2020届湖南师大附中高三第七次月考数学(理)试题
湖南省湖南师大附中2020届高三月考(七)数学(理科)试卷
湖南师大附中2020届高三月考试卷（七）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知{}2,1xU y y x ==≥-，111A xx ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则UA =（ ）A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)2,+∞ C ．[)1,122,⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦+∞D ．()1,122,⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭+∞2．设4log 8a =，0.4log 8b =，0.42c =，则（ ） A ．b c a <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<3．设p ：实数x ，y 满足1x y +≤，q ：实数x ，y满足1,1,y y x y ⎧≤⎪⎪≥-⎨⎪≥-⎪⎩则p 是q 的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某校在一次月考中有1200人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布()290,XN a （0a >，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数为总人数的35，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生人数为（ ） A ．960B ．480C ．240D ．1205．函数()f x 的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A ．()231f x x x =-+B ．()231f x x x =--C ．()231f x x x =+D ．()231f x x x=-6．已知曲线2sin cos 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与直线12y =号相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1P ，2P ，3P ，…，则15PP 等于（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π7．在等比数列{}n a 中，11a =，84a =，函数()()()()()1238f x x x a x a x a x a =---⋅⋅⋅-，若()y f x =的导函数为()y f x '=，则()0f '=（ ） A ．1B ．82C ．122D ．1528．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为棱1AA ，11B C ，11C D ，1DD 的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ） A ．直线1CC B ．直线11C D C ．直线1HCD ．直线GH9．已知函数()()21ln 11f x x x =+-+，则关于x 的不等式()()1ln ln 21f x f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．()0,+∞B ．()0,eC ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,e10．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知c =，且2sin cos sin sin sin a C B a A b B C =-+，点O 满足0OA OB OC ++=，3cos 8CAO ∠=，则ABC △的面积为（ ）A ．B ．4C ．2D 11．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A．2B ．23C ．3D ．212．已知()()11,10,1,01,x f x f x x x ⎧--<<⎪+=⎨⎪≤<⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．{}28,3⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．{}28,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：13．已知等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，则42S a =______． 14．()()532x y x y -+的展开式中，含24x y 项的系数为______．（用数字作答） 15．已知点()3,0A -，()1,2B --，若圆()()22220y x r r+=->上恰有两点M ，N ，使得MAB △和NAB △的面积均为4，则r 的取值范围是______．16．瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，ABC △的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成的三角形称为ABC △的欧拉三角形。
湖南师范大学附属中学2020届高三月考试卷(三)数学理科附答案与详解
湖南师大附中2020届高三月考试卷（三）数学（理科）时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合11,32A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，{}|10B x ax =+=，且B A ⊆，则a 的可能取值组成的集合为（ ） A. {}3,2- B. {}3,0,2- C. {}3,2-D. {}3,0,2-2. 已知复数11z i =+，命题p ：复数z 的虚部为12，命题q ：复数z 的模为1.下列命题为真命题的是（ ） A. p q ∨ B. ()p q ∧⌝ C. p q ∧D. ()()p q ⌝∧⌝3. 若向量a r 与b r 满足()a b a +⊥r r r ，且1a =r ，2b =r，则向量a r 在b r 方向上的投影为（ ）A.B. 12-C. -1D.34. 公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟，按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为310-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A. 510190-米B. 61019000-米C. 6109900-米D. 5109900-米5. 已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()2c f m =+，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<6. 设p ：()0,x ∀∈+∞，210x ax -+≥，则使p 为真命题的一个充分非必要条件是（ ） A. 1a ≤B. 2a ≤C. 3a ≤D. 2a >7. 已知α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，给出下列说法：①若l α⊥，αβ⊥，则//l β；②若//l α，//αβ，则//l β；③若l α⊥，//αβ，则l β⊥； ④若//l α，αβ⊥，则l β⊥.其中说法正确的个数为（ ） A. 3B. 2C. 1D. 08. 若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（ ） A. 20B. 90C. 15D. 459. 设双曲线的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为双曲线在第二象限上的点，直线BO 交双曲线于C 点，若直线AC 平分线段BF 于M ，则双曲线的离心率是（ ） A.12B. 2C.13D. 310. 已知函数()222,17,1x ax x a x x x f ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使()()12f x f x =，则实数a 的取值范围是（ ） A. 3a < B. 23a -<< C. 22a -≤≤D. 2a <1l. 将函数()()[]()sin 20,0,2f x x ωϕωϕπ=+>∈图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x ，函数()g x 的部分图象如图所示，且()g x 在[]0,2π上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为-1），则ω的取值范围是（ ） A. 713,1212⎛⎤⎥⎝⎦B. 713,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1117,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1117,1212⎛⎤⎥⎝⎦12. 已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，1PA AB PB AC ====，2CP =D 是PB 的中点，且2CD =，则球O 的表面积为（ ）A.73π B.76π C.27D.54二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知1cos 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 14. 湖南师大附中第33届体育节高二年级各班之间进行篮球比赛，某班计划从甲、乙两人中挑选服务人员，已知甲可能在16:00—17:00到达篮球场地，乙可能在16:30—17:00到达，若规定谁先到达就安排谁参加服务工作，则甲参加服务工作的概率是______.15. 过抛物线()220y px p =>的焦点F 作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M ，N ，过弦MN 的中点P 作抛物线准线的垂线PQ ，垂足为Q ，则PQMN的最大值为______. 16. 对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a A n -+++=L 为数列{}n a 的“好数”，已知某数列{}n a 的“好数”12n n A +=，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若7n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围是______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222cos cos sin sin sin C B A A C -=-. （1）求角B 的值；（2）若BC 边上的高AH 满足12AH BC =，求22b cc b+的取值范围. 18. 如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，//ED FB ，12DE BF =，AB FB =，FB ⊥平面ABCD .（1）设BD 与AC 的交点为O ，求证：OE ⊥平面ACF ； （2）求二面角E AF C --的正弦值.19. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率5e =1F ，2F ，过右焦点2F 任作一条直线l ，记l 与椭圆的两交点为A ，B ，已知1F AB ∆的周长为定值（1）求椭圆C 的方程；（2）记点B 关于x 轴的对称点为'B ，直线'AB 交x 轴于点D ，求ABD ∆面积的取值范围.20. 某个地区计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水的年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：十亿立方米）都在4以上，其中，不足8的年份有10年，不低于8且不超过12的年份有35年，超过12的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立. （1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过12的概率；（2）若水的年入流量X 与其蕴含的能量y （单位：百亿万焦）之间的部分对应数据为如下表所示：用最小二乘法求出y 关于X 的线性回归方程$$y bXa =+$；（回归方程系数用分数表示） （3）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？。
湖南省师大附中2020届高三数学月考试题(六)理(含解析)
