高一数学空间几何体的表面积与体积2
高一数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析
高一数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1. 已知正方体的棱长为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π【答案】C.【解析】正方体的对角线长为外接球的直径，因此，，因此.【考点】球的表面积公式.2. 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝2，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．【答案】S 表面＝(60＋4)π．V ＝π．【解析】该图形旋转后是一个圆台除去一个倒放的圆锥， 则S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面 ， 设圆台上，下地面半径是r 1，r 2,则 S 表面=π×r 22＋π×(r 2＋r 1)×5＋π×r 1×CDV ＝V 台－V 锥＝π(＋r 1r 2＋)AE －πr 2DE ，将数据代入计算即可。
试题解析：如图，设圆台上，下地面半径是r 1，r 2,过C 点作CF ⊥AB ，由∠ADC ＝135°，CE ⊥AD, CD=2得∠EDC ＝45°，r 1=" CE=" 2,则CF=4，BF=3，CF ⊥AB ，得BC=5，r 2=" AB=" 5, ∴S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面 =π×r 22＋π×(r 2＋r 1)×5＋π×r 1×CD ＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 ＝(60＋4)π． V ＝V 台－V 锥＝π(＋r 1r 2＋)AE －πDE =π(＋2×5＋)4－π×2＝π．【考点】圆台，圆锥的表面积和体积.3.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．(1)求证：ED⊥平面EBC；(2)求三棱锥E－DBC的体积.【答案】(1)见解析；（2）【解析】(1)易得△DD1E为等腰直角三角形DE⊥EC，BC⊥平面 BC⊥DE，所以DE⊥平面EBC平面DEB⊥平面EBC．（2）需要做辅助线，取CD中点M，连接EM∥，DCB（这个证明很关键），然后根据公式.试题解析：(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．∴△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°．同理∠C1EC＝45°．∴，即DE⊥EC．在长方体ABCD－中，BC⊥平面，又DE平面，∴BC⊥DE．又，∴DE⊥平面EBC．又∴平面DEB⊥平面EBC．（2）取CD中点M，连接EM，E为D1C1的中点，∥，且,又DCB.【考点】线面垂直，三棱锥的体积.4.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是．【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径为，母线长，由于侧面积相等，，，，.【考点】圆柱的体积公式应用.5.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（）A．8:27B．2:3C．4:9D．2:9【答案】C【解析】由题意，故选C【考点】球的体积和表面积6.棱长为4的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为_____________.【答案】48【解析】正方体的外接球的球心为正方体的中心，球的直径为正方体的对角线，所以球的表面积为【考点】正方体的外接球7.如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为的正方体中分离出来的.有如下结论：①在图中的度数和它表示的角的真实度数都是；②；③与所成的角是；④若，则用图示中这样一个装置盛水，最多能盛的水.其中正确的结论是（请填上你所有认为正确结论的序号）.【答案】①④【解析】①∵在正视图的等腰直角中，在图中的度数和它表示的角的真实度数都是，故①正确；②补全正方体如图所示：连接．∵，∴是正三角形，故．而＝＝，故②错；③连接、，∵，∴是正三角形，所以与所成的角是，故③错；④用图示中这样一个装置来盛水，那么盛最多体积的水时应是三棱锥的体积．又＝＝＝，故④正确，故填①④．【考点】1、正方体的性质；2、异面直线所成角；3、三棱锥的体积．8.已知一个正三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等，底面边长为，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设该正三棱锥为，依题意两两垂直且，所以，且该正三棱锥的外接球与以为邻边的正方体的外接球是相同的，正方体的边长为，体对角线长为，故球的半径为，所以球的表面积为，故选A.【考点】1.三棱锥的外接球；2.球的表面积公式.9.如图，已知直三棱柱中，，，，D为BC的中点.（1）求证：∥面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）略（2）【解析】（1）连接交于点O，连接OD，在中可根据中位线证得∥，再根据线面平行的性质定理可证得∥面。
8.3简单几何体的表面积和体积说课稿2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修二
《简单几何体的表面积与体积》说课稿各位老师，大家好：今天我说课的内容是《简单几何体的表面积与体积》。
本节位于必修课程主题三几何与代数对应立体几何初步这一单元。
