合比性质和等比性质 ppt课件
九上等比性质与合比性质
03
等比与合比性质的比较
定义上的比较
等比性质
指在等比数列中，任意两项的比 值是常数。
合比性质
指在两个数的比值中，前项与后 项之比等于中间项与后项之比。
应用场景的比较
等比性质
常用于金融、经济、工程等领域中涉 及等比数列的问题，如复利计算、细 胞分裂等。
合比性质
常用于数学、物理、化学等领域中涉 及比例和比例关系的问题，如溶液混 合、电路分析等。
证明代数恒等式
利用等比和合比性质，可以证明各种代数恒 等式，进一步理解代数式的性质和结构。
在几何中的应用
要点一
证明几何定理
等比和合比性质在几何学中常被用于证明定理，如相似三 角形、勾股定理等。
要点二
解决几何问题
通过等比和合比性质，可以简化复杂的几何问题，找到更 有效的解决方案。
在数学竞赛中的应用
详细描述
在数学中，合比性质常用于解决涉及比例的问题，如计算面积、体积等。在分式化简中，利用合比性 质可以简化复杂的分式。在等式证明中，合比性质可以帮助证明等式的正确性。
合比性质的证明方法
总结词
证明合比性质的方法通常包括构造反例 、代数推导和逻辑推理。
VS
详细描述
证明合比性质的一种常见方法是构造反例 ，即通过构造一个反例来证明某个命题不 成立。另一种方法是进行代数推导，通过 代数运算来证明等式的正确性。此外，逻 辑推理也是证明合比性质的重要手段，通 过逻辑推理可以证明两个比的比值相等时 ，它们的数之和的比也相等。
保险费计算
保险公司在计算长期保险 费时，通常会使用等比数 列的性质来计算每年的保 险费。
投资回报率
投资者在评估投资回报率 时，可以利用等比数列的 性质来计算复利回报。
北京课改版九年级数学上册 18.1.2 等比、合比性质 (18张PPT)
，求
2a 3c 4e 2b 3d 4 f
2x 3y z x y
4.已知x:y:z=4:5:7，求 5z ， y z
5.已知x：y=3：4，x：z=2：3，求x：y：z的值.
6，如图， AACB
BD DC
求DC，BD的长.
，AB=4，AC=2，BC=3， A
B
D
C
7，如图，AD=2，AB=5，
比例式变形的常用方法:
利用等式性质
设比值
课外作业
1.
已知
ac bd
，判断下列比例式是否成立，并说明
理由.
(1) a b c d
b
d
a (2)
a
c
b bd
2.已知 a 1
b2
求 (1) a b (2) a b
b
b
2a b (3)
的值
a 2b
3.已知
ac e 2 bd f 5
新北京课改版初中数学九年级上册
第十八章
18.1.2 等比、合比性质
复习回顾
在四条线段 a、b、c、d 中，如果 a 和 b 的比等于 c 和 d 的比，那么这四条线段a、b、c、d 叫做成比例的线 段，简称比例线段.
内项
外项 内项
ac bd
内项 外项
a ：b = c ：d.
a、b、c 的 第四比例项
（2）如果ab＝dc，那么a±b b＝c±d d.
已知：ab＝dc. 求证：（1）ab＝dc＝ba＋＋dc.；（2）a±b b＝c±d d.
证明：设ab＝dc=k，则 a=bk，c=dk.
（1）ba＋＋dc.=bkb＋ ＋ddk=k, ∴ab＝dc=ba＋＋dc ;
等比的性质及其应用 课件 2022—2023学年北师大版数学九年级上册
Q P
B A
（1）
Q′ P′
B´ A´
（2）
旧知回顾
1．已知点C为线段AB上一点，AB＝25cm，AC＝5cm，
则
AC BC
1
＝____4 ____．
2．已知线段a＝2，b＝3，d＝6且线段a，c，b，d成比例，则c
＝_4__．
3．如图，△ABC中， AADB＝DBCE 则BC的长是( C )
，DE＝1，AD＝2，BD＝3，
2.证明合(分)比性质：
(1) ∵ ab＝dc ，
∴
a b
＋1＝
c d
＋1，
∴ ab＋bb＝dc＋dd
∴
a＋b c＋d
b＝d
(2) ∵ ab＝dc ，
∴
ab －1＝
c d
－1，
∴ ab－bb＝dc－dd ，
a－b c－d
∴
b ＝ d.
