第5章 回归正交试验设计
第5章 正交试验设计
60末期代，华罗庚教授在我国倡导与普及的“优选法”，如黄金 分割法、分数法和斐波那契数列法等。数理统计学者在工业部门 中普及 “正交设计”法 。 70年代中期，优选法在全国各行各业取得明显成效。 1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试 验，希望每个因素的水平数要多于10，而试验总数又不超过50， 显然优选法和正交设计都不能用，随后，方开泰教授（中国科学 院应用数学研究所）和王元院士提出 “均匀设计”法，这一方 法在导弹设计中取得了成效。
6、如何进行试验设计?一般分几个阶段?
试验设计一般分三个阶段： （1）试验：首先要明确试验的目的和要求；其次是合理选 择试验考察的指标和影响因素（即因子）；最后确定试验中 影响因素的具体条件（即因子的水平）。 （2）设计：根据因子及因子的水平，确定试验方案；决定 试验的顺序，试验的方法，测量的点数以及重复的次数等。 （3）分的各种统计量；确定显著性 水平进行检验，得出结论。
9、试验设计的效果 如何安排试验，有一个方法问题。不好的试验设计方法，
即使做了大量的试验，也未必能达到预期的目的；一个好的 试验设计方法，既可以减少实验次数，缩短试验时间和避免 盲目性，又能迅速得到有效的结果。
10、常用试验设计与优化方法简介
常用的试验设计与优化方法主要有优选法、正交设计法、 均匀设计法、人工神经网络等。
○用于新产品开发、产品或过程的改进、以及安装服务，通 过较少次数的试验，找到优质、高产、低耗的因素组合， 达到改进的目的。
12、单因素试验设计 单因素试验设计法有优选法（0.618法）、对分法、均分
法、分数法、抛物线法等，这里主要简介优选法，它曾是中国 数学家华罗庚在1965年以后近二十年推广的双法（优选法、统 筹法）之一，有广泛的群众基础。
试验优化设计--第五章(2010)
综合正交试验与回归分析的优点形成的技术
• 利用正交试验法的“正交性”这一 特点； • 利用均匀搭配法和综合可比性这两 条基本原理，可以有计划、合理的在 正交表上安排较少的试验次数； • 利用回归分析法中最小二乘法原理， 可以通过试验的数据，使变量间建立 起经验公式。
正交设计
方案 工具 干扰控制 数据处理 因变量 寻优 主动合理 正交表 能 简便 定性 近似较优点
1° Z
上限 Z2 = 90S 下限 Z1 = 10S
2°确定（零水平） 3° 确定水平间隔
Z1 Z 2 Z0 50s 2
Z 2 Z1 20s k 1
2、编码
Z Z 0 Z 50 x 20
y～Z
y～X
Z1 Z2 Z3 Z4 Z5
10 30 50 70 90
2、饱和性
• 定义： 在 p 维空间编码中，若试验方案的无重 复试验次数 N 或者各试验因素及其交互 作用的自由度之和加+1 f 1 ,与欲求的 回归方程的待估计参数个数 m 相等，则 称该方案具有饱和性。
p j 1 j
f
j 1
p
j
1 m N
f j bj 1
f j 为第j
b 列的自由度， j 为第j个因素的水平数
含义
ˆ y b0 b1 x1 b2 x2 b3 x3
（1）N = m （2）m － 回归方程（模型）总的回归系数 （3）一个试验点求出一个回归系数
m 4, N 4 b1 b2 b3 2
m f j 1 (2 1) 1 4
…
XP X1P X2P X3P · · · XIP · · · XNP
xij 0 i 1 N xih xij 0 i 1
正交试验设计
4
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表5-1
5
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注：任意两列旳交互作用列为另外两 列
附：正交表L9(34)
试验号
列号
1
2
3
4
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
3
1
3
3
3
4
2
1
2
3
5
2
2
3
1
6
2
3
1
2
7
3
1ห้องสมุดไป่ตู้
3
2
8
3
2
1
3
9
3
3
2
1
6
3
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1.2 正交设计旳基本特点
❖ 用部分试验来替代全方面试验，经过对部分 试验成果旳分析，了解全方面试验旳情况。
❖ 当交互作用存在时，有可能出现交互作用旳 混杂。即忽视了部分交互作用来降低试验次 数。
如对于上述3原因3水平试验，若不考虑交
互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方
代表正交表；
❖ L右下角旳数字“8”表达有8行，用这张正交 表安排试验包括8个处理(水平组合)；
❖ 括号内旳底数“2” 表达原因旳水平数，括 号内2旳指数“7”表达有7列，
❖ 用这张正交表最多能够安排7个2水平原因。 8
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表5-2
9
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L8(27)二列间交互作用列表
第五章 正交试验设计
实验五回归正交试验设计(Excel)
j 1
一次回归正交试验的结果分析
I. 建立回归方程
第一步：计算各列的SSj值
n
n
SS j d j zi2j dkj (zik zij )2
i 1
i 1
第二步：计算各列的Bj值
n
n
B0 yi Bj zkj yk
i 1
i 1
n
Bkj zik zij yi i 1
第三步：计算各列的回归系数bj值
二次回归组合设计结果分析
第一步，计算Bj，dj
n