本节之前从形的角度认识了空间几何体，接下来将从度量的角度进一步认识空间几何体。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学分析、教学评价等六方面加以分析和说明。
一、说教材分析。
1. 内容结构：2.内容分析：本节主要内容是简单几何体的表面积和体积的计算方法，是在前面学习了基本立体图形的分类、概念、结构特征、平面表示的基础上，从度量的角度进一步认识简单几何体．也是研究生产、生活中更复杂形状的物体的表面积和体积的基础。
本节内容包括棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积．3.育人价值：在实际教学过程中，在对简单几何体的表面积与体积公式的了解与使用公式解决简单的实际问题过程中，提高学生逻辑推理、数学运算、直观想象等素养和空间想象等能力，让学生体会数学来源于生活，激发学习激情。
二、说学情分析。
1.学生在小学、初中阶段已经学习了正方体、长方体、圆柱的表面积和体积以及圆锥体积的计算方法．2.通过之前的学习，学生已经熟悉一些平面图形和空间几何体的互化的思想，尤其是空间几何问题向平面问题的转化。
3.学习圆的面积公式时“分割、近似替代、求和、取极限”这种思想已有体现，现在需要学生进一步体会这种重要思想方法。
三、说教学目标。
目标：1）.掌握简单几何体的表面积和体积公式，并能利用这些公式解决简单的实际问题； 简单几何体的表面积和体积 柱体、椎体、台体的表面积和体积 球的表面积和体积（第三课时） 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积（第二课时） 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(第一课时) 球的体积球的表面积2）.柱体、锥体、台体、球的体积公式的推导过程，掌握探究过程中的类比、一般化与特殊化、极限等数学思想方法，并尝试使用这些数学思想方法进行数学学习．目标分析：（1）学生能结合基本立体图形的结构特征掌握简单几何体的表面积和体积公式；能从联系的角度认识柱体、锥体、台体的体积公式的联系。
高一数学课件：球的体积和表面积
□ 1.球的体积
如果球的半径为 R，那么它的体积 V＝
1 43πR3 .
2.球的表面积
□ 如果球的半径为 R，那么它的表面积 S＝ 2 4πR2 .
4
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1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)决定球的大小的因素是球的半径．( √ ) (2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半 径．( √ ) (3)球的体积 V 与球的表面积 S 的关系为 V＝R3S.( √ )
S＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π. 该几何体的体积为 V＝23＋12×43π×13＝8＋23π.
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拓展提升
(1)由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积 和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含 义．
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3.(教材改编，P27，例 4)若球的过球心的圆面圆周长是 c，
则这个球的表面积是( )
c2 A.4π
c2 B.2π
c2 C. π
D．2πc2
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探究 2 球的三视图 例 2 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表 面积和体积．
学高一数学1.3.2球的体积和表面积2必修2
【规律方法】 球的轴截面(球的过直径的 截面)是将球的问题(立体问题)转化为圆的 问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有 关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并 充分利用它来分析解决问题．
变式 1 用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的
截面面积为 π，则球的体积为( )
A.332π
B.83π
长为 l，上、下底面半径分别为 r1、r2，
在 Rt△BOC 中，
r1r2＝R2，r1＋r2＝l
①
依题意，有πl4rπ1＋R2r2＝34
②
将①代入②，得r14＋Rr222＝34⇔
(r1＋r2)2＝136R2
③
这时球体积与圆台体积分别为
V 球＝43πR3，V 台＝13πh(r21＋r1r2＋r22)
变式 3 (2010 年高考课标全国卷)设长方体的长、
宽、高分别为 2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则
该球的表面积为( )
A．3πa2
B．6πa2
C．12πa2
D．24πa2
解析：由于长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a， 则长方体的体对角线长为 2a2＋a2＋a2＝ 6a.又长方 体外接球的直径 2R 等于长方体的体对角线，∴2R＝ 6 a.∴S 球＝4πR2＝6πa2.
则根据长方体的对角线性质，得(2R)2＝a2 ＋a2＋(2a)2，
即 4R2＝6a2，所以 R＝ 26a. 从而 V 半球＝23πR3＝23π( 26a)3＝ 26πa3，V 正方体＝a3. 因此 V ∶ 半球 V ＝ 正方体 26πa3∶a3＝ 6π∶2.