湖南省师大附中2020届高三数学月考试题（六）理（含解析）时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{4，2，a －1}，B ＝{0，－2，a 2＋1}，若A∩B＝{2}，则实数a 满足的集合为(D)A ．{1}B ．{－1}C ．{－1，1}D ．2．已知复数z 满足z ＋||z ＝3＋i ，则z ＝(D)A ．1－iB ．1＋i C.43－i D.43＋i3．下列说法正确的是(D)A ．命题“x 0∈[]0，1，使x 20－1≥0”的否定为“x ∈[]0，1，都有x 2－1≤0” B ．命题“若向量a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0”及它的逆命题均为真命题 C ．命题“在锐角△ABC 中，sin A<cos B ”为真命题D ．命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x≠0且x≠－1，则x 2＋x≠0”【解析】命题“x 0∈[]0，1，使x 20－1≥0”的否定应为“x ∈[]0，1，都有x 2－1<0”，所以A 错误；命题“若向量a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0”的逆命题为假命题，故B 错误；锐角△ABC 中，A ＋B>π2π2>A>π2－B>0，∴sin A>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，所以C 错误，故选D.4．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(176两)．问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为(C)A ．90，86B ．94，82C ．98，78D ．102，74【解析】执行程序框图，x ＝86，y ＝90，s ≠27；x ＝90，y ＝86，s ≠27；x ＝94，y ＝82，s ≠27；x ＝98，y ＝78，s ＝27，结束循环，输出的x ，y 分别为98，78，故选C.5．已知定义在R 上的函数f(x)＝2|x －m|－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f(log 0.53)，b ＝f ()log 25，c ＝f ()2＋m 则a ，b ，c 的大小关系为(B)A ．a<b<cB ．a<c<bC ．c<a<bD ．c<b<a【解析】∵函数f ()x 是偶函数，∴f ()x ＝f ()－x 在R 上恒成立，∴m ＝0， ∴当x≥0时，易得f(x)＝2||x －1为增函数， ∴a ＝f(log 0.53)＝f(log 23)，b ＝f ()log 25，c ＝f ()2， ∵log 23<2<log 25，∴a<c<b ，故选B.6．学校组织学生参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3名同学分别到A ，B ，C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有(D)A ．70种B ．140种C ．840种D ．420种【解析】从9名同学中任选3名分别到A ，B ，C 三地进行社会调查有C 39A 33种安排方法，3名同学全是男生或全是女生有(C 35＋C 34)A 33种安排方法，故选出的同学中男女均有的不同安排方法有C 39A 33－(C 34＋C 35)A 33＝420(种)．7．已知(x ＋1)5＋(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9，则a 7＝(B) A ．9 B ．36 C ．84 D ．243【解析】令t ＝x －1，则(x ＋1)5＋(x －2)9＝(t ＋2)5＋(t －1)9，只有(t －1)9中展开式含有t 7项，所以a 7＝C 29＝36，选B.8．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x＋y≤2，x ≤－1，则x ＋yy 的取值范围是(B)A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2 【解析】将题中可行域表示如右图，易知k ＝yx 在A(－1，3)处取得最小值－3，且斜率k小于直线x ＋y ＝1的斜率－1，故－3≤k<－1，则－1<x y ≤－13，故0<x ＋y y ≤23.9．正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长相等，E 为SC 的中点，则BE 与SA 所成角的余弦值为(C)A.13B.12C.33D.32【解析】如图，设AC∩BD＝O ，连接OE ，因为OE 是△SAC 的中位线，故EO∥SA，则∠BEO 为BE 与SA 所成的角．设SA ＝AB ＝2a ，则OE ＝12SA ＝a ，BE ＝32SA ＝3a ，OB ＝22SA ＝2a ，所以△EOB 为直角三角形，所以cos ∠BEO ＝OE BE ＝a 3a ＝33，故选C.10．如图所示，点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△FAB 的周长的取值范围是(C)A ．(2，6)B ．(6，8)C ．(8，12)D ．(10，14)【解析】抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F(2，0)，由抛物线定义可得|AF|＝x A ＋2，圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为(2，0)，半径为4，∴三角形FAB 的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝(x A ＋2)＋(x B －x A )＋4＝6＋x B ，由抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16可得交点的横坐标为2，则x B ∈(2，6)，所以6＋x B ∈(8，12)，故选C.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(3，0)，B(1，2)，D(3，2)，动点P 满足OP →＝λOA →＋μOB →，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，2]，λ＋μ∈[1，2]，则点P 落在三角形ABD 里面的概率为(A)A.12B.33C.32D.23【解析】以OA ，OB 为邻边做平行四边形OACB ，延长OB 至E ，使得OE ＝2OB ， ∵OP →＝λOA →＋μOB →，且λ∈[0，1]，μ∈[0，2]，λ＋μ∈[1，2]，∴P 点位于平行四边形ABEC 的内部(包含边界)，则点P 落在三角形ABD 里面的概率P ＝S △ABC S ABEC ＝12，选A.12．已知函数f(x)＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，46π3，若函数F(x)＝f(x)－3的所有零点依次记为x 1，x 2，x 3，…，x n ，且x 1<x 2<x 3<…<x n ，则x 1＋2x 2＋2x 3＋…＋2x n －1＋x n ＝(C)A.1 276π3 B ．445π C ．455π D.1 457π3【解析】函数f(x)＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2x －π6＝π2＋k π得x ＝12k π＋π3，k ∈Z ，即f(x)的对称轴方程为x ＝12k π＋π3，k ∈Z .∵f(x)的最小正周期为T ＝π，0≤x ≤46π3，当k ＝30时，可得x ＝46π3，∴f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，46π3上有31条对称轴，根据正弦函数的性质可知：函数f(x)＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6与y ＝3的交点x 1，x 2关于π3对称，x 2，x 3关于5π6对称，…，即x 1＋x 2＝2π6×2，x 2＋x 3＝5π6×2，…，x n －1＋x n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫292π＋π3，将以上各式相加得：x 1＋2x 2＋3x 3＋…＋2x 30＋x 31＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2π6＋5π6＋…＋89π6＝(2＋5＋8＋…＋89)×π3＝455π，则x 1＋2x 2＋2x 3＋…＋2x n －1＋x n ＝(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＋x 3＋…＋x n －1＋(x n －1＋x n )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋3π2＋…＋59π2＝455π.故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点F 且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为__2__．14．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x 3＋f′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，f(x)，则f′(1)＝__0__．【解析】因为f(x)＝x 3＋f′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，所以f′(x)＝3x 2＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －1，所以f′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2f′⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23－1，则f′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－1，f(x)＝x 3－x 2－x ，则f′(x)＝3x 2－2x －1，故f′(1)＝0.15．已知三棱锥P －ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥P －ABC 的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为__80π3__．【解析】依题意，记三棱锥P －ABC 的外接球的球心为O ，半径为R ，点P 到平面ABC 的距离为h ，则由V P －ABC ＝13S △ABC h ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×42×h ＝163得h ＝433.又PC 为球O 的直径，因此球心O 到平面ABC 的距离等于12h ＝233.又正△ABC 的外接圆半径为r ＝AB 2sin 60°＝433，因此R 2＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝203，所以三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝80π3.16．已知在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，AC ⊥CD ，AC ＝CD ，则四边形ABCD 的面积的最大值为．【解析】如图所示，设∠ABC＝θ，θ∈(0，π)，则在△ABC 中，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos θ＝6－42cos θ，∴四边形ABCD 的面积为S ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12(AB·BC·sin θ＋AC·CD)，化简得：S ＝12(22sin θ＋6－42cos θ)＝3＋2(sin θ－2cos θ)＝3＋10sin (θ－φ)，其中tan φ＝2，当sin (θ－φ)＝1时，S 取得最大值为3＋10.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分． 17．(本题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设b n ＝a n2n －1＋2，n ∈N *.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.【解析】(1)∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n＋1，两式相减整理得a n ＋1－3a n ＝2n，2分 则a n ＋12n －32·a n2n －1＝1， 即a n ＋12n ＋2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n －1＋2.∴b n ＋1＝32b n ，(n≥2)，4分 当n ＝1时，2S 1＝a 2－22＋1，且S 1＝a 1＝1，则a 2＝5， ∴b 1＝a 120＋2＝3，b 2＝a 221＋2＝92，满足b 2＝32b 1，∴b n ＋1＝32b n ，(n∈N *)．故数列{b n }是首项为3，公比为32的等比数列，即b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.6分(2)由(1)知b n ＝a n 2n －1＋2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，∴a n ＝3n －2n，则1a n ＝13n －2n ，8分 当n≥2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32n>2，即3n －2n >2n，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1<32.11分当n ＝1时，1a 1＝1<32，上式也成立．综上可知，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.12分18．(本题满分12分)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD ，CF ＝1.(1)求证：BC⊥平面ACFE ；(2)点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角为θ()θ≤90°，试求cos θ的取值范围．【解析】(1)在梯形ABCD 中，因为AB∥CD，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，所以AB ＝2，2分所以AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos 60°＝3，所以AB 2＝AC 2＋BC 2，所以BC⊥AC.4分因为平面ACFE⊥平面ABCD ，平面ACFE∩平面ABCD ＝AC ， BC 平面ABCD ，所以BC⊥平面ACFE.6分(2)建立以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系如图所示， 令FM ＝λ(0≤λ≤3)，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，1，0)，M (λ，0，1)， 所以AB →＝(－3，1，0)，BM →＝(λ，－1，1)， 设n 1＝(x ，y ，z)为平面MAB 的一个法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BM →＝0，得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，λx －y ＋z ＝0，取x ＝1，所以n 1＝(1，3，3－λ)，9分因为n 2＝(1，0，0)是平面FCB 的一个法向量．所以cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝11＋3＋（3－λ）2×1＝1（λ－3）2＋4. 因为0≤λ≤3，所以当λ＝0时，cos θ有最小值77， 当λ＝3时，cos θ有最大值12.所以cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤77，12.12分19．(本题满分12分)如图，已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1的左、右顶点为A 1，A 2，上、下顶点为B 1，B 2，记四边形A 1B 1A 2B 2的内切圆为C 2.(1)求圆C 2的标准方程；(2)已知圆C 2的一条不与坐标轴平行的切线l 交椭圆C 1于P ，M 两点． (ⅰ)求证：OP⊥OM；(ⅱ)试探究1OP 2＋1OM2是否为定值．