核心素养专题：列一元一次方程解决古代问题
第三章《一元一次方程》核心素养单元测试卷
第三章《一元一次方程》核心素养单元测试卷考试总分：150分；考试时间：100分钟；一、单选题（每小题3分，共36分）1．下列是一元一次方程的是（ ）A ．210xB ．35x -C ．26x y +=D ．32x x -=2．如果x y =，那么根据等式的性质下列变形不正确的是（ ）A ．22x y +=+B ．55x y -=-C ．33x y =D ．22x y = 3．根据下面所给条件，能列出方程的是（ ）A ．一个数的13是6 B ．x 与1的差的14 C ．甲数的2倍与乙数的13 D ．a 与b 的和的60%4．下列变形正确的是（ ）A ．由521135x x -+-=去分母，得()()551321x x --=+ B ．由()()321254x x --+=去括号，得632104x x --+=C ．由612x x --=移项，得621x x --=D ．由23x =系数化为1，23x =5．代数式x -2与1-2x 的值相等，则x 等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x －3）－■＝x ＋1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x ＝9，请问这个被污染的常数■是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．一项工程甲单独做需要40天完成，乙单独做需要50天完成，甲先单独做4天，然后两人合作x 天完成这项工程，则可列的方程是（ ）A ．1404050x x +=+ B ．1404050x x +=⨯ C ．41404050x x ++= D ．14050x x += 8．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人3本，则剩余20本；如果每人4本，则还缺25本，这个班有（ ）学生？A ．40名B ．45名C ．46名D ．50名9．一种商品每件成本为a 元，原来按成本增加40%定出售价，现在由于库存积压减价，打八折出售，则每件盈利（ ）元．A ．0.1aB ．0.12aC ．0.15aD ．0.2a10．解方程21132x x a -+=-时，小刚在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为2x =，则方程正确的解是（ ）A ．3x =-B ．2x =-C ．13x =D ．13x 11．使得关于x 的方程44163ax x x -+-=-的解是正整数的所有整数a 的积为（ ） A ．21- B ．12- C ．6- D ．1212．张先生因急于用钱，将现有的两种股票都卖出，在只考虑买卖价格，而不计其他费用的前提下，甲种股票卖价1200元盈利20%，乙种股票恰好也卖了1200元，但亏损了20%，结果张先生此次交易中共盈利（ ）A ．120元B ．20元C ．﹣50元D ．﹣100元二、填空题（每小题4分，共16分）13．“x 的3倍与7的差等于12”可列方程为____________________．14．船在静水中的速度为50千米/时，水流速度为10千米/时，从甲码头到乙码头再返回甲码头，共用了12小时（中途不停留），则甲、乙两码头的距离为______千米．15．若x ＝4是关于x 的一元一次方程ax ﹣3bx ﹣2022＝﹣2的解，则6b ﹣2a 的值为 ___．16．对于两个不相等的有理数a 、b ，我们规定符号Max{a ，b}表示a 、b 中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规律解决问题：方程Max （x ，﹣x}=3x+2的解为_____．三、解答题（共98分）17．（12分）给出四个式子：27x -，22x +，6-，114x -． ()1用等号将所有式子两两连接起来，共有多少个方程？请写出来．()2写出()1中的一元一次方程，并从中选一个你喜欢的一元一次方程求解．()3试判断1x =-是()1中哪个方程的解．18．（10分）之前我们学习了一元一次方程的解法，下面是一道解一元一次方程的题： 解方程233x -﹣52x -＝1 老师说：这是一道含有分母的一元一次方程，我们可以根据等式的性质，可以把方程的两边同乘以6，这样就可以去掉分母了．于是，小明按照老师说的方法进行了解答，小明同学的解题过程如下：解：方程两边同时乘以6，得233x -×6﹣52x -×6＝1…………① 去分母，得：2（2﹣3x ）﹣3（x ﹣5）＝1………②去括号，得：4﹣6x ﹣3x+15＝1……………③移项，得：﹣6x ﹣3x ＝1﹣4﹣15…………④合并同类项，得﹣9x ＝﹣18……………⑤系数化1，得：x ＝2………………⑥上述小明的解题过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ．请帮小明改正错误，写出完整的解题过程．19．（8分）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现在有30立方米木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？3个参赛者的得分情况．