【规律方法】 解决与球有关的组合体问 题，可通过画过球心的截面来分析．例如， 底面半径为r，高为h的圆锥内部有一球O， 且球与圆锥的底面和侧面均相切．过球心O 作球的截面，如图所示，则球心是等腰 △ABC的内接圆的圆心，AB和AC均是圆锥 的母线，BC是圆锥底面直径，D是圆锥底 面的圆心．
高考数学一轮复习 第7章 立体几何 7.2 空间几何体的表面积与体积课件 文
积．12/8/2021
搞清组合体构成部分，分别求其表面
第十八页，共五十五页。
解析 由三视图可得圆锥的母线长为 22＋2 32＝4， ∴S 圆锥侧＝π×2×4＝8π.又 S 圆柱侧＝2π×2×4＝16π，S ＝ 圆柱底 4π，∴该几何体的表面积为 8π＋16π＋4π＝28π.故选 C.
12/8/2021
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第三十页，共五十五页。
解析 由三视图知该零件是两个圆柱的组合体．一个 圆柱的底面半径为 2 cm，高为 4 cm；另一个圆柱的底面半 径为 3 cm，高为 2 cm.则零件的体积 V1＝π×22×4＋ π×32×2 ＝ 34π(cm3) ． 而 毛 坯 的 体 积 V ＝ π×32×6 ＝ 54π(cm3)，因此切削掉部分的体积 V2＝V－V1＝54π－34π＝ 20π(cm3)，所以VV2＝5240ππ＝1207.故选 C.
由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，
r，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．
∴r＝
12－122＝
3 2.
∴圆柱的体积为 V＝πr2h＝34π×1＝34π.故选 B.
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第四十一页，共五十五页。
2．正三棱锥 A－BCD 内接于球 O，且底面边长为 3，
16π 侧棱长为 2，则球 O 的表面积为____3____．
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第二十六页，共五十五页。
A．110 B．116 C．118 D．120 此题应采用割补法求解．
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第二十七页，共五十五页。
解析 如图，过点 A 作 AP⊥CD，AM⊥EF，过点 B 作 BQ⊥CD，BN⊥EF，垂足分别为 P，M，Q，N，连接 PM， QN，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底 面积为12×10×3＝15.棱柱的高为 8，体积 V＝15×8＝120. 故选 D.
人教版高一数学知识点5篇总结最新
人教版高一数学知识点5篇总结最新高中数学是很多同学的噩梦，知识点众多而且杂，对于高一的同学们很不友好，建议同学们通过总结知识点的方法来学习数学，这样可以提高学习效率。
下面就是给大家带来的人教版高一数学知识点总结，希望能帮助到大家！人教版高一数学知识点1空间几何体表面积体积公式：1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh体积:πR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:πR2+πR[(h2+R2)的]体积:πR2h/3(r为圆锥体低圆半径,h为其高,3、a-边长,S=6a2,V=a34、长方体a-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc5、棱柱S-h-高V=Sh6、棱锥S-h-高V=Sh/37、S1和S2-上、下h-高V=h[S1+S2+(S1S2) /2]/38、S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中h-高,V=h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r-底半径,h-高,C—底面周长S底—底面积,S侧—,S表—表面积C=2πrS底=πr2,S 侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h10、空心圆柱R-外圆半径,r-内圆半径h-高V=πh(R -r )11、r-底半径h-高V=πr h/312、r-上底半径,R-下底半径,h-高V=πh(R2+Rr+r2)/313、球r-半径d-直径V=4/3πr =πd /614、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/315、球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/616、圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/417、桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=πh(2D2+d2)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)人教版高一数学知识点21、函数零点的定义(1)对于函数)(xfy，我们把方程0)(xf的实数根叫做函数)(xfy的零点。
人教A版数学课件 必修二 1.3 空间几何体的表面积与体积2
解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与 圆柱体积之差，即:
V 3 122 610 3.14 (10)2 10
4
2
2956(mm3 ) 2.956(cm3)
10mm
所以螺帽的个数为 5.8×1000÷(7.8×2.956)≈252(个) 答：这堆螺帽大约有252个．
知识小结:
22
V旋转体
V圆锥CO
V圆锥BO
3
2
变式：如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、
俯视图为全等的等腰直角三角形，如 果直角三角形
的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ D ）
A．1
B． 1
2
C． 1
3
D． 1 6 [来
图(1)
例2:一堆规格相同的铁制六角螺帽，共重5.8 kg,已知 底面是正六边形，边长为12mm,内孔直径为10mm,高为 10mm,问这堆六角螺帽大约有多少个？ 12mm
柱体、锥体与台体的体积
V柱体 Sh(S是底面积 , h是高)
V锥体
1 3
Sh(S是底面积, h是高)
V台体
1 (S' 3
S'S S)h
(S', S分别是上下底面面积 , h是台体高 )
思考:你能发现三者之间的关系吗？
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
C 2．如图所示，圆锥的底面半径为 1，高为 3 ，则圆锥的表面积为（ ）
A．
B． 2 C．3 D． 4
3．正三棱锥的底面边长为 3，侧棱长为 2 3 ，则这个正三棱锥的体积是（ ）
A． 27 4
高一数学必修2课件：1-3-1-1 柱体、锥体、台体的表面积
因为BC＝a，SD＝ SB2－BD2 ＝ a2－a22＝ 23a， 所以S△SBC＝12BC·SD＝12a× 23a＝ 43a2. 因此，四面体S－ABC的表面积S＝4× 43a2＝ 3a2.