归纳总结
合(分)比性质的证明用到了等式 的性质1，同分母分式的加减法法则。
如果 a c ，那么 ad=bc. bd
如果ad=bc,那么等式 a c 还成立吗？
bd
在等式中，四个数a,b,c,d 可以为任意数，而在分式中，分 母不能为0.
由此可得到比例的基本性质：
a 如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么 b
c d
.
练一练
1．比例的基本性质：如果a∶b＝c∶d，那么_a_d_＝__b_c_．
比例性质的应用
思考
已知a , b, c, d, e, f 六个数，如果
ac bd
e f
（b+d+f≠0）,那么
ac bd
e f
a b
八年级数学教学设计：合比性质和等比性质例2
八年级数学教学设计：合比性质和等比性质例2石佛镇素质教育研讨会教研课教案设计教者：龙秀明教学课题：合比性质和等比性质教学目的：1、掌握合比性质的等比性质，并会用它们停止复杂的比例变形2、会将合比性质、等比性质用于比例线段。
3、提高先生类比联想、推行命题的才干。
教学重、难点：熟练地、灵敏地运用合比性质与等比性质。
课前预备：小黑板、幻灯机及幻灯片。
教学进程：一、温习引入：我们在前边学习了线段的比，比例的有关概念及性质，那么请同窗们回想1、什么叫线段的比?2、什么叫成比例线段?我们还学习了比例的基本性质，那么，除此之外，比例还有一些什么性质呢?这就是本节课我们将要研讨的比例的合比性质与等比性质。
(出示课题：合比性质与等比性质)那么，经过本节课的学习我们要到达一个什么样的要求呢?(出示小黑板)看学习目的1、2，(全班同窗齐读)下边请同窗们再回想，我们在上一章学习的对等线等分线段定理是如何表达的?(抽同窗回答)请看幻灯(投影显示)二、(用特殊化方法)探求合比性质。
1、温习，：一组平行线在直线l上截得的线段AB=BC=CD=DE=EF 那么由平行线等分线段定理可得一个结论:即A′B′=B′C′=C′D′=D′E′=E′F′。
2、将上述结论改写成比例式，由此猜想得出结论，引导先生思索：假设设在l上截得的每一份为k，问AD=?DF=?又设在l1上截得的一等份为m，问A′D′=?D′F′=?观察以上剖析，可得出一个什么样的结论?又观察与有什么关系?关于普通的比例式都有这一个关系吗?请猜一猜。
猜想：先生口述(同窗间可相互讨论、研讨)教员依据先生口述、写出：假设3、证明猜想，得出合比性质，我们这个猜想，能否正确呢?(1)启示先生观察，与未知的关系，寻觅证明思绪，证法一：(设比法)设证法二、(应用等比性质2)(2)类比联想，失掉分比性质。
假设先生自在讨论，可仿上边本物证明结论。
在今后，这两种情形都叫合比性质，即假设(3)了解合比性质的内容，师生一同用文字言语表达。
比例课件ppt
比例课件的优点在于其直观性和易理解性，能够降低学习难度，提高学习效率。然而，比 例课件也存在一些局限性，如难以呈现抽象概念和动态过程，需要结合其他教学方法和工 具进行补充。
应用领域概述
比例课件不仅在基础教育领域有广泛应用，也在职业教育、继续教育和企业培训等领域得 到应用。随着技术的发展，比例课件的形式和内容也在不断更新和丰富，为不同领域的学 习者提供更多选择。
在线性变换中，图形的大小可能会发生变化，但形状保持不变。例如，将一个正方形按比例放大或缩小，其形状仍然是正方 形，但大小发生了变化。
非线性变换
非线性变换是指图形在变换过程中，各点之间的距离和方向发生变化，因此各点之间的比例关系也发 生变化。
在非线性变换中，图形的大小和形状都可能会发生变化。例如，将一个正方形旋转一定角度后，其形 状发生了变化，不再是正方形。
性质
01
02
03
反比
如果两个数的比值互为倒 数，则这两个数互为反比 。例如，如果a:b=1:2， 那么b:a=2:1。
合比
如果三个数的比值相等， 则这三个数互为合比。例 如，如果a:b=b:c，那么 a:b:c=1:1:1。
交叉相乘
如果“a:b=c:d”，那么 “a*d=b*c”。这是比例 的基本性质，可以用来检 验两个比例是否相等。
在分数中的应用