(1)参赛者小婷得76分，她答对了几道题？(2)参赛者小明说他得了80分．你认为可能吗？为什么？x吨，自来水收费实行阶梯水价y元，收费标准如下表所示：(1)若用水量达到8吨，则需要交水费______元；若用水量达到14吨，则需要交水费______元．(2)用户5月份交水费54元，则用水为多少吨？22．（12分）某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题：()1求小明原计划购买文具袋多少个？()2学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计272元．问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？23．（12分）如图，将连续的奇数1、3、5、7 …，排列成如下的数表，用十字框框出5个数．问：①十字框框出5个数字的和与框子正中间的数17有什么关系？①若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，若设中间的数为a，用代数式表示十字框框住的5个数字之和；①十字框框住的5个数字之和能等于2000吗？若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由．某校七年级（1）（2）两个班共104人去游园，其中（1）班有40多人，不足50人．经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元．问：（1）两班各有多少学生？（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？（3）如果七年级（1）班单独组织去游园，作为组织者的你如何购票才最省钱？25．（12分）我们知道：“任何无限循环小数都可以写成分数的形式”．下面给你介绍利用一元一次方程的有关知识来解答这个问题．问题：利用一元一次方程将0.2•化成分数．解：设•0.2x =，方程两边同时乘以10得：•100.210x ⨯=，由•0.20.222---=、，得：••100.2 2.222---20.2⨯==+，所以210x x +=，解得：29x =，即•20.29=． 解答下列问题：（1）填空：将0.3•写成分数形式为 ；（2）方法归纳：由示例可知：如果循环节为1位时，设方程后两边同时乘以10．那么如果循环节为2位时，设方程后两边同时应乘以 ；（3）请你仿照上述方法把0.45••化成分数，要求写出解答过程．参考答案：1．D【分析】根据一元一次方程的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A 、210x 未知数的次数不是1，不是一元一次方程，不符合题意；B 、35x -不是方程，不是一元一次方程，不符合题意；C 、26x y +=含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；D 、32x x -=是一元一次方程，符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程．2．B【分析】利用等式的性质变形得到结果，即可作出判断．【详解】解：A 、两边都加上2得22x y +=+，，故该选项正确，不符合题意；B 、两边都减去5得55x y -=-，，故该选项不正确，符合题意；C 、两边都乘以3得33x y =，故该选项正确，不符合题意；D 、两边都除以2得22x y =，故该选项正确，不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了等式的性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．3．A【分析】根据题意列出方程或代数式，即可求解．【详解】A. 一个数的13是6，设这个数为x ，则有1=63x ，是方程，故符合题意； B. x 与1的差的14，根据题意列式为：()114x - ，不是方程，故不符合题意； C. 甲数的2倍与乙数的13，设甲数为x ，乙数为y ，根据题意可得：2x ，13y ，不是方程，故不符合题意； D. a 与b 的和的60％，根据题意列式为：()60%a b +⨯ ，不是方程，故不符合题意，故选A.【点睛】本题考查了方程的定义，解题的关键是理解方程的定义，含有未知数的等式是方程．4．C【分析】A 、方程去分母得到结果，即可作出判断；B 、方程去括号得到结果，即可作出判断；C 、方程移项得到结果，即可作出判断；D 、方程x 系数化为1，即可作出判断．【详解】解：A 、由521135x x -+-=，去分母得：5（x −5）−15＝3（2x ＋1），不符合题意； B 、由3（2x −1）−2（x ＋5）＝4，去括号得：6x −3−2x −10＝4，不符合题意；C 、由−6x −1＝2x ，移项得：−6x −2x ＝1，符合题意；D 、由2x ＝3，系数化为1，得：x ＝32，不符合题意． 故选：C ．【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键．5．B【分析】根据两个代数式相等列出方程求解即可．【详解】解：由题意得212x x -=-，解得1x =，故选B ．