2021-2022学年福建省福州市鼓楼区延安中学高一(上)期中数学试卷(附详解)
2022-2023学年福建省福州市高一上册11月期中考试数学模拟试题(含解析)
2022-2023学年福建省福州市高一上册11月期中考试数学模拟试题（含解析）一、单选题1．已知,A B 均为实数集R 的子集，A B ⊆R ð，则A B =R ð（）A ．∅B ．A C ．BD ．R【答案】B【分析】由包含关系可确定B A ⊆R ð，由并集定义可得结果.【详解】A B ⊆R ð，B A ∴⊆R ð，A B A ∴=R ð.故选：B.2．下面各组函数中是同一函数的是（）A ．y y =B ．()f x x=与()0g x x =C ．221y xx =--与221y t t =--D ．y =y =【答案】C【分析】分别分析各个选项中函数的定义域，值域和对应关系，即可得出答案.【详解】A ．函数的定义域为{|0}x x ≤，y ==-两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；B ．函数的定义域为{|0}x x ≠，()1,01,0x f x x >⎧==⎨-<⎩，()()10g x x x ==≠两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；C ．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；D ．由1010x x +≥⎧⎨-≥⎩得11x x ≥-⎧⎨≥⎩得1x ≥，由()()110x x +-≥得1x ≥或1x ≤－，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；故选：C ．3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（）A ．若a ＜b ，则11a b>B ．若a ＞b ＞0，则11b ba a+<+C ．若a ＞b ，则22ac bc >D ．若22ac bc >，则a ＞b【答案】D【分析】举反例说明选项AC 错误；作差法说明选项B 错误；不等式性质说明选项D 正确.【详解】当0a b <<时，11a b<，选项A 错误；()1011b b a ba a a a +--=>++，所以11b b a a +>+，所以选项B 错误；0c =时，22ac bc =，所以选项C 错误；22ac bc >时，a b >，所以选项D 正确.故选：D4．已知函数()20360x x x f x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，，，若()()2f a f a =-，则2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭=（）A ．0B ．6C ．3D ．-3【答案】C【分析】分022，0，a a a ≤<≤>三种情况讨论，化简()()2f a f a =-，求出a 值可得答案.【详解】当()()02363，a f a f a a a ≤=-⇒+=，则相应方程无解；当02a <≤，()()2232f a f a a a a a =-⇒+=⇒=，则()132a f f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭；当()()()221222222，a f a f a a a a a a >=-⇒+=-+-⇒=<，则相应方程无解.综上：32a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选：C5．已知不等式20ax bx c ++≥解集为{}12A x x =≤≤，若不等式()()2112a x b x c ax ++-+≥解集为B ，则R B =ð（）A ．(][),23,∞∞-⋃+B ．()(),23,∞∞-⋃+C ．()2,3D ．[]2,3【答案】B【分析】由不等式20ax bx c ++≥解集为{}12A x x =≤≤可得3b ac a =-⎧⎨=⎩，从而求出{}23B x x =≤≤，再利用集合补集的定义求解即可.【详解】因为不等式20ax bx c ++≥解集为{}12A x x =≤≤，所以1231220ba b a cc a a a ⎧-=+⎪⎪=-⎧⎪=⨯⇒⎨⎨=⎩⎪<⎪⎪⎩，()()2112a x b x c ax ++-+≥化为()()213122a x a x a ax +--+≥，即()()()22556060230a x x x x x x +≥⇒+≤⇒---≤-，解得23x ≤≤，{}23B x x =≤≤，所以R B =ð()(),23,∞∞-⋃+，故选：B.6．将如图的“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线1:C y =x 轴以上部分包括与x 轴的交点）与2:C y =x 轴以下部分包括与x 轴的交点）构成，则2b ac -=（）A ．10-B ．10C ．2-D ．2【答案】B【分析】由已知，将坐标轴上的点代入函数解析式，列出关系式，解方程即可.【详解】由图知，1:C y =()4,0，2:C y =()4,0，()0,6-则，有006==⎨⎪=-⎪⎩解得，42a cb ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩所以，218810b ac -=-=故选：B.7．命题p :()()28,1143,1x ax x f x a x a x ⎧+--≤≤⎪=⎨-+-<-⎪⎩在(],1x ∈-∞为增函数，命题Q ：()242a x g x x -=-在()2+∞，单调减函数，则命题P 是命题Q （）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】计算命题P：aa <Q：a >a <.【详解】()()28,1143,1x ax x f x a x a x ⎧+--≤≤⎪=⎨-+-<-⎪⎩在(],1x ∈-∞为增函数，故1 240 4318aa a a a ⎧-≤-⎪⎪-+>⎨⎪--≤--⎪⎩，解得34a ≤<；()22242422a x a g x a x x --==+--在()2+∞，单调减函数，则2240a ->，解得aa <故命题P 是命题Q 充分不必要条件.故选：A8．设偶函数．．．()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且满足()20f =，对于任意()1212,0,,,x x x x ∈+∞≠都有()()222112210nn x f x x f x x x -<-（N n ∈）成立，（1）不等式()210f x x+>解集为13,,022∞⎛⎫⎛⎫+⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）不等式()210f x x+>解集为131,,222∞⎛⎫⎛⎫+⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）不等式()20220f x x>解集为()(),22,∞∞--⋃+（4）不等式()20220f x x >解集为()()2,00,2-⋃其中成立的是（）.A ．（1）与（3）B ．（1）与（4）C ．（2）与（3）D ．（2）与（4）【答案】A【分析】对于（1）（2）令0n =得()f x 的单调性，分0x >，0x <两种情况解决.对于（3）（4）构造函数()()2022,f x g x x =根据()()222112210nn x f x x f x x x -<-判断单调性，由()()()202202f x g x g x>⇒>求解即可.【详解】当0n =时，则()()()()22211212211200n n x f x x f x f x f x x x x x --<⇒>--，()y f x ∴=在()0,∞+上为增函数，偶函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，()y f x ∴=在(),0∞-上为减函数，当0x >时，则()()()2102102,f x f x f x+>⇒+>=1212,2x x ∴+>∴>，当0x <时，()()()2102102,f x f x f x+>⇒+<=-3212,02x x ∴+>-∴-<<∴（1）正确，（2）错误设()()2022,f x g x x=则()()()()()()()1220222022202220221221121220222022121212120f x f x g x g x x f x x f x x x x x x x x x x x ---==>---，()()2022f xg x x ∴=是偶函数，且在()0,∞+上为增函数，()20f =Q ∴不等式()()()202202f x g x g x >⇒>，2,2x x ∴>∴>或<2x -∴不等式()20220f x x >解集为()(),22,∞∞--⋃+，∴（3）正确，（4）错误，故选：A二、多选题9．下列说法正确的有（）A ．命题“2R,10x x x ∀∈++≤”的否定是“2,10x R x x ∃∉++>”B ．两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件C ．若()y f x =为R 上的奇函数，则()y xf x =为R 上的偶函数D ．若(121f x =+，则()2243f x x x =++，[)1x ∈+∞，【答案】BC【分析】根据全称命题的否定为特称命题可判断A ，根据必要不充分条件的定义可判断B ，根据奇偶性的定义可判断C ，根据换元法可求解D.【详解】命题“2R,10x x x ∀∈++≤”的否定是“2R,10x x x ∃∈++>”，故A 错误，两个三角形面积相等，不能得到两个三角形全等，但是两个三角形全等，那么他们的面积一定相等，所以两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件，故B 正确，若()y f x =为R 上的奇函数，则()()f x f x =--，所以()(),g x xf x =()()(),g x xf x xf x -=--=故()()g x g x =-，因此()y xf x =为R 上的偶函数，故C 正确，若(121f x =+，令()11t t +=≥，所以()()22211243f t t t t =-+=-+，故则()2243f x x x =-+，[)1x ∈+∞，，故D 错误，故选：BC10．下列说法正确的是（）A ．若幂函数的图象经过点1(,2)8，则解析式为13y x -=B ．若函数()45f x x -=，则()f x 在区间(,0)-∞上单调递减C ．幂函数y x α=()0α>始终经过点(0,0)和()1,1D ．若幂函数()()2223m f x m m x =--图象关于y 轴对称，则()()2253f a a f -+->【答案】ACD【分析】设出幂函数解析式，代入点的坐标即可判断A 项；根据幂指数α与0的关系以及函数的性质，可判断B 项；代入即可判断C 项；根据已知可求出()2f x x =，根据函数的奇偶性以及单调性，即可判断D 项.【详解】对于A 项，设幂函数解析式为y x α=，代入点1(,2)8，可得31228αα-⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以31α-=，解得13α=-，所以解析式为13y x -=，故A 项正确；对于B 项，由已知()45f x x -=为幂函数，且405-<，所以()f x 在区间(0,)+∞上单调递减.又()()()45f x x f x --=-=，所以()f x 为偶函数，根据偶函数的性质可得，()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，故B 项错误；对于C 项，因为0α>，所以00α=，11α=，故C 项正确；对于D 项，由已知可得，22231m m --=，解得1m =-或2m =.又幂函数图象关于y 轴对称，所以2m =，()2f x x =.所以有()()f x f x =，又()2f x x =在区间(0,)+∞上单调递增，且()2225144a a a -+=-+≥，所以()()()()22252543f a a f a a f f -+-≥-=+>，故D 项正确.故选：ACD.11．已知正数,x y 满足2x y +=，则下列选项正确的是（）A ．11x y+的最小值是4B ．11y x -+最小值为-1C ．22xy +的最小值是2D ．(1)x y +的最大值是94【答案】CD【分析】A 利用“1”代换求最值，B 因为2x y +=，所以2y x =-，且02x <<，代入11y x -+中化简构造基本不等式验证即可，C 先把式子变形，再运用基本不等式，D 先构造()+13x y +=，再运用基本不等式.【详解】A.因为正数,x y 满足2x y +=，即12x y+=所以11121x y x x y y ⎛⎫+⎛⎫+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11122222y x x y =+++≥+=，当且仅当22y xx y=，即1x y ==时等号成立，故选项A 不正确.B.因为2x y +=，所以2y x =-，且02x <<，所以111(2)2111y x x x x x -=--=+-+++()113311x x =++-≥-=-+，当且仅当111x x =+⇒+0x =或2x =-，不满足故取不到最小值1-，故B 选项不正确.C.()2222x y x y xy+=+-()()2222222x y x y x y ++⎛⎫≥+-== ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时等号成立，故选项C 正确.D.因为2x y +=，所以()+13x y +=，则()219124x y x y ++⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当312x y =+=时等号成立，故选项D 正确.故选：CD.12．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称[],ka kb 为()f x 的“k 倍跟随区间”；若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（）A ．若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间，则2b =B ．函数()11f x x=+存在跟随区间C ．若函数()f x m =-1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦D ．二次函数()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间”【答案】ACD【分析】A ，由已知可得函数在区间上单调递增，进而可以求解b 的值；B ，假设存在跟随区间，则根据跟随区间的条件求解a ，b 的值，结合函数图象进行判断；C ，先设跟随区间为[],a b ，则根据跟随区间满足的条件建立方程组，找出a ，b 的关系，然后统一变量表示出m ，列出关于m 的关系式，利用方程思想求解m 的取值范围，D ，若存在3倍跟随区间，则设定义域为[],a b ，值域为[]3,3a b ，由此建立方程组，再等价转化为一个方程有两个不相等的实数根，进而可以求解．【详解】选项A ：由已知可得函数()f x 在区间[1,]b 上单调递增，则有2()22,1f b b b b b =-+=>，解得2b =或1（舍)，所以2b =，A 正确；选项B ：若()11f x x=+存在跟随区间[],()a b a b <，又因为函数在单调区间(,0),(0,)-∞+∞上递减，图象如图示，则区间[],()a b a b <一定是函数的单调区间，即0a b <<或0a b <<,则有()()f a b f b a =⎧⎨=⎩，解得12a b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，此时,a b 异号，故函数()11f x x=+不存在跟随区间，B 不正确；选项C ：由已知函数可得：函数在定义域上单调递减，若存在跟随区间[],(1)a b a b -≤<，则有()()f a b f b a =⎧⎨=⎩，即b m a m ⎧=⎪⎨=⎪⎩两式作差得：a b -=，即(1(1)a b a b a b -=+-+=-，又1a b -≤<1=，得01≤，所以1m a a =+=+[]0,1t ∈，则2m t t =-，即20t t m --=在区间[]0,1上有两个不相等的实数根，只需：Δ1400m m =+>⎧⎨-≥⎩，解得104m -<≤，C 正确；选项D ：若函数存在3倍跟随区间，设定义域为[],a b ，值域为[]3,3a b ，当1a b <≤时，函数在定义域上单调递增，则a ，b 是方程2132x x x -+=的两个不相等的实数根，解得0x =或4-，故存在定义域为[]4,0-使得值域为[]12,0-，D 正确，故选：ACD.【点睛】关键点点睛：根据新的定义求解参数或者是判断函数是否符合新定义，考查学生的理解新知识运用新知识的能力，解答时要能根据新定义，灵活求解，综合性较强.三、填空题13．已知()21f x -的定义域为[]0,1，则()21f x -的定义域是__________.【答案】10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】本题考查抽象函数的定义域，()21f x -中21x -的范围即21x -的取值范围，就可以求得()21f x -的定义域.【详解】因为()21f x -的定义域为[]0,1，所以01x ≤≤，则2110x -≤-≤，即1210x -≤-≤，解得102x ≤≤，所以函数()21f x -的定义域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．已知命题“2000,230x ax ax ∃∈--≥R ”为假命题，则a 取值范围为_________【答案】(]3,0-【分析】根据题意将特称命题转化全称命题，然后分0a =和0a ≠两种情况求解即可【详解】因为命题“2000,230x ax ax ∃∈--≥R ”为假命题,则2,230x ax ax ∀∈--<R 为真命题,则当0a =时,30-<满足题意,当0a ≠时,则2Δ4120a a a <⎧⎨=+<⎩,则30a -<<，综上,a 的取值范围为(3,0]-.故答案为:(3,0]-.15．某种商品原以每件20元的价格销售，可以售出300件，据市场调查，商品的单价每提高2元，销售量就减少10件，若销售总收入不低于6000元，则定价范围是______【答案】[]2060，【分析】设提价后每件产品的定价为x 元，则销售总收入为20300102-⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭x x 元，根据题意列出不等式即可求解.【详解】设提价后每件产品的定价为x 元，则销售总收入为20300102-⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭x x 元，依题意有203001060002-⎛⎫-⨯≥ ⎪⎝⎭x x ，整理得28012000-+≤x x ，解得2060x ≤≤，所以定价范围为[]20,60.故答案为：[]20,60.16．设函数()22,0,0x x x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩，()g x 为定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()225g x x x =--，若()()2f g a ≤，则实数a 的取值范围是__________【答案】(],10,1⎡⎤-∞-⋃⎣⎦【分析】由()2f x ≤可求得2x ≥-，即若()()2f g a ≤，只需()2g a ≥-；根据奇偶性可求得()g x 解析式，分别在0a >、0a =和a<0的情况下，解不等式()2g a ≥-即可求得结果.【详解】当0x <时，由()22f x x x =+≤得：20x -≤<；当0x ≥时，由22x -≤得：0x ≥；则()2f x ≤的解集为[)2,-+∞；当0x >时，0x -<，()225g x x x ∴-=+-，又()g x 为R 上的奇函数，()()()2250g x g x x x x ∴=--=--+>，又()00g =，()2225,00,025,0x x x g x x x x x ⎧--+>⎪∴==⎨⎪--<⎩；当0a >时，由()2252g a a a =--+≥-得：01a <≤；当0a =时，()02g a =≥-成立；当a<0时，由()2252g a a a =--≥-得：1a ≤-；综上所述：实数a 的取值范围为(],10,1⎡⎤-∞-⋃⎣⎦.故答案为：(],10,1⎡⎤-∞-⋃⎣⎦.四、解答题17．已知集合143A x x ⎧⎫=∈<<⎨⎬⎩⎭N ，{}10B x ax =-≥．请从①A B B ⋃=，②A B A = ，③()R A B ⋂=∅ð这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）(1)当12a =时，求A B ⋂；(2)若______，求实数a 的取值范围．【答案】(1){}2,3A B ⋂=；(2)条件选择见解析，[)1,+∞.【分析】(1)取12a =化简B ，化简A ，再根据交集的定义求A B ⋂；(2)若选①，由A B B ⋃=可得A B ⊆，讨论a 的正负，由条件列不等式求a 的取值范围；若选②，讨论a 的正负，化简集合B ，结合条件A B A = 列不等式求a 的取值范围；若选③，讨论a 的正负，化简集合B ，结合条件()R A B ⋂=∅ð列不等式求a 的取值范围.【详解】（1）由题意得，{}141,2,33A x x ⎧⎫=∈<<=⎨⎬⎩⎭N ．当12a =时，{}11022B x x x x ⎧⎫=-≥=≥⎨⎬⎩⎭，∴{}2,3A B ⋂=；（2）选择①．∵A B B ⋃=，∴A B ⊆，当0a =时，B =∅，不满足A B ⊆，舍去；当0a >时，1B x x a ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，要使A B ⊆，则11a ≤，解得1a ≥；当a<0时，1B x x a ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，此时10a <，不满足A B ⊆，舍去．综上，实数a 的取值范围为[)1,+∞．选择②∵A B A = ，∴A B ⊆，当0a =时，B =∅，不满足A B ⊆，舍去；当0a >时，1B x x a ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，要使A B ⊆，则11a ≤，解得1a ≥；当0a <时，1B x x a ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，此时10a<，不满足A B ⊆，舍去．综上，实数a 的取值范围为[)1,+∞．选择③∵()R A B ⋂=∅ð，∴A B ⊆，当0a =时，B =∅，不满足A B ⊆，舍去；当0a >时，1B x x a ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，要使A B ⊆，则11a ≤，解得1a ≥；当a<0时，1B x x a ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，此时10a <，不满足A B ⊆，舍去．综上，实数a 的取值范围为[)1,+∞．18．设2213x M xx -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，(){}2880N x x a x a =+--≤，命题:p x M ∈，命题:q x N ∈.（1）当6a =-时，试判断命题p 是命题q 的什么条件；（2）求a 的取值范围，使命题p 是命题q 的一个必要但不充分条件.【答案】（1）命题p 是命题q 的必要不充分条件；（2）(),5-∞-.【分析】解分式不等式求得集合M ；（1）求出集合N 后，根据N M ≠⊂可确定结果；（2）分别在8a ->、8a -=和8a -<三种情况下，根据必要不充分条件所要求的集合的包含关系可求得结果.【详解】由2213x x ->+得：2251033x x x x ---=>++，即()()530x x -+>，解得：3x <-或5x >，{3M x x ∴=<-或}5x >；(){}()(){}288080N x x a x a x x a x =+--≤=+-≤，（1）当6a =-时，()(){}{}68068N x x x x x =--≤=≤≤，N M ≠⊂ ，p q ∴¿，q p ⇒，∴命题p 是命题q 的必要不充分条件.（2）当8a ->，即8a <-时，{}8N x x a =≤≤-，此时N M ≠⊂，满足条件；当8a -=，即8a =-时，{}8N =，此时N M ≠⊂，满足条件；当8a -<，即8a >-时，{}8x a x -≤≤，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，则5a ->，即85a -<<-；综上所述：a 的取值范围为(),5-∞-.【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断、根据必要不充分条件求解参数范围的问题；关键是能够通过集合的包含关系来确定推出关系.19．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+．现已画出函数()f x 在y轴左侧的图象如图所示，(1)请画出函数()f x 在y 轴右侧的图象，并写出函数()f x 在R 上的单调减区间；(2)写出函数()f x ，x ∈R 的解析式；(3)若函数()()22g x f x ax =-+，]2[1x ∈，，求函数()g x 的最大值()h a 的解析式．