B0 yi i 1
n
d j zi2j i 1
n
n
B j zij yi Bkj zik zij yi
i 1
i 1
n
B jj
z
' ij
yi
k 1
n
dkj (zik zij )2 i 1
n
d jj (zi'j )2 i 1
第二步，计算bj
b0
B0 n
bj
Bj dj
bkj
Bkj dkj
b jj
B jj d jj
II. 回归方程显著性检验
第一步： 计算各列回归系数的偏回归平方和 （ U j）
U j B2j / d j Ukj Bk2j / dkj U jj B2jj / d jj
第二步： 计算总变异均方、剩余的均方、回归均方
p
p
内容：
一次回归正交试验设计
yˆ b0 b1x1 b2 x2... bp xp
p
p1 p
或 yˆ b0 bj x j
bkj xk x j
j 1
k 1 jk 1
二次回归正交试验设计
实验设计与数据处理课后答案
《试验设计与数据处理》专业：机械工程班级：机械11级专硕学号：S110805035 姓名：赵龙第三章：统计推断3-13 解：取假设H0：u1-u2≤0和假设H1：u1-u2＞0用sas分析结果如下：Sample StatisticsGroup N Mean Std. Dev. Std. Error----------------------------------------------------x 8 0.231875 0.0146 0.0051y 10 0.2097 0.0097 0.0031Hypothesis TestNull hypothesis: Mean 1 - Mean 2 = 0Alternative: Mean 1 - Mean 2 ^= 0If Variances Are t statistic Df Pr > t----------------------------------------------------Equal 3.878 16 0.0013Not Equal 3.704 11.67 0.0032由此可见p值远小于0.05，可认为拒绝原假设，即认为2个作家所写的小品文中由3个字母组成的词的比例均值差异显著。
3-14 解：用sas分析如下：Hypothesis TestNull hypothesis: Variance 1 / Variance 2 = 1Alternative: Variance 1 / Variance 2 ^= 1- Degrees of Freedom -F Numer. Denom. Pr > F----------------------------------------------2.27 7 9 0.2501由p值为0.2501＞0.05（显著性水平），所以接受原假设，两方差无显著差异第四章：方差分析和协方差分析4-1 解：Sas分析结果如下：Dependent Variable: ySum ofSource DF Squares Mean Square F Value Pr > FModel 4 1480.823000 370.205750 40.88 <.0001Error 15 135.822500 9.054833Corrected Total 19 1616.645500R-Square Coeff Var Root MSE y Mean0.915985 13.12023 3.009125 22.93500Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > Fc 4 1480.823000 370.205750 40.88 <.0001由结果可知，p值小于0.001，故可认为在水平a=0.05下，这些百分比的均值有显著差异。
第五章-正交实验设计
是均衡的，在立方体的每个平面上 ，都恰是3个试验
点；在立方体的每条线上也恰有一个试验点。
9个试验点均衡地分布于整个立方体内 ，有很强
的代表性 ， 能 够比较全面地反映选优区内的基本情 况。
正交表，记号为L8(27)，其中“L”代表正交表；L右下角的数字
“8”表示有8行 ，用这张正交表安排试验包含8个处理(水平组 合) ；括号内的底数“2” 表示因素的水平数，括号内2的指数
A因素是增稠剂用量：设A1、A2、A3 B因素是pH值： C因素为杀菌温度： 设B1、B2、B3 设C1、C2、C3 3个水平； 3个水平； 3个水平。
这是一个3因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能
组合有33＝27种 。
全面试验：可以分析各因素的效应 ，交互作用，也可选出 最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多，工作量 大 ，在有些情况下无法完成 。 若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则 可利用正交 表来设计安排试验。
L8(4×24)表中有一列的水平数为4，有4列水平数为2。
5.2 正交试验设计基本程序
对于多因素试验，正交试验设计是简 单常用的交试验设计的基本程序 包括试验方案设计及试验结果分析两部分。
试验方案设计
试验目的与要求
试验指标
选因素、定水平
因素、水平确定 选择合适正交表 表头设计 列试验方案 试验结果分析
（3） 独立性
任一列的各水平出现的次数相等；任两列间所有水平组合出 现次数相等，使得任一因素各水平的试验条件相同。这就保证 了在每列因素各水平的效果中，最大限度地排除了其他因素的 干扰。
5.1.3 正交表的优点 （1）节省资源
（2）方便快捷
（3）信息量大
5.1.4
第五章 方差分析和正交试验
r
i 表示组内理论均值, eij 表示随机误差, eij ~ N (0, 2 ), i 称为效应值. ni i 0.