【解析】(1)因为A 2，B 1分别为椭圆C 1：x 24＋y 2＝1的右顶点和上顶点，则A 2，B 1坐标分别为(2，0)，(0，1)，可得直线A 2B 1的方程为：x ＋2y ＝2.2分则原点O 到直线A 2B 1的距离为d ＝21＋22＝25，则圆C 2的半径r ＝d ＝25， 故圆C 2的标准方程为x 2＋y 2＝45.4分(2)(i)可设切线l ：y ＝kx ＋b(k≠0)，P(x 1，y 1)，M(x 2，y 2)，将直线PM 方程代入椭圆C 1可得⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋k 2x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0，由韦达定理得：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2kb 14＋k 2，x 1x 2＝b 2－114＋k 2，则y 1y 2＝(kx 1＋b)(kx 2＋b)＝k 2x 1x 2＋kb(x 1＋x 2)＋b 2＝－k 2＋14b 214＋k 2，6分 又l 与圆C 2相切，可知原点O 到l 的距离d ＝|b|k 2＋12＝25，整理可得k 2＝54b 2－1，则y 1y 2＝1－b 214＋k 2，所以OP →·OM →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，故OP⊥OM.8分(ii)由OP⊥OM 知S △OPM ＝12||OP ||OM ，①当直线OP 的斜率不存在时，显然|OP|＝1，|OM|＝2，此时1OP 2＋1OM 2＝54；②当直线OP 的斜率存在时，设OP ：y ＝k 1x 代入椭圆方程可得x 24＋k 21x 2＝1，则x 2＝41＋4k 21，故OP 2＝x 2＋y 2＝(1＋k 21)x 2＝4（1＋k 21）1＋4k 21，10分 同理OM 2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 121＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 12＝4（k 21＋1）k 21＋4， 则1OP 2＋1OM 2＝1＋4k 214（1＋k 21）＋k 21＋44（1＋k 21）＝54. 综上可知：1OP 2＋1OM 2＝54为定值.12分20．(本题满分12分)中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2 000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人．这两年学习先修课程的学生都参(1)填写列联表，并画出列联表的等高条形图，并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？(2)的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率； ②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为ξ，求Eξ.参考公式：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.【解析】2分等高条形图如图：4分通过图形可判断学习先修课与优等生有关系，又K 2＝2 000（60×1 560－140×240）2300×1 700×200×1 800≈39.216>6.635，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.6分(2)①p＝20300×0.9＋55300×0.8＋105300×0.6＋70300×0.5＋50300×0.4＝0.6.8分②设获得某高校自主招生通过的人数为ξ，则ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎫150，35，P(x ＝k)＝C k 150⎝ ⎛⎭⎪⎫35k ⎝ ⎛⎭⎪⎫25150－k ，k ＝0，1，2，…，150，10分 所以Eξ＝150×35＝90.12分21．(本题满分12分)设函数f(x)＝x 22－aln x －12，a ∈R .(1)若函数f(x)在区间[]1，e (e ＝2.718 28…为自然对数的底数)上有唯一的零点，求实数a 的取值范围；(2)若在[1，e](e ＝2.718 28…为自然对数的底数)上存在一点x 0，使得f ()x 0<x 202－a ＋1x 0－x 0－12成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)f′(x)＝x －a x ＝x 2－ax，其中x∈[1，e]，①当a≤1时，f ′(x)≥0恒成立，f(x)单调递增，又∵f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意．②当a≥e 2时，f ′(x)≤0恒成立，f(x)单调递减，又∵f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意.3分③当1<a<e 2时，1≤x<a 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，又∵f(1)＝0，∴f(a)<f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，a]上有唯一的零点，当a <x≤e 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，∴当f(e)<0时符合题意，即e 22－a －12<0，∴a>e 2－12时，函数f(x)在区间[1，a]上有唯一的零点；∴a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a≤1或a>e 2－12.6分 (2)在[1，e]上存在一点x 0，使得f ()x 0<x 202－a ＋1x 0－x 0－12成立，等价于x 0＋1x 0－aln x 0＋a x 0<0在[1，e]上有解，即函数g(x)＝x ＋1x －aln x ＋ax在[]1，e 上的最小值小于零． g ′()x ＝1－1x 2－a x －a x 2＝x 2－ax －a －1x 2＝()x ＋1()x －a －1x2，8分 ①当a ＋1≥e 时，即a≥e －1时，g ()x 在[]1，e 上单调递减，所以g ()x 的最小值为g ()e ，由g ()e ＝e ＋1＋a e －a<0可得a>e 2＋1e －1，∵e 2＋1e －1>e －1，∴a>e 2＋1e －1；②当a ＋1≤1时，即a≤0时，g ()x 在[]1，e 上单调递增，所以g ()x 的最小值为g ()1，由g ()1＝1＋1＋a<0可得a<－2；10分③当1<a ＋1<e 时，即0<a<e －1时，可得g ()x 的最小值为g ()a ＋1，∵0<ln ()a ＋1<1，∴0<aln ()a ＋1<a ，g ()a ＋1＝a ＋1＋1a ＋1－aln ()a ＋1＋aa ＋1＝a ＋2－aln(a ＋1)>2，所以g ()1＋a <0不成立．综上所述：可得所求a 的取值范围是(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.12分(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l ：θ＝α(α∈[0, π), ρ∈R )与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求|OM|的最大值．【解析】(1)曲线C 的普通方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝22，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0.5分 (2)联立θ＝α和ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0，得ρ2＋2ρ(cos α－sin α)－2＝0，设A(ρ1, α)，B (ρ2, α)，则ρ1＋ρ2＝2(sin α－cos α)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4， 由|OM|＝|ρ1＋ρ22|，得|OM|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4≤2，当α＝3π4时，|OM|取最大值 2.10分23．(本题满分10分)选修4—5: 不等式选讲 已知函数f ()x ＝||x ＋a ＋||x －2.(1)当a ＝1时，求不等式f ()x ≥7的解集；(2)若f ()x ≤||x －4＋||x ＋2a 的解集包含[]0，2，求a 的取值范围． 【解析】(1)当a ＝1时， f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x<2，2x －1，x ≥2，当x≤－1时，由f ()x ≥7得－2x ＋1≥7，解得x≤－3；当－1<x<2时， f ()x ≥7无解；当x≥2时，由f ()x ≥7得2x －1≥7，解得x≥4， 所以f ()x ≥7的解集为(]－∞，－3∪[)4，＋∞.5分(2)f ()x ≤||x －4＋||x ＋2a 的解集包含[]0，2等价于||x ＋a －||x ＋2a ≤||x －4||－x －2在[]0，2上恒成立，当x∈[]0，2时，||x ＋a －||x ＋2a ≤||x －4||－x －2＝2等价于(||x ＋a －||x ＋2a )max ≤2恒成立，而||x ＋a －||x ＋2a ≤||（x ＋a ）－（x ＋2a ）＝||a ，∴||a ≤2，故满足条件的a 的取值范围是[]－2，2.10分。
【解析】湖南省师范大学附中2020届高三上学期11月月考数学(理)试题
湖南师大附中2020届高三月考试卷（一）数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R ，集合{}3{|02},|log (2)1A x x B x x =<<=+<，则()R A C B =I （ ） A. {|01}x x <„B. {|01}x x <<C. {|12}x x <„D.{|02}x x <<【答案】C 【分析】求出集合B 的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可． 【详解】B ＝{x |log 3（x +2）＜1}＝{x |0＜x +2＜3}＝{x |﹣2＜x ＜1}， 则∁R B ＝{x |x ≥1或x ≤﹣2}，A ∩（∁RB ）＝{x |1≤x ＜2}，故选：C ．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出不等式的等价条件是解决本题的关键． 2.命题“()**00,n N f n N ∃∈∈且()00f n n „”的否定形式是（ ）A. **,()n N f n N ∀∈∉且()f n n >B. **,()n N f n N ∀∈∉或()f n n >C. ()**00,n N f n N ∃∈∉且()00f n n >D. ()**00,n N f n N ∃∈∉或()00f n n >【答案】B 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃n 0∈N *，f （n 0）∈N *且f （n 0）≤n 0”的否定形式是：∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞n ．故选：B ．【点睛】本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3.设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪⎨⎪⎩……则z x y =+的取值范围是（ ） A. [3,0]- B. [3,2]-C. [0,2]D. [0,3]【答案】D 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．【详解】x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩的可行域如图：目标函数z ＝x +y ，经过可行域的A ，O 时，目标函数取得最值，由03260x x y =⎧⎨+-=⎩解得A （0，3），目标函数z ＝x +y 的最大值为：0+3=3，最小值为：0， 目标函数z ＝x +y 的取值范围：[0，3]． 故选：D ．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．4.设0.20.321,log 3,22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A. b c a >>B. a b c >>C. b a c >>D. a c b >>【答案】C 【分析】由题意利用所给的数所在的区间和指数函数的单调性比较大小即可.【详解】由题意可得：()0.210,12a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，2log 31b =>，()0.30.3120,12c -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭， 指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，故0.20.31122⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 综上可得：b a c >>. 故选：C.【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．5.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A.112B.114C.115D.118【答案】C分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有21045C =种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为31=4515，选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 6.函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到函数()y g x =的图象，并且函数()g x 在区间[,]63ππ上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，则实数ω的值为（ ）A74B.32C. 2D.54【答案】C由函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到[]1212g x sin x sin x πωπωω=-=-（）（）（），函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得3x π=时，()g x 取得最大值，即23122k πωππωπ⨯-=+（），k Z ∈，0ω>，当0k =时，解得2ω=，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出()g x ，根据函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可得3x π=时，()g x 取得最大值，求解可得实数ω的值.7.