运筹学-第3版-课件-线性规划航空模型
基于网络流的飞行员人力资源规划模型飞行员人力资源规划是航空公司人力资源部门的主要任务之一，同时也是保障公司航班正常运行和提高利润的重要因素之一。
需要航空公司建立科学的人力资源规划，有步骤地针对航班任务的短期乃至长期需求对飞行员进行合理安排，保证各个岗位对人员的需求能够得到恰当的满足。
如果任何一个岗位人员储备不够充分，其填补需要花费较长的周期，这样会在一个时期内造成飞行员人手紧张，对机组排班调度带来巨大压力，甚至直接影响航班的正常运行。
反过来说，若在各个岗位储备人员过多，虽然能够充分保证生产需求，但是却会造成成本的大量增加，也会影响公司的利润。
鉴于此，需要首先根据公司的发展远景、航班规模预测、飞行员月飞行小时数量标准、合理的人机比等因素确定未来飞行员的数量，进而根据与现有数量的差值，得出飞行员需求数量，然后有计划、有步骤地进行飞行员的培养和训练，使得在每一年度飞行员的数量能够满足公司航班的需求，同时保证成本的可行性。
本章主要研究如何建立人力资源流动规划，满足航空公司飞行员人力资源需求。
首先介绍航空公司人力资源管理的特点，以及人力资源规划的主要内容与目标。
然后根据该特点，基于网络流理论建立航空公司人力资源规划模型，并探讨了该模型的算法。
最后给出一个算例。
4.1 问题背景航空公司的人力资源问题要考虑以下方面：1、航空公司有737、747、767、777等多种机型执行飞行任务，同时每种机型又分为副驾驶、正驾驶、机长等不同级别的岗位。
一般而言，每位飞行员按照其技术水平担当某种机型某个岗位的工作，不能够同时跨机型跨岗位担任飞行任务。
2、与其他行业的专业技术职称晋升类似，飞行员可以在满足一定技术水平要求的基础上，通过相应的训练程序，按规定进行本机型内的岗位升级或转到其它机型的某种岗位上去。
这也是当某种机型的某个岗位发生人员需求时的主要解决方法。
3、一般而言，升级或者转机型要求飞行员在原岗位上有一定的飞行经历，因而一个飞行员不能连续两年都发生升级或者转机型的情况。
4、有些飞行员因年龄、身体等方面的原因在未来退出飞行工作。
5、航空公司每年可以采取从飞行学院招收毕业生、从其它航空公司调入等方式进行人员补充，我们统称为外部人力资源库。
但是按照规定，他们只能补充到规定的某几种机型的某几类岗位上。
6、根据规定，每位飞行员每年都要参加一定量的常规训练。
若进行升级、转机型等流动，还要参加针对性的训练。
除此之外，还有应急训练、特殊项目训练等多种训练内容。
而训练资源是有限的。
其中，用于训练新进飞行员的资源数量第二年不少于第一年。
7、为了保证飞行队伍的稳定性，一般采取的措施是尽量减少飞行员的岗位流动。
以上是在研究航空公司人力资源规划时需要考虑的实际背景。
假设航空公司已经制定了未来两年的飞机购入计划，因而可以根据生产任务、飞行员飞行时间限制规定、人机比等因素求得明、后两年各机型各岗位人员需求数量。
本章将主要讨论在训练资源有限的限定条件下，如何安排飞行员在各机型、各岗位的流动规划，以满足明、后两年的人员需求，同时使人员变动达到最小，以保证岗位的稳定性。
4.2 人力资源规划人力资源规划[45,95]又称人力资源计划，是指为实施企业的发展战略，完成企业的生产经营目标，根据企业内外部环境和条件的变化，运用科学的方法对企业人力资源的需求和供给进行预测，制定相应的政策和措施，从而使企业人力资源供给和需求达到平衡，实现人力资源合理配置，有效激励员工的过程。
狭义的人力资源规划是指企业从战略规划和发展目标出发，根据其内外部环境的变化，预测企业未来发展对人力资源的需求，以及为满足这种需求所提供的人力资源的活动过程。
实质上它是企业各类人员需求的补充规划。
人力资源规划的总目标是：确保企业各类工作岗位在适当的时机，获得适当的人员，实现人力资源的最佳配置，最大限度地开发和利用人力资源潜力，有效地激励员工，保持智力资本竞争优势。
人力资源规划是人力资源部门所有活动的起点[1]。
当缺乏人力资源规划或者规划不足时，可能导致职位空缺或冗余，造成效率上的损失或者成本上的增加，企业的收益必将受损。
人力资源规划要考虑到为了实现组织目标所需要的人员数量、质量、结构等多维因素[44]。
数量方面，主要是探求现有的人力资源数量是否与企业机构的所需数量相匹配；质量方面，是指现有工作人员的受教育程度及所受的培训状况，关键是工作知识和工作能力的高低；结构方面，主要是研究企业机构人员搭配是否合理高效。