单因素方差分析的数学模型为 : Yij i eij (i 1, 2, , r; j 1, 2, , ni ) 2 e ~ N ( 0 , ), eij 互相独立; ij n n 0. i i i 1
•步骤2:表头设计.见下表:一般至少安排有一个空列.
17
结束
•步骤3:制订试验方案, 见下表:
18
结束
•步骤4:作试验得到得率 yi .填入表中.作试验时采用随机顺序. •步骤5:计算统计量,填入表5.4.5中.
水平数r 3, 每水平在 1列中出现次数 m 3, 试验数n rm 9, 试验结果为Y1 , Y2 , , Yn , K jl为j列中水平为l (l 1,2, , r )的试验结果之和 . 这里K11 y1 y2 y3 , K 23 y3 y6 y9 . 记K K jl , 显然, K Yi , 与j无关.
l 1 i 1 n 1 2 1 r 2 2 2 P K , Q j K jl , S j Q j P, Q Yi 2 , ST Q P. n m l 1 i 1 r n
S Yi Y
2 T j 1
r
2
1 2 2 2 2 S , Y K , 这里, ST S12 S 2 S3 S4 . n j 1
EYi i , EY ,
2 总离差平方和 ST Yij Y , r ni 2 i 1 r j 1
组间差平方和 S 组内差平方和 S
第五章 正交试验设计
0.18
0.30 0.50 0.80
C A B
优方案
C1A3B1
隶属度计算方法：
指标隶属度 指标值 - 指标最小值 指标最大值- 指标最小值
若两个指标的重要性不一样，取代度和酯化率 的权重分别为0.4和0.6，每号试验的综合分数 =取代度隶属度×0.4+酯化率隶属度×0.6，满 分为1.00。
2
3 4 5
1
1 2 2
2
3 1 2
2
3 2 3
2
3 3 1
2.18
2.45 2.70 2.49
40.36
54.31 41.09 56.29
0.00
0.35 0.67 0.40
0.00
0.55 0.03 0.63
0.00
0.47 0.29 0.54
6
7 8 9 K1 K2 K3 极差R 因素主次
2
3 3 3 1.47 1.01 1.60 0.59
5.1.3 正交试验设计的基本步骤
（1）明确试验目的，确定评价指标
任何一个试验都是为了解决某一个（或某些）问题，或为 了得到某些结论而进行的，所以任何一个正交试验都应该 有一个明确的目的，这是正交试验设计的基础。 挑选的因素不易过多，一般以3~7个为宜； 确定因素的水平数时，一般重要的因素可多取一些水平， 各水平的数值应适当拉开，以利于试验结果的分析。当因 素的水平数相等时，可方便试验数据处理。
第五章 正交试验设计
任课教师：王凤花 现代农业工程学院
第五章 正交试验设计
5.1 概述 5.2 正交试验设计结果的直观分析法 5.3 正交试验设计结果的方差分析法 5.4 本章习题
正交试验设计方法讲义及举例
正交试验设计方法讲义及举例第5章 正交试验设计方法5．1 试验设计方法概述试验设计是数理统计学的一个重要的分支。
多数数理统计方法主要用于分析已经得到的数据，而试验设计却是用于决定数据收集的方法。
试验设计方法主要讨论如何合理地安排试验以及试验所得的数据如何分析等。
例5-1 某化工厂想提高某化工产品的质量和产量，对工艺中三个主要因素各按三个水平进行试验（见表5-1）。
试验的目的是为提高合格产品的产量，寻求最适宜的操作条件。
对此实例该如何进行试验方案的设计呢？很容易想到的是全面搭配法方案（如图5-1所示）：此方案数据点分布的均匀性极好，因素和水平的搭配十分全面，唯一的缺点是实验次数多达33＝27次（指数3代表3个因素，底数3代表每因素有3个水平）。
因素、水平数愈多，则实验次数就愈多，例如，做一个6因素3水平的试验，就需36＝729次实验，显然难以做到。
因此需要寻找一种合适的试验设计方法。
试验设计方法常用的术语定义如下。
试验指标：指作为试验研究过程的因变量，常为试验结果特征的量（如得率、纯度等）。
