2.3平行线的性质同步训练
北师大版七年级数学下册2.3平行线的性质同步测试(2)
探讨煤矿机电安全生产的精细化管理煤矿是我国重要的能源资源，但煤矿安全生产一直是一个严峻的问题。
机电设备是煤矿生产的关键设备，机电安全生产管理的精细化是煤矿安全生产的重要环节。
本文将探讨煤矿机电安全生产的精细化管理方法和实践，以期提高煤矿安全生产水平。
一、煤矿机电安全生产的现状我国煤矿机电设备日趋多样化、复杂化，一方面为煤矿生产提供了便利，另一方面也对煤矿安全生产提出了更高要求。
在煤矿生产中，机电设备故障是造成事故的主要原因之一。
尤其是一些老旧设备和技术滞后的煤矿，由于缺乏精细化管理，机电设备的安全隐患更加突出。
精细化管理是提高煤矿机电安全生产水平的重要途径。
二、精细化管理的概念精细化管理是一种注重细节、全面、系统的管理方式，它要求对生产中的每一个环节都进行精心的设计、计划、监控和改进，以达到最佳的效果。
在煤矿机电安全生产中，精细化管理就是要对设备、人员、技术、管理、信息等方面进行全面、系统的管理，以提高煤矿机电安全生产水平。
设备是煤矿生产的核心，因此设备管理的精细化是煤矿安全生产的重要一环。
首先要对设备进行分类管理，按设备的特点和使用频率进行分类管理，对高频使用的设备进行重点管理。
要加强设备维护保养工作，定期对设备进行检查、保养，及时发现和排除设备隐患。
要建立完善的设备管理台账和档案，做到设备信息全面、及时、准确。
要加强设备安全技术培训，提高操作人员的安全意识和操作技能。
人员是煤矿生产的主体，人员管理的精细化是煤矿安全生产的基础。
首先要加强人员培训，定期对人员进行安全生产和操作技能培训，提高人员的安全意识和技能水平。
要建立岗位责任制度，明确每个岗位的职责和权限，保证人员在岗位上能够熟练、安全地操作设备。
要建立健全的奖惩机制，激励安全生产的积极性，同时对安全生产违章行为要严格执法，形成良好的安全生产氛围。
技术是煤矿生产的重要支撑，技术管理的精细化是煤矿安全生产的保障。
首先要开展安全生产技术研究，针对煤矿机电设备存在的安全隐患，开展技术改进和创新，提高设备的安全性能。
北师大版七年级数学第二章：平行线的性质 同步训练
北师大版七年级数学第二章2.3平行线的性质同步训练一、选择题1.如图，由AC∥ED，可知相等的角有（）A.6对B.5对C.4对D.3对2．如图，AB∥CD，直线BC分别交AB、CD于点B、C，若∠1=50°，则∠2的度数为( )A.40°B.50°C.120°D.130°3.如图，由A到B 的方向是（）A.南偏东30°B.南偏东60°C.北偏西30°D.北偏西60°30北西南东BA4．如图，AB∥CD，∠C=80°，∠CAD=60°，则∠BAD的度数等于( )A.60°B.50°C.45°D.40°5．一轮船航行到B处测得小岛A的方向为北偏西30°，那么从A处观测B处的方向为( )A.南偏东30°B.东偏北30°C.南偏东60°D.东偏北60°6.如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角只能（）A.相等B.互补C.相等或互补D.相等且互补7..如图，AB⊥BC，BC⊥CD，∠EBC＝∠BCF，那么，∠ABE与∠DCF的位置与大小关系是（）A.是同位角且相等;B.不是同位角但相等;C.是同位角但不等;D.不是同位角也不等8．如图，已知a∥b，∠1=50°，则∠2=( )A.40°B.50°C.120°D.130°1.如图所示，是同位角是的，是内错角的是，是同旁内角关系的是。
543212.如图，∠B＝∠D＝∠E，那么图形中的平行线有，理由是。
FEDCBAFEDCBA3．如图，已知直线a ∥b ，∠1=85°，则∠2= ．4.如图，DH ∥EG ∥BC ，DC ∥EF ，图中与∠1相等的角有 。
K HG 1FED CBA三、解答题1.已知，如图，MN ⊥AB ，垂足为G ，MN ⊥CD ，垂足为H ，直线EF 分别交AB 、CD 于G 、Q ，∠GQC ＝120°，求∠EGB 和∠HGQ 的度数。
2022-2023学年北师大版七年级数学下册2
2.3平行线的性质课后同步练习班级：________ 姓名：________一、单选题（共 10 小题）1、如图，已知AB //DF ，DE 和AC 分别平分∠CDF 和∠BAE ，若∠DEA ＝46°，∠ACD ＝56°，则∠CDF 的度数为（ ）A ．42°B ．43°C ．44°D ．45°2、如图，AB CD ∥，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F 两点，∠BEF 的平分线交CD 于点G ，若∠EFG =52°，则∠EGF 等于（ ）A ．26°B ．64°C ．52°D ．128°3、如图所示，//CD AB ，OE 平分∠AOD ，80EOF ∠=︒，60D ∠=︒，则∠BOF 为（ ）A ．35︒B ．40︒C ．25︒D ．20︒4、如图，AB ∥CE ，∠B ＝60°，DM 平分∠BDC ，DM ⊥DN ，则∠NDE （ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°5、如图，AB CD ∥，AE 平分∠CAB 交CD 于点E ，若∠C =50°，则∠AED =（ ）A ．65°B ．115°C ．125°D ．130°6、如图，直线l 1 ∥ l 2 ，CD ⊥AB 于点D ，∠1=50°，则∠BCD 的度数为（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．30°7、如图，//CD AB ，BC 平分ACD ∠，CF 平分ACG ∠，50BAC ∠=︒，12∠=∠，则下列结论：①CB CF ⊥，②165∠=︒，③24ACE ∠=∠，④324∠=∠．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④8、已知直线a ∥b ，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC ＝30°）按如图所示方式放置，并且顶点A ，C 分别落在直线a ，b 上，若∠1＝22°，则∠2的度数是（ ）A．38°B．45°C．58°D．60°AB CD EF CG AF，那么图中与∠AFE相等的角的个数是（）9、如图，////,//A．4 B．5 C．6 D．710、如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（）A．36°B．34°C．32°D．30°二、填空题（共 8 小题）1、如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为____时，CD与AB平行．2、如图,AB ∥CD,AD 平分∠BAC,且∠C=80°,则∠D 的度数为____.3、如图，已知AD ∥BC ，∠C=38°，∠EAC=88°，则∠B=________4、如图，∠1=∠2=40°，MN 平分∠EMB ，则∠3=_____°．5、如图，DA ⊥CE 于点A ，CD ∥AB ，∠1=30°，则∠D=_____．6、如图，已知AB CD ∥，ABE ∠和CDE ∠的平分线相交于F ，138E ∠=︒，BFD ∠=___________°．7、如图，直线MN 分别与直线AB ，CD 相交于点E ，F ，EG 平分∠BEF ，交直线CD 于点G ，若∠MFD ＝∠BEF ＝62°，射线GP ⊥EG 于点G ，则∠PGF 的度数为__度．8、如图，64BCA ∠=︒，CE 平分ACB ∠，CD 平分ECB ∠，//DF BC 交CE 于点F ，则CDF ∠的度数为_________°．三、解答题（共 6 小题）1、如图，已知//AB CD ，∠B=∠D ，AE 交BC 的延长线于点E ．（1）求证：//AD BE ；（2）若∠1=∠2=60°，∠BAC=2∠EAC ，求∠DCE 的度数．2、三角形ABC中，D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，∠BCF+∠ADE=180°．（1）如图1，求证：CF∥AB；（2）如图2，连接BE，若∠ABE=40°，∠ACF=60°，①求∠BEC的度数；②如图2，点G是线段FC延长线上一点，若∠EBC：∠ECB=7：13，BE平分∠ABG，求∠CBG的度数．3、如图，已知AB∥CD．(1)判断∠FAB与∠C的大小关系，请说明理由；(2)若∠C＝35°，AB是∠FAD的平分线．①求∠FAD的度数；②若∠ADB＝110°，求∠BDE的度数．4、问题情境我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．问题初探(1)如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC 的度数．由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为______，∠EMC的度数为______．类比再探(2)若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由．(3)请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．5、如图，已知AB∥CD，问∠BED、∠D、∠ABE的关系．6、如图，已知AC∥FE，∠1＋∠2＝180°(1)求证：∠FAB＝∠BDC；(2)若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．第11页/ 共11页。
北师大版初一下册数学 2.3 平行线的性质 同步练习(一课一练)
2.3 平行线的性质第1课时平行线的性质一、选择题（共7小题）1．如图，直线a，b被直线c所截，若直线a∥b，∠1＝108°，则∠2的度数为( )（第1题图）A．108° B．82° C．72° D．62°2．如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是( )（第2题图）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4C．∠1＋∠3＝180° D．∠3＋∠4＝180°3．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE.若∠ABC＝30°，则∠D为( )（第3题图）A．85° B．75° C．60° D．30°4．如图，AB∥CD，∠D＝42°，∠CBA＝64°，则∠CBD的度数是( ) A．42° B．64° C．74° D．106°（第4题图）（第5题图）5．如图，将一块含有30°角的三角尺的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2＝44°，那么∠1的度数是( )A．14° B．15° C．16° D．17°6．如图，已知BD平分∠ABC，点E在BC上，EF∥AB.若∠CEF＝100°，则∠ABD的度数为( )A．60° B．50° C．40° D．30°（第6题图）（第7题图）7．如图，小明从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C 处，则∠ABC的度数是( )A．80° B．90° C．100° D．95°二、填空题（共5小题）8．如图，点D，E，F分别在BC，AC，AB上，如果DE∥AB，那么∠A＋________＝180°或∠B＋________＝180°，根据是____________________________________；如果∠CED ＝∠FDE，那么________∥________，根据是___________________________________．（第8题图）（第9题图）9．如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1＝30°，则∠D＝________°.10．如图，点A在直线a上，射线AB，AC分别交直线b于点B，C.若a∥b，∠1＝70°，∠2＝40°，则∠3的度数为________．（第10题图）（第11题图）11．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于点D.若∠CDE＝150°，则∠C的度数为________．12．一大门栏杆的平面示意图如图，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE.若∠BCD ＝150°，则∠ABC＝________度.（第12题图）三、解答题（共5小题）13．如图，点D在射线AE上，AB∥CD，∠CDE＝140°，求∠A的度数．（第13题图）14．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2的度数．（第14题图）15．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，猜想∠BAC与∠DGA之间的数量关系，并说明理由．（第15题图）16．如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105°，第二次拐的角∠B是135°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？（第16题图）17. 有一天，许威同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AB，CD，然后在平行线间画了一点E，连接BE，DE后(如图K－19－17①)，他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②、图③、图④等图形，这时他突然一想，∠B，∠D与∠BED之间的度数有没有某种联系呢？接着许威同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．(1)你能探讨出图①至图④各图中的∠B，∠D与∠BED之间的关系吗？(2)请从所得的四个关系中选一个，说明它成立的理由．（第17题图）参考答案一、1．C2． D 解析：如图，因为AB ∥CD ，所以∠3＋∠5＝180°.又因为∠5＝∠4，所以∠3＋∠4＝180°，故选D .3．B 解析：因为AB ∥CD ，所以∠C ＝∠ABC ＝30°.