2021年高考文科数学总复习(第九章 第1节)平面解析几何讲义
第1节直线的方程作为高三文科数学重点复习内容之一，平面解析几何主要研究线与方程。
包含以下几部分。
直角坐标、曲线与方程、直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等。
最新考纲 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知识梳理1.直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角.(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).2.直线的斜率(1)定义：当α≠90°时，一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在.(2)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1 x2－x1.3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距xa＋yb＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线[微点提醒]1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：α00<α<π2π2π2<α<πk 0k>0不存在k<02.直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系：基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.()(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.()解析(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(必修2P64例1改编)若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为________.解析由题意得3m－61＋m＝12，解得m＝－2，∴A(2，6)，∴直线AB的方程为y－6＝12(x－2)，整理得12x－y－18＝0.答案12x－y－18＝03.(必修2P67例5改编)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________.解析当纵、横截距均为0时，直线方程为3x－2y＝0；当纵、横截距均不为0时，设直线方程为xa＋ya＝1，则2a＋3a＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.答案3x－2y＝0或x＋y－5＝04.(2019·衡水调研)直线x－y＋1＝0的倾斜角为()A.30°B.45°C.120°D.150°解析由题得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°.答案 B5.(2019·陕西七校联考)若过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是()A.(－2，1)B.(－1，2)C.(－∞，0)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析由题意知2a－1－a3－1＋a<0，即a－12＋a<0，解得－2<a<1.答案 A6.(2018·宜春模拟)已知直线l过点P(1，3)，且与x轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是()A.3x＋y－6＝0B.x＋3y－10＝0C.3x －y ＝0D.x －3y ＋8＝0解析 设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0). 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋3b ＝1，12ab ＝6，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝6.故直线l 的方程为x 2＋y6＝1， 即3x ＋y －6＝0. 答案 A考点一 直线的倾斜角与斜率典例迁移【例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3 (2) (经典母题) (一题多解)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________. 解析 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2cos α∈[1，3].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]. 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.(2)法一 设P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线P A 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3].故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 法二 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(－3－k )≤0，即(k －1)(k ＋3)≥0，解得k ≥1或k ≤－ 3.即直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 答案 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)【迁移探究1】 若将例1(2)中P (1，0)改为P (－1，0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围.解 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0， 即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3. 即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.【迁移探究2】 若将例1(2)中的B 点坐标改为B (2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围.解 由例1(2)知直线l 的方程kx －y －k ＝0， ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(2k ＋1－k )≤0，即(k －1)(k ＋1)≤0，解得－1≤k ≤1.即直线l 倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.规律方法 1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π)上并不是单调的.2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为π2时，直线斜率不存在.【训练1】 若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2 解析 直线y ＝kx －3恒过点(0，－3)，可作两直线的图像，如图所示，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.答案 B考点二 直线方程的求法【例2】 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍； (3)经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形. 解 (1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即l 过点(0，0)和(4，1)， 所以l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0. 若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1，因为l 过点(4，1)，所以4a ＋1a ＝1， 所以a ＝5，所以l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. 因为tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－34. 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)， 即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3，4)，由点斜式得y －4＝±(x －3). 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.规律方法 1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件. 2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).【训练2】 (1)求过点A (1，3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A (－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. 解 (1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1，3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. 考点三 直线方程的综合应用多维探究角度1 与不等式相结合的最值问题【例3－1】 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________.解析 由直线x ＋my ＝0求得定点A (0，0)，直线mx －y －m ＋3＝0，即y －3＝m (x －1)，所以得定点B (1，3).当m ＝0时，两条动直线垂直，当m ≠0时，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m m ＝－1，所以两条动直线也垂直，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx－y －m ＋3＝0的交点，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |＝5时，等号成立)，所以|P A |·|PB |的最大值是5. 答案 5角度2 由直线方程求参数范围【例3－2】 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________. 解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2(2－a )＋12×2(a 2＋2)＝a 2－a ＋4，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，又0<a <2，所以当a ＝12时，面积最小.答案 12规律方法 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.(2)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.【训练3】 如图，在两条互相垂直的道路l 1，l 2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l 1的垂直距离为4米，到道路l 2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为________米.解析 如图建立平面直角坐标系，设人行道所在直线方程为y －4＝k (x －3)(k <0)，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－4k ，0，B (0，4－3k )，所以△ABO 的面积S ＝12(4－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－4k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫24－9k －16k ，因为k <0，所以－9k －16k ≥2（－9k ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k ＝24，当且仅当－9k ＝－16k ，即k＝－43时取等号.此时，A (6，0)，B (0，8)，所以人行道的长度为62＋82＝10米.答案 10[思维升华]1.倾斜角和斜率的范围(1)倾斜角是一种特殊规定的角，其范围是[0，π)，千万不要与其他角混淆，有些时候要依据图形而定.(2)斜率范围与倾斜角范围的转化，此时要结合y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上的变化规律.2.在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况. [易错防范]1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性.3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.基础巩固题组 (建议用时：35分钟)一、选择题1.直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π]，所以α＝5π6. 答案 D2.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2. 答案 D3.(2019·安阳模拟)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A.1±2或0B.2－52或0C.2±52D.2＋52或0解析 由题意知k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a＝1±2. 答案 A4.(2019·福建六校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，结合选项知B 符合，其他均不符合. 答案 B5.已知直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点(m ∈R )，那么直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.[0，π) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 解析 直线l 的斜率k ＝1－m 22－1＝1－m 2，因为m ∈R ，所以k ∈(－∞，1]，所以直线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 答案 B6.已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( ) A.y ＝3x ＋2 B.y ＝3x －2 C.y ＝3x ＋12D.y ＝－3x ＋2解析 因为直线x －2y －4＝0的斜率为12，所以直线l 在y 轴上的截距为2，所以直线l 的方程为y ＝3x ＋2. 答案 A7.直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞) C.(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞D.(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，令y ＝0，得直线l 在x轴上的截距为1－2k ，则－3<1－2k <3，解得k >12或k <－1. 答案 D8.已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by＋c ＝0的倾斜角为( ) A.π4B.π3C.2π3D.3π4解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知，函数f (x )的图像关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以a ＝－b ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝ab＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4. 答案 D 二、填空题9.已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________.解析 BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0. 答案 x ＋13y ＋5＝010.过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________. 解析 若直线过原点，则k ＝－43， 所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.若直线不过原点，设直线方程为x a ＋ya ＝1， 即x ＋y ＝a ，则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝011.若经过两点A (4，2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角是直线4x －3y ＋2 019＝0的倾斜角的一半，则y 的值为________.解析 因为直线4x －3y ＋2 019＝0的斜率为43，所以由倾斜角的定义可知直线4x－3y＋2 019＝0的倾斜角α满足tan α＝43，因为α∈[0，π)，所以α2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，所以2tanα21－tan2α2＝43，解得tanα2＝12，由已知及倾斜角与斜率的关系得2y＋1＋34－2＝12，所以y＝－32.答案－3212.设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________.解析b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值.所以b的取值范围是[－2，2].答案[－2，2]能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2019·豫南九校联考)若θ是直线l的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l的斜率为()A.－12 B.－12或－2C.12或2 D.－2解析因为sin θ＋cos θ＝55，①所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝15，所以2sin θcos θ＝－45，所以(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，所以tan θ＝－2，即l 的斜率为－2. 答案 D14.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）(n ∈N +)，其前n 项和S n ＝910，则直线x n ＋1＋y n ＝1与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.36B.45C.50D.55解析 由a n ＝1n （n ＋1）可知a n ＝1n －1n ＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 又知S n ＝910，所以1－1n ＋1＝910，所以n ＝9.所以直线方程为x 10＋y9＝1，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45.答案 B15.已知直线l 过点P (2，－1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b ，则直线l 的方程为________.解析 若a ＝3b ＝0，则直线过原点(0，0)， 此时直线斜率k ＝－12，直线方程为x ＋2y ＝0. 若a ＝3b ≠0，设直线方程为x a ＋yb ＝1， 即x 3b ＋yb ＝1.由于点P (2，－1)在直线上，所以b ＝－13. 从而直线方程为－x －3y ＝1，即x ＋3y ＋1＝0. 综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0. 答案 x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0 16.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ).(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程. (1)证明 直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0， 令⎩⎨⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1. ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1).(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0； 当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞). (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程， 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k ). 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
2021高考数学一轮复习第9章平面解析几何经典微课堂突破疑难系列2五大技法减轻解析几何中的运算量课件文北师
A.13
B.12
2
3
C.3
D.4
A [ 设 OE 的 中 点 为 N ， 如 图 ， 因 为 MF∥OE，所以有MONF＝a＋a c，MOEF＝a－a c.又因 为 OE＝2ON，所以有12＝a＋a c·a－a c，解得 a＝ 3c，e＝ac＝13，故选 A.]
