高中数学 必修1 指数函数及幂函数 总复习
指数对数幂函数知识点总结9篇
指数对数幂函数知识点总结9篇第1篇示例：指数对数幂函数是高中数学中非常重要的内容之一，它在实际生活中有着广泛的应用。
指数对数幂函数是一种特殊的函数形式，通过指数、对数、以及幂运算的组合，可以描述各种复杂的变化关系。
在本文中，我们将对指数对数幂函数的相关知识点进行总结，帮助大家更好地理解和掌握这一重要内容。
一、指数函数指数函数是以自然常数e为底的幂函数，一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
指数函数的特点是底数a是一个固定的正数，指数x可以是任意实数。
指数函数的图像通常表现为一条逐渐增长或逐渐减小的曲线，其增长趋势取决于底数a的大小。
指数函数的性质有：1. 当底数a大于1时，函数呈现增长趋势；当底数a小于1且大于0时，函数呈现下降趋势。
2. 指数函数在x轴上的水平渐近线为y=0，在y轴上的垂直渐近线为x=0。
3. 在0<a<1时，指数函数是单调递减的；在a>1时，指数函数是单调递增的。
4. 指数函数的导数为f'(x)=a^x * ln(a)，导数的值等于函数在该点的斜率。
1. 对数函数的图像是一条左开右闭的单调增函数。
2. ln(x)函数在x=1处的值为0，log(x)函数在x=1处的值也为0。
4. 对数函数的反函数是指数函数，即对数函数与指数函数是互为反函数的关系。
三、幂函数幂函数是指形如f(x) = x^n的函数，其中n为一个实数。
幂函数可以是单项式函数、分式函数以及多项式函数的基础函数形式。
幂函数的性质有：1. 当n为偶数时，幂函数呈现奇次函数的特点，曲线两侧对称于y 轴；当n为奇数时，幂函数呈现偶次函数的特点。
四、指数对数幂函数的综合应用指数对数幂函数在自然科学、工程技术、经济管理等领域有着广泛的应用。
在生态学中，人口增长规律可以用指数函数来描述；在物理学中，无阻射下的自由落体运动可以用幂函数来描述；在金融领域中，复利计算和收益增长也可以用指数函数和对数函数来分析。
幂函数、指数与指数函数课件-2025届高三数学一轮复习
A.
1
2
B. 2
A )
C. 2
D. 2 2
[解析] 因为 f ( x )为幂函数，所以 m 2＋ m －1＝1，解得 m ＝－2或 m ＝1，又 f ( x )的
图象与坐标轴无公共点，故 m ＜0，所以 m ＝－2，故 f ( x )＝ x －2，所以 f ( 2 )＝
＝
3
－
2
.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
命题点1
幂函数的图象与性质
例1 (1)[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数 y ＝ xn 在第一象限
1
2
内的图象.已知 n 分别取±2，± 四个值，与曲线 C 1， C 2， C 3， C 4对应的 n 依次为
(
A )
1
2
1
2
A. 2， ，－ ，－2
图象恒过定点 M ( m ， n )，则函数 g ( x )＝ m ＋ xn 的图象不经过(
A. 第第四象限
D )
[解析] ∵ a 0＝1，∴ f ( x )＝ ax －1－2的图象恒过定点(1，－1)，∴ m ＝1， n ＝－1，
1
∴ g ( x )＝1＋ ，其图象不经过第四象限，故选D.
5−1
5−1
≤ m ＜2，所以实数 m 的取值范围为[
，2).