已知函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，则关于x 的不等式1(ln )(ln )2(1)f x f f x+<的解集为（ ） A. (0,)+∞ B. (0,)e C. 1(,)e eD. (1,)e【答案】C 【分析】根据题意，由函数的解+析式分析函数的奇偶性与单调性，据此分析可得f （lnx ）+f （ln1x）＜2f （1）⇒2f （lnx ）＜2f （1）⇒f （lnx ）＜f （1）⇒|lnx |＜1，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，函数f （x ）＝ln （1+|x |）211x -+，则f （﹣x ）＝ln （1+|x |）211x -=+f （x ），即函数f （x ）为偶函数， 在[0，+∞）上，f （x ）＝ln （1+x ）211x -+，则f （x ）在[0，+∞）上为增函数， f （lnx ）+f （ln1x）＜2f （1）⇒2f （lnx ）＜2f （1）⇒f （lnx ）＜f （1）， 即|lnx |＜1，解可得1e ＜x ＜e ，即不等式的解集为（1e，e ）；故选：C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析f （x ）的奇偶性与单调性，属于基础题．8.在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，3BAD π∠=，M 为DC 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若||||AB NB AM AN -=-u u u r u u u r u u u u r u u u r ，则AM AN ⋅=u u u u r u u u r（ ）A. 16B. 12C. 8D. 6【答案】D 【分析】根据条件及向量加减法的几何意义即可得出|AN u u u r |＝|MN u u u u r|，再根据向量的数量积公式计算即可【详解】由|AB NB -u u u r u u u r |＝|AM AN -u u u u r u u u r |，可得|AN u u u r |＝|NM u u u u r|， 取AM 的中点为O ，连接ON ，则ON ⊥AM ，又12AM AD AB =+u u u u r u u u r u u u r，所以AM u u u u r •21122AN AM ==u u u r u u u u r （12AD AB +u u u r u u u r ）212=（2214AD AB AD ++u u u r u u u r u u u r •AB u u u r ）12=（414+⨯16+2×412⨯）＝6，故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的几何表示，数量积的几何意义，运算求解能力，属于中档题9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（）A. 不存在B. 有且只有两条C. 有且只有三条D. 有无数条【答案】D【详解】在EF上任意取一点M，直线11A D与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点，如图所示，故选D．【方法点晴】本题主要考查了空间中点、线、面的位置关系，其中解答中涉及到立体几何中空间直线相交问题、空间几何体的结构特征、异面直线的概念等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中正确把握空间几何体的结构特征是解答的关键．10.如图，已知双曲线：22221x ya b-=的右顶点为为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点．若60PAQ ∠=︒且3OQ OP u u u r u u u r=，则双曲线的离心率为（ ）237 39 3【答案】B试题分析：确定△QAP 为等边三角形，设AQ=6R ，则OP=3R ，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．因为60PAQ ∠=︒且4OQ OP =u u u r u u u r，所以△QAP 为等边三角形，设AQ=2R ，则OP=R ，渐近线方程为0by x A a a =，（，），取PQ 的中点M ，则22ab AM a b-=+，由勾股定理可得()2222222226327 ab R R ab R a b a b --=∴=++（）（，（）（）①在△OQA 中，22222(6)(3)127 2632R R a R a R R +-=∴=⨯⨯，②结合222c a b =+，可得2135c e a =＝ 考点：双曲线的简单性质11.对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”： 3331373152{3{94{5171119L ，，,仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】B由题意可得3m 的“分裂数”为m 个连续奇数，设3m 的“分裂数”中第一个数为m a ，则由题意可得：3273422a a -=-==⨯，43137623a a -=-==⨯，…，12(1)m m a a m --=-，将以上2m -个式子叠加可得2(422)(2)(1)(2)2m m m a a m m +---==+-∴22(1)(2)1m a m m a m m =+-+=-+∴当9m =时，73m a =，即73是39的“分裂数”中第一个数 故选B12.设21(0),(){4cos 1(0),x x f x x x x π+≥=-<()1()g x kx x R =-∈，若函数()()y f x g x =-在[]2,3x ∈-内有4个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A. 11(22,)3 B. 1122,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. (23,4) D.(23,4⎤⎦【答案】B试题分析：当0x =时，显然有()()f x g x ≠，即0x =不是()()y f x g x =-的零点；当0x ≠时，()()y f x g x =-的零点个数即为方程()()f x g x =的根的个数，则由，即2(0){4cos (0)x x k x xx π+>=<，则()()y f x g x =-的零点个数为函数y k =与2(0){4cos (0)x x y x xx π+>=<的交点个数，作出这两个函数的图象，如图所示，由图知11223k <≤，故选B ．考点：1、函数的零点；2、函数的图象．【方法点睛】函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-有零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴有交点⇔方程()()0f x g x -=有根⇔函数()y f x =与()y g x =有交点．解答此类试题往往作出函数()y f x =与()y g x =的图象，利用数列结合的思想解答． 二、填空题，本大题共4小题，每题5分，共20分. 13.曲线cos y x x =+在点(0,1)处的切线方程为__________． 【答案】10x y -+= 【分析】由题可判断出点在曲线上，所以通过求导求出切线的斜率，把斜率和点代入点斜式方程即可． 【详解】∵点（0，1）在曲线上，又由题意，1sin y x '=-，∴斜率k ＝0101x y ==-='，∴所求方程为：10y x -=-，即y ＝x +1． 故答案为：10x y -+=．【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题．14.已知数列{}n a ，若24n a n kn =-++，且对于任意*n N ∈，都有1n n a a +<，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】(,3)-∞【分析】直接利用数列的通项公式和数列的单调性的应用求出结果．【详解】数列{a n }，若a n ═﹣n 2+kn +4，则a n +1═﹣（n +1）2+k （n +1）+4， 由a n +1＜a n ，整理得﹣（n +1）2+k （n +1）+4﹣（﹣n 2+kn +4）＜0， 化简得：k ＜2n +1，由于对于任意n ∈N *，都有a n +1＜a n 恒成立， 所以k ＜（2n +1）min ， 即当n ＝1时，k ＜3． 故答案为：(,3)-∞．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，数列的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.已知圆22:1O x y +=，圆22:()(3)1M x a y a -+-+=，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得60APB ∠=︒，则a 的取值范围是__________． 【答案】[0,3] 【分析】由题意求出OP 的距离，得到P 的轨迹，再由圆与圆的位置关系求得答案． 【详解】由题意易得1302APO APB ︒∠=∠=，||1||2sin sin 30OA OP APO ︒===∠， ∴点P 在以O 的圆心，2为半径的圆上，∴此圆与圆M 有公共点，21||21OM -+剟∴，即21||9OM 剟.2222||(3)269OM a a a a =+-=-+Q ，212699a a -+剟∴，即222680260a a a a ⎧-+⎨-⎩…„，解得03a 剟，a ∴的取值范围是[0,3] 故答案为：[0，3]．【点睛】本题主要考查直线和圆、圆与圆的位置关系的应用，利用数形结合将条件进行等价转化是解决本题的关键，是中档题16.已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，ABC ∆的面积为2，若cos (1cos )a B b A =+，则2cos sin b B C +的取值范围是__________．【答案】⎛ ⎝⎭ 【分析】由题意利用正弦定理求得sin （A ﹣B ）＝sinB ，可得A ＝2B 2π＜，再根据A B C π++=可得C的范围，结合面积公式将所求化为2sin sin C C +，利用sin 2C ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭求得范围． 【详解】由cos (1cos )a B b A =+可得，2A B =，又锐角ABC ∆中，A B C π++=，且0,,2A B C π<<，从而可得42C ππ<<，sin 2C ⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭.又由正弦定理sin sin a bA B =可得，sin 22sin cos sin a a b B B B B ==，sin 0B ≠，从而cos 2ab B =.因为ABC ∆的面积为2，所以112sin 2,22sin ab C ab C==，所以22cos sin sin sin 2sin ab b B C C C C ⎛+=+=+∈ ⎝⎭.故答案为：3,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角形内角和公式，二倍角公式的应用，考查了对勾函数最值范围的求法，属于中档题．三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）第17～21题为必考题.每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且三个内角A ，B ，C 依次成等差数列.（1）若2sin sin sin B A C =，求角A ；（2）若ABC ∆为钝角三角形，且a c >，求21sincos 2222C A A -的取值范围.【答案】(1) 3A π=(2) 1,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）由正弦定理可得b 2＝ac ，再由A ，B ，C 依次成等差数列求得3B π=，再由余弦定理求得a ＝c ，可得△ABC 为正三角形，得到结论.（2）要求的式子利用三角函数的恒等变换化为126sin A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据角A 的范围求出126sin A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围，即得所求． 【详解】,,A B C Q 依次成等差数列，2B A C B π=+=-∴，3B π∴=.（1）2sin sin sin B A C =Q ，2b ac ∴=. 又222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-Q ，22a c ac ac +-=∴，即2()0a c -=，a c ∴=ABC ∆∴为正三角形，3A π=.（2）211cos 1sin cos 222222C A A C A -+-=-121cos cos 234A A A A A π⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭11cos sin 4426A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. a c >Q ，223A ππ<<∴，25366A πππ<+<∴，1sin 262A π⎛⎫∴<+< ⎪⎝⎭，11sin 4264A π⎛⎫∴<+<⎪⎝⎭.故21sin cos 2222C A A -的取值范围是14⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，四边形ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，60DAB ∠=︒，2AD =，1AM =，E 为AB 的中点，P 为线段CM 上的一点.（1）求证：DE CN ⊥；（2）若二面角P DE C --的大小为30°，求CPCM的值. 【答案】(1)证明见解+析；(2) 313- 【分析】（1）连接DB ，由已知可得△ABD 为等边三角形，得到DE ⊥AB ，则DE ⊥DC ，再由ADNM 为矩形，得DN ⊥AD ，由面面垂直的性质可得DN ⊥平面ABCD ，得到DN ⊥DE ，由线面垂直的判断可得DE ⊥平面DCN ，进一步得到DE ⊥CN ；（2）由（1）知DN ⊥平面ABCD ，得到DN ⊥DE ，DN ⊥DC ，又DE ⊥DC ，以D 为坐标原点，DE 、DC 、DN 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设CP CM λ=u u u r u u u u r，λ∈[0，1]，分别求出平面PDE 与平面DEC 的一个法向量，由二面角P ﹣DE ﹣C 的大小为6π列式求得λ即可． 【详解】（1）连接DB .在菱形ABCD 中，AD AB =，60DAB ∠=︒，ABD ∴∆为等边三角形.又E Q 为AB 的中点，DE AB ⊥∴. 又//AB DC Q ，DE DC ⊥∴.Q 四边形ADNM 为矩形，DN AD ⊥∴.又Q 平面ADNM ⊥平面ABCD ， 平面ADNM I 平面ABCD AD =，DN ⊂平面ADNM ，DN ⊥∴平面ABCD .DE ⊂Q 平面ABCD ，DN DE ⊥∴.又,DE DC DC DN D ⊥=Q ∩DE ∴⊥平面DCN .CN ⊂∵平面DCN ， DE CN ⊥∴.（2）由（1）知DN ⊥平面ABCD ，,DE DC ⊂平面ABCD ，DE DC ⊥。
【2020年数学高考】湖南省师大附中2020届高三月考试卷(七)数学文.doc