【答案】(1)作图见解析，单调递减区间是(),1-∞-，()1,+∞；(2)f （x ）＝222,02,0x x x x x x ⎧+≤⎨-+>⎩(3)()232,023,1024,1a a h a a a a a a -≥⎧⎪=-+-≤<⎨⎪-<-⎩【分析】（1）根据奇函数的图象性质补充图象，观察图象写出函数()f x 的单调递减区间；（2）根据奇函数性质先求出0x >时函数()f x 的解析式，从而可得()f x 的解析式；（3）由（2），结合二次函数在闭区间上最值的求解方法即可得答案.【详解】（1）因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在()0,∞+上的图象与其在(),0∞-上的图象关于原点对称，由此可得图象如图所示，单调减区间是(),1-∞-，()1,+∞；（2）因为函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-．因为当0x ≤时，()22f x x x =+，所以当0x >时，0x -<，()()()()2222x f x f x x x x ⎡⎤--=--+-=-⎦+⎣＝，所以()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩；（3）因为函数()()]1,2[22,g x f x ax x =-+∈，所以()()2221[2,,2]g x x a x x =-+-+∈，①当11a -≤时，即0a ≥()()()max 132h a g x g a ===-⎡⎤⎣⎦；②当112a <-≤时，即10a -≤<时，()()()ma 2x 123h a g x g a a a ==-=-+⎡⎤⎣⎦，③当12a ->时，即1a <-时，()()()max 224h a g x g a ===-⎡⎤⎣⎦，()232,023,1024,1a a h a a a a a a -≥⎧⎪=-+-≤<⎨⎪-<-⎩20．已知函数()21x bf x ax +=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()112f =.（1）求a ，b 的值；（2）判断函数()f x 在[]1,1-上的单调性，并用定义证明；（3）解关于t 的不等式，11022f t f t ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎝⎭⎝⎭.【答案】（1）1,0a b ==；（2）()f x 在[]1,1-上递增，证明见解析；（3）102⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，.【分析】（1）由题意，令()00f =，()112f =代入求解,a b ，再检验是奇函数，即得解；（2）利用单调性的定义按照步骤作差证明即可；（3）利用奇函数原式等价于1122f t f t ⎛⎫⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再结合单调性、定义域列出不等式求解即可.【详解】（1）依题意函数()21x bf x ax +=+是定义在[]1,1-上的奇函数，所以()00f b ==，()111112f a a ==⇒=+，所以()21x f x x =+检验：()22()()11x xf x f x x x --==-=--++，为奇函数满足题意（2）()f x 在[]1,1-上递增，证明如下：任取[]1212,1,1,x x x x ∈-<()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()22121212221211x x x x x x x x +--=++()()()()()()()()12212112212222121211111x x x x x x x x x x x x x x -----==++++，其中122110,0x x x x -<->，所以()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<，故()f x 在[]1,1-上递增.（3）由11022f t f t ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得1122f t f t ⎛⎫⎛⎫+<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 是定义在(1,1)-上的奇函数，所以1122f t f t ⎛⎫⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 是增函数，所以112211121112t t t t ⎧+<-⎪⎪⎪-≤+≤⎨⎪⎪-≤-≤⎪⎩，即031221322t t t ⎧⎪<⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩，解得：102t -≤<，所以不等式的解集为102⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.21．某高校为举办百年校庆，需要40L 氦气用于制作气球装饰校园，化学实验社团主动承担了这一任务．社团已有的设备每天最多可制备氦气8L ，按计划社团必须在30天内制备完毕．社团成员接到任务后，立即以每天L x 的速度制备氦气．已知每制备1L 氦气所需的原料成本为1百元．若氦气日产量不足4L ，日均额外成本为21416W x =+（百元）；若氦气日产量大于等于4L ，日均额外成本为29173W x x=+-（百元）．制备成本由原料成本和额外成本两部分组成．(1)写出总成本W （百元）关于日产量()L x 的关系式(2)当社团每天制备多少升氦气时，总成本最少？并求出最低成本．【答案】(1)21644041,43934018,48x x x W x xx ⎧⎛⎫++≤< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)当社团每天制备2L 氦气时，总成本最少，最低成本为680百元【分析】（1）根据生产天数要求，可确定x 的取值范围；计算可得日产量不足4L 和大于等于4L 时，1L 氦气的平均成本，由此可得关系式；（2）分别在443x <≤、48x ≤≤的情况下，利用基本不等式和二次函数求最值的方法可求得最小值，综合两种情况可得结论.【详解】（1）若每天生产L x 氦气，则需生产40x 天，4030x ∴≤，则43x ≥；若氦气日产量不足4L ，则1L 氦气的平均成本为116141W x x x+=++百元；若氦气日产量大于等于4L ，则1L 氦气的平均成本为2293118W x x x+=-+百元；21644041,43934018,48x x x W x xx ⎧⎛⎫++≤< ⎪⎪⎪⎝⎭∴=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩.（2）当443x <≤时，16416x x +≥（当且仅当164x x =，即2x =时取等号），∴当2x =时，W 取得最小值()40161680⨯+=；当48x ≤≤时，11184x ≤≤，令1t x =，则11,84t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2409318W t t ∴=-+，则当16t =，即6x =时，W 取得最小值11401871042⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭；综上所述：当社团每天制备2L 氦气时，总成本最少，最低成本为680百元.22．已知函数()y x ϕ=的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是()()2a x a x b ϕϕ++-=．给定函数()61f x x x =-+．（1）求函数()f x 图象的对称中心；（2）判断()f x 在区间()0,∞+上的单调性（只写出结论即可）；（3）已知函数()g x 的图象关于点()1,1对称，且当[]0,1x ∈时，()2g x x mx m =-+．若对任意[]10,2x ∈，总存在[]21,5x ∈，使得()()12g x f x =，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()1,1--；（2）()f x 在区间()0,∞+上为增函数；（3）[]2,4-.【解析】（1）根据题意可知，若函数()f x 关于点(),a b 中心对称，则()()2f a x f a x b ++-=，然后利用()61f x x x =-+得出()f a x +与()f a x -，代入上式求解；（2）因为函数y x =及函数61y x =-+在()0,∞+上递增，所以函数()61f x x x =-+在()0,∞+上递增；（3）根据题意可知，若对任意[]10,2x ∈，总存在[]21,5x ∈，使得()()12g x f x =，则只需使函数()g x 在[]10,2x ∈上的值域为()f x 在[]21,5x ∈上的值域的子集，然后分类讨论求解函数()g x 的值域与函数()f x 的值域，根据集合间的包含关求解参数m 的取值范围．【详解】解：（1）设函数()f x 图象的对称中心为(),a b ，则()()20f a x f a x b ++--=．即()()662011x a x a b x a x a +-+-+--=++-++，整理得()()()()22161a b x a b a a -=-+-+，于是()()()()21610a b a b a a -=-+-+=，解得1a b ==-．所以()f x 的对称中心为()1,1--；（2）函数()f x 在()0,∞+上为增函数；（3）由已知，()g x 值域为()f x 值域的子集．由（2）知()f x 在[]1,5上单增，所以()f x 的值域为[]2,4-．于是原问题转化为()g x 在[]0,2上的值域[]2.4A ⊆-．①当02m≤，即0m ≤时，()g x 在[]0,1单增，注意到()2g x x mx m =-+的图象恒过对称中心()1,1，可知()g x 在(]1,2上亦单增，所以()g x 在[]0,2上单增，又()0g m =，()()2202g g m =-=-，所以[],2A m m =-．因为[][],22,4m m -⊆-，所以224m m ≥-⎧⎨-≤⎩，解得20m -≤≤．②当012m <<，即02m <<时，()g x 在0,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭单减，,12m ⎛⎫⎪⎝⎭单增，又()g x 过对称中心()1,1，所以()g x 在1,22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭单增，2,22m ⎛⎤- ⎥⎝⎦单减；此时()()min 2,,max 0,222m m A g g g g ⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫=-⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭．欲使[]2,4A ⊆-，只需()()222022224g g m m m g m ⎧=-=-≥-⎪⎨⎛⎫=-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎩且()2042224224g m m m mg g m ⎧=≤⎪⎨⎛⎫⎛⎫-=-=-+≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解不等式得24m -≤≤，又02m <<，此时02m <<．③当12m≥，即2m ≥时，()g x 在[]0,1单减，在(]1,2上亦单减，由对称性，知()g x 在[]0,2上单减，于是[]2,A m m =-．因为[][]2,2,4m m -⊆-，所以224m m -≥-⎧⎨≤⎩,解得24m ≤≤．综上，实数m 的取值范围为[]2,4-．【点睛】本题考查函数的对称中心及对称性的运用，难点在于（3）的求解，解答时应注意以下几点：（1）注意划归与转化思想的运用，将问题转化为两个函数值域之间的包含问题求解；（2）注意分类讨论思想的运用，结合对称性，分析讨论函数()g x 的单调性及最值是关键．。
高中福建省福州市鼓楼区高一上学期期中数学试题
福建省福州市鼓楼区【精品】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A ={-1，0，1，2}，{|02}B x x =≤<，则A B =( )A ．{1,-0，1}B ．{0,1，2}C ．{}0,1D ．{}1,22．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（ ） A ．12y x =B ．23y x =C ．4y x -=D ．13y x =3．下列给出的同组函数中，表示同一函数的是（ ）0(1)()()1,? 0(2)()(){;1,0(3)()1().f x g x x xf xg x x xf xg x x ==>==-<==和和A ．（1）、 （2）B ．（2）C ．（1）、（3）D ．（3）4．函数()f x = ）A ．(1,0)(0,1]-⋃B ．(]1,1-C ．(4,1]-D ．(4,0)(0,1]-⋃5．函数21()()1f x x R x =∈+的值域是（ ） A ．()0,1 B ．(]0,1C ．[)0,1D ．[]0,16．函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图像可能是（ ）． A ． B ．C ．D ．7．已知函数()11(0,1)x f x a a a -=+>≠的图象恒过点A ，下列函数图象不经过点A( )A．2y =B ．21y x =-+C ．131y x-=+D ．12x y -=8．“()20a b c -⋅>”是“a b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9．若()14f x x =,则不等式816f x f x 的解集是( )A ．162,7⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．(]0,2 C ．[)2,+∞D ．()0,∞+10．已知函数()f x =m 的取值范围是（ ） A ．04m <≤B ．01m ≤≤C ．4m ≥D ．04m ≤≤11．已知函数()()()211,121,1a x a x f x a x x ⎧--≤⎪=⎨⎪+>⎩为R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(),1-∞-B ．(),4-∞-C ．(]1,4--D ．(],4-∞-12．已知函数()21f x ax x =-+，（0a ≠），若任意1x ，[)21x ∈+∞,且12x x ≠都有()()12121f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围（ ）A ．[)1,+∞ B ．(]0,1C ．[)2,+∞D ．()0,∞+二、填空题13．已知函数()212f x x x -=-，则()2f =______．14．已知函数()35bf x ax x=++，且()79f =，则()7f -=______．15．设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩，若()()1f a f a =+，则a =______．16．给出以下四个命题：①若集合{},A x y =，{}20,B x =，A B =，则1x =，0y =；②若函数()f x 的定义域为()1,1-，则函数()21f x +的定义域为()1,0-； ③若函数()1f x x=的单调递减区间是()(),00,-∞⋃+∞； ④命题“R x Q ∃∈，3x Q ∈”的否定是“x Q ∀∈，3x Q ∉”其中正确的命题有______.(只填序号)三、解答题 17．计算：()2133227101(2))(2)(0.25)927π----+；()2已知13x x -+=，求1122x x -+．18．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+．()1现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数()f x 的图象，并根据图象写出函数()f x 的增区间；()2写出函数()f x 的解析式和值域．19．已知全集U R =，集合{|15}A x x =≤<，{|28}B x x =<<，{|3}C x a x a =<≤+．()1求A B ⋃，()U A B ⋂；()2若“x C ∈”为“x A ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围．20．已知函数f (x )＝211x x -+，x ∈[3，5]． （1）判断函数在区间[3，5]上的单调性，并给出证明； （2）求该函数的最大值和最小值． 21．设函数f （x ）＝x 2﹣3x（1）若不等式f （x ）≥m 对任意x ∈[0，1]恒成立，求实数的取值范围；（2）在（1）的条件下，当m 取最大值时，设x ＞0，y ＞0且2x +4y +m ＝0，求11x y+的最小值.22．设函数()2(01,)xxf x ka a a a k R -=->≠∈且，()f x 是定义域为R 的奇函数．（1）确定k 的值；（2）若()13f =，函数()()222xx g x aa f x -=+-，[]0,2x ∈，求()g x 的最小值；（3）若3a =，是否存在正整数λ，使得()()()221f x f x λ≤+对[]2,1x ∈--恒成立？若存在，请求出所有的正整数λ；若不存在，请说明理由．参考答案1．C 【解析】 【分析】由交集的概念直接运算即可． 【详解】解：{}A 1,0,1,2=-,{|02}B x x =≤<,{}0,1A B ∴⋂=.故选:C. 【点睛】本题考查了列举法,描述法的定义,交集的运算,考查了计算能力,属于基础题. 2．B 【解析】对于A ，12y x =定义域为[)0,+∞，不关于原点对称，所以A 不具有奇偶性，不对； 对于B ，23y x =是过点()0,0，()1,1的偶函数，B 对； 对于C ，4y x -=定义域为{}|0x x ≠ 不过点()0,0，不对；对于D ，13y x =过点()0,0，()1,1但它为奇函数，不对； 故选B 3．B 【解析】 试题分析：（1），，所以不是同一函数，（2），函数的三个要素一样，所以是同一函数，（3）的定义域是,的定义域是，定义域不同，所以不是同一函数．考点：函数的表示方法 4．A 【解析】【分析】根据函数解析式，写出自变量满足的条件，即可求解. 【详解】要使函数有意义，则23401011x x x x ⎧--+≥⎪+>⎨⎪+≠⎩，解得11x -<≤且0x ≠，所以函数定义域为(1,0)(0,1]-⋃. 故选：A 【点睛】本题主要考查了给出解析式的函数的定义域，属于中档题. 5．B 【分析】本题首先可令21t x =+，然后将函数21()1f x x=+转化为1y t =，最后利用反比例函数性质得出当[)1,+t ∈∞时函数1y t=的值域，即可得出结果. 【详解】令21t x =+，则[)1,+t ∈∞， 因为函数1y t=在[)1,+∞上单调递减， 所以当[)1,+t ∈∞时函数1y t=的值域为(]0,1， 则函数21()()1f x x R x=∈+值域为(]0,1， 故选：B. 【点睛】本题考查函数值域的求法，考查通过换元法求函数值域，考查反比例函数的性质，考查推理能力，是简单题. 6．D 【解析】试题分析：∵0a >，∴10a>，∴函数x y a =需向下平移1a 个单位，不过（0,1）点，所以排除A ，当1a >时，∴101a <<，所以排除B ， 当01a <<时，∴11a>，所以排除C ，故选D.考点：函数图象的平移. 7．D 【分析】令10x -=求得()f x 图象恒过点A 的坐标,再验证选项中的函数是否过点A . 【详解】解：函数()11x f x a-=+中,令10x -=,解得1x =,()0112y f a ==+=,所以()f x 的图象恒过点A(1,2);对于A,1x =时,22y ==,则函数图象过点A ; 对于B,1x =时,1212y =-+=,则函数图象过点A ; 对于C,1x =时,13112y -=+=,则函数图象过点A ;对于D,1x =时,1121y -==, 则函数图象不过点A .故选:D. 【点睛】本题考查了指数函数恒过定点的问题,属于基础题. 8．A 【分析】利用不等式的性质,结合充分条件和必要条件的概念判断即可得出答案. 【详解】解：由()20a b c -⋅>,得20c >,a b ∴>,则()20a b c -⋅>是a b >的充分条件;反之,由a b >,得()20a b c -⋅≥,则()20a b c -⋅>是a b >的不必要条件;∴“()20a b c -⋅>”是“a b >”的充分不必要条件.故选:A. 【点睛】本题考查不等式的基本性质,考查充分条件和必要条件的判定,属于基础题. 9．A 【分析】由幂函数()14f x x =的定义域和单调性得出不等式组08160816x x x x ≥⎧⎪-≥⎨⎪>-⎩,解不等式组即可得出答案. 【详解】 解：由()14f x x=得()f x 是定义在[)0,+∞上的增函数,则由不等式816f xf x 得()()082082x x x x ⎧≥⎪-≥⎨⎪>-⎩,解得:162x 7≤<.故选:A. 【点睛】本题考查了函数的定义域和单调性的应用,属于基础题,本题易错点是不考虑定义域. 10．D 【解析】试题分析：因为函数()f x =0m =时，函数1f x对定义域上的一切实数恒成立；当0m >时，则240m m ∆=-≤，解得04m <≤，综上所述，可知实数m 的取值范围是04m ≤≤，故选D. 考点：函数的定义域. 11．D 【分析】根据分段函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】解：若函数()f x 在R 上为减函数,则10101112a a a a a ⎧⎪-<⎪+<⎨⎪⎪--≥+⎩, 即114a a a <⎧⎪<-⎨⎪≤-⎩,解得4a ≤-, 即实数a 的取值范围是(],4-∞-, 故选:D. 【点睛】本题主要考查了分段函数单调性的应用,深刻理解分段函数单调性的性质是解决本题的关键,是常考题型,属于基础题. 12．A 【分析】设12x x >，由已知可得()()1122f x x f x x ->-，从而可得函数()f x x -在[)1,+∞上单调递增，进而得到关于a 的不等式，解出即可. 【详解】设12x x >，因为对任意的1x ，[)21x ∈+∞,且12x x ≠都有()()12121f x f x x x ->-，故可得()()1122f x x f x x ->-，可得函数()f x x -在[)1,+∞上单调递增，()221f x x ax x +=-+的对称轴为1x a=， ∴011a a>⎧⎪⎨≤⎪⎩，解之得1a ≥.故a 的取值范围是[)1,+∞. 故选：A. 【点睛】本题考查函数性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 13．3【分析】推导出函数()212f x x x -=-,()()231f f =-,由此能求出结果.【详解】 解：函数()212f x x x -=-,()()22313233f f ∴=-=-⨯=.故答案为:3. 【点睛】本题考查函数值的求法,考查函数性质的应用,考查运算求解能力,属于基础题. 14．1 【分析】由已知可得()377597b f a =++=,从而可求377ba +,然后代入()7f -即可求解. 【详解】 解：()35bf x ax x=++, ()377597bf a ∴=++=,3747b a ∴+=,由()337777b b a a ⎛⎫-+=-+ ⎪-⎝⎭, 则()37754517b f a ⎛⎫-=-++=-+= ⎪⎝⎭.故答案为:1. 【点睛】本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数值,解题的关键是整体思想的应用. 15．14【分析】由已知分段函数表达式可看出在分段定义域上均为单调增函数,则可得0111a a <<⎧⎨+≥⎩或0111a a <+<⎧⎨≥⎩,分别讨论a 的值,利用()()1f a f a =+求出a 的值即可.【详解】解：由()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩可得在分段定义域上函数均为单调增函数,当()0,1a ∈,[11,)a +∈+∞时,得()0,1a ∈,由()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,()()1f a f a =+,2a =,解得14a =;当[)1,a ∈+∞,()10,1a +∈时解得a 无解. 故答案为:14. 【点睛】本题考查了分段函数的应用,考查分类讨论思想以及计算能力,属于基础题. 16．①② 【分析】直接利用集合的元素的性质,函数的定义域的求法,函数的图象,命题的否定的应用求出结果. 【详解】解：①若集合{},A x y =,{}20,B x =,当A B =,所以:2x x y=⎧⎨=⎩与集合的元素的互异性相矛盾，故舍去，则20x x y ⎧=⎨=⎩解得1x =,0y =;故正确.②若函数()f x 的定义域为()1,1-,则1211x -<+<,解得10x -<<,所以函数()21f x +的定义域为()1,0-;故正确.③利用函数()1f x x=的图象,单调递减区间是(),0-∞和()0,∞+;故错误. ④命题“R x Q ∃∈,3x Q ∈”的否定是“R x C Q ∀∈，3x Q ∉”,故错误.