例1的试验指标为合格产品的产量。
因素：指作试验研究过程的自变量，常常是造成试验指标按某种规律发生变化的那些原因。
如例1的温度、压力、碱的用量。
水平：指试验中因素所处的具体状态或情况，又称为等级。
如例1的温度有3个水平。
温度用T 表示，下标1、2、3表示因素的不同水平，分别记为T 1、T 2、T 3。
常用的试验设计方法有：正交试验设计法、均匀试验设计法、单纯形优化法、双水平单纯形优化法、回归正交设计法、序贯试验设计法等。
可供选择的试验方法很多，各种试验设计方法都有其一定的特点。
所面对的任务与要解决的问题不同，选择的试验设计方法也应有所不同。
由于篇幅的限制，我们只讨论正交试验设计方法。
5．2 正交试验设计方法的优点和特点用正交表安排多因素试验的方法，称为正交试验设计法。
其特点为：①完成试验要求所需的实验次数少。
②数据点的分布很均匀。
回归正交实验设计
归正交试验设计前面介绍的正交试验设计一种很实用的试验设计方法，它能? I」用较少的试验次数获得较好的试验结果，但是通过正交设计所得至啲优方案只能限制在已走的水平上，而不是一定试验范围内的最优方案；回归分析是一种有效的数据处理方法，通过所确立的回归方程，可以对试验结果进行预测和优化，但回归分析往往只能对试验数据进行被动的处理和分析,不涉及对试验设计的要求。
如果能将两者的优势统一起来，不仅有合理的试验设计和较少的试验次数，还能建立有效的数学模型,这正是我们所期望的。
回归正交设计(orthogonal regression design)就是这样一种试验设计方法，它可以在因素的试验范围内选择适当的试验点，用较少的试验建立一个精度高、统计性质好的回归方程，并能解决试验优化问题。
一次回归正交试验设计及结果分析—次回归正交设计就是利用回归正交设计原理,建立试验指标(y)与m个试验因素xi, X2 ..................................... x m ,之间的一元回归方程:y = a ++ /?2x2 + • • • 4- b m x m(8 - 1)或者my = a + Yj h j x j+ X b kj x k x j k=l, 2 , f m -1 (j#k ) (8 - 2)7-1 k{j8.1.1 —次回归正交设计的基本方法(1) 确走因素的变化范围根据试验指标y ,选择需要考察的m个因素Xj (j二1,2，…，m),并确走每个因素的取值范围。
设因素％的变化范围为凶1 , X j2],分别称Xji和X R为因素％的下水平和上水平，并将它们的算术平均值称作因素Xj的零水平，用XjO。
表示。
11勺度艾上水平与零水平之差称为因素为的变化间距，用勺表示r 即：(8-4)x n△十七丄 (8-5)(2) 因素水平的编码编码(coding)是将Xj 的0水平进行线性变换，即:(8-6)式(8—6)中可就是因素为的编码，两者是一一对应的。
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第5章 回归正交试验设计 Orthogonal Regression Design
⏹回归正交设计（orthogonal regression design）： 可以在因素的试验范围内选择适当的试验点
用较少的试验建立回归方程
能解决试验优化问题
不适合非数量性因素
5.1 一次回归正交试验设计及结果分析
⏹建立试验指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，x m之间的
一次回归方程
⏹例：m＝3时，一次回归方程：
y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3
其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用 若不考虑交互作用，为三元一次线性回归方程：
y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3
