吴正国高等数字信号处理第6章小波变换4

选择不同的 k j (1 j J ) 组合，将给出 不同的小波包基。
▲ ■
40
(23)
15
(10)
13

5 (3)
9 (7)
10
6
1
2
3
4
5
6
▲
7
8
■
▲
■
▲
■
三、小波包变换及快速算法
1、正交小波包变换 ①正交小波包变换
L ( R) V0 U
2
N 1 k 0
k 2l
2 n 1 (2
j 1
t l )]
2 n (2 t k )
2
j
▲
■
f j 1, 2 n (t ) h
kZ lZ
k 2l
S
n, j k
2
2
( j 1) 2
2 n (2
( j 1)
t l)

S
lZ
2 n ,( j 1) l
1 n (t l ), n (t k ) 2 1 2 1 2 1 2



ˆ n ( ) e i ( k l ) d
2 2
2
i ( k l ) ˆ m1 2 n2 2 e d
kZ
~ F1{S k }( j ) S k g 2 j k
kZ
▲ ■
Sk Sk
F0 F1
0
Sk Sk
~ hk
2 2
~ gk
F {S j }(k ) S j hk 2 j
jZ
F {S j }(k ) S j g k 2 j
1 jZ
▲ ■
Sj Sj
F
0
0, 0 k
▲ ■
③正交小波包逆变换
F F0 F F I
0
1 1
F F0 {S
S
n, j k
0
n, j k
} F F {S
2 n,( j 1) k
1 1
n, j k
} S
n, j k
F {S
2
0
} F {S
1
( 2 n1),( j 1) k
( j 1) 2
n (2
j 1
t m)
▲ ■
h
jZ
k 2 j l 2 j
h
g
kZ
k 2 j
g l 2 j (k l )
k, l Z
2l (t ) 2 hk l (2t k ) 2l 1 (t ) 2 g k l (2t k )
▲ ■

用数学归纳法可证：
ˆ ˆ n ( ) m j j m1 ( ) n ( ) 2 2 2 2 j 1

对于s0+1位二进制整数n，不超过0.5n的最大整数可记为
s0 n 1 s0 1 s0 j 1 j 1 2 2 j 2 j 1 2 2 j 2 j 1
j m2k
m2k
2 n 1 (2 t k )]
j j 1
2 2 2
( j 1)
kZ lZ
( j 1) 2
(h
hl g
m2 k
g l ) n (2
t 2k l )
h h (2 j 1 t s) m2 k s 2 k g m2k g s 2 k n sZ kZ
ˆ ˆ 1 ( ) G 2 0 2
定义函数序列：
2l (t ) 2 hk l (2t k )
kZ
2l 1 (t ) 2 g k l (2t k )
kZ

l 0,1
称此函数序列为由φ( t ) 生成的小波包。
▲ ■
2、正交小波包的频潽
kj
2 1 2k j i 2 0 L ( R) U j k j U J j1 i 0
J
kj
▲ ■
4、小波库与小波包基
{2

j 2
n (2 t l )} n0, j ,lZ
j
称为由φ( t ) 所导出的小波包库。 n 为振荡参数 j 为尺度参数 l 为平移参数 从小波库中抽取的、能构成平方可积空间 的一组正交基称之小波包基。
ˆ ˆ 2l ( ) H 2 l 2

ˆ ˆ 2l 1 ( ) G 2 l 2
若令

m0 ( ) H ( )
m1 ( ) G( )
对s0位的二进制整数n可记为
n j 2
j 1
s0
j 1
j {0,1}
J
kj
0 0
0
f (t ), (t k ) R f (t ) (t k )dt
{S

n, j k
}kZ
为f(t)在
U
n j
子空间的投影系数，
f ( t )在上式各子空间投影系数的集合，称之 f ( t ) 的正交小波包变换。
▲ ■
②正交小波包变换算法
f j ,n (t ) S
2
( j 1)
2 n (2
( j 1)
t l)
n, j k
n, j k

S
2 n ,( j 1) l
h
kZ
k 2l
S
n, j k
F0 {S
}
S
( 2 n 1),( j 1) l
g
kZ
k 2l
S
n, j k
F1{S }
▲ ■
F0 F0
2

s0
n2
s0 1
3、正交小波包的性质(为简便计，假定实函数)
n (t l ), n (t k ) (k l )
▲
k, l Z
■
正交性对于n=0或1时皆成立，所以使用数学归纳法。 即令上式对于二进制位数不超过s0位的所有整数成立，需 证明该式对于二进制位数不超过(s0+1)位的整数n成立

k
U
2 j 1 jk j
k 1
Wj U
i 0
1
2 i jk j
kj=0时Wj不分解，kj 表示分解的程度
▲ ■
随着尺度的增加，频窗半径減小，频率分辨 率增加，但时间分辨率下降。

2 1 2k j i 2 L ( R) U j k j jZ i 0
■
2
2 2 1 2 i ( k l ) n (t l ), n (t k ) m1 m1 d 0 e 2 2 2 1 2 i ( k l ) d (k l ) 证毕 0 e 2
kZ
n, j k
2
j 2
n (2 t k )
j

U U
n j
2n j 1
U
2n1 j 1
f j ,n (t ) f j 1,2n (t ) f j 1, 2n1 (t )
2
j 1 2
[h
lZ
k 2l j
2 n (2
j 1
t l) g
j Βιβλιοθήκη 4 0
4 ( j 1)
4 j
i ( k l ) ˆ m1 n e d 2 2 2
2
2
2

i ( k l ) m1 e 2
j
▲


ˆ n 2j d 2 2
k, l Z
h0 (n), h0 (n 2l ) (l )
g 0 (n), g 0 (n 2l ) (l )
单位算子
▲ ■
2、 j 尺度空间
U
n j
j
U close 2
n j

j 2
n (2 t k )：k Z
0 j 1 j

V j U ,W j U
kZ
l 0,1
3、平方可积空间的正交小波包分解
V j U ,W j U
0 j
1 j
U
n j 1
U
▲
2n j
U
■
2 n1 j
Wj U U U
2
kj
2 j 1 4 j2
U U
3 j 1 5 j2
U
6 j 2
U
7 j2
2 j jk j
k
U
kj
2 j 1 jk j
0 0
(t )
(t ) 2 hk (2t k ) (t ) 2 g k (2t k )
k 0 N 1
g k (1) h
k
N 1k
▲ ■
从小波库中选择一组最佳小波包基，则有
f (t ) U
S
0,0 k
2 1 2k j i 2 0 U jk U J L ( R) j j 1 i 0


n相同时正交小波包函数整数平移正交 n为相邻奇偶数时正交小波包函数整数平移正交
2l (t m), 2l 1 (t k ) 0
▲
m, k Z
■
2l (t m), 2l 1 (t k )