故答案为:①② 【点睛】本题考查的知识要点:集合的元素的性质的应用,函数的定义域的求法和应用,函数的图象单调性的应用,命题的否定的应用,主要考查学生的转换能力及思维能力,属于基础题型.17．（1）38948;（2【分析】()1利用指数幂的运算性质即可得出;()2利用指数幂的运算性质结合完全平方公式即可得出.【详解】解：()1原式21332225641()1()()9274--=--+5918316=--+ 38948=; ()123x x -+=,112122()25x x x x --∴+=++=,又11220x x-+>,1122x x-∴+=.【点睛】本题考查了指数幂的运算性质,属于基础题. 18．（1）递增区间是()1,0-，()1,+∞，图像见解析（2）()222,0{|1}2,0x x x f x y y x x x ⎧+≤=≥-⎨->⎩， 【分析】() 1由函数为偶函数,图象关于y 轴对称,故直接补出完整函数()f x 的图象即可,再由图象直接可写出()f x 的增区间;()2直接利用偶函数的性质求解析式,值域可从图形直接观察得到.【详解】解：()1因为函数为偶函数,故图象关于y 轴对称,补出完整函数图象如图所示:由图可得函数()f x 的递增区间是()1,0-,()1,+∞.()2设0x >,则0x -<,所以()22f x x x -=-,因为()f x 是定义在R 上的偶函数,所以()()f x f x -=,所以0x >时,()22f x x x =-, 故()f x 的解析式为()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩, 由图像可得值域为{|1}y y ≥-. 【点睛】本题考查分段函数求解析式、作图,同时考查函数的函数的奇偶性和值域等性质;求此类题型函数解析式时可由图象利用待定系数法求解析式,也可利用函数单调性求解解析式,属于基础题.19．（1）{}()|18{|58}U A B x x C A B x x ⋃=≤<⋂=≤<，;（2）[)1,2 【分析】() 1根据集合运算定义直接进行计算即可;()2由“x C ∈”为“x A ∈”的充分不必要条件,得集合CA ,再结合集合的包含关系,求出a的取值范围即可. 【详解】 解:()1集合{|15}A x x =≤<,{|28}{|18}B x x A B x x =<<∴⋃=≤<,(){|1U C A x x =<或5}x ,(){|58}U C A B x x ⋂=≤<;()2“x C ∈”为“x A ∈”的充分不必要条件,得C A ,351a a +<⎧∴⎨≥⎩,解得12a ≤<,故a 的取值范围是[)1,2. 【点睛】本题考查了集合的运算,集合与充分必要条件的转化关系,属于基础题. 20．（1）单调递增；证明见解析；（2）f (x )min ＝54，f (x )max ＝32. 【分析】（1）直接利用函数的单调性的定义证明即可； （2）利用函数的单调性，直接求解函数的最值即可． 【详解】证明：设任意x 1，x 2，满足3≤x 1<x 2≤5. 因为()()()()()()()()()()()122112121212121221121132121111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x -+--+----=-==++++++因为3≤x 1<x 2≤5，所以x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0.所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 所以f (x )＝211x x -+在[3，5]上是单调递增的． （2）由（1）可知函数是增函数， ∴f (x )min ＝f （3）＝2315=314⨯-+，f (x )max ＝f (5)＝25193==5162⨯-+. 【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力． 21．(1) m ≤﹣. 【分析】（1）分析函数f （x ）＝x 2﹣3x 在[0，1]上的单调性，进而求出函数的最小值，可得实数m 的取值范围；（2）由（1）得：m ＝﹣2，即x +2y ＝1，利用基本不等式，可得11x y+的最小值． 【详解】解：（1）函数f （x ）＝x 2﹣3x 的图象是开口朝上，且以直线x 32=为对称轴的抛物线， 故函数f （x ）＝x 2﹣3x 在[0，1]上单调递减， 当x ＝1时，函数取最小值﹣2，若不等式f （x ）≥m 对任意x ∈[0，1]恒成立， 则m ≤﹣2；（2）由（1）得：m ＝﹣2， 即2x +4y ＝2，即x +2y ＝1 由x ＞0，y ＞0故11x y +=（11x y +）（x +2y ）＝32y x x y ++≥=即11x y+的最小值为． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键． 22．（1）2 ；（2）2-；（3）存在，{}1,2,3,4,5． 【解析】 【分析】（1）由题可知，()00f =，代入函数解析式即可求出k 的值； （2）根据已知条件得2a =，运用换元法令22x x t -=-，得函数()()215420,4g x h t t t t ⎡⎤==-+∈⎢⎥⎣⎦，,结合二次函数的图象与性质即可求出最小值；（3）由题意，将问题转化为()11233xxλ⎛⎫+≤+⎪⎝⎭在[]2,1x ∈--恒成立， 【详解】解：（1）()2(01,)xxf x ka a a a k R -=->≠∈且是定义域为R 上的奇函数，()00f ∴=，得2k =，()22xxf x a a -=-，经验证符合题意，2k ∴=．（2）由（1）可知，()22xxf x a a -=-，又()13,f =1223a a -∴-=，即22320,a a --=2a ∴=或12a =-（舍去），2a ∴=,()()()()22222422224222x x x x x xx x g x ----=+--=---+，令()2202xxt x -=-≤≤，22x x t -=-在[]02，是增函数，得150,4t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()215420,4g x h t t t t ⎡⎤==-+∈⎢⎥⎣⎦，,函数对称轴1520,4t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦可知2t =时，有最小值2-. （3）存在理由如下：3a =，()()2299xxf x -=-，()()233xx f x -=- ，则()()()4992133x xxx λ---≤+-对[]2,1x ∈--恒成立，330,x x --<所以()11233x xλ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭， 设113,,93xu u ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦易证1z u u =+在11,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，当13u = 时最小值103min Z =， 即[]2,1x ∈--时，1233xxy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值为203， 所以2013λ+≤，173λ≤， ∵λ是正整数， ∴{}1,2,3,4,5λ∈． 【点睛】本题考查奇函数的性质，考查运用构造函数法和换元法求解函数的最值和不等式恒成立问题的方法，考查转化思想和计算能力.。
2020-2021福州市高中必修一数学上期中试题附答案
2020-2021福州市高中必修一数学上期中试题附答案一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 3．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．84．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③5．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，6．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >> B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>7．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()U M P S ⋂⋂ðD ．()()U M P S ⋂⋃ð8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞ D ．(4,)+∞10．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．11．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．12．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<二、填空题13．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为_____14．已知函数()32f x x x =+，若()()2330f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围是__________．15．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________.16．若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是_________. 17．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．18．函数6()12log f x x =-的定义域为__________．19．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图像关于直线12x =对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= ．20．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的值为_______.三、解答题21．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值4：当712x π=时，()f x 取得最小值4-. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()21h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围. 22．已知函数24()(0,1)2x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.23．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为212m ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为3m ，且不计房尾背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低造价是多少？ 24．已知集合A={x|x ＜-1，或x ＞2}，B={x|2p-1≤x≤p+3}．（1）若p=12，求A∩B；（2）若A∩B=B，求实数p 的取值范围． 25．已知函数f (x )=log a (x+1)-log a (1-x ),a>0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明; (3)当a>1时,求使f (x )>0的解集.26．为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验．前三天观测的该微生物的群落单位数量分别为12，16，24．根据实验数据，用y 表示第()*x x ∈N 天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型；①2y ax bx c =++；②x y p q r =⋅+，其中a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数．（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；（2）若第4天和第5天观测的群落单位数量分别为40和72，请从这两个函数模型中选出更合适的一个，并计算从第几天开始该微生物群落的单位数量超过1000．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-.考点：集合的运算3．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =得2(11)a a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．4．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．5．D解析：D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.6．C解析：C 【解析】 【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】 由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.7．C解析：C 【解析】 【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．8．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.9．D解析：D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数； x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)， 故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数.当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.10．C解析：C 【解析】 由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11．B解析：B 【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果． 【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．12．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.二、填空题13．【解析】【分析】根据题意分析可得为偶函数进而分析可得原不等式转化为结合函数的奇偶性与单调性分析可得解可得的取值范围【详解】根据题意且是定义在上的偶函数则则函数为偶函数又由为增函数且在区间上是增函数则 解析：()(),40,-∞-+∞U【解析】 【分析】根据题意，分析可得()g x 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为()()22g x g +>，结合函数的奇偶性与单调性分析可得22x +>，解可得x 的取值范围． 【详解】根据题意()()2g x f x x =-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，则函数()g x 为偶函数，()()()()()()()22224222422f x f x x f x x f g x g +->+⇒+--⇒+>>+，又由()g x 为增函数且在区间[0,)+∞上是增函数，则22x +>， 解可得：4x <-或0x >，即x 的取值范围为()(),40,-∞-+∞U ， 故答案为()(),40,-∞-+∞U ； 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析()g x 的奇偶性与单调性，属于中档题．14．(13)【解析】由题意得为单调递增函数且为奇函数所以点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式然后根据函数的单调性去掉转化为具体的不等式(组)此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内解析：(1,3) 【解析】由题意得()f x 为单调递增函数,且为奇函数,所以()()2330f a a f a -+-<22(3)(3)3313f a a f a a a a a ⇒-<-⇒-<-⇒<<点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内15．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为解析：()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【解析】由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间()0+∞，上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭;故答案为()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭. 16．【解析】【分析】设带入化简得到得到答案【详解】设代入得到故的解析式是故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式属于常用方法需要学生熟练掌握解析：()32f x x =+ 【解析】 【分析】设32t x =+，带入化简得到()32f t t =+得到答案. 【详解】()3298f x x +=+，设32t x =+ 代入得到()32f t t =+故()f x 的解析式是() 32f x x =+ 故答案为：()32f x x =+ 【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，属于常用方法，需要学生熟练掌握.17．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴Q设2tan t x =()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值18．【解析】要使函数有意义则必须解得：故函数的定义域为：点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0(3)一次函数二次函数的定义域均为R(4解析：(0,6⎤⎦ 【解析】 要使函数()f x 有意义，则必须6012log 0x x >⎧⎨-≥⎩，解得：06x ≤<， 故函数()f x 的定义域为：(0,6⎤⎦．点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y ＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y ＝ax(a>0且a≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R.(6)y ＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z . 19．0【解析】试题分析：的图像关于直线对称所以又是定义在上的奇函数所以所以考点：函数图象的中心对称和轴对称解析：0【解析】试题分析：()y f x =的图像关于直线12x =对称，所以()(1)f x f x =-，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(5)(15)(4)(4)f f f f =-=-=-，(3)(13)(2)(2)f f f f =-=-=-，(1)(11)(0)0f f f =-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f ++++=.考点：函数图象的中心对称和轴对称.20．3【解析】令fx=x2-2x-2则由题意可得函数y=fx 与函数y=m 的图象有三个公共点画出函数fx=x2-2x-2的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则m=3答案：3解析：3【解析】令，则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点．画出函数的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则．答案：3 三、解答题21．（1）()4sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ （2）1439t +< 【解析】【分析】（1）根据三角函数性质确定振幅、周期以及初相，即得解析式；（2）先确定23x π+范围，再结合正弦函数图象确定实数t 满足的条件，解得结果. 【详解】（1）解：由题意知74,212122T A πππ==-=，得周期T π= 即2ππω=得，则2ω=，则()()4sin 2f x x ϕ=+ 当12x π=时，()f x 取得最大值4，即4sin 2412πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，得πsin φ16骣琪+=琪桫 得2()62k k Z ππϕπ+=+∈，，得23()k k Z πϕπ=+∈， ,ϕπ<∴Q 当0k =时，=3πϕ，因此()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （2）()()210h x f x t =+-=，即()12t f x -=当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 当232x ππ+=时，4sin 42π= 要使()12t f x -=有两个根，则12342t -≤<，得1439t +≤< 即实数t 的取值范围是1439t +<【点睛】本题考查三角函数解析式以及利用正弦函数图象研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.22．（1）2a =（2）()1,1-（3）(10,3)+∞ 【解析】【分析】（1）利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m ,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可.【详解】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=- 即：242422x x x x a a a a a a a a---+-+=-++. 即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x ∴-<-<+, 211121x ∴-<-<+ ∴函数()f x 的值域为()1,1-.（3）由()220xmf x +-> 可得，()2 2xmf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+. 当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x x m +->- 令(2113)x t t -=≤≤）， 则有(2)(1)21t t m t t t+->=-+， 函数21y t t =-+在1≤t ≤3上为增函数， ∴max 210(1)3t t -+=，103m ∴>， 故实数m 的取值范围为(10,3)+∞ 【点睛】 本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题.23．当底面的长宽分别为3m ，4m 时，可使房屋总造价最低，总造价是34600元【解析】 设房屋地面的长为米，房屋总造价为元.24．（1）722x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（2）3 4.2p p ><-或 【解析】【分析】(1)根据集合的交集得到结果即可；（2）当A∩B=B 时，可得B ⊆A ，分B 为空集和不为空集两种情况即可.【详解】（1）当时，B={x |0≤x ≤}， ∴A∩B={x |2＜x ≤}；（2）当A∩B=B 时，可得B ⊆A ；当时，令2p -1＞p +3，解得p ＞4，满足题意； 当时，应满足解得； 即综上，实数p 的取值范围．【点睛】 与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．25．（1）{}11x x -<<（2）函数()f x 为奇函数，证明见解析（3）{}01x x <<【解析】【分析】（1）根据题意，求函数定义域结合对数函数真数大于零得到关于x 的不等式组，求解即可得出答案。
福建省福州市鼓楼区2022-学年高一数学上学期期中试题(含解析)
当x＝1时，函数取最小值﹣2，
若不等式f（x）≥m对任意x∈[0，1]恒成立，
则m≤﹣2；
（2）由（1）得：m＝﹣2，
即2x+4y＝2，即x+2y＝1
由x＞0，y＞0
故 （ ）（x+2y）＝3 3+2 3+2
即 的最小值为3+2 ．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．
考点：函数的定义域.