[技法点津] 此题也可以用解析法解决，但有一定的计算量，巧 用三角形的相似比可简化计算．
第九章 平面解析几何
经典微课堂 突破疑难系列2：五大技法减轻解析几何中
的运算量
[命题解读] 中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用 方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越 性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度， 甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步，特别是高考过程 中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重 要的方面，为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合 理简化解题过程，优化思维过程．
[示例 2] 已知椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，过
点 F 的直线交 E 于 A，B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E
的标准方程为( )
A.4x52 ＋3y62 ＝1
B.3x62 ＋2y72 ＝1
C.2x72 ＋1y82 ＝1
D.1x82 ＋y92＝1
[解](1)直线 AM 的斜率为 1 时，直线 AM 的方程为 y＝x＋2，代 入椭圆方程并化简得 5x2＋16x＋12＝0.
解得 x1＝－2，x2＝－65，所以 M－65，45.
(2)设直线 AM 的斜率为 k，直线 AM 的方程为 y＝k(x＋2)， y＝kx＋2，
北师大版2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率直线的方程学案含解析
第九章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础知识整合1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：x轴01正向与直线02向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为030°.②倾斜角的范围为040°≤α<180°.(2)直线的斜率条件公式直线的倾斜角为θ，且θ≠90°k＝05tanθ直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2k＝06y2－y1 x2－x12．直线方程的几种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x1，y1)07y－y1＝k(x－x1)不含直线x＝x1斜截式斜率k与直线在y轴上的截距b08y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)09y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)截距式直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b10xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式—11Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 平面直角坐标系内的直线都适用1．直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系．θ0°0°<θ<90°90°90°<θ<180°k 0k>0不存在k<0 “斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．1．已知直线过A (2,4)，B (1，m )两点，且倾斜角为45°，则m ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．5 D ．－1答案 A解析 ∵直线过A (2,4)，B (1，m )两点，∴直线的斜率为m －41－2＝4－m .又直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，即4－m ＝1，∴m ＝3.故选A ．2．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6答案 D解析 由直线的方程得直线的斜率k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6. 3．(2019·青海模拟)倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0答案 D解析 直线的斜率为k ＝tan135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 4．(2019·四川绵阳联考)过点(5,2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0 答案 B解析 设所求直线在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为2a ，①当a ＝0时，所求直线经过点(5,2)和(0,0)，所以直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；②当a ≠0时，设所求直线方程为x a ＋y 2a ＝1，又直线过点(5,2)，所以5a ＋22a ＝1，解得a ＝6，所以所求直线方程为x 6＋y 12＝1，即2x ＋y －12＝0.综上，所求直线方程为2x －5y ＝0或2x ＋y －12＝0.故选B ．5．(2020·广东深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0的图象有可能是( )答案 B解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，B 项符合．6．直线l 与直线y ＝1，直线x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率是( )A ．23B ．32C ．－23D ．－32答案 C解析 设P (a,1)，Q (b ，b －7)，由线段PQ 的中点坐标为(1，－1)可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 2＝1，1＋b －72＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，所以P (－2，1)，Q (4，－3)，所以直线l 的斜率k＝1－－3－2－4＝－23，故选C ．核心考向突破考向一 直线的倾斜角与斜率例 1 (1)(2019·重庆巴蜀中学诊断)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 答案 B解析 依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. (2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．[即时训练] 1.(2019·南昌模拟)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α.由于α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3. 2．(2019·安徽五校联考)已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．[1,2]答案 B解析 直线kx －y ＋1－k ＝0恒过P (1,1)，k PA ＝2，k PB ＝34，故k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪[2，＋∞)．故选B ．考向二 求直线的方程例2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)与直线3x －4y －5＝0关于y 轴对称．解 (1)由题设知该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13，故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9. 故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.(3)直线3x －4y －5＝0与y 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，所求直线过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，且斜率k ＝－34，所求直线方程为y ＝－34x －54，即3x ＋4y ＋5＝0.1．直线方程的求法(1)直接法：根据已知条件，求出直线方程的确定条件，选择适当的直线方程的形式，直接写出直线方程．(2)待定系数法：其具体步骤为，①设出直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式)；②根据题设条件列出关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组得到待定系数；④写出直线方程；⑤验证所得直线方程是否为所求直线方程，如果有遗漏需要补加．2．应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式时，需讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，需讨论直线是否过原点．[即时训练] 3.已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1答案 D解析 当a ＝0时，直线方程为y －2＝0，不满足题意，所以a ≠0，直线在x 轴上的截距为2＋a a ，在y 轴上的截距为2＋a ，则由2＋a ＝2＋aa，得a ＝－2或a ＝1.4．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的边BC 上的高所在的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0 D ．x －y ＝0答案 B解析 因为B (3,1)，C (1,3)，所以k BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝1，又高线经过点A (－1，1)，所以其所在的直线方程的x －y ＋2＝0.5．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________． 答案 2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0 解析 设直线方程的截距式为xa ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.精准设计考向，多角度探究突破 考向三 直线方程的应用角度1 例3 过点P (4,1)作直线l ，分别交x 轴，y 轴的正半轴于点A ，B ．(1)当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程．解 设直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b＝1.(1)因为4a ＋1b ＝1≥24a ·1b＝4ab，所以ab ≥16，S △AOB ＝12ab ≥8，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立．所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小， 此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a≥9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立．所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y －6＝0. 角度2 直线方程与函数的结合例4 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解 如图所示，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在线段EF 上时，可取最大值， 在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )． 又m30＋n 20＝1(0≤m ≤30)，∴n ＝20－23m . ∴S ＝(100－m )⎝ ⎛⎭⎪⎫80－20＋23m＝－23(m －5)2＋180503(0≤m ≤30)．∴当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP |∶|PF |＝5∶1.所以当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分有向线段EF 成5∶1时，草坪面积最大．直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．[即时训练] 6.已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，试求y ＋3x ＋2的最大值和最小值．解 如图，作出y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)的图象(曲线段AB )，则y ＋3x ＋2表示定点P (－2，－3)和曲线段AB 上任一点(x ，y )的连线的斜率k ，连接PA ，PB ，则k PA ≤k ≤k PB ．易得A (1,1)，B (－1,5)，所以k PA ＝1－－31－－2＝43，k PB ＝5－－3－1－－2＝8，所以43≤k ≤8，故y ＋3x ＋2的最大值是8，最小值是43. 7．如图，在两条互相垂直的道路l 1，l 2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l 1的垂直距离为4米，到道路l 2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为多少米？解 如图建立平面直角坐标系，设人行道所在直线方程为y －4＝k (x －3)(k <0)，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫3－4k，0，B (0,4－3k )，所以△ABO 的面积S ＝12(4－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－4k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫24－9k －16k ，因为k <0， 所以－9k －16k≥2－9k ⎝⎛⎭⎪⎫－16k＝24，当且仅当－9k ＝－16k ，即k ＝－43时取等号．此时，A (6,0)，B (0,8)，所以人行道的长度为62＋82＝10米．1、在最软入的时候，你会想起谁。
