7.4多元复合函数微分法(07年)
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7-4 多元复合函数求导
多元复合函数的高阶导数 注意： 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 验证解的问题中经常遇到 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的高阶导数求导技巧与常用导数符号. 这方面问题的高阶导数求导技巧与常用导数符号 高阶导数求导技巧与常用导数符号
例. 设
f 具有二阶连续偏导数 具有二阶连续偏导数,
所以 例1 . z = sinucos v, u = x y, v = x y , 求 ∂z , ∂z . ∂x ∂y
例
都可微， 设函数 z = f ( u, x , y ), u = ϕ ( x , y ) 都可微，
求复合函数 z = f (ϕ ( x , y ), x , y), u = ϕ ( x , y ) 的偏导数 .
∂z dz ∂u = ⋅ , 有公式(2) 则有公式 ∂ x du ∂x
∂z dz ∂u = ⋅ ∂ y du ∂y
又如 z = f ( u, v , w ) , u = ϕ ( x , y ) , v = ψ ( x , y ), w = τ ( x , y )
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂ v ∂z ∂w , = ⋅ + + ⋅ 则有公式(3) 则有公式 ∂ x ∂u ∂x ∂ v ∂ x ∂w ∂ x
解: dz = d(sin ucos v)
+ sinudcos v
= cos(xy)cos x ( ydx + xdy)
y
= [ y cos( xy ) cos x -yx
y
y −1
sin( xy )sinx ]dx
y
+ [ x cos( xy ) cos x y -x y lnxsin( xy )sinx y ]dy
多元复合函数与隐函数微分法知识分享
du z dv,
u
v
dzzdxzdy x y
zduzdv. u v
z f [ u ( x ,y ) ,v ( x ,y ) ] zf(u ,v)
结论：无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达形式都一样,
这性质叫做全微分形式不变性.
例4 求下列函数的偏导数和全微分： （ 1 ） zxln x (2y);（2）zxarctayn. x
xfx(x,y)yfy(x,y)kf(x,y). 证明 在 zf(t,x t)y中 ,令 u tx ,vt,y
其x 中 ,y相对 t是 于常 , 数
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
d dzt u fd du t fvd dvt f 1 ( t, t x ) x y f 2 ( t, t x ) y y
§ 7.4 多元复合函数与隐函数微 分法
一、多元复合函数微分法 二、一阶全微分的形式不变性 三、隐函数微分法
一、多元复合函数微分法
定理7.3 设z f(u,v)在(u,v)处可,微 函数u u(x, y),vv(x, y),在(x, y)处的偏导数都 ,则存 复合函z数 f[u(x, y),v(x, y)]在(x, y)处的偏导 数 都 存, 且 在有 如 下 的 链 式 法 则
解 (1)由微分运算法则可得
d z lx n 2 y ) d x ( x d lx n 2 y )(
lnx (2y)dxxd(x2y) x2y
lnx (2y)dxxdx2dy x2y
[lx n 2 (y) x]x d 2xd y x2y x2y
因此 zlnx(2y) x , z 2x .
x
二、一阶全微分的形式不变性
设函数 z f ( u , v ) , u u ( x , y ) , v v ( x , y ) 都可微, 则复合函数 zf[u (x,y),v(x,y)]的全微分为
u
v
dzzdxzdy x y
zduzdv. u v
z f [ u ( x ,y ) ,v ( x ,y ) ] zf(u ,v)
结论：无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达形式都一样,
这性质叫做全微分形式不变性.
例4 求下列函数的偏导数和全微分： （ 1 ） zxln x (2y);（2）zxarctayn. x
xfx(x,y)yfy(x,y)kf(x,y). 证明 在 zf(t,x t)y中 ,令 u tx ,vt,y
其x 中 ,y相对 t是 于常 , 数
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
d dzt u fd du t fvd dvt f 1 ( t, t x ) x y f 2 ( t, t x ) y y
§ 7.4 多元复合函数与隐函数微 分法
一、多元复合函数微分法 二、一阶全微分的形式不变性 三、隐函数微分法
一、多元复合函数微分法
定理7.3 设z f(u,v)在(u,v)处可,微 函数u u(x, y),vv(x, y),在(x, y)处的偏导数都 ,则存 复合函z数 f[u(x, y),v(x, y)]在(x, y)处的偏导 数 都 存, 且 在有 如 下 的 链 式 法 则
解 (1)由微分运算法则可得
d z lx n 2 y ) d x ( x d lx n 2 y )(
lnx (2y)dxxd(x2y) x2y
lnx (2y)dxxdx2dy x2y
[lx n 2 (y) x]x d 2xd y x2y x2y
因此 zlnx(2y) x , z 2x .
