第六章 金属电子论习题
固体物理第六章 金属电子论
由于发射热电子的能量必须大于势井的深度，所以要求：
1 mV 2 x 2
实际上， 所以有：
(
1 mV 2
2
E F ) k BT
mv 2 2 k BT
m 3 E F / k BT dn 2 ( ) e e 2
dvx dvy dvz
同经典情况 完全类似。 同样可以得出量子理论所相应的电流表示式：
V dk 在体积 dk 内包含的量子态数为：2 3 ( 2 )
统计平均的电子数为： f ( E ) 2V 3 dk (2 )
• 能级E上的平均电子数为： f ( E ) N ( E )dE
2. 费米能级
• T=0K时 • ∴ • T≠0K时
EF
的确定：
0 EF EF 此时f(E) ≈1
电子系统的热容为： CV
近自由电子为例：
[
2
3
0 N ( EF )(k BT )]k B
讨论晶体中电子的热容量： 对于近自由电子：N ( E ) 4V ( 2m ) 3 / 2 E 1/ 2
h2
在费米能级处：
N(E0 ) F
3N 2E0 F
2
k BT 代入上面的公式得： CV N 0 ( 0 )k B 即： Cv T 2 EF 可见，与温度成线性关系。 而前面讨论晶格振动时， bT 3 T 得到晶格振动的热容量是 在一般温度下： 与温度的三次方成正比。 而当温度接近0K时： 物理解释是什么？ bT 3 T
• 定积分： • 所以： • 附近展开
1 2 (e 1)(e 1) d 3
2
N Q( EF )
1 2 Q( EF )( k BT ) 2 6
第六章 金属电子论习题
11
0.038×10-6 · cm（20 K）
4
固体物理
固体物理学
解（1） 费密能量和费密温度
2 2 2 3 EF (3n ) (3 2)3 2m 2m M 原子 2 2
(1.0551034 ) 2 10.5 103 106 2 3 ( 3 3 . 14 ） 31 3 23 2 9.1110 107.87 10 /(6.02210 )
平均自由程
0 k F 2 nq
代入数据得到：
295 K时
F 5.2310 m
8
20 K时
2.2210 m
6
9
固体物理
固体物理学
6.4 设N个电子组成简并电子气，体积为V，证明T=0 K时
1) 每个电子的平均能量
2) 自由电子气的压强满足
3 0 U EF 5 2 pV NU 3
电子热容为
CV [
2
3
0 N ( EF )(k BT )]k B
3 C 3 3 2 . 08 10 0 N ( EF ) 2 2 V k B T 3.142 (1.3811023 ) 2
3.321042 J 1
2
固体 N ( E ) 4V ( 2 ) E h EF 1 / 2 0 0 0 N ( EF ) 3N / 2EF N ( E ) ( 0 ) N ( EF ) EF
6
34 2
3
2 2 3
5.951019 J 3.72eV
费米温度TF为
EF TF 4.31104 K kB
1
固体物理
固体物理学
6.2 在低温下金属钾的电子热容量的实验结果为：
固体物理学_答案(黄昆)
《固体物理学》习题解答黄昆原著韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率，VcnV x =（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ，V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r8r34ar 34x 3333=π=π=π=（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒=n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342ar342x 3333≈π=π⨯=π⨯=（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r344ar344x 3333≈π=π⨯=π⨯=（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233晶胞的体积：V=332r 224a23a 38a 233C S ==⨯=⨯n=1232126112+⨯+⨯=6个74.062r224r 346x 33≈π=π⨯=（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r338r 348ar348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