2021版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第九章平面解析几何学案
2021版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第九章平面解析几何学案1. （原创）设m 为常数，则过点A （2，－1），B （2，m ）的直线的倾斜角是 Ｗ. 答案：90°解析：因为过点A （2，－1），B （2，m ）的直线x ＝2垂直于x 轴，故其倾斜角为90°. 2. （必修2P 80练习1改编）若过点M （－2，m ），N （m ，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为 Ｗ.答案：1解析：由1＝4－mm ＋2，得m ＋2＝4－m ，解得m ＝1.3. （原创）若直线l 的斜率k 的变化范畴是[－1，3]，则它的倾斜角的变化范畴是 Ｗ.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：由－1≤k≤3，即－1≤tan α≤3，∴ α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4. （必修2P 80练习6改编）已知两点A （4，0），B （0，3），点C （8，a ）在直线AB 上，则a ＝ Ｗ.答案：－3解析：由k AB ＝k BC 得3－4＝a －38，解得a ＝－3.5. （必修2P 80练习4改编）若直线l 沿x 轴的负方向平移2个单位，再沿y 轴的正方向平移3个单位后，又回到原先的位置，则直线l 的斜率为 Ｗ.答案：－32解析：设直线上任一点为（x ，y ），平移后的点为（x －2，y ＋3），利用斜率公式得直线l 的斜率为－32.1. 直线倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，关于一条与x 轴相交的直线，假如把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转至和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°；直线的倾斜角α的取值范畴是[0，π）Ｗ.2. 直线斜率的定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k 表示，即k ＝tan α.由正切函数的单调性可知，倾斜角不同的直线其斜率也不同.3. 过两点的斜率公式过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线，当x 1≠x 2时，斜率公式为k ＝tan α＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点的顺序无关；当x 1＝x 2时，直线的斜率不存在，现在直线的倾斜角为90°Ｗ.[备课札记], 1 直线的倾斜角和斜率之间的关系), 1) 假如三条直线l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，其中l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋2y ＝0，l 3：x ＋3y ＝0，则α1，α2，α3从小到大的排列顺序为 Ｗ.答案：α1＜α2＜α3解析：由tan α1＝k 1＝1>0，因此α1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.tan α2＝k 2＝－12<0，因此α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α2>α1.tan α3＝k 3＝－13<0，因此α3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α3>α1，而－12<－13，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，因此α3>α2.综上，α1<α2<α3.变式训练已知通过两点A （4，2y ＋1），B （2，－3）的直线的倾斜角为3π4，则y 的值为 Ｗ.答案：－3解析：由2y ＋1－（－3）4－2＝2y ＋42＝y ＋2＝tan 3π4，得y ＋2＝－1，因此y ＝－3., 2 求直线的倾斜角和斜率) , 2) 已知两点A （－1，－5），B （3，－2），直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l 的斜率.解：设直线l 的倾斜角为α，则直线AB 的倾斜角为2α，由题意可知tan 2α＝34，∴ 2tan α1－tan 2α＝34. 整理得3tan 2α＋8tan α－3＝0，解得tan α＝13或tan α＝－3.∵ tan 2α＝34>0，∴ 0°<2α<90°，∴ 0°<α<45°，∴ tan α>0，故直线l 的斜率为13.变式训练如图，已知直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1，l 2的斜率.解：直线l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan 30°＝33. ∵ 直线l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴ 直线l 2的斜率k 2＝tan 120°＝tan （180°－60°）＝－tan 60°＝－ 3. , 3 求直线的倾斜角和斜率的取值范畴) , 3) 已知两点A （－3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线l 与线段AB 有公共点.（1） 求直线l 的斜率k 的取值范畴； （2） 求直线l 的倾斜角α的取值范畴. 解：如图，由题意可知，k PA ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.（1） 要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范畴是（－∞，－1]∪[1，＋∞）.（2） 由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间. 又PB 的倾斜角是45°，PA 的倾斜角是135°， 因此α的取值范畴是[45°，135°]. 变式训练若直线mx ＋y ＋1＝0与连结点A （－3，2），B （2，3）的线段相交，求实数m 的取值范畴.解：直线的斜率为k ＝－m ，且直线通过定点P （0，－1），因为直线PA ，PB 的斜率分别为－1，2，因此斜率k 的取值范畴是（－∞，－1]∪[2，＋∞），即实数m 的取值范畴是（－∞，－2]∪[1，＋∞）.1. 已知A （－1，23），B （0，3a ），C （a ，0）三点共线，则此三点所在直线的倾斜角α的大小是 Ｗ.答案：120°解析：若a ＝0，则点B ，C 重合，不合题意.由A ，B ，C 三点共线得k AB ＝k BC ，即3a －230＋1＝0－3a a －0，解得a ＝1，因此B （0，3）.此三点所在直线的斜率k AB ＝3－230＋1＝－3，即tan α＝－ 3.又0°≤α＜180°，因此α＝120°.2. 直线xcos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的取值范畴是 .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 解析：由直线的方程可知其斜率k ＝－cos α3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.设直线的倾斜角为θ，则tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，且θ∈[0，π），因此θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π. 3. 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x≤3，求yx的最大值和最小值.解：如图，由于点（x ，y ）满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x≤3可知，点P （x ，y ）在线段AB 上移动，同时A ，B 两点的坐标可分别为A （2，4），B （3，2）.由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，因此y x 的最大值为2，最小值为23.4. 已知直线kx ＋y －k ＝0与射线3x －4y ＋5＝0（x≥－1）有交点，求实数k 的取值范畴.解：kx ＋y －k ＝0⇒k （x －1）＋y ＝0，直线过定点（1，0）⇒由题意作图可得：由题意可看出： k∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.（或者由两直线方程联立，消去y 得x ＝4k －53＋4k ≥－1，即4k －14k ＋3≥0⇒k ≥14或k ＜－34）1. 已知x 轴上的点P 与点Q （－3，1）连线所成直线的倾斜角为30°，则点P 的坐标为 Ｗ.答案：（－23，0）解析：设P （x ，0），由题意得k PQ ＝tan 30°＝33，即1－3－x ＝33，解得x ＝－23，故点P 的坐标为（－23，0）.2. 如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则它们的大小关系为 Ｗ.答案：k 1＜k 3＜k 2 解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，因此0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2.3. 已知函数f （x ）＝asin x －bcos x.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为 Ｗ.答案：3π4解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知，函数f （x ）的图象关于直线x ＝π4对称，因此f （0）＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，因此－b ＝a ，因此直线ax －by ＋c ＝0的斜率为a b ＝－1.设直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为α，则tan α＝－1，因为α∈[0，π），因此α＝3π4，即直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为3π4.4. 若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范畴是 Ｗ.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 解析：如图，直线l ：y ＝kx －3过定点P （0，－3）.又A （3，0），因此k PA ＝0－（－3）3－0＝33，因此直线l 的斜率范畴为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，由于直线的倾斜角的取值范畴为[0，π），因此满足条件的直线l 的倾斜角的范畴是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.1. 求斜率要熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标（x 1≠x 2）时，依照该公式可求出通过两点的直线的斜率.当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，现在直线的倾斜角为90°.2. 要正确明白得倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范畴，倾斜角与斜率的关系是k ＝tan α（α≠90°），其中α为倾斜角，因此求倾斜角的取值范畴通常需从斜率的范畴入手，而求斜率的范畴则常需考虑倾斜角的取值范畴，但都需要利用正切函数的性质，借助图象或单位圆数形结合，注意直线倾斜角的范畴是[0，π），而那个区间不是正切函数的单调区间，因此依照斜率求倾斜角的范畴时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情形讨论.由正切函数图象能够看出当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k∈[0，＋∞）；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k∈（－∞，0）.第2课时 直线的方程（对应学生用书（文）123～124页、（理）128～129页）1. （必修2P 82练习1（1）～（4）改编）过点P （－2，0），且斜率为3的直线的方程是 Ｗ.答案：y ＝3x ＋6解析：设所求直线方程为y ＝3x ＋b ，由题意可知3×（－2）＋b ＝0，∴ b ＝6，故y ＝3x ＋6.2. （必修2P 87练习4改编）假如ax ＋by ＋c ＝0表示的直线是y 轴，则系数a ，b ，c 满足条件 Ｗ.答案：a≠0且b ＝c ＝0解析：ax ＋by ＋c ＝0表示的直线是y 轴，即x ＝0，∴ b ＝c ＝0，a ≠0.3. （必修2P 87练习1改编）直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为 Ｗ.答案：－1解析：令x ＝0，得y ＝－4；令y ＝0，得x ＝3. 故直线在两坐标轴上的截距之和为－4＋3＝－1.4. （必修2P 85练习4改编）下列说法中正确的是 Ｗ.（填序号） ① 通过定点P 0（x 0，y 0）的直线都能够用方程y －y 0＝k （x －x 0）表示； ② 通过定点A （0，b ）的直线都能够用方程y ＝kx ＋b 表示；③ 不通过原点的直线都能够用方程x a ＋yb＝1表示；④ 通过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线都能够用方程（y －y 1）（x 2－x 1）＝（x －x 1）（y 2－y 1）表示.答案：④解析：关于①②，斜率有可能不存在，关于③，截距也有可能为0. 5. （必修2P 85练习2（2）（3）改编）若一直线通过点P （1，2），且在y 轴上的截距与直线2x ＋y ＋1＝0在y 轴上的截距相等，则该直线的方程是 Ｗ.答案：3x －y －1＝0解析：直线2x ＋y ＋1＝0在y 轴上的截距为－1，由题意，所求直线过点（0，－1），又所求直线过点P （1，2），故由两点式得直线方程为y ＋12＋1＝x －01－0，即3x －y －1＝0.1. 直线方程的五种形式111222（1） 当x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1Ｗ. （2） 当x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1Ｗ. （3） 当x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0Ｗ. （4） 当x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0Ｗ. （5） 直线的斜率k 与倾斜角α之间的关系如下表：若点P 1，P 2的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），且线段P 1P 2的中点M 的坐标为（x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式., 1 求直线方程), 1) 已知直线l 过点P （5，2），分别求满足下列条件的直线方程. （1） 直线l 在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍；（2） 直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为52.