湖南师大附中2020届高三月考试卷(七)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设集合A ＝{x |－3<x <π}，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，则A ∩B 的元素个数为(C) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】因为集合A ＝{x |－3<x <π}，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，所以集合A 中含有所有奇数，A ∩B ＝{－1，1，3}，A ∩B 的元素个数为3，故选C.(2)若复数z 满足(1－i)z ＝1＋3i ，则|z |＝(B)(A) 2 (B) 5 (C) 6 (D)10【解析】由(1－i)z ＝1＋3i ，则z ＝1＋3i 1－i ，|z |＝|1＋3i||1－i|＝102＝5，故选B.(3)为了检查某超市货架上的奶粉是否合格，要从编号依次为1到50的袋装奶粉抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是(D)(A)5，10，15，20，25 (B)2，4，8，16，32 (C)1，2，3，4，5 (D)7，17，27，37，47 【解析】从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，采用系统抽样间隔应为10，只有D 答案中的编号间隔为10，故选D.(4)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －1x ＋1<0，B ＝{x ||x －1|<a }，则“a ＝1”是“A ∩B ≠”的(A) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【解析】由题意得A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |1－a <x <a ＋1}．①当a ＝1时，B ＝{x |0<x <2}，则A ∩B ＝{x |0<x <1}≠成立，即充分性成立． ②若a ＝12，则A ∩B ＝{x |－1<x <1}∩{x |12<x <32}＝{x |12<x <1}≠故必要性不成立．综合得“a＝1”是“A ∩B ≠”的充分不必要条件，故选A.(5)已知动圆M 与圆C 1：()x ＋12＋y 2＝1外切，与圆C 2：()x －12＋y 2＝25内切，则动圆圆心M的轨迹方程是(A)(A)x 29＋y 28＝1 (B)x 28＋y 29＝1(C)x 29＋y 2＝1 (D)x 2＋y 29＝1 【解析】设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＝r ＋1，|MC 2|＝5－r ，∴|MC 1|＋|MC 2|＝6>|C 1C 2|，故圆M 的轨迹是以C 1(－1，0)，C 2(1，0)为焦点，长轴长为6的椭圆，其方程为x 29＋y 28＝1.(6)4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不小于22元，而6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不大于24元，则2枝玫瑰花和3枝茶花的价格之差的最大值是(B)(A)－1 (B)0 (C)1 (D)2【解析】设一枝玫瑰花与一枝茶花价格分别为x 元和y 元，则有⎩⎨⎧6x ＋3y ≤24，4x ＋5y ≥22，x ≥0，y ≥0令z ＝2x －3y ，如图作出可行域：当过点A (3，2)时，2x －3y 有最大值， z ＝0，故选B.(7)已知α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α21－tan 2α2＝32，且2sin β＝sin ()α＋β，则β的值为(A)(A)π6 (B)π4 (C)π3 (D)5π12【解析】∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α21－tan 2α2＝32＝12tan α，∴α＝π3，∴sin α＝32，cos α＝12；∵2sin β＝sin ()α＋β＝sin αcos β＋cos αsin β＝32cos β＋12sin β 化简可得∴tan β＝33，∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π6.故选A. (8)如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝(A)(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【解析】模拟执行程序框图，可得a ＝14，b ＝18， 满足条件a ≠b ，不满足条件a >b ，b ＝4， 满足条件a ≠b ，满足条件a >b ，a ＝10， 满足条件a ≠b ，满足条件a >b ，a ＝6， 满足条件a ≠b ，满足条件a >b ，a ＝2， 满足条件a ≠b ，不满足条件a >b ，b ＝2， 不满足条件a ≠b ，输出a 的值为2.故选A.(9)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1，2，…，10)，且a 1<a 2<…<a 10，若48a i ＝5M ，则i ＝(C)(A)4 (B)5 (C)6 (D)7【解析】由题意知，由细到粗每段的重量成等差数列，记为{}a n ，设公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＋a 2＝2，a 9＋a 10＝4，⎩⎨⎧2a 1＋d ＝2，2a 1＋17d ＝4，解得a 1＝1516，d ＝18，所以该金杖的总重量M ＝10×1516＋10×92×18＝15，∵48a i ＝5M ，∴48⎣⎡⎦⎤1516＋()i －1×18＝75，解得i ＝6，故选C. (10)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(A)(A)24π＋83 (B)24π＋163 (C)32π＋83 (D)32π＋243【解析】根据三视图可知，几何体是34个球与一个直三棱锥的组合体，球的半径为2，三棱锥底面是等腰直角三角形，面积为s ＝12×22×22＝4，高为2，所以三棱锥的体积V ＝13×4×2＝83，故组合体的体积V ＝34×43π×23＋83＝24π＋83，故选A.(11)已知函数f ()x ＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，且在区间[]0，π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是(D)(A)(]0，1 (B)⎝⎛⎦⎤0，34 (C)[)1，＋∞ (D)⎣⎡⎦⎤12，34 【解析】∵函数f ()x ＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω是函数含原点的递增区间．又∵函数在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上递增，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω⎣⎡⎦⎤－π2，2π3， ∴得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π22π3≤π2ω，得⎩⎪⎨⎪⎧ω≤1，ω≤34， 又∵ω＞0，∴0＜ω≤34， 又函数在区间[]0，π上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知ωx ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即函数在x ＝2k πω＋π2ω，k ∈Z 处取得最大值，可得0<π2ω≤π，∴ω≥12综上，可得ω∈⎣⎡⎦⎤12，34，故选D.(12)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，过P 作圆的切线P A 、PB ，切点为A 、B 使得∠BP A ＝π3，则椭圆C 1的离心率的取值范围是(A)(A)⎣⎡⎭⎫32，1 (B)⎣⎡⎦⎤22，32(C)⎣⎡⎭⎫22，1 (D)⎣⎡⎭⎫12，1 【解析】连接OA 、OB 、OP ，则∠APO ＝π6，sin 30°＝b |OP |，|OP |＝2b ，∵b <|OP |≤a 即2b ≤a ，e 2＝1－b 2a 2≥34，32≤e ，又0<e <1，即椭圆C 1的离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，1.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．(13)若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，|AB →|＝25，则OA →·OB →＝__0__．【解析】设OB →＝(x ，y )，由已知，x 2＋y 2＝10，代入|AB |＝（x －1）2＋（y ＋3）2＝25，得2x －6y ＝0，所以OA →·OB →＝x －3y ＝0.(14)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝r 2和两点A (－4，0)，B (4，0)．若圆C 上存在唯一点P ，使得∠APB ＝90°，则r ＝__1__．【解析】圆C 上存在点P 使∠APB ＝90°，即圆C 与以AB 为直径的圆外切，即r ＋4＝5，得r ＝1.(15)已知球O 内切于一底面直径和母线相等的圆锥，设圆锥的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2＝__94__． 【解析】设圆锥底面直径为2r ，则圆锥高为3r ，所以V 1＝13πr 2·3r ＝3πr 33；其内切球的半径为3r 3，所以V 2＝43π⎝⎛⎭⎫33r 3＝4×33πr 334＝43πr 333，∴V 1V 2＝94. (16)已知函数f (x )＝－x 3＋8x －4e x ＋4e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是__(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞__．【解析】因为f (－x )＝x 3－8x －4e －x ＋4e x ＝x 3－8x －4e x ＋4e x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．又因为f ′(x )＝－3x 2＋8－4e x －4e x ＝－3x 2＋8－⎝⎛⎭⎫4e x ＋4e x ≤－3x 2＋8－24e x ·4ex ＝－3x 2≤0，所以f (x )在R 上单调递减．又f (a －1)＋f (2a 2)≤0，即f (2a 2)≤－f (a －1)＝f (1－a )，即2a 2≥1－a ，解得a ≤－1或a ≥12，故a 的取值范围是(－∞，－1]∪[12，＋∞)． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)从高三年级所有女生中，随机抽取n 个，其体重(单位：公斤)的频率分布表如下：已知从n 个女生中随机抽取一个，抽到体重在[50，55)的女生的概率为419.(Ⅰ)求出n ，x 的值；(Ⅱ)用分层抽样的方法从体重在[40，45)和[55，60)的女生中共抽取5个，再从这5个女生中任取2个，求体重在[40，45)和[55，60)的女生中各有1个的概率．【解析】(Ⅰ)依题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧x n ＝419n ＝10＋50＋20＋x，从而得x ＝20，n ＝95.4分(Ⅱ)若采用分层抽样的方法从体重在[40，45)和[55，60)的女生中共抽取5个，则体重在[40，45)的个数为1010＋15×5＝2；记为x ，y ，5分在[55，60)的个数为1510＋15×5＝3；记为a ，b ，c ，6分从抽出的5个女生中，任取2个共有(x ，a )，(x ，b )，(x ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，(y ，a )，(y ，b )，(y ，c )，(x ，y )10种情况.8分其中符合体重在[40，45)和[55，60)的女生中各有1个的情况共有(x ，a )，(x ，b )，(x ，c )，(y ，a )，(y ，b )，(y ，c )6种.10分设事件A 表示“从这5个女生中任取2个，体重在[40，45)和[55，60)的女生中各有1个”，则P (A )＝610＝35.答：从这5个女生中任取2个，体重在[40，45)和[55，60)的女生中各有1个的概率为35.12分(18)(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项之和为S n ＝3n ＋12－32，数列{b n }满足b n ＝1（2n －1）log 3a 2n ＋1＋32n －1.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)求数列{b n }前n 项之和T n .【解析】(Ⅰ)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，1分 由S n ＝3n ＋12－32得S n －1＝3n 2－32(n ≥2)2分∴a n ＝S n －S n －1＝3n (n ≥2)4分又a 1也符合， ∴a n ＝3n (n ∈N ＋)5分(Ⅱ)b n ＝1（2n －1）log 332n ＋1＋32n －1＝1（2n －1）（2n ＋1）＋32n －1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＋32n －18分 T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＋(3＋33＋35＋…＋32n －1)＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＋3（1－9n ）1－9＝n2n ＋1＋32n ＋18－38.12分(19)(本小题满分12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥AB ，P A ⊥BC ，AB ⊥BC ，P A ＝AB ＝BC ＝2，D 为线段AC 的中点，将△CBD 折叠至△EBD ，使得ED 交PC 于PC 的中点F .(Ⅰ)求证：平面BDE ⊥平面P AC . (Ⅱ)求三棱锥E －PBC 的体积． 【解析】(Ⅰ)证明：在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥AB ，P A ⊥BC ，所以P A ⊥平面ABC ，∴平面P AC ⊥平面ABC ，∵AB ＝BC ，D 是AC 的中点，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面P AC .