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意建立方程是解题的关键．6．C【分析】把x ＝9代入原方程即可求解．【详解】把x ＝9代入方程2（x －3）－■＝x ＋1得2×6-■＝10①■=12-10=2故选C ．【点睛】此题主要考查方程的解，解题的关键是把方程的根代入原方程．7．C【分析】将这项工程量看作是“1”，先分别求出甲、乙的工作效率，再根据甲先单独做4天，然后两人合作x 天完成这项工程建立方程即可．【详解】解：将这项工程量看作是“1”，则甲的工作效率为140，乙的工作效率为150， 由题意可列方程为41404050x x ++=， 故选：C ．【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．8．B【分析】可设有x 名学生，根据总本数相等和每人分3本，剩余20本，每人分4本，缺25本可列出方程，求解即可.【详解】解：设有x 名学生，根据书的总量相等可得：3x +20=4x -25，解得：x =45．答：这个班有45名学生．故答案为B.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据该班人数表示出图书数量得出等式方程是解题关键.9．B【分析】将每件成本乘（1＋40%）可求原定售价，再乘80%，即可求出现售价．【详解】解：依题意有：a ×（1＋40%）×80%−a ＝0.12a （元）．故选：B ．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．10．A【分析】先按此方法去分母，再将x=-2代入方程，求得a 的值，然后把a 的值代入原方程并解方程．【详解】解：把x =2代入方程2（2x -1）=3（x +a ）-1中得：6=6+3a -1，解得：a =13， 正确去分母结果为2（2x -1）=3（x +13）-6， 去括号得：4x -2=3x +1-6，解得：x =-3．故选：A【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义以及解一元一次方程．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．11．B【分析】先解该一元一次方程，然后根据a 是整数和x 是正整数即可得到a 的值，从而得到答案． 【详解】解：44163ax x x -+-=- 去分母得，()()64246x ax x --=+-去括号得，64286x ax x -+=+-整理得，()46a x += ①64x a=+， 当2a =时1x =，当1a =-时2x =，当2a =-时3x =，当3a =-时6x =，这些整数a 的积为()()()212312⨯-⨯-⨯-=-，故选：B ．【点睛】本题考查了一元一次方程的解法和代数式求值，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．12．D【分析】求张先生此次交易中共盈利多少元，关键要求出两种股票买进的价格，利用买价×(1+利润率)=卖价，列方程求解即可．【详解】解：设甲种股票的买价是x 元，根据题意得：（1+20%）x =1200，解得x =1000．设乙种股票的买价是y 元，根据题意得：（1-20%）y =1200，解得y =1500．(1200+1200)-(1000+1500)=-100，即张先生此次交易中亏损了，共盈利是-100元．故选D ．【点睛】本题考查了商品的利润问题，根据买价×(1+利润率)=卖价列出方程，分别求出两种股票的买价是解决此题的关键．13．3712x -=【分析】根据该数的3倍与7的差等于12，即可得出关于x 的一元一次方程，此问得解【详解】解：根据题意得，3x ﹣7＝12故答案为：3x ﹣7＝12．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．14．288【分析】设甲、乙两码头的距离为x 千米，根据顺流速度＝静水速度＋水流速度，逆流速度＝静水速度﹣水流速度，由时间的等量关系列出方程，求出方程的解即可．【详解】解：设甲、乙两码头的距离为x 千米， 依题意：=1250105010x x ++-， 解得：x ＝288，故答案为：288．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，顺流速度＝静水速度＋水流速度，逆流速度＝静水速度﹣水流速度，列出方程求解．15．-1010【分析】把4x =代入方程320222ax bx --=-得出41220222a b --=-，求出3505a b -=，再将所求代数式化简求出答案即可．【详解】解：①4x =是关于x 的一元一次方程320222ax bx --=-的解，①41220222a b --=-，①()432020a b -=，①3505a b -=，①()622325051010b a a b -=--=-⨯=-，故答案为：-1010．【点睛】题目主要考查一元一次方程的解和求代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解及整体代入求代数式的值是解题关键．16．x=﹣12【分析】分x 大于-x,x 小于-x 两种情况化简方程,求出解即可.