按照规划的用途与时间幅度，人力资源规划可以分为三个层次：1、战略层：一般是指5年或5年以上的长期规划，主要内容是根据企业的战略目标预测未来企业对人力资源的需求，估计远期企业内部人力资源状况，协调需求与供给。
2、战术层：2－5年规划，属于中期规划，其内容包括对企业现有员工的数量、素质情况的分析、需求数量的预测，通过内外部供给情况确定净需求量。
3、作业层：是短期的规划，包括人员审核、招聘、提升与调动、组织变革、培训与发展、工资与福利、劳动关系等操作的具体行动方案。
如图4.1所示。
图4.1 人力资源分类图其中研究对人力资源的需求主要考虑的因素包括生产需求、经济状况、技术水平、财务资源、企业营业额、企业成长、管理哲学与技巧等方面，研究对人力资源的供给主要考虑的因素包括人口变化、经济形势、政府政策、竞争、劳动力教育情况、劳动力流动性、失业比率等等。
企业要达到对人力资源需求与供给的平衡，可以针对人力资源短缺或冗余分别采用全职、兼职、返聘或者临时聘用、临时解雇、降职、退休等方法。
如图4.2所示。
图4.2 人力资源需求、供给与平衡图在本章中，将主要从战术层面讨论航空公司的人力资源规划问题。
对于航空公司多种机型多类岗位的人力资源的需求预测问题，在本文不作具体研究，假设是已知的。
本文主要研究如何建立人力资源流动规划，满足航空公司飞行员人力资源需求。
4.3 飞行员人力资源规划模型在第一章中阐述了目前人力资源规划常用的几种方法。
其中，德尔菲法与回归分析等方法的主要作用是进行人员供应与需求预测。
马尔可夫概率矩阵通过研究过去人力资源变动的规律，来推测未来人力变动的趋势，同时给出人员流动方案。
它要求转移概率是稳定的，不受任何外部因素的影响。
然而未来的人员需求随机性相当大，过去人力资源的变动规律未必能够与未来的人员需求相一致，其偏差会对飞行员人力结构造成巨大影响，导致人员紧张或富余。
控制论方法采用各类人员之间的转换比率，研究各类岗位的人员变动。
这种方法与马尔可夫概率矩阵类似，需要通过历史数据对该比率进行估计。
这同样会与未来需求之间产生差距。
而线性规划方法能较好的描述各岗位的人员数量以及人员流动。
本节将根据飞行员人员流动的特点进行针对性的研究。
根据上一节的描述可以看出，若将每一年各机型各岗位看作若干产地，将第二年各机型各岗位看作若干销地，将训练所使用的资源看作成本，那么飞行员人力资源规划问题在本质上是与运输问题类似的。
因而，可以采用网络流理论研究该问题。
由于本问题涉及3年的飞行员人力资源状况，显而易见，需要把每年的状况作为一个层次，进行分层研究。
这里有两种研究方法：其一是以每位飞行员为研究对象，研究其每年在机型岗位上的流动；其二是以各机型岗位为研究对象，研究其每年人员的流入流出数量。
前者比较形象地反映了飞行员的升级转机型路径，具体到每一位飞行员的实际状况；后者没有具体到每一位飞行员的状况，但是较好地反映了各机型岗位的供应与需求状态。
显然，在这里，后一种方法更加符合本问题的研究。
我们将三年的各机型岗位状况分别用顶点集表示，每个顶点表示某种机型某个岗位在某年的人员需求状况，另外，对于外部人力资源库以及未来不执行飞行任务的人员集合，同样用顶点表示。
网络中的弧表示从某个岗位向另一个岗位的人员流动，每条弧上定义一位飞行员发生该项流动而参加训练所使用的资源数量。
那么该网络的可行流即为人力资源规划问题的可行解。
我们的目标是在网络中求解人力资源规划问题的最优解。
如图4.3所示。
我们将目前、明年及后年各机型各岗位的状况分别用顶点集合V 、/V 、//V 表示。
不同的字母表示各种机型，字母的下标表示各类岗位，各年的情况用上标进行区分。
如果按照规定，两个岗位之间允许存在人员流动，则用一条弧e 从转出岗位指向转入岗位来表示；各弧的权表示分配给该流动的训练资源量。
如图4.3所示。
具体如下：{}s b a a V ,,,,,121 =：目前各机型各岗位的状况；其中：i x ：机型x 的岗位i ，如737机型的副驾驶岗位；i x M ：点i x 的赋值，表示该机型该岗位目前拥有的人数，该数值可由统计数据得出，是已知的；s ：公司今年的外部人力资源库；{}///1/2/1/,,,,,,s t b a a V =：明年各机型各岗位的状况。