11.已知函数 为R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分段函数单调性的性质进行求解即可.
【详解】解：若函数 在R上为减函数,
则 ,
即 ,解得 ,
即实数 的取值范围是 ,
故选:D.
【点睛】本题主要考查了分段函数单调性的应用,深刻理解分段函数单调性的性质是解决本题的关键,是常考题型,属于基础题.
7.已知函数 的图象恒过点A，下列函数图象不经过点A( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
令 求得 图象恒过点A的坐标,再验证选项中的函数是否过点A.
【详解】解：函数 中,令 ,解得 , ,
所以 图象恒过点A(1,2);
对于A, 时, ,则函数图象过点A;
对于B, 时, ,则函数图象过点A;
（3）存在
理由如下： ， ， ，
则 对 恒成立，
所以 ，
设
易证 在 上是减函数，当 时最小值 ，
即 时， 的最小值为 ，
所以 ， ，
∵ 是正整数，
2022-2023学年福建省福州市高一上学期11月期中联考数学试题【含答案】
2022-2023学年福建省福州市高一上学期11月期中联考数学试题一、单选题1．已知集合*{N |12}M x x =∈-≤≤，则下列关系中，正确的是（）.A ．0M ∈B ．M∅∈C ．{}0,1M⊆D ．{}1,2M⊆【答案】D【分析】结合题意写出集合中的具体元素，然后利用元素与集合、集合与集合之间的关系逐项进行验证即可求解.【详解】因为集合*{N |12}{1,2}M x x =∈-≤≤=，对于A ，因为0{1,2}M ∉=，故选项A 错误；对于B ，∅是一个集合，且M ∅⊆，故选项B 错误；对于C ，因为集合{1,2}M =，所以集合{0,1}与集合M 不存在包含关系，故选项C 错误；对于D ，因为集合{1,2}M =，任何集合都是它本身的子集，所以{1,2}M ⊆，故选项D 正确，故选：D.2．下列命题的否定是真命题的是（）A ．2N,1N m m ∃∈+∈B ．菱形都是平行四边形C ．R a ∃∈，一元二次方程210x ax --=没有实数根D ．平面四边形ABCD ，其内角和等于360°【答案】C【分析】对A ，特称命题的否定为全称命题，由0m =，计算即可判断真假；对B ，全称命题的否定为特称命题，再由菱形与平行四边形的关系即可判断真假；对C ，全称命题的否定为特称命题，再由判别式的符号即可判断真假；对D ，由四边形的内角和计算即可判断原命题为真，特称命题的否定为全称命题为假命题．【详解】对于A ，N m ∃∈，21N m +∈，其否定为：N m ∀∈，21N m +∉，由0m =时，011N +=∈，则原命题为真命题，其否定为假命题，故A 不正确；对于B ，每个菱形都是平行四边形，其否定为：存在一个菱形不是平行四边形，原命题为真命题，其否定为假命题，故B 不正确；对于C ，R a ∃∈，一元二次方程210x ax --=没有实根，其否定为：R a ∀∈，一元二次方程210x ax --=有实根，由240=∆+>a ，可得原命题为假命题，命题的否定为真命题，故C 正确；对于D ，平面四边形ABCD ，其内角和等于360°为真命题，命题的否定为假命题，故D 不正确；故选：C.3．下列函数表示同一个函数的是（）.A ．()2x f x x=与()0g x x =B ．()11f x x x =-⋅+与()()()11g x x x =-+C ．32y x =-与2y x x =-D ．()3f x x =-与()()23g x x =-【答案】D【分析】根据相同函数的概念判定即可.【详解】对于A 项，()21,01,0x x x f x x x x >⎧===⎨-<⎩，显然与()01g x x ==对应关系不同，但定义域相同均为0x ≠，故A 错误；对于B 项，由题意得1010x x -≥⎧⎨+≥⎩，即()f x 的定义域为1x ≥，()()110x x -+≥，即()g x 的定义域为1x ≥和1x ≤-，两函数定义域不同，故B 错误；对于C 项，30,222x y x x x x x ≤=-=-⋅-≠⋅-，即两函数对应关系不同，故C 错误；对于D 项，()()()233g x x x f x =-=-=，两函数定义域与对应关系均相同，故D 正确.故选：D4．下列命题正确的是（）.A ．若a b >，则22a b >B ．若0a b c >>>，则c ba c a b>--C ．若22ac bc >，则a b >D ．若0,0,2a b b a ab >>+=，则a b +最小值为42【答案】C【分析】根据题意，利用作差比较法，可判定A 、B 不正确；根据不等式的性质，可判定C 正确；根据基本不等式，可判定D 不正确.【详解】对于A 中，由22()()a b a b a b -=-+，其中a b +的符号不确定，所以A 不正确；对于B 中，因为0a b c >>>，可得0,0,()0a c a b a c b ->->-<，所以()0()()c b a c b a c a b a c a b --=<----，即c b a c a b<--，所以B 不正确；对于C 中，由22ac bc >，可得20c >，所以a b >，所以C 正确；对于D 中，由0,0,2a b b a ab >>+=，可得211a b+=，则21223()()23232b a b aa b a b a b a b a b ++≥+⋅++==++=，当且仅当2b aa b=时，即2a b =时等号成立，所以D 不正确.故选：C.5．已知函数()1,02,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，若()()1f a f a =+，则()2f a -=（）.A ．-1B ．-2C ．-3D ．-4【答案】B【分析】根据函数的解析式，作图，由数形结合化简方程，结合分段函数，求得函数值.【详解】由函数()1,02,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，可作图如下：由方程()()1f a f a =+，则111a a -=+-，即1a a -=，解得12a =.()()122122f a f f ⎛⎫-=-⨯=-=- ⎪⎝⎭.故选：B.6．已知不等式20ax bx c -+≥解集为{}12A x x =≤≤，若不等式20cx bx a ++≥解集为B ，则R B ð=（）A ．(]112∞∞⎡⎫--⋃-+⎪⎢⎣⎭，，B ．()112∞∞⎛⎫--⋃-+ ⎪⎝⎭，，C ．112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，D ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，【答案】B【分析】由不等式20ax bx c -+≥解集为{}12A x x =≤≤可得32b a c a=⎧⎨=⎩，从而求出11,2B ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，再利用集合补集的定义求解即可.【详解】因为不等式20ax bx c -+≥解集为{}12A x x =≤≤，所以1231220ba b a cc a a a ⎧=+⎪⎪=⎧⎪=⨯⇒⎨⎨=⎩⎪<⎪⎪⎩，所以20cx bx a ++≥可化为2230ax ax a ++≥，则22310x x ++≤，所以()()2110x x ++≤，解得：112x -≤≤-，所以11,2B ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，R B ð=()112∞∞⎛⎫--⋃-+ ⎪⎝⎭，，故选：B.7．命题:P 2,2()(R)2,2ax x f x a a x x-≤⎧⎪=∈-⎨>⎪⎩在R 上为增函数，命题Q ：24()1(0)3g x ax x a =++≥在[]12-，单调增函数，则命题P 是命题Q （）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】分别求出命题P ，Q 为真命题的条件，然后根据必要条件，充分条件的判断即可求解.【详解】因为命题:P 2,2()(R)2,2ax x f x a a x x-≤⎧⎪=∈-⎨>⎪⎩在R 上为增函数，则有0222220a a a a >⎧⎪-⎪-≤⎨⎪-<⎪⎩，解得203a <≤，又因为命题Q ：24()1(0)3g x ax x a =++≥在[]12-，单调增函数，则有213a -≤-，解得23a ≤，若命题P 成立，则命题Q 一定成立，反之则不一定成立，所以P 是Q 的充分不必要条件，故选：A.8．定义在R 上()f x 且满足()()=f x f x -，其中()20f =，在(),0∞-为增函数，则（1）不等式()10f x x +≤解集为[)[)1,3,0∞+⋃-（2）不等式()10f x x+≤解集为(](]0,1,3∞⋃--（3）()()221f x f x -≥+解集为13,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（4）()()221f x f x -≥+解集为(])1,3,3∞∞⎡--⋃+⎢⎣，其中成立的是（）.A ．（1）与（3）B ．（1）与（4）C ．（2）与（3）D ．（2）与（4）【答案】B【分析】根据函数满足的性质作出函数的大致图象，进而数形结合，分别求解不等式，即可求得答案.【详解】由题意可知定义在R 上()f x 且满足()()=f x f x -，其中()20f =，在(),0∞-为增函数，则函数为偶函数，在()0,∞+上为减函数，函数(1)y f x =+的图象可由()y f x =的图象向左平移1个单位得到，作出()y f x =以即(1)y f x =+得大致图象如图，则不等式()10f x x +≤可化为()010x f x <⎧⎨+≥⎩或()010x f x >⎧⎨+≤⎩，由图象可知[30)[1),,x -∈+∞ ，故（1）正确，（2）错误；由于()y f x =为偶函数，故()()221f x f x -≥+可化为|2||21|x x -≤+，即23830x x +-≥，解得(])1,3,3x ∞∞⎡∈--⋃+⎢⎣，故（3）错误，（4）正确，故选：B【点睛】方法点睛：解答本题是要结合函数的性质，即单调性、奇偶性，明确函数图象的大致形状，作出图象，数形结合，即可求解问题.二、多选题9．已知函数(1)21f x x x +=+-，则（）A ．()39f =B ．()()2230f x x x x =-≥C ．()f x 的最小值为-1D ．()f x 的图象与x 轴有1个交点【答案】ACD【分析】利用换元法求出()f x 的解析式，然后逐一判断即可.【详解】令11t x =+≥，得1x t =-，则()21x t =-，得()()2123fx f t t t +==-，故()223f x x x =-，[)1,x ∞∈+，()39f =，A 正确，B 错误.()223923248f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增，()()min 11f x f ==-，()f x 的图象与x 轴只有1个交点，C 正确，D 正确.故选：ACD10．已知幂函数()()22922mm f x m m x+-=--对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若()()0f a f b +>，则（）A ．0a b +<B ．0a b +>C ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭【答案】BD【分析】由已知函数为幂函数可得2221m m --=，再由已知可得此函数在(0,)+∞上递增，则290m m +->，从而可求出函数解析式，然后判断函数奇偶性和单调性，从而可判断选项AB ，对于CD ，作差比较即可.【详解】因为()()22922mm f x m m x+-=--为幂函数，所以2221m m --=，解得1m =-或3m =，因为对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，所以函数()f x 在(0,)+∞上递增，所以290m m +->当1m =-时，2(1)(1)990-+--=-<，不合题意，当3m =时，233930+-=>，所以3()f x x =因为33()()f x x x -=-=-，所以()f x 为奇函数，所以由()()0f a f b +>，得()()()f a f b f b >-=-，因为3()f x x =在R 上为增函数，所以a b >-，所以0a b +>，所以A 错误，B 正确，对于CD ，因为0a b +>，所以333()()2222f a f b a b a b a b f ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33322344(33)8a b a a b ab b +-+++=33223()8a b a b ab +--=223[()()]8a ab b a b ---=23()()08a b a b -+=≥，所以()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以C 错误，D 正确，故选：BD11．已知关于0m >，0n >且2m n +=．下列正确的有（）A ．14m n+最小值为9B ．11n m -+最小值为-1C ．若m n >，则1111m n >--D ．2m n +≤【答案】CD【分析】A 选项，利用基本不等式“1”的代换求出最小值；B 选项，变形得到()111311n m m m -=++-++，再利用基本不等式进行计算；C 选项，先由基本不等式得到212m n mn +⎛⎫<= ⎪⎝⎭，再用作差法计算；D 选项，平方后利用基本不等式进行求解.【详解】A 选项，因为0m >，0n >，所以141412529222222222m n n m n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当22n m m n=，即42,33n m ==时，等号成立，A 错误；B 选项，因为0m >，2m n +=，所以()()()111121321311111n m m m m m m m -=--=++-≥⋅+-=-++++，当且仅当111m m =++，即0m =时，等号成立，但由于0m >，故等号取不到，所以11n m -+的最小值不为-1，B 错误；C 选项，()()()()1111111111n m n m m n m n m n --+--==------，因为m n >，2m n +=，所以由基本不等式得212m n mn +⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故()()()110111111n m n m n m m n m n mn m n mn ----===>-----++-，C 正确；D 选项，由基本不等式得()2224m nm n mn m n +=++≤++=，所以2m n +≤，当且仅当1m n ==时，等号成立，D 正确.故选：CD12．已知连续函数()f x 对任意实数x 恒有()()()1f x y f x f y +=+-，当0x >时，()1f x >，()12f =，则（）A ．()01f =B ．()f x 在[]4,4-上的最大值是4C ．()f x 图像关于()1,0-中心对称D ．不等式()()()23232f x f x f x -<-的解集为50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】利用赋值法可判定A 项；特殊值检验B 项；通过判定()()2f x f x -+-的值即可检验C 项正误；判定函数的单调性去“f ”，解不等式可得出D 项正误.【详解】令0x y ==，则()()()()0000101f f f f +=+-⇒=，即A 正确；令y x =-，则()()()11f x x f x f x -=+--=，又()12f =，∴()()22113f f =-=，()()()2211210f f f -+-=⇒-+=，则()()()()()()221210f x f x f x f f x f -+-=+--+-=-+=，即C 正确；由()()()23422154f f f =⇒=-=>，即B 项错误；由条件可得()()()()()()()2211211212111f x f x x x f x x f x f x f x f x x =-+=-+-⇒-=--，当210x x ->时，()()()21211f x x f x f x ->⇒>，即()y f x =在定义域上单调递增，()()()()()()()()223232332231f x f x f x f x f x f x f x f x x -<-⇔<+-=++-()5f x =，即25350,3x x x ⎛⎫<⇒∈ ⎪⎝⎭，即D 正确；故选：ACD三、填空题13．已知函数()f x 的定义域为[]1,1-则()2123f x y x x +=--的定义域为【答案】[)2,1--【分析】抽象函数定义域求解，1x +需整体在[]1,1-范围内，从而解出x 的范围，同时注意需保证2230x x -->，最后求出交集即可得解.【详解】由已知，()f x 的定义域为[]1,1-，所以对于()2123f x y x x +=--x 需满足2111230x x x -≤+≤⎧⎨-->⎩,解得[)2,1x ∈--故答案为：[)2,1--.14．已知命题“存在2,230x R ax ax ∈-+<”是假命题，则实数a 的取值范围.【答案】[]0,3【分析】先写出特称命题的否定，即x ∀∈R ，2230ax ax -+≥为真命题，对a 分为0a =与0a ≠两种情况，列出所要满足的条件，求出实数a 的取值范围.【详解】存在2,230x R ax ax ∈-+<是假命题，则x ∀∈R ，2230ax ax -+≥为真命题，当0a =时，03≥，满足题意，当0a ≠时，要满足：0Δ0a >⎧⎨≤⎩，解得：(]0,3x ∈，综上：实数a 的取值范围是：[]0,3x ∈故答案为：[]0,3四、双空题15．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为2202m ，则这所公寓的地板面积至多为平方米；若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是（填写“变好了”或者“变坏了”）【答案】200变好了【分析】设这所公寓的地板面积为x 2m ，则这所公寓窗户面积为（220x -）2m ，然后根据题意列不等式可求出x 的范围，设窗户面积与地板面积分别为a 2m ，b 2m （0b a >>），设同时增加相同的面积为y 2m （0y >），然后作差判断.