大学数学建模(东华理工大学)
东华理工大学数学建模选拔赛2010试题B
各参赛队于5月4日上午8点前完成论文并将打印稿交到国防科技大楼1101室，同时将电子文档（含附件）压缩后以“队伍成员姓名（如：张三李四王五）”命名发送到mathmodel2010ecit@，完成比赛。
B题温室中的绿色生态臭氧病虫害防治2009年12月，哥本哈根国际气候大会在丹麦举行之后，温室效应再次成为国际社会的热点。
如何有效地利用温室效应来造福人类，减少其对人类的负面影响成为全社会的聚焦点。
臭氧对植物生长具有保护与破坏双重影响，其中臭氧浓度与作用时间是关键因素，臭氧在温室中的利用属于摸索探究阶段。
假设农药锐劲特的价格为10万元/吨，锐劲特使用量10mg/kg-1水稻；肥料100元/亩；水稻种子的购买价格为5.60元/公斤，每亩土地需要水稻种子为2公斤；水稻自然产量为800公斤/亩，水稻生长自然周期为5个月；水稻出售价格为2.28元/公斤。
根据背景材料和数据，回答以下问题：（1）在自然条件下，建立病虫害与生长作物之间相互影响的数学模型；以中华稻蝗和稻纵卷叶螟两种病虫为例，分析其对水稻影响的综合作用并进行模型求解和分析。
（2）在杀虫剂作用下，建立生长作物、病虫害和杀虫剂之间作用的数学模型；以水稻为例，给出分别以水稻的产量和水稻利润为目标的模型和农药锐劲特使用方案。
（3）受绿色食品与生态种植理念的影响，在温室中引入O3型杀虫剂。
建立O3对温室植物与病虫害作用的数学模型，并建立效用评价函数。
需要考虑O3浓度、合适的使用时间与频率。
（4）通过分析臭氧在温室里扩散速度与扩散规律，设计O3在温室中的扩散方案。
可以考虑利用压力风扇、管道等辅助设备。
假设温室长50 m、宽11 m、高3.5 m，通过数值模拟给出臭氧的动态分布图，建立评价模型说明扩散方案的优劣。
（5）请分别给出在农业生产特别是水稻中杀虫剂使用策略、在温室中臭氧应用于病虫害防治的可行性分析报告，字数800-1000字。
附件1 背景材料：通过温室来栽培作物已经是一种很好的利用温室的途径。
客观评价学生学习状况数学建模
东华理工大学数学建模一周论文论文题目：客观、合理评价学生学习状况的数学模型1：**** 学号：1******2：**** 学号：1*****1：****** 学号：1*****专业：软件工程〔电子商务〕班级：10211123指导教师：乐励华2012年6 月12 日客观、合理评价学生学习状况的数学模型摘 要现行的评价方式单纯根据"绝对分数"评价学生的学习状况,仅凭一次考试结果对学生定级是不合理的,无视了不同基础水平学生的进步程度,本文更注重学生学习过程,把学生进步幅度成绩作为成绩评价的标准,运用黑尔指数转换法,并运用线性回归分析,matlab 等手段求解模型中的相关量,使不同基础水平学生进步幅度成绩得以比较,客观地反映出了每个学生学习的进步幅度,起到激发学生努力学习和增强自信的作用。
通过以上考虑，本文试图通过答复以下3个问题来到达目的：一：题目给出学生成绩数据，通过分析和通过所给数据，得到图表。
整体情况为：及格率均在90%以上，并逐年增长，平均分在70分以上，整体成绩良好。
二：为了表达学生成绩进步在整体评价中的作用，采用学生每个学期的成绩和进步情况作为指标, 我们采用了模糊层次分析和灰色关联分析两种方法。
综合考虑到每次考试的难易度不同等诸多因素，我们将 进步度=进步率×学生的成绩平均分。
通过糊层次分析方法得出最后求出各个因素的权重向量为：)2400.0,1800.0,1800.0,1030.0,1033.0,0967.0,0900.0('=W ，再利用模糊层次分析方法得出学生i 学习状况的综合评定指标如下：11223344556677i i i i i i i i C k x k x k x k x k x k x k x =*+*+*+*+*+*+*再则利用标准分和由黑尔指数法求得的进步分数进行评价，根据灰色关联度分析法得到各指标的关联度，又由于灰色关联分析法是等权划分，不能显示出各指标的重要性差异，所以我们运用模糊层次分析法中得到的权重。
数学建模论文
东华理工大学数学建模一周论文论文题目：数码相机定位模型姓名1：肖旖学号：201320590110姓名2：学号：姓名3：学号：专业：班级：指导教师：乐励华年月日摘要本文是一个图像智能识别问题，通过连续问题计算机离散求解的思想，空间坐标变换以及圆心搜索算法，给出了数码相机定位的基本原理，建立了物体与像的一一对应关系，即由实际给出参数可以计算像的坐标，同时由两台相机中像的坐标可以唯一确定物体位置，完成系统标定。