（完整版）第六章练习题及标准答案
（完整版）第六章练习题及标准答案一、单项选择题（每小题1分）1. 中央金属固定,下列离子或化合物作为配体时,场强最强的是：（）a. NH3b. CN-c. H2Od. SCN-答案：b2. 具有理想正八面体的电子组态(高自旋时)是（）a. (t2g)3b. (t2g)1c. (t2g)4(e g)2d. 以上都不对答案：a3. 平面正方形场中,d轨道的最高简并度是（）a. 1b. 2c. 3d. 4答案：b4. 导致Ni2+水合能在第一系列过渡金属元素中最大的主要原因是( )a. 原子序数最大b.电子成对能最大c. CFSE最大d. H2O是弱场答案：c5.下列原子作为电子给予体时,哪个原子引起的分裂能最大（）a. Nc. Od. C答案：d6. 决定成对能P的主要因素是( )a. 分裂能b. 库仑能c. 交换能d. 配位场强度答案：c7．下列配位化合物高自旋的是（）a. [Co(NH3)6]3+b. [Co(NH3)6]2+c. [Co(NO2)6]3-d. [Co(CN)6]4-答案：b8.下列配位化合物磁矩最大的是（）a. [FeF6]3-b. [Mn(CN)6]3-c. [Ni(H2O)6]2+d. [Co(NH3)6]3+答案：a9. 判断下列配位化合物的稳定化能大小的次序是（）(1) [CoF6]4-(2)[NiF6]4- (3)[FeF6]3-a. (1)> (2)>(3)b. (1)=(2)<(3)c. (1)<(2)<(3)d. (2)>(1)>(3)答案：d10. Ni和CO可形成羰基配合物N i(CO)n,其中n是( )b. 3c. 4d. 5答案：c11．[Cu(H2O)4·2H2O]2+溶液出现蓝色的原因是（）a. 自旋相关效应b. d-d跃迁c. σ-π跃迁d. 姜-泰勒效应答案：b12．配位化合物d-d跃迁光谱一般出现在什么区域（）a. 红外b.微波c. 远紫外d. 可见—紫外答案：d13. 关于[FeF6]3-络离子，下列哪个叙述是错误的（）a. 是高自旋络离子b. CFSE为0c. 中心离子的电子排布与Fe3＋相同d. CFSE不为014. 下列哪个轨道上的电子在XY平面上出现的几率密度为零（）a. 3Pzb. 3dx2-y2c. 3sd. 3dz2答案：a15.下列配合物中磁矩最小的是( )a. [Cr(H2O)6]2+b. [Fe(CN)6]3-c. [Co(H2O)6]2+d. [Co(NH3)6]3+答案：d16．下列分子和离子中具有顺磁性的是（）a. NO+b. [Fe(CN)6]4-c. B2d. CO答案：c17. 下列配合物中分裂能Δ0最大的是( )a. [FeF6]4-b. [Os(CN)6]4-c. [Ru(CN)6]4-d. [Fe(CN)6]4-答案：b18.下列配合物中磁矩约为2.8μB的是( )a. K3[CoF6]b. K3[Fe(CN)6]c. Ba[TiF6]d. [V(H2O)6]3+答案：d19. CO与过渡金属形成羰基配位化合物时，C－O键会产生什么变化（）a. 削弱b. 加强c. 不变d. 变短答案：a20. 下列四种络合物中，d-d跃迁能量最低的是( )a. [Fe(H2O)6] 2+b. [Fe(H2O)6] 3+c. [FeF6] 4-d. [FeF6] 3-答案：c21. 某一晶体场的△>P，则( )a. 该场为强场b. 电子按高自旋排布c. 络合物的磁矩为零d. 晶体场稳定化能大于零答案：a22. 在平面正方形络合物中，四个配体分别位于±x和±y上，下列d轨道中能量最高的是( )a. d xyb. d x2-y2c. d yzd. d z2答案：b23. CuSO4水溶液呈蓝色的原因是( )a. d—d跃迁b. σ—π跃迁c. 姜—泰勒效应d. σ—π配键答案：a24. 四种配位化合物(1) CoF63- (2) Co(CN) 63- (3) Co(NH3) 63+(4) CoCl63-的d-d跃迁光谱，波数从大到小顺序为（）a. (2)>(3)>(1)>(4)b.