又因为CD ＝CE ，所以∠D ＝∠CED.因为∠C ＋∠D ＋∠CED ＝180°，即30°＋2∠D ＝180°，所以∠D ＝75°.故选B .4． C 解析：因为AB ∥CD ，所以∠C ＝∠ABC ＝64°.在三角形BCD 中，∠CBD ＝180°－∠C －∠D ＝180°－64°－42°＝74°，故选C .5． C 解析：如图，因为∠ABC ＝60°，∠2＝44°，所以∠EBC ＝16°.因为BE ∥CD ，所以∠1＝∠EBC ＝16°，故选C .6． B 解析：因为EF ∥AB ，∠CEF ＝100°，所以∠ABC ＝∠CEF ＝100°.因为BD 平分∠ABC ，所以∠ABD ＝12∠ABC ＝12×100°＝50°. 7． C 解析：因为向北方向线是平行的，所以∠A ＋∠ABF ＝180°，所以∠ABF ＝180°－60°＝120°，所以∠ABC ＝∠ABF －∠CBF ＝120°－20°＝100°.二、8．∠AED ∠BDE 两直线平行，同旁内角互补 DF AC 内错角相等，两直线平行9． 60解析： 因为DA ⊥CE ，所以∠DAE ＝90°.因为∠1＝30°，所以∠BAD ＝60°.又因为AB ∥CD ，所以∠D ＝∠BAD ＝60°，故答案为60.10．70°11．120°12．120解析：如图，过点B作BM∥AE.因为CD∥AE，所以CD∥BM∥AE，所以∠1＋∠BCD＝180°，∠2＋∠BAE＝180°.因为∠BCD＝150°，∠BAE＝90°，所以∠1＝30°，∠2＝90°，所以∠ABC＝∠1＋∠2＝120°.三、13．解：因为∠CDE＝140°，所以∠CDA＝180°－140°＝40°.因为AB∥CD，所以∠A＝∠CDA＝40°.14．解：如图，因为直线AB∥CD，所以∠3＝∠1＝54°，∠2＝∠5.因为BC平分∠ABD，所以∠4＝∠3＝54°，所以∠2＝∠5＝180°－54°－54°＝72°.15．解：∠BAC＋∠DGA＝180°.理由：因为EF∥AD，所以∠2＝∠BAD.又因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠BAD，所以AB∥DG，所以∠BAC＋∠DGA＝180°.16．解：如图，过点B作直线BE∥CD.因为CD∥AF，所以BE∥CD∥AF，所以∠ABE＝∠A＝105°，所以∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°.又因为BE∥CD，所以∠CBE＋∠C＝180°，所以∠C＝150°.17 解：(1)图①中，∠BED＝∠B＋∠D；图②中，∠BED＝360°－∠B－∠D；图③中，∠BED＝∠D－∠B；图④中，∠BED＝∠B－∠D.(2)(答案不唯一)选图①中的∠BED＝∠B＋∠D.说明理由如下：过点E在∠BED的内部作EF∥AB.因为AB∥CD，所以EF∥CD.因为AB∥EF，所以∠B＝∠BEF.因为EF∥CD，所以∠D＝∠DEF，所以∠BEF＋∠DEF＝∠B＋∠D，即∠BED＝∠B＋∠D.第2课时平行线性质与判定的综合应用一、选择题（共5小题）1．下列说法：①两直线平行，同旁内角互补；②同位角相等，两直线平行；③内错角相等，两直线平行；④两直线平行，同位角相等．其中是平行线的性质的是( ) A．① B. ②③C．④ D. ①④2．如图，从点O(点O在直线PQ上)照射到抛物线上的光线OB，反射以后沿着与直线PQ 平行的方向射出．若∠POB＝60°，则∠ABO等于( )A．40°B．60° C．130° D．180°（第2题图）（第3题图）3．如图，∠1＝∠2，∠C＝130°，∠2＝22°，则∠DAC的度数是( )A．25° B．24° C．28° D．22°4．如图，已知AB⊥GH，CD⊥GH，直线CD，EF，GH相交于一点O.若∠1＝42°，则∠2等于( )A．130° B．138° C．140° D．142°（第4题图）（第5题图）5.如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置．若∠EFB＝58°，则∠AED′等于( )A．58° B．32° C．122° D．64°二、填空题（共3小题）6．如图，点D在EF上，∠A＝120°，∠B＝60°，∠EDA＝55°，则∠F＝________°.（第6题图）（第7题图）7．如图，如果AB∥DF，DE∥BC，并且∠1＝65°，求∠2，∠3的度数．解：因为DE∥BC(________)，所以∠1＝∠2(________________________)．因为∠1＝65°(________)，所以∠2＝65°(等量代换)．又因为AB ∥DF (________)，所以∠3＋∠2＝180°(____________________)，所以∠3＝115°(等式的性质)．8．如图，∠B ＋∠C ＝180°，∠A ＝50°，∠D ＝40°，则∠AED ＝________°.（第8题图）三、解答题（共7小题）9．如图，已知CD 平分∠ACB ，交AB 于点D ，点E 在AC 上，且∠EDC ＝12∠ACB ，∠DCB ＝30°，求∠AED 的度数．（第9题图）10．如图①是大众汽车的车标图案，图②反映了其中直线间的关系，且AC ∥BD ，AE ∥BF ，试确定∠A ，∠B 之间的关系，并说明理由．（第10题图）11．如图，AB∥CD，∠1＝∠2.试说明：AM∥.（第11题图）12．如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠C，试说明：AE∥BC.（第12题图）13．如图，CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D，F，∠1＝∠2.(1)试判断DG与BC的位置关系，并说明理由；(2)若∠A＝70°，∠BCG＝40°，求∠ADG的度数．（第13题图）14．如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC.(1)试说明：AB∥CD；(2)若∠1＋∠2＝180°，且∠BFC＝2∠C＋30°，求∠B的度数.（第14题图）15 .如图，已知直线AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，点E，F在CD上，且满足∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF.(1)直线AD与BC有何位置关系？请说明理由．(2)求∠DBE的度数．(3)若平行移动AD，在平行移动AD的过程中，是否存在某种情况，使∠BEC＝∠ADB？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．（第15题图）参考答案一、1．D 解析：平行线的性质是已知两直线平行，得到角与角之间的数量关系；平行线的判定是由角与角之间的数量关系得到两直线之间的位置关系．2．B3．C 解析： 因为∠1＝∠2，所以AB ∥CD.因为∠C ＝130°，∠2＝22°，所以∠DAC ＝180°－130°－22°＝28°.故选C .4．B 解析：因为AB ⊥GH ，CD ⊥GH ，所以∠GMB ＝∠GOD ＝90°，所以AB ∥CD ，所以∠BPF ＝∠1＝42°，所以∠2＝180°－∠BPF ＝180°－42°＝138°.5．D 解析：因为四边形ABCD 是长方形，所以AD ∥BC ，所以∠DEF ＝∠EFB ＝58°.因为沿EF 折叠，所以∠FED′＝∠DEF ＝58°，所以∠AED′＝180°－58°－58°＝64°，故选D .二、6．55 解析：因为∠A ＝120°，∠B ＝60°，所以∠A ＋∠B ＝180°，所以AD ∥BF ，所以∠EDA ＝∠F.因为∠EDA ＝55°，所以∠F ＝55°.7．已知 两直线平行，内错角相等已知 已知 两直线平行，同旁内角互补8． 90 解析：如图，延长DE 交AB 于点F.因为∠B ＋∠C ＝180°，所以AB ∥CD.因为∠D ＝40°，所以∠AFD ＝∠D ＝40°.因为∠A ＝50°，所以∠AEF ＝180°－50°－40°＝90°，所以∠AED ＝180°－90°＝90°.三、9．解：因为CD 平分∠ACB(已知)，所以∠DCB ＝12∠ACB(角平分线的定义)． 又因为∠EDC ＝12∠ACB(已知)， 所以∠DCB ＝∠EDC(等量代换)，所以DE ∥BC(内错角相等，两直线平行)，所以∠AED ＝∠ECB(两直线平行，同位角相等)．又因为∠DCB ＝30°(已知)，所以∠ECB ＝2×30°＝60°，所以∠AED ＝∠ECB ＝60°.10．解：∠A＝∠B.理由如下：因为AC∥BD，所以∠A＝∠DOE.因为AE∥BF，所以∠B＝∠DOE，所以∠A＝∠B.11．解：因为AB∥CD，所以∠EAB＝∠ECD.因为∠1＝∠2，所以∠EAM＝∠E，所以AM∥.12．解析：要说明AE∥BC，需推出∠ADC＋∠C＝180°，而∠A＝∠C，也就是要推出∠ADC＋∠A＝180°，也就是要推出AB∥CD，而利用已知条件易得AB∥CD.解：因为∠1＝∠2(已知)，所以DC∥AB(同位角相等，两直线平行)，所以∠ADC＋∠A＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．又因为∠A＝∠C(已知)，所以∠ADC＋∠C＝180°(等量代换)，所以AE∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．13．解：(1)DG与BC平行．理由如下：因为CD⊥AB，EF⊥AB，所以CD∥EF，所以∠1＝∠BCD.因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠BCD，所以DG∥BC.(2)因为∠A＝70°，∠BCG＝40°，所以∠B＝180°－∠A－∠BCG＝70°.因为DG∥BC，所以∠ADG＝∠B＝70°.14．解：(1)因为∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，所以∠A＝∠D，所以AB∥CD.(2)因为∠1＋∠2＝180°，∠CGD＋∠2＝180°，所以∠CGD＝∠1，所以CE∥FB，所以∠C＝∠BFD.又因为∠BFC ＝2∠C ＋30°，∠BFC ＋∠BFD ＝180°. 所以2∠BFD ＋30°＋BFD ＝180°，所以∠BFD ＝50° 由(1)知AB ∥CD ，所以∠B ＝∠BFD ＝50°.15 解：(1)AD ∥BC.理由：因为AB ∥CD ，所以∠A ＋∠ADC ＝180°.又因为∠A ＝∠C ，所以∠ADC ＋∠C ＝180°，所以AD ∥BC.(2)因为AB ∥CD ，所以∠ABC ＝180°－∠C ＝80°.因为∠DBF ＝∠ABD ，BE 平分∠CBF ，所以∠DBE ＝12∠ABF ＋12∠CBF ＝12∠ABC ＝40°. (3)存在．设∠ABD ＝∠DBF ＝∠BDC ＝x°.因为AB ∥CD ，所以∠BEC ＝∠ABE ＝x°＋40°，∠ADC ＝180°－∠A ＝80°， 所以∠ADB ＝80°－x°.若∠BEC ＝∠ADB ，则x°＋40°＝80°－x°，解得x ＝20， 所以存在使∠BEC ＝∠ADB 的情况，此时∠BEC ＝∠ADB ＝60°.。
2020-2021学年北师大版七年级下册数学 2.3平行线的性质 同步习题 (含解析)
2.3平行线的性质同步习题一．选择题1．如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，交AB于点B，∠ABE＝150°，则∠A为（）A．110°B．120°C．135°D．150°2．如图，若AD∥BC，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠3B．∠2＝∠4C．∠1＝∠2D．∠2＝∠33．下列各图形中均有直线m∥n，则能使结论∠A＝∠1﹣∠2成立的是（）A．B．C．D．4．如图，AB∥CD，∠A＝30°，∠F＝40°，则∠C＝（）A．65°B．70°C．75°D．80°5．将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CED＝46°，那么∠BAF的度数为（）A．48°B．16°C．14°D．32°6．如图，直线MN∥PQ，点A是MN上一点，∠MAC的角平分线交PQ于点B，若∠1＝20°，∠2＝116°，则∠3的大小为（）A．136°B．138°C．146°D．148°7．如图，CE是∠ACD的平分线，CD∥AB，DE⊥CE，若∠DEB＝32°，则∠A的度数为（）A．62°B．64°C．68°D．70°8．如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（）A．114°B．142°C．147°D．156°9．如图，直线a∥b，∠1＝70°，∠3＝50°，则∠2＝（）A．80°B．70°C．60°D．50°10．如图，已知直线l交直线a，b于A，B两点，且a∥b，E是a上的点，F是b上的点，满足∠DAE＝∠BAE，∠DBF＝∠ABF，则∠ADB的度数是（）A．45°B．50°C．60°D．无法确定二．填空题11．如图，a∥b，直角三角板直角顶点在直线b上．已知∠1＝50°，则∠2的度数为度．12．如图，一只因损坏而倾斜的椅子，从背后看到的形状如图，其中两组对边的平行关系没有发生变化，若∠1＝75°，则∠2的大小是．13．如图，已知AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠C＝．14．如图，已知直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1＝40°，则∠2等于．15．如图，已知AE∥BD，∠1＝88°，∠2＝28°．则∠C＝．三．解答题16．如图AB∥CD，∠B＝62°，EG平分∠BED，EG⊥EF，求∠CEF的度数．17．已知：如图，直线AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点G，H；GM平分∠FGB，∠3＝60°．求∠1的度数．18．已知：如图，AB∥DE，CM平分∠BCE，CN⊥CM．求证：∠B＝2∠DCN．参考答案一．选择题1．