2017年苏南五市单招二模卷答案--数学
江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试数学试题二 含解析 精品
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：1. 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2，其中x －＝1n ∑i ＝1nx i ；2. 锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合A ＝{x|－1≤x ≤1}，则A ∩Z ＝______________．2. 若复数z ＝(1－i)(m ＋2i)(i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为____________．3. 数据10，6，8，5，6的方差s 2＝____________．4. 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记落在桌面的底面上的数字分别为x ，y ，则xy为整数的概率是________．(第6题)5. 已知双曲线x 2－y 2m2＝1(m ＞0)的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，则m ＝______________．6. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是__________．7. 底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为____________．8. 在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 7＝__________．9. 已知|a|＝1，|b|＝2，a ＋b ＝(1，2)，则向量a ，b 的夹角为____________． 10. 直线ax ＋y ＋1＝0被圆x 2＋y 2－2ax ＋a ＝0截得的弦长为2，则实数a 的值是____________．11. 已知函数f(x)＝－x 2＋2x ，则不等式f(log 2x)＜f(2)的解集为__________．12. 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，若所得的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，则φ的最小值为____________．13. 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值为____________．14. 已知函数f(x)＝e x －1＋x －2(e 为自然对数的底数)，g(x)＝x 2－ax －a ＋3，若存在实数x 1，x 2，使得f(x 1)＝g(x 2)＝0，且|x 1－x 2|≤1，则实数a 的取值范围是____________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝4，c ＝6，且asinB ＝2 3. (1) 求角A 的大小；(2) 若D 为BC 的中点，求线段AD 的长．16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AC 与BD 交于点O ，且平面PAC ⊥底面ABCD ，E 为棱PA 上一点．(1) 求证：BD ⊥OE ；(2) 若AB ＝2CD ，AE ＝2EP ，求证：EO ∥平面PBC.已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋k(n ∈N *，k ∈R )，且a 1＝2，a 3＋a 5＝－4. (1) 若k ＝0，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2) 若a 4＝－1，求数列{a n }的通项公式a n .18. (本小题满分16分)如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4 m ，最低点B 离地面2 m ，观察者从距离墙x m(x ＞1)，离地面高a m(1≤a ≤2)的C 处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB ＝θ.(1) 若a ＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？ (2) 若tan θ＝12，当a 变化时，求x 的取值范围．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且OP ⊥AF.(1) 若点P 坐标为(3，1)，求椭圆C 的方程；(2) 延长AF 交椭圆C 于点Q ，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍，求椭圆C 的离心率；(3) 求证：存在椭圆C ，使直线AF 平分线段OP.20. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝cosx ＋ax 2－1，a ∈R . (1) 求证：函数f(x)是偶函数；(2) 当a ＝1时，求函数f(x)在[－π，π]上的最值； (3) 若对于任意的实数x 恒有f(x)≥0，求实数a 的取值范围.