其中：/j x ：机型x 的岗位j ；/jx N ：点/j x 的赋值，表示该机型该岗位明年的需求人数，如前所述，我们假设该数值可由预测方法给出；/t ：明年不执行飞行任务的人员集合（包括退休等情况）；/s ：公司明年的外部人力资源库；{}//////1//2//1//,,,,,,s t b a a V =：后年各机型各岗位的状况；其中：//j x ：机型x 的岗位j ；//jx L ：点//j x 的赋值，表示该机型该岗位后年的需求人数，如前所述，我们假设该数值可由预测方法给出；//t ：后年不执行飞行任务的人员集合（包括退休等情况）。
从目前向明年发生的人员流动表示如下：/ji y x e ：从V 中任意一点i x 到/V 中任意一点/j y 的弧，表示按照规定，可以从机型x 的岗位i 向机型y 的岗位j 进行人员流动；/ji y x f ：/ji y x e 上的流动数量，其上下限分别为/ji y x F ，0。
/ji y x e 分为以下几种情况：/ji x x e ：从V 中i x 到/V 中/j x 的弧，由于机型没有发生变化，岗位发生变化，因而表示升级的情况；/ji y x e ：从V 中i x 到/V 中/j y 的弧，由于机型发生变化，因而表示转机型的情况；/ii x x e ：从V 中i x 到/V 中/i x 的弧，表示机型岗位都没有发生变化，仍从事原工作的情况；/isx e ：从V 中s 到/V 中/i x 的弧，表示从外部人力资源库补充人员到机型x 的岗位i 的情况；/t x ie ：从V 中i x 到/V 中/t 的弧，表示机型x 的岗位i 的某些飞行员明年不执行飞行任务的情况。
相应的，有：ji x x ji x x ji x x /ji y x f ：/ji y x e 上的流动数量，其上下限分别为/ji y x F ，0；/ii x x f ：/ii x x e 上的流动数量，其上下限分别为/ii x x F ，0；/isx f ：/isx e 上的流动数量，其上下限分别为/isx F ，0；/t x iC ：/t x ie 上的流动数量，假设是公司已知的。
《运筹学线性规划》PPT课件
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7 x1 x2 x4 x5 x7 2 3x1 x2 2x4 2x5 5 x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
(1.4)
标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线 性规划问题都可以通过上述手段把非标准 型的线性规划问题化成标准型。现举例如 下：
例1－4 试将如下线性规划问题化成标准型
多样性给讨论问题带来了不便。为了便于今后讨论，我 们规定线性规划问题的标准型为：
max Z c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
a1nxn b1 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
x1, x2 , , xn 0
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排
生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的
设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件可
获利润见表所示：
I
II 资源总量
设备A(h)
0
3
15
设备B(h)
4
0
12
原材料(公斤)
2
2
14
利润(元)
2
3
问如何安排计划使该工厂获利最多？
解: 假设 x1、x2分别表示在计划期内生产
二、线性规划问题的图解法
对于简单的线性规划问题(只有两个决策变量的
线性规划问题)，我们可以通过图解法对它进行求解
运筹学线性规划基本性质及建模PPT课件
数 m，
XN 含
n-m 个 0
分量
第21页/共22页
感谢您的观看！
第22页/共22页
某厂拟生产甲乙两种适销产品，每件利润为3、5百元。甲 乙产品的部件各自在A、B两个车间分别生产，每件甲乙产品的部 件分别需要A、B车间的生产能力1、2工时；两种产品的部件最 后都要在C车间装配，装配每件甲乙产品分别需要3、4工时,A、 B、C三个车间每天可用于生产这两这种产品的工时分别为8、12、 36，应如何安排生产才能获利最多？
max z 3x1 5x2
x1 8
s.t.