又BD 平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面P AC .5分(Ⅱ)∵V B －APEC ＝V E －PBC ＋V P －ABC ∴V E －PBC ＝V B －APEC －V P －ABC 7分 由已知，DE ∥AP∴S APCE ＝S APDE ＋S △EDC ＝12(2＋2)2＋12×2×2＝2＋29分V B －APCE ＝13S APCE ·BD ＝13(2＋2)2＝22＋2310分V P －ABC ＝13S △ABC ·P A ＝13×12×2×2×2＝4311分∴V E －PBC ＝V B －APCE －V P －ABC ＝22＋23－43＝22－23.12分(20)(本小题满分12分)如图，设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，长轴的右端点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点F 重合，且椭圆C 1的离心率是32. (Ⅰ)求椭圆C 1的标准方程；(Ⅱ)过F 作直线l 交抛物线C 2于A 、B 两点，过F 且与直线l 垂直的直线交椭圆C 1于另一点C ，求△ABC 面积的最小值，以及取到最小值时直线l 的方程．【解析】(Ⅰ)∵椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，长轴的右端点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点F 重合，∴a ＝2，又∵椭圆C 1的离心率是32.∴c ＝3b ＝1，∴椭圆C 1的标准方程：x 24＋y 2＝1.4分(Ⅱ)过点F (2，0)的直线l 的方程设为：x ＝my ＋2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)联立⎩⎨⎧x ＝my ＋2，y 2＝8x ，得y 2－8my －16＝0.y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－16，6分∴|AB |＝1＋m 2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝8(1＋m )2. 过F 且与直线l 垂直的直线设为：y ＝－m (x －2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m （x －2），x 24＋y 2＝1，得(1＋4m 2)x 2－16m 2x ＋16m 2－4＝0，x C ＋2＝16m 21＋4m 2x C ＝2（4m 2－1）4m 2＋1.8分∴|CF |＝1＋m 2|x C －x F |＝44m 2＋1·1＋m 2.△ABC 面积S ＝12|AB |·|CF |＝16（1＋m 2）4m 2＋1·1＋m 2.10分 令1＋m 2＝t ，则s ＝f (t )＝16t 34t 2－3，f ′(t )＝16（4t 4－9t 2）（4t 2－3）2，令f ′(t )＝0，则t 2＝94，即1＋m 2＝94时，△ABC 面积最小．即当m ＝±52时，△ABC 面积的最小值为9，此时直线l 的方程为：x ＝±52y ＋2.12分(21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x －x 2e x (x ＞0)，其中e 为自然对数的底数．(Ⅰ)当a ＝0时，判断函数y ＝f (x )极值点的个数；(Ⅱ)若函数有两个零点x 1，x 2(x 1＜x 2)，设t ＝x 2x 1，证明：x 1＋x 2随着t 的增大而增大．【解析】(Ⅰ)当a ＝0时，f (x )＝－x 2ex (x ＞0)，f ′(x )＝－2x ·e x －（－x 2）·e x （e x ）2＝x （x －2）e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2，当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，y ＝f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，y ＝f (x )单调递增，所以x ＝2是函数的一个极小值点，无极大值点， 即函数y ＝f (x )有一个极值点.4分(Ⅱ)证明：令f (x )＝a x －x 2e x ＝0，得x 32＝a e x ，因为函数有两个零点x 1，x 2(x 1＜x 2)，所以x 321＝a e x 1，x 322＝a e x 2，可得32ln x 1＝ln a ＋x 1，32ln x 2＝ln a ＋x 2.6分故x 2－x 1＝32ln x 2－32ln x 1＝32ln x 2x 1.又x 2x 1＝t ，则t ＞1，且⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝tx 1，x 2－x 1＝32ln t ， 解得x 1＝32ln t t －1，x 2＝32t ln t t －1.所以x 1＋x 2＝32·（t ＋1）ln tt －1. ①8分令h (x )＝（x ＋1）ln xx －1，x ∈(1，＋∞)，则h ′(x )＝－2ln x ＋x －1x（x －1）2.令u (x )＝－2ln x ＋x －1x ，得u ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2.10分当x ∈(1，＋∞)时，u ′(x )＞0.因此，u (x )在(1，＋∞)上单调递增，故对于任意的x ∈(1，＋∞)，u (x )＞u (1)＝0，由此可得h ′(x )＞0，故h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 因此，由①可得x 1＋x 2随着t 的增大而增大.12分请考生在第(22)～(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a 、b ∈M .(Ⅰ)证明：|13a ＋16b |＜14；(Ⅱ)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．【解析】(Ⅰ)记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎨⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x ≥1，由－2＜－2x －1＜0，解得－12＜x ＜12，则M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12.3分∵a 、b ∈M ，∴|a |<12，|b |<12所以⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14.5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得a 2＜14，b 2＜14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0，所以|1－4ab |2＞4|a －b |2，故|1－4ab |＞2|a －b |.10分(23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin 2θ)＝4，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(Ⅰ)求曲线C 1的直角坐标方程和C 2的普通方程；(Ⅱ)极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．【解析】(Ⅰ)∵曲线C 1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin 2θ)＝4，∴ρ2＋3ρ2sin 2θ＝4，∴曲线C 1的直角坐标方程C 1：x 24＋y 2＝1，∵曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．∴C 2的普通方程C 2：(x －2)2＋y 2＝4.5分(Ⅱ)∵A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2都在曲线C 1上，∴ρ21＝41＋3sin 2θ0，ρ22＝41＋3sin 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2，1ρ21＝1＋3sin 2θ04，1ρ22＝1＋3cos 2θ04∴1ρ21＋1ρ22＝1＋3sin 2θ04＋1＋3cos 2θ04＝54.10分。
湖南师大附中2020届高三第七次月考理科数学试卷(含答案)
C. (0,1)
D. (0,1]
2.复数 z(1-i)=i(i 为虚数单位),则 z 的共轭复数在复平面上对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.“搜索指数"是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大,表示
网民对该关键词的搜索次数越多,对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是 2018 年 9 月到 2019 年 2 月这半年
4.已知函数 f(x)=(x- 1)(ax+b)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则 f(3- x)<0 的解集为
A. (2,4)
B. (-∞,2)∪(4,+∞)
C. (-1,1)
D. (-∞,-1)∪(1,+∞)
5.等比数列的前 n 项,前 2n 项，前 3n 项的和分别为 A,B,C,则
A. A+B=C
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2020届湖南师范大学附属中学高三月考试卷(三)数学理科试题
（2）若水的年入流量 与其蕴含的能量 （单位：百亿万焦）之间的部分对应数据为如下表所示：
年入流量
6
8
10
12
14
蕴含的能量
1.5
2.5
3.5
5
7.5
用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ；（回归方程系数用分数表示）
（3）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 限制，并有如下关系：
故选： .
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球，将三棱锥补成三棱柱是解题的关键.
13．
【解析】
试题分析：
考点：二倍角公式
14．
【解析】
【分析】
设甲和乙到校的时刻分别为16时 分和16时 分，如图所示，根据几何概型公式计算得到答案.
【详解】
设甲和乙到校的时刻分别为16时 分和16时 分，如图所示： 可以看成平面直角坐标系中的点，
【详解】
利用向量垂直的充要条件有： ，∴ ，
则向量 在 方向上的投影为 ,故选B.
【点睛】
本题主要考查了向量垂直的应用，以及向量的投影的计算问题，其中熟记向量垂直的充要条件和向量的投影的计算公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
4．B
【解析】
【分析】
直接利用等比数列求和公式计算得到答案.
A．3B．2C．1D．0
8．若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（）
A．20B．90C．15D．45
【2020年数学高考】湖南省师大附中2020届高三月考试卷(七)数学理.doc
湖南师大附中2020届高三月考试卷(七)数 学(理科)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共10页．时量120分钟．满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知集合A ＝{}x |（x －1）2＋y 2＝1，x ∈R ，B ＝{}y |y ＝1－x 2，x ∈R ，则A ∩B ＝(B) (A)[]0，2 (B)[]0，1 (C)(－∞，0] (D)[1，＋∞) 【解析】A ＝[]0，2，B ＝(－∞，1]A ∩B ＝[]0，1.(2)已知复数z 满足(1－i)z ＝2i ，且z ＋ai(a ∈R )为实数，则a ＝(C) (A)1 (B)2 (C)－1 (D)－2【解析】由(1－i)z ＝2i ，解得z ＝－1＋i ，故z ＋ai ＝－1＋(a ＋1)i 为实数时，a ＝－1.(3)已知S n 为等差数列{}a n 的前n 项和，若a 7＝1，a 1－S 4＝9，则数列{}S n 中的最小项为(B) (A)S 1 (B)S 5，S 6 (C)S 4 (D)S 7【解析】令等差数列{}a n 的公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＋6d ＝1，a 1－4a 1－6d ＝9，解得a 1＝－5，d ＝1，有a n ＝n －6，S n ＝n （n －11）2，则当n ＝5或6时，S n 最小．(4)已知⎝⎛⎭⎫x －1x n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，记展开式中系数最大的项为第k项，则k ＝(A)(A)5 (B)4 (C)4或5 (D)5或6【解析】⎝⎛⎭⎫x －1x n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，∴n ＝2＋5＝7，第r ＋1项的系数为T r ＋1＝C r 7(－1)r，r ＝4时T r ＋1最大，故展开式中系数最大的项为第5项．(5)执行如右图所示的程序框图，若输入a ＝7，b ＝1，则输出S 的结果是(D) (A)16 (B)19 (C)34 (D)50【解析】第一次a ＝7，b ＝1，S ＝7， 第二次a ＝6，b ＝2，S ＝19，第三次a ＝5，b ＝3，S ＝34，第四次a ＝4，b ＝4，S ＝50后，程序结束．(6)从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任意取出两个数字作和，则使得和为偶数的概率值为(C)(A)13 (B)23 (C)49 (D)59【解析】p ＝C 24＋C 25C 29＝49. (7)为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象(C)(A)向左平移56π个长度单位 (B)向右平移56π个长度单位(C)向左平移512π个长度单位 (D)向右平移512π个长度单位【解析】∵y ＝sin 2x ＝f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2，∴f ⎝⎛⎭⎫x ＋512π＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (8)一个三棱锥的正视图和俯视图如右图所示，则该三棱锥的侧视图可能为(D)【解析】分析三视图可知，该几何体为如下图所示的三棱锥，其中平面ACD ⊥平面BCD.(9)已知A 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的左顶点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若存在实数λ使得GA →＝λPF 1→，则双曲线的离心率为(A)(A)3 (B)2 (C)4 (D)与λ的取值有关【解析】由题意，PG ＝2GO ，GA ∥PF 1，∴2OA ＝AF 1，∴2a ＝c －a ，∴c ＝3a ，∴e ＝3.(10)已知对任意的x ∈(0，＋∞)，函数f(x)满足：0<f(x)<xf′(x)<2f(x)，则f （2）f （1）的取值范围是(A)(A)(2，4) (B)(1，2) (C)(0，1) (D)(0，2)【解析】令g(x)＝f （x ）x (x ∈(0，＋∞))，则g′(x)＝xf′（x ）－f （x ）x 2>0，于是g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故有g(2)>g(1)，即f （2）2>f （1）1，也就是f （2）f （1）>2；再令h(x)＝f （x ）x 2(x ∈(0，＋∞))，则h′(x)＝xf′（x ）－2f （x ）x 3<0，于是h(x)在(0，＋∞)上单调递减，故有h(2)<h(1)，即f （2）22<f （1）1，也就是f （2）f （1）<4.