2
2
命题点2 指数幂的运算
例2 计算：
2
−
3
3
(1)(－3 )
8
1
−2
＋(0.002 )
−
[解析] 原式＝(－1 )
4
9
2
3
高中数学第四章幂函数指数函数和对数函数有理数指数幂学生用书湘教版必修第一册
第四章幂函数、指数函数和对数函数4．1 实数指数幂和幂函数4．1.1 有理数指数幂教材要点要点一 根式1．a 的n 次方根定义若一个(实)数x 的n 次方(n∈N ，且n ≥2)等于a ，即________．则称x 是a 的n 次方根．2．a 的n 次方根的表示n 的奇偶性a 的n 次方根的表示符号a 的取值范围n 为奇数________a ∈R n 为偶数________________3.根式：式子__________叫作根式，n 叫作__________，a 叫作__________．状元随笔 (1)在n 次方根的概念中，关键是数a 的n 次方根x 满足x n ＝a ，因此求一个数a的n次方根，就是求一个数的n次方等于a.(2)n次方根实际上就是平方根与立方根的推广．(3)n次方根的概念表明，乘方与开方是互逆运算．要点二 根式的性质根式的性质是化简根式的重要依据(1)________没有偶次方根．(2)0的任何次方根都是0，记作＝________．(3)()n＝________(n∈N*，且n＞1).(4)＝a(n为大于1的奇数).(5)＝|a|＝(n为大于1的偶数). 与()n的区别(1)是实数a n的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a.当n 为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，再乘方(都是n次)，结果恒等于a.要点三 分数指数幂分数指数幂正分数指数幂规定：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)负分数指数幂规定：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)性质0的正分数指数幂等于__________，0的负分数指数幂__________ 分数指数幂是根式的一种表示形式，即a＝，分数指数不能随意约分，如(－3)约分后为(－3)＝，而在实数范围内是无意义的．要点四 有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)(2)(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)(3)(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)实数a的奇次方根只有一个．( )(2)当n∈N*时，()n＝－2.( )(3)()n中实数a的取值范围是任意实数．( )(4)分数指数幂与根式可以相互转化，如＝a.( ) 2．下列各式正确的是( )A．＝－3B．＝aC．()3＝－2D．＝23．将根式化为分数指数幂是( )A．a－ B．a C．－a D．－a4.的值是________．题型1 根式的化简与求值例1 (1)化简＋的结果是( )A．1B．2a－1C．1或2a－1D．0(2)计算下列各式①＋()5；②＋()6；③＋.方法归纳根式化简或求值的策略(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．跟踪训练1 (1)下列各式正确的是( )A．＝a B．a0＝1C．＝－4D．＝－5(2)计算下列各式：①＝________．②－－＝________． 根式与分数指数幂的互化例2 (1)将分数指数幂a－(a＞0)化为根式为________．(2)化简：(a2·)÷(·)＝________．(用分数指数幂表示)(3)将下列根式与分数指数幂进行互化．①a3·.②(a＞0，b＞0).方法归纳根式与分数指数幂互化的方法及思路(1)方法：根指数←――→分数指数的分母，被开方数(式)的指数←――→分数指数的分子．(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．特别提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．跟踪训练2 下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A．－＝(－x) (x＞0) B．＝y(y＜0)C．x−34＝(x＞0) D．x−13＝－(x≠0)题型3 指数幂的化简与求值例3 (1)化简：①ab·(－3ab)÷；②(mn－)8；③(－)÷.(2)求值：①＋2－2×－0.010.5；②0.064－－＋[(－2)3]－＋16－0.75＋|－0.01|.方法归纳利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．