2x2 3x1
12 4x2
36
x1 0, x2 0
其中max是英文maximize(最大化)的缩写；s.t.是subject to(受约束于)的 缩写。
第4页/共22页
1.2 线性规划的一般模型
（1）可用一些变量表示这类问题的待定方案，这 些变量的一组定值就代表一个具体方案。因此可将 这些变量称为决策变量，并要求它们为非负。 （2）存在一定的约束条件，这些约束条件都能用 关于决策变量的线性不等式或等式来表示。 （3）有一个期望达到的目标，这些目标能以某种 确定的数量指标刻画出来，而这种数量指标可表示 为关于决策变量的线性函数，按所考虑问题的不同， 要求该函数op值t 最z 大c1化x1 或 c最2 x小2 化。这cn x类n 问题(1就1)是线性 规划问题。一般LP模型可表示如下：
称 式
为 称
目 为
标 函
函 数
数 约
， 束
opt称 ；(1-
为其优化， 3)式中的
也z 可c称1x1为目c2标x2要求
称为非负性
；(c1n-x2n)
约束；
运筹学线性规划ppt课件
16
例3
化如下的线性规划问题模型
min z 3x1 2 x 2 x3 x1 2 x 2 3x3 2 2 x1 3x 2 2 x3 2 x 0, x 无约束, x 0 2 3 1
为标准形式。
(1 )变量 x1 是非正的，所以要将模型中的所有 x1 都用 x1 x1 0 代替，其中 x1
运筹学建模步骤:
识别问题
定义决策变量
建立约束条件
建立目标函数
6
2.2 线性规划模型的一般形式和标准形式
2.2.1 线性规划的一般模型
为了讨论一般的线性规划问题的求解。我们先给出线性规 划模型的一般形式如下： max( 或 min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn (或 ，或 )b1 a21x1 a22 x2 a2 n xn (或 ，或 )b2 s.t. a x a x a x (或 ，或 )b mn n m m 1 m2 2 x1 , x2 ,..., xn 0
(5)约束条件2是“”型的，因此需要在左边加上一个松弛变量
x5 使它化为等式： 2 x1 3x 2 2 x3 x5 2 也就是
3x2 3x2 2 x3 x5 2 2 x1
18
从而得到模型的标准形式为
2 x2 2 x2 x3 max z 3x1 2 x2 2 x 2 3x3 x 4 2 x1 3x2 3x2 2 x3 x5 2 2 x1 x , x , x , x , x , x 0 1 2 2 3 4 5
线性规划的数学模型PPT课件
第六年所掌握的资金最多。
解：设x1为第一年的投资; x2为 第一年的保留资金
x1+ x2 第二年： x3为=第10二0 年新的投资； x4：第二年的保 留资金；
2021年5月22日星期六
( x1 2
x3 )
x4
x2
第14页/共21页
第三年：x5为新的投资；x6：第三年的保留资金；
(
x3 2
x5 )
2021年5月22日星期六
第3页/共21页
线性规划的数学模型由
决策变量 Decision variables 目标函数Objective function 及约束条件Constraints
构成。称为三个要素。
怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是：
1．解决问题的目标函数是多个决策变量的
线性函数，通常是求最大值或 最小值；
x7
x j 0, j
2 x 8 2 x9 1,2,,9
0
用单纯形法解得：X＝（22.64，72.36，58.54，0， 26.02， 0，104.06，0，0）’。Z＝208.12。
2021年5月22日星期六
第16页/共21页
即：第一年投资22.64元; 第二年新投资58.54元; 第三年新投资26.02元; 第四年新投资104.06元; 第六年末有资金208.12万元。
第18页/共21页
为了书写方便，上式也可写成
n
max(min) Z c j x j j 1
n j 1
aij
x
j
(或
,)bix j 0 j 1,2,, ni 1,2,, m
在实际中一般xj≥0,但有时xj≤0或xj无符号限制。
2021年5月22日星期六
《运筹学》课件 第一章 线性规划
10
解：令
xi=
1， Si被选中
min z= ci xi i 1 10
0， Si没被选中
xi 5
i 1
x1 x8 1 x7 x8 1
称为技术系数
b= (b1,b2, …, bm) 称为资源系数
2、非标准型
标准型
（1）Min Z = CX
Max Z' = -CX
（2）约束条件
• “≤”型约束，加松弛变量；
松弛变量
例如： 9 x1 +4x2≤360
9 x1 +4x2+ x3=360
• “≥”型约束，减松弛变量；
例、将如下问题化为标准型
数据模型与决策 (运筹学）
课程教材：
吴育华,杜纲. 《管理科学基础》，天津大学出版社。
绪论
一、运筹学的产生与发展
运筹学（Operational Research) 直译为“运作研究”。
• 产生于二战时期 • 60年代，在工业、农业、社会等各领域得到广泛应用 • 在我国，50年代中期由钱学森等引入
Min z x1 2x2 3x3
x1 x2 x3 7
s.t
.