(二)1. {－1，0，1} 解析：本题主要考查集合的运算．本题属于容易题．2. －2 解析：z ＝(1－i)(m ＋2i)＝ m ＋2＋(2－m)i 是纯虚数，则m ＝－2.本题主要考查纯虚数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. 165 解析：平均数为7，由方差公式得方差s 2＝165.本题考查了平均数及方差的概念及计算公式．本题属于容易题．4. 12 解析：本题的基本事件数为16，x y 为整数的的基本事件数为8，则所求的概率是12.本题考查古典概型，属于容易题．5. 33 解析：双曲线x 2－y 2m 2＝1(m ＞0)的一条渐近线方程为x ＋y m＝0，与x ＋3y ＝0是同一条直线，则m ＝33.本题考查了双曲线方程与其渐近线的方程之间的关系．本题属于容易题．6. －1 解析：由流程图知循环体执行8次，第1次循环S ＝12，n ＝2；第2次循环S＝－1，n ＝3；第3次循环S ＝2，n ＝4，…，第8次循环S ＝－1，n ＝9.本题考查了算法及流程图的基本内容．本题属于容易题．7. 43 解析：底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的高为1，底面积为4，则体积为43.本题考查了正四棱锥的体积公式．本题属于容易题．8. 4 解析：由a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，得q 3＝2，则a 7 ＝a 1(q 3)2＝4.本题考查了等比数列通项公式，以及项与项之间的关系．本题属于容易题．9. 23π 解析：由a ＋b ＝(1，2)，得(a ＋b )2＝3，则1＋4＋2a·b ＝3，a ·b ＝－1＝|a||b|cos θ，cos θ＝－12，则θ＝23π.本题考查了向量数量积的定义，模与坐标之间的关系．本题属于容易题．10. －2 解析：由圆x 2＋y 2－2ax ＋a ＝0的圆心(a ，0)，半径的平方为a 2－a ，圆心到直线ax ＋y ＋1＝0的距离的平方为a 2＋1，由勾股定理得a ＝－2.本题考查了点到直线的距离公式，以及利用垂径定理、勾股定理处理弦长问题．本题属于容易题．11. (0，1)∪(4，＋∞) 解析：∵ 二次函数f(x)＝－x 2＋2x 的对称轴为x ＝1，∴ f(0)＝f(2)，结合二次函数的图象可得log 2x<0或log 2x>2，解得0<x<1或x>4，∴ 解集为(0，1)∪(4，＋∞)．本题考查了二次函数的图象与性质，以及基本的对数不等式的解法．本题属于中等题．12. π6 解析：易知y ＝sin2(x ＋φ)，即y ＝sin(2x ＋2φ)，∵ 图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，∴sin ⎝⎛⎭⎫π3＋2φ＝32，∴ π3＋2φ＝π3＋2k π或π3＋2φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，即φ＝k π或φ＝π6＋k π，k ∈Z .∵ φ>0，∴ φ的最小值为π6.本题考查了三角函数的图象变换与性质．本题属于中等题．13. 58 解析：∵ AO 为△ABC 的角平分线，∴ 存在实数λ(λ≠0)使AO →＝λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →||AB→＋AC →||AC →，即AO →＝12λAB →＋13λAC →，∴ ⎩⎨⎧12λ＝x ，13λ＝y ①.若AB 边上的中线与AB 交于点D ，则AO →＝2xAD→＋yAC →.∵ C 、O 、D 三点共线，∴ 2x ＋y ＝1 ②，由①②得x ＝38，y ＝14，∴ x ＋y ＝58.本题考查了平面向量的线性表示以及向量的共线定理．本题属于难题．14. [2，3] 解析：易知函数f(x)＝e x －1＋x －2在R 上为单调增函数且f(1)＝0，∴ x 1＝1，则|1－x 2|≤1解得0≤x ≤2，∴ x 2－ax －a ＋3＝0在x ∈[0，2]上有解，∴ a ＝x 2＋3x ＋1在x ∈[0，2]上有解．令t ＝x ＋1∈[1，3]，则x ＝t －1，a ＝（t －1）2＋3t ，即a ＝t ＋4t－2 在[1，2]上递减，在[2，3]上递增，则当t ＝2时a 的最小值为2，当t ＝1时a 的最大值为3，∴ a 的取值范围为[2，3]．本题考查了函数的单调性，分离参数构造新函数，对数函数的性质以及换元的应用．本题属于难题．15. 解：(1) 由正弦定理，得asinB ＝bsinA ，(2分)因为b ＝4，asinB ＝23，所以sinA ＝32.(4分)又0＜A ＜π2，所以A ＝π3.(6分)(2) 若b ＝4，c ＝6，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝16＋36－2×24×12＝28，所以a ＝27.(8分)因为asinB ＝23，所以sinB ＝217，从而cosB ＝277.(10分)因为D 为BC 的中点，所以BD ＝DC ＝7.在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB·BD ·cosB ，即AD 2＝36＋7－2×6×7×277＝19，所以AD ＝19.(14分)16. 证明：(1) 因为平面PAC ⊥底面ABCD ，平面PAC ∩底面ABCD ＝AC ，BD ⊥AC ，BD 平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAC.因为OE ⊂ 平面PAC ，所以BD ⊥OE.(6分)(2) 因为AB ∥CD ，AB ＝2CD ，AC 与BD 交于O ， 所以CO ∶OA ＝CD ∶AB ＝1∶2.因为AE ＝2EP ，所以CO ∶OA ＝PE ∶EA ，所以EO ∥PC. 因为PC ⊂平面PBC ，EO ⊄ 平面PBC ， 所以EO ∥平面PBC.(14分)17. 解：(1) 当k ＝0时，2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以数列{a n }是等差数列．(2分)设数列{a n }公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，2a 1＋6d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－43.(4分)所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝2n ＋n （n －1）2×⎝⎛⎭⎫－43＝－23n 2＋83n.(6分)(2) 由题意，2a 4＝a 3＋a 5＋k ，即－2＝－4＋k ，所以k ＝2.(8分) 又a 4＝2a 3－a 2－2＝3a 2－2a 1－6，所以a 2＝3.由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋2，得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝－2，所以，数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝1为首项，－2为公差的等差数列． 所以a n ＋1－a n ＝－2n ＋3.(10分)当n ≥2时，有a n －a n －1＝－2(n －1)＋3，于是a n －1－a n －2＝－2(n －2)＋3，a n －2－a n －3＝－2(n －3)＋3，…，a 3－a 2＝－2×2＋3，a 2－a 1＝－2×1＋3，叠加，得a n －a 1＝－2[1＋2＋…＋(n －1)]＋3(n －1)(n ≥2)，所以a n ＝－2×n （n －1）2＋3(n －1)＋2＝－n 2＋4n －1(n ≥2)．(13分)又当n ＝1时，a 1＝2也适合．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋4n －1，n ∈N *.(14分)18. 解：(1) 当a ＝1.5时，过C 作AB 的垂线，垂足为D ，则BD ＝0.5 m ，且θ＝∠ACD－∠BCD ，由已知观察者离墙x m ，且x ＞1，则tan ∠BCD ＝0.5x ，tan ∠ACD ＝2.5x，(2分)所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD)＝ 2.5x －0.5x 1＋2.5×0.5x 2＝2x1＋1.25x 2＝2x ＋1.25x ≤2254＝255，当且仅当x ＝52＞1时，取“＝”．(6分) 又tan θ在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调增，所以，当观察者离墙52m 时，视角θ最大．(8分)(2) 由题意，得tan ∠BCD ＝2－a x ，tan ∠ACD ＝4－a x ，又tan θ＝12，所以tan θ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝2x x 2＋（a －2）·（a －4）＝12，(10分)所以a 2－6a ＋8＝－x 2＋4x ，当1≤a ≤2时，0≤a 2－6a ＋8≤3，所以0≤－x 2＋4x ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ≤0x 2－4x ＋3≥0，解得0≤x ≤1或3≤x ≤4.(14分) 因为x ＞1，所以3≤x ≤4，所以x 的取值范围为[3，4]．(16分)19. (1) 解：因为点P(3，1)，所以k OP ＝13.因为AF ⊥OP ，－b c ×13＝－1，所以3c ＝b ，所以3a 2＝4b 2.(2分) 又点P(3，1)在椭圆上，所以3a 2＋1b 2＝1，解之得a 2＝133，b 2＝134.故椭圆C 的方程为x 2133＋y2134＝1.(4分)(2) 解：由题意，直线AF 的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆C 的方程x 2a 2＋y 2b2＝1联立消去y ，得a 2＋c 2a 2c 2x 2－2x c ＝0，解得x ＝0或x ＝2a 2c a 2＋c 2，所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （c 2－a 2）a 2＋c 2，(7分)所以直线BQ 的斜率为k BQ ＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2＋b2a 2c a 2＋c2＝bca 2. 由题意得cb ＝2bca2，所以a 2＝2b 2，(9分)所以椭圆的离心率e ＝c a ＝1－b 2a 2＝22.(10分)(3) 证明：因为线段OP 垂直AF ，则直线OP 的方程为y ＝cx b ，与直线AF 的方程x c ＋yb＝1联立，解得两直线交点的坐标⎝⎛⎭⎫b 2c a 2，bc 2a 2.因为线段OP 被直线AF 平分，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫2b 2c a 2，2bc 2a 2.