运筹学期末总复习

× ×
判断：
× × √ 5、线性规划可行域无界，则具有无界解。 、线性规划可行域无界，则具有无界解。 6、线性规划问题的可行域一定是凸集。 、线性规划问题的可行域一定是凸集。 7、用单纯形法求解一般线性规划时，当目标函 、用单纯形法求解一般线性规划时， 数求最小值时，若所有的检验数Cj-Zj≥0， 数求最小值时，若所有的检验数 ， 则问题达到最优。 则问题达到最优。 8、在非标准线性规划问题中，如果在约束条件 、在非标准线性规划问题中， 中出现等式约束， 中出现等式约束，为了产生初始可行基需要 增加松弛变量。 增加松弛变量。 9、当满足最优解，且检验数为零的变量的个数 、当满足最优解， 大于基变量的个数时，可求得无界解。 大于基变量的个数时，可求得无界解。
第六章 动态规划
用动态规划的方法求解最短路问题。 用动态规划的方法求解最短路问题。 5 C1 2 8 D1 3 3 B1 4 5 E1 4 4 C2 6 5 6 D2 A 3 3 2 5 8 1 7 C3 4 3 E2 B2 8 4 D3 7 C4
F
第七章 网络优化模型
图的基本概念 树的性质 最小生成树 最大流问题
√
判断：
√ √ 5、运输问题给出初始基可行解，从每一空格出 、运输问题给出初始基可行解， 发可以找出而且仅能找出唯一的闭回路。 发可以找出而且仅能找出唯一的闭回路。 6、如果运输问题单位运价表的某一行（某一列） 、如果运输问题单位运价表的某一行（某一列） 元素分别加上一个常数k，最优运输方案不会 元素分别加上一个常数 ， 发生变化。 发生变化。 7、如果运输问题单位运价表的某一行（某一列） 、如果运输问题单位运价表的某一行（某一列） 元素分别乘上一个常数k， 元素分别乘上一个常数 ，最优运输方案不会 发生变化。 发生变化。
劳动力 材 料 产品利润（ 产品利润（元/件） A 6 3 1 B 3 4 2 C 5 5 4 可用量(单位) 可用量(单位) 65 40
（1）确定获利最大的产品生产计划； 确定获利最大的产品生产计划； 求其对偶问题的最优解； （2）求其对偶问题的最优解； 产品A的利润变为3 上述最优计划变不变； （3）产品A的利润变为3时，上述最优计划变不变； 如变化，请写出新的最优生产计划。 如变化，请写出新的最优生产计划。 若设计一种新产品D 单件劳动力消耗为8单位， （4）若设计一种新产品D，单件劳动力消耗为8单位， 材料消耗为2单位，每件可获利3 材料消耗为2单位，每件可获利3元，问该种产品 是否值得生产？ 此时假设A的利润仍为1 是否值得生产？(此时假设A的利润仍为1元）
运筹学期末总复习
第二章 线性规划
1、线性规划数学模型的标准形式： 、线性规划数学模型的标准形式：
m z = ∑cj xj ax
n
特点： 特点： j= 1 a、目标函数：max 、目标函数： n b、约束条件：等式 、约束条件： , , ∑aij xj = bi (i =12,L m) c、决策变量≥0 、 st. j=1 d、bi≥0 x ≥ 0( j =12,L n) , , j 线性规划数学模型的三个要素： 线性规划数学模型的三个要素： 决策变量、目标函数、 决策变量、目标函数、约束条件
2、对偶问题的性质： 对偶问题的性质：
弱对偶性及其推论 最优性 强对偶性 互补松弛性 变量的对应关系
3、灵敏度分析
（1）系数cj变化 系数c （2）bi变化 增加一变量x （3）增加一变量xj （4）增加一个约束条件 （5）aij发生变化
判断：
√ √ × 1、对偶问题的对偶问题一定是原问题。 、对偶问题的对偶问题一定是原问题。 2、根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时， 、根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时， 其对偶问题无可行解，反之，但对偶问题无 其对偶问题无可行解，反之， 可行解时，其原问题具有无界解。 可行解时，其原问题具有无界解。 3、若线性规划问题有无穷多最优解，则其对偶 、若线性规划问题有无穷多最优解， 问题也一定具有无穷多最优解。 问题也一定具有无穷多最优解。 4、在完全市场经济条件下，当某种资源的市场 、在完全市场经济条件下， 价格低于影子价格时，企业应买进资源， 价格低于影子价格时，企业应买进资源，否 则应卖出。 则应卖出。
− x1 + x 2 + x 3 = 4 − 2 x1 + x 2 − x 3 ≤ 6 x ≤ 0 ， x ≥ 0 ， x 无约束 2 3 1
2、某厂生产A,B,C三种产品，其所需劳动力、材料 某厂生产A,B,C三种产品，其所需劳动力、 A,B,C三种产品 等数据见下表。 等数据见下表。
2、线性规划问题解的四种情况: 线性规划问题解的四种情况:
唯一最优解 无穷多最优解 无界解 无解(无可行解) 无解(无可行解)
3、单纯形法计算步骤
列出初始单纯形表 寻找初始基可行解 计算σ 计算σ，进行最优性检验 所有σ≤0 所有σ 否 是否有换出变量 否 无 界 解 是 存在人工 否 变量≠ 变量≠0 是 无 解 唯一最 优解 否 存在非 基变量 检验数 =0 是 无穷多 最优解
