圆.板块五.圆的规划问题.学生版

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板块五.圆的规划问题
典例分析
【例1】 如果实数 x 、 y 满足 ( x 2) 2 y 2 3 ，则 A．
y 的最大值为（ x
）
3 3 1 B． C． D． 3 3 2 2 【考点】圆的规划问题 【难度】3 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】等式 ( x 2) 2 y 2 3 有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，圆心为
【考点】圆的规划问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】分析 利用两点间距离公式求解或数形结合求解．
y
P1 A
O P2
x
x 2cos , 解法一 设 P 是圆 上任一点，则 P(2cos , 2sin ) ．所以 y 2sin
PA (3 2cos )2 (4 2sin )2 25 4 12cos 16sin
【例8】 实数 x, y 满足 x 2 y 2 1 ，求 u
x y2 的最大值与最小值． x y2
【考点】圆的规划问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】方法一 变形得：(1 u ) x (1 u ) y 2(1 u ) 0( y x 2) ，此方程表示一条直线． 又∵ x , y 满足 x 2 y 2 1 ，故直线与圆 x 2 y 2 1 有公共点． | 2(1 u ) | ≤ 1 ，解得 2 3 ≤ u ≤ 2 3 ． x cos 故 (1 u ) 2 (1 u ) 2 由于直线 y x 2 与圆 x 2 y 2 1 无公共点，因此， 2 3 ≤ u ≤ 2 3 为所求． x y2 即u 的最大值为 2 3 ，最小值为 2 3 ． x y2 方法二 设， y sin ，
3 3 3 3 ， tmin ． 4 4 3 3 3 3 y2 即 的最大值为 ，最小值为 ． 4 4 x 1 此时 x 2 y 2 cos 2sin 2 5 cos( ) ．
所以 tmax 所以 x 2 y 的最大值为 2 5 ，最小值为 2 5 ． y2 方法二 表示点 P( x , y ) 与点 (1, 2) 连线的斜率，其中 P 点为圆上的动点， x 1
【例6】 求函数 y
【例7】 设 | a |≤ 1 ， a , b R ，求 (a b)2 ( 1 a2 2b 5)2 的最小值． 【考点】圆的规划问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】无
【解析】分析式子的几何意义，它表示两点 (a , 1 a2 ) 与 (b , 2b 5) 的距离的平方，
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【关键字】无 【解析】方法一 由圆的标准方程 ( x 3)2 ( y 4) 2 1 ． 可设点 P 的坐标为 (3 cos , 4 sin ) （ 是参数） ． 则 d x 2 y 2 9 6 cos cos 2 16 8sin sin 2
x 2cos , 解法二 将圆 代入普通方程得 x 2 y 2 4 ． y 2sin 如图所示可得， P 1A 、 P 2 A 分别是圆上的点到 A(3 , 4) 的距离的最小值和最大值．
易知： P 1A 3 ， P 2A 7．
x a r cos , 说明⑴ 在圆的参数方程 （ 为参数）中， A(a , b) 为圆心， r (r 0) y b r sin 为半径，参数 的 几何意义是：圆的半径从 x 轴正向绕圆心按逆时针方向旋转到 P 所得圆心角的大
2
∴ PA PB 的最小值为 2 32 8 26 ．
【答案】 26 ． 【例5】 已知圆 C : ( x 2) 2 y 2 1 ， P( x , y ) 为圆上任一点，求
2
2
y2 的最大、最小值， x 1
求 x 2 y 的最大、最小值．
【考点】圆的规划问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】方法一 由 ( x 2) 2 y 2 1 知，可设 P 的坐标为 (2 cos , sin ) ， 是参数． 则
2 2
最小值是 ． 【考点】圆的规划问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】无 2 2 【解析】设 P( x, y ) ，则 PA PB ( x 2)2 y 2 ( x 2)2 y 2
2( x2 y 2 ) 8 2 OP 8 ．设圆心为 C (3, 4) ，则 OP mi n OC r 5 2 3 ，