5.1.1 一次回归正交设计的基本方法（1）确定因素的变化范围
以因素x j为例：
⏹设x j的变化范围为[x j1，x j2]
⏹x j1为x j的下水平
⏹x j2为x j的上水平
⏹x j0为x j的零水平：x j0＝ (x j1＋x j2)/2
⏹因素x j的变化间距Δj：
Δj＝上水平－零水平＝x j2－x j0
Δj= (x j2－x j1)/2
⏹编码目的：
使每因素的每水平在编码空间是“平等”的，规范变量z j的取值范围都是[－1，1]
编码能将试验结果y与因素x j（j＝1，2，…，m）之间的回归问题，转换成试验结果y与编码值z j之间的回归问题
（3）一次回归正交设计表
将二水平的正交表中“2”用“－1”代换，例：
⏹回归正交设计表的特点：
任一列编码的和为0
任两列编码的乘积之和等于0
（4）试验方案的确定
可参考正交设计的表头设计方法
交互作用列的编码等于表中对应两因素列编码的乘积
⏹零水平试验（中心试验
）⏹表头设计：
5.1.2 一次回归方程的建立
⏹总试验次数为n：
n＝m c＋m0
m c：二水平试验次数
m0：零水平试验次数
⏹一次回归方程系数的计算： 常数项：a
一次项系数：b j
交互项系数：b jk
②自由度
⏹
df T ＝n―1 ⏹
各种偏回归平方和的自由度＝1 ⏹回归平方和的自由度 ：
R df df df =+∑∑一次项交互项
e T R
df df df =-⏹残差自由度：
③均方
④F检验：
⏹回归方程显著性检验
⏹偏回归系数显著性检验：
判断因素或交互作用对试验的影响程度
经检验不显著的因素或交互作用应归入残差，重新检验 可直接从回归方程中剔除这些一次和交互项
例5-1：
（1）因素水平编码
（2）正交表的选择和试验方案的确定
（3）回归方程的建立
m0＝0，n＝m c＝8
计算表
计算各回归系数
写出y与规范变量z j的回归方程
根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作用主次 根据偏回归系数正负，得到各因素对试验指标的影响方向（4）方差分析
（5）回归方程的回代：得到试验指标y与自然变量x j的回归方程
5.1.3.2 有零水平试验时
⏹目的：进行回归方程的失拟性（lack of fit）检验（要求
m0≥2 ）
⏹失拟性检验：为了检验一次回归方程在整个研究范围内的
拟合情况
⏹失拟性检验步骤：
5.2 二次回归正交组合设计 ⏹
回归方程的建立：⏹二元二次回归方程：
根据最小二乘法原理得到正规方程组
求解正规方程组，得回归系数
要求：试验次数＞回归方程的项数⏹二次回归正交组合设计：在一次回归正交试验设计的基础上再增加一些特定的试验点，通过适当的组合形成试验方案
2211221212111222
y a b x b x b x x b x b x =+++++
5.2.1 二次回归正交组合设计表
（1）二元二次回归正交组合设计试验方案⏹二元二次回归方程：
2211221212111222
y a b x b x b x x b x b x =+++++⏹试验方案
⏹正交组合设计的三类试验点及次数： 二水平试验：
❿全实施：m c＝2m
❿1/2实施：m c＝2m－1
❿1/4实施：m c＝2m－2
星号试验：
❿与原点（中心点）的距离都为γ
❿mγ＝2m
零水平试验：
❿各因素水平编码都为零时的试验
❿试验次数m0
二元二次回归正交组合设计
（2） 三元二次回归正交组合设计试验方案 ⏹三元二次回归方程：
2
22112233121213132323111222333y a bx b x b x b x x b x x b x x b x b x b x
=+++++++++⏹试验方案
三元二次回归正交组合设计
⏹自由度： df T ＝n ―1
各种偏回归平方和的自由度：1
回归平方和的自由度：
R df df df df =++∑∑∑一次项二次项
交互项 残差平方自由度：
e T R
df df df =-
⑥失拟性检验
⑦回归方程的回代
⑧最优试验方案的确定:
（2）正交组合设计。