解：∵∠ABE＝150°，∴∠ABC＝30°，又∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD＝30°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠BCD＝60°，又∵AB∥CD，∴∠A+∠ACD＝180°，∴∠A＝180°﹣∠ACD＝180°﹣60°＝120°．故选：B．2．解：∵AD∥BC，∴∠3＝∠1，故选：A．3．解：A、∵m∥n，∴∠2＝∠1+∠A，∴∠A＝∠2﹣∠1，不符合题意；B、∵m∥n，∴∠1＝∠2+∠A，∴∠A＝∠1﹣∠2，符合题意；C、∵m∥n，∴∠1+∠2+∠A＝360°，∴∠A＝360°﹣∠2﹣∠1，不符合题意；D、∵m∥n，∴∠A＝∠1+∠2，不符合题意；故选：B．4．解：∵∠A＝30°，∠F＝40°，∴∠FEB＝∠A+∠F＝30°+40°＝70°，∵AB∥CD，∴∠C＝∠FEB＝70°，故选：B．5．解：∵DE∥AF，∴∠CED＝∠EAF＝46°，∵∠BAC＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAF＝∠BAC﹣∠EAF＝60°﹣46°＝14°，故选：C．6．解：延长QC交AB于D，∵MN∥PQ，∴∠2+∠MAB＝180°，∵∠2＝116°，∴∠MAB＝180°﹣116°＝64°，∵AB平分∠MAC，∴∠MAB＝∠BAC＝64°，△BDQ中，∠BDQ＝∠2﹣∠1＝116°﹣20°＝96°，∴∠ADC＝180°﹣96°＝84°，△ADC中，∠3＝∠BAC+∠ADC＝64°+84°＝148°．故选：D．7．解：∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACE＝∠DCE，∵DE⊥CE，∴∠CDE+∠DCE＝90°，∠BED+∠AEC＝90°，∵∠DEB＝32°，∴∠AEC＝90°﹣∠DEB＝90°﹣32°＝58°，∵CD∥AB，∴∠CDE＝∠BED，∴∠DCE＝∠AEC，∴∠ACE＝∠AEC，∴∠A＝180°﹣2∠AEC＝180°﹣2×58°＝64°．故选：B．8．解：∵∠1＝24°，CE⊥直线c于点E，∴∠EAC＝90°﹣∠1＝90°﹣24°＝66°，∵a∥b，∴∠EAC＝∠ABD＝66°，∵∠ABD的平分线交直线a于点C，∴∠CBD＝，∴∠2＝180°﹣∠CBD＝180°﹣33°＝147°，故选：C．9．解：如右图所示，∵a∥b，∴∠1＝∠4，∴∠1＝70°，∴∠4＝70°，∵∠3＝50°，∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣50°﹣70°＝60°，故选：C．10．解：∵a∥b，∴∠EAB+∠ABF＝180°，∵∠DAE＝∠BAE，∠DBF＝∠ABF，∴∠DAB+∠ABD＝×180°＝135°，∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠ABD）＝180°﹣135°＝45°，故选：A．二．填空题11．解：如图，∵∠1+∠3＝90°，∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣50°＝40°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝40°，故答案为：40．12．解：如图，∵AD∥BC，∠1＝75°，∴∠3＝∠1＝75°，∵AB∥CD，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣75°＝105°．故答案为：105°．13．解：∵AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝30°，∴∠CBD＝∠1＝130°．∵∠BDC＝∠2，∴∠BDC＝30°．在△BCD中，∠CBD＝130°，∠BDC＝30°，∴∠C＝180°﹣130°﹣30°＝20°．故答案为：20°．14．解：∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠1＝40°，∵EF是∠GEB的平分线，∴∠BEF＝∠BEG＝×40°＝20°，∵AB∥CD，∴∠2＝180°﹣∠BEF＝180°﹣20°＝160°．故答案为：160°．15．解：∵AE∥BD，∴∠1＝∠3＝88°，∵∠3＝∠2+∠C，∴∠C＝∠3﹣∠2＝88°﹣28°＝60°，故答案为：60°．三．解答题16．解：∵AB∥CD，∠B＝62°，∴∠BED＝∠B＝62°，∵EG平分∠BED，∴∠DEG＝∠BED＝31°，∵EG⊥EF，∴∠FEG＝90°，∴∠DEG+∠CEF＝90°，∴∠CEF＝90°﹣∠DEG＝90°﹣31°＝59°．17．解：∵EF与CD交于点H，（已知），∴∠3＝∠4．（对顶角相等），∵∠3＝60°，（已知），∴∠4＝60°．（等量代换），∵AB∥CD，EF与AB，CD交于点G，H，（已知），∴∠4+∠FGB＝180°．（两直线平行，同旁内角互补），∴∠FGB＝120°．∵GM平分∠FGB，（已知），∴∠1＝60°．（角平分线的定义）．18．证明：∵AB∥DE，∴∠B+∠BCE＝180°，∠B＝∠BCD，∵CM平分∠BCE，∴∠1＝∠2，∵CN⊥CM，∴∠2+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，∴∠3＝∠4，∵∠3+∠4＝∠BCD，∴∠B＝2∠DCN．。
2022-2023学年北师大版七年级数学下册《2-3平行线的性质》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版七年级数学下册《2.3平行线的性质》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，AB∥EC，则下列结论正确的是（）A．∠A＝∠ECD B．∠A＝∠ACE C．∠B＝∠ACE D．∠B＝∠ACB 2．如图，AB∥CD，若∠1＝115°，则∠D的度数为（）A．55°B．65°C．75°D．85°3．如图，直线a∥b，点A在直线a上，点C、D在直线b上，且AB⊥BC，BD平分∠ABC，若∠1＝32°，则∠2的度数是（）A．13°B．15°C．14°D．16°4．如图，直线l1∥l2，∠1＝136°，则∠2的度数是（）A．44°B．46°C．54°D．64°5．如图，直线a∥b，一块含30°角的直角三角板如图放置，∠1＝24°，则∠2为（）A．34°B．26°C．24°D．36°6．如图，已知AB∥EF，DE∥BC，则与∠1相等的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，已知直线l1∥l2，直线l与l1，l2分别相交于点A，B，把一块含30°角的直角三角尺按如图位置摆放，若∠1＝130°，则∠ABD的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°8．如图，已知CB∥DF，则下列结论成立的是（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠1＝∠3D．∠1+∠2＝180°9．如图，AF∥BE∥CD，若∠1＝40°，∠2＝50°，∠3＝120°，则下列说法正确的是（）A．∠F＝100°B．∠C＝140°C．∠A＝130°D．∠D＝60°二．填空题10．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C、D分别到C′、D′的位置，D′E 与BC相交于G，若∠1＝40°，则∠2＝°．11．如图，a、b、c三根木棒钉在一起，∠1＝70°，∠2＝100°，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则秒后木棒a，b平行．12．如图，AB∥CD，BE∥DF，∠B与∠D的平分线相交于点P，则∠P＝°．13．将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE，则∠BAE＝°．14．如图所示，若AB∥CD，给出下列结论：①∠1＝∠B；②∠EFD+∠B＝180°；③∠B＝∠D；④∠BFD＝∠B．其中，正确的是．15．如图，DE∥BC，BD平分∠ABC，∠1＝25°，则∠2＝°．三．解答题16．证明：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．已知：如图，直线b∥c，．求证：．证明：17．如图，AB∥CD，CB∥DE．（1）求证∠B+∠D＝180°．证明：∵AB∥CD，∴∠B＝（两直线平行，内错角相等）．∵CB∥DE，∴．∴∠B+∠D＝180°（）．（2）若CM平分∠BCD，与DE交于点M．求证∠CMD＝∠B．18．如图，直线AB、CD被直线AC所截，交点为A、C．已知AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上）．设∠BAE＝α，∠DCE＝β，请结合图形直接写出∠AEC的大小（用含有α、β的式子表示）．19．如图，△ABC中，D为AC边上一点，过D作DE∥AB，交BC于E；F为AB边上一点，连接DF并延长，交CB的延长线于G，且∠DF A＝∠A．（1）求证：DE平分∠CDF；（2）若∠C＝80°，∠ABC＝60°，求∠G的度数．20．已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F．（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系．21．已知直线AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，O是平面内一点（不在直线AB、CD、EF上），OG平分∠EOF，射线OH∥AB，交EF于点H．（1）如图①，若∠AEO＝45°，∠CFO＝75°，则∠HOG＝，（2）如图②，若∠AEO＝150°，∠HOG＝20°，则∠CFO＝；（3）直接写出点O在不同位置时∠AEO、∠CFO和∠HOG三个角之间满足的数量关系．22．【探究结论】（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结AE、CE得到∠AEC，则∠AEC、∠A、∠C的关系是（直接写出结论，不需要证明）：【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题：（2）如图2，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2＝180°．（3）如图3，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD＝60°，∠AEC＝3∠CEF，若8°＜∠BAE＜20°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为．参考答案一．选择题1．解：∵AB∥EC，∴∠A＝∠ACE，∠B＝∠ECD．故选：B．2．解：如图，∵∠1＝115°，∴∠2＝180°﹣∠1＝65°，∵AB∥CD，∴∠D＝∠2＝65°．故选：B．3．解：延长CB交直线a于点E，如图，∵AB⊥BC，∠1＝32°，∴∠ABC＝90°，∴∠AEC＝90°﹣∠1＝58°，∵a∥b，∴∠ECF＝∠AEC＝58°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝45°，∵∠ECF是△BCD的外角，∴∠2＝∠ECF﹣∠CBD＝13°．故选：A．4．解：如图，∵l1∥l2，∠1＝136°，∴∠3＝∠1＝136°，∵∠3+∠2＝180°，∴∠2＝44°，故选：A．5．解：如图，过60°角的顶点作c∥a，∵a∥b，∴c∥b，∴∠3＝∠1＝24°，∴∠4＝60°﹣24°＝36°，∵c∥a，∴∠2＝∠4＝36°．故选：D．6．解：如图所示，与∠1相等的角有∠B、∠DEF、∠EFC共3个，故选：C．7．解：如图：∠EAB＝∠1＝130°（对顶角相等），∵l1∥l2，∴∠EAB+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠ABC＝180°﹣130°＝50°．∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝50°﹣30°＝20°．故选：B．8．解：∵CB∥DF，∴∠2＝∠3（两条直线平行，同位角相等）．故选：B．9．解：∵BE∥CD，∴∠2+∠C＝180°，∠3+∠D＝180°，∵∠2＝50°，∠3＝120°，∴∠C＝130°，∠D＝60°，∵AF∥BE，∠1＝40°，∴∠A＝180°﹣∠1＝140°，∠F的值无法确定．故选：D．二．填空题10．解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∵∠1＝40°，∴∠2＝180°﹣∠1＝140°，故答案为：140．11．解：设t秒后木棒a，b平行，依题意有100°﹣18°t＝70°﹣3°t，解得t＝2．或180°+100°﹣18°t＝70°﹣3°t，解得t＝14．故2秒或14秒后木棒a，b平行．故答案为：2或14．12．解：过点P作PG∥AB，过点E作EH∥AB，过点F作FM∥AB，延长CD到点N，如图：∵PG∥AB，AB∥CD，∴AB∥PG∥CD，∴∠1＝∠2，∠8＝∠9，∵∠ABE与∠CDF的平分线相交于点P，∴∠1＝∠ABE，∠9＝∠CDF，∴∠BPD＝∠2+∠8＝∠1+∠9＝（∠ABE+∠CDF），∵BE∥DF，∴∠3+∠4＝∠5+∠6，∵EH∥AB，FM∥AB，AB∥CD，延长CD到点N，∴AB∥EH∥FM∥CN，∴∠ABE＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠7，∴∠ABE＝∠7，∵∠7+∠CDF＝180°，∴∠ABE+∠CDF＝180°，∴∠BPD＝（∠ABE+∠CDF）＝×180°＝90°．故答案为：90．13．解：由题意得：∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，∴∠E+∠CAE＝180°，∴∠CAE＝180°﹣∠E＝120°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD＝75°．故答案为：75．14．