【详解】解:①当x>-x,即x>0时,Max{x,-x}=x,方程化为x=3x+2,即x=-1,不合题意,舍去;①当x<-x,即x<0时,Max{x,-x}=-x,方程化为-x=3x+2,即-4x=2, x=12-, 故答案为: x=12-, 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用,注意理解题意分情况讨论列方程.17．()1共6个方程；() 2 4x =-；()3经检验1x =-是方程276x -=-的解．【分析】（1）根据方程的定义列出所有方程即可；（2）根据一元一次方程的定义选出（1）中符合题意的方程即可；（3）把x=1代入（1）中的方程进行检验．【详解】()1共6个方程．2722x x -=+，276x -=-，21714x x -=-，226x +=-，12214x x +=-，1164x -=-； ()2根据一元一次方程的定义可知，226x +=-，12214x x +=-，1164x -=-是一元一次方程． 解226x +=-，移项得，262x =--，合并同类项得，28x =-，系数化为1得，4x =-；()3经检验1x =-是方程276x -=-的解．【点睛】本题考查的是解一元一次方程，熟知方程的定义、一元一次方程的定义及解一元一次方程的基本知识是解此题的关键．18．①；利用等式的性质漏乘，x=139【分析】检查小明同学的解题过程，找出出错的步骤，以及错误的原因，写出正确的解题过程即可．【详解】第①步开始出现错误，错误的原因是利用等式的性质漏乘；故答案为①；利用等式的性质漏乘；正确的解题过程为：解：方程两边同时乘以6，得：233x -×6﹣52x -×6＝6， 去分母，得：2（2﹣3x ）﹣3（x ﹣5）＝6，去括号，得：4﹣6x ﹣3x+15＝6，移项，得：﹣6x ﹣3x ＝6﹣4﹣15，合并同类项，得：﹣9x ＝﹣13，系数化1，得：x ＝139． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数．19．用25立方米制作桌面，用5立方米制作桌腿 【分析】设用x 立方米制作桌面，则()30x -立方米制作桌腿，根据桌腿数量是桌面数量的4倍，列方程为()42040030x x ⨯=-，求解即可．【详解】20．解：设用x 立方米制作桌面，则()30x -立方米制作桌腿，根据题意，得()42040030x x ⨯=-，解得：25x =，则305x -=，答：用25立方米制作桌面，用5立方米制作桌腿．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，设恰当未知数，找等量关系是解题的关键．20．(1)16道(2)不可能，理由见解析【分析】（1）由图表中甲的答题情况和得分可知答对一题得5分，由乙和丙可知答错一题不但不给分，还要倒扣1分，由此设设小婷答对x 道题，根据题意列方程5(20)76x x --=，解一元一次方程即可； （2）设小明答对x 道，则答错(20)x -道，根据题意列一元一次方程，解方程即可．【详解】（1）解：由图表中甲的答题情况和得分可知答对一题得5分，由乙和丙可知答错一题不但不给分，还要倒扣1分，设小婷答对x 道题，根据题意得方程：5(20)76x x --=，52076x x ∴-+=，696x ∴=解得16x =，答：小婷答对了16道题；（2）不可能．理由如下：设小明答对x 道，则答错(20)x -道，根据题意得5(20)80x x --=， 解得503x =， ①答对题数不是整数，所以不可能．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．21．(1)16，30(2)22吨【分析】（1）按照单价×总量=总价计算即可，超过12吨的部分则分两段计算即可；（2）设5月份用水x 吨，显然用水量超过了12吨，根据等量关系：12吨的水费＋超过12吨的水费=5月份的水费，列出方程，解方程即可．（1）用水量达到8吨，则需要交水费：8×2.00=16（元）；用水量达到14吨，则需要交水费：12×2.00＋(14-12)×3.00=24＋6=30（元）；故答案为：16，30（2）设5月份用水x 吨，由于54元>12×2=24（元），表明5月份用水量超过了12吨，由题意得：12×2＋(x －12)×3=54，解得：x =22，即5月份用水22吨．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用：分段计费问题，弄懂题意，找到等量关系并正确列出方程是解题的关键．22．（1）小明原计划购买文具袋17个；（2）小明购买了钢笔20支，签字笔30支．【分析】(1)设未知数后可以根据等量关系“实际购买文具袋(比原计划多1个)的花费×0.85=原计划购买文具袋的花费-17”列方程求解；（2）设未知数后可以根据等量关系“钢笔和签字笔的总价×0.8（或80%）=272”列方程求解．【详解】解：（1）设小明原计划购买文具袋x 个，则实际购买了()1x +个，由题意得：()1010.851017x x +⨯=-．解得：17x =；答：小明原计划购买文具袋17个；（2）设小明购买了钢笔y 支，则购买签字笔()50y -支，由题意得：()865080%272y y ⎡⎤+-⨯=⎣⎦，解得：20y =，则：5030y -=．