x
二、一阶全微分的形式不变性
设函数 z f ( u , v ) , u u ( x , y ) , v v ( x , y ) 都可微, 则复合函数 zf[u (x,y),v(x,y)]的全微分为
7.4多元复合函数与隐函数微分法解析
z=f(x,v),v=v(x,y),则z=f[x,v(x,y)]有链式法
z f f v x x v x
z f v y v y
(7.23)
f z 在(7.23)中我们在等式的右边记为 而不用 , x x z 这是为防止和等式左边的 混淆. x
y
2019年1月7日星期一
8
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z z u z v y u y v y
1 1 f'u xe f'v y 2 x 1 ( ) x x y xe f'u 2 f'v 2 x y
y
z x y xe f'1 2 f'2 2 y x y
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
z
u v
x y
注1 此定理也可称为求导的链式法则.记忆可用上图所示
的链子来记. 定理中的等式数为自变量的个数； 每一个等 式中的项数为中间变量的个数. z到x的路径有两条,一条
2019年1月7日星期一 19
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上式等式左端看作以 u,v 为中间变量 ,λ 为自 变量的函数,等式两端对λ求导数,得
f du f dv k k 1 f ( x, y ) u d v d
即
f f k 1 x y k f ( x, y ) u v
由链式法则有 z eu sin v 1 eu cos v 1 x x y e [sin( x y ) cos( x y )]
2019年1月7日星期一 15
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多元复合函数的微分法
一、多元复合函数的求导法则
证明
当t取得增量Δt时,u，v及z相应地也取得增量Δu,Δv及 Δz.由于z=f(u,v)在点u,v具有连续偏导数，于是函数z=f(u,v) 在点u,v可微分，即
其中
因此，有
一、多元复合函数的求导法则
定理1可以推广到更多中间变量的情况.设z=f(u,v,w)，其 中u=φt,v=ψt,w=ωt，即构成复合函数z=fφt,ψt,ωt，其变量 相互依赖关系如图8-12所示，有
实际上该情形是第2种情形的特例.
一、多元复合函数的求导法则
图 8-15
一、多元复合函数的求导法则
【例4】
设z=uarctan(uБайду номын сангаас)，u=xey，v=y2，求z关于x，y的偏导数． 解
一、多元复合函数的求导法则
设u=φ(x,y)在点x,y具有偏导数，z=f(u,x)在相应点u,x 处有连续偏导数，则复合函数z=f［φ(x,y),x］在点x,y处有 偏导数，且
多元复合函数 的微分法
一、多元复合函数的求导法则
1. 复合函数的中间变量均为同一自变量的一元函数的情形
设函数z=f(u,v)，其中u=[φ（t）,v=ψ （t）] ，即构成复合 函数z=f[φ （t）,ψ （t） ] ，其变量相互依赖关系如图8-11所示.
图 8-11
一、多元复合函数的求导法则
定 理1
二、多元复合函数的高阶偏导数
计算多元复合函数的高阶偏导数，只要重复运用前面 的求导法则即可.
为表达简便起见，引入记号f′1,f′2,f″12等，这里下标 “1”表示对第一个变量u求偏导数，下标“2”表示对第二 个变量v求偏导数，即
同理可规定f″11，f″22等.
