第三章恒定电场题解

第三章 恒定电场
3-1 导电回路的电阻为R 。

要使回路中维持恒定电流I ，则回路中电源的电动势
e 应为多少？
解 根据欧姆定律，可知 RI e =
3-2 一平行平板电容器如图3-1所示。

两极板相距d ，极板之间有两层电介质。

第一种电介质厚度为a ，介电常数为ε1，电导率为γ1。

第
二种电介质厚度为d a -，介电常数为ε2，电导率为γ2。

若两极之间加电压U ，求电介质中的电场强度、漏电流密
度、电介质分界面上自由电荷的面密度。

解 据题意可得 ()U a d E a E =-+21，又有 2211E E γγ=，
得 12
12E E γγ=，代入上式，得介质中的电场强度为 ()()a d a U a d a U E -+=-+=1222
11γγγγγ，()a d a U E -+==1212γγγ 漏电流密度为 ()
121212211γγγγγγγ-+===a d U E E J 分界面上自由电荷的面密度为 ()()1212112112212γγγγεγεεεσ-+-=-=-=a d U E E D D
3-3 如图3-2所示，由导电媒质构成的半圆环，电导率为γ，求A 、B 之间的电
阻。

解 设有电流I 从A 向B 流动，A 、B 间的电压为U ，则在
导电媒质中，有02=∇ϕ，对于圆柱坐标，有
012222
=∂∂=∇α
ϕϕr ，解得 B A +=αϕ 代入边界条件 ()00==αϕ，得 0=B ()U A ===ππαϕ，得 π/U A =
即 απϕU =，ααϕϕe E ∂∂-=-∇=r 1，απ
γγe U r ⋅-==1E J b
R R a U adr U r Jds I b R R +=⋅--=-=⎰⎰+ln 1πγπγ 因此，可得所求电阻为 R
b R a I I U R +==ln γ
3-4 如图3-3图所示，由导电媒质构成的扇形，厚度为h ，电
导率为γ。

求A 、B 之间的电阻。

解 设A 、B 间的电压为U ，则在导电媒质中有
012=⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∇r r r r ϕϕ，解得 B r A +=ln ϕ，代入边界条件， 0ln 1=+B R A ，U B R A =+2ln ，解得 1
2/ln R R U A =，121/ln ln R R R U B -= 可得 112ln /ln R r R R U =ϕ，r r r
R R U r e e E 1/ln 12⋅-=∂∂-=-∇=ϕϕ r r R R U e E J γγ⋅-==12/ln ，b
R R a U r a U r I b R R +=⋅=⋅-=⎰⎰+ln d 1d πγπγs J 因此，可得 R
b R a I U R +==ln γπ
3-5 如图3-4图所示，半球形电极埋于陡壁附近。

已知电极半径为a ，距离h ，
土壤的电导率为γ 。

a h <<，考虑陡壁的影响，
求接地电阻。

解 由于有地面和
陡壁的影响，求接
地电阻需按图3-5
取镜象，则可将整
个空间视为导电媒质（土壤）。

在图3-5中，设两电
极间的电压为U 2，极间有电流I 2，由于a h <<，则
在极间导电媒质中由于一个球中电流的影响，应有，
24r
I E πγ=，则有 a I U πγ41=，考虑另一电极的影响，有 h I U 242⋅=πγ 因此，球对地的电压为 ha
a h I h a I U U U 224211421+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=πγπγ 接地电阻为 ha a h I U R πγ422
1+==
3-6 在导电媒质中，电荷的体密度为 ρεγ
=∇•()J 。

当导电媒质为均匀媒质时，ε和γ都不随空间位置变化，因此电荷密度为零。

另一方面，由定义可知，体电流密度为电荷体密度乘以电荷运动的速度。

试解释均匀导电媒质中体电流密度不为零而体电荷密度为零这一“矛盾”。

解 在定义式v J ρ=中，体电荷密度为运动电荷的体密度。

3-7 由导电媒质中欧姆定律的微分形式，试导出两电极之间电压与导电媒质中总
电流之间关系（欧姆定律的积分形式）。

解 设图3-6所示电导率为γ的导电媒质的长度为l 、截面为S ，其中的体电流密度为z J e J 0=， 则有E J γ=，对等式两边做体积积分，可得
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅v v v E v J d d 0γ，即 SU Il γ=，由此可得 R S
l I U ==γ，即为欧姆定律积分形式表达式。