比例在分数中也有着重要的应用。通过比较两个分数的比例，我们可以理解它们 的大小关系。例如，比较分数3/4和2/3时，我们可以看出3/4大于2/3。
在解决分数问题时，比例的方法可以帮助我们找到最优解。例如，在分配任务时 ，我们可以使用比例的方法来确定每个人应该完成的任务量。
在实际生活中的应用
比例在数学中的应用
合比性质和等比性质合比性质课件
通过这个课程，学习者可以掌握合比 性质和等比性质的基本概念、性质和 应用。
此外，该课程还注重培养学习者的逻 辑思维和数学素养，为进一步学习其 他数学课程打下坚实的基础。
展望
随着数学理论和应用的不断发 展，合比性质和等比性质的相 关知识也将不断更新和完善。
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定义
合比性质和等比性质的定义不同，合 比性质是指两个比值的和或差与另一 个比值之间存在一定的关系，而等比 性质则是两个比值相等。
性质
应用
合比性质在数学、物理等领域有广泛 应用，如几何、代数等，而等比性质 则主要应用于比例、百分数等问题。
合比性质涉及到两个比值的和或差与 另一个比值之间的关系，而等比性质 则是两个比值相等。
应用场景
等比性质在几何学中有着广泛的应用，如相似三角形、相似多边形的判定和性质等 。
等比性质在函数和数列中也经常出现，如等差数列和等比数列的判定和性质等。
等比性质在解决实际问题中也有应用，如测量、工程设计等领域中经常需要用到等 比性质来计算比例和比例关系。
03 合比性质和等比性质的比 较和联系
比较
练习题
设计一系列与合比性质和等比性 质相关的练习题，难度适中，覆
盖面广。
练习题应包括选择题、填空题、 计算题等多种题型，以便全面考 查学生对合比性质和等比性质的
理解和掌握程度。
对于难度较大的题目，可以给出 提示或解题思路，帮助学生更好 地理解和掌握合比性质和等比性
质。
06 总结和展望
总结
合比性质和等比性质合比性质课件是 一个全面、深入的课程，涵盖了合比 性质和等比性质的相关知识。
等比性质
用数学语言默写出比例的 二个性质： 。基本性质 。合比性质
a c e ace a 若 , 那么 成立吗? 为什么? b d f bd f b
用“设k法”， 设
a c e b d f =k ，
a c m (b d n 0) a c m a b d n b d n b
bc ac ab 3、已知： k , 求k的值. a b c
2 探索 ： 当a b c 0时，k _______
当a b c 0时，k
-1 _________
a c e 2 3、 已知 b d f 3
，
2 2 2 质和等比的性质结合 2 a b d,e f a c 5 e ,c 2 3 3 (分式的基本性质 ） 3 起来解题非常方便。 2b d 5 f 3 2 2 2 2 a c 5e 2 b d 5 f 2a c 5 e 2 3 3 3 (等比的性质） 2 bd 5f 3 2 ( 2b d 5 f ) 3 2 a c 5e 2 2 18 点拨：遇到等比问题时，常设 1 8 31 2 3 辅助未知数比值K，题中的比
且2b-d+5f=18， 求2a—c+5e。 a c e 2 点拨：在处理等比问 解法一：∵ 题时将分式的基本性 b d f 3 解法二：由已知得：
3(2a c 5e) 18 2 2a c 5e 12
值为
2 ，利用这种方法思 3
路简捷。
试一试
• 已知:在下图中的Δ ABC中
求证：1） 2）
面部黄金分割点
睡眠黄金分割点
12×0.618≈7.5小时
比例的性质
比例的性质文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]比例的性质或许你在某个地方听说过比例，可你是否了解比例呢我想没有。
来吧，跟随我们的脚步，跨入比例的大门！首先我们来了解什么是比。
什么是比比：两个数相除又叫做两个数的比比值：比的前项除以比的后项所得的商，叫比值。
比只有两个项：比的前项和后项。
比例是一个等式，表示两个比相等；有四个项：两个外项和两个内项。
