x =,()v v x =及()()y u x v x =的对应增量分别为()(),u u x x u x ∆=+∆- (1)()(),v v x x v x ∆=+∆- (2)()()()()y u x x v x x u x v x ∆=+∆+∆- (3)由(1)、(2)式得()()u x x u x u +∆=+∆，()()v x x v x v +∆=+∆，将它们代人(3)式，得()().y uv x u x v u v ∆=∆+⋅∆+∆∆于是()().y u v uv x u x v x x x x∆∆∆∆=⋅+⋅+∆∆∆∆∆()()()()()()()x v x v x u x v x u x v x u 2'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡因为u=()u x ，()v v x =)在点x 处可导，即 ()()''00lim,lim ,x x u v u x v x x x∆→∆→∆∆==∆∆且由于在点x 可导的函数()v x 在该点必须连续，即 0lim 0x v ∆→∆=.所以()()()()()()()()()()()00'''''limlim 0.x x y uv u v x u x v x v x x u x v x u x v x u x u x v x u x v x ∆→∆→∆∆∆∆⎡⎤=++∆⎢⎥∆∆∆∆⎣⎦=++⋅=+ 即函数()()()f x u x v x =在点x 处可导，且()()()()()'''f x u x v x u x v x =+ 简记为 ()'''uv u v u v =+由此得函数积的求导法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘 第二个因子再加上第一个因子乘第二个因子的导数．特别地，当v =C (C 为常数)时，由于常数的导数为0，则得 ()''Cu Cu =积的求导法则可以推广到有限多个函数之积的情形．如，()''''uvw u vw u v w u vw =++ 例1设()3sin x f x x x e =+-，求()'f x 及()'0f ．分析:该函数可看成三个函数u= 3x v= sin x w=xe 和差，且该三个函数都可导，可以用法则一求导。