2017直线的倾斜角和斜率.doc
直线的倾斜角与斜率
切值叫做这条直线的斜率，通常用 k 表示，即
k＝tan ≠90°
练习:
已知直线的倾斜角，求斜率 k ：
（1）＝0 （2）＝30 （3）＝135 （4）＝120
k tan00
ktan30 3 3
k tan135 1
ktan120 3
设 A(x1，y1) 和 B(x2，y2) （1）当 x1≠x2，y1≠y2 时，直线的倾斜角存在吗？
斜率存在吗？
（2）当 x1＝x2 时，直线 AB与 x 轴什么关系？
y
直线的倾斜角是多少？斜率存在吗？
（3）当 y1＝y2 时，直线 AB与 y 轴什么关系？
A
直线的倾斜角是多少？
斜率存在吗？是多少？
0°
1
B 90°
O
1
x
斜率的坐标公式
若 x1≠x2，过点 A(x1，y1) 和 B(x2，y2)的直线斜率为
直线
圆
圆
直直线线的
倾斜角与斜率
y A
1．由一点能确定一条直线吗？ 2．观察并回答问题：
1B C O 1x Nhomakorabea在图中，直线 AB，AC 都经过哪一点？ 它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗？
直线的倾斜角定义 平面直角坐标系内，直线向上的方向与
x 轴正方向所成的最小正角 叫做这条直线的
倾斜角．
y A
B
k y2 y1 x2 x1
例 判断直线 P1P2 的斜率是否存在，若存在，求出它的值． （1）P1(3，4)，P2(－2，4)； （2）P1(－2，0)，P2 (－5，3)； （3）P1(3，8)，P2 (3，5)．
解：（231）因为P11，P22的横坐标不相同，所以直线P1P2的 P斜11P率22的不斜存率在存．在（，倾而斜且角斜=9率0°为） k 4 340 0 1 52 (32)
9.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程
∴k∈ 3 ,1 ∪[-√3,0).
kPA=
∪
3π
,π
4
,故选 B.
-11-
关键能力·学案突破
考点1
考点2
考点3
思考直线倾斜角和直线的斜率有怎样的关系?
解题心得直线的斜率与倾斜角的区分与联系
直线 l 的斜率
区 当直线 l 垂直于 x 轴时,l 的
别 斜率不存在
直线 l 的倾斜角 α
当直线 l 垂直于 x 轴时,l 的倾
√3x-y=3√3的倾斜角为 60°,直线 mx+ny+3=0 的倾斜角是直线
3x-y=3
3的
2
倍,
∴
直线
mx+ny+3=0
的倾斜角为
120°
,即=-√3,
√
√
∴m=√3.故选 D.
-20-
关键能力·学案突破
考点1
考点2
考点3
直线方程的应用(多考向)
考向1 与基本不等式相结合的最值问题
例 3 若直线
关键能力·学案突破
考点1
考点2
-13-
考点3
(3)直线 l 过点 P(1,0),且与以 A(2,1),B(0,√3)为端点的线段有公共点,则
直线 l 斜率的取值范围为 (-∞,-√3]∪[1,+∞)
.
-14-
关键能力·学案突破
考点1
考点2
考点3
解析:(1)l1:y=-ax-b,l2:y=-bx-a,由A项图中l1知,-b>0,与l2中-b<0矛盾,
关键能力·学案突破
考点1
考点2
考点3
+ = 2,
直线的倾斜角和斜率 课件
【解析】 (3)∵l 与 x 轴交于点 P，且倾斜角为 α，∴0°< α<180°.
又∵逆时针旋转后得到倾斜角为 α＋45°， ∴0°≤α＋45°<180°. 综上：00°°<≤αα<＋18405°°，<180°，解得 0°<α<135°. 【答案】 (1)B (2)90° (3)0°<α<135°
【思路分析】 直接用斜率公式去求． 【解析】 (1)kPQ＝－－21－－11＝32. (2)∵x1＝x2，∴斜率不存在． (3)当 m＝2 时，斜率不存在； 当 m≠2 时，kPQ＝m2－－12＝m－1 2.
