《工程数学》教案3克莱姆法则
最新工程数学(本)电子导学教案
工程数学(本)电子导学教案工程数学（本）电子导学教案土木工程专业（专升本）—大连广播电视大学理工系数学教研室该课程课内72学时，每周课内4学时。
第1周题目：n 阶行列式摘要：行列式定义、性质、计算、克莱姆法则要求：理解行列式定义，掌握行列式性质，知道克莱姆法则重点：行列式的计算过程：一、行列式定义通过回头消元法解二元一次议程组和引例给出二阶行列式定义1.1。
注意行列式元素ij a 的代数余子式ij j i ij M A +-=)1(中ij M 是元素ij a 的余子式。
演练例2（课外看例3）巩固行列式的定义。
课外练习1.1—1，3，5。
二、行列式性质通过简单（低阶）举例，给出性质1—性质7，其中例2、4、6在课内演练（例1、3、5课外看），巩固行列式定义和性质。
课外练习1.2—1（1）（3）（5）三、行列式计算1、用行列式定义。
通过例1演练，指出此法是在选择零最多和行（列）的低阶行列式展开。
2、用行列式性质。
通过例2演练，指出此法上把行列式化成三角形再计算。
3、综合法。
通过例3演练，指出此法是把行列式定义和性质结合起来，即根据行列式特点进行计算。
课外练习1.4—1（1）（3）（5）、3（1）四、克莱姆法则通过加减消元法解二元一次方程组的引例给出解的表达式（6）这种方法叫做克莱姆法则（教材1—3页），对19页线性方程组（1）用克莱姆法则解的表达式在20页第2行。
再演练21页例1巩固克莱姆法则。
课外练习1.3—1。
课外看学习指导（34—39），做习题1—1（1）、2、5。
完成自我测试题，本章解题方法归类查网上复习指导的附件一。
第2周题目：矩阵摘要：矩阵的概念、运算、特殊矩阵、n 阶方阵的行列式，可逆矩阵。
要求：知道矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算及其性质，了解特殊矩阵的定义和性质，理解可逆矩阵和概念，会用伴随矩阵法，掌握矩阵可逆的充分必要重要条件。
过程：一、矩阵的概念m 行n 列矩阵n m A 的定义2.1，行（列）矩阵，n 阶（方）矩阵，零矩阵0，同型矩阵，负矩阵，单位矩阵I 。
克莱姆法则
授课题目：第四节 克莱姆法则教学目的：1．理解方阵行列式，掌握方阵可逆的充要条件.2．理解克莱姆法则的基本思想，掌握克莱姆法则的具体应用.教学重点：方阵可逆的充要条件和克莱姆法则的具体应用.教学难点：求逆矩阵.课时安排：3学时.授课方式：多媒体与板书结合.教学基本内容：§2.4克莱姆法则设n n ⨯线性方程组（n 个方程n 个未知数）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 322112222212111212111的矩阵形式为A x b =，则有定理1 (Cramer 法则) n n ⨯线性方程组A x b =，当0A ≠时有唯一解D D x 11=，D D x 22=，…，D D x nn =，其中j D 是用常数列b 取代D 的第j 列所得的行列式，即nnnj n nj n n j j j a a b a a a a b a a D11111111111+-+-=，1,2,,j n = . 证明 对n n ⨯线性代数方程组的矩阵形式A x b =. 当已知0A ≠时，1A -存在，两边同以1A -乘，即得1x A b -=, 把逆阵的公式代入，得方程组唯一解的公式：1||x A b A *=，即 b A A x x n *=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡||11 =||1A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n nn n n b b A A A A 11111=||1A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n D D 1， 由此得D D x 11=，D D x 22=，…，D D x n n =，这就是克拉默法则，其意义在于给出解依赖于方程组系数的明显关系式.作为克拉默法是的一个推论，容易说明对n n ⨯的齐次线性代数方程组：0A x =，当系数行列式 det 0A ≠时，只有唯一的平凡解. 