高一数学函数、函数与方程知识点总结

映射定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就

称对应f：A→B为从集合到集合的一个映射

函数及其表示

定

义

传统定义：如果在某变化中有两个变量x，y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系f，y都有唯一确定的值和

它对应。那么y就是x的函数。记作y=()x f

近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射

函

数

三

要

素

定义域

值域

对应法则

函

数

的

表

示

方

法

解析法

列表法

图象法

函数的基本性质单

调

性

传统定义：在区间[a，b]上，若a≤x

1

﹤x

2

≤b，如果f()1x﹤f()2x，则

f()x在[a，b]上递增，[a，b]是递增区间；如果f()1x﹥f()2x，

则f()x在[a，b]上递减，[a，b]是递减区间。

导数定义：在区间[a，b]上，若f()x﹥0，则f()x在[a，b]上递增，[a，b]是递增区间；若f()x﹤0，则f()x在[a，b]上递减，[a，b]是递

减区间。

最

值

最大值：设函数y=f()x的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f()x≤M；②存在x0∈I，使得f()0x=M，则称M是

函数y=f()x的最大值。

最小值：设函数y=f()x的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f

()x≥M；②存在x

∈I，使得f()0x=M，则称M是函数y=f()x的最大值。

奇

偶

性

①f()x-= -f()x，x∈定义域D，则f()x叫做奇函数，其图像关于原点对称。

②f()x-= f()x，x∈定义域D，则f()x叫做偶函数，其图像关于y轴对称。周期性：在函数f

()x的定义域上恒有f()T+x= f()x（T≠0的常数）则f()x 叫做周期函数，T为周期；T的最小正值叫做f()x的最小正周期，简称

周期。

函数图像的画法

⑴描点连线法：列表、描点、连线

⑵

变

换

法

平

移

变

换

向左平移a个单位：y

1

=y，x1-a=x?y=f()a

x+

向右平移a个单位：y

1

=y，x1+a=x?y=f()a-x

向上平移b个单位：x

1

=x，y1-a=y?y-b=f()x

向下平移b个单位：x

1

=x，y1-b=y?y+b=f()x

伸

缩

变

换

横坐标变换：把各点的横坐标x

1

缩短（当w﹥1时）或伸长（当0﹤w ﹤

1时）到原来的1/w倍（纵坐标不变），即x1=wx?y=f()

wx

横坐标变换：把各点的纵坐标y

1

伸长（当A﹥1时）或缩短（当0﹤A ﹤

1时）到原来的A倍（横坐标不变），即y1=y/A?y=f()x

对

称

变

换

关于点（

x 0，y

）对称：

x+x

1

=2x

y+y

1

=2y

关于直线x=x

0对称

?

x

1

=2x

-x

y

1

=2y

-y ?()x-

x2

f

y-

y2

=

关于直线x=x

0对称

x+x

1

=2x0

y=y

1

?

x

1

=2x0-x

y1=y ? y=f

()x-

x2

x=x

1

y+y

1

=2y0?

x1=x

y

1

=2y0-y ? 2y0-y=f

()x

关于直线y=x对称x=x

1

y=y

1

?y=f1-()x

『知识梳理』函

数

『例题精讲』

例1. (1)设A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f ：A→B

①若映射f 满足f(a)>f(b)≥f(c),则映射f 的个数为 。（4） 解： ①列表法：∵f(a)>f(b)≥f(c) ∴f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0. 根据映射的定义,以f(a)取值从大到小的次序列表考察:

f(a) f(b) f(c) 1 0 0 1 0 -1 1 -1 -1 0

-1

-1

例2. (1)已知f(x)=x 2+2x-1(x>2),求f(2x+1)的解析式;

(2)已知 ,求f(x ＋1)的解析式.

解: (1) ∵f(x)=x 2+2x-1 (x>2)

∴以2x+1替代上式中的x 得 f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)-1 (2x+1>2)

∴f(2x+1)=4x 2+8x+2 (x>1/2 ) (2)由已知得

∴以x 替代上式中的 得 f(x)=x 2-1 (x≥1)

∴f(x+1)=(x ＋1)2-1 (x+1≥1) 即f(x+1)=x 2+2x (x≥0)

例3.(1)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且满足f()=-f(x)，又f(2)=1，f(1)=a ，则a=________。

(2)已知函数f(x)的最小正周期为2T ，且f(T+x)=f(T-x)对一切实数x 都成立，则对f(x)的奇偶性的判定是?

解: (1)由f()=-f(x)知f(x)是周期函数，且3是f(x)的一个周期，又f(x)为偶函数f(-x)=f(x)(xR)，在此基础上，寻觅已知条件中的f(2)与f(1)的联系: f(2)=f(-2)=f[(-2)+3]=f(1) 而f(1)=a ，f(2)=1， ∴a=1

(2)由f(x)的最小正周期为2T 得f(x+2T)=f(x) ① 又这里f(x+T)=f(T-x) ② 为了靠拢①，在②中以(x+T)替代x 的位置得 f(x+2T)=f[T-(x+T)]=f(-x) ③ ∴由①， ③得f(-x)=f(x) ∴f(x)为偶函数.

『易错题』

例4. 已知函数f(x)=

x

1x

2-1+，y=g(x)的图象与y= 的图象关于直线y=x 对称，求g ??

?

??21的值. 典型错解: 由题设知g(x)与 互为反函数 ① ∴ = ② ∴g(x)=f(x+1) ③ 由此得g()=f()=-

错因分析: 上面①②正确，由②导出③出现错误.在这里的反函数是g(x)，但的反函数却不是f(x+1).认知:由求反函数的“三部曲”易知y=f(x+1)的反函数不是y= ，而是y= -1；y= 的反函数不是y=f(x+1)，而是y=f(x)-1.