【详解】设这所公寓的地板面积为x 2m ，则这所公寓窗户面积为（220x -）2m ，所以22010%xx-≥，解得200x ≤，所以这所公寓的地板面积至多为200平方米，设窗户面积与地板面积分别为a 2m ，b 2m （0b a >>），设同时增加相同的面积为y 2m （0y >），则()0()()a y a ab by ab ay y b a b y b b b y b b y ++----==>+++，所以a y ab y b+>+，所以同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了，故答案为：200，变好了五、填空题16．对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[,]m n D ⊆，同时满足：①()f x 在[,]m n 内是单调函数；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ，则称[,]m n 是该函数的“优美区间”.若函数()()2233()R,0a a x g x a a a x+-=∈≠有“优美区间”[,]m n ，当a 变化时，则n m -的最大值为.【答案】2【分析】根据题目新定义信息可知，函数()g x 在[,]m n 单调递增，即可得关于,m n 的方程，在利用韦达定理将n m -表示成关于a 的表达式，再利用二次函数求得最值.【详解】易知函数()g x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，所以()[,],0m n ⊆-∞或()[,]0,m n ⊆+∞；由题意可知函数()2223333()aa x a g x a xa a x+-+==-在[,]m n 单调递增，所以可得()()g m m g n n⎧=⎪⎨=⎪⎩，故,m n 是方程233a x a a x +-=，即()222330a x a a x -++=的两个同号的相异的实数根，又因为230mn a =>，所以,m n 同号，只需()2223430a a a ∆=+-⨯>，解得323a -+>或323a <--,又若函数()g x 有“优美区间”[,]m n ，则()2222331414314n m m n mn a a a ⎛⎫⎛⎫-=+-=+-⨯=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当1a =时，n m -的最大值为2.故答案为：2六、解答题17．已知集合{}2|230A x x x =--≤，{}|122B x a x a =-<<+(1)若1a =，求A B ⋂，A B ⋃；(2)若A B A ⋃=，则实数a 的取值范围.【答案】(1)A ∩B ＝{}03x x <≤；A B ＝{}14x x -≤<(2)12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【分析】（1）先化简集合A ，B ，再利用集合的交集和并集运算求解；（2）由A B A ⋃=，得到B A ⊆，分B =∅和B ≠∅求解.【详解】（1）因为集合{}{}2|230|13A x x x x x =--≤=-≤≤，当1a =时，集合{}|04B x x =<<，所以{}03A B x x ⋂=<≤，{}14A B x x ⋃=-≤<.（2）A B A =Q U ，B A ∴⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况；①当B =∅时，则122a a -≥+，解得：13a ≤-，此时满足B A ⊆；②当B ≠∅时，则122a a -<+，要使B A ⊆成立，则有1311223a a a ⎧>-⎪⎪-≥-⎨⎪+≤⎪⎩，解得13212a a a ⎧>-⎪⎪≤⎨⎪⎪≤⎩，所以1132a -<≤，综上可知，12a ≤，所以实数a 的取值范围为12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，.18．设3123x A x x ⎧⎫-=⎨⎬-⎩⎭，(){}2|660B x x a x a =+--≤，命题:p x A ∈，命题:q x B ∈(1)当8a =-时，试判断命题p 是命题q 的什么条件？(2)求a 的取值范围，使命题p 是命题q 的必要不充分条件.【答案】(1)命题p 是命题q 的必要不充分条件(2){a |a <-3}【分析】（1）根据分式不等式，一元二次不等式和集合关系结合充分条件必要条件的定义即得；（2）分类讨论参数结合条件即可求解.【详解】（1）3123x A x x ⎧⎫-==⎨⎬-⎩⎭{x |x <-5或x >3}，当a =-8时，(){}2|660B x x a x a =+--≤={x |x 2-14x +48≤0}={x |6≤x ≤8}，∵命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，则B 真包含于A ，∴命题p 是命题q 的必要不充分条件．（2）∵A ={x |x <-5或x >3}，(){}()(){}2|660|60B x x a x a x x x a =+--≤=-⋅+≤命题p 是命题q 的必要不充分条件，则B 真包含于A①当-a >6，即a <-6时，此时B ＝{x |6≤x ≤-a }，命题成立；②当-a ＝6，即a ＝-6时，此时B ＝{6}，命题成立；③当-a <6，即a >-6时，此时B ＝{-a ≤x ≤6}，故有-a ＞3，解得-6<a <-3.综上所述，a 的取值范围是{a |a <-3}.19．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，如图所示，现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，(1)请画出y 轴右侧的图像，并写出函数()()R f x x ∈的解析式和单调减区间；(2)若函数()()[]()211,2g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最大值．【答案】(1)图见解析，()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩，单调递减区间为[0,1]和(,1]-∞-(2)()max114,212,2a a g x a x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩【分析】（1）根据偶函数的图象关于y 轴对称，可作出()f x 的图象，写出单调递减区间，进而求得函数的解析式；（2）当[1,2]x ∈时，得到()22(1)1g x x a x =-++，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【详解】（1）解：如图所示，根据偶函数的图象关于y 轴对称，可作出()f x 的图象，当0x ≤时，设函数()2f x ax bx c =++，由图象可得()()()001112420f c f b c f a b c ⎧==⎪-=-+=-⎨⎪-=-+=⎩，解得1,2a b ==，所以()22f x x x =+，当0x >时，则0x -<，因为函数()f x 为偶函数，所以()()22f x f x x x =-=-，所以函数的解析式为()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩，可得()f x 的单调递减区间为[0,1]和(,1]-∞-，（2）解：当[1,2]x ∈时，()()2212(1)1g x f x ax x a x =-+=-++，可得其对称轴的方程为1x a =+且开口向上，①当312a +≤时，即12a ≤时，()()max 214g x g a ==-；②当312a +>时，即12a >时，()()max 12g x g a ==-，综上可得，()max 114,212,2a a g x a x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩20．已知函数2()1ax b f x x -=-在()1,1x ∈-为奇函数，且1423f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求a b ，值；(2)判断函数()f x 在()1,1-的单调性，并用定义证明；(3)解关于t 的不等式(1)()02t f f t ++<【答案】(1)2,0a b ==(2)函数()f x 在()1,1-为单调递减，证明见解析(3)203⎛⎫- ⎪⎝⎭，【分析】（1）根据()00f =可求得b 的值，再结合已知条件可求得实数a 的值；（2）由（1）由此可得出函数()f x 的解析式，可判断()f x 是奇函数，判断出函数()f x 在()1,1-上是减函数，任取1x 、()21,1x ∈-且12x x <，作差()()12f x f x -，因式分解后判断()()12f x f x -的符号，即可证得结论成立；（3）由(1)()02t f f t ++<得()(1)2t f f t +<-，根据函数()f x 的单调性与定义域可得出关于实数t 的不等式组，由此可解得实数t 的取值范围.【详解】（1）()f x 在()1,1x ∈-为奇函数，()001b f -∴==-，解得：0b =，又114212314a b f -⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭-，解得：2a =，故2,0a b ==，经检验满足题设.（2）当2,0a b ==时，()221x f x x =-，()()222211x x f x f x x x --==-=---∴当2,0a b ==时函数2()1ax b f x x -=-在()1,1x ∈-为奇函数，由()00f =，1423f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，判断函数()f x 在()1,1-为单调递减，证明：()1221,11x x x x ∀∈->，且，()()()22121212121222221212222()()1111x x x x x x x x f x f x x x x x --+-=-=----，()()()()211212221221()()11x x x x f x f x x x -+-=--，1211x x -<<< ，()()222121110,10,110x x x x x x ∴->+>-->，21()()f x f x ∴<，∴函数()f x 在()1,1-为单调递减，（3）则()(1)()0(1)22t t f f t f f t ++<⇒+<-，()f x 在()1,1x ∈-为奇函数，()(1)2t f f t ∴+<-，又函数()f x 在()1,1-为单调递减，11140221111,032123t t t t t t t t ⎧⎧-<+<⎪⎪-<<⎪⎪∴-<<⇒-<<∴-<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪+>->-⎩⎩∴t 的不等式的解集为203⎛⎫- ⎪⎝⎭，21．近年来，网龙已成为全球在线及移动互联网教育行业的主要参与者，教育版图至今已覆盖192个国家.网龙协助政府打造面向全球的“中国·福建VR 产业基地”，同时，网龙还将以“智能教育”为产业依托，在福州滨海新城打造国际未来教育之都——网龙教育小镇.网龙公司研发一种新产品，生产的固定成本为15000元，每生产一台产品须额外增加投入2000元，鉴于市场等多因素，根据初步测算，当每月产量为x 台时，总收入（单位：元）满足函数：230002,0300N ()700000,300,N x x x x F x x x **⎧-<≤∈=⎨>∈⎩，，设其利润为y ，（利润=总收入-总成本）(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)如何安排当月产量公司获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)22100015000,0300,N 2000685000,300,Nx x x x y x x x **⎧-+-<≤∈=⎨-+>∈⎩(2)安排当月产量300台时，利润最大为元.【分析】（1）根据利润=总收入-总成本，分0300,N x x *<≤∈和300,N x x *>∈两种情况求解即可；（2）分0300,N x x *<≤∈和300,N x x *>∈两种情况求出y 的最大值，然后比较可得答案.【详解】（1）①当0300x <≤，22300022000150002100015000y x x x x x =---=-+-，②当300x >，7000002000150002000685000y x x =--=-+，综上，22100015000,0300,N 2000685000,300,N x x x x y x x x **⎧-+-<≤∈=⎨-+>∈⎩.（2）①当0300x <≤，()2221000150002250110000y x x x =-+-=--+，∴当250x =台时利润最大为元.②当300x >，2000685000y x =-+在()300,x ∈+∞单调递减，()30085000y f <= 元>85000，答：安排当月产量300台时，利润最在为元.22．定义：设函数()f x 的定义域为D ，若存在实数m ，M ，对任意的实数x D ∈，有()f x M ≤，则称函数()f x 为有上界函数，M 是()f x 的一个上界；若()f x m ≥，则称函数()f x 为有下界函数，m 是()f x 的一个下界．(1)写出一个定义在R 上且M =1，1m =-的函数解析式；(2)若函数2()2f x x ax =+-在(0，1)上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围；(3)某同学在研究函数()0m y x m x =+>单调性时发现该函数在0,]m （与[,)m +∞具有单调性，①请直接写出函数()0m y x m x=+>在0,]m （与[,)m +∞的单调性；②若函数22()(0)x a g x a x+=>定义域为[]4,16，m 是函数()g x 的下界，请利用①的结论，求m 的最大值()m a .【答案】(1)1010x y x ≥⎧=⎨-<⎩（答案不唯一，如sin ,R y x x =∈）(2)(]3-∞，(3)①(0m ⎤⎦，为减函数，[,)m +∞为增函数；②()4,08222,8128816,128a a m a a a a a ⎧+<≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩【分析】（1）根据函数()f x 具有有界性的定义即可得出答案；（2）依题得对任意()0,1x ∈222x ax +-≤恒成立，分离参数可得4a x x ≤-，令()4h x x x=-，根据()h x 的单调性求得()()13h x h >=,即可得出答案.（3）①由对勾函数的性质即可得出答案；②根据对勾函数的单调性可知2()0a g x x a x =+>（）在(02a ⎤⎦，单调递减，[2,)a ∞+单调递增，分别讨论216a ≥、4216a <<、24a ≤求()g x 的最小值即为m 的最大值.【详解】（1）1010x y x ≥⎧=⎨-<⎩，的值域为{}1,1-，y 的一个上界为1，y 的一个下界为1-.答案不唯一，如sin ,R y x x =∈，sin y x =的值域为{}1,1-，y 的一个上界为1，y 的一个下界为1-.（2）依题得对任意()0,1x ∈，222x ax +-≤恒成立，4a x x ∴≤-，()0,1x ∈，令()4h x x x=-在()0,1x ∈为单调递减，()()13h x h ∴>=，3a ∴≤，∴实数a 的取值范围为(]3-∞，.（3）①由对勾函数的性质知，()0m y x m x =+>在(0m ⎤⎦，为减函数，[,)m +∞为增函数②222()0x a a g x x a x x +==+>（），由①知，()g x 在(02a ⎤⎦，为减函数，在[2,)a ∞+为增函数，当216a ≥即128a ≥时，由①知[]4,16x ∈为减函数，()()16168a g x g ∴≥=+，m 是()g x 的一个下界，()168a m a ∴=+，当24a ≤即08a <≤，由①知[]4,16x ∈为增函数，()()442a g x g ∴≥=+，m 是()g x 的一个下界，()42a m a ∴=+当4216a <<即8128a <<，2()22a g x x a x =+≥，当且仅当[]24,16x a =∈时等号成立，m 是()g x 的一个下界，()22m a a ∴=.综上所述：()408222,8128816,128a a m a a a a a ⎧+<≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，,。
2022-2023学年福建省福州市三校高一上学期期中联考数学试卷带讲解
B.当 时， C.教室内持续有效杀灭病毒时间为 小时
D.喷洒药物3分钟后开始进行有效灭杀病毒
ABD
【分析】
A.根据在药物释放过程中， 与 成正比,设 ,由过 判断；B.根据药物释放完毕后， 与 的函数关系式为： （ 为常数），由过 判断；C.由 时， ，当 时， ，分别计算出持续时间相加；D.由 时， 计算判断.
所以 ，解得 ，
若命题 为真命题， 的取值范围为 或 ，
若这两个命题有且仅有一个为真命题，
若 真 假， ，解得 ，
若 假 真， ，解得 或 ，
则实数 的取值范围是 .19.已知奇函数 ．
（1）求实数 的值；
（2）作出 的图象，并求出函数 在 上的最值；
（3）若函数 在区间 上单调递增，求 的取值范围．
【详解】当 时， ，此时 ；
当 时， .
①a=1时， 为常函数，此时在R上满足函数 有最小值为 ，
②a≠1时，函数f（x）此时为单调的一次函数，要满足在R上有最小值，
需 解得 ，
综上，满足题意的实数a的取值范围为： ，
故选：C．
8.函数 的图象关于点 成中心对称的充要条件是函数 为奇函数，则下列说法正确的是( )
（2）由 可得 ，当 时， ，当 时， ，由此能求出实数 的取值范围．
【小问1详解】
解： 时，集合 ， ，
．
【小问2详解】
解： ， ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ， 实数 的取值范围是 ．
18.命题 关于 的方程 有两个相异负根；命题 .
（1）若命题 为假命题，求实数 的取值范围；
（2）若这两个命题有且仅有一个为真命题，求实数 的取值范围.