问题一：数码相机定标是影响系统定位精度的关键因素之一，如何提高定标精度 对于提高整个系统的测量精度至关重要，从基于相机本身的内、外部参数和像在像平面上的位置关系这两个不同角度，我们分别建立了三个数学模型进行求解：基于针孔模型的畸变模型、切线模型和椭圆模型，并分别给出了各自的算法。
问题二：根据问题一中的切线模型和椭圆模型，在以相机的光心为原点的像平面上，Z 轴的正方向我们规定为：由光心指向外焦点，以像素为基本单位，得出：图像上的特征点，分别求出了每个模型的内外参数，利用理想的针孔模型进行检验，计算比较简单，但精度不够。
基于针孔模型的畸变模型虽然能够较好的处理镜头畸变问题，畸变模型定标，是先线性求解部分参数，然后考虑畸变引入一阶径向畸变系数，避免了非线性优化，能够较为准确的描述成像几何关系，但是模型计算比较繁琐。
椭圆模型是将图像进行近似化处理，畸变是影响精度的主要因素，基于图像本身的切线模型，精度及稳定性相对较好。
问题四：实质是两台相机坐标系的变换问题，我们建立了目标模型，根据双目定位，即可确定两台相机相对位置。
相机相对位置可以通过如下转换得出：21112211211221c c c c c c x x y R R y R R T T z z --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦((,,c c c x y z ）为相机的光心坐标系，R 为旋转矩阵，T 为平移向量)关键词 针孔模型 畸变模型 系统标定 双目定位一、 问题重述数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。
全国大学生数学建模2018江西赛区获奖名单(拟定)
参赛学生 邓辉燕 易容 朱俊威 罗玉琴 连成 陈亮 余芷绮 杜志钢 潘诗涵 肖建荣 刘基胤 易小庆 丁锦文 刘笑俏 刘雄伟 谢第赋 熊柯阳
刘泉 刘波 丁燕婷 赖文瑞 黄莎 林玲 习永基 谢志波 孙贺鹏 程淑情 罗龙华 曾庆兴 况韵 廖露 姚敏芳 蒋林峰 曾小斌
本科组二等奖（共 102 项）
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 学 校 东华理工大学 东华理工大学 东华理工大学 东华理工大学 东华理工大学 东华理工大学 东华理工大学 东华理工大学 赣南师范大学 赣南师范大学 赣南师范大学 赣南师范大学 赣南师范大学科技学院 赣南师范大学科技学院 赣南师范大学科技学院 赣南师范大学科技学院 华东交通大学 华东交通大学理工学院 江西财经大学 江西财经大学 江西财经大学 晏新华 朱江伟 陈瑶 张雨晞 熊娜 肖佳亮 罗惬 张宏达 龙荃 陈秀莲 王晶 何豪 廖佳锋 舒超肄 鲁艳萍 钱艳巧 赵珂 谢秋枫 罗曼迪 杨玉洁 陈玮杭 参赛学生 万凯 齐少春 刘文清 娄嘉裕 王甜 崔伟利 王凤媚 白佳俊 欧阳明裕 陈萃 卢易 涂金燕 占钟敏 曹鑫红 叶艺红 郑映玲 唐界琴 刘鑫鑫 龙琪奕 范竞予 翁攀 赵彬雄 付毅 李琳 陈浩敏 赖怡茹 刘文华 王兴巍 赵玮琪 温素贞 邓雪纯 江加明 马美玲 李恒明 曾莉湘 黄丝引 邱玉琪 覃科科 王雍 曹永芹 谢陶 徐雪儿
万文龙 姜绪洁 张心阔 徐吉丽 林南亭 严春秀 陈雪 聂茂竹 余纯斌 李英豪 徐海佳 王洋 方磊 杨朝 孙伟 李钰滢 彭佳慧 刘伟晴 谢勇军 刘荣华 郭明 吴梦 罗时强 胡玉婷 涂世豪 周亮 吴璇 叶江华 黄甜甜 黄怡雯 万浩洲 艾林 蔡蓓 刘澜浩 何璇男 刘晨涛 饶曾燕 王夏含 黄子涵 张园美 杨柳 陈天钰
东华大学数学建模竞赛章程
东华大学数学建模竞赛章程第一条总则东华大学数学建模竞赛（以下简称竞赛）是东华大学教务处与东华大学数学建模协会合办的面向全校本科生的课外科技活动，目的在于激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创造精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。
此竞赛也是我校每年参加全国大学生数学建模竞赛的选拔赛，在竞赛中获奖的队伍将择优录取代表学校参加全国数学建模竞赛。
第二条竞赛内容竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求参赛者预先掌握深入的专门知识，只需要学过普通高校的数学课程。
题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力。
参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文（即答卷）。
竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。