(4)>(1)>(3)>(2)c. (3)>(2)>(1)>(4)d. (2)>(3)>(4)>(1)25.下列分子中，不存在σ—π配键的是( )a. [Co (NH3)6]Cl3b. Ni(CO)4c. HCo(CO)4d. K[PtCl3(C2H4)]·H2O答案：a26. 下列哪个络合物的磁矩最大( )a. 六氰合钴(Ⅲ)离子b. 六氰合铁(Ⅲ)离子c. 六氨合钴(Ⅲ)离子d. 六水合锰(Ⅱ)离子答案：d27．推测下列三种络合物的d-d跃迁频率大小顺序( )(1)六水合铁(Ⅲ) (2)六水合铁(Ⅱ) (3)六氟合铁(Ⅱ)a. ν1>ν2>ν3b. ν1>ν3>ν2c. ν3>ν2>ν1d. ν3>ν1>ν2答案：a二、多项选择题（每小题2分）1. 正八面体场中，d轨道能级分裂为两组，其中能量较低的一组称为t2g，包括下列哪些轨道（）a. d xyb. d x2-y2c. d yzd. d z2e. d xz答案：a,c,e2. 具有理想正八面体的电子组态(高自旋时)是（）b.(t2g)1c. (t2g)4(e g)2d. d0e. d10答案：a,d,e3. 下列配位化合物低自旋的是( )a. [Co(NH3)6]3+b. [Co(NH3)6]2+c. [Co(NO2)6]3-d. [Co(CN)6]4-e. [Co(H2O)6]2+答案：a,c,d4. 下列分子和离子中，具有顺磁性的是（）a. [Co(NO2)6]3-b. [Fe(CN)6]4-c. B2d. COe. [Cu(H2O)6]2+答案：c,e5．下列分子(或离子)中，哪些是反磁性的( )a. [Fe(CN)6]3－(△> P)b. O2－c. COd. N2e. [Fe(CN)6]4－(△> P)答案：c,d,e6. 与H2O相比，下列哪些配位体对Δ值影响较大（）a. CN-b. NH3c. F-d. SCN-e. OH-答案：a,b7. 关于 [Fe(CN)6]4-络离子，下列哪些叙述是错误的( )a. 是高自旋络离子b.CFSE为0c. 中心离子的电子排布与Fe3＋相同d. CFSE不为0e. 是顺磁性的答案：a,b,c,e8. 络合物的化学键理论主要有哪些（）a. 价键理论b. 晶体场理论c. 分子轨道理论d. 配位场理论e. 点阵理论答案：a,b,c,d三、填空题（每小题1分）1. 成对能(P)是由库仑能和_ 贡献的。
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (2)
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π=（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(ac 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r rr r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
第六部分 自由电子费米气体-总结与习题指导
u
=
∫∞ ε −∞
g
(ε
)
f
(ε
)
dε
(1)
其中 f (ε ) 是费米分布函数， g (ε ) 是状态密度，
( ) f
ε
=
1 e(ε −μ) kBT
+1
(2)
g
(ε
)
=
m π2
2
⎛ ⎜⎝
2mε
2
⎞1 ⎟⎠
2
,
ε >0
(3)
=0
, ε <0
电子气体的化学势 μ 由电子浓度 n 决定，
n
=
∞
∫−∞
g
(ε
CVel
=
⎛ ⎜⎝
∂u ∂T
⎞ ⎟⎠n
V
=
π2 2
⎛ ⎜ ⎝
kBT εF
⎞ ⎟ ⎠
NkB
(6.25)
约为经典值的 0.01 倍. 式中 N 是自由电子数， N = nV .
低温下金属的热容可以写为电子热容和点阵热容之和，
CV = CVel + CVlα = γ T + AT 3
(6.26)
其中 γ 和 A 是两个常量.
数，故
g (ε ) dε = 1 [在能量范围 ε − ε + dε 中的状态数]
(6.8)
V
三维自由电子的状态密度为
⎧
g
(ε
)
=
⎪ ⎨
m 2π 2
2mε 2,
ε >0
(6.9)
⎪⎩ 0
, ε <0
如图 6.1 所示.