解：（1） 当直线l 过原点时，直线l 的斜率为25，∴ 直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当直线l 只是原点时，设直线方程为x 2a ＋y a ＝1，将x ＝5，y ＝2代入得a ＝92，∴ 直线方程为x ＋2y －9＝0.综上，直线l 的方程为2x －5y ＝0或x ＋2y －9＝0. （2） 明显直线与坐标轴不垂直. ∵ 直线l 通过点P （5，2），且能与坐标轴围成三角形，∴ 可设直线l 的方程为y －2＝k （x －5）（k≠0），则直线在x 轴上的截距为5－2k，在y 轴上的截距为2－5k ，由题意，得12|5－2k |·|2－5k|＝52，即（5k －2）2＝5|k|.当k>0时，原方程可化为（5k －2）2＝5k ，解得k ＝15或k ＝45；当k<0时，原方程可化为（5k －2）2＝－5k ，此方程无实数解；故直线l 的方程为y －2＝15（x －5）或y －2＝45（x －5），即x －5y ＋5＝0或4x －5y －10＝0.变式训练求过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程.解：由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a ＝1，又直线过点（－3，4），从而－3a＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. , 2 含参直线方程问题), 2) 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0 （k∈R ）. （1） 求证：直线l 过定点；（2） 若直线不通过第四象限，求k 的取值范畴；（3） 若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求现在直线l 的方程.（1） 证明：直线l 的方程是k （x ＋2）＋（1－y ）＝0， 令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1， ∴ 不管k 取何值，直线l 总通过定点（－2，1）.（2） 解：由方程知，当k≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不通过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k≥1，解得k>0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k≥0.（3） 解：由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B （0，1＋2k ）.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k>0，解得k>0.∵ S ＝12·OA ·OB ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋2k k ·|1＋2k|＝12·（1＋2k ）2k ＝12·⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×（2×2＋4）＝4，“＝”成立的条件是k>0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴ S min ＝4，现在l ：x －2y ＋4＝0. 变式训练已知直线l 的方程为（m 2－2m －3）x ＋（2m 2＋m －1）y ＋6－2m ＝0. （1） 求实数m 的取值范畴；（2） 若直线l 的斜率不存在，求实数m 的值；（3） 若直线l 在x 轴上的截距为－3，求实数m 的值； （4） 若直线l 的倾斜角是45°，求实数m 的值. 解：（1） 当x ，y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m 2－2m －3＝0，解得m ＝－1或m ＝3；令2m 2＋m －1＝0解得m ＝－1或m ＝12.因此实数m 的取值范畴是（－∞，－1）∪（－1，＋∞）.（2） 由（1）易知，当m ＝12时，方程表示的直线的斜率不存在.（3） 依题意，有2m －6m 2－2m －3＝－3，因此3m 2－4m －15＝0，因此m ＝3或m ＝－53，由（1）知所求m ＝－53.（4） 因为直线l 的倾斜角是45°，因此斜率为1.由－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43或m ＝－1（舍去）.因此当直线l 的倾斜角为45°时，m ＝43., 3 直线方程的综合应用), 3) 为了绿化都市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪（如图），另外△EFA 内部有一文物爱护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图，建立平面直角坐标系，则E （30，0），F （0，20），∴ 线段EF 的方程为x 30＋y20＝1（0≤x≤30）.在线段EF 上取点P （m ，n ），作PQ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ， 设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝PQ·PR＝（100－m ）（80－n ）.又m 30＋n 20＝1（0≤m≤30），∴ n ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 30.∴ S ＝（100－m ）⎝⎛⎭⎪⎫80－20＋23m ＝－23（m －5）2＋18 0503（0≤m≤30）.∴ 当m ＝5时，S 有最大值，∴ 当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且那个顶点距AD 边5 m 时，草坪面积最大.备选变式（教师专享）如图，互相垂直的两条道路l 1，l 2相交于点O ，点P 与l 1，l 2的距离分别为2千米、3千米，过点P 建一条直线道路AB ，与l 1，l 2分别交于A ，B 两点.（1） 当∠BAO＝45°时，试求OA 的长；（2） 若使△AOB 的面积最小，试求OA ，OB 的长.解：以l 1为x 轴，l 2为y 轴，建立平面直角坐标系，则O （0，0），P （3，2）. （1） 由∠BAO＝45°知，OA ＝OB ，可设A （a ，0），B （0，a ）（a ＞0），直线l 的方程为x a ＋ya＝1.∵ 直线l 过点P （3，2），∴ 3a ＋2a＝1⇒a ＝5，即OA ＝5千米. （2） 设A （a ，0），B （0，b ）（a ＞0，b ＞0），则直线l 的方程为x a ＋yb＝1.∵ 直线l 过点P （3，2），∴ 3a ＋2b ＝1，b ＝2aa －3（a ＞3）.从而S △ABO ＝12a ·b ＝12a ·2a a －3＝a 2a －3，令a －3＝t ，t ＞0，则a 2＝（t ＋3）2＝t 2＋6t ＋9，故有S △ABO ＝t 2＋6t ＋9t ＝t ＋9t ＋6（t ＞0）.设f （t ）＝t ＋9t＋6，可证f （t ）在（0，3）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增，∴ 当t ＝3时，f （t ）min ＝f （3）＝12，现在a ＝6，b ＝4，直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即OA ＝6千米，OB ＝4千米.1. 若直线（2m 2＋m －3）x ＋（m 2－m ）y ＝4m －1 在x 轴上的截距为1，则实数m 的值是 Ｗ.答案：2或－12解析：令y ＝0，则（2m 2＋m －3）x ＝4m －1，∴ x ＝4m －12m 2＋m －3＝1，∴ m ＝2或－12.2. 若方程（a 2－a －2）x ＋（a 2＋a －6）y ＋a ＋1＝0表示垂直于y 轴的直线，则a 为 Ｗ.答案：－1解析：因为方程表示垂直于y 轴的直线，因此a 2－a －2＝0且a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.3. 已知直线l 过点M （1，1），且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.当OA ＋OB 取得最小值时，直线l 的方程是 Ｗ.答案：x ＋y －2＝0解析：设A （a ，0），B （0，b ）（a>0，b>0），直线l 的方程为x a ＋yb＝1，已知直线l 过点M （1，1），则OA ＋OB ＝a ＋b ＝（a ＋b ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a＝b ＝2时取等号，现在直线l 的方程为x ＋y －2＝0.4. 已知直线l 过点（0，5），且在两坐标轴上的截距之和为2，则直线l 的方程为 Ｗ.答案：5x －3y ＋15＝0解析：∵ 直线过点（0，5），∴ 直线在y 轴上的截距为5. ∵ 在两坐标轴上的截距之和为2， ∴ 直线在x 轴上的截距为－3.∴ 直线l 的方程为x －3＋y5＝1，即5x －3y ＋15＝0.5. 已知在△ABC 中，A （1，－4），B （6，6），C （－2，0）.求（1） △ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一样式方程和截距式方程； （2） BC 边的中线所在直线的一样式方程和截距式方程. 解：（1） 平行于BC 边的中位线确实是AB ，AC 中点的连线.因为线段AB ，AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，因此这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136－y138＝1.（2） 因为BC 边上的中点为（2，3），因此BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117－y11＝1.1. 若方程（2m 2＋m －3）x ＋（m 2－m ）y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足条件 Ｗ.答案：m≠1解析：2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0.2. 若直线（2t －3）x ＋2y ＋t ＝0不通过第二象限，则t 的取值范畴是 Ｗ.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 解析：直线方程可化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－t x －t 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧32－t≥0，－t2≤0，解得0≤t≤32.3. 不论m 取何值，直线（m －1）x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点 . 答案：（－2，3）解析：把直线方程（m －1）x －y ＋2m ＋1＝0， 整理得（x ＋2）m －（x ＋y －1）＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.4. 已知直线x ＋2y ＝2与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点.若动点P （a ，b ）在线段AB 上，则ab 的最大值为 Ｗ.答案：12解析：由题意知A （2，0），B （0，1），因此线段AB 的方程可表示为x2＋y ＝1，x ∈[0，2].又动点P （a ，b ）在线段AB 上，因此a 2＋b ＝1，a ∈[0，2].又a 2＋b≥2ab 2，因此1≥2ab2，解得0≤ab≤12，当且仅当a 2＝b ＝12，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，ab 取得最大值12. 5. 已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为P （2，3），求过两点Q 1（a 1，b 1），Q 2（a 2，b 2）（a 1≠a 2）的直线方程.解：由题意，知P （2，3）在已知直线上， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＋1＝0，2a 2＋3b 2＋1＝0， ∴ 2（a 1－a 2）＋3（b 1－b 2）＝0，即b 1－b 2a 1－a 2＝－23，∴ 所求直线方程为y －b 1＝－23（x －a 1），∴ 2x ＋3y －（2a 1＋3b 1）＝0，即2x ＋3y ＋1＝0.1. 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或通过原点的直线.故在解题时，若采纳截距式，应注意分类讨论，判定截距是否为零；若采纳点斜式，应先考虑斜率不存在的情形；而选用两点式时不要忽视与坐标轴垂直的情形.2. 解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范畴相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值.[备课札记]第3课时 直线与直线的位置关系（对应学生用书（文）125～126页、（理）130～131页）1. （原创）“a＝3”是“直线ax ＋3y ＝1与直线x ＋y ＝1平行”的 条件. 答案：充要解析：若a ＝3，直线ax ＋3y ＝1与直线x ＋y ＝1明显平行；若直线ax ＋3y ＝1与直线x＋y ＝1平行，由a 1＝ 31 ≠ 11，易得a ＝3.2. （必修2P 93练习6改编）过点P （－1，3）且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为 Ｗ.答案：2x ＋y －1＝0解析：设直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，又直线过点P （－1，3），则－2＋3＋c ＝0，c ＝－1，即所求直线方程为2x ＋y －1＝0.3. （必修2P 95练习3改编）若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k ＝ Ｗ.答案：－12解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2， ∴ 点（－1，－2）在x ＋ky ＝0上，即－1－2k ＝0，∴ k ＝－12.4.（必修2P 105练习1改编）已知点（a ，2）（a ＞0）到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a .1解析：由题意知|a －2＋3|2＝1，∴ |a ＋1|＝ 2.又∵ a＞0，∴ a ＝2－1.5. （必修2P 106习题10改编）与直线7x ＋24y ＝5平行，同时距离等于3的直线方程是 Ｗ.