时间序列分析

形如zt 1 zt 1 2 zt 2 ... p zt p at , 且满足： (1){at }为白噪声序列； (2) p 0, 且Ezt as 0, t s; Ezt at 2 (3) p ( B) 0的根在单位圆外，即B 1， p ( B) 1 1 B 2 B 2 ... p B P，B为后项算子，B P zt zt p 模型的简化形式为： p ( B) zt at
rk 1, 1 rk r0 r0
三、偏自相关函数（PACF) 1、偏自相关函数用来考察扣除zt 和zt+k之间zt+1 ， zt+2，…， zt+k-1影响之后的zt 和zt+k之间的相关 性。
2、偏自相关函数的定义 设{zt}为零均值平稳序列， zt+1 ， zt+2，…， zt+k-1对zt 和zt+k 的线性估计为：
11
四、 随机序列的特征描述
（1）样本均值
1 n z zt c n t 1
（2）样本自协方差函数
rk rk r0 rk rk 1 nk ( zt z )(zt k z )或 n t 1 1 nk ( zt z )(zt k z ) n k t 1 1 n 2 ( zt z ) n t 1 E ( zt Ezt )(zt k Ezt k ) ( zt Ezt )(zt k Ezt k )( zt zt k )dzt dzt k
j 1 j 1 k k
k 1, j kj k 1, k 1 k , k 1 j , j 1,2,...,k 2 111 11 1 , 22 , 21 11 22 1 111 3 2 21 1 22 33 1 1 21 2 22
时间变化的变更率指方差随时间变化而变化的 频率，这主要是指恩格尔在1982年发表的条 件异方差模型（ARCH），最初主要用于研 究英国的通货膨胀问题，后来广泛用作金融 分析的高级工具； 传统的计量经济学研究中，通常假定经济数据 和产生这些数据的随机过程是平稳的。格兰 杰的贡献主要是在非平稳过程假定下所进行 的严格计量模型的建立。（协整检验）
2、AR(P)模型的ACF、PACF特征 以AR(1)为例
ˆt 1zt 1 2 zt 2 k 1zt k 1 z ˆt k 1zt 1 2 zt 2 k 1zt k 1 z
φkk表示偏自相关函数，则：
ˆt ), ( zt k z ˆt k ) cov[(zt z kk ˆt ) var(zt k z ˆt k ) var(zt z
自相关函数：
(t , s )
r (t , s ) r ( t , t ) r ( s, s )
当t,s取遍所有可能的整数时，就形成了时间序 列的自相关函数，它描述了序列的自相关结 构。它的本质等同于相关系数。
第二节 平稳时间序列
一、平稳时间序列 1、定义：时间序列{zt}是平稳的。如果{zt}有有 穷的二阶中心矩，而且满足： （1）ut= Ezt =c; （2）r(t,s) = E[(zt-c)(zs-c)] = r(t-s,0) 则称{zt}是平稳的。
时间序列分析
本课程内容体系： 第一章：平稳时间序列分析导论 第二章：平稳时间序列分析的基础知识 第三章：平稳时间序列模型的建立 第四章：协整理论导论 第五章：单位根过程 第六章：单位根过程的假设检验 第七章：协整理论
第一章 平稳时间序列分析导论
一、时间序列 1、含义：指被观察到的依时间为序排列的数 据序列。 2、特点： （1）现实的、真实的一组数据，而不是数 理统计中做实验得到的。既然是真实的，它 就是反映某一现象的统计指标，因而，时间 序列背后是某一现象的变化规律。 （2）动态数据。
j 1 j 1 k k 1
例1、设动态数据16，12，15，10，9，17，11， 16，10，14，求样本均值、样本自相关函数 （SACF）和偏自相关函数（SPACF）（各 求前三项）
1 (1) z zt 13 10 1 ( z z )(zt 1 z ) r1 n t (2) 1 0.53 1 r0 2 ( z z ) t n r2 2 0.24 r0 r 3 3 0.218 r0 (16 13)(12 13) (12 13)(15 13) (10 13)(14 13) 1 (16 13) 2 (12 13) 2 (14 13) 2
含义：
a有穷二阶矩意味着期望和自协方差存在； b平稳时间序列任意时刻所对应的随机变量的均值相 等； c自协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无 关。
二、平稳时间序列的均值、自协方差和自相关 函数 1、均值函数：平稳时间序列均值为常数，为分 析方便，假定E zt=0，当均值不为零时，给每 个值减去均值后再求均值，即等于0。