解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠B，故①正确；∠CFB+∠B＝180°，∠B＝∠BFD，故④正确；∵∠EFD＝∠CFB，∴∠CFB+∠B＝180°，故②正确；无法证得∠B＝∠D，故③错误；综上所述，正确的有①②④．故答案为：①②④．15．解：∵BD平分∠ABC，∠1＝25°，∴∠ABC＝2∠1＝50°，∵DE∥BC，∴∠2＝∠ABC＝50°，故答案为：50．三．解答题16．解：已知：如图，直线b∥c，a⊥c．求证：b⊥a．∴∠1＝∠2，∵a⊥c，∴∠2＝90°，∴∠1＝∠2＝90°，∴b⊥c．故答案为：a⊥c；b⊥a．17．证明：（1）∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）．∵CB∥DE，∴∠BCD+∠D＝180°．∴∠B+∠D＝180°（等量代换）．故答案为：∠BCD；∠BCD+∠D＝180°；等量代换；（2）∵CB∥DE，∴∠BCM＝∠CMD，∵CM平分∠BCD，∴∠BCM＝∠BCD，∴∠CMD＝∠BCD，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD，∴∠CMD＝∠B．18．解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C＝β﹣α．（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，∴∠AE2C＝α+β．（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C＝α﹣β．（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．综上所述，∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β．故答案为：β﹣α或α+β或α﹣β或360°﹣α﹣β．19．（1）证明：∵DE∥AB，∴∠A＝∠CDE，∠DF A＝∠FDE，∵∠DF A＝∠A，∴∠CDE＝∠FDE，∴DE平分∠CDF；（2）∵∠A+∠C+∠ABC＝180°，∠C＝80°，∠ABC＝60°，∴∠A＝180°﹣60°﹣80°＝40°，∵∠DF A＝∠A，∴∠GFB＝∠DF A＝40°，∵∠G+∠GFB＝∠ABC，∴∠G＝∠ABC﹣∠GFB＝60°﹣40°＝20°．20．解：（1）作EG∥AB，FH∥AB，连结MF，∵AB∥CD，∴EG∥AB∥FH∥CD，∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∠ABE+∠BEG＝180°，∠GED+∠CDE＝180°，∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE＝360°，∵∠BED＝∠BEG+∠DEG＝100°，∴∠ABE+∠CDE＝260°，∵∠ABE和∠CDE的角平分线相交于F，∴∠ABF+∠CDF＝130°，∴∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝130°，∵BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，∴∠MBF＝∠ABF，∠MDF＝∠CDF，∴∠MBF+∠MDF＝65°，∴∠BMD＝130°﹣65°＝65°；（2）∵∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∴∠ABF＝3∠ABM，∠CDF＝3∠CDM，∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，∴∠ABE＝6∠ABM，∠CDE＝6∠CDM，∴6∠ABM+6∠CDM+∠BED＝360°，∵∠M＝∠ABM+∠CDM，∴6∠M+∠BED＝360°，∴∠M＝；（3）由（2）结论可得，2n∠ABM+2n∠CDM+∠E＝360°，∠M＝∠ABM+∠CDM，则2n∠M+∠BED＝360°．21．解：（1）∵AB∥CD，OH∥AB，∴AB∥OH∥CD，∴∠AEO＝∠EOH，∠CFO＝∠FOH，∴∠AEO+∠CFO＝∠EOH+∠FOH，即∠AEO+∠CFO＝∠EOF，∵∠AEO＝45°，∠CFO＝75°，∴∠EOF＝120°，∵OG平分∠EOF，∴∠EOG＝60°，∴∠HOG＝∠EOG﹣∠EOH＝15°，故答案为：15°；（2）∵AB∥CD，OH∥AB，∴AB∥OH∥CD，∴∠AEO+∠EOH＝180°，∠CFO+∠FOH＝180°，∴∠AEO+∠CFO+∠EOH+∠FOH＝360°，即∠AEO+∠CFO+∠EOF＝360°，∵AB∥OH，∴∠AEO+∠EOH＝180°，∵∠AEO＝150°，∴∠EOH＝30°，∵∠HOG＝20°，∴∠EOG＝∠EOH+∠HOG＝30°+20°＝50°，∵OG平分∠EOF，∴∠EOF＝2∠EOG＝100°，∵∠AEO+∠CFO+∠EOF＝360°，∠AEO＝150°，∴∠CFO＝360°﹣150°﹣100°＝110°，故答案为：110°；（3）①若点O在直线AB与CD之间，则有|∠AEO﹣∠CFO|＝2∠HOG；②若点O在直线AB与CD之外，且在直线EF的左侧，则有∠AEO+∠CFO＝2∠HOG；若点O在直线AB与CD之外，且在直线EF的右侧，则有360°﹣∠AEO﹣∠CFO＝2∠HOG．22．（1）解：过点E作EF∥AB，∴∠A＝∠1，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠2＝∠C．∵∠AEC＝∠1+∠2，∴∠AEC＝∠A+∠C（等量代换），故答案为：∠AEC＝∠A+∠C；（2）证明：由（1）可知：∠EG2F＝∠1+∠DFG2，∵FG2平分∠MFD，∴∠EFG2＝∠DFG2，∵∠1＝∠2，∴∠EG2F＝∠2+∠EFG2，∵∠EG1F+∠2+∠EFG2＝180°，∴∠FG1E+∠G2＝180°；（3）由（1）知：∠AEF＝∠BAE+∠DFE，设∠CEF＝x，则∠AEC＝3x，∵∠EFD＝60°，∴x+3x＝∠BAE+60°，∴∠BAE＝4x﹣60°，又∵8°＜∠BAE＜20°，∴8°＜4x﹣60°＜20°，解得17°＜x＜20°，又∵∠DFE是△CEF的外角，∴∠C＝∠DFE﹣∠CEF＝∠DFE﹣x，∵∠C的度数为整数，∴x＝18°或19°，∴∠C＝60°﹣18°＝42°或∠C＝60°﹣19°＝41°，故答案为：42°或41°．。
北师大版七年级下册数学 2.3平行线的性质 同步测试(无答案)
2.3平行线的性质一、选择题1.如图，若m∥n，∠1=105°，则∠2=（）A. 75°B. 85°C. 95°D. 105°2.如图，直线a//b，直线c分别与a、b相交于点A，B，已知∠1=35°，则∠2的度数为（）A. 165ºB. 155ºC. 145ºD. 135º3.如果两条平行线被三条直线所截，那么一对内错角的角平分线一定（）A. 互相平行B. 互相垂直C. 相交成锐角D. 相交成钝角4.如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，若∠ABC=40°，则∠BCD=（）A. 140°B. 130°C. 120°D. 110°5.（2015•临沂）如图，直线a∥b，∠1=60°，∠2=40°，则∠3等于（）A. 40°B. 60°C. 80°D. 100°6.如图，已知直线AB∥CD，∠BEG的平分线EF交CD于点F，若∠1=42°，则∠2等于（）A. 159°B. 148°C. 142°D. 138°7.如图a∥b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=（）A. 180°B. 270°C. 360°D. 540°8.如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=（）A. 180°B. 270°C. 360°D. 540°9.如图所示，已知CD平分∠ACB，DE∥AC，∠1=30°，则∠2=（）A. 35°B. 30°C. 50°D. 60°10.如图所示，直线a∥b，∠B=22°，∠C=50°，则∠A的度数为（）A. 22°B. 28°C. 32°D. 38°11.如图，已知AB∥CD, ∠2=3∠1，则∠3=（）A. 90 °B. 120°C. 60°D. 1512.如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且AC⊥BC，若∠1=40°，则∠2的度数为（）A. 140°B. 130°C. 120°D. 110°二、填空题13.如图，已知∠1=∠2，∠B=30°，则∠3=________．14.你的家中也有平行线存在，例如________ ．15.已知：如图，∠1=∠2．求证：∠3+∠4=180°证明：∵∠1=∠2（已知）∴a∥b（________）∴∠3+∠5=180°（两直线平行，同旁内角互补）又∵∠4=∠5（________）∴∠3+∠4=180°（等量代换）16.如图，长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED交BC于点G，点D,C分别落在点D’、C’位置上，若∠EFG=55°，∠BGE=________度.17.如图所示，已知AB∥CD，分别探究下面图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性．①结论：（1）________（2）________（3）________（4）________②选择结论（1），说明理由．18.根据题意结合图形填空：已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC与G，∠E=∠3，试问：AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由答：是，理由如下：∵AD⊥BC，EG⊥BC（________）∴∠4=∠5=90°（________）∴AD∥EG（________）∴∠1=∠E（________）∠2=∠3（________）∵∠E=∠3（________）∴________（等量代换）∴AD是∠BAC的平分线（________）19.下列各种说法中错误的是________ （填序号）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段③两条直线没有交点，则这两条直线平行④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．20.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=32°，则∠2=________度．21.如图，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+…+∠2n=________度．22.如图，小明从A出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是右转________°．三、解答题23.如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC=116°，∠ACF=25°，求∠FEC的度数．24.如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE的延长线交CD于点F，且∠1+∠2=90°．猜想∠2与∠3的关系并证明．25.如图EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD的度数．26.如图，点D，F在线段AB上，点E，G分别在线段BC和AC上，CD∥EF，∠1=∠2．（1）判断DG与BC的位置关系，并说明理由；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠3=85°，且∠DCE：∠DCG=9：10，试说明AB与CD有怎样的位置关系？27.如图1，已知直线l1∥l2，且l1、l2分别相交于A、B两点，l4和l1、l2分别交于C、D两点，∠ACP=∠1，∠BDP=∠2，∠CPD=∠3．点P在线段AB上．（1）若∠1=22°，∠2=33°，则∠3=________．（2）试找出∠1、∠2、∠3之间的等量关系，并说明理由．（3）应用（2）中的结论解答下列问题：如图2，点A在B处北偏东40°的方向上，在C处的北偏西45°的方向上，求∠BAC的度数．（4）如果点P在直线l3上且在A、B两点外侧运动时，其他条件不变，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P和A、B两点不重合），直接写出结论即可．。
北师大七下《2.3 平行线的性质》同步练习
使两条直角边 DE、DF 恰分别经过 B、C 两点，若 EF∥BC，则∠ABD＝
°．
12．如图，已知 DE∥BC，2∠D＝3∠DBC，∠1＝∠2．则∠DEB＝
度．
13．如图，AB∥CD，EG⊥AB，∠1＝50°，则∠E 的度数等于
．
三．解答题（共 7 小题）
14．根据图形及题意填空，并在括号里写上理由．
∴∠ADG ∠
＝
°
∴∠CDG＝∠ADG﹣∠
＝
°．
18．如图，直线 AB∥CD，BC 平分∠ABD，∠1＝65°，求∠2 的度数．
19．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，求∠AGD．
20．如图，直线 a∥b，点 B 在直线上 b 上，且 AB⊥BC，∠1＝55°，求∠2 的度数．
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10．如图，将含 30°角的直角三角板 ABC 的直角顶点 C 放在直尺的一边上，已知∠A＝30°，
∠1＝40°，则∠2 的度数为（
）
第 2 页（共 5 页）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
二．填空题（共 3 小题）
11．将一块 60°的直角三角板 DEF 放置在 45°的直角三角板 ABC 上，移动三角板 DEF
D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF 的度数为（ ）
第 1 页（共 5 页）
A．60°
B．65°
C．72°