第三条竞赛形式、规则和纪律1．竞赛将在每年的5月下旬—6月初举行，竞赛题目及相关资料将于竞赛期间在东华大学教务处网站（）上公布。
2．大学生以队为单位参赛，每队3人，专业不限。
队员报名将采用自由报名、自由组队的方式进行，队员可以按照各自的特点进行组队。
3．竞赛期间参赛队员可以使用各种图书资料、计算机和软件，在国际互联网上浏览，但不得与队外任何人（包括在网上）讨论。
4．竞赛期间，学校机房（本部与松江校区）将提供竞赛队员所需的计算机及相关的辅助设备。
学校图书馆也将开放供参赛队员查找资料。
5．参赛队员必须在规定时间内完成并提交竞赛论文。
6．竞赛期间，教务处及数学建模协会的工作人员将负责竞赛的组织和纪律监督工作，保证竞赛的规范性和公正性。
7．竞赛前协会将组织安排几次有关数学建模竞赛的专题讲座，提高参赛队员在竞赛方法、论文写作等方面的能力。
第四条评奖办法1．组委会将聘请专家组成评阅委员会，评选一、二、三等奖。
第一章 数模绪论--华东理工大学数学建模课件
应用领域 数 学 模 型 数学方法
随机性 变化性 连续性
生物、医学、地质、数量经济等
微分方程、图论、规划论、马氏链等
确定性模型、随机性模型
静态模型、动态模型 离散模型、连续模型
2012-8-26东华理工大学理学院
经济数学模型与方法
主讲老师:张延飞
2011----2012学年 第一学期 （ 2011年8月）
数学建模
2012-8-26东华理工大学理学院
目录
数学建模
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
绪论 建模方法示例 优化模型 微分方程模型 经济学模型 马氏模型 回归模型 金融数学模型
2012-8-26东华理工大学理学院
今天随着电子计算机的广泛使用，为经济研 究和应用中运用现代数学方法提供了条件， 且成为必要。数学方法作为一种有力的工具， 在经济科学的研究和经济活动的分析中发挥 着不可替代的条件。 经济数学模型则是在一定的经济理论指导下 对经济数量关系进行简化，在主要的本质的 方面近似地反映了经济现实，是经济现实的 模仿品，是经济活动和数学手段二者相结合 的产物，是以经济理论假设为前提，用数学 形式对客观经济现象和过程的本质联系进行 简化反映的一种经济研究和管理的工具。
2012-8-26东华理工大学理学院
数学建模
二、经济数学模型的建立
机理分析方法
数学建模
测试分析方法
根据对现实对象的认识以及 已知的知识,分析因果关系,找 出反映内部机理的规律。 将研究对象视为一个“黑箱” 系统，这时难以寻求内部机 理，而只能依靠测量系统的 输入输出数据，利用统计分 析来构造数学模型（系统辩 识）。
2016东华理工大学抚州校区数学建模选拔赛题目
2016东华理工抚州校区数学建模选拔题目A 题 值班问题东华理工大学抚州校区某一机房聘用4名低年级本科生（代号1、2、3、4）和3名高年级本科生（代号5、6、7）值班答疑。
已知每人从周一到周五最多可安排的值班时间及每小时值班报酬如下表机房开放时间为上午8:00到晚上 22:00 ，开放时间内须有且仅需一名学生值 班，又规定每名低年级本科生每周值班不少于8小时，高年级本科生每周值班不少于7小时。
若某时段无人值班则每小时损失50元。
要求 （1）建立该机房总支付报酬最小的数学模型并求解。
（2）在上述基础上补充下面两个要求，一是每名学生每周值班不超过3次，二是每天安排的学生不超过3人，重新建立数学模型并求解。
（3）考虑到实际情况中，学生需要上课，学生只能在空闲时间值班（可以不考虑上表中的每天值班时间上限）。
在此条件下建立数学模型，求解出支付报酬最小的值班方案。
（学生课程表可以调查周围同学课程表或者按照一天2~6节课，一周两次晚自习的条件随机生成）。
B 题：成品油配送量预测问题随着汽车工业的发展，加油站的业务量不断增加。
为了满足加油站服务区域内的客户需求，各个加油站通常使用多个油罐分别储备各种不同型号的成品油。
各个加油站经销的成品油均是从石油总公司的油库中运输过来的，由于成品油属于危险品，因此需要使用专门的隔仓运输车进行运输。
在运输过程中，每个隔仓中只能装一种型号的成品油，且尽量装满。
学生代号报酬（元/小时）每天最多安排的值班时间/小时周一 周二 周三 周四 周五 1 10 6 0 6 0 7 2 10 0 6 0 6 0 3 12 4 8 3 0 5 4 12 5 5 6 0 4 5 15 3 0 4 8 0 6 16 0 6 0 6 3 7174435油库为加油站配送成品油通常可以采取被动配送和主动配送两种形式。