(2)如上图所示，圆锥的底面半径r＝a2，母线长l＝a，则其 表面积为S表＝πr(r＋l)＝π×a2(a2＋a)＝34πa2.
B．2
3 C.2
1 D.2
[答案] A
[分析] 如图所示，设O1、O分别为棱台上、下底面中 心，M1、M分别为B1C1、BC的中点，连接O1M1、OM，则 M1M为斜高．
过M1作M1H⊥OM于H点，则M1H＝OO1， S侧＝4×12(1＋2)·M1M， S上底＋S下底＝5. 由已知得2(1＋2)·M1M＝5， ∴M1M＝56. 在Rt△M1HM中，MH＝OM－O1M1＝12. ∴M1H＝O1O＝ M1M2－MH2 ＝ 562－122＝23.
学法指导 必须由三视图准确地还原几何体，再根据定 义或公式求出几何体的表面积．
[例4] 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图1， 则其表面积等于________．
[答案] 6＋2 3
[解析] 通过三视图还原三棱柱直观图如图2，通过正视
图可以得出该三棱柱底面边长为2，侧棱长为1，三个侧面为
矩形，上下底面为正三角形，∴S表＝3×(2×1)＋2×
43×22
＝6＋2 3.
(2011·安徽高考)一个空间几何体的三视图如下图所示，则 该几何体的表面积为( )
A．48 C．48＋8 17
B．32＋8 17 D．80
[答案] C
[解析] 由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的直棱
高一数学人教A版必修2：1-3-1-2 柱体、锥体、台体的体积
第十一页，编辑于读教材P25－26，回答下列问题： 1．柱体的体积 (1)棱柱(圆柱)的高是指 两底面 之间的距离，即从一底面 上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的 交点)之间的距离． (2)柱体的底面积为S，高为h，其体积V＝ Sh .特别地，圆 柱的底面半径为r，高为h，其体积V＝ πr2h .
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第二十六页，编辑于星期日：二十二点 二分。
[分析]明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问 题的关键．因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面 下降部分实际是一个小圆柱，这个小圆柱的底面与玻璃杯的 底面一样，是一直径为20cm的圆，它的体积正好等于圆锥形 铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度．
第一章
空间几何体
第一章 空间几何体
第一页，编辑于星期日：二十二点 二分。
第一章
1．3 空间几何体的表面积与体积
第一章 空间几何体
第二页，编辑于星期日：二十二点 二分。
第一章
1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
第一章 空间几何体
第三页，编辑于星期日：二十二点 二分。
第一章
第2课时 柱体、锥体、台体的体积
[答案] (6＋π)
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第三十三页，编辑于星期日：二十二点 二分。
[解析] 此几何体是由一个长为3，宽为2，高为1的长方 体与底面直径为2，高为3的圆锥组合而成的，故V＝V长方体＋V圆 锥＝3×2×1＋π3×12×3＝(6＋π)m3.