题型三 直线的倾斜角与斜率的关系
例 3 (1)已知过点 A(2m，3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为 45°，求实数 m 的值；
题型二 直线的斜率的求法
例 2 如图，已知 A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线 AB，BC，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
【思路分析】 由题目可获取以下主要信息：①已知三点 A、 B、C 的坐标；②通过斜率判断直线 AB，BC，CA 的倾斜角．
解答本题可通过斜率的定义，求出直线的斜率，根据斜率的 正、负确定直线倾斜角是锐角还是钝角．
(2)数形结合是一种常用的方法． (3)直线逆时针旋转，k 变大，顺时针旋转，k 变小．
思考题 4 经过点 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(2，
1)，B(2，－3)的线段总有公共点，求直线的倾斜角与斜率的取值 范围．
【解析】 连接 PA，PB，kPA＝1－2（－－01）＝1，α1＝45°， kPB＝－3－2－ （0－1）＝－1，α2＝135°，
探究 2 根据斜率与倾斜角的关系(即当倾斜角 0°≤α< 90°时，斜率是非负的；当倾斜角 90°<α<180°时，斜率是负 的)来解答直线的倾斜角是锐角还是钝角问题．
直线的倾斜角与斜率
题型分类·深度剖析
思想与方法
16.分类讨论思想在求直线方程中的应用
典例：(12 分)在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD，AB＝2，BC＝1，AB、 AD 边分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合．将矩形折叠， 使 A 点落在线段 DC 上．若折痕所在直线的斜率为 k，试写出折痕所在 直线的方程．
审题视角
规范解答
温馨提醒
题型分类·深度剖析
思想与方法
16.分类讨论思想在求直线方程中的应用
典例：(12 分)在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD，AB＝2，BC＝1，AB、 AD 边分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合．将矩形折叠， 使 A 点落在线段 DC 上．若折痕所在直线的斜率为 k，试写出折痕所在 直线的方程．
(1)直线的倾斜角与斜率的 关系 斜率 k 是一个实数，当倾斜 角 α≠90°时，k＝tan α.直线 都有倾斜角，但并不是每条 直线都存在斜率，倾斜角为 90°的直线无斜率． (2)①求直线方程时，若不能 断定直线是否具有斜率时， 应对斜率存在与不存在加 以讨论．②在用截距式时， 应先判断截距是否为 0，若 不确定，则需分类讨论．
审题视角
规范解答
温馨提醒
解 (1)当 k＝0 时，此时 A 点与 D 点重合，折痕所在的直线方程为 y＝12. 2分 (2)当 k≠0 时，将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为 G(a,1)， 4分
所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称，
有 kAG·k＝－1，1ak＝－1⇒a＝－k.
6分
故 G 点坐标为 G(－k,1)，从而折痕所在的直线与 AG 的交点坐标(线段 AG
直线的倾斜角和斜率 课件
(1)4 [由斜率公式得 kAB＝53－ －11＝2， 因为 A，B，C 三点共线，所以 kAB＝kAC， 所以 2＝7a－ －11，解得 a＝4.]
(2)根据题中的条件可画出图形，如图所示，
可得直线 PA 的斜率 kPA＝－32，直线 PB 的斜率 kPB＝43. 结合图形可知当直线 l 由 PB 变化到与 y 轴平行的位置时，它的倾斜角逐 渐增大到 90°，
α＝0° __0___
0°＜α＜90° α＝_9_0_°__
_(_0，__＋__∞__)_
不存在
90°＜α＜ 180°
_(－__∞__，__0)__
y2－y1 (4)经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝_x_2_－__x_1_. 思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角 为多少？
(1)若点 A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)三点共线，则 a 的值为________． (2)已知直线 l 过 P(－2，－1)，且与以 A(－4,2)，B(1,3)为端点的线段相 交，求直线 l 的斜率的取值范围．
思路探究：(1)三点共线，则 kAB＝kAC； (2)画出图形，数形结合找出斜率的临界值．
A．(－1,0]
B．[0,1]
C．[1,2]
D．[0,2]
(1)B (2)D [(1)设 B(x,0)或(0，y)，∵kAB＝3－4 x或 kAB＝4－3 y，∴3－4 x＝
4 或4－3 y＝4，∴x＝2，y＝－8，∴点 B 的坐标为(2,0)或(0，－8)．
(2)由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所 以直线 l 的斜率满足 0≤k≤2.故选 D.]