（1）
福建省福州市2022-2021学年高一数学上学期期中联考试题(含解析)
福建省福州市2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求。
1.集合A＝{1，3}，B＝{x|2≤x≤5，x∈Z}，则A∩B＝（）A. {1}B. {3}C. {1，3}D. {2，3，4，5}【答案】B【解析】【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．【详解】集合A＝{1，3}，B＝{x|2≤x≤5，x∈Z}＝{2，3，4，5}，则A∩B＝{3}．故选：B．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.下列函数中哪个与函数y＝x相等（）A. y ＝（）2 B. y C. y D. y【答案】C【解析】【分析】可看出y＝x的定义域为R，通过求定义域可得出选项A，B的两函数的定义域和y＝x的定义域都不相同，从而判断A，B都错误．而通过化简选项D的函数解析式，可得出D的解析式和y＝x不同，从而判断D也错误，只能选C．【详解】y＝x的定义域为R；A .的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，与y＝x不相等；B.的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不相等；C.的定义域为R，且解析式相同，与y＝x相等；D.，解析式不同，不相等．故选：C．【点睛】本题考查函数的定义，判断两函数是否相等的方法：定义域和解析式是否都相同．3.若偶函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上是减函数，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得f（2）＝f（﹣2），结合函数的单调性分析可得答案．【详解】根据题意，f（x）为偶函数，则f（2）＝f（﹣2），又由函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上是减函数，则f（﹣1）＜f（）＜f（﹣2），即f（﹣1）＜f（）＜f（2），故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意利用奇偶性分析函数值的关系，属于基础题．4.三个数a＝0.312，b＝log20.31，c＝20.31之间大小关系为（）A. a＜c＜bB. a＜b＜cC. b＜a＜cD. b＜c＜a 【答案】C【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．【详解】∵0＜0.312＜0.310＝1，log20.31＜log21＝0，20.31＞20＝1，∴b＜a＜c．【点睛】熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解题的关键．5.若2x＝3，则x等于（）A. log32B. lg2﹣lg3C.D.【答案】D【解析】【分析】化指数式为对数式，再由换底公式得答案．【详解】由2x＝3，得x．故选：D．【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查换底公式的应用，是基础题．6.函数f（x）的零点所在的大致区间（）A. （0，1）B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4）【答案】B【解析】【分析】根据零点存在性定理，验证所给的区间的两个端点处的函数值是同号还是异号即可．【详解】∵函数f（x），在x＞0时，是连续函数且为增函数，f（1）＝1﹣2＝﹣1＜0，f（2）＝e﹣1＞0，∴函数的零点在（1，2）上，故选：B．【点睛】本题考查函数零点存在性定理的应用，考查了函数单调性的应用，属于基础题．7.设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则集合B的子集个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】【分析】由题意知1是方程x2﹣4x+m＝0的实数根，求出m的值和集合B，即知集合B的子集个数．【详解】集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}，若A∩B＝{1}，则1是方程x2﹣4x+m＝0的实数根，∴m＝4﹣1＝3，∴集合B＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{x|x＝1或x＝3}＝{1，3}，∴集合B的子集有22＝4（个）．故选：D．【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．8.若f（x），则f（x）的定义域为（）A. （）B. （）C. （）D. （）∪（1，+∞）【答案】D【解析】【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【详解】由，得x且x≠1．∴f（x）的定义域为（）∪（1，+∞）．故选：D．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．9.函数y的图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性，单调性再带入特殊点即可选出答案．【详解】函数y是奇函数，排除B，C；当x时，x2﹣1＜0，∴y0，图象在x轴的下方．排除D；故选：A．【点睛】本题考查了函数图象的识别，利用函数的性质及特殊函数值进行排除是解决此类问题的常见方法，是基础题．10.某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：x 1.99 2.8 4 5.1 8y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00现有如下4个模拟函数：①y＝0.6x﹣0.2；②y＝x2﹣55x+8；③y＝log2x；④y＝2x﹣3.02．请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反应这些数据的规律，应选（）A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】C【解析】【分析】根据表中提供的数据，可通过描点，连线，画出图象，看哪个函数的图象能接近所画图象，这个函数便可反应这些数据的规律．【详解】根据表中数据，画出图象如下：通过图象可看出，y＝log2x能比较近似的反应这些数据的规律．故选：C．【点睛】本题考查画函数图象的方法：列表，描点，连线，熟悉对数函数、指数函数、一次函数和二次函数的图象是关键．11.已知函数f（x）＝x2﹣kx﹣6在[2，8]上是单调函数，则k的取值范围是（）A. （4，16）B. [4，16]C. [16，+∞）D. （﹣∞，4]∪[16，+∞）【答案】D【解析】【分析】根据题意，求出二次函数f（x）的对称轴，结合二次函数的性质可得2或8，解可得k 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）＝x2﹣kx﹣6的对称轴为x，若f（x）在[2，8]上是单调函数，必有2或8，解可得：k≤4或k≥16，即k的取值范围是（﹣∞，4]∪[16，+∞）；故选：D．【点睛】本题考查二次函数单调性的性质，注意二次函数的性质，属于基础题．12.已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）＝f（x）+f（y）且当x＞0，f（x）＜0．给出下列四个结论：①f（0）＝0；②f（x）为偶函数；③f（x）为R上减函数；④f（x）为R上增函数．其中正确的结论是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】A【解析】【分析】根据题意，令y＝x＝0计算f（0）的值，判断①正确；令y＝﹣x，得出f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）是奇函数，判断②错误；根据x＞0，f（x）＜0，x＝0时f（x）＝0，x＜0时，f（x）＞0，判断f（x）为R上的减函数，③正确，④错误．【详解】对于①，令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）+f（0）＝2f（0），∴f（0）＝0，①正确；对于②，令y＝﹣x，则f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x）＝0，∴f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）是奇函数，②错误；对于③，当x＞0，f（x）＜0，令＜，f（）﹣f（）＝f（﹣）＜0，∴f（）＜f（），∴f（x）为R上的减函数，③正确；对于④，f（x）为R上增函数，④错误．综上，其中正确的结论是①③．故选：A．【点睛】本题考查了抽象函数的性质与应用问题，要注意抽象函数的性质证明要紧扣定义，是基础题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，）则f（3）＝__________【答案】【解析】 【分析】求出幂函数的解析式，然后求解f （3）的值． 【详解】因为幂函数y ＝f （x ）的图象经过点（2，），所以幂函数的解析式为：f （x ），则f （3）． 故答案为：．【点睛】本题考查幂函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力．14.已知集合A ＝{x |2x +1＜0}，B ＝{x |2x ≤1}，则A ∪B ＝__________ 【答案】【解析】 【分析】可求出A ，B ，然后进行并集的运算即可． 【详解】，B ＝{x |x ≤0}； ∴A ∪B ＝{x |x ≤0}． 故答案为：（【点睛】本题考查描述法的定义，考查了指数函数的单调性的应用及并集的运算，属于基础题．15.已知函数f （x ），则______________.【答案】 【解析】 【分析】先利用分段函数及对数运算求出f （），再由指数的运算求出．【详解】∵函数f （x ），∴f（）2，∴f（﹣2）＝2﹣2．故答案为：．【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数性质的合理运用．16.若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x恒有f（x）+f（﹣x）＝0，②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有0，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数中①f（x）；②f（x）；③f（x）；④f（x），能被称为“理想函数”的有_______________（填相应的序号）．【答案】③④【解析】【分析】由题意可得f（x）为定义域上的奇函数和减函数，可得f（x）为“理想函数”，对四个函数，分别考虑其奇偶性和单调性，即可得到正确结论．【详解】由题意可得f（x）为定义域上的奇函数和减函数，可得f（x）为“理想函数”，由①f（x）为{x|x≠0}的奇函数，在x＞0，x＜0函数递减，不为“理想函数”；由②f（x），可得f（﹣x）＝f（x），即f（x）为偶函数，不为“理想函数”；由③f（x）（﹣1＜x＜1），f（﹣x）+f（x）＝log2log2log21＝0，可得f（x）为﹣1＜x＜1的奇函数，且0＜x＜1时，f（x）＝log2（1）递减，即有f（x）在（﹣1，1）递减，为“理想函数”；对于④f（x），即f（x）＝﹣x|x|，可得f（x）为R上的奇函数，且为减函数，故④为“理想函数”．故答案为：③④．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.化简求值（1）；（2）lg lg25+ln．【答案】（1）3；（2）.【解析】【分析】（1）利用指数运算性质即可得出．（2）利用对数运算性质即可得出．【详解】（1）原式3＝2+3﹣2＝3．（2）原式2．【点睛】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.已知集合A＝{x|1＜x＜6}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若C⊆B，求实数a的取值范围．【答案】（1）A∪B＝{x|1＜x＜10},（∁R A）∩B＝{x|6≤x＜10} ；（2）.【解析】【分析】（1）进行并集、交集和补集的运算即可；（2）根据C⊆B，可讨论C是否为空集：C＝∅时，5﹣a≥a；C≠∅时，，这样即可得出实数a的取值范围．【详解】（1）∵A＝{x|1＜x＜6}，B＝{x|2＜x＜10}，A∪B＝{x|1＜x＜10}，∁R A＝{x|x≤1，或x≥6}；∴（∁R A）∩B＝{x|6≤x＜10}；（2）∵C⊆B；①C＝∅时，5﹣a≥a；∴；②C≠∅时，则；解得；综上得，a≤3；∴a的取值范围是（﹣∞，3]．【点睛】本题考查描述法的定义，交集、并集和补集的运算，以及子集的定义，考查了分类讨论思想，属于基础题．19.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x2+2x．现已画出函数f （x）在y轴左侧的图象如图所示，（1）画出函数f（x），x∈R剩余部分的图象，并根据图象写出函数f（x），x∈R的单调区间；（只写答案）（2）求函数f（x），x∈R的解析式．【答案】（1）图象见解析；递减区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；增区间为（﹣1，1）；（2）f（x）．【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质结合函数f（x）在y轴左侧的图象，即可补充函数图象，据此写出函数的单调区间即可得答案；（2）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，设x＞0时，则﹣x＜0，由函数的解析式可得f（﹣x），结合奇函数的性质可得f（x）的解析式，综合即可得答案．【详解】（1）根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则其图象如图：其递减区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；增区间为（﹣1，1）；（2）根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，满足f（x）＝x2+2x；当x＞0时，则﹣x＜0，则f（﹣x）＝（﹣x）2+2（﹣x）＝x2﹣2x，又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+2x，综上：f（x）．【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，关键是补充函数的图象，属于基础题．20.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的16%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5（A+1）进行奖励．记奖金y（单位：万元），销售利润x（单位：万元）（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型；（2）如果业务员老张获得5.6万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元．【答案】（1）见解析；（2）老张的销售利润是34万元.【解析】（1）直接由题意列出分段函数解析式；（2）由y＝5.6，可知x＞10，代入第二段函数解析式求解．【详解】（1）由题意得；（2）由x∈（0，10]，0.16x≤1.6，而y＝5.6，∴x＞10．因此1.6+2log5（x﹣9）＝5.6，解得x＝34（万元）．∴老张的销售利润是34万元．【点睛】本题考查简单的数学建模思想方法，考查了分段函数的求值问题，是基础的计算题．21.已知二次函数f（x）＝x2+bx+c有两个零点1和﹣1．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x），试判断函数g（x）在区间（﹣1，1）上的单调性并用定义证明；（3）由（2）函数g（x）在区间（﹣1，1）上，若实数t满足g（t﹣1）﹣g（﹣t）＞0，求t的取值范围．【答案】（1）f（x）＝x2﹣1；（2）见解析；（3）（0，）.【解析】【分析】（1）由题意可得﹣1和1是方程x2+bx+c＝0的两根，运用韦达定理可得b，c，进而得到函数f（x）的解析式；（2）函数g（x）在区间（﹣1，1）上是减函数．运用单调性的定义，注意取值、作差和变形、定符号以及下结论等；（3）由题意结合（2）的单调性可得﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1，解不等式即可得到所求范围．【详解】（1）由题意得﹣1和1是方程x2+bx+c＝0的两根，所以﹣1+1＝﹣b，﹣1×1＝c，解得b＝0，c＝﹣1，所以f（x）＝x2﹣1；（2）函数g（x）在区间（﹣1，1）上是减函数．证明如下：设﹣1＜x1＜x2＜1，则g（x1）﹣g（x2），∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴x2﹣x1＞0，x1+1＞0，x2+1＞0，可得g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），则函数g（x）在区间（﹣1，1）上是减函数；（3）函数g（x）在区间（﹣1，1）上，若实数t满足g（t﹣1）﹣g（﹣t）＞0，即有g（t﹣1）＞g（﹣t），又由（2）函数g（x）在区间（﹣1，1）上是递减函数，可得﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1，解得0＜t．则实数t的取值范围为（0，）．【点睛】本题考查函数的零点的定义和单调性的判断和证明，考查了单调性的应用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．22.已知奇函数f（x）＝a（a为常数）．（1）求a的值；（2）若函数g（x）＝|（2x+1）f（x）|﹣k有2个零点，求实数k的取值范围；（3）若x∈[﹣2，﹣1]时，不等式f（x）恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）k∈（0，1）；（3）[4，+∞）.【解析】【分析】（1）由f（x）为R上的奇函数可得f（0）＝0，解方程可得a；（2）由题意可得方程|2x﹣1|﹣k＝0有2个解，即k＝|2x﹣1|有2个解，即函数y＝k和y＝|2x﹣1|的图象有2个交点，画出图象即可得到所求范围；（3）由题意可得m≥2﹣x x∈[﹣2，﹣1]时恒成立，由g（x）＝2﹣x在R上单调递减，即可得到所求范围．【详解】（1）f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）＝a﹣1＝0，即a＝1，可得f（x）＝1，由f（﹣x）+f（x）0，即f（x）为R上的奇函数，故a＝1；（2）函数g（x）＝|（2x+1）f（x）|﹣k有2个零点⇔方程|2x﹣1|﹣k＝0有2个解，即k＝|2x﹣1|有2个解，即函数y＝k和y＝|2x﹣1|的图象有2个交点，由图象得k∈（0，1）；（3）x∈[﹣2，﹣1]时，f（x），即1，即m≥2﹣x在x∈[﹣2，﹣1]时恒成立，由g（x）＝2﹣x在R上单调递减，x∈[﹣2，﹣1]时，g（x）的最大值为g（﹣2）＝4，则m≥4，即m的取值范围是[4，+∞）．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性、以及函数零点个数、函数恒成立问题解法，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．。
福建省福州市2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题含解析
福州2021-2022学年第一学期期中考数学试卷（答案在最后）一､选择题（共8小题）1.已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5A =，集合{}1,3,4,6B =，则集合U A B ⋂=（）ðA.{}3 B.{}2,5 C.{}1,4,6 D.{}2,3,5【答案】B 【解析】【详解】{}2,3,5A =,{}2,5U B =ð,则{}2,5U A B ⋂=（）ð,故选B.考点：本题主要考查集合的交集与补集运算.2.命题“2,10x Q x x ∀∈++>”的否定为（）A.2,10x Q x x ∃∈++>B.2,10x Q x x ∀∈++≤C.2,10x Q x x ∃∈++≤D.2,10x Q x x ∃∉++≤【答案】C 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】解：因为全称命题的否定为特称命题，所以命题“2,10x Q x x ∀∈++>”的否定为“2,10x Q x x ∃∈++≤”，故选：C.3.下列函数中既是奇函数，又是增函数的是（）A.1()f x x=-B.()3xf x = C.3()log f x x= D.()f x =【答案】AD 【解析】【分析】由幂函数、指数函数、对数函数的奇偶性与单调性即可求解.【详解】解：对A ：1()f x x=-是奇函数，且是增函数，符合题意；对B ：()3x f x =不具有奇偶性，是增函数，不符合题意；对C ：3()log f x x =不具有奇偶性，是增函数，不符合题意；对D ：13()f x x==是奇函数，且是增函数，符合题意；故选：AD.4.设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1x f x e -=-，则当0x <时，()f x =（）A.e 1x -- B.e 1x -+ C.e 1x --- D.1x e -+【答案】D 【解析】【分析】首先设0x <，得到0x ->，再代入()1x f x e -=-，利用函数的奇偶性求解即可.【详解】设0x <，则0x ->，因为函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1x f x e -=-，()()1x f x e f x -=-=-，即：()1x f x e =-+.故选：D5.某高校为加强学科建设，制定了第“十四五”（2021-2025）规划，计划逐年加大科研经费投入，已知该校计划2021年全年投入科研资金20万元，2025年全年投入科研资金28万元，则第“十四五”期间，投入科研资金的年均增长率约为（）A.141.41- B.151.41- C. 1.4log 51- D.1.4log 41-【答案】A 【解析】【分析】设年增长率为x ，由题意可得()420128x +=，从而即可求解.【详解】解：设年增长率为x ，由题意可得()420128x +=，即()4281 1.420x +==，所以141 1.4x +=，解得141.41x =-，所以投入科研资金的年均增长率约为141.41-，故选：A.6.函数2()21x xf x x =-+的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶函数的定义证明()f x 是偶函数，可排除B 、C ；再由()20f >可排除D.【详解】由题意知，函数()f x 的定义域为R ，()221x x f x x =-+2=21xxx x⋅-+，则()f x -22=2121x x xxx x x x---⋅+⋅-=++，所以()()f x f x =-，即函数()f x 为偶函数，故可排除B 和C ；当2x =时，()605f x =>，故可排除D.