圆的方程练习题(学生版)

圆的方程练习题（学生版）1．求过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程.2．若圆过A （2，0），B （4，0），C （0，2）三点，求这个圆的方程．3．已知圆经过()()2,5,2,1-两点，并且圆心在直线12y x =上。

(1)求圆的方程；(2)求圆上的点到直线34230x y -+=的最小距离。

4．已知圆C 同时满足下列三个条件：①与y 轴相切；②在直线y x =上截得弦长为③圆心在直线30x y -=上.求圆C 的方程.5．求圆心在直线3x+y-5=0上，并且经过原点和点（4，0）的圆的方程6．求圆心为（1，1）并且与直线4=+y x 相切的圆的方程。

7．求与圆x 2+y 2−2x =0外切且与直线x +√3y =0 相切于点M(3,−√3)的圆的方程.8．求圆心在直线40x y --=上，并且过圆22640x y x ++-=与圆226280x y y ++-=的交点的圆的方程.9．已知圆心为C 的圆经过三个点O(0,0)、A(−2,4)、B(1,1)． (1)求圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率为−43，在y 轴上的截距为−1，且与圆C 相交于P 、Q 两点，求△OPQ 的面积．10．已知圆C：x 2+y 2+10x+10y+34=0： ：I ）试写出圆C 的圆心坐标和半径；：II ）若圆D 的圆心在直线x=-5上，且与圆C 相外切，被x 轴截得的弦长为10，求圆D 的方程。

11．已知圆C 的圆心在直线y =12x 上，且过圆C 上一点M(1,3)的切线方程为y =3x .（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设过点M 的直线l 与圆交于另一点N ，以MN 为直径的圆过原点，求直线l 的方程.12．已知圆C经过原点O：0：0）且与直线y=2x：8相切于点P：4：0：：：1）求圆C的方程；：2）已知直线l经过点（4, 5），且与圆C相交于M：N两点，若|MN|=2，求出直线l的方程．13．在ΔABC中，点A（7，4），B（2，9），C：5：8：(1)求ΔABC的面积.(2)求ΔABC的外接圆的方程.14．已知圆心在x轴非负半轴上，半径为2的圆C与直线x−√3y+2=0相切.(1)求圆C的方程；(2)设不过原点O的直线l与圆O:x2+y2=4相交于不同的两点A，B．①求△OAB的面积的最大值;②在圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l的方程为mx+ny=1，且此时△OAB 的面积恰好取到①中的最大值?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.15．若圆C与y轴相切于点P(0,1),与x轴的正半轴交于A,B两点,且|AB|=2,求圆C的标准方程参考答案1．()()22114x y -+-=.【解析】试题分析：由,A B 的坐标计算可得AB 的垂直平分线方程y x =，进而得到：{ 20y x x y =+-=，解可得,x y 的值，即可得圆心坐标，而圆的半径22r ==，代入圆的标准方程计算即可得到答案。

解析:由已知得线段AB 的中点坐标为()0,0，所以()11111AB k --==---所以弦AB 的垂直平分线的斜率为1k =， 所以AB 的垂直平分线方程为y x = 又圆心在直线20x y +-=上，所以{20y x x y =+-= 解得1{ 1x y == 即圆心为()1,1圆的半径为22r ==所以圆的方程为()()22114x y -+-=. 2．x 2+y 2﹣6x ﹣6y+8=0【解析】试题分析：设所求圆的方程为220,x y Dx Ey F ++++=将()2,0A ,()()4,0,0,2B C三点代入，即可求得圆的方程。

解析：设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，则有4+20{1640 240D F D F E F +=++=++=①②③②﹣①得：12+2D=0，∴D=﹣6 代入①得：4﹣12+F=0，∴F=8 代入③得：2E+8+4=0，∴E=﹣6∴D=﹣6，E=﹣6，F=8∴圆的方程是x 2+y 2﹣6x ﹣6y+8=0 3．（1）()()222116x y -+-=.（2）1【解析】试题分析：（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法求解；（2）结合几何图形，先求出圆心到直线的距离，再减去半径的长度即可。