[提示] 斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但 y1 与 y2 和 x1 与 x2 可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为 k＝yx11－－yx22.
直线的倾斜角与斜率
依题意得,
PA
=(x0,-1),
PQ'
=(2,-4),由两向量共线得-4x0+2=0,解得x0=
1 2
,
∴A
1 2
,0
.
答案
(1)
29 4
,
35 4
(2)
1 2
,0
两条直线垂直的判定与应用
判断两条直线是否垂直的两种方法 1.利用直线的斜率判断: (1)在两条直线斜率都存在的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于-1即可; (2)一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,这两条直线也垂直. 2.利用直线的方向向量判断: 设直线l1的方向向量为n,直线l2的方向向量为m,则l1⊥l2⇔n⊥m⇔n·m=0.
1-(-2) 3 -1-(-2)
所以 y 3 的最大值为8,最小值为 4 .
x2
3
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
1.理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件. 2.能根据直线的斜率判断两条直线平行或垂直. 3.能应用两条直线平行或垂直解决相关问题,理解用代数法解决几何问题.
两条直线(不重合)平行的判定
两条直线平行的判定与应用
判断两条不重合的直线是否平行的两种方法 1.利用直线的斜率判断,其方法步骤是:
2.利用直线的方向向量判断:求出两直线的方向向量,通过判断两向量是否共线,进而判断两 直线是否平行.
(1)已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A
13 4
,
51 4
、B
-
5 4
,-
3 4
∴点D的坐标为
29 4
,
35
4.
(2)解法一:Q(2,3)关于x轴的对称点为Q'(2,-3),设A(x0,0),
数学直线的倾斜角与斜率公式
数学直线的倾斜角与斜率公式数学直线是数学中一个重要的概念，在数学的各个领域都有着广泛的应用。
其中直线的斜率与倾斜角也是数学中最基础的概念之一。
下面我们将介绍直线的斜率与倾斜角的基本概念及公式。
一、直线的斜率公式直线的斜率是指直线在平面直角坐标系中的倾斜程度，用于表示其在平面直角坐标系中的方向。
直线的斜率公式如下：斜率 k = （y2 - y1）/ （x2 - x1）其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 分别为直线上的两个点。
在计算斜率时，需要注意的是需要判断两点横坐标是否相等，因为此时斜率是不存在的。
二、直线的倾斜角公式直线的倾斜角是指直线与平面直角坐标系的 x 轴正方向所成的角度。
直线的倾斜角公式如下：倾斜角θ = atan k其中 atan 表示反正切函数，k 为直线的斜率。
需要注意的是，计算倾斜角时需要注意角度的参考系，一般以平面直角坐标系的 x 轴正方向为参考系。
三、斜率与倾斜角的关系斜率与倾斜角是相互关联的。
当我们知道一条直线的斜率时，可以通过求取反正切函数得到该直线的倾斜角。
相反地，当已知一条直线的倾斜角时，可以通过求取正切函数得到对应的斜率。
斜率k = tan θ倾斜角θ = atan k四、直线的性质在数学中，直线有许多重要的性质，这些性质不仅在理论研究中得到应用，也在实践中得到广泛应用。
其中一些性质如下：1. 相互垂直的两条直线的斜率乘积为 -1。
2. 直线的截距是指该直线与 y 轴的交点坐标，可以用斜率和另一个已知点来求解。
3. 两条直线互相平行的斜率相等。
4. 两条直线的夹角公式可以用两条直线的斜率求解。
5. 直线的点斜式表示法可以用已知点和斜率求解。
综上所述，数学直线的斜率与倾斜角是数学中重要的概念，通过斜率和倾斜角可以描述直线的方向和倾斜程度，同时也可以用于求解直线的其他性质。
通过了解这些概念和公式，可以更好地理解和应用数学的基础知识。
直线的倾斜角与斜率PPT课件
(1) 与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两
点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角 (3) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=900
Y
.p
00 900 Y K>0
. 900 1800
p
K<0
O
X
O
X
（1）
（2）
Y
. K不存在 Y
p 90o
.p
K=0
1 2
钝角
O
x
kCA
1 2 03
1
锐角
C
（2）k [1,+) (-,- 1]
2
例题分析
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率
分别为1，-1，2和-3的直线 l1, l2 , l3及l4 。
y
l3
l1
A3 (1,2) A1 (1,1)