故选：A7.冈珀茨模型()tb y k a=⋅是由冈珀茨（Gompertz ）提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t 年后的种群数量y 近视满足冈珀茨模型：0.1251.40tey k e -=⋅（当0=t 时，表示2020年初的种群数量），若()m m N*∈年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m 的最小值为（）(ln 20.7)≈A.9 B.7 C.8D.6【答案】D 【解析】【分析】由已知模型列出不等式后，取对数变形求解．【详解】由已知0.12501.4 1.40012me e k ek e -⋅≤⋅，显然00k >，0.1251.4 1.412me ee -≤，两边取自然对数有：0.1251.4 1.4ln 20.7m e -≤-≈，0.12512m e -≤，所以0.125ln 20.7m -≤-≈-， 5.6m ≥．m 的最小值为6．故选：D ．8.设34c =，4log 3b =，5log 4a =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.b c a >>B.b a c >>C.a b c>> D.c b a>>【答案】C 【解析】【分析】对于a ，b 的比较，构造函数，通过研究函数的单调性来进行比较，对于a ，c 或b ，c 的比较通过作差法来进行比较【详解】444444log 33l 8164og og 0l b c ---=>=，故b c>；555444log 43lo 2561250g log a c --=->=，故a c >；4ln 3log 3ln 4b ==，5ln 4log 4ln 5a ==令()()ln ln 1xf x x =+，（0x >），则()()()()()()()()()()2221ln 1ln ln 1ln 11ln 1ln 1ln 11ln 11ln 1x xx x x x x x x x x f x x x x x x x x ⎛⎫++++- ⎪++-⎝⎭+'===+++++因为0x >，所以111x +>，1ln 10x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，()ln 10x +>，故()0f x '>恒成立，()()ln ln 1xf x x =+在0x >上单调递增，所以()()43f f >，故a b>综上：a b c >>故选：C二､多选题（共4小题）9.下列结论正确的是（）A.lg(25)lg 2lg 5+=⋅B.1= C.1383272-⎛⎫=⎪⎝⎭D.24log 3log 6=【答案】BC 【解析】【分析】AD 选项应用对数运算法则进行计算，B 选项利用根式化简法则进行求解；C 选项，利用指数运算法则进行计算【详解】lg(25)lg 2lg 5+=⋅错误，正确的应该是lg(25)lg 2lg 5⨯=+，故A错误；，B 选项正确；1131338223==27332---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，C 选项正确；4221log 6=log 6=log 2D 选项错误.故选：BC10.下列四个命题中，真命题是（）A.22a b ac bc >⇒> B.22||a b a b >⇒> C.11a b a b>⇒< D.22||a b a b>⇒>【答案】BD 【解析】【分析】利用不等式的性质分别对选项进行验证，即可得到答案.【详解】对于A 选项，当0c =时，22=ac bc ，故A 错误；已知||0b ≥，即||0a b >≥，左右两边同时平方即可得到22a b >，故B 正确.；当,a b 同号时，11a b a b>⇒<，当,a b 异号时，11a b a b>⇒>，故C 错误；22||||||a b a b a b >⇒>⇒>，故D 正确.故选：BD.11.下列命题中真命题的是（）A.“1x >”是“21x >”的充分不必要条件B.若(1)f x +是偶函数，则()f x 的图像关于直线1x =-轴对称C.若(2)()f x f x +=--，则()f x 的图像关于点(1,0)-中心对称D.[1,1]x ∃∈-，使得方程21ax =有解的充要条件是1a ≥【答案】AD 【解析】【分析】解不等式21x >，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断A ；根据偶函数的图像的特征及函数()f x 与函数(1)f x +图像的关系即可判断B ；由(2)()f x f x +=--，可得()()()111f x f x f x +=---=--+⎡⎤⎣⎦，再根据函数()f x 与函数(1)f x +图像的关系即可判断C ；根据方程21ax =有解，求得a 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断D.【详解】解：对于A ，由21x >，得1x >或1x <-，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ，若(1)f x +是偶函数，则(1)f x +的图像关于y 轴对称，()f x 的图像是由函数(1)f x +向右平移1个单位得到的，所以函数()f x 的图像关于直线1x =轴对称，故B 错误；对于C ，若(2)()f x f x +=--，所以()()()111f x f x f x +=---=--+⎡⎤⎣⎦，令1m x =+，则()()f m f m =--，所以函数()f m 关于原点对称，又()f x 是由函数()f m 向右平移1个单位得到的，所以函数()f x 的图像关于点(1,0)中心对称，故C 错误；对于D ，[1,1]x ∃∈-，使得方程21ax =有解，当0x =时，01=不成立，舍去，当0x ≠时，即[)(]1,00,1x ∈- ，则211a x=≥，所以1a ≥，综上所述1a ≥，所以[1,1]x ∃∈-，使得方程21ax =有解的充要条件是1a ≥，故D 正确.故选：AD.12.已知函数()2xf x e x =+-的零点为1x ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为2x ，则（）A.122x x +=B.122x x > C.122x x e e e+> D.122x x <【答案】ACD 【解析】【分析】依题意可得112x e x =-，22ln 2x x =-，根据反函数的性质可得122x x +=，再利用基本不等式判断C ，利用零点存在性定理得到1102x <<、21x <<函数的单调性判断B 、D ；【详解】解：函数()2x f x e x =+-的零点为1x ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为2x ，可得112x e x =-，22ln 2x x =-，即有1221ln 4()x e x x x +=-+，由x y e =的反函数ln y x =关于直线y x =对称，x y e =与直线2y x =-的交点为11(,2)x x -，ln y x =与直线2y x =-的交点为22(,2)x x -，可得122x x =-，即122x x +=，故A 正确；由基本不等式得，122x x e e e += ，而12x x ≠，∴等号不成立，故122x x e e e +>，故C 正确；因为()010f =-<，11221112 2.2520222f e ⎛⎫=+->+-= ⎪⎝⎭，所以1102x <<所以()12111220232x x x x x =----<=，所以122x x <，故B 错误；又()1ln1121g =+-=-，11221122 2.252022g e ==+->+-=，所以21x <<则()1222222ln x x x x x x -==，因为ln y x x =在(上单调递增，所以1222ln 2x x x x =<=，故D 正确；故选：ACD三､填空题（共4小题）13.函数()f x =___________，值域为___________.【答案】①.(,3]-∞②.[0,)+∞【解析】【分析】由真数大于0和被开方数大于等于0，可得不等式组，解不等式组，即可得定义域，根据对数函数的值域可知()f x 的值域.【详解】由题意得：()40,4,3lg 40,3,x x x x x -><⎧⎧⇒⇒≤⎨⎨-≥≤⎩⎩，∴函数的定义域为(],3-∞,(,3]x ∈-∞ ,lg(4)0x ∴-≥,0≥∴,即()f x =的值域为[0,)+∞.故答案为：(],3-∞；[0,)+∞14.已知函数()22x x f x a -=⋅-是偶函数，则=a ___________.【答案】-1【解析】【分析】根据奇偶函数的性质可得()()f x f x =-，列出方程，进而解出a 的值.【详解】因为函数()22x x f x a -=⋅-是偶函数，所以()()f x f x =-，又()22x x f x a --=⋅-，所以22x x a -⋅-=22x x a -⋅-，即(1)(22)0x x a -+-=，所以1a =-.故答案为：-115.已知a R ∈，函数2()log f x a x =.若2t ∀≥，使得(2)()1f t f t +-≤，则实数a 的最大值是___________.【答案】1【解析】【分析】化简(2)()1f t f t +-≤，得到212log a t t≤+在2t ∀≥上恒成立，故求出212log t t+在2t ≥的最小值1，让1a ≤即可【详解】(2)()1f t f t +-≤，即2222log (2)log log 1t a t a t a t++-=≤，因为2t ≥，所以22222log log 1log 10t t t +⎛⎫=+>= ⎪⎝⎭，所以212log a t t≤+恒成立，其中2222log log 1t y t t +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭在2t ≥时单调递减，故22222log log 12t t ++≤≤，所以2112log t t≥+，所以1a ≤，故实数a 的最大值是1故答案为：116.已知函数()f x 满足21,0()lg ,0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程22[()]4()20f x mf x m -++=有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为___________.【答案】3m >或13m <<【解析】【分析】令()t f x =，则方程22[()]4()20f x mf x m -++=转化为22420t mt m -++=，作出函数()f x 的图象，由题意，原问题等价于22420t mt m -++=有两个大于1的不等实数根，根据一元二次方程根的分布列出不等式组求解即可得答案.【详解】解：令()t f x =，则方程22[()]4()20f x mf x m -++=转化为22420t mt m -++=，作出函数()f x的图象如下图所示，由题意，方程22[()]4()20f x mf x m -++=有四个不相等的实数根，即22420t mt m -++=有两个大于1的不等实数根，令22()42h t t mt m =-++，则()()22224420412(1)1420m m m h m m ⎧∆=--+>⎪⎪-->⎨⎪=-++>⎪⎩解得3m >或13m <<，则实数m 的取值范围为3m >或13m <<，故答案为：3m >或13m <<.四､解答题（共6小题）17.已知全集U =R ，集合{}{}2log 21,3327xA x x aB x =-≥=<<.（1）当3a =时，求A B ；（2）在①B A ⊆；②A B ⋂≠∅；③()U A B A ⋃=ð中任选一个条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）5|32x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭（2）答案见解析【解析】【分析】（1）首先解指数不等式、对数不等式及绝对值不等式求出集合A 、B ，再根据交集的定义计算可得；（2）根据所选条件，得到不等式组，即可求出参数的取值范围；【小问1详解】解：由3327x <<，即13333x <<，解得13x <<，即{}{}|3327|13xB x x x =<<=<<，由21l g 2o x a -≥，即22log log 22x a -≥，所以22x a -≥，即22x a -≥或22x a -≤-，解得12a x ≥+或12a x ≤-，即{}2log 21A x x a =-≥{|12a x x =≥+或1}2a x ≤-当3a =时5{|2A x x =≥或1}2x ≤所以5|32⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭A B x x 【小问2详解】解：由（1）可知{|12a A x x =≥+或1}2ax ≤-，{}|13B x x =<<；若选①，B A ⊆，则112a +≤或132-≥a，解得0a ≤或8a ≥，即(][),08,a ∈-∞⋃+∞；若选②，若A B =∅ ，则132112a a ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得4a =，所以4a ≠时A B ⋂≠∅；若选③，因为{}|13B x x =<<，所以{|1U B x x =≤ð或3}x ≥，因为()U A B A ⋃=ð，所以()U B A ⊆ð，所以132112aa ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得4a =；18.设函数2()2(2)1f x mx m x =+++.（1）若()f x 在[1,)+∞单调递增，求实数m 的取值范围；（2）解关于x 的不等式()0f x ≤.【答案】（1）0m ≥（2）当2m ≤-时，11,,2m ⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ；当20m -<<时，11,,2m ⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；当0m =时，1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；当02m <<时，11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；当2m ≥时，11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据m 是否为0分类讨论，不等于0时根据二次函数的性质列式求解即可；（2）根据m 与0的大小分类讨论求解即可.【小问1详解】当实数0m =，()21f x x =+，()f x 在[1,)+∞单调递增，符合题意.当实数0m ≠，根据二次函数的性质，函数()f x 的对称轴为24m m+-，要使得()f x 在[1,)+∞单调递增，则2140m m m +⎧-≤⎪⎨⎪>⎩，解得0m >综上述，0m ≥.【小问2详解】当实数0m =，()21f x x =+，()0f x ≤时，12x ≤-.当实数0m >，()()2()2(2)11210f x mx m x mx x =+++=++≤如果112m -<-，即02m <<时，()0f x ≤得112x m -≤≤-，如果112m -≥-，2m >时，()0f x ≤得112x m-≤≤-.当实数0m <，此时1102m ->>-，()()()1210f x mx x =++≤，()()()1210f x mx x =--+≥解得12x ≤-或1x m ≥-综上述，()0f x ≤的解集为：当0m <时，11,,2m ⎛⎤⎡⎫-∞--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；当0m =时，1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；当02m <<时，11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；当2m ≥时，11,2m ⎡⎤--⎢⎣⎦.19.已知函数2()4mx n f x x +=+是定义在[2,2]-上的奇函数，且1(1)5f =.（1）求m ，n 的值，判断函数()f x 的单调性并用定义加以证明；（2）求使()2(1)10f a f a -+-<成立的实数a 的取值范围.【答案】（1）1,0==m n ，增函数，证明见解析（2）11a -≤<【解析】【分析】（1）因为函数()f x 为定义在[2,2]-上的奇函数，所以(0)0f =，又1(1)5f =，由此可得m ，n 的值，再由单调性定义判断函数的单调性；（2）()2(1)10f a f a -+-<，即()2(1)1f a f a -<-，根据定义域及单调性列出不等式组，从而可得出答案.【小问1详解】解：因为函数2()4mx nf x x +=+是定义在[2,2]-上的奇函数，所以()00f =，即04n=，解得0n =，又因1(1)55m f ==，所以1m =，所以1,0==m n ，2()4xf x x =+，经检验符合题意，在[2,2]-上任取1x ，2x ，且12x x <，则1212121222221212()(4)()()44(4)(4)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1222x x -< ，所以120x x -<，1240x x ->，所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数()f x 在[2,2]-单调递增；【小问2详解】解：因为()2(1)10f a f a -+-<，所以()2(1)1f a f a -<--，即()2(1)1f a f a -<-，因为函数()f x 在[2,2]-单调递增，所以2211212212a a a a ⎧-<-⎪-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩，解得11a -≤<.20.已知函数44()32log ,()log f x x h x x =-=.（1）当[1,16]x ∈时，求函数()[()1]()g x f x h x =+⋅的值域；（2）如果对任意的[1,16]x ∈，不等式()2()f x f m h x ⋅>⋅恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）[0,2]（2）3m <-【解析】【分析】（1）设4log t x =，把函数转化为二次函数，利用二次函数性质可得值域；（2）设4log t x =换元，分类0=t 时不等式成立，在(0,2]t ∈时，分离参数后应用函数单调性求得最小值得结论．【小问1详解】设4log t x =，由[1,16]x ∈得[0,2]t ∈，22()(321)242(1)2g x t t t t t =-+=-+=--+，所以1t =时，max ()2g x =，2t =或0时，min ()0g x =，所以所求值域为[0,2]；【小问2详解】设4log t x =，又[1,16]x ∈，所以[0,2]t ∈，不等式()2()f xf m h x ⋅>⋅为2444(32log )(32log log x m x -->，即(34)(3)t t mt -->，0=t ，不等式显然成立，(]0,2t ∈时，不等式化为(34)(3)9415t t m t t t--<=+-，9415153t t +-≥-=-,当且仅当32t =时，等号成立，所以3m <-．综上，3m <-．21.已知福州地铁2号线路通车后，地铁的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时，地铁为满载状态，载客量为400人；当210t ≤<时，载量会减少，减少的人数与()210t -成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记地铁的载客量为()p t .（1）求()p t 的表达式，并求发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为()123000150p t Q t-=-（元）.问：当地铁发车时间间隔多少时，该线路每分钟的净收益最大？【答案】（1）()()2400210,210400,1020t t p t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量为368人.（2）当地铁发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大.【解析】【分析】（1）当210t ≤<时，设()()240010p t k t =--，由()2272p =可求出k 的值，结合已知条件可得出函数()p t 的函数解析式，进而可求得()6p 的值；（2）分210t ≤<、1020t ≤≤两种情况讨论，求出Q 关于t 的函数解析式，利用基本不等式以及函数的单调性可求得Q 的最大值及其对应的t 值，即可得出结论.【小问1详解】解：当210t ≤<时，设()()240010p t k t =--，则()240064272p k =-=，解得2k =.由题意可得()()2400210,210400,1020t t p t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩.所以，发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量为()2640024368p =-⨯=（人）.【小问2详解】解：当210t ≤<时，()21230004802460060015015033024p t t t Q t t t t ---⎛⎫=-=-=-+ ⎪⎝⎭33090≤-（元），当且仅当5t =时，等号成立；当1020t ≤≤时，()1230001800150150p t Q tt-=-=-，此时函数1800150Q t =-单调递减，则18001503010Q ≤-=，当且仅当10t =时，等号成立.综上所述，当地铁发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大.22.对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数.①对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；②当11120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有()()()1212f x x f x f x +≥+成立.已知函数2()g x x =与()21x h x a =⋅-是定义在[0,1]上的函数.（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由；（2）若函数()h x 是G 函数，（i ）求实数a 的值；（ii ）讨论关于x 的方程()21()()xg h x m m R --=∈解的个数情况.【答案】（1）是，理由见解析；（2）（i ）1；（ii ）详见解析.【解析】【分析】（1）根据G 函数的定义求解；（2）（i ）根据函数()h x 是G 函数，由[0,1]x ∈，总有021x a ⋅-≥成立，求得1a ≥再由②当11120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有()121221222x x x x a a +≥⋅-+-成立，由()()12111221x x a -≤--，对11120,0,1x x x x ≥≥+≤时成立，求得1a ≤求解；（ii ）将方程()21()()xg h x m m R --=∈，转化为()()22121x xm ---=，令[]210,1xt =-∈，转化为221124m t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭求解.【小问1详解】解：函数()g x 是为G 函数，理由如下：①对任意的[0,1]x ∈，总有2()0g x x =≥；②当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，()()()()222212122121212122x x x x x x g g x x x x x g x ==+++⋅=++≥+，所以函数()g x 是为G 函数，【小问2详解】（i ）因为函数()h x 是G 函数，则①[0,1]x ∈，总有021x a ⋅-≥成立，即12xa ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，对[0,1]x ∈成立，所以1a ≥②当11120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有()121221222x x x x a a +≥⋅-+-成立，即()()12111221x x a -≤--，对11120,0,1x x x x ≥≥+≤时成立因为11120,0,1x x x x ≥≥+≤，所以12211,21100x x ≤≤--≤≤，因为12,x x 不同时为1，所以()()120211211xx <---≤，当120x x ==时，等号成立，所以1a ≤，综上：1a =，（ii ）方程()21()()xg h x m m R --=∈，即为()()22121x xm ---=，令[]210,1xt =-∈，则方程为221124m t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，当14m <-或0m >时，方程无解；当14m=-时，方程一个解；当104m-<≤时，方程有两个解.。