D．75°
6．如图，BC⊥AE，垂足为 C，过 C 作 CD∥AB，若∠ECD＝43°，则∠B＝（ ）
A．43°
B．57°
C．47°
7．如图，∠1＝65°，CD∥EB，则∠B 的度数为（ ）
D．45°
北师大版七年级数学下册2.3平行线的性质同步训练解析版
2.3平行线的性质同步训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，直线AB 、CD 相交于点E ，EF⊥AB 于E ，若⊥CEF=65°，则⊥DEB 的度数为（ ）A ．155°B ．135°C ．35°D ．25° 2．如果两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的4倍少30o ，那么这两个角是（ ）A ．42o 和138oB ．都是10oC ．42o 和138o 或都是10oD ．以上都不对3．如图，如果//AB CD ，那么αβγ∠∠∠，，之间的关系是（ ）A ．360αβγ︒∠+∠+∠=B ．180αβγ︒∠-∠+∠=C ．180a βγ︒∠+∠+∠=D ．180αβγ︒∠+∠-∠=4．直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中所标记的角中，与⊥1互余的角有几个A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个 5．如图，点A 在直线BG 上,AD⊥BC ，AE 平分⊥GAD ， 若⊥CBA=80°,则⊥GAE= ( )A．60°B．50°C．40°D．30°6．如图，AB⊥CD，点E在CA的延长线上.若⊥BAE=40°，则⊥ACD的大小为（）A．150° B．140° C．130° D．120°7．如图，a⊥b，将三角尺的直角顶点放在直线a上，若⊥1=40°，则⊥2=（）A．30°B．40°C．50°D．60°∠的8．如图，已知a//b，小明把三角板的直角顶点放在直线b上.若130∠=o，则2度数为()A．100o B．110o C．120o D．140o二、填空题9．如图，直线AD⊥BC，若⊥1=42°，⊥BAC=78°，则⊥2的度数为______.10．如图，⊥COB＝2⊥AOC，OD平分⊥AOB，且⊥COD＝19°，则⊥AOB＝_____度．11．如图，在⊥ABC中，CD平分⊥ACB，DE⊥BC，交AC于点E．若⊥AED=50°，则⊥D的度数为______．12．如图，已知DE⊥BC，⊥ABC＝100°，点F在射线BA上，且⊥EDF＝120°，则⊥DFB 的度数为_____．13．如图，一块梯形玻璃的下半部分打碎了，若⊥A＝125°，⊥D＝107°，则打碎部分的两个角的度数分别为__________________14．如图，AB⊥CD，若⊥2是⊥1的4倍，则⊥2的度数是__________三、解答题15．完成下面的证明．如图，已知AB⊥CD，⊥B=⊥C，求证：⊥1=⊥2．证明：⊥AB⊥CD（已知）⊥⊥B=（）．⊥⊥B=⊥C（已知）⊥⊥BFD=⊥C（等量代换）⊥EC⊥（）⊥⊥2=（两直线平行，同位角相等）⊥⊥1=（）⊥⊥1=⊥2（等量代换）．16．如图，已知AB⊥CD，被直线EF所截交AB、CD于点M、N，MP平分⊥EMB，NQ平分⊥MND，证明：MP⊥NQ．17．如图（1），AB⊥CD，猜想⊥BPD与⊥B、⊥D的关系，说出理由．解：猜想⊥BPD+⊥B+⊥D=360°理由：过点P作EF⊥AB，⊥⊥B+⊥BPE=180°（两直线平行，同旁内角互补）⊥AB⊥CD，EF⊥AB，⊥EF⊥CD，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．）⊥⊥EPD+⊥D=180°（两直线平行，同旁内角互补）⊥⊥B+⊥BPE+⊥EPD+⊥D=360°⊥⊥B+⊥BPD+⊥D=360°（1）依照上面的解题方法，观察图（2），已知AB⊥CD，猜想图中的⊥BPD与⊥B、⊥D 的关系，并说明理由．要说明理由．18．如图，在ABC △ 中，70CAB ∠=︒ ，将 'ABC △ 绕点 A 逆时针旋转到''AB C V 的位置，使得'//CC AB ，则'BAB ∠ 的度数是多少？参考答案1．D【解析】【分析】直接利用垂直的定义结合互余的性质、对顶角的性质得出答案.【详解】Q EF AB ⊥于E ，65CEF ∠=︒，∴90AEF ∠=︒，则906525AEC BED ∠=∠=︒-︒=︒.故选：D .【点睛】此题主要考查了垂线以及对顶角，正确得出AEC ∠的度数是解题关键.2．C【解析】设一个角为 x 度，则另一个角为（4 x -30）度，⊥如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补⊥4x -30=x 或4x -30+x=180，解得：x=10或 x=42，当 x=42时，4x -30=138，即这两个角是10°、10°或42°、138°，故选C ．3．D【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等即可解答，此题在解答过程中，需添加辅助线．【详解】过点E 作EF⊥AB ，则EF⊥CD.⊥EF⊥AB⊥CD，⊥⊥α+⊥AEF=180°，⊥FED=⊥γ，⊥⊥α+⊥β=180°+⊥γ，即⊥α+⊥β−⊥γ=180°.故选D.【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键在于作辅助线.4．B【解析】分析：注意到⊥1与⊥2互余，并且直尺的两边互相平行，根据平行线的性质，有⊥2=⊥3=⊥4，所以，与⊥1互余的角有⊥2，⊥3，⊥4；一共3个．故选B．5．B【解析】【分析】先求出⊥BAD=⊥CBA=80°，2⊥GAE+⊥BAD=180°即可求出⊥GAE.【详解】⊥AD⊥BC，⊥⊥BAD=⊥CBA=80°，⊥AE平分⊥GAD，则⊥GAE=12⊥GAD，⊥2⊥GAE+⊥BAD=180°，得⊥GAE=50°.【点睛】此题主要考察平行线的性质和角的计算. 6．B【解析】试题分析：如图，延长DC 到F ，则⊥AB⊥CD ，⊥BAE=40°，⊥⊥ECF=⊥BAE=40°.⊥⊥ACD=180°-⊥ECF=140°.故选B ．考点：1.平行线的性质；2.平角性质.7．C【解析】【分析】先求出⊥3的度数，根据平行线的性质得出⊥2=⊥3，代入求出即可．【详解】解：⊥⊥1=40°，⊥⊥3=90°-40=50°，⊥直线a⊥直线b ，⊥⊥2=⊥3=50°，故选：C ．【点睛】本题考查平行线的性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等，题目比较典型，难度适中． 8．C【解析】【分析】由直角三角板的性质可知3180190∠∠=--o o ，再根据平行线的性质即可得出结论．【详解】解：130∠=o Q ，3180190180309060∠∠∴=--=--=o o o o o o ，a //b Q ，21803120∠∠∴=-=o o ．故选：C ．【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．9．60°【解析】【分析】依据三角形内角和定理，即可得到⊥ABC=60°，再根据AD⊥BC ，即可得出⊥2=⊥ABC=60°．【详解】⊥⊥1=42°，⊥BAC=78°，⊥⊥ABC=60°，又⊥AD⊥BC ，⊥⊥2=⊥ABC=60°，故答案是：60°．【点睛】考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．10．114．【解析】【分析】本题是角平分线的应用，同时也可以借助方程来解决．【详解】因为⊥COB=2⊥AOC ，所以设⊥AOC=x ，则⊥COB=2x ，所以⊥AOB=3x，因为OD平分⊥AOB，所以⊥BOD=⊥AOD=1.5x，所以⊥COD=⊥AOD-⊥AOC=1.5x-x=19°，所以x=38°，所以⊥AOB=3x=3×38°=114°．故答案为114．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质.方程思想在角的大小求解中经常用到，灵活的应用方程思想求解可以事半功倍．11．25°【解析】【分析】根据平行线的性质求得⊥ACB度数，然后根据角平分线的定义求得⊥DCB的度数，然后利用两直线平行，内错角相等即可求解．【详解】解：⊥DE⊥BC，⊥AED=50°，⊥⊥ACB=⊥AED=50°，⊥CD平分⊥ACB，⊥⊥BCD=12⊥ACB=25°，⊥DE⊥BC，⊥⊥D=⊥BCD=25°，故答案为：25°．【点睛】本题重点考查了平行线的性质及角平分线的定义，是一道较为简单的题目．12．20°或140°．【解析】【分析】根据平行线的性质，分两种情况分析：当F在直线DE的上侧或F在直线DE的下侧.【详解】如图，当F在直线DE的下侧,作FH∥BC,因为，DE⊥BC，所以，DE⊥BC⊥FH所以，⊥ABC+⊥D+⊥BFD=180°×2=360°,所以，⊥BFD=360°-⊥ABC-⊥D=140°.当F在直线DE的上侧,作FH∥BC,因为，DE⊥BC，所以，DE⊥BC⊥FH所以，⊥ABC=⊥BFH=100°,⊥FDE=⊥DFH=120°所以，⊥BFD=⊥DFH-⊥BFH=120°-100°=20°,故答案为：20°或140°【点睛】平行线的性质和判定的灵活运用.13．55°，73°【解析】【分析】因为在梯形ABCD中，AD⊥BC，所以⊥A+⊥B=180°，⊥D+⊥C=180°（两直线平行，同旁内角互补）；则可求得下半部分的两个角⊥B和⊥C的度数．【详解】将原图补全，如图，.⊥AD⊥BC，⊥⊥D+⊥C=180°，⊥A+⊥B=180°，⊥⊥B=180°-⊥A=180°-125°=55°，⊥C=180°-⊥D=180°-107°=73°，【点睛】此题考查了梯形的两底平行与平行线的性质．两直线平行，同旁内角互补．14．144°【解析】如图所示：⊥AB⊥CD，⊥⊥1+⊥BMN=180°，⊥⊥2=⊥BMN，⊥⊥1+⊥2=180°，⊥⊥2是⊥1的4倍，⊥5⊥1=180°，⊥⊥1=36°，⊥⊥2=144°．故答案是：144°．15．⊥BFD，两直线平行，内错角相等；BF（或FG），同位角相等，两直线平行；⊥CHD （或⊥CHG）；⊥CHD（或⊥CHG），对顶角相等；【解析】根据题目过程，结合平行的性质与判定即可完成.【详解】证明：⊥AB⊥CD（已知）⊥⊥B=⊥BFD （两直线平行，内错角相等）．⊥⊥B=⊥C（已知）⊥⊥BFD=⊥C（等量代换）⊥EC⊥BF（或FG）（同位角相等，两直线平行）⊥⊥2=⊥CHD（或⊥CHG）（两直线平行，同位角相等）⊥⊥1=⊥CHD（或⊥CHG）（对顶角相等）⊥⊥1=⊥2（等量代换）．【点睛】本题考查平行线的性质和判定，难度较低，熟练掌握平行线的相关性质定理是解题关键. 16．详见解析【解析】【分析】由AB⊥CD，根据平行线的性质得⊥EMB=⊥MND，再根据角平分线的定义得到⊥EMP=1 2⊥EMB，⊥MNQ=12⊥MND，则⊥EMP=⊥MNQ，然后根据平行线的判定即可得到MP⊥NQ．【详解】证明：⊥AB⊥CD，⊥⊥EMB=⊥MND，⊥N，MP平分⊥EMB，NQ平分⊥MND，⊥⊥EMP=12⊥EMB，⊥MNQ=12⊥MND，⊥⊥EMP=⊥MNQ，⊥MP⊥NQ．本题考查了平行线的判定与性质：两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行．17．见解析【解析】【分析】（1）首先过点P作PE⊥AB，由AB⊥CD，可得PE⊥AB⊥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可得⊥1=⊥B，⊥2=⊥D，则可求得⊥BPD=⊥B+⊥D．（2）由AB⊥CD，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得⊥BPD与⊥B、⊥D的关系．【详解】解：（1）⊥BPD=⊥B+⊥D．理由：如图2，过点P作PE⊥AB，⊥AB⊥CD，⊥PE⊥AB⊥CD，⊥⊥1=⊥B，⊥2=⊥D，⊥⊥BPD=⊥1+⊥2=⊥B+⊥D；（2）如图（3）：⊥BPD=⊥D﹣⊥B．理由：⊥AB⊥CD，⊥⊥1=⊥D，⊥⊥1=⊥B+⊥P，⊥⊥D=⊥B+⊥P，即⊥BPD=⊥D﹣⊥B；如图（4）：⊥BPD=⊥B﹣⊥D．理由：⊥AB⊥CD，⊥⊥1=⊥B，⊥⊥1=⊥D+⊥P，⊥⊥B=⊥D+⊥P，即⊥BPD=⊥B﹣⊥D．18．40°【解析】【分析】根据旋转的性质得AC′=AC，⊥B′AB=⊥C′AC，再根据等腰三角形的性质得⊥AC′C=⊥ACC′，然后根据平行线的性质由CC′⊥AB得⊥ACC′=⊥CAB=70°，则⊥AC′C=⊥ACC′=70°，再根据三角形内角和计算出⊥CAC′=40°，所以⊥B′AB=40°．【详解】解：⊥⊥ABC绕点A逆时针旋转到⊥AB′C′的位置，⊥AC′=AC，⊥B′AB=⊥C′AC，⊥⊥AC′C=⊥ACC′，⊥CC′⊥AB，⊥⊥ACC′=⊥CAB=70°，⊥⊥AC′C=⊥ACC′=70°，⊥⊥CAC′=180°-2×70°=40°，⊥⊥B′AB=40°．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．。
北师大版初中数学七年级下册《2.3 平行线的性质》同步练习卷