跟踪训练3 (1)计算：(－1.8)0＋·－＋；(2)化简：(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c). 忽视根式中的变量条件致误例4 式子a经过计算可得( )A．B．C．－D．－解析：因为成立，所以a＜0，所以a＝a＝＝－.故选D.答案：D易错警示易错原因纠错心得忽视a＜0这一条件，易错选A.把一个完全平方式从二次根号内开方出来之后，要先加上绝对值号，再根据条件或分类讨论去掉绝对值符号得出最终结果．课堂十分钟1．将化为分数指数幂，其形式是( ) A．2B．－2C．2−12D．－2−122．已知m＜，则化简的结果为( ) A．B．－C．D．－3．若2＜a＜3，化简＋的结果是( )A．5－2a B．2a－5C．1D．－14．计算＝________．5．计算：0.0001－＋27－－＋－1.5.第四章 幂函数、指数函数和对数函数4．1 实数指数幂和幂函数4．1.1 有理数指数幂新知初探·课前预习要点一1．x n＝a2. ± [0，＋∞)3. 根指数 被开方数要点二(1)负数 (2)0 (3)a (5)a －a要点三0 无意义[基础自测]1．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．解析：由于＝3，＝|a|，＝－2，故选项A、B、D错误，故选C.答案：C3．解析：＝a－.答案：A4．解析：＝eq¿¿(¿)(¿¿4¿¿1(¿(625,81)))14＝＝＝＝.答案：题型探究·课堂解透例1 解析：(1)原式＝a＋|1－a|＝故选C.(2)①原式＝(－2)＋(－2)＝－4.②原式＝|－2|＋2＝4.③原式＝＋＝＋＝＋1＋－1＝2答案：(1)C (2)见解析跟踪训练1 解析：(1)由于＝则选项A，C排除，D正确，B需要加条件a≠0.(2)①＝＝π－3.②－－＝－－＝－－＝.答案：(1)D (2)①π－3 ②例2 解析：(1)a－＝＝.(2)(a2·)÷(·)＝(a2·a)÷(a·a)＝a÷a＝a－＝a.(3)①a3·＝a3·a＝a3＋＝a.②＝＝√a−4∙b2∙a13∙b23＝√a−113∙b83＝a－·b43答案：(1). (2)a (3)见解析跟踪训练2 解析：－＝－x (x>0)；＝(y2)＝－y(y<0)；x－＝(x－3)＝(x>0)；x－＝eq¿¿(¿)(¿¿4¿¿1(¿(1,x)))13＝(x≠0).答案：C例3 解析：(1)①原式＝×a＋－b＋－＝－9a.②＝＝m2n－3＝.③(－)÷＝÷a12＝a÷a－a÷a＝a－－a－＝a－a＝－a.(2)①原式＝1＋×－eq¿¿(¿)(¿¿4¿¿1(¿(1,100)))12＝1＋－＝；②原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝－1＋＋＋＝.跟踪训练3 解析：(1)原式＝1＋·eq¿¿(¿)(¿¿4¿¿1(¿(27,8)))23－10＋932＝1＋·－10＋27＝29－10＝19.(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－. [课堂十分钟]1．解析：√√=（−2√2）13 =（−2×212）13=（−232）13= -212答案：B2．解析：∵m<23，∴3m－2<0，排除A，B，又(3m－2)2>0，所以4√(3m−2)2为正，所以选C.答案：C3．解析：由于2＜a＜3，所以2－a＜0，3－a＞0，所以原式＝a－2＋3－a＝1.答案：C4．解析：(278)23＝[(32)3]23＝(32)2＝94.答案：9 45．解析：原式＝－＋－2×＋2×＝0.1－1＋32－－1＋－3＝10＋9－＋27＝.11。
指数对数幂函数知识点汇总
指数函数、对数函数、幂函数单元复习与巩固一、知识框图二、知识要点梳理知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.2.n次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：函数指数函数名称定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向象的影响看图象，逐渐减小.知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式，，.3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).4.对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.知识点六：幂函数1.幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限 无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象 关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象 限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：具体函数具体讨论(5)图象特征：幂函数当时，在第一象限，图像与32,x y x y ==的图像大致趋势一样,当10<<α时，在第一象限，图像与21x y =的图像大致趋势一样,当0<α时，在第一象限，图像与1-=xy 的图像大致趋势一样一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表： 0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02>≥++a c bx ax{}21x x x x x ≥≤或RR 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x <<∅ ∅ 的解集)0(02>≤++a c bx ax{}21x x xx ≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=a b x x 2∅。
高中数学(高一至高三)知识点汇总
高中数学第一部分必备知识点第二部分学习难点必修1知识点重难点高考考点第一章：集合与函数1.1.1、集合1.1.2、集合间的基本关系1.1.3、集合间的基本运算1.2.1、函数的概念1.2.2、函数的表示法1.3.1、单调性与最大（小）值1.3.2、奇偶性重点：1、集合的交、并、补等运算。
2、函数定义域的求法3、函数性质难点：函数的性质1、集合的交、并、补等运算。
2、集合间的基本关系3、函数的概念、三要素及表示方法4、分段函数5、奇偶性、单调性和周期性第二章：基本初等函数（Ⅰ）2.1.1、指数与指数幂的运算2.1.2、指数函数及其性质2.2.1、对数与对数运算2..2.2、对数函数及其性质2.3、幂函数重点：1、指数函数的图像与性质2、对数函数的图像与性质3、特殊的幂函数的图像与性质4、指数、对数的运算难点：1、指数函数与对数函数相结合2、指数对数与不等式、导数、三角函数等结合1、指数函数的图像与性质2、对数函数的图像与性质3、特殊的幂函数的图像与性质4、指数、对数的运算5、数值大小的比较6、习惯与不等式、导数、三角函数等结合，难度较大第三章：函数的应用3.1.1、方程的根与函数的零点3.1.2、用二分法求方程的近似解3.2.1、几类不同增长的函数模型3.2.2、函数模型的应用举例重点：1、零点的概念2、二分法求方程近似解的方法难点：1、函数模型2、函数零点与导数，含有字母的参数相结合1、零点的概念2、二分法必修2知识点重难点高考考点第一章：空间几何体1、空间几何体的结构2、空间几何体的三视图和直观图3、空间几何体的表面积与体积重点：1、认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征2、几何体的三视图和直观图3、会利用公式求一些简单几何体的表面积和体积难点：空间想象能力1、几何体的三视图和直观图2、空间几何体的表面积与体积第二章：点、直线、平面之间的位置关系（重点）1、空间点、直线、平面之间的位置关系2、直线、平面平行的判定及其性质3、直线、平面垂直的判定及其性质重点：1、线面平行、面面平行的有关性质和判定定理2、证明线面垂直3、点到平面的距离难点：1、线面垂直2、点到平面的距离1、以选择填空的形式考查线与面、面与面的平行关系，考查线面位置的关系2、以解答的形式考查线与面、面与面的位置3、证明线面垂直4、点到平面的距离第三章：直线与方程1、直线的倾斜角与斜率2、直线方程3、直线的交点坐标与距离公式重点：1、初步建立代数方法解决几何问题的观念2、正确将几何条件与代数表示进行转化3、掌握直线方程并会用于定理地研究点与直线、直线与直线的位置关系。
指数对数幂函数知识点总结8篇
指数对数幂函数知识点总结8篇第1篇示例：指数对数幂函数是高等数学中重要、常用的一类函数。
它们是解决数学问题和建立数学模型中不可或缺的工具。
在学习指数对数幂函数的知识时，需要掌握函数的定义、性质、图像、导数等方面的内容。
本文将对指数对数幂函数进行系统总结，以便读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、指数函数指数函数是形如y = a^x（其中a>0且a≠1）的函数，其中a称为底数，x称为指数。
指数函数的图像通常是一个以底为a的指数曲线，其特点是随着x的增大，y值迅速增大。
指数函数的性质有：1.当底数a>1时，函数y = a^x是递增函数；当0 0时，函数y = a^x是减函数。
2.指数函数的定义域是所有实数，值域是所有大于0的实数。
3.指数函数的图像通常是通过点(0,1) 并且随着x的增大发生指数增长。
4.指数函数满足f(x) * f(y) = f(x+y)。
5.指数函数的反函数是对数函数，即y = loga(x)。
3.对数函数的图像是一个S形曲线，随着x的增大，y值逐渐增大。