多元函数微分法
F F z F F z 0, 0 x z x y z y
Fy Fx z z F 若 ， 0则有 x Fz y Fz y
医用高等数学
例4-27 求由方程 e z xyz 0所确定的函数z的偏
导数. 解: 令F ( x, y, z ) e z xyz 则
2 2 2
u
x
由锁链法则
z
r
v
w
y
z dz z u z v z w ( ) x dr u x v x w x
医用高等数学
1 u v w 2 ( 2 x 2 x 2 y) r r r r
2 3 ( xu xv yw) r 2x 2 2 2 (x y )
同理
2y z dz z u z v z w ( ) 2 y dr u y v y w y ( x y 2 )2
医用高等数学
2. 中间变量既有一元函数又有二元函数的情形
z f (u, x, y) 其中 u ( x, y) u
即
2x 2x 2 ln(3x 2 y ) 2 y y (3x 2 y )
医用高等数学
2
2
z z 例4-21 设 z (1 xy ) , 求 、 . x y
y
v z u 解: 令 u 1 xy, v y, 则
z z u z v x u x v x
2(2 x y) 3x 7 x 2 y
医用高等数学
3. 中间变量均为一元函数
设 z f (u, v)可微,且 u u ( x), v v ( x) ,则复合函数
z f [u ( x), v( x)]为 x 的一元函数, 对 x 求导,得
复合函数的微分法
ux z
vy
求偏导数
z z u z v x u x v x
两条路径： zz
u v
x x
z z u z v y u y v y
两条路径： zz
u v
y y
口诀: 并联相加，串联相乘；一元全导，多元偏导.
一、复合函数的微分法
情形3：复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数
类比：二元复合函数求偏导
z f x, y, x, y
复合关系
z f u,v,u x, y,v x, y
结构图
ux
z vy
微分法
? ? z
z
x
y
一、复合函数的微分法
情形1：复合函数的中间变量为一元函数
z f x, x
复合关系 z f u,v,u x,v x
结构图 求全导数
z
复合函数微分法的步骤：
第一步：根据复合函数拆解复合关系；
第二步：结合结构图分析路径；
第三步：根据路径求全导数或者偏导数.
口 诀:
并联相加，串联相乘； 一元全导，多元偏导.
二、典型例题
例1
设 z uv,u et , v cos t ，求 dz .
dt
解： dz z du z dv
dt u dt v dt
z z u z dv y u y v dy
2ueu2v2 x2 cos y 2veu2v2 sin y
ex4 sin2 ycos2 y x4 1 sin 2 y
小结
复合函数 的微分法
复合关系 结构图 求偏(全)导
y
二、典型例题
例3
设 z eu2v2 ,u x2 sin y,v cos y , 求 z , z .
多元函数微分法及其应用第三节多元函数微分法
设函数 的单值连续函数
导数；
则方程组
且有偏导数公式 :
的某一邻域内可唯一确定一组 满足条件
u1(F,G)
u 1(F,G)y J(y,v)
v 1(F,G) 1
Fv
Fu Fv
Gv
Gu Gv
x
J(x,v) x J(u,x) 1 Fu Fu Fv Gu Gu Gv
v 1(F,G) 1
Fv
Fu Fv
y2 x3
f
z y
x1 x
f f
2z y2
1 x
f
x2
2z x2
y2
2z y2
y2 x
f
y2 x
f
0
2 全微分形式不变性
设函数 zf(u,v)具有连续偏导数， 如果 u,v 是自
变量， 则有全微分
dzzduzdv u v
当 u(x,y)、 v(x,y)时， 由于
dzxzdxyzdyu zu xvzxvdx
yexy 2 z ez z 0
x
x
z x
y e xy ez 2
xexy 2 z y
ez
z y
0
z x e xy y e z 2
dz(eyz ex2y)dx(exz ex2y)dy
xe
ye xy ez 2
,
e 2 . dz(eyzex2y)dx(exzex2y)dy
第三节 多元函数微分法
一 复合函数微分法 二 隐函数微分法
单击此处添加副标题
一 复合函数微分法
1 链式法则
定理 如果函数 u(t) 及 v(t)都在点 t
可导， 函数 zf(u,v)在对应点 (u,v) 具有连续偏
高等数学(第三版)课件：多元复合函数与隐函数的微分法
x
x
z
y
y
2x
1
u
y cos x
x2 y2 u x2 y2 u
2x y cos x x 2 y 2 y sin x
z f z u y y u y
x2
2y y2
u
x2
1 y2
u
sin
x
2 y sin x x 2 y 2 y sin x
例4 设 解令
z
f (xy, y 2 ) ,求
Fx, yx 0
链式图
F
x
x
y
两边对x求导，得： F F dy 0
x y dx
F dy x Fx dx F Fy
y
2.二元隐函数求导公式 方程 Fx, y, z 0 z zx, y 得 Fx, y, zx, y 0
