平面向量题型二：平面向量的共线问题

题型二:平面向量的共线问题
1、若A (2,3),B (x , 4),C (3,y ),且AB u u u r =2AC u u u r ,则x = ,y =
2、已知向量a 、b ,且AB u u u r =a +2b ,BC u u u r = -5a +6b ,CD u u u r =7a -2b ,则一定共线的三点就是 ( )
A.A 、B 、D
B.A 、B 、C
C.B 、C 、D
D.A 、C 、D
3、如果e 1、 e 2就是平面α内两个不共线的向量,那么在下列各说法中错误的有 ( )
①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量;
②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对;
③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2); ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0,则λ=μ=0、
A.①②
B.②③
C.③④
D.仅②
4、若向量a =(1,1),b =(1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( )
A.-a +3b
B.3a -b
C.a -3b
D.-3a +b
5、已知A(2,-2),B(4,3),向量p 的坐标为(2k-1,7)且p ∥,则k 的值为
( )
A 、109-
B 、109
C 、1019-
D 、10
19
6、已知a r 就是以点(3,1)A -为起点,且与向量(3,4)b =-r 平行的单位向量,则向量
a r 的终点坐标就是 .
7、 给出下列命题:①若|a r |＝|b r |,则a r =b r
;②若A ,B ,C ,D 就是不共线的四点,则AB DC =u u u r u u u r 就是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a r =b r ,b r =c r ,则
a r =c r ;④a r =
b r 的充要条件就是|a r |=|b r |且a r //b r ;⑤若a r //b r ,b r //
c r ,则a r //c r ,其
中正确的序号就是 . 8、平面向量a r ,b r
共线的充要条件就是( )
A.a r ,b r 方向相同
B.a r ,b r
两向量中至少有一个为零向量
C.R λ∃∈, b a λ=r r
D.存在不全为零的实数1λ,2λ,120a b λλ+=r r r
9、如图在三角形ABC 中,AM ﹕AB=1﹕3,AN ﹕AC=1﹕4,BN 与CM 相交于点P,且
a ρ=,
b ρ=,试用a ρ、b ρ表示
10、已知a ,b 就是不共线的向量,AB →＝λa ＋b ,AC →＝a ＋μb (λ,μ∈R ),那么A ,B ,C 三点共线的充要条件就是( ).
A.λ＋μ＝2
B.λ－μ＝1
C.λμ＝－1
D.λμ＝1
11、在∆ABC 中,已知D 就是AB 边上一点,若AD =2DB ,CD =λ+3
1
,则λ= (A)
32 (B) 31 (C) -31 (D) -3
2 12、设a 、b 就是不共线的两个非零向量, (1)若2,3,OA a b OB a b OC =-=+u u u r u u u r u u u r
=a-3b,求证:A 、B 、C 三点共线; (2)若8a+kb 与ka+2b 共线,求实数k 的值、
13、如图点G 就是三角形ABO 的重心,PQ 就是过G 的分别交OA 、OB 于P 、Q 的一条线段,且mOA OP =,nOB OQ =,(m 、R n ∈)。

求证311=+n m
6、解:方法一:设向量a r 的终点坐标就是(,)x y ,则(3,1)a x y =-+r ,则题意可知
224(3)3(1)0311x y x y -++=⎧⎨+
=⎩（－）（＋）,解得:12,515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩　或18,595x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,故填121,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或189,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 方法二:与向量(3,4)b =-r 平行的单位向量就是1(3,4)5±-,故可得
34,55a ⎛⎫=±- ⎪⎝⎭r ,从而向量a r 的终点坐标就是
(,)(3,1)x y a =+-r ,便可得结果. 归纳小结:①向量的概念较多,且容易混淆,在学习中要分清、理解各概念的实质,
注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念;②与a r 平行的单位向量
||a e a =r r r . 7、解析:①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同. ②正确.∵AB DC =u u u r u u u r ,∴||||AB DC =u u u r u u u r 且//AB DC u u u r u u u r
,又A ,B ,C ,D 就是不共线的四点,∴四边形ABCD 为平行四边形;反之,若四边形ABCD 为平行四边形,
则,//AB DC u u u r u u u r 且||||AB DC =u u u r u u u r ,因此,AB DC =u u u r u u u r .
③正确.∵a r =b r ,∴a r ,b r 的长度相等且方向相同;又b r ＝c r ,∴b r ,c r 的长度相等且
方向相同,∴a r ,c r 的长度相等且方向相同,故a r ＝c r .
④不正确.当a r //b r 且方向相反时,即使|a r |=|b r |,也不能得到a r =b r ,故|a r |=|b r |
且a r //b r 不就是a r =b r
的充要条件,而就是必要不充分条件.
⑤不正确.考虑b r =0r
这种特殊情况.综上所述,正确命题的序号就是②③.
归纳小结:本例主要复习向量的基本概念,向量的基本概念较多,因而容易遗忘,为此,复习时一方面要构建良好的知识结构,另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比与联系,帮助理解,加深记忆. 8、解析:若,a b r r 均为零向量,则显然符合题意,且存在不全为零的实数12,,λλ使120a b λ+λ=r r r ;若0a ≠r r ,则由两向量共线知,存在0λ≠,使得b a =λr r ,即0a b λ-=r r r ,符合题意,故选Ｄ.
归纳小结:概念定理性的问题往往就是瞧似简单,实则处处陷阱,所以应加强对基础概念、定理的深入理解,明确问题关键之处,体会本质.
9、分析:本题就是以向量为载体的平面几何题,所以我们很容易联想到点M 、P 、C 三点在一条直线上,可用共线定理的充分必要条件求解。

解∵AM ﹕AB=1﹕3,AN ﹕AC=1﹕4, ∴∴a AB AM ρ3131==,b AC AN ρ4141==,
∵M 、P 、C 三点共线,可设)(R MC MP ∈=λλ
于就是MC a MP AM AP λ+=+=ρ31
∴a b AM AC MC ρ31-=-= ∴b a AP ρρλλ+-=)3131(
12、解:(1)证明:∵AB =u u u r (3a+b)-(2a-b)=a+2b 、
而BC uuu r =(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2,AB uuu r
∴AB u u u r 与BC uuu
r 共线,且有公共端点B,
∴A、B 、C 三点共线、
(2)∵8a+kb 与ka+2b 共线,
存在实数λ使得8a+kb=λ(ka+2b)(8-λk)a+(k-2λ)b=0,
∵a 与b 就是不共线的两个非零向量,
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 8－λk ＝0
k －2λ＝0⇒8＝2λ2⇒λ＝±2,
∴k ＝2λ＝±4、
13、分析:本题就是一道典型的平面几何证明,如果用平几方法则过程很复杂,如果我们将题目中的已知条件作向量处理便能使证明过程简单得多。

因为注意到P 、G 、Q 三点在一条直线上,所以我们可以考虑PQ 与PG 共线,于就是可以用共线定理得方程组求解。

证明:设a ρ=,b ρ=,则a m ϖ=,b n OQ ρ= ∵)(21)(21b a ρρ+=+=,∴)(3132b a OD OG ρρ+== ∴b a m a m b a ρρρρρ31)31()(31+-=-+=-=,即a m b n OP OQ PQ ρρ-=-=,
又P 、Q 、G 三点在同一直线上,则PG 与共线 ∴存在一个实数λ使得λ= ∴a m b n b a m ϖρλλ-=+-31)31(,即:0)31()31(=-++-b n m m ρλλ
∵a ρ与b ρ不共线,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-031031n m m λλ消去λ得311=+n m。