5.对数函数的导数为1/x*ln(a)。
三、幂函数幂函数是形如y = x^a（其中a为常数）的函数，其特点是x的次方为a。
幂函数的性质有：3.幂函数的特殊情况之一是y = x^2，即二次函数，其图像是一个开口向上的抛物线。
第2篇示例：指数对数幂函数是数学中常见的一类函数，主要包括指数函数、对数函数和幂函数。
在数学中，这些函数在图像、性质和应用等方面都有着重要的作用。
本文将从定义、性质和应用三个方面对指数对数幂函数进行总结。
一、指数函数指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数且a>0且a≠1，x为指数。
指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集R+。
指数函数的图像呈指数增长或指数衰减的特点，当底数a>1时为指数增长；当底数0<a<1时为指数衰减。
指数函数的特点包括：单调性、奇偶性、零点、渐近线等。
高中数学第6章幂函数、指数函数和对数函数6.1幂函数高一第一册数学
堂 小
导
学
(1)求幂函数的定义域，再判定奇偶性；
结 提
探
新 知
(2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究
素 养
其它象限的图象．
课
合
时
作
2．幂函数在第一象限的图象与性质
分
探
层
究 释
(1)α>0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是增函
作 业
疑
难 数．
返
首
12/9/2021
课 堂 小
导
结
学 探 新 知
∴1312>1412．
提 素 养
(2)∵y＝x－1是(－∞，0)上的减函数， 课
合 作 探
且－23<－35，
时 分 层
究
作
释 疑 难
∴－23－1>－53－1．
业
返
首
12/9/2021
页
第二十一页，共五十五页。
课
情 景 导 学
(3)0.25－14＝14－14＝212，
堂 小 结 提
返 首 页
第五页，共五十五页。
2．幂函数的图象和性质
课
情
堂
景
小
导
结
学
提
探
新
素
知
养
课
合
时
作
分
探
层
究
作
释
业
疑
难
返
首
12/9/2021
页
第六页，共五十五页。
课
情
堂
景
小
导
结
学
提
高三数学总复习：必修1-知识点(8)《幂函数》知识表格
p q
α＜0
幂函数y=xα(α∈R)
0＜α＜1
α＞1
p为奇数 q为奇数
p为奇数 q为偶数
p为偶数 q为奇数
第一象 限性质
减函数
增函数
α=1
奇函数
偶函数
过定点 (1，1)
4.一般幂函数的图象和性质
幂函数y=xα(α为常数）
α>0
α<0
图象
幂函数y=xα(α为常数）
α>0
α<0
（1）图象过点（0，0）和 （1）图象都过点（1，1） 点（1，1）
非奇非偶
奇
x∈(0,+∞)
时，减
增
x∈(-∞,0)
时，减
(1,1), (0,0)
(1,1)
2.幂函数与指数函数的区别与联系
函数 指数函数
幂函数
表达式
相同点
不同点
y=ax(a>0, 且a≠1)
y=xα (α∈R)
右边都是幂 的形式
指数是自变 量，底数是 常数
底数是自变 量，指数是 常数
3.幂函数y=xα(α∈R)的奇偶性与单调性
Байду номын сангаас
（2）在第一象限内，函数 值随x的增大而增大，即在 （0，+∞)上是增函数
（2）在第一象限内，函数 值随x的增大而减少，即在 （0,+∞)内是减函数
性质
（3）在第一象限内，当 α>1时，图象下凸；当 0<α<1时，图象上凸
（3）在第一象限内，图象 都下凸
（4）α是奇数时，幂函数为奇函数；α是偶数时，幂函 数是偶函数 （5）幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内，必 出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内
单元复习 幂函数、指数函数与对数函数-高一数学(苏教版2019必修第一册)
故 f(x)=lg
+1
(2)由(1)知,f(x)=lg 1- (-1<x<1),
-+1
1-
1+ -1
1+
所以 f(-x)=lg1-(-)=lg1+=lg 1- =-lg 1- =-f(x),
所以 f(x)为奇函数.
+1
(3)原不等式可化为 lg 1- ≥lg(3x+1)(-1<x<1),
改进数学模型.
题型探究
一、直观想象
在本章中，函数图象的识别及应用均突出体现了直观想象的核心素养.
图象的识别
[例 1]
m
n
(1)已知函数 y＝x (m，n∈N *，且互质)的图象如图所示，
那么下面说法正确的是
(
)
m
A．m，n 是奇数， n <1
m
B．m 是偶数，n 是奇数， n >1
m
C．m 是偶数，n 是奇数， n <1
m
n
是奇数．根据函数图象，当 x∈(1，＋∞)时，y＝x 的图象在 y＝x 图象的下方，
m
n
m
所以 n <1.故选 C.