答案：7x ＋24y ＋70＝0或7x ＋24y －80＝0解析：设直线方程为7x ＋24y ＋c ＝0，则d ＝|c ＋5|242＋72＝3，∴ c ＝70或－80.1. 两条直线的位置关系设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线的交点坐标确实是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解.若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解确实是交点坐标Ｗ.若方程组无解，则两条直线无公共点，现在两条直线平行；反之，亦成立.若方程组有许多组解，则两条直线重合Ｗ.3. 几种距离（1） 两点间的距离： 平面上的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）间的距离公式：d （A ，B ）＝AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. （2） 点到直线的距离：点P （x 1，y 1）到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 1＋By 1＋C|A 2＋B2. （3） 两条平行线间的距离：两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.4. 常见的三大直线系方程（1） 与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0（m∈R 且m≠C）. （2） 与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0（m∈R ）.（3） 过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ∈R ），但不包括l 2.5. 中心对称（1） 点关于点对称：若点M （x 1，y 1）与N （x ，y ）关于P （a ，b ）对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解.（2） 直线关于点对称问题的要紧解法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l 1∥l 2，由点斜式得到所求的直线方程.6. 轴对称（1） 点关于直线的对称若两点P 1（x 1，y 1）与P 2（x 2，y 2）关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上，且连结P 1P 2的直线垂直于对称轴l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，A （y 1－y 2）＝B （x 1－x 2），可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标（x 2，y 2）（其中A≠0，x 1≠x 2）.专门地，若直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0满足|A|＝|B|，则P 1（x 1，y 1）与P 2（x 2，y 2）坐标关系为⎩⎪⎨⎪⎧Ax 1＋By 2＋C ＝0，Ax 2＋By 1＋C ＝0.（2） 直线关于直线的对称此类问题一样转化为点关于直线的对称来解决，有两种情形：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.[备课札记], 1 两直线的平行与垂直), 1) 已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：（a －1）x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：（1） l 1⊥l 2，且直线l 1过点（－3，－1）；（2） l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解：（1） ∵ l 1⊥l 2，∴ a （a －1）－b ＝0. ∵ 直线l 1过点（－3，－1），∴ －3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2. （2） ∵ 直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴ 直线l 1的斜率存在.∴ k 1＝k 2，即ab＝1－a.∵ 坐标原点到这两条直线的距离相等，∴ l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b.故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.变式训练已知直线l 1通过点A （3，a ），B （a －1，2），直线l 2通过点C （1，2），D （－2，a ＋2），分别在下列条件下求a 的值：（1） l 1∥l 2； （2） l 1⊥l 2.解：设直线l 2的斜率为k 2，则k 2＝2－（a ＋2）1－（－2）＝－a3.（1） 若l 1∥l 2，则直线l 1的斜率k 1＝－a3.又k 1＝2－a a －4，则2－a a －4＝－a 3，解得a ＝1或a ＝6.经检验，当a ＝1或a ＝6时，l 1∥l 2. （2） 若l 1⊥l 2.① 当k 2＝0时，现在a ＝0，k 1＝－12，不符合题意.② 当k 2≠0时，直线l 2的斜率存在，现在k 1＝2－aa －4.由k 2k 1＝－1，得－a 3·2－aa －4＝－1，解得a ＝3或a ＝－4.经检验，当a ＝3或a ＝－4时，l 1⊥l 2. , 2 两直线的交点) , 2) 已知△ABC 的顶点B （3，4），AB 边上的高CE 所在直线方程为2x ＋3y －16＝0，BC 边上的中线AD 所在直线方程为2x －3y ＋1＝0，求AC 的长.解：∵ k CE ＝ －23，AB ⊥CE ，∴ k AB ＝32， ∴ 直线AB 的方程为3x －2y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y －1＝0，2x －3y ＋1＝0，解得A （1，1）， 设C （a ，b ）， 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋a 2，4＋b 2，∵ C 点在CE 上，BC 的中点D 在AD 上， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3b －16＝0，2·3＋a 2－3·4＋b2＋1＝0，得C （5，2）， 由两点间距离公式得AC 的长为17. 变式训练已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程.解：依题意知：k AC ＝－2，A （5，1），∴ l AC ：2x ＋y －11＝0.联立l AC ，l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴ C （4，3）.设B （x 0，y 0），则AB 的中点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴ B （－1，－3）， ∴ k BC ＝65，∴ 直线BC 的方程为y －3＝65（x －4），即6x －5y －9＝0., 3 点到直线及两平行直线之间的距离) , 3) 已知点P （2，－1）.（1） 求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；（2） 求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？（3） 是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.解：（1） 过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为（2，－1）， 可见，过P （2，－1）且垂直于x 轴的直线满足条件. 现在l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k （x －2）， 即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34. 现在l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.（2） 过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与OP 垂直的直线，由l⊥OP，得k l k OP ＝－1，因此k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2（x －2）， 即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.（3） 不存在.理由：由（2）可知，过P 点不存在到原点距离大于5的直线，因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线.备选变式（教师专享）已知直线l 通过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点. （1） 若点A （5，0）到l 的距离为3，求直线l 的方程； （2） 求点A （5，0）到直线l 的距离的最大值. 解：（1） 由直线l 通过直线l 1与l 2交点知，其直线系方程为（2x ＋y －5）＋λ（x －2y ）＝0，即（2＋λ）x ＋（1－2λ）y －5＝0.∵ 点A （5，0）到直线l 的距离为3，∴ |10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3， 即2λ2－5λ＋2＝0，∴ λ＝2或λ＝12，∴ 直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.（2） 设直线l 1与l 2的交为P ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得P （2，1），如图，过点P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d≤PA（当l⊥PA 时等号成立）.∴ d max ＝PA ＝（5－2）2＋（0－1）2＝10., 4 对称问题), 4) 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A （－1，－2）.求： （1） 点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；（2） 直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程； （3） 直线l 关于点A （－1，－2）对称的直线l′的方程. 解：（1） 设A′（x ，y ），由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴ A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. （2） 在直线m 上任取一点，如M （2，0），则M （2，0）关于直线l 的对称点必在m′上.设对称点为M′（a ，b ），则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，解得N （4，3）.∵ m ′通过点N （4，3），∴ 由两点式得直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0.（3） 设P （x ，y ）为l′上任意一点，则P （x ，y ）关于点A （－1，－2）的对称点为P′（－2－x ，－4－y ）.∵ P ′在直线l 上，∴ 2（－2－x ）－3（－4－y ）＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 备选变式（教师专享） 光线通过点A （2，3），在直线l ：x ＋y ＋1＝0上反射，反射光线通过点B （1，1），试求入射光线和反射光线所在直线的方程.解：设点A （2，3）关于直线l 的对称点为A′（x 0，y 0），则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 02＋3＋y 02＋1＝0，y 0－3x 0－2＝1，解得A′（－4，－3）.由于反射光线通过点A′（－4，－3）和B （1，1），因此反射光线所在直线的方程为y －1－3－1＝x －1－4－1，即4x －5y ＋1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －5y ＋1＝0，x ＋y ＋1＝0，得反射点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13.因此入射光线所在直线的方程为y －3－13－3＝x －2－23－2，即5x －4y ＋2＝0.1. （2021·上海卷文）已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1，l 2.解析：利用两平行线间距离公式得d ＝|－1－1|22＋12＝255. 2. 将一张坐标纸折叠一次，使点（0，2）与点（4，0）重合，且点（7，3）与点（m ，n ）重合，则m ＋n 的值是 Ｗ.答案：345解析：点（0，2）与点（4，0）关于y －1＝2（x －2）对称，则点（7，3）与点（m ，n ）也关于y －1＝2（x －2）对称，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＋32－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋72－2，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315.∴ m ＋n ＝345. 3. 已知l 1，l 2是分别通过A （1，1），B （0，－1）两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是 .答案：x ＋2y －3＝0解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大.因为A （1，1），B （0，－1），因此k AB ＝－1－10－1＝2，因此两平行直线的斜率为k ＝－12，因此直线l 1的方程是y －1＝－12（x－1），即x ＋2y －3＝0.4. 在平面直角坐标系中，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，－1）的距离之和最小的点的坐标是 Ｗ.答案：（2，4） 解析：设P 为平面上一点，则由三角形两边之和大于第三边知PA ＋PC≥AC，PB ＋PD≥BD，因此四边形ABCD 对角线的交点到四点距离之和最小，直线AC 的方程为y －2＝2（x －1），直线BD 的方程为y －5＝－（x －1），由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝2（x －1），y －5＝－（x －1），得交点坐标为（2，4）.5. △ABC 的两条高所在直线的方程分别为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A 的坐标为（1，2），求BC 边所在直线的方程.