两参数线性规划问题的解法
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。
通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。
例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
高中数学线性规划解题技巧
高中数学线性规划解题技巧在高中数学中，线性规划是一个重要的内容，也是考试中常见的题型。
线性规划是一种优化问题，通过建立数学模型，找出使目标函数达到最优值的变量取值。
在解题过程中，我们需要掌握一些技巧和方法，下面就来具体介绍一下。
一、确定变量和目标函数在解线性规划问题时，首先要明确变量和目标函数。
变量是我们要求解的未知数，而目标函数则是我们要优化的目标。
例如，假设我们要求解一个生产问题，生产两种产品A和B，我们可以将A的产量表示为x，B的产量表示为y，目标函数可以是总利润或总成本。
二、列出约束条件约束条件是限制变量取值范围的条件，也是我们解题的关键。
要列出准确的约束条件，需要仔细分析题目并进行逻辑推理。
约束条件可以是生产能力、资源限制、市场需求等各种限制条件。
例如，假设某工厂生产产品A和B，A的生产需要2个单位的资源1和3个单位的资源2，B的生产需要4个单位的资源1和1个单位的资源2。
工厂拥有资源1的总量为10个单位，资源2的总量为12个单位。
那么我们可以得到以下约束条件：2x + 4y ≤ 103x + y ≤ 12三、确定可行域可行域是指满足所有约束条件的变量取值范围。
在解线性规划问题时，我们需要确定可行域的范围，以便找到最优解。
为了确定可行域，我们可以将约束条件转化为不等式，并将其绘制在坐标系中。
通过求解这些不等式的交集，我们可以确定可行域的范围。
以前面的例子为例，我们可以将约束条件绘制在坐标系中，得到以下图形：[图1]根据图中的交集部分，我们可以确定可行域的范围。
四、确定最优解确定最优解是线性规划的核心问题。
我们需要找到使目标函数达到最大或最小值的变量取值。
在确定最优解时，有两种常用的方法：图形法和单纯形法。
图形法通过绘制等高线图来找到最优解，而单纯形法通过迭代计算来逐步逼近最优解。
以目标函数为总利润的例子为例，我们可以通过图形法找到最优解。
在可行域中，我们需要找到使总利润最大化的点。
通过绘制等高线图，我们可以找到目标函数的等高线与可行域的交点，从而确定最优解。
线性规划问题的两种求解方式
线性规划问题的两种求解⽅式线性规划问题的两种求解⽅式线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应⽤⼴泛、⽅法较成熟的⼀个重要分⽀，它是辅助⼈们进⾏科学管理的⼀种数学⽅法。
线性规划所研究的是：在⼀定条件下，合理安排⼈⼒物⼒等资源，使经济效果达到最好。
⼀般地，求线性⽬标函数在线性约束条件下的最⼤值或最⼩值的问题，统称为线性规划问题。
解决线性规划问题常⽤的⽅法是图解法和单纯性法，⽽图解法简单⽅便，但只适⽤于⼆维的线性规划问题，单纯性法的优点是可以适⽤于所有的线性规划问题，缺点是单纯形法中涉及⼤量不同的算法，为了针对不同的线性规划问题，计算量⼤，复杂繁琐。
在这个计算机⾼速发展的阶段，利⽤Excel建⽴电⼦表格模型，并利⽤它提供的“规划求解”⼯具，能轻松快捷地求解线性模型的解。
⽆论利⽤哪种⽅法进⾏求解线性规划问题，⾸先都需要对线性规划问题建⽴数学模型，确定⽬标函数和相应的约束条件，进⽽进⾏求解。
从实际问题中建⽴数学模型⼀般有以下三个步骤；1、根据所求⽬标的影响因素找到决策变量；2、由决策变量和所求⽬标的函数关系确定⽬标函数；3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满⾜的约束条件。
以下是分别利⽤单纯形法和Excel表格中的“规划求解”两种⽅法对例题进⾏求解的过程。