(2)当 0<a<1 时，函数 y＝ax 的图象过定点(0，1)，在 R 上单调递减，
1
于是函数 y＝ax的图象过定点(0，1)，在 R 上单调递增，函数ຫໍສະໝຸດ 1 1
1
y＝logax＋2的图象过定点2，0，在－2，＋∞上单调递减．
是由函数 f(x)＝ax 的图象向下平移一个单位长度，再将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上
方得到，分 a>1 和 0<a<1 两种情况作图，如图．当 a>1 时，直线 g(x)＝2a 与函数 f(x)
数学总复习第二章 函数与导数第8课时 指数函数、对数函数及幂函数
第二章函数与导数第8课时指数函数、对数函数及幂函数（2）(对应学生用书(文）、(理)22～23页）考情分析考点新知高考对指数函数的考查近三年有所升温，重点是指数函数的图象和性质,以及指数函数的实际应用问题，在复习时要特别重视对指数函数性质的理解与应用．①了解指数函数模型的实际背景.②理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.③知道指数函数是一类重要的函数模型。
1。
(必修1P110复习9改编)函数y＝a x－3＋3恒过定点________．答案：(3,4)解析:当x＝3时，f（3）＝a3－3＋3＝4,∴f（x）必过定点（3,4)．2. （必修1P110复习3改编）函数y＝8－16x的定义域是________．答案:错误!解析：由8－16x≥0，所以24x≤23,即4x≤3，定义域是错误!.3。
（必修1P67练习3)函数f（x)＝（a2－1）x是R上的减函数，则a的取值范围是________________．答案：（－错误!，－1)∪(1,错误!）解析：由0＜a2－1＜1，得1＜a2＜2，所以1＜|a｜＜2，即－错误!＜a ＜－1或1＜a ＜错误!。
4. (必修1P 71习题13改编)已知函数f （x ）＝a ＋错误!是奇函数，则常数a ＝________。
答案:－12解析：由f （－x)＋f(x)＝0，得a ＝－12.5。
（原创)函数y ＝1＋错误!|x －1|的值域为__________。
答案:(1,2]解析：设y′＝错误!u ,u ＝|x －1|。
由于u ≥0且y′＝错误!u 是减函数， 故0〈错误!｜x －1｜≤1，则1＜y≤2。
1. 指数函数定义一般地，函数y ＝a x （a>0，a ≠1）叫做指数函数,函数的定义域是R ．2。
指数函数的图象与性质a>1 0<a 〈1图象定义域 R 值域(0,＋∞）［备课札记]题型1 指数型函数的定义域、值域例1 已知x∈[－3，2]，求f(x ）＝错误!－错误!＋1的最小值与最大值．解：f(x)＝14x －错误!＋1＝4－x －2－x ＋1＝2－2x －2－x ＋1＝错误!2＋错误!.∵ x ∈［－3，2］, ∴ 错误!≤2－x ≤8.则当2－x ＝错误!，即x ＝1时，f （x ）有最小值34;当2－x ＝8,即x ＝－3时，f(x ）有最大值57。
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必修1 数学
——指数函数及幂函数
一、指数函数 1．整数指数幂
)0(10
≠=a a
； )0,(1≠∈=
-a N n a
a
n
n
； n
m
n
m
a
a
=
2、指数函数
【1】一般形式：()0,1x y a a a =>≠； 【2】定义域：(,)-∞+∞；值域：(0,)+∞；
【3】函数值变化情况：
当1a >时，1(0)1(0)1(0)x x a x x >>⎧⎪==⎨⎪<<⎩
； 当01a <<时，1(0)1(0)1(0)x
x a
x x <>⎧⎪
==⎨⎪><⎩
【4】单调性：当1a >时，x y a =是增函数；当01a <<时，x y a =是减函数
【类型题归纳】
【例题1】下列哪些是指数函数：（1）(4)x
y =-；（2）2
1
2
x y -=；（3）x
y a =；
（4）1(21)(,1)2
x
y a a a =->
≠；（5）23x
y =⋅.