试题解析：（1）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由已知条件有()222225250{2120 1222D E F D E F E D ++++=-+-++=⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，解得4{2 11D E F =-=-=-所以圆的方程为2242110,x y x y +---=()()222116x y -+-=即.（2）由（1）知，圆的圆心为()2,1，半径r=4, 所以圆心到直线34230x y -+=的距离5d ==则圆上点到直线34230x y -+=的最小距离为1d r -=。

点睛：解决圆中的最值问题时，一般不直接依赖纯粹的代数运算，而是借助平面几何的相关知识，使得解题变得简单且不易出错。

常用结论有：①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最小（大）距离为圆心到直线的距离减去（加上）半径；②当点在圆外时，圆上的点到该点的最小（大）距离等于圆心到该点的距离减去（加上）半径。

4．.设圆方程为()()222x a y b r -+-=，则2230{7a b a r r -==+=---4解得3,13,1a b a b ===-=-或--------------------------------4’()()()22223)19319x y x y -+-=+++=所求为：（或----------2’【解析】略 5．(x-2)2+(y+1)2=5 【解析】试题分析：解：设：原点O(0,0)和点A （4，0）， 则线段OA 的垂直平分线的方程为x=2 所以圆心的坐标为（2，b ） 又因为圆心在直线3x+y-5=0上，所以3×2+b-5=0,b=-1, 圆心的坐标为（2，-1） r 2=22+(-1)2 =5所以圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=5 考点：圆的方程点评：本试题主要是考查了圆的方程的求解，属于基础题。