O
x
A2 (1,-1)
Al44 (l12,-3)
例2 从 M(2, 2 )射出一条光线,经过 x轴反射
直线
圆
圆
直线
3.1.1 直线的倾斜角与斜率
y
A
1．由一点能否确定一条直线吗？
2．观察并回答问题：
1
B
CO
1x
在图中，直线 AB，AC 都经过哪一点？
它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗？
直线的倾斜角定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向上
的方向与 x 轴正方向所成的最小正角 叫做
这条直线的倾斜角．
已知直线的倾斜角，求对应的斜率 k ：
（＝0；
（2）＝30；
（3）＝135；
（4）＝120．
如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率
3.1直线的倾斜角与斜率解析
x
一、直线的倾斜角:
1、定义:
y
当直线l与x轴相交时，
我们取x轴作为基准，x轴
正向与直线l向上方向之间 o
所成的角 叫做直线的
倾斜角。
l
x
规定:1.当直线与x轴平行或重合时， 00 2.当直线与x轴垂直时， 900
按倾斜角分类，直线可分几类？
y
p
l
o
x
y
l
p
o x
y
ly
p
o
x
p
o
x
l
2、范围: 0 a 180
y
y2
P2 (x2, y2 )
k y2 y1
y1
P1(x1, y1)
x2 x1
o
x 答：斜率不存在，
因为分母为0。
三、直线的斜率公式:
经过两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) (x1 x2 )
的直线的斜率公式：
k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
（4）斜率公式：k
y2 x2
y1 x1
(或k
y1 y2 ) x1 x2
2、思想方法：类比；几何问题代数化
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
复习回顾
在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交 时，取x轴作为基准,x轴正方向与直线l向上 的方向所成的角叫做直线l的倾斜角.
倾斜角不是900的直线，它的倾斜角的正 切叫做这条直线的斜率，常用k来表示.
P2 P1
P1 P2
经过两点P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )的直线的斜率公式:
k
y2 x2
y1 x1
直线的斜率与倾斜角ppt
斜率的计算公式
对于直线上的两点$(x_1, y_1)$和 $(x_2, y_2)$，斜率$m$可由下式计算： $m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
当$x_2$与$x_1$相等时，斜率不存在 ，表示直线垂直于x轴。
斜率与倾斜角的关系
斜率与倾斜角$alpha$之间存在一一 对应关系，即斜率等于倾斜角正切值， 即$m = tanalpha$。
倾斜角定义
直线倾斜角是指直线与x 轴正方向之间的夹角，通 常用α表示，取值范围为 [0,π)。
计算方法
斜率m=tan(α)，其中α为 直线的倾斜角。
直线的斜率与倾斜角的关系及应用
关系
直线的斜率与倾斜角α是线性关系，即 m=tan(α)。当α在[0,π/2)范围内时，斜 率为正，表示直线从左下到右上上升； 当α在(π/2,π)范围内时，斜率为负，表 示直线从左上到右下下降。
直线的斜率与倾斜角
目录
• 直线的斜率 • 直线的倾斜角 • 直线的斜率与倾斜角的应用 • 特殊情况的讨论 • 总结与回顾
01 直线的斜率
斜率的定义
01
斜率是直线在平面上的倾斜程度 ，表示为直线上的任意两点间纵 坐标差与横坐标差之商。
02
斜率是直线的重要属性，用于描 述直线的方向和倾斜程度，是解 析几何中重要的概念之一。
中研究直线的基础。
计算距离和角度
利用直线的斜率和倾斜角，可以计 算直线上的点到直线的垂直距离， 以及两条直线之间的夹角。
解决几何问题
在解决几何问题时，如求两条直线 的交点、判断直线与圆的位置关系 等，需要使用直线的斜率和倾斜角。
在物理学中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，直线的斜率和倾斜 角可以用来描述物体的运动轨迹， 如自由落体运动、抛物线运动等。
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l
∙
P 0
α= l
∙ P
02
π
α<<
l
∙P
2
π
α=
l
∙ P
2
π
απ
<< x
y
O
21
y x =+直线的倾斜角和斜率（1）
【教学目的】1.了解“直线的方程”和“方程的直线”；
2.了解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的范围；
3.理解直线斜率的概念，理解各倾斜角是90
时的直线没有斜率；
4.已知直线的倾斜角（或斜率），会求直线的斜率（或倾斜角）；
5.培养和提高学生联系、对应、转化等辨证思维能力.