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第二十八页，编辑于星期日：二十二点 二分。
高一数学空间几何体的表面积和体积知识点及题型例题
空间几何体的表面积和体积例题解析一．课标要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆，理解为主）。
二．命题走向----用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；三．要点精讲1．多面体的面积和体积公式表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。
四．典例解析题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy )2()1(由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16所以l =4(cm)。
点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。
我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。
例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=3π。
（1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。
图1 图2解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。
作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。
由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。
∵∠A 1AM=∠A 1AN ，∴Rt△A 1NA≌Rt△A 1MA,∴A 1M=A 1N ，从而OM=ON 。
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解： Q 长方体内接于球 球的直径等于长方体的对角线长 (2 R ) 3 + 2 + ( 3 ) 16 R 2
2 2 2 2 3 S 4R 2 16且V 4 R 3 32 3
练习：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的 体积之比_________. 1:2 2 :3 3
小结：
（1）有关球和球面的概念。
4 3 V R （2）球的体积公式： 3
2 S 4 R 球的表面积公式： 球
（3）球的体积公式和表面积的一些运用。
（4）多面体的“切”、“接”问题，必须 明确“切”、“接”位置和有关元素间的 数量关系，常借助“截面”图形来解决。
BI胎牛血清 /xueqing/BI-xueqing.html BI胎牛血清
3
x 2.24
2 x 4.5
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
(变式2)把直径为5cm钢球放入一个正方体的 有盖纸盒中,至少要用多少纸?
分析：用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 球内切于正方体
解：当球内切于正方体时用料最省时 此时棱长＝直径＝5cm
S 全 6 5 150cm
直径 O
半径
球心
2、 球的表面积
o
定理：半径为R的球的表面积是
S 4R
2
思考：经过球心的截面圆面积是什么？它与球的 表面积有什么关系？
球的表面积等于球的大圆面积的4倍
3、 球的体积
4 3 定理：半径为R的球的体积是 km，火星的直径约为地球的一半。 (1)求地球的表面积和体积； (2) 火星的表面积约为地球表面积的几分之几？体积呢？
探究：若正方体的棱长为a，则： ⑴正方体的内切球的直径=a ⑵正方体的外接球的直径=
3a
2a
⑶与正方体所有的棱相切的球的直径=
例5、如图是一个奖杯的三视图,单位是cm， 试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积. (精确到0.01cm)
z/
6 15 8 18 6
11
11
y/
15
x/
解：这个奖杯的体积为 V=V正四棱台+V长方体+ V球 其中 V正四棱台 1 5 (152 + 15 11+112 ) 851.667 3 V长方体 =6×4 8×18=864 3 113.097 3 V球= 3 所以这个奖杯的体积为 V ≈ 1828.76（cm3）
2 S 4 R 球 得: S圆柱侧 2R 2 R 4R 2
S 球 S圆柱侧
QS 4 R 2 + 2 R 2 6 R 2 圆柱全
S 球 4R 2
(2)
S球
2 S圆柱全 3
课堂练习
练习一
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___ 2 倍.
问题提出
1.柱体、锥体、台体的体积公式分 别是什么？圆柱、圆锥、圆台的表面积 和体积公式分别是什么？ 2.球是一个旋转体，它也有表面积 和体积，怎样求一个球的表面积和体积 也就成为我们学习的内容.
讲授新课
1、球的概念
与定点的距离小于或等于定长的点的集合， 叫做球体，简称球
定点叫做球的球心
定长叫做球的半径 与定点的距离等于定长 的点的集合，叫做球面
2 2 （1） S 8 2 解： 地球=4R =4 x 6370 5.10x10 (km )
4 3 4 V地球 = R = x 63703 1.08x1012 (km 3) 3 3
