线性代数在经济学中的应用说课讲解

线性代数在经济学中

的应用

线性代数解决生活中实际问题举例

专业：经济学专业

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在现代社会中，数学起着非常重要的作用，处理算数以外，线性代数是应用最为广泛的数学分支之一。线性代数是代数这个学科的一个重要的分支。

线性代数中有一个重要的概念是线性空间，它的元素被称为向

量。也就是说，只要满足那么几条公理，我们就可以对一个集合进行线性化处理。可以把一个不太明白的结构用已经熟知的线性代数理论来处

理，试想，如果能把一些看似不相关的问题化归为一类问题，把本来凌乱不堪的线索都井井有条的整合起来，那我们做起事来不是就更加的会事半功倍吗？线性代数的作用就是这个。

接下来我们要谈一下线性代数的具体应用。线性代数研究最多最基本的便是矩阵。矩阵是现行代数最基本的概念，矩阵的运算是线性代数的基本内容。矩阵就是一个数表，而这个数表可以进行变换，以形成新的数表。也就是说如果你抽象出某种变化的规律，你就可以用代数的理论对你研究的数表进行变换，并得出你想要的一些结论。在日常生活中，矩阵无时无刻不出现在我们的身边，例如班级中学生各科目的考试成绩，商场销售产品的数量和单价，超市物品配送路径等等。

线性代数的运算在实际问题中经常会出现，下面给出关于它应用的具体的例子。

例1 （用矩阵表示产品的售价和重量）

设某个电器厂向三个商店（甲商店，乙商店，丙商店）发出四种产品（空调，冰箱，洗衣机，彩电）的数量为

空调冰箱洗衣机彩电

甲商店30 20 50 20

A = 乙商店0 7 10 0

丙商店50 40 50 50

这四种产品的售价（百元）和重量（千克）的数表为

售价重量

空调3040

B =冰箱1630

衣机2230

彩电1820

则这个电器公司向每个商店出售的产品的总价格和总重量，恰好可以用矩阵AB来表示

售价数量

甲商店26803700

AB =乙商店332510

丙商店41405700

例2 (用方程组求解分析一个简单城市的交通流量)

问题：某城市有如图的交通图，每一条道路都是单行道，图中数字表示某一个时段的机动车流量。并且针对每一个十字路口，进入和离开的车辆数相等。

请计算每两个相邻十字路口间路段上的交通流量xi (i=1,2,3,4) 交通量的图示如下

251

260 ，

r A D 260

—* ---

220

357

292

320

单行道4节点交通图

解：根据已知条件，得到各节点的流通方程如下

A：X] + 360 = x2十2石0

B：+220 4-292

兀d-320 =x4 + 357

D：x4 +260 = + 251

整理后得到如下的方程组

计算结果为U= 1 0 0 -1 0

0 1 0 -1 109 0 0 1 -1 37

具体分析：由于U 的最后一行全为零，方程组中只有三个有效方

程，所以有无穷组解。以

X 4为自由变量，其解为

|屯=x 4十9

庆=x 4 +109

x 3 =屯 +37

近些年来，随着科技突飞猛进的发展，线性代数已经深入到经 济，金融，信息，社会等各个领域。以上两个例子详细的说明的线 性代数在我们的现实生活中应用之广泛，除此之外线性代数还在药 物配制问题，人口迁徙问题，情报检索模型，信号流图模型，产品 成本计算，编译保密码，空运航线路径，平板稳态温度计算，化学 方程配平，飞行器外形设计比例，卫星遥感图像处理，等方面有着 重要的应用。

二一100

=72

二 37