x1 x2 x3 3x1 x2 2
x3
2
5
x1, x2 , x3 0
解：令 Min z Max z' (z' z) ，第一个约束加松弛变量x5，
第二个约束减松弛变量x6，得标准型：
Max z' x1 2x2 +3x3
x1 x2 x3 x4 7
s.t .
x1 x2 3x1
x3 x2
x5 2 2x3 5
x1 , , x5 0
第01章 线性规划及单纯形法 《运筹学》PPT课件
(f)可行域为空集 无可行解
线性 规划 及单 纯形
法
❖ 线性规划问题及数学模型 ❖ 图解法 ❖ 单纯形法原理 ❖ 单纯形法计算步骤 ❖ 单纯形法进一步讨论 ❖ 数据包络分析 ❖ 其他应用例子
§3
单
纯
线性规划问题的解的概念 凸集及其顶点
形
几个基本定理
法
原
理
线性规划问题
n
max z c j x j j 1
j 1
标 准
s.t.
n j 1
pjxj
b
x
j
0
j 1,2,, n
型
a1 j
其中：
pj
a2
j
amj
把一般的LP化成标准型的过程称为 线性规划问题的标准化
方法：
1 目标标准化
标
min Z 等价于 max ( - Z )
准
max Z’=-∑cjxj 2 化约束为等式
化
加松弛变量、减剩余变量
广度和深度、方法和算法的完
善
特点：
模型方法的应用
运
多学科的综合
筹
系统的整体观念
学 优点：
模 符号语言、便于交流
型
事前分析、减少失误
抽象反映实际、突出共性
确定目标，明确约束 提出问题 抓主要矛盾、舍次要矛盾
运
筹
选择模型、设定变量 建立模型
描述约束和目标、确定参数
学
方
求解、优化 选择求解方法、求解问题
法
(1.1a) (1.1b)
(1.1c) (1.1d)
运用图解法，以求出最优生产计划 （最优解）。
由于线性规划模型中只有两个决策
2024版清华大学出版《运筹学》第三版完整版课件
要点三
金融服务与投资管理
在金融服务和投资管理中，存储论可用 于优化资金配置和投资组合，降低风险 和提高收益。例如，通过定期订货模型 的运用，可以制定合理的投资策略和资 产配置方案，实现资产的保值增值和风 险控制。
2024/1/28
31
07
排队论
2024/1/28
32
排队论的基本概念
2024/1/28
清华大学出版《运筹 学》第三版完整版课
件
2024/1/28
1
目录
2024/1/28
• 绪论 • 线性规划 • 整数规划 • 动态规划 • 图与网络分析 • 存储论 • 排队论
2
01
绪论
2024/1/28
3
运筹学的定义与发展
运筹学的定义
运筹学是一门应用数学学科，主要研究如何在有限资源下做出最优决策，以最 大化效益或最小化成本。
目标函数
表示决策变量的线性函数，需要最大化或最 小化。
约束条件
表示决策变量需要满足的线性等式或不等式。
2024/1/28
决策变量
表示问题的未知数，需要在满足约束条件的 情况下求解目标函数的最优值。
8
线性规划问题的图解法
01
可行域
表示所有满足约束条件的决策变量构成的集合。
2024/1/28
02
目标函数等值线
2024/1/28
34
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
到达间隔和服务时间均服从负指数分布的单服务台排队系 统。
M/D/1排பைடு நூலகம்系统
到达间隔服从负指数分布，服务时间服从确定型分布的单 服务台排队系统。
表格。
10
运筹学PPT 第二章 线性规划
2.9 2 1 1 1 0 0 0 0
2.1 0 2 1
1.5 1 0 1 余料 0.1 0.3 0.9
03 2 1 0 30 2 3 4 0 1.1 0.2 0.8 1.4
10 50
30
设 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8 分别为上述8种方案下料的原材料根数， 建立如下的LP模型：