解：能够判定A 不在所给的两条高所在的直线上，则可设AB ，AC 边上的高所在直线的方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，则可求得AB ，AC 边所在直线的方程分别为y －2＝－32（x －1），y －2＝x －1，即3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0，x ＋y ＝0，得B （7，－7）， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x －3y ＋1＝0，得C （－2，－1）， 因此BC 边所在直线的方程为2x ＋3y ＋7＝0.1. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：（2k －1）x ＋ky ＋1＝0，则当实数k 变化时，原点O 到直线l 的距离的最大值为 Ｗ.答案： 5解析：直线l 过定点P （1，－2），原点O 到直线l 的距离的最大值即为OP ＝12＋（－2）2＝ 5.2. 若过点P （1，2）作一直线l ，使点M （2，3）和点N （4，－1）到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为 Ｗ.答案：2x ＋y －4＝0或x ＋2y －5＝0解析：当直线l 通过MN 的中点时，其方程为x ＋2y －5＝0；当过M ，N 两点的直线平行于直线l 时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0.3. 已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范畴是 Ｗ.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.（若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行）∴ 交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1.∵ 交点位于第一象限，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.∴ 实数k 的取值范畴是⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12. 4. 已知直线l 1：2x －y －2＝0和直线l 2：x ＋2y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的斜率为 Ｗ.答案：－3或13解析：（解法1）在直线l 上任取一点P （x ，y ），点P 到直线l 1和直线l 2的距离相等.|2x －y －2|22＋（－1）2＝|x ＋2y －1|12＋22，整理得，直线l 的方程为3x ＋y －3＝0或x －3y －1＝0，因此直线l 的斜率为－3或13.（解法2）设l 1的倾斜角为α.因为l 1⊥l 2，因此l 的倾斜角为α±π4，因此直线l 的斜率为tan ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 因为tan α＝2，因此tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝－3，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝13， 因此直线l 的斜率为－3或13.1. 在两条直线的位置关系中，讨论最多的依旧平行与垂直，它们是两条直线的专门位置关系.解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题.判定两直线平行与垂直时，不要不记得考虑斜率不存在的情形，利用一样式则可幸免分类讨论.2. 运用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2求两平行直线间的距离时，一定要把x ，y 项系数化为相等的系数.3. 对称思想是高考热点，要紧分为中心对称和轴对称两种，关键要把握对称问题的本质，必要情形下可与函数的对称轴建立联系.[备课札记]第4课时 圆 的 方 程（对应学生用书（文）127～128页、（理）132～133页）1. （必修2P 111练习4改编）圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是 Ｗ. 答案：（2，－3）解析：由（x －2）2＋（y ＋3）2＝13知，圆心坐标为（2，－3）. 2. （必修2P 111习题7改编）已知圆C 通过A （5，1），B （1，3）两点，圆心在x 轴上，则圆C 的标准方程为 Ｗ.答案：（x －2）2＋y 2＝10解析：设圆心坐标为（a ，0），易知（a －5）2＋（－1）2＝（a －1）2＋（－3）2，解得a ＝2，∴ 圆心为（2，0），半径为10，∴ 圆C 的标准方程为（x －2）2＋y 2＝10.3. （必修2P 111练习6改编）通过三点A （1，－1），B （1，4），C （4，－2）的圆的一样方程为 Ｗ.答案：x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0解析：设圆的一样方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将A ，B ，C 三点代入，整理得方程组⎩⎪⎨⎪⎧D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－7，E ＝－3，F ＝2，∴ 所求圆的一样方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.4. 已知点P （1，1）在圆x 2＋y 2－ax ＋2ay －4＝0的内部，则a 的取值范畴是 Ｗ. 答案：（－∞，2）解析：由圆的一样方程知a∈R ，因为点P 在圆内，因此1＋1－a ＋2a －4<0，解得a<2.5. （原创）已知实数x ，y 满足x 2＋（y ＋3）2＝4，则（x －3）2＋（y －1）2的最大值为 Ｗ.答案：49解析：（x －3）2＋（y －1）2表示圆x 2＋（y ＋3）2＝4上一动点P （x ，y ）到点（3，1）的距离d 的平方，因为圆心（0，－3）到点（3，1）的距离为5，因此d 的最大值为5＋2＝7，因此d 2的最大值为49.1. 圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.确定一个圆最差不多的要素是圆心和半径Ｗ.2. 圆的标准方程（1） 以（a ，b ）为圆心，r （r>0）为半径的圆的标准方程为（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2Ｗ.（2） 专门的，x 2＋y 2＝r 2（r>0）的圆心为（0，0），半径为r Ｗ. 3. 圆的一样方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4. （1） 当D 2＋E 2－4F>0时，该方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E22（2） 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2；（3） 当D 2＋E 2－4F ＜0时，该方程不表示任何图形.4. 点与圆的位置关系点M （x 0，y 0）与圆（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2的位置关系：（1） 若M （x 0，y 0）在圆外，则（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2>r 2Ｗ.（2） 若M （x 0，y 0）在圆上，则（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2＝r 2Ｗ.（3） 若M （x 0，y 0）在圆内，则（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2<r 2Ｗ. [备课札记]1 确定圆的方程) 1) 求通过点A （－2，－4），且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B （8，6）的圆的方程.解：（解法1）设圆心为C ，所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，∴ k CB ＝6＋E 28＋D 2.∵ 圆C 与直线l 相切，∴ k CB ·k l ＝－1，即6＋E 28＋D 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1 ①.又有（－2）2＋（－4）2－2D －4E ＋F ＝0 ②，又82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0 ③.联立①②③，可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30，∴ 所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0. （解法2）设圆的圆心为C ，则CB⊥l， 可得CB 所在直线的方程为y －6＝3（x －8），即3x －y －18＝0 ①. 由A （－2，－4），B （8，6），得AB 的中点坐标为（3，1）.又k AB ＝6＋48＋2＝1，∴ AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－（x －3）， 即x ＋y －4＝0 ②.由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112，y ＝－32.即圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫112，－32.∴ 所求圆的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫112－82＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－62＝1252， ∴ 所求圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1252.变式训练圆通过点A （2，－3）和B （－2，－5）. （1） 若圆的面积最小，求圆的方程；（2） 若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程. 解：（1） 要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径，圆心C （0，－4），半径r ＝12AB ＝5，因此所求圆的方程为x 2＋（y ＋4）2＝5.（2） 因为k AB ＝12，AB 中点为（0，－4），因此AB 中垂线方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.因此圆心为（－1，－2）.依照两点间的距离公式，得半径r ＝10，因此，所求的圆的方程为（x ＋1）2＋（y ＋2）2＝10.备选变式（教师专享） 已知一圆的圆心在原点，且圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分，求圆的方程. 解：如图，因为圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分，因此∠AOB＝120°，而圆心O （0，0）到直线3x ＋4y ＋15＝0的距离d ＝1532＋42＝3，在△AOB 中，可求得OA ＝6，因此所求圆的方程为x 2＋y 2＝36., 2 与参数有关的圆方程问题), 2) 已知圆C 的方程x 2＋y 2－2ax ＋2y ＋a ＋1＝0.（1） 若圆C 上任意点A 关于l ：x ＋2y －5＝0的对称点也在圆上，求实数a 的值；（2） 求圆心C 到直线ax ＋y －a 2＝0的距离的取值范畴.解：（1） 将圆C 的方程配方得（x －a ）2＋（y ＋1）2＝a 2－a.由题意知圆心C （a ，－1）在直线l ：x ＋2y －5＝0上，即a －2－5＝0，因此a ＝7.（2） 由圆方程可知， a 2－a ＞0，解得a ＞1或a ＜0.由方程得圆心C （a ，－1）到直线ax ＋y －a 2＝0的距离d ＝|a 2－1－a 2|a 2＋1＝1a 2＋1.因为a ＞1或a ＜0，因此a 2＋1＞1，因此0＜d ＜1，因此所求距离的取值范畴为（0，1）.变式训练已知圆C ：（x －a ）2＋（y －b ）2＝1，设平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为 Ｗ. 答案：37解析：作出可行域，如图，由题意知，圆心为C （a ，b ），半径r ＝1，且圆C 与x 轴相切，因此b ＝1.而直线y ＝1与可行域边界的交点为A （6，1），B （－2，1），目标函数z ＝a 2＋b 2表示点C 到原点距离的平方，因此当点C 与点A 重合时，z 取到最大值，z max ＝37.备选变式（教师专享）设△ABC 顶点坐标为A （0，a ），B （－3a ，0），C （3a ，0），其中a>0，圆M 为△ABC 的外接圆.（1） 求圆M 的方程；（2） 当a 变化时，圆M 是否过某一定点，请说明理由.解：（1） 设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵ 圆M 过点A （0，a ），B （－3a ，0），C （3a ，0）∴ ⎩⎨⎧a 2＋aE ＋F ＝0，3a －3aD ＋F ＝0，3a ＋3aD ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝3－a ，F ＝－3a ，∴ 圆M 的方程为x 2＋y 2＋（3－a ）y －3a ＝0.（2） 圆M 的方程可化为（3＋y ）a －（x 2＋y 2＋3y ）＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧3＋y ＝0，x 2＋y 2＋3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3. ∴ 圆M 过定点（0，－3）., 3 圆方程的应用), 3) 如图，某市有一条东西走向的公路l ，现欲通过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发觉在O 处的正北1百米的A 处有一汉代古迹.为了爱护古迹，该市决定以A 为圆心，1百米为半径设立一个圆形爱护区.为了连通公路l ，m ，欲再新建一条公路PQ ，点P ，Q 分别在公路l ，m 上（点P ，Q 分别在点O 的正东，正北方向上），且要求PQ 与圆A 相切.（1） 当点P 距O 处2百米时，求OQ 的长； （2） 当公路PQ 长最短时，求OQ 的长.。
2021高考文科数学一轮总复习课标通用版课件：第9章 平面解析几何 9-7
点 O，F 的圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆的面积为 36π，则抛物线的方程为________．
解析：(1)设 M(x，y)，因为|OF|＝p2，|MF|＝4|OF|， 所以|MF|＝2p，由抛物线定义知 x＋p2＝2p， 所以 x＝32p，所以 y＝± 3p， 又△MFO 的面积为 4 3， 所以12×p2× 3p＝4 3，解得 p＝4(p＝－4 舍去)． 所以抛物线的方程为 y2＝8x.