两边对x求导：F F z 0
x z x
两边对y求导：F z F 0
yexy sin(x y) e xy cos(x y)
e xy[ y sin(x y) cos(x y)]
z z u z v y u y v y
eu sin v x eu cosv 1 xexy sin(x y) e xy cos(x y)
e xy[x sin(x y) cos(x y)]
注意 设z f (u, x, y), u (x, y) z f [(x, y), x, y]
x
x
链式图 z
y
y
u
链式法则 z z u f
x u x x z z u f y u y y
例2
设函数
z x 2 y 2,其中 x sin t, y cost
,求 d z
dt
7.4多元复合函数与隐函数微分法
§7.4
多元复合函数与隐函数微分法
一、多元复合函数微分法 1、链式法则：
设z = f (u , v)在(u , v)处可微, u = u ( x, y ), v = v( x, y )在( x, y )处
存在偏导数, 则z = f [u ( x, y ), v( x, y )]在( x, y )处存在偏导数,
【微积分7-4-2】
∆z ∂z ∆u ∂z ∆v o( ρ ) ∴ = • + • + ∆x ∂u ∆x ∂v ∆x ∆x
∆u ∂u ∆v ∂v 而 lim = , lim = ∆x → 0 ∆x ∂x ∆x →0 ∆x ∂x
o( ρ ) o( ρ ) ρ o( ρ ) = • , lim =0 又由于 ∆x ρ ∆x ρ →0 ρ
【微积分7-4-18】
（2）应用举例：
∂z ∂z 例6 设z = f ( x, y )是由方程 sin z = xyz所确定的隐函数, 求 及 ∂x ∂y 解法一：按上述结论求解
令F ( x, y, z ) = sin z − xyz , 则有
∂u 2 ∂u 而 = 1 + 2 xy , = 2x2 y ∂x ∂y
∂z ∂u 2 ′(u ) ′( x + x 2 y 2 ) ∴ = f = (1 + 2 xy ) f ∂x ∂x
∂z ∂u 2 2 2 = f ′(u ) = 2 x yf ′( x + x y ) ∂y ∂y
【微积分7-4-8】
且有
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = • + • ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = • + • ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
多元复合函数与隐函数微分法
一、多元复合函数微分法 1、链式法则：
设z = f (u , v)在(u , v)处可微, u = u ( x, y ), v = v( x, y )在( x, y )处
存在偏导数, 则z = f [u ( x, y ), v( x, y )]在( x, y )处存在偏导数,
【微积分7-4-2】
∆z ∂z ∆u ∂z ∆v o( ρ ) ∴ = • + • + ∆x ∂u ∆x ∂v ∆x ∆x
∆u ∂u ∆v ∂v 而 lim = , lim = ∆x → 0 ∆x ∂x ∆x →0 ∆x ∂x
o( ρ ) o( ρ ) ρ o( ρ ) = • , lim =0 又由于 ∆x ρ ∆x ρ →0 ρ
【微积分7-4-18】
（2）应用举例：
∂z ∂z 例6 设z = f ( x, y )是由方程 sin z = xyz所确定的隐函数, 求 及 ∂x ∂y 解法一：按上述结论求解
令F ( x, y, z ) = sin z − xyz , 则有
∂u 2 ∂u 而 = 1 + 2 xy , = 2x2 y ∂x ∂y
∂z ∂u 2 ′(u ) ′( x + x 2 y 2 ) ∴ = f = (1 + 2 xy ) f ∂x ∂x
∂z ∂u 2 2 2 = f ′(u ) = 2 x yf ′( x + x y ) ∂y ∂y
【微积分7-4-8】
且有
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = • + • ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = • + • ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
多元复合函数微分法
du m udvi .
dx i1vi dx
全导数公式图示
v1
v2
u
+
vi
x
vm
du m u dvi
dx i1 vi dx
定理 (全导数公式) 现在证明定理
设 u f 函 ( v 1 , , v m ) ,v i 数 i ( x )( i 1 , , m ) 可
u f(1 ( x ) , ,m ( x ).)
x
y
z
t
u f ( x , y , z ) , y y ( x ) , z z ( x ) .
duuudyudz dx x ydx zdx
x
u
y
z
x
你做对了吗 ?