【教学重、难点】直线的倾斜角和斜率的概念；直线斜率存在与不存在的分类讨论及用
反三角函数表示直线的倾斜角.
【教学过程】
（一）“直线的方程”和“方程的直线”的概念 问：如图，方程21y x =+与直线L 有什么关系？为什么？ 解释：①数对(0,1)满足21y x =+，在直线l 上有一点A ，对应坐标(0,1)；
②直线l 上有点(1,3)P ，则(1,3)满足21y x =+； 即满足l 的数对(,)x y 在l 上，反过来，直线l 上的点的坐
标(,)x y 满足l 的函数式。
所以，方程的解（满足函数的每一队x,y 的值）和直线上的点存在一一对应关系。
这种关系通过坐标建立联系：方程的解⇔坐标表示⇔直线上的点。
问：能说直线上的点是方程的解吗？解在直线上吗？
归纳：以一个方程的解为坐标的点都是某直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。
缺一不可！
（二）直线倾斜角的概念
问题：在直角坐标系中，过点P 的一条直线绕P 点旋转，不管旋转多少周，它对x 轴的相对位置有几种情形？
可见：平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就定了。
归纳：平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，则α叫做直线的倾斜角。
规定：当直线和x 轴平行或重合时，直线倾斜角为0
，所以，倾斜角的范围是
0180α≤<
．
（三）直线斜率的概念
倾斜角不是90
的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即
1
l 2
l tan k α=．
直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x 轴的直线没有斜率．
（四）例题分析：
例1．如图，直线1l 的倾斜角130α= ，直线12l l ⊥，求1l 、2l 的斜率。
解：1l
的斜率1tan 30k ==
， ∵2l 的倾斜角29030120α=+= ，
∴2l
的斜率22tan tan120k α===
例2．（1）已知直线l 的倾斜角的变化范围为[
,63
ππ
α∈，求该直线斜率的变化范围；
（2）已知直线l
的斜率[1k ∈-，求该直线的倾斜角的范围.
解：（1）∵[
,63ππ
α∈
，∴tan [3
α∈． （2
）∵tan [1,k α=∈-，
∴3[,)[0,)43
ππαπ∈ ． 例3．已知α和k 分别是l 的倾斜角和斜率，当（1）3sin 5α=
；（2）3
cos 5
α=；（3）3
cos 5
α=-时，分别求直线l 的斜率k ．
解：当3sin 5α=时，∵0180α≤<
，∴3tan 4k α==±．
当3cos 5α=时，∵0180α≤< ，∴090α≤<
，∴4tan 3k α==．
当3cos 5α=-时，∵0180α≤< ，∴90180α<<
，∴4tan 3
k α==-．
课堂练习：课本第37页练习1，2．
小结：1. “直线的方程”和“方程的直线”的概念；
2.直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围；
3.直线斜率的概念；
4.已知直线的倾斜角（或斜率），求直线的斜率（或倾斜角）的方法.
作业：课本第37页习题1，2，3．。