高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第5讲两角和与差的正弦余弦和正切公式课件理新人教版

＝1＋12－12×17 17＝13>0，又 α∈(0，π)，
∴0<α<π2，又∵tan 2α＝1－ 2tatnanα2α＝1－ 2×13132＝34>0，∴0<2α<π2，
∴tan(2α－β)＝1t＋ ant2anα－2αttaannββ＝1－34＋34×17 17＝1.
∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，
10°＋ 23sin cos 10°
10° )·
2cos 10°＝2 2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]
＝2 2sin(50°＋10°)＝2 2× 23＝ 6.
sin (2)
12－α＋ta2nsαin2α＝2sin
α1c－oscsαoin＋s αα2sin2α＝2sin
(2)原式＝122（×co4sscionπ4s－π44α－α－α4·ccooss22απ4＋－1α） ＝4s（in2π4c－osα2αc－os1π4）－2α＝2sicnoπ2s2－2α2α ＝2ccooss222αα＝12cos 2α.
3 2 sin
135°＝
2 2.
答案
2 2
考点一 三角函数式的化简
【例 1】 (1)(2016·合肥模拟)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝
() A.sin(α＋2β)
B.sin α
C.cos(α＋2β)
D.cos α
（1＋sin (2)化简：
α＋2c＋os2αc）os·αcosα2－sinα2(0<α<π)＝________.
第5讲 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式
最新考纲 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能 利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用 两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二 倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用 上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、 半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
cos2
cos2
因为 0<α<π，所以 0<α2<π2，所以 cosα2>0，所以原式＝cos α.
答案 (1)D (2)cos α
规律方法 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看 角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使 用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式， 常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向， 常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂” 等.
＝17×1134＋4 7 3×3143＝12，
∴β＝π3.
答案
(1)C
3 3－4 (2) 10
(3)－8473
π 3
考点三 三角变换的简单应用
【例 3】 已知△ABC 为锐角三角形，若向量 p＝(2－2sin A， cos A＋sin A)与向量 q＝(sin A－cos A，1＋sin A)是共线向量. (1)求角 A； (2)求函数 y＝2sin2B＋cosC－23B的最大值. 解 (1)因为 p，q 共线，所以(2－2sin A)(1＋sin A)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意的.( ) (2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立.( ) (3)公式 tan(α＋β)＝ 1ta－n αta＋n αtatnanββ可以变形为 tan α＋tan β ＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角 α，β 都成立.( ) (4)存在实数 α，使 tan 2α＝2tan α.( ) 解析 (3)变形可以，但不是对任意的 α，β 都成立，α，β，α ＋β≠π2＋kπ，k∈Z.
sinα ±cosα ＝ 2sinα ±π4 .
4.函数 f(α)＝asin α＋bcos α(a，b 为常数)，可以化为 f(α)＝
a2＋b2
sin(α
＋
φ)
其中tan

φ＝ba
或
f(α) ＝
a2＋b2 ·cos(α －
φ)其中tan

φ＝ab.
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
【训练 2】 (1)4cos 50°－tan 40°＝( )
A. 2
2＋ 3 B. 2
C. 3
D.2 2－1
(2)已知 sinα＋π3＋sin α＝－453，－π2<α<0，则 cos α 的值为
________.
(3)已知 cos α＝17，cos(α－β)＝1134(0<β<α<π2)，则 tan 2α＝
αcos α（cos α＋sin cos α－sin α
α）
＝sin
1＋tan 2α1－tan
αα＝sin
2α·tanπ4＋α
由1172π<α<74π得53π<α＋π4<2π，又 cosπ4＋α＝35， 所以 sinπ4＋α＝－45， tanπ4＋α＝－43.cos α＝cosπ4＋α－π4＝－102， sin α＝－7102，sin 2α＝275.所以sin12－α＋ta2nsαin2α＝－2785. (3)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝1t－an（tanα（－αβ－）β＋）ttaannββ
＝ c3ocsos404°0°＝ 3，故选 C.
(2)由 sinα＋π3＋sin α＝－453，
得32sin α＋ 23cos α＝－453，sinα＋π6＝－45.
又－π2<α<0，所以－π3<α＋π6<π6，
于是 cosα＋π6＝35.
所以 cos α＝cosα＋π6－π6＝3
知识梳理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝_s_i_n_α_c_o_s_β_±__c_o_s_α__si_n_β_. cos(α∓β)＝__co_s__α_c_o_s_β_±__s_in__α_s_in__β_. tan α±tan β tan(α±β)＝_1_∓_ta_n__α__t_a_n__β_.
解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°
＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°
＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin
3－4 10 .
(3)∵cos α＝17，0<α<π2，∴sin α＝473，tan α＝4 3，
∴tan 2α＝1－2tatnanα2α＝21×－4483＝－8473.
∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，
∴sin(α－β)＝3143，∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2.(2016·全国Ⅲ卷)若 tan θ＝－13，则 cos 2θ＝( )
A.－45
B.－15
C.15
D.45
解析 cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝ccooss22θθ－＋ssiinn22θθ＝11－＋ttaann22θθ＝45.
答案 D
3.(2015·重庆卷)若 tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则 tan β 等于( )
答案
(1)－2sin 4
1 (2)2cos 2α
考点二 三角函数式的求值
【例 2】 (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋ 3tan 10°)]· 2sin280＝________.
(2) 已 知
cos
π4＋α
＝
3 5
，
17π 12
<α<
7π 4
，
则
sin
2α＋2sin2α 1－tan α
B.18
C.9
D. 9
解析 由 sin α＋cos α＝13两边平方得 1＋sin 2α＝19， 解得 sin 2α＝－89， 所以 sin2π4－α＝1－cos2π2－2α＝1－s2in 2α＝1＋2 89＝1178， 故选 B. 答案 B
5.(必修4P137A13(5)改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58° ＝________.
【训练 1】 (1) 2＋2cos 8＋2 1－sin 8的化简结果是________. (2)化简：22tacnosπ44α－－α2scions22π4α＋＋α12＝________. 解析 (1)原式＝ 4cos24＋2 （sin 4－cos 4）2 ＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|， 因为54π<4<32π，所以 cos 4<0，且 sin 4<cos 4， 所以原式＝－2cos 4－2(sin 4－cos 4)＝－2sin 4.
解析 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.
(2)原式＝2cos2α2＋2sinα2c4ocsoα2s2·α2cosα2－sinα2
＝cosα2cos2α2α－ sin2α2＝cosα2coαs α
的
值
为
________.
(3)已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则 2α－β 的
值为________.
解析
(1)原式＝2sin
50°＋sin
cos 10°·
10°＋ cos
3sin 10°
10°·