二.链导法则
一般多元复合函数的求导法则
假设所有出现的函数求导运算均成立, 试想一下如何求下面函数的导数：
zf(u ,v,w ), u u ( x , y ) , v v ( x , y ) , w w ( x , y ) .
0.
| |v | | v 1 2 v m 2
定理获证
例
设 zxsinx , 求 d z .
dx
解 令 z xy , ysinx, 则
x
dz z z dy dx x y dx
z
x
y
yxy1 xylnxcoxs
xsinxsinxcoxslnx
x
例
设以下函数满足定理的条件,
写出二元和三元函数的全导数公式:
谢谢聆听！
你我同行，共同进步。
解 令 ux2y2,
ux r
vcoxsy, z
则 zf(u,v),
v y
z zuxzuy zvxzvy r uxr uyr vxr vyr
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步骤：1) 写出F ; 2) 求Fx ' , Fy '; 3) 代入公式. y dy 2 2 例1 已知 ln x y arctan , 求 . x dx 解 法1： 对等式两边关于x求导，得
1 1 .( 2x 2yy ) 2 2 2x y
解得 y xy . yx
2
dy 例2 设y f（x）是有方程y x , 求 dx
x y
解
设F(x, y) y x x y ,
x y 1
Fx ' y ln y y x
,
Fy ' x y x 1 x y ln x,
dy Fx ' y x ln y yx y 1 x 1 . y dx Fy ' xy x ln x
1 dz x 例2 设z x , x sin t , y , 求 . z t t dt dz z dx z dy y 解 dt x dt y dt 1 1 yx y 1 cos t x y ln x ( 2 ) (sin t ) t ( cos t ln sin t ) t t sin t t2 u u x2 y2 z2 2 例 3 设u f ( x , y , z ) e , z x sin y , 求 , . x y u f x 解 x x z u x2 y2 z2 x2 y2 z2 2 x sin y 2z e 2 xe y 2 2 x 2 y 2 x 4 sin 2 y 2 x ( 1 2 x sin y ) e u f f z x2 y2 z2 x2 y2 z2 x 2 cos y 2 ye 2ze y y z y 4 x 2 y 2 x 4 sin 2 y 2 ( y x sin y cos y ) e
2
y x y 1 . y 2 x2 1 ( ) x
y 法 2： 设F ( x , y ) ln x y arctan , x x y y x x y dy Fx ' Fx ' 2 . 2 , Fy ' 2 2, x y x y dx Fy ' y x
1 1 2 xz 2 z 2 yz Fy ' Fx ' y x dx dz dx dy dy 1 1 Fz ' Fz ' 2 x 2 xy 2 x 2 xy z 2 2 2 z 2 yz 2 z z 2 xz z 2 dx dy 2 2 2x 2x y x 2 xy 2 xy y
其它形式复合函数偏导 数的链式法则： u u ( x ) z x 1. z f ( u, v ) v v ( x ) dz f du f dv z f [ ( x ), ( x )] ( 全导数公式 ) dx u dx v dx 2.z f ( u, v , w ) , u ( x ) , v ( x ) , w ( x ) u dz z du z dv z dw z x v d x u d x v d x w d x w f1 f 2 f 3 数 函数到自变量有几条连线, 函数对该自变量的偏导 表示式就有几项 有几个自变量就有几个 , 偏导数表示式.