被动配送指加油站每天向总公司提交第二天各种油品的需求量，总公司根据加油站提出的需求量安排车辆进行配送；主动配送指的是总公司根据加油站的进销存历史数据，通过预测等手段确定第二天需要为各个加油站配送的各种油品数量，进一步安排车辆完成配送任务。
东华理工大学数学建模
数学建模一周论文论文题目：野兔生长问题姓名1：孙旭学号：201430050324姓名2：张宁永学号：201430050314姓名2：袁坤学号：201430050303专业：计算机科学与技术班级：1430503指导教师：邱仁军2016年1月13日一、论文摘要参照题目，野兔生长属自然范畴，在生存条件良好，且无外力干扰的情况下，其种群数量是呈对数型增长的。
题中可读，野兔生长并不是处于理想的情况下的，考虑到自然的各种原因，诸如，天地的捕杀，自然灾害，疾病等。
对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。
Logistic模型是种群生态学的核心理论之一。
它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。
之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。
通过建立Logistic模型，我们小组得出T=10时，野兔数量为9.84194（十万）只。
该结果比较符合客观规律。
利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。
描述某一研究对象的增长过程如生态旅游区环境容量的确定，森林资源的管理以及耐用消费品社会拥有量的预测、国民生产总值的预测等；也可作为其它复杂模型的理论基础如Lotka-Volterra两种群竞争模型；以上的大多数的工作都是拿逻辑斯蒂模型来用，但也由此可看出逻辑斯蒂方程不管在自然科学领域还是在社会科学中都具有非常广泛的用途。
关键字：Logistic模型生态学 MATLAB程序二、问题重述野兔生长问题。
首先，野兔是生长在自然环境中的。
自然很复杂，存在着许多影响种群发展的因素。
我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈J型增长的。
现实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长，T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495；T=6，5.32807。
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输油管的布置摘要本文针对输油管的布设进行分析，从有共用管线和无共用管两方面考虑，分析两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种情形，以假设三家公司估算附加费用比率来计算，建立管线布置几何模型，多元函数求极值利用MATLAB简化计算，用数学建模的方法进行定量分析与评价。
对于问题一，分两种情况讨论：一是无共用管线，二是有共用管线。
依据管线布置模型及共用与非共用管线费用的等值关系，构建一元与多元函数，应用多元函数求极值，结合物理镜像原理简化计算最优值，建立数学模型推断不同管线建设费用最省的方案。
对于问题二，考虑到城郊区费用对车站点的影响，建立几何管线布置模型，应用多元函数求极值，及物理镜像原理对所建城郊区车站管线铺设费用数值进行量化，管线铺设费用均相同，城区管线铺设增加工程拆迁与补偿等附加费用以假设比率比算，结合实际情形确定相应管线布置方案，计算出所需费用。
对于问题三，结合一、二问题所建几何模型，进一步分析，根据炼油厂生产能力选用相应油管，管线铺设费用数据套用问题二中模型函数表达公式进行定量分析解算，选用管线布置最佳方案与费用。
关键词：镜像原理、管线费用、多元函数、几何模型1.问题重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。
根据这种模式的实际普遍性，油田设计院希望应用数学模型方法建立管线建设费用最省的设计方案。
问题1:针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，方案设计时，在有共用管线的情况下，考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
问题2:设计院目前需对一种更为复杂的情形进行具体的设计。
两炼油厂中的A 厂位于郊区,B 厂位于城区。
假设所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。
铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。
估算结果如下表所示：请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。
3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。
这时的管线铺设费用将分别降为输送A 厂成品油的每千米5.6万元，输送B 厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。
推断出管线最佳布置方案及相应的费用。
2.问题分析题目要求分析共用管线与非共用管线及两者的等值关系对铺设费用的影响，并利用各因素建立最优的管线布置方案。
而在铺设管线时需要考虑到：如何确定各个因素在有共用管线与无共用管线间量化，对车站所在位置分析；在知道各因素影响后，怎样在各方案中建立几何模型，应用多元函数求极值选择最合适，最均衡的方法。
对于问题一，在分析铺设有共用管线与非共用管线两种费用情形下，首先把有共用管线布置时，A 厂铺设费用1p ，B 厂铺设费用2p ，共用管线费用3p ，p p p ==21，p p p 23<<；无共用管线布置时，考虑21p p =，21p p ≠。
结合这两种布置情况进行量化，以此可以得到布置方案相应费用数值，也就是量化后的数量指标。
问题二在问题一的基础上，考虑到城郊管线铺设费用不同情形下的影响，对城区铺设增加附加费用进行比率权重计算，然后以分界线分别定量分析车站建城郊进行量化，哪种更合适，对于建立在郊区有哪些优势所在。
对于问题三，在建立输油管布置几何模型下，铺设费用各自的不同来量化考虑，与问题二中所要计算方案相似，同样应用多元函数求极值，MATLAB软件计算，最终以确定极值目标函数来实现最合适的方法。
3.模型假设与符号设定3.1模型假设1、不考虑天气、自然灾害因素对管线铺设费用的影响。
2、输油管大小相同，在运输油过程中不考虑泄漏事故。
3、车站所建位置对周围环境没有影响。
4、管线输送成品油型号相同，不考虑共用管线所产生的影响。
5、两家炼油厂生产效率相同。
6、管线铺设接点不影响。
7、铁路线路是直线型3.2 符号设定A: 表示炼油厂AB: 表示炼油厂Ba：表示A厂到铁路线的距离b:表示B厂到铁路线的距离c:A厂与B厂铁路线水平距离M：两厂铺设管线在有共用管线情况下交点Q：表示管道线与铁路的交点A:关于A厂在x轴上的对称点1B 1：表示B 厂到接点经过城郊区分界线的交点0p ：表示B 厂到交点1B 路段所增加的附加费用1p ：表示A 厂到接点M 路段管线铺设费用2p ：表示B 到接点M 路段管线铺设费用3p ：表示共用管道管线铺设费用4p ：表示1B 到接点M 路段管线铺设费用F ：表示管线铺设费用以及附加费用的总值W ：表示权量4.模型的建立与求解4.1 对于问题一在管线的选取上，可分为共用管线和非共用管线在费用上的差异建立相应的模型，以下是各模型的建立与求解：4.1.1 情形1：无共用管线在铁路上建立坐标系，以铁路OC 为横轴，OA 为竖轴，建立平面直角坐标系，同时利用镜像原理，在OC 上取任意一点()0,x M ,OA 的长度为a ，坐标为()a A ,0，CB 的长度b ，坐标为()b c B ,，AM 的管线费用为1p ，BM 的管线费用为2p ；费用函数：222221)()(x c b p a x p x F -+⋅++⋅=.讨论：（1）当p p p ==21时 （见图4.1.）并建立几何模型图4.1：几何示意图 有))(()(2222x c b a x p x F -+++⋅=，)(x F 关于x 的导数，并令0))((2222=-+-+⋅=x c b x a x x p dx dF ⇒b a c a x +⋅=. 即：当ba c a x +⋅=时管线铺设费用值达到最小，最小值为： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅=+⋅2222)(b a c a c b a b a c a p b a c a F 此时由镜像原理，满足三点成一线使得管线长最短，利用相似三角形原理，可得方程式：()ba c a xb x xc a x c x b a +⋅=⇒⋅=-⋅⇒-=，从而所需的费用也达到最少.(见图4.2)图 4.2：镜像原理示意图（2）当21p p ≠时（见图4.3.）并建立几何模型。
在铁路上建立坐标系，以铁路OC 为横轴， OA 为竖轴建立平面直角坐标系，同时利用镜像原理，在OC 上取任意一点()0,x M ,OA 的长度为a ，坐标为),0(a A ， CB 的长度b ，坐标为),(b c B ，AM 的管线费用为1p ，BM 的管线费用为2p 。