min Z =x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8
X*
经求解交出 X * 的
二约束直线联立的方程
可解得 X* (2,02)4T 0
2020/5/4
a
40 50
x 100 1 26
由图解法的结果得到例1的最优解 X* (2,02)4T， 还可将其代入目标函数求得相应的最优目标值 z* 42。8说明当甲产量安排 20 个单位，乙产量 安排 24 个单位时，可获得最大的收入 428。
x x
1 1
5x2 10 x
200 2 300
40 30
x 1, x 2 0
各约束的公共部分即
模型的约束，称可行域。 0
2020/5/4
a
40 50
x 100 1 24
对于目标函数
zcxcx
11
nn
任给 z二不同的值，
便可做出相应的二
直线，用虚线表示。
（2）做目标的图形
x2
以例1为例，其目标为
2020/5/4
a
27
x2
练习：用图解法求解
下面的线性规划。
1.5
Minz 6 x 4 x
1
2
2 x1
管理运筹学线性规划ppt课件
x1 +x2 =300
D
x1
x1 ≥0, x2 ≥0
ห้องสมุดไป่ตู้
O
100 200 300 400
• 五边形ABCDO内(含边界)的任意一点2x1(x+1x，2 =x402)0都是满足所有
约束条件的一个解，称之可行解 。 z=0= 50x1 +100 x2
11
经济管理学院
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
第二节
线性规划的图解法
三 、解的可能性（续） • 无可行解：若约束条件相互矛盾，则可行域为空集
例如
maxZ= 3x1 +2 x2 -2x1 + x2 ≥2
2
经济管理学院
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
第一节
线性规划一般模型
一、线性规划问题的三个要素
•
▪ 决策问题待定的量值称为决策变量。 ▪ 决策变量的取值要求非负。
• 约束条件
第三节
线性规划的标准型
一 、标准型
• 线性规划问题的数学模型有各种不同的形式，如
▪ 目标函数有极大化和极小化； ▪ 约束条件有“≤”、“≥”和“＝”三种情况； ▪ 决策变量一般有非负性要求，有的则没有。
运筹学课件第1章 线性规划与单纯形法-第2节
构成最大的线性独立向量组，其对应的解恰为X， 所以根据定义它是基可行解。
定理2 线性规划问题的基可行解X对应于可行 D的顶点.
证：不失一般性,假设基可行解X的前m个分量为
正.故
m
Pjx j b j 1
〔1-8〕
现在分两步来讨论,分别用反证法.
(1) 若X不是基可行解, 则它一定不是可行域D的顶点
引理2 若K是有界凸集,则任何一点X∈K可 表示为K的顶点的凸组合.
• 本引理证明从略,用以下例子说明这引理. • 例5 设X是三角形中任意一点,X<1>,X<2>和X<3>是
三角形的三个顶点,试用三个顶点的坐标表示X<见 图1-8>
解 任选一顶点X<2>,做一条连线XX<2>；并延长交于 X<1>、X<3>连接线上一点X′.因X′是X<1>、X<3>连
• xi±μαi≥0,i=1,2,…,m • 即X<1>,X<2>是可行解.
• 这证明了X 不是可行域 D 的顶点.
<2> 若X不是可行域D的顶点,则它一定 不是基可行解
因为X不是可行域 D 的顶点,故在可行域D 中可找到不同的两点
X<1>=<x1<1>,x2<1>,…,xn<1>>T X<2>=<x1<2>,x2<2>,…,xn<2>>T 使 X=αX<1>+<1-α> X<2> , 0＜α＜1 设X是基可行解,对应向量组P1…Pm线性独