2
4 自由电子在基态下的性质 对于由 N 个自由电子组成的系统，基态(绝对零度)下被电子占据的状态可以 用波矢空间中一个球内的点来表示，这个球称为费米球．费密球的半径 kF 称为 费米波矢量，
金属的电子论 6-1
经典理论的局限性
★金属中存在着电子，根据自由电子论，
金属的电导率电子密度n，
但为什么电子密度较大的二价金属（如Be、Mg、 Zn、 Cd等）和三价金属（如Al、In等）的电导 率反而低于一价金属（如Cu、Ag、Au等）? ★自由电子论无法解释为什么有些金属的Hall系数 会大于0（如Al、In、Zn、Cd等）；
第六章
金属电子论
第一讲
费米统计和电子热容量；
功函数和接触电势。
1
金属(Metal)在固体研究中有特殊的地位。金属是极 好的导电体和导热体(Electrical and heat conductors)， 有延展性(Ductile)并有光亮的表面。这些金属性质的 解释极大地推动了现代固体物理的发展。 实际上，从十九世纪末到现在，金属研究一直处 在固体研究的中心。对金属的研究导致了能带论的 提出,最后在能带论的基础上,建立了对包括金属,半 导体,绝缘体的固体电性质的统一的理论.并由此发 展出整个电子工业的理论基础.
11
2. T＝0 K 时电子的分布
T＝0 K 时，电子的分布函数为 f(E) =
EF
0
f(E) T＝0 1
{0
kF 2m
2 2
1
E EF0 E > EF0
0
—— 费米能
0
EF0
E
kF
2mEF
2
—— 费米半径
PF k F m V F —— 费米动量
12
vF
kF m
从量子力学的观点看，电子是费米子(fermion)应服 从Fermi-Dirac统计而不是经典的Maxwell统计。 Fermi-Dirac统计指出，在量子态上的平均占据数为：
黄昆 固体物理 讲义 第六章
在 k 空间， E = E F 的等能面称为费米面。 1.
E F 的确定
-2CREATED BY XCH
REVISED TIME: 05-5-12
固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406
V 电子按能量的统计分布 ： dZ = N ( E )dE —— N ( E ) 状态密度 在 E − E + dE 之间状态数（量子态数） 在 E − E + dE 之间的电子数： dN = f ( E ) N ( E )dE
1 e
E − EF k BT
+1
0 0
当温度 T = T K ， E > E F 的状态中， 电子填充的几率增大，E < E F 如果 E F = E F 不随时间变化，
0
的状态中，电子填充的几率减小。费密分布函数在 E F = E F 左右的增加和减小是对称的。如图
0
XCH006_005 所示。 —— 对于近自由电子， N ( E ) ∝ E
3 0 dE = E F 5
结果：在绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量。这是因为电子必须满足泡利不相容原理，每
REVISED TIME: 05-5-12 -3CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406
个能量状态上只能容许两个自旋相反的电子。这样所有的电子不可能都填充在最低能量状态。 绝对温度 T ≠ 0 时金属中电子费密能量
—— EF是费米能量或化学势：体积不变的情况下，系统增加一个电子所需的自由能。
电子的总数： N =
∑ f (E )
i i
—— 对所有的本征态求和
在温度 T ≠ 0 的情况时：在 E = E F ， f ( E F ) =
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1）费米能和费米温度 （2）费米球半径 （3）费米速度 （4）费米球面的横截面积 （5）在室温及低温时电子的平均自由程 Ag的密度=10.5g/cm3 原子量=107.87 电阻率=1.61×10-6 ·cm（295 K）
0.038×10-6 ·cm（20 K）
5
固体物理
固体物理学
解（1） 费密能量和费密温度
EF0
pV 2 NU 3