图4.3几何示意图222221)()(x c b p a x p x F -+⋅++⋅=)(x F 关于x 的求导可得，0)(1F 222221=-+⋅-+⋅=x c b p a x x p dx d 解出此唯一驻点即为车站的设计布置点。
4.1.2 情形2：有共用管线(1),当==21p p p p =3以离铁路为h （同A 和B 在同侧）OM 为横轴，OA 为竖轴建立平面直角坐标系，同时利用镜像原理，把点()y A ,0以横轴对称得到()y A -,01，连接A 1M ，点()y a b c B +-,，AM 的管线费用为1p ，BM 的管线费用为2p ，h a y -=。
建立管线布设的费用函数为 ()()h p y a b x c p y x p y x F ⋅++-+-⋅++⋅=3222221),( 对此函数求偏导⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-+-⋅++⋅=∂∂=+-+--⋅++⋅=∂∂0)()()(0)()(222221222221y a b x c y a b p y x y p y F y a b x c c x p y x x p x F可得唯一驻点，驻点处的函数值即为最省费用值。
图4.4镜像原理示意图另一方面，由镜像原理（见图4.4）可得出：()())(222y a p y a b c p y F -⋅++-+⋅= 可对此函数求导 ()0222=-+-+=p y a b c p dy dF ⇒()()p y a b c y a b p =⋅+-+⋅+-⋅⋅2222223p c p y b h ⋅⋅-+=⇒则 23c b a h -+=对应的最省费用值为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⋅=232322c b a p c b a b c p F(2),当21p p p ==3p <以在离铁路为h （同A 和B 在同侧）OM 为横轴，OA 为竖轴建立平面直角坐标系，同时利用镜像原理，把点()y A ,0以横轴对称得到()y A -,01，连接M A 1，点()y a b c B +-,，AM 的管线费用为1p ，BM 的费用为2p 。
建立管线布设的费用函数为 ()()h p y a b x c p y x p y x F ⋅++-+-⋅++⋅=3222221),(此时利用二元函数极植求法：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-+-⋅++⋅=∂∂=+-+--⋅++⋅=∂∂0)()()(0)()(222221222221y a b x c y a b p y x y p y F y a b x c c x p y x x p x F 得出二元函数的驻点，得出最小费用值：⋅+-⋅⋅+⋅=323223224p p p p c c p F (2421232223b a p p cp ++-⋅⋅-)图4.5镜像原理示意图 对此应用镜像原理（见图4.5）可得：h p y a b c p y F ⋅++-+⋅=322)2()(对y 求导0)2()2(2322=-⋅+-+⋅+-⋅⋅=p y a b c y a b p dy dF求解y 的值2421232223b a p p c p y -+-⋅⋅⋅= 由于y=a-h 求得h 的值，即2421232223b a p p c p h +++⋅⋅⋅-= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅-+⋅+-⋅⋅+⋅=⇒2322233232232242124p p c p b a p p p p c c p F 当321p p p >=时，为共用管线的非共用管线，故可以不考虑。
以下是分别在Ａ和Ｂ的左侧和右侧的临界费用情况：(见图4.6)图4.6临界情况示意图 ()a p a b c p F ⋅+-+⋅=22211，()b p a b c p F ⋅+-+⋅=12222 通过和以上情况比较可知1F 和2F 费用较高，故忽略不考虑。
4.2 对于问题二由题意分析:可得到三家工程公司最后的附加费0p ，假定权重()25.0,25.0,5.0=W ，则：()5.2120242125.0,25.0,5.00=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=p (万元/千米)其中: a =5，b =8，c =15，l =20，2.7321===p p p 。