例题：某⼯⼚在计划期内要安排⽣产I、II两种产品，已知⽣产单位产品所需的设备台时分别为1台时、2台时，所需原材料A分别为4单位、0单位，所需原材料B分别为0单位、4单位，⼯⼚中设备运转最多台时为8台时，原材料A、B的总量分别为16单位、12单位。
每⽣产出I、II产品所获得的利润为2和3，问I、II两种产品的⽣产数量的哪种组合能使总利润最⼤？这是⼀个典型的产品组合问题，现将问题中的有关数据列表1-1如下：表1-1I II 限量设备 1 2 8台时原材料A 4 0 16单位原材料B 0 4 12单位所获利润 2 3⾸先对例题建⽴数学模型。
问题的决策变量有两个：产品I的⽣产数量和产品II的⽣产数量；⽬标是总利润最⼤；需满⾜的条件是：(1)两种产品使⽤设备的台时<= 台时限量值(2) ⽣产两种产品使⽤原材料A、B的数量<= 限量值(3)产品I、II的⽣产数量均>=0。
线性规划常见题型及解法例析
品有直接限 制 因 素 的 是 资 金 和 劳 动 力,通 过 调 查,得
到这两种产品的有关数据如表 ２．
资金
成本
劳动力(工资)
单位利润
单位产品所需资金/百元
月资金供应
电子琴(架) 洗衣机(台)
量/百元
３０
２０
６
８
５
１０
３００
１１０
试问:怎 样 确 定 这 两 种 产 品 的 月 供 应 量,才 能 使
故选:
B．
思路与方法:本 题 运 用 数 形 结 合 思 想,采 用 了 图
组作 出 可 行 域,如 图 ３ 所 示 ．
由
图 ３ 可 知,△ABC 的 面 积 即 为
所求 ．
易得
S梯 形OMBC ＝
１
×(
２＋３)×２＝５,
２
图３
１
S梯 形OMAC ＝ × (
１＋３)×２＝４．
２
所以 S△ABC ＝S梯 形OMBC －S梯 形OMAC ＝５－４＝１．
思路与方法:本 题 中 的 可 行 域 是 三 角 形,而 这 个
不规则的三角形面积很 难 直 接 求 解,于 是 将 它 看 作 梯
解法求最值,先 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 可 行 域,然
形 OMBC 的一部 分,利 用 梯 形 OMBC 与 梯 形 OMAC
后平行移动直线 z＝３x＋４y 即可求出最大值 ．
ï
,
且当
b≥０
b为
íy≥０, 时,恒有ax＋by≤１,求以a,
ï
îx＋y≤１
坐标的点 P (
a,
b)所构成的平面区域的面积 ．
解析:设 z＝ax ＋by,根 据 题 意 可 知,想 要 ax ＋
线性规划问题的图解法
20 40
.
即B点坐标为20 ，40，代入目标函数可得最优值Smax 50 20 30 40 2 200 .
线性规划问题的图解法
例2
解
1. 求可行域（如图7 - 2所示）
（1）建立直角坐标系Ox1x2 . （2）满足条件 x1 x2 2 的所有点均落在直线 x2 2 x1 的右下半平面内； （3）满足条件 x1 x2 2 的所有点均落在直线 x2 2 x1 的右上半平面内. 由约束条件可知，无界区域ABCD是其可行域 .
3 截距最大的点即为最优解，其对应的S值就是最优值 .因此，我们可以把过原点且斜率 5的直
3 线作为参照直线，然后在可行域里进行平移，直到找到最优解 .
显然，斜率为 5的直线在可行域里平移时过B点的纵截距最大，求B点的坐标，联立 3
方程
x2 x2
Hale Waihona Puke 80 2x1 40，解得
x1 x2
图7-2
线性规划问题的图解法
2. 求最优解 把目标函数 S x1 2x2 中的S看作参数，当S 0时，目标函数S x1 2x2是一条过原点 的直线，在坐标系内画出这样的直线（用虚线表示），然后再将该直线向可行域内平移 . 在平移
时，7-2中B点是满足该约束条件的S最小值，其坐标为2 ，0，于是得到该线性规划问题的最
于是从约束条件知，由l1 ，l2 ，l3以及x1轴围成的区域 ABCD是该线性规划问题的可行域，如图7-1所示 .