北师大新版七年级下学期《2.3 平行线的性质》同步练习卷一．填空题（共3小题）1．如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝33°，则∠E＝．2．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．若∠E n＝1度，那∠BEC等于度3．如图，AB∥CD，AD∥BE，试说明：∠ABE＝∠D．解：∵AB∥CD（已知）∴∠ABE＝（两直线平行，内错角相等）∵AD∥BE（已知）∴∠D＝∴∠ABE＝∠D（等量代换）二．解答题（共47小题）4．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D．（1）求∠CBD的度数；（2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．5．如图，已知AB∥CD，点E在AC的右侧，∠BAE，∠DCE的平分线相交于点F．探索∠AEC与∠AFC之间的等量关系，并证明你的结论．6．已知直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于C、D两点，点P是直线l3上的一动点，如图①，若动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中是否始终具有∠3+∠1＝∠2这一相等关系？试说明理由；如图②，当动点P在线段CD之外且在CD的上方运动（不与C、D两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由．7．已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF．若∠EFD ＝72°，则∠EGC等于多少度？8．课上教师呈现一个问题：已知：如图1，AB∥CD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1＝30°时，求∠EFG 的度数．甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图：甲同学辅助线的做法和分析思路如下：辅助线：过点F作MN∥CD．分析思路：①欲求∠EFG的度数，由图可知只需转化为求∠2和∠3的度数之和；②由辅助线作图可知，∠2＝∠1，从而由已知∠1的度数可得∠2的度数；③由AB∥CD，MN∥CD推出AB∥MN，由此可推出∠3＝∠4；④由已知EF⊥AB，可得∠4＝90°，所以可得∠3的度数；⑤从而可求∠EFG的度数．（1）请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出相应的分析思路．辅助线：分析思路：（2）请你根据丙同学所画的图形，求∠EFG的度数．9．如图，已知：AB∥CD，E在直线AB上，且EF⊥EG，EF交直线CD于点M．EG交直线CD于点N．（1）若∠1＝34°，求∠2的度数；（2）若∠2＝2∠1，直接写出图中等于4∠1的角．10．问题情境：（1）如图1，AB∥CD，∠P AB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作PE∥AB，请你接着完成解答问题迁移：（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP ＝∠α，∠BCP＝∠β．试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？（提示：过点P作PE∥AD），请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你猜想∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．11．如图1，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF左侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG．（1）求证：∠EPG＝∠AEP+∠PGC；（2）连接EG，若EG平分∠PEF，∠AEP+∠PGE＝110°，∠PGC＝∠EFC，求∠AEP 的度数；（3）如图2，若EF平分∠PEB，∠PGC的平分线所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG 与∠EHG之间的数量关系为．12．已知：如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于点C．（1）若∠O＝40°，求∠ECF的度数；（2）求证：CG平分∠OCD．13．如图，AB∥CD，∠CDE＝119°，点E、G在AB上，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF＝130°，求∠F的度数．14．如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB 上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．（1）如图1，若DE∥OB．①∠DEO的度数是°，当DP⊥OE时，x＝；②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．15．如图，已知AB∥ED，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠MCD的度数．16．已知E、D分别在∠AOB的边OA、OB上，C为平面内一点，DE、DF分别是∠CDO、∠CDB的平分线．（1）如图1，若点C在OA上，且FD∥AO，求证：DE⊥AO；（2）如图2，若点C在∠AOB的内部，且∠DEO＝∠DEC，请猜想∠DCE、∠AEC、∠CDB 之间的数量关系，并证明；（3）若点C在∠AOB的外部，且∠DEO＝∠DEC，请根据图3、图4分别写出∠DCE、∠AEC、∠CDB之间的数量关系（不需证明）．17．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，交CD于G，已知∠1＝40°，求∠2的度数．18．如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B 作BG⊥AD，垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG＝90°；（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．19．已知：AB∥DE．（1）如图1，点C是夹在AB和DE之间的一点，当AC⊥CD时，垂足为点C，你知道∠A+∠D是多少吗？这一题的解决方法有很多，例如（i）过点C作AB的平行线；（ii）过点C作DE的平行线；（iii）联结AD；（iv）延长AC、DE相交于一点．请你选择一种方法（可以不选上述四种），并说明理由．（2）如图2，点C1、C2是夹在AB和DE之间的两点，请想一想：∠A+∠C1+∠C2++∠D＝度，并说明理由．（3）如图3，随着AB与CD之间点增加，那么∠A+∠C1+∠C2++……+∠C n+1+∠D＝度．（不必说明理由）20．如图，点D在BE上，AB∥CD，∠A＝100°，∠C＝75°，∠CEA：∠BEA＝5：7，求∠B的度数．21．如图，直线AB∥CD．（1）如图①，若∠ABE＝40°，∠BEC＝140°，∠ECD＝°（填空）（2）如图①，试探究∠ABE，∠BEC，∠ECD的关系，并说明理由；（3）如图②，若CF平分∠ECD，且满足CF∥BE，试探究∠ECD，∠ABE的数量关系，并说明理由．22．已知：如图，AD∥BC，AE是∠BAD的角平分线，AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且∠E＝∠CFE，请说明∠ABF＝∠BFC的理由．23．如图，已知AB∥DE，BC⊥CD，∠D的2倍比∠B的大90°，求∠B，∠D的度数．24．已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，则＝．25．如图，a∥b∥c，∠1＝40°，∠2＝100°，BD平分∠ABC，求∠DBE的度数．26．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠EAF＝30°，∠EDG＝40°，则∠AED＝°；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED ＝22°，∠I＝20°，求∠EKD的度数．27．如图，已知AB∥DE，∠C＝20°，∠B：∠D＝4：3，求∠BOE的度数．解：因为AB∥DE（已知），所以∠B＝∠DOB（）．因为∠DOB＝∠+∠（），所以∠＝∠+∠（等量代换）．（余下说理过程请写在下方）28．已知：下列各图中都有AB∥CD，分别探究图（1）图（2）图（3）中∠D，∠E，∠B 之间的数量关系，并填在相应的横线上．（1）图1中∠D，∠E，∠B之间的关系是．（2）图2中∠D，∠E，∠B之间的关系是．（3）图3中∠D，∠E，∠B之间的关系是．（4）请你从（1）（2）（3）中选择一个进行证明．29．如图，AB∥CD，点E在CD的延长线上，且∠DAE＝∠E，AC⊥AE交ED于点C．（1）求证：∠C＝∠DAC；（2）若∠E＝2∠DAC，求∠CAB的度数．30．如图，直线AB∥CD，直线EF交AB、CD于点E、F，点P为平面内一点（P不在这三条直线上），连接PE、PF．（1）当动点P在图1的位置时，有∠EPF＝∠PEB+∠PFD；当动点P在AB与CD之间且位于EF左侧时，该等式是否成立？若不成立，请直接写出这三个角的数量关系（无需说明理由）；（2）当动点P在直线AB上方时，试探究∠PEB、∠EPF、∠PFD这三个角之间的数量关系，并加以说明．31．已知：如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD．（1）若∠O＝50°，求∠BCD的度数；（2）求证：CE平分∠OCA；（3）当∠O为多少度时，CA分∠OCD成1：2两部分，并说明理由．32．已知：如图，AB∥CD，∠1＝∠2，试判断∠E与∠F的大小关系，并说明你的理由．33．如图，已知直线l1∥l2，且直线l4和l1、l2分别交于A、B两点，l3和11、l2分别交于C、D两点，点P是l4上一点．（1）如果点P在A、B两点之间，试找出∠ACP、∠CPD、∠BDP之间的关系，并说出理由；（2）如果点P在A、B两点外侧运动时，请直接给出∠ACP、∠CPD、∠BDP之间的关系，无需证明（点P和A、B不重合）34．如图，BD平分∠ABC，ED∥BC，∠1＝30°，求∠2，∠3的度数．35．如图，已知：AC∥DF，直线AF分别与直线BD、CE相交于G、H，∠1＝∠2，说明∠C＝∠D．36．如图，已知AB∥CD，∠B＝50°，CM是∠BCD的平分线，CM⊥CN，求∠ECN的度数．37．如图，已知：AD∥BC，DE∥AB，点E在BC上，∠C＝40°，∠CDE＝60°，求∠A 和∠B的度数．38．已知直线l1∥l2，l3和l1，l2分别交于C，D两点，点A，B分别在线l1，l2上，且位于l3的左侧，点P在直线l3上，且不和点C，D重合．（1）如图1，有一动点P在线段CD之间运动时，试确定∠1、∠2、∠3之间的关系，并给出证明；（2）如图2，当动点P在线段CD之外运动时，上述的结论是否成立？若不成立，并给出证明．39．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝65°，求∠2的度数．40．如图，直线AB∥CD，并且被直线MN所截，MN分别交AB和CD于点E与F，点Q 在PM上，且∠EPM＝∠FQM，求证：∠DFQ＝∠BEP．41．如图，∠AOB＝30度，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于D，PE垂直OA于E，若OD＝4cm，求PE的长．42．操作探究：如图，对折长方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开：再一次折叠纸片，使点A落在EF上（设落地为N），并使折痕经过点B，得到折痕BM，连接BN、MN，请你猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．43．问题情境：如图1，AB∥CD，∠P AB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝．问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．44．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC．（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC 有何数量关系？并说明理由．45．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°（1）求a、b的值；（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD ⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．46．已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD 和∠BED的数量关系．47．如图，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别交于A，B两点，点P在直线l3上，且不和点A，B重合．（1）当点P在A、B两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的数量关系，请说明理由（2）如果点P在A、B两点外侧运动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系，（直接写出结论即可）48．如图，直线a∥b，射线DF与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1＝25°，求∠2的度数．49．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图，探索这两个角之间的关系，并说明理由．（1）如图①，AB∥CD，BE∥DF，∠1与∠2的关系是；证明：（2）如图②，AB∥CD，BE∥DF，∠1与∠2的关系是；证明：（3）经过上述证明，我们可得出结论，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角；（4）若这两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，则这两个角分别是多少度？解：50．如图，已知BC∥GE，AF∥DE，∠1＝50°．（1）求∠AFG的度数；（2）若AQ平分∠F AC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACB的度数．北师大新版七年级下学期《2.3 平行线的性质》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．填空题（共3小题）1．如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝33°，则∠E＝82°．