【例 2.1】 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2＝ax(a≠0)的焦点 F，且和 y 轴交于点 A，
若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4，则该抛物线的方程为( )
A．y2＝±4x
B．y2＝±8x
C．y2＝4x
D．y2＝8x
【解析】 抛物线 y2＝ax(a≠0)的焦点 F 的坐标为a4，0，则直线 l 的方程为 y＝
[强化训练 3.1] (1)已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线 于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.
①该抛物线的方程为________；
②O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若O→C＝O→A＋λO→B，则 λ 的值为________．
因此最小值为 F(1，0)到直线 l1：4x－3y＋6＝0 的距离， 即 dmin＝ 4|24＋－（0＋－63|）2＝2.故选 A.
答案：A
图3
[强化训练 1.2] F 是抛物线 y2＝2x 的焦点，A，B 是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6， 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为________．
(3)设 AB 的中点为 M，点 M 到准线的距离为 d， 则 d＝|AA1|＋2 |BB1|＝|AF|＋2 |BF|＝|A2B|， ∴以 AB 为直径的圆与准线相切． (4)当直线 AB 的斜率不存在时， |A1F|＋|B1F|＝|A1A1|＋|B1B1|＝x1＋1 p2＋x2＋1 p2＝1p＋1p＝2p； 当直线 AB 的斜率存在时， ∵x1＋x2＝yk1＋p2＋yk2＋p2＝y1＋k y2＋p＝2kp2 ＋p，x1x2＝p42，
高考数学(文)(北师大版)大一轮复习讲义第九章 平面解析几何第九章 9.8 第1课时
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案 C解析 结合图形(图略)分析可知， 满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)． 2．(2016·青岛模拟)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．3．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 答案 C解析 双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝⎛⎭⎫－23，23. 4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________. 答案 16解析 直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝14，所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.5．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________． 答案 4解析 由题意可设直线l 的方程为y ＝m ， 代入x 24－y 2＝1得x 2＝4(1＋m 2)，所以x 1＝4(1＋m 2)＝21＋m 2，x 2＝－21＋m 2，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2， 所以|AB |＝41＋m 2≥4，即当m ＝0时，|AB |有最小值4.第1课时 直线与圆锥曲线题型一 直线与圆锥曲线的位置关系例1 (2016·烟台模拟)已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．思维升华 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． 解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t22p ，t ， 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝pt x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．题型二 弦长问题例2 (2016·全国甲卷)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积． (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.(1)解 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0，由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 又A (－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明 将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入 x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0， 由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2，得x 1＝2(3－4k 2)3＋4k2， 故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k 23＋4k2. 由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k1＋k 23k 2＋4. 由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k 3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0， 设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点，f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)单调递增，又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2.思维升华 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程． 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]，即43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2，所以E 的离心率e ＝ca＝a 2－b 2a ＝22. (2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知 x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c3. 由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.题型三 中点弦问题命题点1 利用中点弦确定直线或曲线方程例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．答案 (1)D (2)x ＋2y －8＝0解析 (1)因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D. (2)设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2).又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.命题点2 由中点弦解决对称问题例4 (2015·浙江)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)． 解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2bmx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，①将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，② 由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12.且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1. 设△AOB 的面积为S (t )， 所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22. 当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22. 思维升华 处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A ，B 关于直线l 对称，则l 垂直直线AB 且A ，B 的中点在直线l 上的应用．已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________． 答案 0或－8解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1，①x 22－y 223＝1， ②x 1＋x 2＝2x 0， ③y 1＋y 2＝2y 0， ④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2.∴y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3，∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称， ∴k MN ＝－1， ∴y 0＝－3x 0.又∵y 0＝x 0＋m ，∴P ⎝⎛⎭⎫－m 4，3m 4， 代入抛物线方程得916m 2＝18·⎝⎛⎭⎫－m 4， 解得m ＝0或－8，经检验都符合．1．(2016·泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)答案 B解析 要使直线与双曲线恒有两个公共点， 则渐近线的斜率的绝对值应大于3，所以|b a |>3，所以e ＝ 1＋b 2a2>2， 即e ∈(2，＋∞)，故选B.2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( ) A.74 B ．2 C.94D ．4 答案 C解析 易知直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点(14，0)，∴|AB |为焦点弦． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点N (x 1＋x 22，y 1＋y 22)， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，∴x 1＋x 22＝74. ∴AB 中点到直线x ＋12＝0的距离为74＋12＝94. 3．(2016·青岛模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)与直线ax ＋y －4＝0相交于A ，B 两点，其中A 点的坐标是(1,2)．如果抛物线的焦点为F ，那么|F A |＋|FB |等于( )A ．5B ．6C ．3 5D ．7答案 D解析 把点A 的坐标(1,2)分别代入抛物线y 2＝2px 与直线方程ax ＋y －4＝0，得p ＝2，a ＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，2x ＋y －4＝0消去y ，得x 2－5x ＋4＝0， 则x A ＋x B ＝5.由抛物线定义得|F A |＋|FB |＝x A ＋x B ＋p ＝7，故选D.4．(2017·天津质检)直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0答案 A解析 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行， 所以它与双曲线只有1个交点，故选A.5．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5 C.52D. 5 答案 D解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b ax ， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝x 2＋1消去y ，得x 2－b ax ＋1＝0有唯一解， 所以Δ＝(b a )2－4＝0，b a＝2， e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝ 1＋(b a )2＝ 5. 6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在答案 D解析 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1，设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则A ，B 到直线x ＝－1的距离之和为x 1＋x 2＋2.设直线方程为x ＝my ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，则y 2＝4(my ＋1)，即y 2－4my －4＝0，∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2.∴x 1＋x 2＋2＝4m 2＋4≥4.∴A ，B 到直线x ＝－2的距离之和为x 1＋x 2＋2＋2≥6>5.∴满足题意的直线不存在．7．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若使得|AB |＝λ的直线l 恰有三条，则λ＝________.答案 4解析 ∵使得|AB |＝λ的直线l 恰有三条．∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直．此时A ，B 的横坐标为3，代入双曲线方程，可得y ＝±2，故|AB |＝4.∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，∴过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，综上可知，|AB |＝4时，有三条直线满足题意．∴λ＝4.8．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________． 答案 6解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，那么|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，又|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤6，当AB 过焦点F 时取得最大值6.9．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________． 答案 3x ＋4y －13＝0解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1， 两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0. 又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34. ∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)． 即3x ＋4y －13＝0.10．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C 交于A ，B 两点，记直线F A ，FB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2＝________.答案 0解析 由y 2＝4x ，得抛物线焦点F (1,0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4－2k 2k 2，x 1x 2＝1. k 1＋k 2＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1＝k (x 1＋1)(x 2－1)＋k (x 2＋1)(x 1－1)(x 1－1)(x 2－1)＝2k (x 1x 2－1)(x 1－1)(x 2－1)＝2k (1－1)(x 1－1)(x 2－1)＝0. 11．(2016·郑州模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心．(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6，圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝⎝⎛⎭⎫222⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4. 所以所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1. (2)由(1)得到椭圆的左，右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2(2,0)，|F 2C |＝(2－2)2＋(0＋2)2＝2< 6.所以F 2在C 内，故过F 2没有圆C 的切线，设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.点C (2，－2)到直线l 的距离d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k2， 由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k 2＝ 6. 解得k ＝25或k ＝－2， 故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.12．(2015·课标全国Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．(1)解 由题意得a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1， 解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)证明 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b代入x 28＋y 24＝1，得 (2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b 2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k， 即k OM ·k ＝－12. 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．13.(2016·广州联考)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．解 (1)设点M (x ，y )，∵QP →＝PM →，∴P 为QM 的中点，又PQ ⊥y 轴，∴P (x 2，y )． ∵点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的点，∴(x 2)2＋y 2＝1， 即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知直线l 不与y 轴垂直， 故可设l ：x ＝ty ＋m ，t ∈R ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切， ∴|m |t 2＋1＝1，即m 2＝t 2＋1.① 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m ，消去x ， 得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0.其中Δ＝(2mt )2－4(t 2＋4)(m 2－4)＝16(t 2－m 2)＋64＝48>0.∴y 1＋y 2＝－2mtt 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.② ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝[t (y 1－y 2)]2＋(y 1－y 2)2 ＝t 2＋1(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.将①②代入上式得|AB |＝t 2＋1 4m 2t 2(t 2＋4)2－4(m 2－4)t 2＋4 ＝43|m |m 2＋3，|m |≥1， ∴S △AOB ＝12|AB |·1 ＝12×43|m |m 2＋3＝23|m |＋3|m |≤2323＝1， 当且仅当|m |＝3|m |，即m ＝±3时，等号成立． ∴(S △AOB )max ＝1.。
高考数学总复习课件第9章 平面解析几何
(0≤θ<2π)因为 P(m，n)在圆上，又因为 m＋n＋c≥0 恒成立，
北 师
所以 cosθ＋1＋sinθ＋c≥0 恒成立，
大 版
即 c≥－(sinθ＋cosθ)－1 恒成立，
而－(sinθ＋cosθ)的最大值为 2，
所以 c≥ 2－1.