×
第五章 整数规划
m ax(m ) z = ∑ jxj in c a , , ) ∑ ijxj ≤ (≥, =)bi (i = 1 2,L m j=1 st.xj ≥ 0(j = 1 2,L n) , , x 部分或全部取整数 j
n j=1 n
整数规划问题的松弛问题
整数规划的可行域： 最优目标函数值Z’* 整数规划的可行域：R’ 最优目标函数值 松弛问题的可行域： 最优目标函数值Z* 松弛问题的可行域：R 最优目标函数值 优于Z’* 则 R⊃ R' , Z*优于 优于 ⊃
判断：
× × √ 1、整数规划解得目标函数值一般优于其相应的 、 线性规划问题的解得目标函数值。 线性规划问题的解得目标函数值。 2、指派问题效率矩阵的每个元素都乘上同一常 、 数k，不影响最优指派方案。 ，不影响最优指派方案。 3、指派问题数学模型的形式同运输问题十分相 、 故也可以用表上作业法求解。 似，故也可以用表上作业法求解。
j
假想一产地A 假想一产地 m+1，令产量为 ∑bj −∑ai ， j=1 i=1 一般运价c 一般运价 = 0
m
判断：
× × × 1、正偏差变量取正值，负偏差变量应取负值。 、正偏差变量取正值，负偏差变量应取负值。 2、目标规划模型中，应同时包含绝对约束和目 、目标规划模型中， 标约束。 标约束。 3、运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而 、运输问题是一种特殊的线性规划模型， 求解结果也可能出现下列四种情况： 求解结果也可能出现下列四种情况：有唯一 最优解、无穷多最优解、无界解、无可行解。 最优解、无穷多最优解、无界解、无可行解。 4、表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯 、 形法。 形法。
2、运输问题
表上作业法求解运输问题步骤： 表上作业法求解运输问题步骤： 确定初始运输方案：最小元素法、 （1）确定初始运输方案：最小元素法、沃格尔法 判断是否为基可行解：基变量个数为m+n m+n判断是否为基可行解：基变量个数为m+n-1个 对初始运输方案进行检验， （2）对初始运输方案进行检验，确定是否为最优运 输方案： 输方案：对偶变量法 如果不是最优运输方案， （3）如果不是最优运输方案，进行调整得到新的运 输方案： 输方案：闭回路法 重复2 （4）重复2、3步直到找到最优运输方案 注意：运输问题解的退化。 注意：运输问题解的退化。
×
×
第三章 对偶理论
1、线性规划问题的对偶问题： 线性规划问题的对偶问题：
线性规划原问题与对偶问题的关系见： 线性规划原问题与对偶问题的关系见： 对称形式： 对称形式： max z=C X s.t. AX ≤ b X ≥0 min w=b’Y s.t. A’Y ≥ C’ Y ≥0
方程对变量，变量对方程； 方程对变量，变量对方程； 正常对正常，不正常对不正常； 正常对正常，不正常对不正常； 变量正常是非负， 变量正常是非负，方程正常看目标 (max ≤ ，min ≥)。 。
第四章 线性规划的进一步讨论
1、目标规划 、 （1）偏差变量 d+,d） d+ ≥0，d- ≥0，d+ • d- = 0 ， ， （2）目标函数 ） 决策值=目标值 min{ f (d+ + d- ) } 决策值 目标值 决策值<目标值 min{ f (d+) } 决策值 目标值 决策值>目标值 min{ f (d- ) } 决策值 目标值
2、产销不平衡运输问题的处理
产销不平衡问题 产销平衡问题
m n
（1）总产量 > 总销量 ）
假想一销地Bn+1，令销量为 假想一销地
∑a > ∑b
i=1 i m j=1 n i=1 i
j
，运价c ∑a −∑b 运价 = 0
j=1 j
（2）总产量 < 总销量 ）
∑a < ∑b
i=1 i j=1 n
m
n
寻找换入， 寻找换入，换出变量 求新基可行解
判断：
√ √ 1、图解法同单纯形法虽然求解的形式不同， 、图解法同单纯形法虽然求解的形式不同， 但从几何上理解，两者是一致的。 但从几何上理解，两者是一致的。 2、线性规划模型中增加一个约束条件，可行 、线性规划模型中增加一个约束条件， 域范围一般将缩小，减少一个约束条件， 域范围一般将缩小，减少一个约束条件， 可行域范围一般将扩大。 可行域范围一般将扩大。 3、线性规划问题的每一个基解对应可行域的 、 一个顶点。 一个顶点。 4、线性规划问题的可行解如为最优解，则该 、线性规划问题的可行解如为最优解， 可行解一定是基可行解。 可行解一定是基可行解。
√ √
练习题： 练习题：
1、写出下列线性规划问题的标准形式及对偶问题。 写出下列线性规划问题的标准形式及对偶问题。 （1） max z = x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 − x1 + x 2 − x 3 − 3 x 4 = 5 6 x + 7 x + 3x − 5 x ≥ 8 1 2 3 4 12 x 1 − 9 x 2 − 9 x 3 + 9 0 ， x 4 无约束 （2） min z = 2 x 1 − 2 x 2 + 3 x 3