6．2)1()1(22=-+-y x 【解析】思路分析：点()1,1到直线4=+y x 的距离，.22|411|=-+=d 所以圆的半径,2=r 又圆心为()1,1，所以圆的标准方程为2)1()1(22=-+-y x . 考点：此题考查点到直线的距离和圆的方程.点评：简单题，知道点到直线的距离公式，求出圆的半径便可轻松解答. 7．(x −4)2+y 2=4 或x 2+(y +4√3)2=36【解析】分析：先设圆标准方程，再根据两圆外切得两圆心距离等于半径之和，圆心到切线距离等于半径（或圆心与切点连线垂直切线），切点在圆上三个条件列方程组，解方程组可得所求圆方程.详解：设所求圆的方程为，则①；或②；或③；或④.联立其中三个解得或故所求方程为：或点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a,b)和半径r 有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a,b,r 的方程组，从而求出a,b,r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．8．221789()()222x y -++=【解析】圆心17(,)22C -，r =，故221789()()222x y -++=. 9．（1）x 2+y 2+2x −4y =0；（2）2. 【解析】 【分析】(1)设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，将O(0,0)、A(−2,4)、B(1,1)代入，列方程组求解即可；(2)由圆的方程求得圆心坐标为C(−1,2)，半径为√5，利用斜截式求得直线方程为y =−43x −1，即4x +3y +3=0，利用点到直线距离公式，结合勾股定理求得弦长，根据三角形面积公式可得结果． 【详解】(1)设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，则{F =04+16−2D +4E +F =01+1+D +E +F =0 ，解得D =2，E =−4，F =0．∴圆C 的方程为x 2+y 2+2x −4y =0；(2)圆x 2+y 2+2x −4y =0的圆心坐标为C(−1,2)，半径为√5． 直线l 的方程为y =−43x −1，即4x +3y +3=0．圆心到直线l 的距离d =√42+32=1，|PQ|=2√(√5)2−1=4． ∴△OPQ 的面积S =12×4×1=2． 【点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标(x,y ) ，根据题意列出关于x,y 的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.10．：1：圆心坐标为（-5：-5），半径为4.：2：：x+5：2+：y -12：2=169. 【解析】试题分析：（1）配方，将圆方程一般式化为标准式，即得圆C 的圆心坐标和半径；（2）设圆D 标准方程，根据直线与圆相切得圆心到切线距离为半径，根据垂径定理列弦长与半径关系，解方程组可得结果.试题解析：解：（I ）将圆的方程改写为（x+5：2+：y+5：2=16，故圆心坐标为（-5：-5），半径为4. ：II ）设圆D 的半径为r ，圆心纵坐标为b ，由条件可得r 2=：r -1：2+52，解得r=13. 此时圆心纵坐标b=r -1=12.所以圆D 的方程为：x+5：2+：y -12：2=169. 11．（1）(x −4)2+(y −2)2=10 （2）y =−2x +5 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意，过M 点的直径所在直线方程为y −3=−13(x −1) ,再联立{y −3=−13(x −1)y =12x求得圆心坐标为(4,2),再求得半径即得圆的方程. （Ⅱ）先求得直线ON 方程为y =−13x ：由{y =−13x(x −4)2+(y −2)2=10可得N 点坐标为(3,−1) ，再利用两点式写出直线l 的方程. 【详解】（Ⅰ）由题意，过M 点的直径所在直线方程为y −3=−13(x −1){y −3=−13(x −1)y =12x 解得{x =4y =2 ： ∴圆心坐标为(4,2) 半径r 2=(4−1)2+(2−3)2=10 ∴圆C 的方程为(x −4)2+(y −2)2=10（Ⅱ） ∵以MN 为直径的圆过原点，∴OM ⊥ON 又 k OM =3 ∴k ON =−13∴直线ON 方程为y =−13x由{y =−13x(x −4)2+(y −2)2=10 ，可得N 点坐标为(3,−1) ∴ 直线MN 方程为y+13+1=x−31−3 即直线l 的方程为 y =−2x +5 【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.12．（1）(x −2)2+(y −1)2=5；（2）y =34x −2或x =4【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知得圆心经过点P （4，0）、且与y=2x ﹣8垂直的直线上，它又在线段OP 的中垂线x=2上，求得圆心C （2，1），半径为√5，可得圆C 的方程．(2)把圆的弦长转化为圆心到直线的距离，讨论k 存在和不存在两种情况. 【详解】（1）由已知，得圆心在经过点P （4，0）且与y=2x ﹣8垂直的直线上，它又在线段OP 的中垂线x=2上， 所以求得圆心C （2，1），半径为．所以圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=5．（2）①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−5=k(x−4)，即kx−y+5−4k=0.因为|MN|=2，圆C的半径为，所以圆心到直线的距离d=2√k2+1=2,解得k=34，所以直线y=34x−2,②当斜率不存在时，即直线l:x=4，符合题意综上直线l为y=34x−2或x=4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用直线和圆的弦长求直线的方程，注意讨论k 存在和不存在两种情况，属于中档题．13．(1)5(2) (x−2)2+(y−4)2=25【解析】【分析】(1)由弦长公式求得AB的长度，由点到直线距离公式求得三角形的高，然后利用面积公式可得三角形的面积；(2)由题意利用待定系数法求解ΔABC的外接圆的方程即可.【详解】：1：∵A：7：4：：B：2：9：：∴|AB|=√50=5√2：直线AB方程为：y−94−9=x−27−2，即x+y-11=0：点C到直线AB的距离d=√2=√2：SΔABC=12|AB|d=12×5√2×√2=5.（2）设ΔABC的外接圆心为O：a,b）则：{|OA|=|OB||OC|=|OB||OB|=r即{(a−7)2+(b−4)2=(a−2)2+(b−9)2(a−5)2+(b−8)2=(a−2)2+(b−9)2(a−2)2+(b−9)2=r2∴{a=2 b=4 c=5.ΔABC的外接圆方程为(x−2)2+(y−4)2=25.【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．14．（1）(x−2)2+y2=4；（2）①2 ② (18,±√318).【解析】【分析】(1)设出圆心坐标，根据点到直线距离求得圆心，进而得到圆的方程。