答：小明购买了钢笔20支，签字笔30支．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据题目中的等量关系设未知数列方程求解是解题关键． 23．（1）十字框框出5个数字的和=数17的5倍；（2）5,a （3）十字框框住的5个数字之和能等于2000．理由见解析．【分析】（1）算出这5个数的和，和31进行比较；（2）由图易知同一竖列相邻的两个数相隔12，横行相邻的两个数相隔2．用中间的数表示出其他四个数，然后相加即可；（3）求出（2）中的代数式的和等于5a ，可列方程求出中间的数，然后根据方程的解的情况就可以作出判断．【详解】解：(1) 5+15+17+19+29=85=517,⨯故十字框框出5个数字的和=数17的5倍；(2) a -12+a -2+a +a +2+a +12=5a ，故5个数字之和为5a ；(3)不能，5a =2000，解得a =400．而a 不能为偶数，①十字框框住的5个数字之和能等于2000．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决此题的关键是发现各个数之间的关系，能够用中间的数表示其它各数．24．（1）七年级（1）班有48人，七年级（2）班有56人；（2）省304元；（3）按照51张票购买比较省钱．【分析】（1）设七年级（1）班的人数为x 人，则七年级（2）班的人数为（104-x ）人，然后根据题意可列方程求解；（2）由表格可得两班联合起来买票的金额，然后进行比较即可；（3）由题意及表格可直接进行求解．【详解】解：（1）设七年级（1）班的人数为x 人，则七年级（2）班的人数为（104-x ）人，由题意得：()131********x x +-=，解得：48x =，①七年级（2）班的人数为：1044856-=（人）；答：七年级（1）班的人数为48人，七年级（2）班的人数为56人．（2）由表格及题意可得：两班联合起来的票钱为：1049936⨯=（元），①1240-936=304（元）；答：作为一个团体购票可省304元．（3）由（1）得：七年级（1）班的人数为48人，由表格可得：当以48人去购票时，则需花费48×13=624（元）；当以51人去购票时，则需花费51×11=561（元）；答：购买51张门票时最省钱．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．25．（1）13（2）100（3）511【详解】试题分析：（1）根据阅读材料设•0.3=x ，方程两边都乘以10，转化为3+x=10x ，求出其解即可；（2）由示例即可得出结论；（3）设••0.45=m ，方程两边都乘以100，转化为45+m=100m ，求出其解即可；试题解析：（1）解：设•0.3x =，方程两边同时乘以10得：•100.310x ⨯=，由•0.30.333---=，得：••100.3 3.333---30.3⨯==+，所以3x 10x +=， 解得：1x 3=，即•10.33=； （2）由示例知循环节为2位时，设方程后两边同时应乘以100．；（3）设••0.45x =，方程两边都乘以100得：••1000.45100x⨯=，①••0.450.454545---=，①••••1000.4545.454545---450.45⨯==+，①45x100x+=，解得：5x11 =，即••5 0.4511=．。
核心素养专题：古代问题中的勾股定理
6．中国古代对勾股定理有深刻的认识． (1)三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以 证明：用四个全等的图①所示的直角三角形拼成一 个如图②所示的大正方形，中间空白部分是一个小 正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面 积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，求(a＋ b)2的值；
解：(1)根据勾股定理可得a2＋b2＝13， 四个直角三角形的面积是 1 ab×4＝13
3．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国 明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋 千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行 二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝 笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺， 将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和
解析：将圆柱侧面展开，如图，AC＝3尺，CD＝
20 ＝4(尺)，∴AD＝
5
32 42 ＝5(尺)，∴葛藤的最
短长度为5×5＝25(尺)．
◆类型二 勾股定理的证明问题