(2)分段函数分段点处用定义求偏导 二.求偏导方法 1.简单函数--与一元函数求导法相同
2.复合函数—画出函数关系图按路径求导 3.隐函数—利用隐函数求导公式
步骤： )写出F ( x , y, z );( 2)求出Fx, Fy, Fz;( 3)代入公式 (1
作业
P251 16(1) (4); 17; 18(1) ;19(1)
2. 二元隐函数
设z f ( x, y )是由方程 F( x, y , z ) 0 确定的隐函数，具有连续的偏导数 Fx , Fy , Fz 且有 Fz 0 F' z x , x Fz ' Fy ' z y Fz ' 则z f ( x, y )的偏导数存在且为
y z z 例7 设z xy xf ( u), u , f ( u)可导, 证明：x y xy z . x x y
二、隐函数微分法
1. 一元隐函数的导数
设y f ( x )是由方程 F( x, y ) 0 确定的隐函数，具有连续的偏导数 Fx , Fy 且有 Fy 0 Fx dy dx Fy 则y f ( x )的导数存在且为
F
z
x
y
由方程F(x, y, z) 0所确定的隐函数 z f ( x, y )的导数主要有 两种求法： z z 法1： 对等式F( x, y , z ) 0两边关于x( y )求偏导数，解出 ( ) x y
注：
利用方程F( x, y , z ) 0构造二元函数F( x, y , z ), 利用多元函数 法 2： 偏导数求导数，即利用下面的公式求导
求下列隐函数的导数或全微分 dy xy 2 (1)e 3xy ，求 ; dx z z ( 2)xyz e 所确定函数z z( x, y )的偏导数 , x y
z
( 3)x y z e ( x y z ) 所确定函数z z( x, y )的全微分dz
思考题
x
y z
dz 例6 设z uv sin t , u e , v cos t , 求 . dt z 解 d z z du z d t u d t t t ve cos t e t (cos t sin t ) cos t
t
u
v
t
y z x 证明 y f (u) xf ' ( u) ( 2 ) x x z u 1 x f ' ( u) z y x xf ' ( u) x y 左边＝ xy xf (u) yf ' ( u) xy yf ' ( u) 2 xy xf ( u) 右边 Ex : 设u f ( x , xy, xyz ), 求f x ' , f y ' , f z '.
y
dz 例4 设z arctan( xy ), y e , 求 . z dx dz f 解 ex dx x
xLeabharlann x y例5 设u f ( x y z , xyz ), 求f x ' , f y ' , f z '.
解 令s x y z , t xyz, 则u f ( s, t ), s u f u t x s f 2 y z f1 yzf 2; u f f1 ' xz f1 xzf 2; y s u f f1 xyf 2. z s
F
x y
由方程F(x, y) 0所确定的隐函数 f (x)的导数主要有两种求法 y ： 注：
法1：
对等式F(x, y ) 0两边关于 利用复合函数求导， x
法 2：利用方程F( x, y ) 0构造二元函数F( x, y ), 利用多元函数
偏导数求导数，即利用下面的公式求导 dy Fx ' dx Fy '
y z 解得 z y y 2 z 法 2： F ( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 4z 设 F Fx ' 2 x , Fy ' 2 y，z ' 2z 4 Fy ' y z Fx ' x x z . ， x Fz ' z2 2 z y Fz ' 2 z
CH7.4 多元复合函数、隐函数微分法
一、多元复合函数求导的链式法则 二、方程所确定的隐函数及其导数
第七章
一、多元复合函数的微 分法
一元复合函数 求导法则
z ＋ 二元复合函数 y v z f [ ( x , y ), ( x , y )] z f u f v z f u f v －－链式法则 x u x v x y u y v y z z u 例1 设z e sin v , u xy, v x y , 求 , . x y 解 z z u z v e u sin v y e u cos v 1
x
u ( x, y ) v ( x , y )
u
x
u x
v x
e ( y sinv cos v ),
u
z z u z v z e u sin v , y u y v y u xy, v x y , u u e u ( x sinv cos v ). e sin v x e cos v 1
z y x F( x, y , z ) 0, 证明 1. x z y z y x 1 (错 记号不可约分！ ) 证明 x z y Fy ' Fz ' Fx ' z y x 1 Fy ' Fx ' Fz ' x z y
例4 求2xz 2xyz ln xyz 0确定的函数z的全微分. 解 设F ( x , y, z ) 2 xz 2 xyz ln x ln y ln z 1 1 1 F Fx ' 2z 2 yz , Fy ' 2 xz ， z ' 2 x 2 xy z x y
设u f ( x , xy, xyz ), 求f x ' , f y ' , f z '.
解答
一.偏导数与全微分的定义 z x0 Δx x0 z z x ( x 0 , y0 ) Δx dz dx dy x y z f ( x0 , y0 Δy ) f ( x0 , y0 ) lim y ( x 0 , y0 ) Δ y 0 Δy 定义的重要性: (1)体现了偏导数的实质是求导数