(11)已知平面上四点A 、B 、C 、D 满足||DA →＝||DB→＝1，DA →·DB →＝0，DB →·DC →＝λ，DC →·DA →＝－1－λ2，其中λ∈[]－1，1，则△ABC 面积的最大值为(C)(A)32 (B)1 (C)2＋12 (D)3＋12【解析】由已知条件可建立直角坐标系如图所示， D(0，0)，A(1，0)，B(0，1)，令∠BDC ＝θ， 则∠ADC ＝270°－θ或90°－θ，有⎩⎨⎧λ2＝（DB →·DC →）2＝||DC →2cos 2θ，1－λ2＝（DC →·DA →）2＝||DC→2sin 2θ， 故有||DC →＝1，又因为DC →·DA →＝－1－λ2<0，故点C 在以D 为圆心，1为半径的左半圆上，从而，当点C 在优弧AB 上且该处圆的切线与AB 平行时，△ABC 面积取到最大值，此最大值为2＋12.(12)已知只有50项的数列{}a n 满足下列三个条件： ①a i ∈{}－1，0，1，i ＝1，2，…，50； ②a 1＋a 2＋…＋a 50＝9；③101≤(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2≤111.对所有满足上述条件的数列{}a n ，a 21＋a 22＋…＋a 250共有k 个两两不同的值，则k ＝(C) (A)10 (B)11 (C)6 (D)7【解析】设a 1，a 2，…，a 50中有s 项取值0，由条件(2)知，取值1的项数为50－s －92＋9，取值－1的项数为50－s －92，再由条件③得101≤s ＋4⎝⎛⎭⎫50－s －92＋9≤111，解得7≤s ≤17，又易知s 必为奇数，故s ＝7，9，11，13，15，17.它们对应6个不同的值a 21＋a 22＋…＋a 250＝50－s.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．(13)计算sin 20°cos 10°－cos 160°sin 370°＝__12__．(14)将1，2，3，4，5这五个数字任意排成一排即成一个五位数，若该五位数为偶数且2与3相邻，则这样的五位数的个数为__18__．【解析】第1类，个位数为2，有A 33＝6个；第2类，个位数为4，有A 22A 33＝12个．(15)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，则x 2＋2y 2的取值范围是__⎣⎡⎦⎤23，6__．【解析】作出可行域为以A(1，0)，B(2，1)，C(0，1)为顶点的△ABC 的边界及内部．对任意固定的y ∈[]0，1，下面分别求x 2＋2y 2的最小值与最大值：x 2＋2y 2≥(1－y)2＋2y 2＝3⎝⎛⎭⎫y －132＋23≥23，x 2＋2y 2≤(1＋y)2＋2y 2＝3y 2＋2y ＋1≤6.(16)若存在x 0∈(0，1)，使得(3－x 0)eax 0≥3＋x 0(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的取值范围是__⎝⎛⎭⎫23，＋∞__. 【解析】∵存在x 0∈(0，1)，使得(3－x 0)eax 0≥3＋x 0，即ax 0－ln(3＋x 0)＋ln(3－x 0)≥0. 令f(x)＝ax －ln(3＋x)＋ln(3－x)(x ∈(0，1))，由于f(0)＝0，f ′(x)＝a －69－x 2，69－x 2∈⎝⎛⎭⎫23，34， 若a ≤23，则f′(x)≤0，f(x)递减，有f(x)<f(0)＝0，不合题意；若a ≥34，则f′(x)≥0，f(x)递增，有f(x)>f(0)＝0，符合题意；若23<a<34，则存在t ∈(0，1)，使得f′(t)＝0，又f′(x)在(0，1)上单调递减，故存在x ∈(0，t)，使得f ′(x)>0，即f(x)在(0，t)上递增，有f(x)>f(0)＝0，符合题意．综上，a ∈⎝⎛⎭⎫23，＋∞. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且a n －2S n ＝1. (Ⅰ)求数列{}a n 的通项公式；(Ⅱ)设b n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n 2＋2n ＋1n （n ＋1）·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解析】(Ⅰ)a n －2S n ＝1中令n ＝1得a 1＝－1，由a n －2S n ＝1可得，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝a n ＋1－12－a n －12，整理得a n ＋1＝－a n ，所以{}a n 是首项为－1，公比为－1的等比数列，故a n ＝()－1n.(5分)(Ⅱ)由题意，b n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n 2＋2n ＋1n （n ＋1）·()－1n＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ·2n ＋1n （n ＋1） ＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ·⎣⎡⎦⎤1n ＋1（n ＋1）.当n 为偶数时，T n ＝()－1＋22－32＋42－…－（n －1）2＋n 2－⎝⎛⎭⎫11＋12＋⎝⎛⎭⎫12＋13－…－⎝⎛⎭⎫1n －1＋1n ＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋1＝()1＋2＋3＋…＋n －1＋1n ＋1＝n （n ＋1）2－n n ＋1；(9分)当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋b n ＝n （n －1）2－n －1n －n 2－⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋1＝－n （n ＋1）2－n ＋2n ＋1，综上所述，T n＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n ＋1）2－nn ＋1，n 为偶数，－n （n ＋1）2－n ＋2n ＋1，n 为奇数.(12分)(18)(本小题满分12分)如图(1)，在边长为2的正方形ABCD 中，E 是边AB 的中点．将△ADE 沿DE 折起，如图(2)，F 是折叠后AC 的中点．(Ⅰ)求证：BF ∥平面ADE ；(Ⅱ)若平面ADE ⊥平面BCDE ，求BF 与平面ABD 所成角的正弦值．【解析】(Ⅰ)取AD 中点G ，连结EG ，FG ，∵F 为AC 中点， ∴FG 綊12CD ，BE 綊12CD∴FG 綊BE ，从而四边形EBFG 是平行四边形．(3分) ∴BF ∥EG ，又BF 平面ADE ，EG 平面ADE ， ∴BF ∥平面ADE.(5分)(Ⅱ) 如图所示以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系，在图(1)中作AH ⊥DE 于H ，易求得EH ＝15，AH ＝25，作HN ⊥AE 于N ，HM ⊥BC 于M ，则HN ＝25，HM ＝65，所以A ⎝⎛⎭⎫25，65，25.(7分)而B(0，0，0)，D(2，2，0)，则BA →＝⎝⎛⎭⎫25，65，25，BD →＝(2，2，0)．设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0，n ·BD →＝0⎩⎪⎨⎪⎧25x ＋65y ＋25z ＝0，2x ＋2y ＝0，解得一个法向量为n ＝(－5，5，－2)．(9分)又C(2，0，0)，∴F ⎝⎛⎭⎫65，35，15，∴BF →＝⎝⎛⎭⎫65，35，15，∵cos 〈n ，BF →〉＝n ·BF →||n ·||BF→＝－3514.∴BF 与平面ABD 所成角的正弦值为3514.(12分)(19)(本小题满分12分)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次，在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分，没有投进得0分；如果前两次得分之和超过3分，即停止投篮，否则投三次，且假设所有人在A 处的命中率为14，在B 处的命中率为q ⎝⎛⎭⎫14<q<1.已知同学甲选择只在B 处投球．(Ⅰ)若q ＝35，求同学甲最终得分的分布列与期望；(Ⅱ)若同学乙选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，试判断甲、乙两位同学，哪位同学最终得分超过3分的概率更大一些？并说明理由．【解析】(Ⅰ)用X 表示同学甲投篮结束后所得的总分，则X 的可能取值为0，2，4，则P(X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫253＝8125，P(X ＝2)＝C 13×⎝⎛⎭⎫252×35＝36125，P(X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫352＋2×⎝⎛⎭⎫352×25＝81125，随机变量X数学期望为：E(X)＝0×8125＋2×36125＋4×81125＝396125.(6分)(Ⅱ)设在A 处投中为事件A ，在B 处投中为事件B ，则事件A 、B 相互独立，记同学甲最终得分超过3分为事件C ，则P(C)＝P(BB)＋P(B B －B)＋P(B －BB)＝q 2(3－2q)，记同学乙最终得分超过3分为事件D ，则P(D)＝P(AB)＋P(A －BB)＋P(A B －B)＝14q ＋34q 2＋14q(1－q)＝12q(1＋q)，而P(C)－P(D)＝－2q 3＋52q 2－12q ＝－12q(4q －1)(q －1)>0，故同学甲最终得分超过3分的概率更大一些．(12分) (20)(本小题满分12分)设x ，y ∈R ，向量i ，j 分别为平面直角坐标内x ，y 轴正方向上的单位向量，若向量a ＝(x ＋1)i ＋y j ，b ＝(x －1)i ＋y j ，且|a |＋|b |＝4.(Ⅰ)求点M(x ，y)的轨迹C 的方程；(Ⅱ)记轨迹C 与x 轴的左、右交点分别为A ，B ，点S 是C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝－4分别交于M ，N 两点，当线段MN 的长度最小时，在轨迹C 上是否存在点T 使得△TSA 的面积为14？若存在，确定点T 的个数；若不存在，说明理由．【解析】(Ⅰ)∵a ＝(x ＋1)i ＋y j ，b ＝(x －1)i ＋y j ，且|a |＋|b |＝4.∴（x ＋1）2＋y 2＋（x －1）2＋y 2＝4，即点M(x ，y)到两个定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)的距离之和为4.(2分) ∴ 点M 的轨迹C 是以F 1、F 2为焦点的椭圆，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，则：a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3，故所求轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(Ⅱ)易知A ，B 的坐标为A(－2，0)，B(2，0)，直线AS 的斜率k 显然存在，且k>0, 故可设直线AS 的方程为y ＝k(x ＋2)，从而M(－4，－2k)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，设S(x 1，y 1)，则(－2)x 1＝16k 2－123＋4k 2，得x 1＝6－8k 23＋4k 2，从而y 1＝12k 3＋4k 2，即S ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 2，12k 3＋4k 2. 又B(2，0)，故直线BS 的方程为y ＝－34k(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－34k （x －2），x ＝－4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝92k，所以N ⎝⎛⎭⎫－4，92k . 故||MN ＝⎪⎪⎪⎪－2k －92k ＝2k ＋92k ≥22k·92k＝6， 当且仅当2k ＝92k 时，即k ＝32时等号成立，所以k ＝32时，线段MN 的长度取最小值6.(8分)此时直线AS 的方程为3x －2y ＋6＝0，S ⎝⎛⎭⎫－1，32， 所以||AS ＝132，要使△TSA 的面积为14，只需点T 到直线AS 的距离等于1313，所以点T 在平行于AS 且与AS 距离等于1313的直线l′上，①当t ＝7时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 4＋y 3＝1，3x －2y ＋7＝0得12x 2＋42x ＋37＝0，由于Δ＝－12<0，故直线l′与椭圆C 无交点； ②当t ＝5时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，3x －2y ＋5＝0得12x 2＋30x ＋13＝0，由于Δ＝276>0，故直线l′与椭圆C 有两个交点， 综上所求点T 的个数是2个．(12分) (21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a ＋sin xe x，a ∈R ，e 为自然对数的底数．(Ⅰ)若函数f(x)存在单调递增区间，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)若a ＝0，试讨论方程f(x)＝cos x x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上解的个数；(Ⅲ)证明：对任意的a ≥0，x ∈[]－1，1，恒有e 1－3x >2f ′(x)成立．【解析】(Ⅰ)由已知得f′(x)＝cos x －a －sin xe x，因为函数f(x)存在单调递增区间，所以f′(x)>0有解． 即cos x －a －sin x>0有解，所以a<()cos x －sin x max，又cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，所以a< 2.(4分)(Ⅱ)由题意，只需讨论g(x)＝e x cos x －xsin x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上的零点个数，而g′(x)＝e x cos x －e x sin x －sin x －xcos x ＝e x (cos x －sin x)－(sin x ＋xcos x)，因为x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以cos x －sin x ≤0，sin x ＋xcos x>0，所以g′(x)<0，故g(x)在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递减，而g ⎝⎛⎭⎫π4＝22⎝⎛⎭⎫e π4－π4，令h(x)＝e x －x －1，则h′(x)＝e x －1，由h′(x)<0得x<0，所以h(x)在(－∞，0)单调递减，由h′(x)>0得x>0，所以h(x)在(0，＋∞)单调递增，故h(x)≥h(0)＝0，从而e x ≥x＋1>x.