5．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创 造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如 图①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14， 正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH 的边长为 10 .
2．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知 高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二 尺，斜之适出，问户斜几何． 注：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高 长出二尺，斜放恰好能出去． 解决下列问题：
(1)示意图中，线段CE的长为 4 尺， 线段DF的长为 2 尺； (2)设户斜长x，则可列方程为 (x－ 4)2＋(x－2)2＝x2 .
6
步： m ＝k；第三步：分别用3，4，5乘以k，得三边 长．当面积S＝150时，请用“积求勾股法”求出这个 直角三角形的三边长．
指向学科核心素养发展的解决问题教学——以“用除法估算解决问题”教学为例
住了 3 天的， 要把它平均分成三份， 每一份大约是多少， 就是
每天的住宿费， 用除法计算。 列式： 267÷3≈90 （元） 师： 你
用了估算， 为什么？ 生： 题目问的是： 每天的住宿费大约是多
少钱？ 而且在生活中很多时候我们只需要知道一个大约的钱数
就可以了。
通过分析， 学生明白了： 3 天是天数， 267 元是总钱数，
三、 结束语 章建跃老师指出， 我们的数学课堂教学应该要有一条贯穿 始终的教学主线， 而单元教学设计所要做的， 恰好就是要将这 条主线以更加具有层次性、 逻辑性的方式呈现出来， 让数学课 堂教学更加具有吸引力。 基于对数学知识和对学生认知水平的 认识， 以现实问题情境为主线， 以问题串的形式来引导和体现 数学知识的纵深发展， 学生将会基于问题情境展开数学思维活 动。 这样的教学过程将会使新知识， 尤其是数学核心概念的引 入顺理成章， 使新知识发生、 形成、 发展的过程更具现实意 义。 （基金项目： 本文系教育部“西部教学改革活动” 青海省 重点项目“基于深度学习落实学科核心素养的数学单元教学实 践研究” （课题编号： QXM17ZD02） 研究成果）
作者简介： 莫延蓉， 西宁市西关街小学。 ［责任编辑 陈景东］
47 2021 年第 3 期
师： 请你仔细观察， 用心读一读， 你读到了哪些信息？
生： 从图中我知道了他们住了 3 天一共要 267 元住宿费， 要求
的是每天的住宿费大约是多少钱？ 师： 哪位同学再来说一说？
生： 他们住了 3 天， 花了 267 元钱， 根据这两个条件就能求出
每天的住宿费是多少钱。 而题目问： 每天的住宿费大约是多少
钱？ 我们不用笔算， 估算就可以了。
（二） 引导学生用个性化的方式直观表达信息， 培养估算
初中数学教学课例《应用一元一次方程—追赶小明》课程思政核心素养教学设计及总结反思
力分析 生对应用题的理解能力较差源自合作意识不强。本节课，我设计将在教室外上课，让学生亲身体会
教学策略选 相遇问题，
择与设计
让学生体会“方程”是解决实际问题的有效模型，
并进一步培养文字语言、符号语言、图形语言的转换能
力和合作能力。
选两名学生站在 100 跑道的起点上，一名学生先跑
教学过程 5 秒钟，另一名学生再跑，直到追上前一名学生。其他
学生观察时间、速度、路程的关系。
为了提高学生的能力，将数学课由室内转到室外。 课例研究综
在核心素养背景下，课程教学要讲更多的生活素材引导 述
教学中，让学生有更多的体验。
时间之间的关系，从而实现从文字语言到符号语言的转
换．
教学目标
2、经历画“线段图”找等量关系，列出方程解决
问题的过程，进一步体验画“线段图”也是解决实际问
题的有效途径.体会“方程”是解决实际问题的有效模
型，并进一步培养文字语言、符号语言、图形语言的转
换能力．
学生学习能
学生已经学习了解一元一次方程和简单的应用，学
初中数学教学课例《应用一元一次方程—追赶小明》教学设 计及总结反思
学科
初中数学
教学课例名
《应用一元一次方程—追赶小明》
称
本节课是一元一次方程的应用，学生的重点和难点 教材分析
是分析路程、时间、速度的关系，找到等量关系。
1、能借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，
从而列出方程，解决问题．熟悉行程问题中路程、速度、
初中数学教学课例《5-2求解一元一次方程》课程思政核心素养教学设计及总结反思
元.你能从给出的信息算出 1 听果奶饮料多少钱吗 (1)你用什么方法解决这个实际问题直接计算方便吗 (2)题目中有哪些量这些量之间有什么样的等量关系式如果设
1 听果奶饮料 x 元,可列怎样的方程 【师生活动】让学生独立思考,可尝试不同的方法,只要说的有
道理就给以鼓励.在发现用算式不好解决的情况下引导使用方程来 解决.等量关系式:1 听果奶饮料的钱+4 听可乐的钱=10-3.解:设 1 听果奶饮料 x 元,那么 1 听可乐(x+0.5)元,由题意得 x+4(x+0.5)=10-3.
优越性,提高学生主动使用方程的意识;二是激发学生学习的欲望. 探究活动 2 解含有括号的一元一次方程 (教材例 3)解方程:4(x+0.5)+x=7. 【师生活动】分组交流、讨论方程的结构特点,多了括号.用自