事实上，此时可用克拉默法则，但因0b =而有0(1,2,,)k D k n == ，从而只能有唯一零解：用反证法还可推得，若n n ⨯齐次线性代数方程0A x =有非平凡解，则必det 0A =. 练习 若,A B 是同阶方阵，试证：det()det()E AB E BA -=-.参考书目：1. 贺铁山等，线性代数（第二版），中山大学出版社，2004年8月.2．吴赣昌，大学数学立体化教材：线性代数（经济类），中国人民大学出版社，2006年3月.3．同济大学应用数学系，工程数学（第四版），高等教育出版社，2003年7月. 作业和思考题：Page63：6—15.课后小结：使学生基本上掌握方阵可逆的充要条件和克莱姆法则的具体应用.。
克莱姆法则解线性方程组三
D a ij Aij a1 j A1 j a 2 j A2 j a nj Anj j 1,2,, n
i 1
n
一、行列式计算（续） 1.递推行列式 例1：计算下列行列式
1 1 0 0 1 1 Dn 0 0 0 0 0 1 1 1
线性代数
0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1
内容概括讲练结合讲授方法行列式按行列展开难点行列式按行列展开矩阵概念重点作业要求掌握行列式按行按列展开的性质和定理会用行列式的性质和余子式定理求行列式的值理解克莱姆法则
第三讲 行列式计算续与矩阵的概念
班级： 时间： 年 月 日；星期
教学目的 重点
掌握行列式按行按列展开的性质和定理，会用行 列式的性质和余子式定理求行列式的值，理解克 莱姆法则。 行列式按行（列）展开、矩阵概念
2 5 0 2 4.
2 5
线性代数
第一章 行列式
17
第三讲 行列式计算续与矩阵的概念
例3（2001.4）设行列式
3 0 4 2 2 2 D 0 7 0 5 3 2
0 2 0 2
则第4行各元素余子式之和的值为_____
分析：本题求得是余子式，可将其转换为代数余子式求解，即
M41 M42 M43 M44 A41 A42 A43 A44
a11 a1n
a11 Ai 1 a12 Ai 2 a1n Ain
a11 a1n a j1
线性代数 第一章 行列式
0 a jn
13
an1 ann
第三讲 行列式计算续与矩阵的概念
同理，用第j行元素对应取代第i行元素，则由于行列式两 行元素相等，得0值。 a11 a1n
克莱姆法则
a1n a2n L ann
,
3
当 D ≠ 0 时，方程组有且仅有一个解 Dj xj = j =1,2,L, n D 其中
a11 L a1 j−1 b1 Dj = ai1 L aij−1 bi
a1 j+1 L a1n aij+1 L ain anj+1 L ann
(1)
D≠0
则（1）只有惟一的零解。 ）只有惟一的零解。
定理3 齐次方程组（ ） 定理 齐次方程组（1） 有非零解
6
例3
解齐次方程组
x1 + 3x2 + 2x3 = 0 2x1 − x2 + 3x3 = 0 3x + 2x − x = 0 2 3 1
解
1 3 D = 2 −1 3 2
2 3 = 42≠ 0 −1
因此方程组只有零解
x1 = x2 = x3 = 0
7
例4
λ 取何值时下列齐次方程组有非零解
λx1 + x2 + x3 = 0 x1 + λx2 + x3 = 0 x + x + λx = 0 3 1 2
解
λ 1 1 1 1 1 1 1 1 D = 1 λ 1 = (λ + 2)1 λ 1 = (λ + 2) 0 λ −1 0 1 1 λ 1 1 λ 0 0 λ −1
这样求解二元一次方程组归结为求三个二阶行列式 的值。 同样用此方法可解n元一次方程组。 元一次方程组。 的值。 同样用此方法可解 元一次方程组
2
定理1（克莱姆法则） 定理 （克莱姆法则） 个方程， 当含有 n 个方程，n 个未知数的线性方程组
克莱姆法则(五)
教学过程： 一、教学引入: 1、 复习回顾 （1） 运用二阶行列式求二元线性方程的方法知识； （2）提出新的问题，求解 n 元线性方程组（非齐次）的解。 二、讲授新课 （一）克莱姆法则。 设含有 n 个未知数， n 个方程的线性方程组为：
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , (1) 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn .
0
3 5
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 81 5 2 1 2 0 4 7 6 2 1 8 1 1 3 9 6 D3 27 0 2 5 2 1 4 0 6
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 108 0 5 1 2 1 0 7 6 2 1 5 8 1 3 0 9 D4 27 0 2 1 5 1 4 7 0
a11 a1 j 1 Dj
b1 bn
a1 j 1 a1n bi Aij
i 1 n
a21 a2 j 1 b 2 a2 j 1 a2 n an1 anj 1 anj 1 ann
克拉默法则等价地指出：如果方程组(1)无解，则它的系数行列式 D 0 。 （二）当方程组(1)的右端常数项 b1 , b2 , b3 ,...,bn 全为零时，即
(5 )(6 )(4 ) 4(4 ) 4(6 )
由 D 0 ，解得 2 、 5 或 8 。不难验证，当 2 、 5 或 8 时，原 齐次线性方程组确有非零解
2 x1 x 2 5 x3 x 4 8 x 3x 6 x 9 1 2 4 例 2：解线性方程组 2 x 2 x3 2 x 4 5 x1 4 x 2 7 x3 6 x 4 0
克莱姆法则PPT课件
其中Dj (j=1,2,...,n)是把系数行列式D中第j 列的元素用常数项b1,b2,,bn代替后得到的 n阶行列式. 即
a11 a1,j1
Dj a 21
a2,j1
b1 a
an1 an,j1 bn an,j1 ann •2
定理中包含三个结论:
(1)方程组有解
例2 取何值时,下述齐次线性方程组有非
零解?
( 1)x1 x2 x3 0 x1 ( 1)x2 x3 0 x1 x2 ( 1)x3 0
解:
1 1 1
D 1 1 1 =(+3)2
1 1 1
齐次线性方程组有非零解 D=0
= 3或0•10
(2)解是唯一的
(3)解由公式
xj
Dj D
( j=1,2,...,n)给出
注: 用克莱姆法则解线性方程组必须有两 个前提条件:
(1)未知数个数等于方程个数
(2)系数行列式D0
•3
2 x1 x2 5 x3 x4 8
例1
解线性方程组
x1 3 2x2
x2 x3
6 x4 2 x4
9 5
x1 4 x2 7 x3 6 x4 0
解: 方程组的系数行列式
2 1 5 1
1 3 0 6
D
=27 0
0 2 1 2
1 4 7 6 •4
由克莱姆法则知,方程组有唯一解
8 1 5 1
9 D1 5
3 2
0 1
6 2
=81
x1
D1 D
81 27
0 4 7 6
=3
2 8 5 1
1 D2 0
一、克莱姆法则
定理二(克莱姆法则) 设线性方程组
说课件克莱姆法则
教学目标 ------根据本教材的结构和内容分析，结合学生特 点，我制定了以下的教学目标：
1.克莱姆法则 2.利用克莱姆法则求解简单的线性方程 组
重难点分析及课时安排 ------教学重点：1.克莱姆法则 2.利用克莱姆法则求解线性方程组 教学难点：克莱姆法则的证明 课时安排：2课时
＊说教法
教学方法的选择是以教学内容为载体， 教学方法的选择是以教学内容为载体，以学生参与为 标志，以启迪学生思维、培养学生创新能力为核心， 标志，以启迪学生思维、培养学生创新能力为核心，以育 人为宗旨的。因此， 人为宗旨的。因此，在教学方法的选择上充分考虑到本节 内容的特点以及学生的心理特征和现有的知识水平等特征， 内容的特点以及学生的心理特征和现有的知识水平等特征， 我主要采用了以下的教学方法：
学法指导
• （1） 比较法：对克莱姆法则与高中所学习的消元 比较法：对克莱姆法则与高中所学习的消元
法进行比较，加深理解它们之间的相互渗透性。 法进行比较，加深理解它们之间的相互渗透性。
• （2）集体讨论法：针对我以及学生提出的问题，组 集体讨论法：
织学生进行集体和分组讨论，促使学生在学习中解决 问题，培养学生团结协作的精神。
教法分析
• 1.直观演示讲授法: 1.直观演示讲授法:
这部分知识主要是理论，比较抽 象，学生理解比较困难，因此利用图片的投影等手段 进行直观演示，激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛， 促进学生对知识的掌握 。