【分析】过F作FH∥AB，依据平行线的性质，可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG ＝∠ECG＝β＝∠CFH，根据四边形内角和以及∠E﹣∠F＝33°，即可得到∠E的度数．【解答】解：如图，过F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴FH∥AB∥CD，∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∴可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，∴∠ECF＝180°﹣β，∠BFC＝∠BFH﹣∠CFH＝α﹣β，∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC＝360°﹣α﹣（180°﹣β）＝180°﹣（α﹣β）＝180°﹣∠BFC，即∠E+2∠BFC＝180°，①又∵∠E﹣∠BFC＝33°，∴∠BFC＝∠E﹣33°，②∴由①②可得，∠E+2（∠E﹣33°）＝180°，解得∠E＝82°，故答案为：82°．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．2．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．若∠E n＝1度，那∠BEC等于2n度【分析】先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B＝∠1，∠C＝∠2，进而得到∠BEC＝∠ABE+∠DCE；先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC；同理可得∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2＝∠ABE1+∠DCE1＝∠CE1B ＝∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C＝∠BEC；…据此得到规律∠E n＝∠BEC，最后求得∠BEC的度数．【解答】解：如图①，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，∵∠BEC＝∠1+∠2，∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，∴∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC．∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，∴∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2＝∠ABE1+∠DCE1＝∠CE1B＝∠BEC；如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝∠ABE2+∠DCE2＝∠CE2B＝∠BEC；…以此类推，∠E n＝∠BEC．∴当∠E n＝1度时，∠BEC等于2n度．故答案为：2n．【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．3．如图，AB∥CD，AD∥BE，试说明：∠ABE＝∠D．解：∵AB∥CD（已知）∴∠ABE＝∠BEC（两直线平行，内错角相等）∵AD∥BE（已知）∴∠D＝∠BCE∴∠ABE＝∠D（等量代换）【分析】根据平行线的性质填空即可．【解答】解：∵AB∥CD（已知）∴∠ABE＝∠BEC（两直线平行，内错角相等）∵AD∥BE（已知）∴∠D＝∠BEC，∴∠ABE＝∠D（等量代换）．故答案为：∠BEC，∠BEC．【点评】本题主要考查了平行线的性质，准确识图并熟记性质是解题的关键．二．解答题（共47小题）4．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D．（1）求∠CBD的度数；（2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．【分析】（1）由平行线的性质可求得∠ABN，再根据角平分线的定义和整体思想可求得∠CBD；（2）由平行线的性质可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，再由角平分线的定义可求得结论；（3）由平行线的性质可得到∠ACB＝∠CBN＝60°+∠DBN，结合条件可得到∠DBN＝∠ABC，且∠ABC+∠DBN＝60°，可求得∠ABC的度数．【解答】解：（1）∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A＝180°，∴∠ABN＝180°﹣80°＝100°，∴∠ABP+∠PBN＝100°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP＝100°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝50°；（2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1．∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB：∠ADB＝2：1；（3）∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，∴∠ABC＝∠DBN，由（1）可知∠ABN＝100°，∠CBD＝50°，∴∠ABC+∠DBN＝50°，∴∠ABC＝25°．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角相等⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．5．如图，已知AB∥CD，点E在AC的右侧，∠BAE，∠DCE的平分线相交于点F．探索∠AEC与∠AFC之间的等量关系，并证明你的结论．【分析】分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，依据平行线的性质，即可得到∠AEC＝∠AEG+∠CEG＝∠BAE+∠DCE，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，再根据∠BAE，∠DCE的平分线相交于点F，即可得到∠AEC＝2（∠BAF+∠DCF）＝2∠AFC．【解答】解：∠AEC＝2∠AFC．理由：如图，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，∴∠AEG＝∠BAE，∠CEG＝∠DCE，∴∠AEC＝∠AEG+∠CEG＝∠BAE+∠DCE，同理可得∠AFC＝∠BAF+∠DCF，∵∠BAE，∠DCE的平分线相交于点F，∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，∴∠AEC＝2（∠BAF+∠DCF）＝2∠AFC．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用两直线平行，内错角相等进行推导．6．已知直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于C、D两点，点P是直线l3上的一动点，如图①，若动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中是否始终具有∠3+∠1＝∠2这一相等关系？试说明理由；如图②，当动点P在线段CD之外且在CD的上方运动（不与C、D两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由．【分析】（1）∠3+∠1＝∠2成立，理由如下：过点P作PE∥l1，利用两直线平行内错角相等得到∠1＝∠AEP，根据l1∥l2，得到PE∥l2，再利用两直线平行内错角相等，根据∠BPE+∠APE＝∠2，等量代换即可得证；（2）∠3+∠1＝∠2不成立，新的结论为∠3﹣∠1＝∠2，理由为：过P作PE∥l1，同理得到∠3＝∠BPE，根据∠BPE﹣∠APE＝∠2，等量代换即可得证．【解答】解：（1）∠3+∠1＝∠2成立，理由如下：如图①，过点P作PE∥l1，∴∠1＝∠AEP，∵l1∥l2，∴PE∥l2，∴∠3＝∠BPE，∵∠BPE+∠APE＝∠2，∴∠3+∠1＝∠2；（2）∠3+∠1＝∠2不成立，新的结论为∠3﹣∠1＝∠2，理由为：如图②，过P作PE∥l1，∴∠1＝∠APE，∵l1∥l2，∴PE∥l2，∴∠3＝∠BPE，∵∠BPE﹣∠APE＝∠2，∴∠3﹣∠1＝∠2．【点评】此题考查了平行线的性质：两直线平行内错角相等，解题的关键在于作出正确的辅助线．7．已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF．若∠EFD ＝72°，则∠EGC等于多少度？【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BEF，再根据角平分线的定义可得∠BEG＝∠BEF，然后根据两直线平行，内错角相等即可得解．【解答】解∵AB∥CD，∠EFD＝72°，∴∠BEF+∠EFD＝180°，∴∠BEF＝108°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝∠FEG＝∠BEF＝54°，∵AB∥CD，∴∠EGC＝∠BEG＝54°．【点评】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的性质，正确运用两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解答此题的关键．8．课上教师呈现一个问题：已知：如图1，AB∥CD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1＝30°时，求∠EFG 的度数．甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图：甲同学辅助线的做法和分析思路如下：辅助线：过点F作MN∥CD．分析思路：①欲求∠EFG的度数，由图可知只需转化为求∠2和∠3的度数之和；②由辅助线作图可知，∠2＝∠1，从而由已知∠1的度数可得∠2的度数；③由AB∥CD，MN∥CD推出AB∥MN，由此可推出∠3＝∠4；④由已知EF⊥AB，可得∠4＝90°，所以可得∠3的度数；⑤从而可求∠EFG的度数．（1）请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出相应的分析思路．辅助线：过点P作PN∥EF交AB于点N分析思路：（2）请你根据丙同学所画的图形，求∠EFG的度数．【分析】（1）根据乙同学所画的图形：过点P作PN∥EF交AB于点N，再由平行线的性质得出∠EFG＝∠NPG，根据∠1的度数得出∠2的度数，根据EF⊥AB得出∠2＝90°，再由PN∥EF，AB∥CD即可得出结论．（2）根据丙同学所画的图形：过O作ON∥FG，先根据平行线的性质，得到∠BON的度数，再根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数．【解答】解：（1）辅助线：过点P作PN∥EF交AB于点N．分析思路：①欲求∠EFG的度数，由辅助线作图可知，∠EFG＝∠NPG，因此，只需转化为求∠NPG的度数；②欲求∠NPG的度数，由图可知只需转化为求∠1和∠2的度数和；③又已知∠1的度数，所以只需求出∠2的度数；④由已知EF⊥AB，可得∠4＝90°；⑤由PN∥EF，可推出∠3＝∠4；AB∥CD可推出∠2＝∠3，由此可推∠2＝∠4，所以可得∠2的度数；⑥从而可以求出∠EFG的度数．（2）如图，过点O作ON∥FG，∵ON∥FG，∴∠EFG＝∠EON∠1＝∠ONC＝30°，∵AB∥CD，∴∠ONC＝∠BON＝30°，∵EF⊥AB，∴∠EOB＝90°，∴∠EFG＝∠EON＝∠EOB+∠BON＝90°+30°＝120°．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义的运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角或同位角，依据平行线的性质进行计算求解．9．如图，已知：AB∥CD，E在直线AB上，且EF⊥EG，EF交直线CD于点M．EG交直线CD于点N．（1）若∠1＝34°，求∠2的度数；（2）若∠2＝2∠1，直接写出图中等于4∠1的角．【分析】（1）依据AB∥CD，可得∠1＝∠GEB＝34°，依据EF⊥EG，即可得到∠2＝180°﹣90°﹣34°＝56°；（2）依据∠2＝2∠1，∠1＝∠GEB，即可得到∠GEB＝30°＝∠1，进而得出∠FMN＝∠CME＝∠MEB＝120°，即可得到图中等于4∠1的角为∠FMN，∠CME，∠MEB．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠1＝∠GEB＝34°，∵EF⊥EG，∴∠2＝180°﹣90°﹣34°＝56°；（2）∵∠2＝2∠1，∠1＝∠GEB，∴∠2＝2∠GEB，又∵∠2+∠GEB＝90°，∴∠GEB＝30°＝∠1，∴4∠1＝120°，∠2＝60°，∴∠FMN＝∠CME＝∠MEB＝120°，即图中等于4∠1的角为∠FMN，∠CME，∠MEB．【点评】本题主要考查平行线的性质和垂线，掌握平行线的性质是解题的关键．10．问题情境：（1）如图1，AB∥CD，∠P AB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作PE∥AB，请你接着完成解答问题迁移：（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP ＝∠α，∠BCP＝∠β．试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？（提示：过点P作PE∥AD），请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你猜想∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．