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2021-2022学年福建省福州市鼓楼区延安中学高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设全集U ={1,2,3,4,5,6}，集合A ={2,3,5}，B ={3,4,6}，则(∁U A)∪B =( )A. {3}B. {4,6}C. {1,3,4,6}D. {2,3,4,5,6}2. 若函数f(x)=√x +1+1x−3的定义域是( )A. [−1,3)B. [−1,+∞)C. [−1,3)∪(3,+∞)D. (3,+∞)3. 下列函数中，是奇函数且在(0,+∞)上为增函数的是( )A. f(x)=−1xB. f(x)=√xC. f(x)=|x|D. f(x)=x +34. 幂函数f(x)=x α的图象经过点(8,2)，则f(−1)的值为( )A. 1B. −1C. 0D. 25. 函数y =2x 2−2x −1在区间[−1,1]上的最小值为( )A. −12B. −1C. −32D. −26. 已知f(x)是R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=x 2−x ，则当x <0时，f(x)=( )A. −x 2+xB. −x 2−xC. x 2+xD. x 2−x7. 已知定义域为R 的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x)≥0的x 的取值范围是( )A. (−∞,−2]∪[2,+∞)B. [−2,2]C. [−2,0)∪(0,2]D. [−2,0)∪[2，+∞)8. 要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性 14C ，动植物死亡后，停止新陈代谢， 14C 不再产生，且原有的 14C 会自动衰变．经科学测定， 14C 的半衰期为5730(设 14C 的原始量为1，经过x 年后， 14C 的含量f(x)=a x ，即f(5730)=12).现有一古物，测得 14C 为原始量的79.37%，则该古物距今约多少年？( )(参考数据：√123≈0.7937，√125730≈0.9998) A. 1910B. 3581C. 9168D. 171909.下列命题中，正确的是()A. 若a>b，则ac2>bc2B. 若a>b，则a3>b3C. 若a>b>0，m>0，则b+ma+m >baD. 若−1<a<5，2<b<3，则−4<a−b<310.已知函数f(x)={x 2,−2≤x<1−x+2,x≥1，关于函数f(x)的结论正确的是()A. f(x)的定义域为RB. f(x)的值域为(−∞,4]C. 若f(x)=2，则x的值是−√2D. f(x)<1的解集为(−1,1)11.下列说法中，正确的是()A. 任取x∈R，都有3x>2xB. y=(√3)−x是增函数C. y=2|x|的最小值为1D. 在同一坐标系中y=2x与y=2−x的图像关于y轴对称12.下列命题中是假命题的是()A. “x>1”是“x2>1”的充分不必要条件B. 命题“∃x∈R，使x2+x−1<0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x−1>0”C. 满足{a}⫋P⊆{a,b,c}的集合P的个数是3个D. 关于x的不等式ax2+ax+4<0的解集为⌀，则实数a的取值范围是(0,16)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.定义在R上的函数f(x)满足：①f(x)单调递减；②f(0)=1，请写出一个满足条件的函数f(x)=．14.已知函数f(x)为偶函数，且当x>0时，f(x)=x2+1x，则f(−1)=______．15.已知三个数M=0.32−0.32，P=0.32−3.2，Q=3.2−0.32，则它们从小到大排列的顺序是______．16.已知f(x)=32x−(k+1)⋅3x+2，当x∈R时，f(x)的值恒大于零，则实数k的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.(1)(27)−13+0.1−2+(27)0.5−π0；9a23b12)⋅(−3a12b13)÷(a16b56)．(2)(1318.设全集为R，集合A={x|x2−2x−3>0}，B={x|a−1<x<2a+3}．(1)若a=−1，求A∩B；(2)在①A∪B=A，②A∩B=B，③(∁R A)∩B=⌀，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．19.已知函数f(x)=x2−(a+1)x+b，(1)若f(x)<0的解集是(−5,2)，求a，b的值；(2)若a=b，解关于x的不等式f(x)>0．20.给定函数f(x)=x+3，g(x)=(x+1)2，x∈R．(1)在同一坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图像，(2)若min{a,b}表示a，b中的较小者，例如min{2,1}=1.记m(x)=min{f(x),g(x)}．(ⅰ)请分别用图像法和解析法表示函数m(x)，并指出函数m(x)的单调区间，(ⅱ)当x∈[−52,−12]时，求m(x)的值域．21.中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本C(x)(万元).当年产量不足80台时，C(x)=12x2+40x(万元)，当年产量不小于80台时，C(x)=101x+8100x−2180(万元)，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．(1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式．(2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润．22.已知函数f(x)=e x−m是定义在R上的奇函数．e x(1)求实数m的值；(2)用单调性定义证明函数f(x)是R上的增函数；(3)若函数f(x)满足f(t−1)+f(2t2)<0，求实数t的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为：全集U ={1,2,3,4,5,6}，集合A ={2,3,5}， 所以：∁U A ={1,4,6} 因为B ={3,4,6}， 则(∁U A)∪B ={1,3,4,6,} 故选：C ．先求出A 的补集，再根据并集的定义求解即可． 本题考查补集以及并集的定义属于基础题目．2.【答案】C【解析】解：f(x)=√x +1+1x−3， 令{x +1≥0x −3≠0，解得x ≥−1且x ≠3， 所以f(x)的定义域是[−1,3)∪(3,+∞)． 故选：C ．由题意使得函数解析式有意义，列式求解即可．本题考查了函数定义域的求解，要掌握函数定义域是使得函数解析式有意义的自变量的取值集合，考查了运算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：f(x)=−1x 为奇函数，且在(0,+∞)上为增函数，故A 符合题意； f(x)=√x 不为奇函数，故B 不符题意； f(x)=|x|是偶函数，故C 不符题意； f(x)=x +3不是奇函数，故D 不符题意． 故选：A ．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查推理能力，是一道基础题．4.【答案】B【解析】解：因为幂函数f(x)=x α的图象经过点(8,2)， 所以8α=2，解得α=13， 所以f(x)=x 13，所以f(−1)=(−1)13=−1． 故选：B ．根据题意求出幂函数f(x)的解析式，再计算f(−1)的值． 本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．5.【答案】C【解析】解：因为y =2x 2−2x −1的开口向上，对称轴x =12， 在区间[−1,1]上，当x =12时，函数取得最小值−32， 故选：C ．由已知结合二次函数的性质即可求解．本题主要考查了二次函数性质的简单应用，属于基础试题．6.【答案】B【解析】 【分析】设x <0，变形得到−x >0，根据x >0时的解析式，结合函数的奇偶性，可求得x <0时的函数解析式本题考查了函数的性质，奇偶性的定义，属于容易题． 【解答】解：设x<0，则−x>0，∵当x>0时，f(x)=x2−x，∴f(−x)=(−x)2−(−x)=x2+x，又f(x)是定义在R上的奇函数，则f(−x)=−f(x)，∴f(x)=−f(−x)=−x2−x，故选：B．7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合，利用函数的性质解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．由题意可得f(−x)=−f(x)，且f(x)在(0,+∞)上是减函数，且f(−2)=−f(2)=0，且f(0)=0，讨论x的符号，运用单调性，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：定义域为R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，可得f(−x)=−f(x)，且f(x)在(0,+∞)上是减函数，因为f(2)=0，所以f(−2)=−f(2)=0，且f(0)=0，由xf(x)≥0，可得x=0时成立；当x>0时，f(x)≥0=f(2)，解得0<x≤2；当x<0时，f(x)≤0=f(−2)，解得−2≤x<0．综上可得，−2≤x≤2．故选：B．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算，是中档题． 由f(5730)=12可得a =√125730，令f(x)=0.7937，得x =log a 0.7937，利用换底公式结合对数的运算性质即可求出x 的值． 【解答】解：设 14C 的原始量为1，经过x 年后， 14C 的含量f(x)=a x ， 由题意可知：f(5730)=12，即a 5730=12， ∴a =√125730，令f(x)=0.7937，得：a x =0.7937， ∴x =log a 0.7937=lg0.7937lga≈lg √123lg√125730=13lg 1215730lg 12=1910，∴该古物距今约1910年． 故选：A ．9.【答案】BCD【解析】解：对于A ，当c =0时，ac 2=bc 2，故A 错误， 对于B ，f(x)=x 3 在R 上单调递增， ∵a >b ，∴f(a)>f(b)，即a 3>b 3，故B 正确， 对于C ，∵a >b >0，m >0， ∴b+m a+m−b a=(b+m)a−b(a+m)(a+m)a=m(a−b)(a+m)a>0，即b+m a+m >ba，故C 正确， 对于D ，∵2<b <3， ∴−3<−b <−2， 又∵−1<a <5，∴−4<a −b <3，故D 正确． 故选：BCD ．对于A ，结合特殊值法，即可求解，对于B ，结合函数的单调性，即可求解，对于C ，结合作差法，即可求解，对于D ，结合不等式的可加性，即可求解．本题主要考查不等式的性质，掌握特殊值法和作差法是解本题的关键，属于中档题．10.【答案】BC【解析】 【分析】本题考查分段函数的定义域、值域的求法，考查不等式的解法，是中档题．求解分段函数的定义域及值域判断A 与B ；由函数值求解x 值判断C ；求解函数不等式判断D ． 【解答】解：f(x)={x 2,−2≤x <1−x +2,x ≥1，函数的定义域为[−2,+∞)，故A 错误；当−2≤x <1时，f(x)=x 2∈[0,4]，当x ≥1时，f(x)∈(−∞,1]， 故函数的值域为(−∞,4]，故B 正确； 由f(x)=2，得{−2≤x <1x 2=2或{x ≥1−x +2=2，解得x =−√2，故C 正确； f(x)<1⇔{−2≤x <1x 2<1或{x ≥1−x +2<1，解得−1<x <1或x >1，则f(x)<1的解集为(−1,1)∪(1,+∞)，故D 错误． 故选：BC ．11.【答案】CD【解析】解：对于A ，当x =−1时，3x <2x ，故A 错误； 对于B ，y =(√3)−x =(√33)x ，是定义域内的减函数，故B 错误； 对于C ，∵|x|≥0，∴y =2|x|的最小值为1，故C 正确；对于D ，把y =2x 中的x 用−x 替换，得y =2−x ，则在同一坐标系中y =2x 与y =2−x 的图像关于y 轴对称， 故D 正确． 故选：CD ．举例说明A 错误；由指数函数的单调性判断B 与C ；由函数的对称性判断D ． 本题考查函数的性质及应用，考查分析问题与求解问题的能力，是基础题．12.【答案】AC【解析】解：对于A ：因为x 2>1⇔x >1，或x <−1，{x|x >1}⊂{x|x >1，或x <−1}，故前者是后者的充分不必要条件，故A 正确；对于B ：“∃x ∈R ，使x 2+x −1<0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2+x −1≥0”，故B 错误；对于C ：由题意知：P ={a,b}，或{a,c}，或{a,b,c}，共3个，故C 正确；对于D ：ax 2+ax +4<0的解集为⌀，则a =0，或{a >0a 2−16a <0，解得a ∈[0,16)，故D 错误． 故选：AC ．根据充分条件与必要条件的判断方法、存在量词命题的否定方法、集合子集概念、不等式的解法逐项判断即可．本题考查命题真假的判断，以及充分、必要条件的判断方法，不等式的解法和简易逻辑的相关知识，属于基础题．13.【答案】−x +1(答案不唯一)【解析】 【分析】本题主要考查了函数的单调性，属于基础题． 由已知结合一次函数的性质即可求解． 【解答】解：f(x)=−x +1在定义域R 上单调递减且f(0)=1． 故答案为：−x +1(答案不唯一)．14.【答案】2【解析】解：函数f(x)为偶函数，且当x >0时，f(x)=x 2+1x ， 则f(−1)=f(1)=1+1=2． 故答案为：2．由偶函数的定义和已知解析式，计算可得所求值．本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．15.【答案】Q<M<P【解析】解：因为y=0.32x在R上为单调递减函数，则1=0.320<0.32−0.32<0.32−3.2，又y=3.2x在R上为单调递增函数，所以3.2−0.32<3.20=1，所以Q<M<P．故答案为：Q<M<P．利用指数函数的单调性以及特殊值1，比较即可得到答案．本题考查了指数值大小的比较，主要考查了指数函数单调性的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．16.【答案】(−∞,2√2−1)【解析】解：∵当x∈R时，f(x)的值恒大于零，∴32x−(k+1)⋅3x+2>0，即k+1<32x+23x =3x+23x，设g(x)=3x+23x，则k+1<g(x)min，∵g(x)=3x+23x ≥2√3x⋅23x=2√2，当且仅当3x=23x，即x=12log32时，等号成立，∴k+1<2√2，即k<2√2−1，故实数k的取值范围为(−∞,2√2−1).故答案为：(−∞,2√2−1).根据已知条件，结合分离变量法，以及基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查函数恒成立问题，掌握基本不等式的公式是解本题的关键，属于中档题．17.【答案】解：(1)原式=33×(−13)+10−1×(−2)+53−1=13+100+53−1=101．(2)原式=13×(−3)a23+12−16b12+13−56=−a．【解析】(1)直接利用有理数指数幂的运算性质求解；(2)直接利用有理数指数幂的运算性质求解．本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，是基础题．18.【答案】解：A={x|x2−2x−3>0}={x|x<−1或x>3}，(1)若a=−1，则B={x|−2<x<1}，A∩B={x|−2<x<−1}；(2)选择①A∪B=A时，B⊆A，Ⅰ、当a−1≥2a+3，即a≤−4时，B=⌀，成立；Ⅱ、当a−1<2a+3，即a>−4时，2a+3≤−1或a−1≥3，解得，a≤−2或a≥4；综上所述，实数a的取值范围为(−∞,−2]∪[4,+∞)．选择②A∩B=B时，B⊆A，Ⅰ、当a−1≥2a+3，即a≤−4时，B=⌀，成立；Ⅱ、当a−1<2a+3，即a>−4时，2a+3≤−1或a−1≥3，解得，a≤−2或a≥4；综上所述，实数a的取值范围为(−∞,−2]∪[4,+∞)．选择③(∁R A)∩B=⌀时，B⊆A，Ⅰ、当a−1≥2a+3，即a≤−4时，B=⌀，成立；Ⅱ、当a−1<2a+3，即a>−4时，2a+3≤−1或a−1≥3，解得，a≤−2或a≥4；综上所述，实数a的取值范围为(−∞,−2]∪[4,+∞)．【解析】化简A={x|x2−2x−3>0}={x|x<−1或x>3}，(1)若a=−1，化简B={x|−2<x<1}，再求交集即可；(2)选择①或②或③，都可以转化为B⊆A，再分类讨论求参数的范围即可．本题考查了集合的化简及集合间关系的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意得，−5，2是方程x2−(a+1)x+b=0的两根，所以−5+2=a+1，−5×2=b，解得a=−4，b=−10．(2)当a=b时，f(x)>0即x2−(a+1)x+a>0，也即(x−a)(x−1)>0，①当a>1时，由f(x)>0可得x<1或x>a；②当a=1时，由f(x)>0可得x≠1；③当a<1时，由f(x)>0可得x<a或x>1；综上，当a>1时，f(x)>0的解集为{x|x<1或x>a}；当a=1时，f(x)>0的解集为{x|x≠1}；当a<1时，f(x)>0的解集为{x|x<a或x>a}．【解析】(1)由f(x)<0的解集是(−5,2)知−5，2是方程f(x)=0的两根，由根与系数的关系可求a，b值；(2)把b替换下a，然后按照f(x)=0的两根大小关系分类讨论即可．本题考查二次函数、二次方程、二次不等式间的关系，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类问题的关键．20.【答案】解：(1)在同一坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象(图1)，图1函数f(x)，g(x)的图象(2)(ⅰ)由图1中函数取值情况，结合函数M(x)的定义，可得函数M(x)的图象(图2)，．图2 函数M(x)的图象由x +3=(x +1)2，得(x +2)(x −1)=0，解得x =−2，或x =1． 结合图2，得出函数m(x)={x +3,x <−2(x +1)2,−2≤x ≤1x +3,x >1，m(x)的单调递增区间为(−∞,−2)和(−1,+∞)，m(x)的单调递减区间为(−2,−1)； (ⅱ)由图可知当x ∈[−52,−12]时，m(x)的值域为[0,1]．【解析】(1)在同一坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象(图1).函数M(x)的图象图2； (2)(ⅰ)由图1中函数取值情况，结合函数M(x)的定义，可得函数M(x)的图象(图2).由x +1=(x +1)2，解得x ，即可得出；(ⅱ)由图可知当x ∈[−52,−12]时，m(x)的值域为[0,1]． 本题考查了函数的图象与性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)当0<x <80时，y =100x −(12x 2+40x)−500=−12x 2+60x −500， 当x ≥80时，y =100x −(101x +8100x−2180)−500=1680−(x +8100x).于是，y ={−12x 2+60x −500,0<x <801680−(x +8100x),x ≥80； (2)由(1)可知，当0<x <80时，y =−12(x −60)2+1300， 此时当x =60时，y 取得最大值为1300(万元)， 当x ≥80时，y =1680−(x +8100x)≤1680−2√x ⋅8100x=1500．当且仅当x =8100x，即x =90时，y 取得最大值为1500(万元)．综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．【解析】(1)由题意分段写出年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式；(2)利用配方法与基本不等式分段求最值，取最大值中的最大者得结论．本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用二次函数及不等式求最值，是中档题．22.【答案】解：(1)∵函数f(x)=e x−me x是定义在R上的奇函数，∴f(0)=1−m=0，得m=1，检验可得f(x)=e x−1e x为奇函数，故m=1成立；(2)当m=1时，f(x)=e x−1e x，为增函数，任取x1<x2，则f(x1)−f(x2)=e x1−1e x1−e x2+1e x2=e x1−e x2+1e x2−1e x1=e x1−e x2+e x1−e x2 e x1e x2=(e x1−e x2)(1+1e x1e x2)，∵x1<x2，0<e x1<e x2，e x1−e x2<0，则f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，即f(x)在R上为增函数．(3)由f(t−1)+f(2t2)<0，得f(2t2)<−f(t−1)=f(−t+1)，∵f(x)在R上为增函数，∴2t2<−t+1，即2t2+t−1<0，得(t+1)(2t−1)<0，得−1<t<12，即实数t的取值范围是−1<t<12．【解析】本题主要考查函数单调性和奇偶性的性质，结合奇偶性的性质，单调性的定义进行转化求解是解决本题的关键，是拔高题．(1)根据奇函数的性质，利用f(0)=0，进行求解即可．(2)根据函数单调性的定义进行证明．(3)利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．。