x y 2 cos sin 2 则u x y 2 cos sin 2
( 2 ,
连线的斜率， 2 )
求过点 ( 2 , 2) 的单位圆切线的斜率： k1 2 3 ， k2 2 3 ， x y2 从而 u 的最大值为 2 3 ，最小值为 2 3 ． x y2
sin 2 y 2 sin 2 ，令 t ， cos 3 x 1 cos 3
2 3t 1 t
2
得 sin t cos 2 3t ， 1 t 2 sin( ) 2 3t
sin( ) ≤ 1
3 3 3 3 ． ≤t ≤ 4 4
前者在半圆 x 2 y 2 1( y ≥ 0) 上，后者在直线 y 2 x 5 上，
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结合简图知：半圆上的点到该直线的距离的最小值为 从而所求的最小值为 ( 5 1)2 6 2 5 ． 【答案】 6 2 5
|5| 4 1
1 5 1，
3 3 3 3 y2 的最大值为 ，最小值为 ． 4 4 x 1 令 x 2 y m ，同理两条切线在 x 轴上的截距分别是 x 2 y 的最大、最小值．
由d
2 m 5 1 ，得 m 2 5 ．
所以 x 2 y 的最大值为 2 5 ，最小值为 2 5 ． 【答案】最大值为 2 5 ，最小值为 2 5 ．
π π 2 sin 2 sin 2 4 4 ， π π 2 cos 2 cos 2 4 4 π π sin 与 点 ① 几 何 意 义 为 单 位 圆 x 2 y 2 1 上 的 点 cos ， 4 4
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小．若原点为圆心，常常用 (r cos , r sin ) 来表示半径为 r 的圆上的任一点． ⑵ 圆的参数方程也是解决某些代数问题的一个重要工具． 【答案】最大值为 7 ，最小值为 4 ． 【例4】 已知 A(2 , 0) ，B (2 , 0) ， 点 P 在圆 ( x 3) 2 ( y 4) 2 4 上运动， 则 PA PB 的
y x0 则表示圆上的点 ( x ，y ) 与坐标原点 x x0 (0 ，0) 的连线的斜率．如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点 A 在以
(2 ，0) ，半径 r 3 ， （如图） ，而 (2 ，0) 为圆心，以 3 为半径的圆上移动，求直线 OA 的斜率的最大值，由图可
见，当 A 在第一象限，且与圆相切时， OA 的斜率最大，经简单计算，得最大 值为 tan 60 3
y A O M x
【答案】D；
x 3cos ) | y (0 π) ， 集 合 N ( x， y 【例2】 若 集 合 M ( x ，y ) y 3sin
x 且 b
M N ≠ ，则 b 的取值范围为______________． 【考点】圆的规划问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】无
sin x 1 的值域． 2cos x 4 【考点】圆的规划问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】无 sin x 1 sin x 1 1 sin x 1 【解析】 y ，于是 2 y ， 2cos x 4 2 cos x 2 cos x 2 其几何意义为单位圆上的任一点 (cos x , sin x) 与点 ( 2 , 1) 的连线的斜率． 4 结合图象知：过点 ( 2 , 1) 与单位圆相切的直线的斜率为 k1 0 ， k2 ， 3 4 2 连线的斜率的取值范围为 , 0 ，从而此函数的值域为 , 0 ． 3 3 2 【答案】 , 0 3
3 29 20sin( )( arctan ) ． 4 因为 R ，所以 R ，因此
当 sin( ) 1 时， PA 最大值 29 20 7 ． 当 sin( ) 1 时， PA 最小值 29 20 3 ．
从而
| 2 2u |
【答案】最大值为 2 3 ，最小值为 2 3 ．
( x 3) 2 ( y 4) 2 1 ， P( x , y ) 为圆 C 上的动点，求 d x 2 y 2 的最大、 【例9】 已知圆 C：
最小值． 【考点】圆的规划问题 【难度】3 星 【题型】解答
N ≠ ，即是使直线 y x b 与半圆有公共点，
显然 b 的最小逼近值为 3 ，最大值为 3 2 ，即 3 b ≤ 3 2
y 3 2
O
x
【答案】 3 b ≤ 3 2
x 2cos , 【例3】 试求圆 （ 为参数）上的点到点 A(3 , 4) 距离的最大（小）值． y 2sin
π π π ② 由此式得 u cos sin 2 2u 1 u 2 cos ， 4 4 4
≤ 1 ，解得 2 3 ≤ u ≤ 2 3 ， 1 u2 x y2 因此 u 的最大值为 2 3 ，最小值为 2 3 ． x y2