图7-1
线性规划问题的图解法
2.求最优解 可行域的点满足约束条件，但并非使得目标函数 max S 50x1 30x2 取得最大值的解， 且该目标函数对应的图象也是一条直线，其斜率为 5，可行域里能使该直线与y轴的纵
线性规划问题的四种求解方法
2x +3y ≥160 ∴ 3x -y ≥130
x ≥0 y ≥0 成本 c =400 +7x +5y
令 7x +5y =λ(2 x +3y )+μ(3x -y)(λ、
μ是待定系数)
作出以上不等式组所表示的平面区域 , 即 可行域 .可行域为一五边形 , 五个顶点对应的 z 值如下表
(x , y) (0, 0)(4, 0)(4, 2)(2, 3)(0 , 3) z = 200x +300y 0 800 1400 1300 900
乙地
5
9
6
10x +20y ≤130
则 4000 x +1000y ≤24000
x ≥0 y ≥0 x +2y ≤13
即 4x +y ≤24 x ≥0 ,y ≥0 总年利润 z =12x +18y
作出以上不等式组所表示的平面区域 , 即
可行域 .由 z =12x +18y 得y =-23 x +1z8 , 则
美元 .但政府核准的外汇是 130 万美元 , 并要求 该种产品分别为 200 吨 、450 吨和 400 吨 .每吨
总维护费不得超过人民币 24000 元 .问每种机 运费如下表(单位 :元):
器应购买多少台时 , 才能使工厂获得的年利润 最大 ?
解 :设购买第一种机 器
A
B
C
甲地
6
3
5
x 台 , 购买第二种机器 y上点 C 成本如下表 :
时 , 等值线的值最小 .z 有最小值 5650 元 , 此时 x =0 、y =300 , 故甲地产品运往 B 地 ;乙地产 品运往 A 、B 、C 三地分别为 200 吨 、150 吨 、400
求解线性规划的方法
求解线性规划的方法线性规划（Linear Programming）是一种优化问题的数学模型，用于求解一组线性约束下的最优解。
线性规划具有广泛的应用领域，如供应链管理、生产计划、金融投资等。
在进行线性规划求解时，需要确定目标函数、约束条件以及变量的取值范围等。
下面将介绍几种常见的线性规划求解方法。
1. 图形法（Graphical Method）：图形法是一种直观、直接的线性规划求解方法。
该方法适用于只有两个变量的问题。
首先，将线性约束条件绘制在平面坐标系上，然后通过计算目标函数在可行区域内的变化趋势，找到使目标函数取得最优值的点。
2. 单纯形法（Simplex Method）：单纯形法是一种基于表格计算的线性规划求解方法，适用于多个变量的问题。
该方法通过逐步优化当前解，直到找到使目标函数取得最优值的解。
单纯形法的关键是构造单纯形表，并通过基变量的选择和对偶单纯形法进行转化来找到最优解。
3. 对偶理论（Duality Theory）：对偶理论是一种将原线性规划问题转化为对偶问题的求解方法。
通过对原问题的约束条件取负号并引入对偶变量，得到对偶问题。
对偶问题的解可以反映原问题的下界，从而为求解原问题提供了一种相对简化的方法。
4. 整数规划（Integer Programming）：整数规划是一种在线性规划的基础上对决策变量引入整数限制条件的求解方法。
整数规划在实际应用中具有较高的难度，可以通过分支定界法、割平面法等方法进行求解。
5. 内点法（Interior Point Method）：内点法是一种通过迭代的方式逼近最优解的线性规划求解方法。
该方法通过在可行区域的内部搜索最优解，避免了传统单纯形法需要遍历整个可行区域的缺点，具有较高的计算效率。
以上是常见的线性规划求解方法，不同的方法有各自的特点和适用范围。
在实际应用中，根据具体的问题性质和规模选择适合的求解方法，可以提高求解效率并得到较好的结果。
此外，还有一些高级的求解算法和软件工具可供选择，如整数规划的分支定界算法、割平面法等。
双变量线性规划问题的图解法
图解法简介
01
图解法是一种通过图形表示和直观观察来解决双变量线性规划 问题的方法。
02
该方法利用平面直角坐标系，将约束条件和目标函数表示为直
线或平面区域，从而直观地找出最优解。
图解法具有直观、易理解的特点，特别适用于包含两个决策变
03
量的线性规划问题。