【分析】（1）过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC＝110°．（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（3）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．【解答】解：（1）过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，∴∠APC＝50°+60°＝110°；（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（3）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．11．如图1，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF左侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG．（1）求证：∠EPG＝∠AEP+∠PGC；（2）连接EG，若EG平分∠PEF，∠AEP+∠PGE＝110°，∠PGC＝∠EFC，求∠AEP 的度数；（3）如图2，若EF平分∠PEB，∠PGC的平分线所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG 与∠EHG之间的数量关系为∠EPG+2∠EHG＝180°．．【分析】（1）延长EP交CD于M，利用平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠EPG ＝∠PMG+∠PGC＝∠AEP＝∠PGC；（2）连接EG，设∠AEP＝α，∠PGC＝β，则∠PGE＝110°﹣α，∠EFG＝2β，进而得出∠PEG＝70°﹣β，∠FEG＝∠CGE﹣∠EFG＝110°﹣α﹣β，依据∠PEG＝∠FEG即可得到α＝40°，即∠AEP＝40°；（3）根据EF平分∠PEB，可设∠BEF＝∠PEF＝α，根据四边形内角和可得∠PGC＝180°﹣（360°﹣∠P﹣2α）＝∠P+2α﹣180°，依据∠EFG是△FGH的外角，可得∠FGH＝∠EFG﹣∠EHG＝α﹣∠EHG，最后依据∠PGC＝2∠FGH，即可得到∠EPG与∠EHG之间的数量关系．【解答】解：（1）如图1，延长EP交CD于M，∵AB∥CD，∴∠AEP＝∠GMP，∵∠EPG是△PGM的外角，∴∠EPG＝∠PMG+∠PGC＝∠AEP＝∠PGC；（2）如图1，连接EG，∵GE平分∠PEF，∴∠PEG＝∠FEG，设∠AEP＝α，∠PGC＝β，则∠PGE＝110°﹣α，∠EFG＝2β，∵AE∥CG，∠AEP+∠PGE＝110°，∴∠PEG+∠PGC＝180°﹣110°＝70°，即∠PEG＝70°﹣β，∵∠CGE是△EFG的外角，∴∠FEG＝∠CGE﹣∠EFG＝β+（110°﹣α）﹣2β＝110°﹣α﹣β，70°﹣β＝110°﹣α﹣β，解得α＝40°，∴∠AEP＝40°；（3）如图2，∵EF平分∠PEB，∴可设∠BEF＝∠PEF＝α，∵AB∥CD，∴∠GFE＝∠BEF＝α，∴四边形PGFE中，∠PGF＝360°﹣∠P﹣2α，∴∠PGC＝180°﹣（360°﹣∠P﹣2α）＝∠P+2α﹣180°，∵∠EFG是△FGH的外角，∴∠FGH＝∠EFG﹣∠EHG＝α﹣∠EHG，又∵QG平分∠PGC，∴∠PGC＝2∠FGH，即∠P+2α﹣180°＝2（α﹣∠EHG），整理可得，∠P+2∠EHG＝180°．故答案为：∠P+2∠EHG＝180°．【点评】本题考查的是平行线的性质，三角形外角性质及角平分线的定义的综合运用，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．12．已知：如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于点C．（1）若∠O＝40°，求∠ECF的度数；（2）求证：CG平分∠OCD．【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质，可以求得∠ECF的度数；（2）根据角平分线的性质、平角的定义可以求得∠OCG和∠DCG的关系，从而可以证明结论成立．【解答】解：（1）∵直线DE∥OB，CF平分∠ACD，∠O＝40°，∴∠ACE＝∠O，∠ACF＝∠FCD，∴∠ACE＝40°，∴∠ACD＝140°，∴∠ACF＝70°，∴∠ECF＝∠ECA+∠ACF＝40°+70°＝110°；（2）证明：∵CF平分∠ACD，CG⊥CF，∠ACD+∠OCD＝180°，∴∠ACF＝∠FCD，∠FCG＝90°，∴∠FCD+∠DCG＝90°，∠ACF+∠OCG＝90°，∴∠DCG＝∠OCG，∴CG平分∠OCD．【点评】本题考查平行线的性质、垂线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．13．如图，AB∥CD，∠CDE＝119°，点E、G在AB上，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF＝130°，求∠F的度数．【分析】先根据平行线的性质求出∠AED与∠DEB的度数，再由角平分线的性质求出∠DEF 的度数，进而可得出∠GEF的度数，再根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD，∠CDE＝119°，∴∠AED＝180°﹣119°＝61°，∠DEB＝119°．∵GF交∠DEB的平分线EF于点F，∴∠DEF＝×119°＝59.5°，∴∠GEF＝61°+59.5°＝120.5°．∵∠AGF＝130°，∴∠F＝∠AGF﹣∠GEF＝130°﹣120.5°＝9.5°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补，内错角相等．14．如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB 上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．（1）如图1，若DE∥OB．①∠DEO的度数是20°，当DP⊥OE时，x＝70；②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠DEO的度数及x的值；②根据∠ODC、∠FDC的度数，可得x的值；（2）分两种情况进行讨论：DP在DE左侧，DP在DE右侧，分别根据三角形内角和定理以及直角的度数，可得x的值．【解答】解：（1）①∵∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，∴∠BOE＝20°，∵DE∥OB，∴∠DEO＝∠BOE＝20°；∵∠DOE＝∠DEO＝20°，∴DO＝DE，∠ODE＝140°，当DP⊥OE时，∠ODP＝∠ODE＝70°，即x＝70，故答案为：20，70；②∵∠DCO＝20°，∠EDF＝∠EFD，∴∠CDF＝80°，又∵∠ODC＝140°，∴∠ODP＝140°﹣80°＝60°，∴x＝60；（2）存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF．分两种情况：①如图2，若DP在DE左侧，∵DE⊥OA，∴∠EDF＝90°﹣x°，∵∠AOC＝20°，∴∠EFD＝20°+x°，当∠EFD＝4∠EDF时，20°+x°＝4（90°﹣x°），解得x＝68；②如图3，若DP在DE右侧，∵∠EDF＝x°﹣90°，∠EFD＝180°﹣20°﹣x°＝160°﹣x°，∴当∠EFD＝4∠EDF时，160°﹣x°＝4（x°﹣90°），解得x＝104；综上所述，当x＝68或104时，∠EFD＝4∠EDF．【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．解题时注意分类讨论思想的运用．15．如图，已知AB∥ED，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠MCD的度数．【分析】根据平行线的性质可计算出∠BCE＝180°﹣∠B＝140°，再根据角平分线定义得到∠ECN＝∠BCE＝70°，然后利用平角的定义计算∠MCD的度数．【解答】解：∵AB∥ED，∴∠BCE＝180°﹣∠B＝180°﹣40°＝140°，∵CN是∠BCE的平分线，∴∠ECN＝∠BCE＝70°，∵CM⊥CN，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝180°﹣90°﹣70°＝20°．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．16．已知E、D分别在∠AOB的边OA、OB上，C为平面内一点，DE、DF分别是∠CDO、∠CDB的平分线．（1）如图1，若点C在OA上，且FD∥AO，求证：DE⊥AO；（2）如图2，若点C在∠AOB的内部，且∠DEO＝∠DEC，请猜想∠DCE、∠AEC、∠CDB 之间的数量关系，并证明；（3）若点C在∠AOB的外部，且∠DEO＝∠DEC，请根据图3、图4分别写出∠DCE、∠AEC、∠CDB之间的数量关系（不需证明）．【分析】（1）依据DE、DF分别是∠CDO、∠CDB的平分线，可得∠CDF＝∠CDB，∠CDE＝∠CDO，进而得出∠EDF＝（∠CDB+∠CDO）＝90°，再根据平行线的性质，即可得到∠AED＝90°，即DE⊥AO；（2）连接OC，依据∠DEO＝∠DEC，∠EDO＝∠EDC，可得∠DOE＝∠DCE，再根据三角形外角性质，即可得到∠CDB+∠AEC＝∠COD+∠OCD+∠EOC+∠ECO＝2∠DCE；（3）如图3中，依据∠CDB是△ODG的外角，可得∠CDB＝∠DOG+∠DGO，依据∠DGO 是△CEG的外角，可得∠DGO＝∠AEC+∠C，进而得到∠CDB＝∠DOG+∠AEC+∠C＝∠AEC+2∠DCE；如图4中，同理可得∠AEC＝∠DOE+∠CDB+∠C＝∠CDB+2∠DCE．【解答】解：（1）如图1，∵DE、DF分别是∠CDO、∠CDB的平分线，∴∠CDF＝∠CDB，∠CDE＝∠CDO，∴∠EDF＝（∠CDB+∠CDO）＝90°，又∵DF∥AO，∴∠AED＝90°，∴DE⊥AO；（2）如图2，连接OC，∵∠DEO＝∠DEC，∠EDO＝∠EDC，∴∠DOE＝∠DCE，。
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2.3 平行线的性质
基础训练
1.（2009年河池市）如图1
2.（2009年柳州市）在图2中，直线AB ∥CD ，直线EF 与AB 、CD 分别相交于点E 、F ， 如果∠1=46°，那么∠2= °．
3.如图3，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同，如果第一次拐的角是135°，则第二次拐的角度是 ________，理由是___________________________．
4.下列说法中，不正确的是（ ）
A ．同位角相等，两直线平行
B ．两直线平行，内错角相等
C ．两直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D ．同旁内角互补，两直线平行
5.如图4
，直线c 与直线a 、b 相交，且a ∥b ，欢欢认为：①∠1+∠3=180°；、明明认为：②∠1=∠3；盈盈认为：③∠3=∠2中，那么他们三个得出的结论正确的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
6.明明和亮亮分别居住在甲小区和乙小区，从明明家看，乙小区在甲小区的北偏东42º方向上，如图5，那么从亮亮家看，乙小区在甲小区的（ ） A. 北偏东48º方向上 B. 南偏西42º方向上 C. 南偏西48º方向上 D. 东偏北42º方向上
7．如图6所示，已知AD 、BC 相交于O ，∠A =∠D ，试说明一定有∠C =∠B ． 综合运用
8.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则同旁内角_________.
9.（2009年嘉兴市）如图7，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，且︒=∠110A ，则=∠D ．
C
D
B
80
A
图1
图3
图4
1
2 3 a b
c
图6
B
D C
O
A
D
C
B
图7
C
D
B
A
E F
1
2 图8 图5
北
甲
乙
10. （2009年清远市）如图8，AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF 交CD 于F ，已知∠1=60°，则∠2=_________. 11．（2009临沂）图9中，由AB ∥CD ，能得到∠1=∠2的是（ ） 12．(2008年宁波市)如图10，已知∠1=∠2=∠3=55°，则4∠的度数是（ ） A. 110° B. 115º C. 120º D. 125º 13．（2009年营口市）如图11，将直尺与三角尺叠放在一起，在图中标记的所有角中，与 ∠2互余的角是 _____ ．
14．（2009年海南省）如图12，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C 、D 分别落在点C ′、D ′处，若∠AFE=65°，则∠C ′EF = 度.
15．如图14所示，两个平面镜α，β的夹角为θ，入射光线AO 平行于平面镜β入射到平面镜α上，再经过两次反射后的出射光线O ′B 平行于α，你能求出两平面镜的夹角θ吗？要注意：入射角是等于反射角的哟！
拓广探索
16．如图15，直线AB ∥CD ；
（1）在图15-1中，试说明：∠AEC =∠EAB +∠ECD ；
（2）当动点P 落在AB 的右侧时，试说明：∠AEC +∠EAB +∠ECD =360°．
A C
B D
1 2 A C
B
D
1
2
A ．
B ．
1
2 A
C
D
C ． B D
C A
D ．
1
2 图9
图14
β
4 1 3
2 图10 E C B
D A
图12 D ′ F C ′
A C D
B E
图15-1 A B
D C
E 图15-2 5 6 4 3 2 1 图11。