2 1 S火 4R火2 R火2 ( 2 R地) 1 = = = = 2 2 2 S地 4R地 4 R地 R地
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间就好了。慕容凌娢看着若曦离去的背影，有些自嘲的笑了笑，若不是真的遇到了这种狗血的事情，她怎么会发现自己的忍耐性这么强……(古风 一言)那时，谁叹红颜出落尘。而今，不破楼兰终难还。第025章 士可杀不可辱“白绫……”若曦难为情的叫了一声慕容凌娢，语气中充满了纠结。 “没事，你去吃饭吧。”慕容凌娢大大咧咧的笑着，“就这点小事，我马上就可以做完。”“好的，那我先去吃饭了！”若曦如释重负的笑了笑。 只是刚刚认识而已，我怎么能指望她帮我呢？更何况这样反而会连累她。排外这种情况很正常，过一段时间就好了。慕容凌娢看着若曦离去的背 影，有些自嘲的笑了笑，若不是真的遇到了这种狗血的事情，她怎么会发现自己的忍耐性居然这么强，甚至到了连自己都觉得自己懦弱的地步。 人已经全部走了，慕容凌娢对着满地的碎片发呆。饭菜的香气已经不能激起她的食欲了。这超级狗血的剧情是怎么回事？开玩笑的吧，我是在做 梦，我一定是在做梦！慕容凌娢摇了摇脑袋，再次看向地面，依旧是满地的瓷片。“巴拉 拉能量！古那拉黑暗之神！碎片消失！”慕容凌娢对着 地面大叫了一声，盘子的碎片折射 出了窗外皎洁的月光……“为什么……这不科学……”慕容凌娢喃喃自语，“‘巴拉 拉能量’不是万能的 吗？”停顿了片刻，慕容凌娢叹了口气，蹲下来一片一片地捡起那些碎片。半个小时过去了，慕容凌娢终于清理了所有的碎片。……“呼～”慕 容凌娢喘了一口气，用手擦了擦汗，“可以去吃饭了！”抬脚刚要走 ，慕容凌娢瞥到了随意堆积在旁边的碗碟。这是别的女工去吃饭时留下来的。 到底洗不洗呢……我干嘛要洗啊，这明明就不是我的事，就算不洗，也怪不到我身上……应该不会怪到我身上的吧……可是人们那么多，万一一 口咬定是我没干完怎么办……算了算了，谁让我胆子变小了呢，就当积德行善了，反正已经这么晚了，在浪费点时间也没什么了，把这些都洗了 吧。慕容凌娢到院子中打了一大盆水，索性一屁股坐在了水盆旁边，边刷碗边小声嘀咕着。“百蝶你这个心机婊……真是太记仇了……我……我 鄙视你……嗯……嗯～呼……”慕容凌娢说着说着，声音渐渐变小了，接着变成了极弱的哼哼声，头一栽一栽的打起了瞌睡。慕容凌娢没有感觉 到自己的头正在大幅度的下落，只是觉得被一个人从后边一把拽住了头发。“啊！疼死老娘了！”慕容凌娢惨烈的叫声在深夜中显得格外惊悚。 “呜～”慕容凌娢刚想爆粗口，结果嘴已经被一只冰凉而细腻的手给捂住了。“叫什么叫，大半夜什么叫！把别人吵醒了看你怎么办。”慕容凌 娢扭过头，看见百蝶站在自己身后，有些好笑的看着自己。“刚刚你说的话我可都听见了！”“听见就听见吧。”慕
（2 ）
3 4 1 3 V火 3 R火 R火3 ( 2 R地) 1 = = = = 3 3 V地 4 8 R地 R地 3 R地 3
例2、如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.
证明: (1)设球的半径为R, 则圆柱的底面半径为R,高为2R. R O
2
2
答：至少要用纸150cm2
两个几何体相切:一个几何体的各个面与另一个几何体 的各面相切.
例4.如图，正方体的棱长为a,它的各个顶点都 在球的球面上，求球的表面积和体积。
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
解： Q 正方体内接于球 球的直径等于正方体的对角线长 (2 R) 3a R
例3.钢球直径是5cm,求它的体积和表面积.
4 3 4 5 3 125 3 解 : V R ( ) (cm ) 3 3 2 6 5 2 2 2 S 4R 4 ( ) 25 (cm ) 2 125 3 2 答 : 钢球的体积为 cm , 面积为25cm . 6
4 倍. 2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___
1: 2 2 3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.
3 1 : 4. 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______
课堂练习
练习二
5.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π , 4 . 则两球的直径之差为______ 6.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是______. 123 3
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是 5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
“内径”是指内壁的直径， “外径”是指外壁直径。
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
4 5 3 4 7.9 [ ( ) x 3 ] 142 3 2 3
5 3 142 3 x ( ) 11.3 2 7.9 4
2 2 2 2 3 2
a
4 3 3 3 2
S 4R 3a 且V R
a
3
两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一 个几何体的表面上。
(变式) 球的内接长方体的长、宽、高分别为3、 2、 ,求此球体的表面积和体积。 3
分析：长方体内接于球，则由 球和长方体都是中心对称图形 可知，它们中心重合，则长方 体对角线与球的直径相等。