图解法在双变量线性规划问题中的应用价值
直观性
图解法通过绘制约束条件和目标 函数的图形，使决策者能够直观 地了解问题的可行域和最优解的 位置，有助于加深对问题的理解。
易于操作
相比于其他方法，图解法在操作 上相对简单，只需要掌握基本的 绘图技巧即可，不需要复杂的数 学计算，降低了求解难度。
适用性广
图解法不仅适用于标准形式的线 性规划问题，对于非标准形式的 问题也可以通过变换转化为标准 形式进行求解，拓宽了其应用范 围。
目标函数在可行域上的最优解一定在可行域的边界上达到。
通过比较目标函数在可行域边界上的函数值，找到使目标函数取得最大值或最小值的点，即为最优解 。
04
图解法实例分析
实例一：生产计划问题
问题描述
变量设置
约束条件
目标函数
图解法求解
某工厂生产A、B两种产 品，每种产品都需要消 耗一定的资源和时间， 且产品的售价和成本已 知。工厂需要确定生产A 、B两种产品的数量，以 最大化总利润。
双变量线性规划问题的图 解法
• 引言 • 双变量线性规划问题建模 • 图解法求解步骤 • 图解法实例分析 • 图解法优缺点及适用场景 • 总结与展望
01
引言
线性规划问题概述
线性规划问题是一类优化问题，旨在在一组线性约束条件下最大化或最小化一个线 性目标函数。
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两参数线性规划问题是一类常见的数学规划问题，通常表示为:
有两个变量x和y，求解以下线性规划问题:
max z = ax + by
s.t.
c1x + d1y ≤b1
c2x + d2y ≤b2
...
cnx + dny ≤bn
x, y ≥0
其中，a、b、c1、d1、...、cn、dn和b1、b2、...、bn均为常数。
两参数线性规划问题的解法通常采用解析法和数值法两种方法。
解析法:
解析法是指用数学方法直接求解最优解的方法。
常用的解析法有单纯形法、图解法等。
单纯形法是一种常用的解析法，它通过构造单纯形来求解线性规划问题。
图解法是一种简单易懂的解析法，它通过绘制线性规划模型的图象来求解问题。
数值法:
数值法是指通过计算机程序或其他数学工具来近似求解线性规划问题的方法。
常用的数值法有随机化算法、贪心算法、遗传算法等。
随机化算法是指利用随机数来求解线性规划问题的方法。
常用的随机化算法有随机化单纯形法、随机化贪心算法等。
贪心算法是一种解决线性规划问题的有效算法，它的基本思想是每一步都选择最优的解决方案。
遗传算法是一种基于自然进化规律的算法，它通过模拟自然界中物种进化的过程来求解线性规划问题。
总的来说，两参数线性规划问题可以采用解析法和数值法两种方法来求解。
在选择求解方法时，应根据实际情况和需求的精度来决定使用哪种方法。
如果需要精确求解最优解，可以使用解析法，如果只需要大致估算最优解，则可以使用数值法。
此外，在求解两参数线性规划问题时，还需要注意以下几点:
确定目标函数: 目标函数是线性规划问题的核心，通常表示为max z = ax + by或min z = ax + by，其中z是目标函数值，a和b是系数。
确定约束条件: 约束条件是线性规划问题的基本要求，表示为c1x + d1y ≤b1、c2x + d2y ≤b2、...、cnx + dny ≤bn，其中c1、d1、...、cn、dn和b1、b2、...、bn均为常数。
确定变量的取值范围: 变量的取值范围是线性规划问题的基本要求，通常表示为x, y ≥0。
在这里，x和y是两个变量，0表示非负数，即变量的取值范围为非负数。
求解最优解: 最优解是指能够使目标函数达到最大值或最小值的解。
在求解两参数线性规划问题时，需要通过解析法或数值法来求解最优解。
判定最优解的可行性: 最优解的可行性是指最优解是否满足约束条件和变量的取值范围。
在求解两参数线性规划问题时，应该先判定最优解的可行性，再决定是否采用该解。
判定最优解的唯一性: 最优解的唯一性是指最优解是否唯一。
在求解两参数线性规划问题时，可能会出现多个最优解，因此需要判定最优解的唯一性。
如果最优解不唯一，则需要根据具体情况选择最优解。
确定决策方案: 决策方案是指根据最优解来决定如何实施的具体方案。
在求解两参数线性规划问题时，需要根据最优解确定决策方案，并确保决策方案能够得到有效实施。