于是g ⎝⎛⎭⎫π4＝22⎝⎛⎭⎫e π4－π4>0， 而g ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2<0，且函数g(x)的图象在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是连续不断的，因此，函数g(x)在⎣⎡⎦⎤π4，π2上有且只有一个零点．(8分)(Ⅲ)由于f′(x)＝cos x －a －sin x ex，即证：e 1－2x ＋2sin x －2cos x ＋2a>0对a ≥0，x ∈[]－1，1成立， 只需证：e 1－2x ＋22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4>0对x ∈[]－1，1恒成立，由(Ⅱ)可知，e x ≥x ＋1，所以有：e 1－2x ≥2－2x(当且仅当x ＝12时取等) ①只需证：2－2x ＋22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≥0对x ∈[]－1，1恒成立，令函数φ(x)＝2－2x ＋22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈[]－1，1，则φ′(x)＝－2＋22cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝22⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－22， 当x ∈[]0，1时，x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，1－π4，φ′(x)≥0，即φ(x)在[]0，1上是增函数，当x ∈[)－1，0时，x －π4∈⎣⎡⎭⎫－1－π4，－π4，φ′(x)<0，即φ(x)在x ∈[)－1，0上是减函数，所以，在[]－1，1上，φ()x ≥φ()0＝0，所以φ()x ≥0.所以2－2x ＋22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≥0(当且仅当x ＝0时取等) ②因为①②不能同时取等号，所以：e 1－2x ＋22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4>0对x ∈[]－1，1恒成立，所以对任意的a ≥0，x ∈[]－1，1，恒有e 1－3x >2f ′(x)成立．(12分)请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋acos β，y ＝asin β(a>0，β为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32.(Ⅰ)若曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为1，求实数a 的值；(Ⅱ)若A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求△OAB 的周长的最大值．【解析】(Ⅰ)曲线C 是以()a ，0为圆心，以a 为半径的圆； 直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.(2分)若曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为1，则有||a －32＝a ＋1，解得：a ＝13.故所求实数a 的值为13.(5分)(Ⅱ)由题意，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2acos θ，θ∈⎣⎡⎭⎫－π2，π2，设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则：||OA ＝||2acos θ，||OB ＝⎪⎪⎪⎪2acos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，由正弦定理得：||AB sin π3＝2a ，所以||AB ＝3a ，所以△ABO 的周长为C △ABO ＝||OA ＋||OB ＋||AB ＝a ⎣⎡⎦⎤3＋2||cos θ＋2⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，而cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋cos θ＝－32sin θ＋32cos θ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3≤3，所以当θ＝－π6时，cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋cos θ取得最大值 3.所以△OAB 的周长的最大值为33a.(10分) (23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f(x)＝|2x －1|，x ∈R . (Ⅰ)解不等式f(x)＋f(x ＋1)≤2；(Ⅱ)已知不等式f(x)≤f(x ＋2)－||x －a 的解集为M ，若⎝⎛⎭⎫12，1M ，求实数a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)原不等式等价于||2x －1＋||2x ＋1≤2，而||2x －1＋||2x ＋1≥2当且仅当()2x －1(2x ＋1)≤0时取等，即－12≤x ≤12，故不等式的解集为⎣⎡⎦⎤－12，12.(5分) (Ⅱ)因为⎝⎛⎭⎫12，1M ，则当x ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，f(x)≤f(x ＋2)－||x －a 恒成立， 等价于||2x －1－||2x ＋3＋||x －a ≤0在x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立，即||x －a ≤4在x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立，即x －4≤a ≤x ＋4在x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立， 所以()x －4max ≤a ≤()x ＋4min，故所求a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－3，92. (10分)。
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绝密★启用前
湖南师大附中2020届高三第七次月考
(理科)数学试卷
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分,在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A={y|2,},{|1}x
y x B x y x =∈==-R ,则A∩B= A. {1}
B. (0, +∞)
C. (0,1)
D. (0,1]
2.复数z(1-i)=i(i 为虚数单位),则z 的共轭复数在复平面上对应的点位于 A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.“搜索指数"是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大,表示网民对该关键词的搜索次数越多,对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2018年9月到2019年2月这半年中,某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图,下列结论正确的是
A.这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B.这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C.从网民对该关键词的搜索指数来看,2018年10月份的方差小于11月份的方差
D.从网民对该关键词的搜索指数来看,2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值 4.已知函数f(x)=(x- 1)(ax+b)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则f(3- x)<0的解集为 A. (2,4)
B. (-∞,2)∪(4,+∞)
C. (-1,1)
D. (-∞,-1)∪(1,+∞)
5.等比数列的前n 项,前2n 项，前3n 项的和分别为A,B,C,则 A. A+B=C
2.B B AC =
2.()C A B C B +-=
22.()D A B A B C +=+
6.将函数
()2sin(2)3
f x x π
=+图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再将所得图象向左
平移
12
π
个单位得到函数g(x)的图象,在g(x)图象的所有对称轴中,离原点最近的对称轴方程为 .24
A x π
=-
.4
B x π
=
5.24
C x π=
.12
D x π
=
7.如图正方体1,AC 点M 为线段1BB 的中点,现用一个过点M,C,D 的平面去截正方体,得到上下两部分,用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的左视图为
8.如图,在圆O 中,AB,CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA,OB,OC,OD 为直径作四个圆,在圆O 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是
1
.
A π
1.
2B π
11
.
42C π
-
11.
2D π
- 9.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>与函数0)y x x =≥的图象交于点P,若函数y x =P
处的切线过双曲线左焦点F(-4,0),则双曲线的离心率是
174A +
173
B +
172
.
C +
171
D +10.设锐角△ABC 的三个内角A,B,C 所对边的边长分别为a,b,c,且a=2,B=2A,则b 的取值范围为
.(22,3)A
.(22,4)B
.(2,3)C
D. (0,4)
11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,在对角线1A D 上取点M,在1CD 上取点N,使得线段MN 平行于对角面11,A ACC 则线段MN 长的最小值为
.2
B.1
2.
C
3.
D 12.已知函数f(x)是定义在R 上的可导函数,对于任意的实数x,都有2()
()
x f x e f x -=，当x<0时,()'()0,f x f x +>若(21)(1)a
e f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是
2.[0,]3
A
2.[,0]3
B -
C. [0,+∞)
D. (-∞,0]
第II 卷
二、填空题:本大题共4小题，每小题分,共20分.
2513.(12)x x +-展开式中的6x 的系数为____
14.现将6张连号的门票分给甲、乙等六人，每人1张,且甲、乙分得的电影票连号,则共有____种不同的分法(用数字作答).
15.考虑函数x
y e =与函数y=ln x 的图象关系,计算:
2
1
ln xdx =⎰
____
16.已知f(n)表示正整数n 的所有因数中最大的奇数,例如: 12的因数有1,2,3,4,6, 12,则f(12)=3;21的因数有1,3,7,21,则f(21)=21,那么
10050
51
1
()()i i f i f i ==-∑∑=____.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分. 17. (本小题满分12分)
△ABC 中,a,b,c 分别是内角A,B,C 所对的边，且满足2sin().4
a b C π
=+
(1)求角B;
(2)求2sin sin A C -的取值范围.
18. (本小题满分12分)
如图,四边形ABCD 与BDEF 均为菱形,FA= =FC,∠DAB=∠DBF= 60°.
(1)求证:AC ⊥平面BDEF;
(2)求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值.
19. (本小题满分12 分)
已知抛物线2
16,y x =过抛物线焦点F 的直线l 分别交抛物线与圆2
2
(4)16x y -+=于A,C,D,B(自上而下顺次)四点.
(1)求证:|AC|·| BD| 为定值;
(2)求|AB|·|AF|的最小值.
20. (本小题满分12分)
某保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品,每年每位职工只要交少量保费,发生意外后可一次性获得若干赔偿金,保险公司把企业的所有岗位共分为A,B,C三类工种,从事这三类工种的人数分别为12000,6000,2000,由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表(并以此估计赔付概率):
已知A,B,C三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元,保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元.
(1)求公司在该业务所获利润的期望值;
(2)现有如下两个方案供企业选择:
方案1:企业不与保险公司合作,职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元;
方案2:企业与保险公司合作,企业负责职工保费的70%，个人负责保费的30%,后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.
请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.
21. (本小题满分12分)
已知函数f(x)=|x-a|- ln x(a>0).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)比较
222
222
ln2ln3ln
23
n
n
+++
L与
(1)(21)
2(1)
n n
n
-+
+
的大小()
n
+
∈N且n>2),并证明你的结论.
(二)选考题:共10分.请考生在22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线C 的参数方程为sin x a
y α
⎧=⎪⎨
=⎪⎩(α是参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系,直线l 的极坐标方程为sin()4
π
ρθ
-= (1)求直线l 与曲线C 的普通方程,并求出直线l 的倾斜角;
(2)记直线l 与y 轴的交点为Q,M 是曲线C 上的动点,求点M,Q 的最大距离.
23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)= |2x-4|+|x+1|,x ∈R . (1)解不等式f(x)≤9;
(2)若方程2
()f x x a =-+在区间[0,2]有解,求实数a 的取值范围.。