【总结升华】判断一个函数是否为指数函数，要紧扣指数函数的定义：其一，底数大于0且不等于1；其二，幂指数是单一的自变量x ；其三，系数为1，且没有其他的项. 2、设137
x
=
，则（ ）
A 、21x -<<-
B 、32x -<<-
C 、10x -<<
D 、01x << 3、若函数()(0,1)x
f x a a a =>≠，则下列等式不正确的是（ ）
A 、()()()f x y f x f y +=
B 、 ()()()n n n f xy f x f y ⎡⎤=⎣⎦
C 、 ()()()
f x f x y f y -=
D 、 ()()n
f nx f x =
【总结】对于()()()f x y f x f y +=类型的抽象函数，x
y a =可以作为它的一个经典原型，用来解决实际
问题。
4、化简4
63
9436
9)(
)(
a a ⋅的结果为（ ）
A 、a 16
B 、a 8
C 、a 4
D 、a 2
【例题5】求下列函数的定义域、值域：
（1）1
421x x y +=++； （2）1(01
x
x
a y a a -=
>+，且1)a ≠.
【变式训练】求下列函数的定义域、值域：（1）||
2
()
3
x y -=； （2）2
120.5x x y +-=.
【例题6】比较下列各组数的大小. （1） 2.5
1.7，3
1.7；（2）0.10.20.8,1.25-；（3）0.3 3.11.7,0.9；（4） 4.1 3.64.5,3.7.
【例题7】讨论函数2
21
()()
3x x
f x -=的单调性，并求其值域.
【变式训练】求函数|12|
1
()
2x y +=的单调区间.
二、幂函数
（1）定义：一般地，函数a
y x =叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数. （2）注意：对于幂函数，我们只讨论11,2,3,,12
α=-时的情形.
（3）图象与性质：
2、幂函数的图象不过第四象限
3、幂函数y x α=的奇偶性的判断：令q p
α
=
（其中,p q 互质，,p q N ∈）
【1】若p 是奇数，则q p
y
x =的奇偶性取决于q 是奇数或偶数。
当q 是奇数时，则q
p y x =是奇函数；
当q 是偶数时，则q
p y x =是偶函数.
【2】若p 是偶数，则q 必是奇数，此时q
p y x =既不是奇函数，也不是偶函数. 4. 幂函数的增减性：当α<0时，幂函数在第一象限为减函数。
【类型题归纳】
1、在函数①1
23y x x =+；②3
(1)y x =-；③2
1y x
=
；④1y =；⑤1
22y x =；⑥y =是 .
2、幂函数1234:,:,:,:k m n p
C y x C y x C y x C y x ====的 图象如图所示，则,,,k m n p 的大小关系是
（ ）
A.k m n p >>>
B.n m k p >>>
C.m n p k >>>
D.k m p n >>>
3、写出下列函数的定义域、值域，判断（1）的奇偶性和单调性.
（1）1
2y x =； （2）35
y x
-
= （3）2
(2)
y x -=+
4、若113
3
(1)
(32)
a a --
+<-，则a 的取值范围是 .
5、函数2
-
=x y 在区间]2,2
1
[上的最大值是
（ ）
A ．
4
1
B ．1-
C ．4
D ．4- 6、函数3
x y =和31
x y =图象满足
（ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x y =对称
7、已知幂函数f x x m Z x y y m
m ()()=∈--2
23
的图象与轴，轴都无交点，且关于轴对称，试确定f x ()
的解析式。
8、函数R x x x y ∈=|,|，满足
（ ）
A ．是奇函数又是减函数
B ．是偶函数又是增函数
C ．是奇函数又是增函数
D ．是偶函数又是减函数
13、比较下列各组中两个值大小
（1）6
6
11
110.60.7与 （2） 55
33(0.88)(0.89)--与
14、已知函数2
23
()()m
m f x x m Z -++=∈为偶函数，且(3)(5)f f <.
（1） 求m 的值，并确定()f x 的解析式；
（2） 若()log [()](1)a g x f x ax a =->在区间[2,3]上为增函数，求实数a 的取值范围.。