己的语言和字母表述出来,并回忆去括号法则:去括号,看符号.是 “+”,不变号;是“-”,全变号.
方程解决实际问题重要环节. 教
２.通过观察、思考，使学生探索方程的解法，经历和体验用 学
多种方法解方程，提高解决问题的能力. 目
３．通过对与学生生活贴近的数学问题的探讨，使学生在动手、 标
独立思考的过程中，进一步体会方程模型的作用，体会学习数学的
实用性.
学 对于一般的方程，学生解方程没有。对于含有括号的方程，学
三、不能片面强调能力训练，忽视学习兴趣 培养学生的能力和创新精神必须建立在以知识为载体的基础 上。教学中，知识的形成与应用的过程都是培养学生能力和创新精 神的过程，都应受到重视。在实践新课程的过程中，有些教师对知 识的产生、发展过程不予关注，对数学定理、法则、公式等知识一 带而过，急忙转入解题教学，认为只有通过解题这样的能力训练， 才能培养学生的能力和创新精神，并且在教学中任意增加例习题的 数量和难度，让很多学生难以接受，这种片面强调能力训练的做法 既不利于培养学生的能力和创新精神。又使很多学生丧失了学习的 信心，不利于调动学生学习的积极性。
在数学课堂中如何落实数学核心素养
在数学课堂中如何落实数学核心素养
为了培养学生的数学核心素养，教师需要稳步开展数学课堂教学并优化教学模式。
在教学中，教师应该鼓励学生提出猜想，培养创新精神，让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，锻炼自己的数学思维。
此外，教师还可以创设适宜的教学情境，营造有趣开放的教学氛围，调动学生研究探究的积极性，提升学生的数学能力。
教师在讲解抽象的数学理论知识时，可以将日常生活中的应用实例与教学内容有机结合，将抽象复杂的知识形象化、具体化，提高学生研究的积极性，增进学生对相关知识点的理解和运用。
另外，教师可以利用小组合作探究模式让学生分析和讨论所提出的问题，让学生在分析问题、解决问题的过程中获得研究数学的成就感，提升学生的自主研究能力和合作探究精神。
教师在进行教学设计时要以培养学生的知识能力为切入点，并基于核心素养培养目标有效渗入数学文化知识的相关内容，让学生了解关于数学文化的相关内容，从而有效培养学生的数
学核心素养。
在研究一元一次方程时，教师可以在数学课堂教学中适当加入我国古代关于方程解析的研究，将《九章算术》中的解题方式与现代方程应用方式进行类比，让学生在掌握新知识的同时了解数学的文化知识，激发学生研究数学的积极性，提升学生对数学学科的认识。
数学文化知识是数学课堂教学的有力补充，教师在应用时要控制好使用的力度，不宜占据过多的课时。
注重核心素养的培养力求学生全面发展《鸡兔同笼》案例与反思
注重核心素养的培养力求学生全面发展《鸡兔同笼》案例与反思在数学教学中，培养学生的核心素养是至关重要的。
这不仅关乎学生的知识积累，更影响着他们的思维方式、问题解决能力以及人生观。
为了更好地培养学生的核心素养，我们需要不断创新教学方式，注重学生的全面发展。
《鸡兔同笼》这一经典问题为我们提供了一个很好的实践范例。
《鸡兔同笼》是中国古代著名的数学问题，其涉及的数学知识点包括一元一次方程、二元一次方程组等。
为了培养学生的核心素养，我们采用了以下策略：1.情境创设：通过生动的故事背景，激发学生的好奇心和探究欲望。
我们将学生置身于古代的场景中，感受数学的趣味性，引导他们主动投入到问题解决中。
这种情境创设有助于培养学生的自主学习能力和问题意识。
2.问题解决：在解决问题的过程中，我们鼓励学生自主思考，引导他们运用所学知识构建数学模型。
同时，我们还组织小组讨论，让学生在交流中互相启发，培养他们的合作精神。
这种教学方式有利于培养学生的逻辑思维和创新能力。
3.反思与总结：问题解决后，我们引导学生进行反思，总结解题过程中的得失。
这不仅有助于巩固知识，还能培养学生的批判性思维和自我反思能力。
通过反思与总结，学生可以更好地认识自己的学习状况，调整学习策略，提高学习效果。
在具体的教学过程中，我们力求做到以下几点：1.关注学生的全面发展：我们不仅关注学生的知识掌握，更注重他们在学习过程中的情感体验、思维发展以及价值观的形成。
例如，通过《鸡兔同笼》的问题解决，我们引导学生体会数学的魅力，培养他们面对困难的勇气和毅力。
同时，我们还注重培养学生的跨学科素养，将数学与文学、历史等学科相结合，拓宽学生的知识视野。
2.创新教学方式：为了更好地培养学生的核心素养，我们不断尝试新的教学方式。
例如，采用项目式学习、翻转课堂等模式，让学生在实践中学习，提高他们的自主学习和问题解决能力。
同时，我们还利用信息技术手段，如数学软件、数字化教学资源等，丰富学生的学习体验，提高他们的学习兴趣和积极性。
核心素养下的初中数学教学设计——以《一元一次方程》为例
Course Education Research课程教育研究2021年第44期在《教育部关于全面深化课程改革,落实立德树人根本任务的意见》中提出,中小学教育应该研究制定学生发展核心素养体系和学业质量标准;要根据学生的成长规律和社会对人才的需求,把对学生德智体美全面发展总体要求和社会主义核心价值观的有关内容具体化、细化;要研究学科核心素养,明确学生具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。