• 2集体讨论法: 本节的目的是掌握克莱姆法则，会用 集体讨论法:
克莱姆法则求解线性方程组，因此设置一些问题组织 克莱姆法则求解线性方程组，因此设置一些问题组织 学生进行集体和分组讨论，促使学生在学习中解决问 题，培养学生的团结协作的精神
克莱姆法则
=4
例1 解方程组
x1 − x2 + x3 − 2 x4 = 2 2 x − x 3 + 4 x4 = 4 1 = −1 3 x1 + 2 x2 + x3 − x1 + 2 x2 − x3 + 2 x4 = −4
例1 解方程组
x1 − x2 + x3 − 2 x4 = 2 2 x − x 3 + 4 x4 = 4 1 = −1 3 x1 + 2 x2 + x3 − x1 + 2 x2 − x3 + 2 x4 = −4
1 −1 1 −1 −2 4 0 2
−1 3 1
解:
D=
1 2 3 −1
§1.5 克莱姆法则
非齐次与齐次线性方程组的概念
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = b1 a x + a x + ⋯+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 设线性方程组 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ an1 x1 + an 2 x2 + ⋯ + ann xn = bn
解
2 1 −5 1 1 − 3 0 − 6 r2 (−2) + r1 D= 0 2 − 1 2 r2 (−1) + r4 1 4 −7 6
0 7 − 5 13 1 −3 0 −6 0 2 −1 2 0 7 − 7 12
7 − 5 13 = −2 −1 2 7 − 7 12
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《工程数学》教案3克莱姆法则
一、教学目标：
1.理解克莱姆法则的基本概念和原理；
2.学会使用克莱姆法则解决线性方程组问题；
3.掌握克莱姆法则的应用范围以及局限性。
二、教学内容：
1.克莱姆法则的概念和原理；
2.克莱姆法则的推导；
3.克莱姆法则的应用；
4.克莱姆法则的局限性。
三、教学过程：
1.引入：
教师通过一个简单的实际问题引入克莱姆法则的概念，比如：
“小明有一些苹果和梨，总共有10个水果，苹果和梨的总重量是30kg。
如果苹果的平均重量是3kg，梨的平均重量是2kg，那么小明有多少个苹果和梨？”
学生思考问题并尝试解决。
2.内容讲解：
a.克莱姆法则的概念和原理：
介绍克莱姆法则是一种解决n个含有n个未知数的线性方程组的方法，基于行列式的计算。
当方程组满足一定条件时，克莱姆法则可以得到唯一解。
b.克莱姆法则的推导：
通过示例讲解克莱姆法则的推导过程，引导学生理解推导的思路和方法。
可以使用2x2或3x3的线性方程组进行推导。
c.克莱姆法则的应用：
通过示例演示克莱姆法则的应用，包括求解二元线性方程组和三元线
性方程组。
讲解解题过程中的步骤和要点，注意说明使用克莱姆法则的条件。
d.克莱姆法则的局限性：
介绍克莱姆法则的局限性，即只适用于未知数个数与方程个数相等，
并且方程组满足一定条件时才能使用克莱姆法则求解。
3.练习与讨论：
提供一些练习题，让学生进行练习和讨论。
可以从计算方程组的解，
解释克莱姆法则不能求解的情况，引导学生思考什么情况下克莱姆法则无
法使用。
4.拓展与应用：
提出一些拓展题，让学生灵活运用克莱姆法则解决实际问题。
比如，
通过线性方程组求解平面交点、求解电路问题等。
5.总结与交流：
小结本节课的主要内容，强调克莱姆法则的重要性和应用范围，并鼓励学生积极思考和讨论。
四、教学反思：
本节课通过实际问题引入克莱姆法则的概念，使学生能够更好地理解克莱姆法则的基本概念和原理。
通过示例演示和练习题让学生进行实际操作，提高他们的解题能力和理解能力。
并在课堂上重点突出了克莱姆法则的应用范围和局限性，使学生明确克莱姆法则的使用条件和限制。
通过本节课的教学，学生能够掌握克莱姆法则的基本应用能力，提高他们的解题能力和实际应用能力。