知道了什么是比，接下来就是更有趣的——比例的性质一、合比性质1、合比性质的用途合比性质是数学计算中常用的性质之一，属于中的三大性质之一（包括合比性质、分比性质和合分比性质）。
主要运用于等计算。
2、合比性质的表达文字：在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比的前后项的和与它的后项的比，这称为比例中的合比定理，这种性质称为合比性质。
字母：已知，且有，如果，则有。
3、推导过程4、典型例题如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，EF是AD的垂直平分线且交AB于E，交BC的延长线于F，求证：DC·DF=BD·CF分析：欲证：DC·DF=BD·CF即证：DC/CF=BD/DF即证：(DC+CF)/CF=(BD+DF)/DF若连结AF，则AF=DF故即证：AF/CF=BF/AF只需证△FAB∽△FCA证明：连结AF，则AF=DF，∠FAD=∠FDA∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∴AF=DF∴∠FDA=∠FAD又∵∠FAD=∠CAD+∠CAF，∠FDA=∠B+∠BAD∴∠B=∠CAF∴△FAB∽△FCA。
二、分比性质1、表达文字：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之差与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之差与第二个比例的后项的比。
字母：已知，且有，如果，则有。
2、推导过程三、合分比性质1、表述文字：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的前后项之差的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的前后项之差的比。
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bd f
bdf b
比例的等比性质.
如 果 a c m ( b d n 0 ) ， 那 么 a c m a
b d n
b d nb
1、已知 x:y:z3:5:7，求 x y z x yz
2、已知
ac e 1 bd f 2
，且 bdf 0 。
ace
求 bd f
1、形状完全相同的两个图形叫做相似图形。
2、两条线段的比指的就是这两条线段的长度的比。
3、在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另 外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段， 简称为成比例线段。
合比性质和等比性质
比例的基本性质是什么样的?
如果
ac bd
，那么 ad=bc
ac 如果 ad=bc，那么 b d
• 你能得到下面的结论吗？
如果
，那么
a
a b
c cd
。
合比性质和等比性质
例1已知：在下图中的ΔABC中
求证：1） 2）
合比性质和等比性质
•
已知
x y 8 y3
，
则x
y
——
， x
y
y
——
；
合比性质和等比性质） 2）
ace,那a么 cea成立 ?为 吗 什 ?
(b,d≠0)
合比性质 和等比性 质
我们把 的两边同时加上1,能得到什么?
比例等 式依然
成立
合比性质和等比性质
1、如果
，将等式两边同时加上1，得
到什么?
2、如果将等式两边同时减去1，你能得到什么 结论？
合比性质：
如果
a b
c d
，那么 a b c d 。
bd
合比性质和等比性质
合比性质和等比性质
的值。
例题分析
1、已知bcacabk, ab c
求k的值.
a
2、 已知
c
e
2
，
bd f 3
且2b-d+5f=18， 求2a-c+5e。
合比性质和等比性质
1. 如果 a c
bd
，那么 akbckd。
b
d
合比性质和等比性质
1、合比性质 2、等比性质