第9章 教师备课平台
高考数学总复习
[例 2] 已知 x，y 满足1x62 ＋2y52 ＝1，求 y－3x 的最大值与最
师 大
版
[分析] 由圆上任意一点都使不等式成立，可知圆在不等式
确定的区域，由此找出关系求解．
[答案] D
第9章 教师备课平台
高考数学总复习
[解析] 方法 1：点 P(m，n)在已知圆 x2＋(y－1)2＝1 上，
且使 m＋n＋c≥0 恒成立，即说明圆在不等式 x＋y＋c≥0 表示 北
的区域中．
师 大
(2)当 2－k2≠0，即 k≠± 2时，Δ＝[2(k2－2k)]2－4(2－k2)·(－ k2＋4k－6)＝16(3－2k)．
①当 Δ＝0，即 3－2k＝0，k＝23时，方程(*)有一个实根，l 与
北 师
大
C 有一个公共点．
版
②当 Δ>0，即 k<32时，又 k≠± 2，故当 k<－ 2或－ 2<k< 2
的直线 l 的斜率的取值范围，使 l 与 C 分别有一个公共点，两
个公共点，没有公共点．
北 师
大
[分析] 首先按直线斜率是否存在分两种情况，然后当直线 版
斜率存在时，设出直线的点斜式方程，联立直线与双曲线的方
程，按 Δ>0，Δ＝0 和 Δ<0 三种情况分别讨论．
第9章 教师备课平台
高三数学一轮复习课件：第九章 平面解析几何 9-1
九
平面解析几何
章
第一节
直线方程
高考概览 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几 何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线 斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方 程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函 数的关系.
吃透教材 夯双基
[答案] D
4．已知直线 l 经过点 P(－2,5)，且斜率为－34，则直线 l 的方 程为( )
A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0 C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0 [解析] 由 y－5＝－34(x＋2)，得：3x＋4y－14＝0，故选 A. [答案] A
5．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在 x 轴上的截距为( )
(2)直线 PA 的斜率为 kPA＝12－ －01＝1，直线 PB 的斜率为 kPB＝ 03－－10＝－ 3，故过 P 点的直线 l 与线段 AB 有交点的斜率的取值 范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)．
[答案] (1)π＋α (2)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)
直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单 调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，π2与2π，π两 种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当 α∈0，2π时，斜率 k ∈[0，＋∞)；当 α＝2π时，斜率不存在；当 α∈2π，π时，斜率 k ∈(－∞，0)．
(2)
求出直线PA、 PB的斜率
→
结合图形写 出取值范围
[解析] (1)直线 xsinα－y＋1＝0 的斜率是 k＝sinα， 又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1. 当 0≤k≤1 时，倾斜角的范围是0，4π，
书稿：高考数学一轮复习教案word文档(文)第九章平面解析几何
综上可知，所求直线的方程为 x＝ 1 或 3x＋ 4y＋1＝ 0. 探究提高 在求直线方程时， 应先选择适当的直线方程的形式， 并注意各种形式的适用 条件． 用斜截式及点斜式时， 直线的斜率必须存在， 而两点式不能表示与坐标轴垂直的 直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式， 应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
综上可知，直线 l 的方程为 2x－ 3y＝ 0 或 x＋ y－ 5＝0. 方法二 由题意，所求直线的斜率 k 存在且 k≠0，
设直线方程为 y－2＝ k(x－ 3)，
2 令 y＝ 0，得 x＝ 3－ k，令 x＝0，得 y＝2－ 3k，
2
2
由已知 3－ k＝ 2－ 3k，解得 k＝－ 1 或 k＝ 3，
1． 直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角 ①定义：当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准， x 轴正向与直线 l 向上方向之
间所成的角 α叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为
0°. ②倾斜角的范围为 [0 °，180°)．
(2)直线的斜率 ①定义：一条直线的倾斜角 α的正切值叫做这条直线的斜率， 斜率常用小写字母 k表示，
出当 α∈ 0，π2 时，斜率
k∈ [0，＋ ∞ )；当 α＝ π时，斜率不存在；当 2
α∈ π， π时，斜 2
率 k∈ (－ ∞， 0)．
已知线段 PQ 两端点的坐标分别为 P(－ 1,1)和 Q(2,2) ，若直线 l ：x＋my＋m ＝ 0 与线段 PQ 有交点，求实数 m 的取值范围． 解 如图所示，直线 l ： x＋ my＋ m＝ 0 过定点 A(0，－ 1)，
人教新课标高考数学(文)大一轮复习课件第九章 平面解析几何 9.3ppt版本
由 2a-b-5＝a＋2b-5，得 a＝3b，①
由 2a-b-5＝-(2a＋b-5)，得 a＝52.
将
a＝52代入①式，得
b＝56.所以
r＝5＋56-5＝ 5
5 6.
故所求圆的方程为x-522＋y-562＝356.故填x-522＋y-562＝356.
【点拨】设出圆的圆心坐标后，利用三角形内切 圆的性质和点到直线的距离公式得到关于圆心坐标的 方程组，解此方程组得圆心坐标后再求圆的半径长．求 解过程中需要注意：内切圆的圆心总在三角形的内部， 因此需要应用线性规划的有关知识判断绝对值中代数 式的符号，否则会求出多解(其他的解是三个旁切圆的 圆心)．
选 C.
(2014·陕西)若圆 C 的半径为 1，其圆心与点(1， 0) 关 于 直 线 y ＝ x 对 称 ， 则 圆 C 的 标 准 方 程 为 ____________．
解：因为点(1，0)关于直线 y＝x 的对称点为(0，1)， 所以圆心为(0，1)．所以圆 C 的标准方程为 x2＋(y-1)2＝1. 故填 x2＋(y-1)2＝1.
F＝-8， F＝0.
故所求圆的方程为 x2＋y2-2x-4y-8＝0，或 x2＋y2-6x-8y＝0. (2)设圆心 M(x0，-4x0)，则 kMP＝-k1l＝1，即43x-0x-02＝1，
解得 x0＝1，即圆心坐标为(1，-4)，半径 r＝2 2，故圆的方程为(x-1)2＋(y＋4)2＝8.
设 P(x，y)为所求圆上任意一点，因为 PP1⊥PP2， 所以 kPP1·kPP2＝-1，即xy--49·yx--36＝-1， 得 x2＋y2-10x-12y＋51＝0， 其标准形式(x-5)2＋(y-6)2＝10 即为所求方程． 分别计算点 M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)与圆心 C(5，6)的距离，得|CM| ＝ 10，|CN|＝ 13＞ 10，|CQ|＝3＜ 10. 因此，点 M 在圆上，点 N 在圆外，点 Q 在圆内．
2021年广东省新高考数学总复习第九章《平面解析几何》9.5椭圆第1课时
2021年广东省新高考数学总复习第九章《平面解析几何》
§9.5椭圆
最新考纲
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a<c，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
概念方法微思考。