3、自协方差函数和自相关函数
r (t , s ) E[( zt ut )( z s us )]
( z
t
ut )( z s us )dFt ,s ( zt , z s )
r ( t , t ) E ( z t ut ) 2 D ( z t ) r ( s, s ) E ( z s u s ) 2 D ( z s )
(3)柯尔莫哥洛夫定理与有限维概率分布 柯尔莫哥洛夫定理表明,一个随机序列的特征,可 以用它的有限维分布表示出来。
2、均值函数 对随机序列中的任一随机变量取期望。
ut Ezt zt dFt ( z ) 遍所有可能整数时，就形成了离散时间的函数ut 称ut 为时间序列的均值函数。
2、时间序列分析在经济领域的应用 20世纪70年代，G.P.Box 和G.M.Jenkins发表专 著《时间序列分析：预测和控制》，使时间 序列分析的应用成为可能。 3、现代时间序列分析的发展趋势 （1）单位根检验（2）协整检验
2003年度诺贝尔经济学奖的获得者是美国经济 学家罗伯特.恩格尔和英国经济学家克莱夫.格 兰杰。 获奖原因：“今年的获得者发明了处理许多经 济时间序列两个关键特性的统计方法：时间 变化的变更率和非平稳性。”两人是时间序 列经济学的奠基人。
（3）样本自相关函数
rk k r0
( z z )(z ( z z)
t t
t k 2
z)
（4）样本偏自相关函数
11 1 k 1,k 1 ( k 1 k 1 j kj )(1 j kj ) k 1, j kj k 1,k 1 k ,k 1 j , j 1,2,...,k
三、时间序列的分布、均值、协方差 函数 1、分布函数 (1)一维分布函数:随机序列中每个随机变量的分 布函数. F1(z) ,F2(z) ,…, Ft-1(z) , Ft(z) (2)二维分布函数:随机序列中任意两个随机变量 的联合分布函数 Fi,j(zi,zj).i,j=…,-2,-1,0,1,2,…
2 2 t
3、自相关函数ρk
(t , s)
r (t , s) r (t , t ) r ( s, s) rk r0 rk k r0 r0
平稳时间序列自协方差仅与时间隔有关，当 间隔为 零时，自协方差应相等：
4、自协方差与自相关函数的性质 (1) rk=r-k ρk= ρ-k k、－k仅是时间先后 顺序上的差异，它们代表的间隔是相同的。 (2)
(4)随机性变化 由许多不确定因素引起的序列变化。它所使用的分析 方法就是我们要讲的时间序列分析。
确定性变化分析
趋势变化分析 周期变化分析 循环变化分析
时间序列分析
随机性变化分析 AR、MA、ARMA模型
四、发展历史 1、时间序列分析奠基人： 20世纪40年代分别由Norbort Wiener 和Andrei Kolemogoner 独立给出的，他 们对发展时间序列的参数模型拟和和推 断过程作出了贡献，提供了与此相关的 重要文献，促进了时间序列分析在工程 领域的应用。
三、确定性时间序列分析与随机性时间序列分 析 时间序列依据其特征，有以下几种表现形式， 并产生与之相适应的分析方法： （1）长期趋势变化 受某种基本因素的影响，数据依时间变化时 表现为一种确定倾向，它按某种规则稳步地 增长或下降。 使用的分析方法有：移动平均法、指数平滑法、 模型拟和法等；
（2）季节性周期变化 受季节更替等因素影响，序列依一固 定周期规则性的变化，又称商业循环。 采用的方法：季节指数； （3）循环变化 周期不固定的波动变化。
3、PACF的涵义 设有zt+1，zt+2，zt+3
zt 3 1zt 2 at ˆt 3 1zt 2 z ˆt 3 )] cov(zt 1,at ) cov[zt 1, ( zt 3 z
4、pacf的推导
11 1 k 1, k 1 ( k 1 k 1 j kj )(1 j kj ) 1
第二章
平稳时间序列分析的基础知识
第一节 随机序列
一、随机过程 1、定义： 在数学上，随机过程被定义为一组随机变量， zt , t T 即，
其中，T表示时间t的变动范围，对每个固定的时刻 t 而言，Zt是一随机变量，这些随机变量的全体就构成 一个随机过程。
2、特征 （1）随机过程是随机变量的集合 （2）构成随机过程的随机变量是随时间产生 的，在任意时刻，总有随机变量与之相对应。
2、自协方差函数：平稳时间序列的自协方差
仅与时间间隔有关，而与具体时刻无关，所 以，自协方差函数仅表明时间间隔即可。
rk E[(Z t EZt )(Z t k EZt k )] EZt Z t k ( EZt 0) r0 E ( Z t EZt ) EZ DZt