正确解法: (着力于寻求 的解析式):由已知得 =

x 2x -1+ (x≠-2)∴ =-3

x x

+ (x≠-3)

又由题设知g(x)的反函数为 ， ∴ = ∴ =-3x x

+ ① 令g(

21)=b ，则 =2

1 ②

∴由①②得-3b b + =2

1

，解得b=-1， ∴g(

2

1

)=-1. 『当堂检测』

1.设函数

3,(10)

()(5),(10)

x x f x f x x -≥?=?

+

-的定义域______________

3. 已知f (x )+2f (

x

1

)=3x ,求f (x )的解析式____________________. 4. 设f (x )是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f (x )是偶函数，在区间［2，3］上时，

f (x )=－2(x －3)2+4，求当x ∈［1,2］时f (x )的解析式___________________________.

5. 已知函数],1,0(,1

2)(2∈-

=x x

ax x f （1）若]1,0()(x x f 在是增函数，求a 的取值围; （2）求

]1,0()(在区间x f 上的最大值.

『直击高考』

1.函数y= ( x≤0)的反函数是(B ) A. y= (x≥-1) B. y=－ (x≥-1) C. y= (x≥0) D. y=－ (x≥0)

2.(2004卷)函数f(x)= -2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是(D ) A. a ∈(-∞，1] B. a ∈[2，+∞) C. a ∈[1，2] D. a ∈(-∞，1]∪[2，+∞]

3. 设函数f(x)的图象关于点(1，2)对称，且存在反函数f ，f(4)=0，则f=_-2__

5. 已知函数y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)= -1.设f(x)的反函数是y=g(x)，则g(-8)=__-2______

6. 若存在常数p>0，使得函数f(x)满足f(px)=f(px －

2

p

)( x ∈R)，则f(x)的一个正周期为___p/2_ 『知识梳理』

函

数与方

零点：对于函数y=f ()x ，我们把使f ()x =0的实数x 叫做函数y=f ()x 的零点

定理： 如果函数y=f

()x 在区间[a ，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f ()a ·f ()b

﹤0，那么，函数y=f ()x 在区间[a ，b]内有零点。即存在c ∈（a ，b ），使得f ()c =0.

这个c 也是方程f

()x =0的根。

关系：方程f

()x =0有实数根?函数y=f ()x 有零点?函数y=f ()x 的图像与x 轴有

交点

『例题精讲』

1. 已知函数

22()(1)2f x x a x a =+-+-的一个零点比1大，一个零点比1小，数a 的取值围。

解：设方程2

2(1)20x

a x a +-+-=的两根分别为1212,()x x x x <， 则12

(1)(1)0x x --<，所以1212()10x x x x ?-++<

由韦达定理得2

2(1)10a a -+-+<，

即2

20a

a +-<，所以21a -<<

2.判断函数

232

()43f x x x x =+-在区间[1,1]-上零点的个数，并说明理由。

解：因为()27141033f -=-++=-<，()213

141033

f =+-=

> 所以

()f x 在区间[1,1]-上有零点

又

()2

'291422222f x x x x ?

?=+-=-- ?

?

?

零点与根的关系

二分法求方程的近似解

⑴确定区间[a ，b]，验证f

()a ·f ()b ﹤0，给定精确度ε；

⑵求区间[a ，b]的中点c ； ⑶计算f

()c ；

① 若f ()c =0，则c 就是函数的零点；

② 若f ()a ·f ()b ﹤0，则令b=c （此时零点x 0∈（a ，b ））； ③

若f ()c ·f ()b ﹤0，则令a=c （此时零点x 0∈（c ，b ））；

⑷判断是否达到精确度ε，即若ε

?b -a ，则得到零点的近似值a （或b ）

；否则重复以上步骤。

当11x -≤

≤时，()'902

f x ≤≤

所以在[1,1]-上单调递增函数，所以

()f x 在[1,1]-上有且只有一个零点。

『易错题』

3.设

()8

33-+=x x f x ,用二分法求方程

()

2,10833∈=-+x x x 在近似解的过程中得

()()(),025.1,05.1,01<>

A ．(1,1.25)

B ．(1.25,1.5)

C ．(1.5,2)

D ．不能确定

『当堂检测』

1.如果二次函数)3(2

+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值围是（ ）

A ．()6,2-

B ．[]6,2-

C ．{}6,2-

D ．()

(),26,-∞-+∞

2.已知函数2()1f x x =-，则函数(1)f x -的零点是__________

3.若方程0x

a x a --=有两个实数解，则a 的取值围是（ ）

A ．(1,)+∞

B ．(0,1)

C ．(0,2)

D ．(0,)+∞ 4.函数5

()3f x x x =+-的实数解落在的区间是( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[2,3] D ．[3,4] 5.求函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

『直击高考』

1.设二次函数

2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<；

（1）数a 的取值围； （2）试比较()()()010f f f -与

1

16

的大小，并说明理由。 解：令2()

()(1)g x f x x x a x a =-=+-+

则由题意可得：

01012(1)0(0)0

a g g ?>??-?<

?

>??

011

33a a a a ?>??-<

<->+?或 故所数a

的取值围是(0,3-。

2.函数f

()x =2x +3x 的零点所在的一个区间是（B ）

A ．（-2,-1）

B （-1，0）

C （0，1）

D （1，2） 3.设函数f

()x =4sin （2x+1）-x ，则在下列区间中函数f ()x 不存在零点的是（A ）

A ．[-4,-2] B.[-2,0] C.[0,2] D.[2,4] 4.函数f

()x =

x

-COSx 在[0，∞+﹚（B ）

A 没有零点

B 有且仅有一个零点

C 有且仅有两个零点

D 有无穷多个零点

03?<-a<