解：
自由电子的能态密度
N
(E)
4V
(
2m h2
)3/
2
E1/
2
T=0 K，费米分布函数
f
(E)
1 0
(E EF0 ) (E EF0 )
11
固体物理
电子总数
固体物理学
N 0 N (E) f (E)dE
电子平均能量
U
EF0 EN (E)dE 0
EF0 0
4V
(
2m h2
固体物理
固体物理学
第六章 习题参考解答
6.1 He3的自旋为1/2，是费米子。液体He3的绝对零度附近的密 度为0.081 g cm-3，计算费米能EF和费米温度TF
6.1 解： 在绝对零度时，等能面近似为球面
He3一个原子含两个质子和一个中子，原子量为3，自由 电子数为2
N原子 N电子 / 2
M V
)3
/
2
E1/ 2dE
U
3 5
EF0
将电子气看作是理想气体，压强
p
1 nmv 2
2 mv 2 n
2
nU
3
32 3
2 NU 3V
vx2 vy2 vz2 v2 / 3
pV 2 NU 3
12
2
3.142）3
5.951019 J 3.72eV
费米温度TF为
TF
EF kB
4.31104 K
2
固体物理
固体物理学
6.2 在低温下金属钾的电子热容量的实验结果为：
C 2.08T mJ / mol K
求钾的费米温度TF 和费米面上的能态密度N(EF)。 解：摩尔电子热容，考虑材料含一摩尔K原子，电子数N=NA，
EF
2
2
(3n 2 ) 3
2m
2
(3
2m M原子
2
2)3
(1.0551034 )2 2 9.111031
(3
10.5103 106 107.87103 /(6.0221023)
2
3.142）3
8.821019 J 5.50eV
费米温度为
TF
EF kB
6.39 104 K
6
固体物理
固体物理学
N原子 M原子 V
N电子 M 原子 2V
n 2
M 原子
式中n是电子浓度
n 2 / M原子
固体物理
固体物理学
费米能EF为
n 2 / M原子
EF
2
2
(3n 2 ) 3
2m
2 (3 2
2m M原子
2
2)3
(1.0551034 )2 2 9.111031
(3
2 0.081103 106 3103 /(6.0221023)
是 与 轴之间的夹角
kF
(3n
2
)
1 3
8
固体物理
固体物理学
(5) 在室温以及低温时电子的平均自由程
电导率
q2 m*
n (EF0 )
弛豫时间
( E F0
)
m*
nq 2
平均自由程
v (EF0 )
m*v
nq 2
kF
nq2
0 K到室温之间的费密半径变化很小
9
固体物理
固体物理学
或近自由电子近似情况下
EF
EF0
1
2
12
平均自由程
k
0 F
nq2
代入数据得到：
295 K时 F 5.23 10 8 m
20 K时 2.22106 m
10
固体物理
固体物理学
6.4 设N个电子组成简并电子气，体积为V，证明T=0 K时
1) 每个电子的平均能量 2) 自由电子气的压强满足
U
3 5
（2）费米球半径
kF
2mEF
2 9.111031 8.821019 1.0551034
1.201010 m1
（3）费米速度
VF
kF m
1.055
10 34 1.20 9.1110 31
1010
1.39 106 m / s
固体物理
固体物理学
(4) 费密球面的横截面积
S (kF sin )2 4.52 sin 2m2
N
(
EF0
)
TF
EF0 kB
3N 2kB N (EF0 )
3 6.0221023 21.3811023 3.321042
19624K
N
(E)
(
EF EF0
)1/
2
N
(EF0
)
EF
E
0 F
[1
2
12
(
kBT EF0
)2
]
4
固体物理
固体物理学
6.3 若将银看成具有球形费米面的单价金属计算以下各量：
电子热容为
CV
[ 2
3
N (EF0 )(kBT )]kB
N
(EF0
)
3 2kB2
CV T
3 3.142
2.08103 (1.3811023
)2
3.321042 J 1
3
固体物理
固体物理学
N
(
N(
EF0
E
)
)
4V
(
2m h2
3N / 2EF0
)3/2 E1/2
N(E)
(
EF EF0
)1/
2