这使得教师对基于核心素养下的课堂教学要做出改变,本文以《一元一次方程》为例来谈谈如何基于核心素养的培养进行教学设计。
一、教学设计意图在核心素养视角的指引和新课标基本理念的指导下,结合教材课程具体特点,本节课采用“问题串连式”的教学设计,即通过具体情境引入生成多个问题,从问题中分离出本节课的主要知识点和思想方法,从而将它们有效地串连起来。
这种教学设计的特点是线条清晰,整体性强,充分体现“题中抽知,串知成链”的特点。
在活动中教师着眼于“引”,尽力激发学生求知的欲望,引导他们解决问题,并体会从算式到方程是数学的一大进步。
学生着眼于“探”,通过不断的探索尝试发现相等关系解决问题,发展探索能力和创造能力。
二、内容分析方程是初等代数的核心内容,是解决实际问题的一种重要数学模型。
方程的出现是从算术方法发展到代数方法的一个重要标志。
方程使得实际问题中的已知数与未知数通过等式连接起来。
列方程描述问题中的相等关系,解方程使问题中的未知数转化为确定的解,这种以方程为工具解决问题的思想即“方程思想”,它在本章中占有重要地位。
一元一次方程是最简单的代数方程,具备了“含有一个未知数,未知数的次数是一次”两个特征的整式方程(即等号两边都是整式的方程)。
一元一次方程中的“一元”指方程仅含有一个未知数,“一次”指未知数的次数为1。
三、目标解析(1)了解方程及一元一次方程的概念。
达成此目标的标志是学生知道方程是含有未知数的等式,一元一次方程是含有一个未知数,且未知数的次数是一次的整式方程;能准确判断一个等式是否为方程和一元一次方程。
创生学科融合培养核心素养——以“用一元一次方程解决问题”新授课为例
【关键词】初中数学；学科融合；核心素养【中图分类号】G633.6【文献标志码】A【文章编号】1005-6009（2019）03-0066-02【作者简介】1.孙国飞，江苏省连云港市海宁中学（江苏连云港，222000）副校长，高级教师；2.庄胜利，江苏省连云港市海宁中学（江苏连云港，222000）教科室主任，高级教师。
创生学科融合培养核心素养———以“用一元一次方程解决问题”新授课为例孙国飞1庄胜利2随着我国学生核心素养研究成果的发布，中学阶段的课程融合得到了更高程度的重视。
学科融合打破了学生获得知识的单一性，为现代社会培养复合型人才创造了条件。
课程融合可以使学生得到综合发展，提升核心素养。
一、基于学生发展需求，重构课程供给结构初中阶段存在的分科过细等状况容易造成课程内容割裂，使学生对事物缺乏整体感知等负面影响。
尤其对于刚升入七年级的学生来说，这种整体感知的缺乏，往往会让其在学习的过程中显得无所适从。
因此，基于学生发展需求，加大数学学科融合的力度，是促进学生核心素养提升的一个重要抓手。
在讲授苏教版数学教材七年级上册第4章“用一元一次方程解决问题”这节课的内容时，我们就可以利用体育活动的情境，带领学生更好地感受和应用身边的数学知识，让学生在直观的体验中感受数学的魅力，学会借助生活中的数学知识来获得更多的数学体验。
【教学片段一】教师播放学校的大课间跑操及秋季运动会400m 径赛比赛录像。
提出问题：（1）同学们，这些是大家亲身经历过的跑操和田径比赛的场景，比赛的时候要追赶并超越前面的同学容易吗？（2）大家思考一下，要追赶并超越前面的一个同学，必须要具备哪些条件呢？这一教学片段给学生预留思考时间，并安排两名学生在教室中模拟比赛的微场景，以此来创设数学学习的动态情境，让每一名学生都置身于问题解决的情境中，帮助学生更加直观的感受田径400m 比赛的行程问题，为接下来的教学活动埋下伏笔、创设情境。
体育学科元素的有效融入，既可以激发学生的学习兴趣，又能够让学生感受到数学来源于生活，服务于生活。
初中数学《实际问题与一元一次方程工程问题》教案基于学科核心素养的教学设计及教学反思
让学生能动口动手
板书设计
问题1请你说说解一元一次方程的方法和步骤
问题2请你说说你认为解应用题的方法步骤是哪几步？
问题3请你想想，若学校派我班的人去整理一批图书，一直到整理完毕，你认为过程中会涉及到一些什么知识点（提示：可以从工作量、工作效率、工作人数、工作时间来回答）？
问题4请你将例2的解答过程盖起来，阅读题目后完成下列问题的回答：
（1）请说出题中的相等关系式；
（2）设出未知数，将文字相等关系式转换为用代数式表示的方程；
（3）求解此方程。
例2（题目和解题过程）
教学反思
本节授课中达成了课前的设计目标,在学生的学习过程中,大部分同学体验到了科学的学习方法,小组合作意识较浓,能提出质疑并积极动脑解答.并且,活动中每个组员都有责任担当精神,不足之处是:题型的变化训练补充还不够到位,还得用晚自习加以训练巩固.
学生学情分析
数学教学要紧密联系学生的生活实际、学习实际，这是新课程标准所赋予的任务。学生尝试寻找问题中的相等关系式，之后转换成方程。一方面可提供学生主动参与的机会，把学生的注意力和思维活动调节到积极状态；另一方面可培养学生的阅读能力和文字与式子的转换能力。
教学过程设计
教师活动
预设学生活动
设计意图
创设情境
2、会找出问题中的相等关系式，将文字表达式转换成方程
过程与方法目标：
培养学生的观察、分析、归纳的能力，经历用所学数学知识解决实际问题的过程，进一步培养学生的思维能力和解题能力:培养学生的科学精神和责任担当意识.
情感、态度、价值观
1）积极营造亲切和谐的课堂氛围，激励全体学生积极参与数学活动，进一步培养学生团结协助，严谨求实、合作交流、勇于创新的精神。