(12分)由点P 在椭圆上，得4b 4c 2a 6＋4b 2c 4a 4b 2＝1，又b 2＝a 2－c 2，设c2a 2＝t ，得4[(1－t)2·t ＋t 2]＝1. (*)(14分)令f(t)＝4[(1－t)2·t ＋t 2]－1＝4(t 3－t 2＋t)－1，因为f′(t)＝4(3t 2－2t ＋1)＞0，所以函数f(t)单调增． 又f(0)＝－1＜0，f(1)＝3＞0，所以f(t)＝0在区间(0，1)上有解，即(*)式方程有解， 故存在椭圆C ，使线段OP 被直线AF 垂直平分．(16分) 20. (1) 证明：函数f(x)的定义域为R ，因为f(－x)＝cos(－x)＋a(－x)2－1＝cosx ＋ax 2－1＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(3分)(2) 解：当a ＝1时，f(x)＝cosx ＋x 2－1，则f′(x)＝－sinx ＋2x ，令g(x)＝f′(x)＝－sinx ＋2x ，则g′(x)＝－cosx ＋2＞0，所以f′(x)是增函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≥0，所以f(x)在[0，π]上是增函数． 又函数f(x)是偶函数，故函数f(x)在[－π，π]上的最大值是π2－2，最小值为0.(8分) (3) 解：f′(x)＝－sinx ＋2ax ，令g(x)＝f′(x)＝－sinx ＋2ax ，则g′(x)＝－cosx ＋2a ，① 当a ≥12时，g ′(x)＝－cosx ＋2a ≥0，所以f′(x)是增函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数．而f(0)＝0，f(x)是偶函数，故f(x)≥0恒成立．(12分)② 当a ≤－12时，g ′(x)＝－cosx ＋2a ≤0，所以f′(x)是减函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≤0，所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数．而f(0)＝0，f(x)是偶函数，所以f(x)＜0，与f(x)≥0矛盾，故舍去．(14分)③ 当－12＜a ＜12时，必存在唯一x 0∈(0，π)，使得g′(x 0)＝0，因为g′(x)＝－cosx ＋2a在[0，π]上是增函数，所以当x ∈(0，x 0)时，g ′(x)＜0，即f′(x)在(0，x 0)上是减函数．又f ′(0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)时，f ′(x)＜0，即f(x)在(0，x 0)上是减函数．而f(0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)时，f(x)＜0，与f(x)≥0矛盾，故舍去．综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.(16分)。
2017年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模试卷(解析版)
2017年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜2}，则A∩B=．2．已知i是虚数单位，复数z1=3+yi（y∈R），z2=2﹣i，且，则y=．3．表是一个容量为10的样本数据分组后的频率分布，若利用组中中近似计算本组数据的平均数，则的值为4．已知直线2x﹣y=0为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为．5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n个自然数平方和的一般公式．如图是一个求前n个自然数平方和的算法流程图，若输入x的值为1，则输出的S的值为．6．已知Ω1是集合{（x，y）|x2+y2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{（x，y）|y≤|x|}所表示的区域，向区域Ω1内随机的投一个点，则该点落在区域Ω2内的概率为．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q=3，S3+S4=，则a3=．8．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为．9．已知α是第二象限角，且sinα=，则tanβ=．10．已知直线l：mx+y﹣2m﹣1=0，圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m=．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足2bcosA=2c﹣a，则角B的大小为．12．在△ABC中，AB⊥AC，AB=，AC=t，P是△ABC所在平面内一点，若=，则△PBC面积的最小值为．13．已知函数f（x）=，若函数g（x）=|f（x）|﹣3x+b有三个零点，则实数b的取值范围为．14．已知a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，则的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．已知向量．（1）当x=时，求的值；（2）若，且，求cos2x的值．16．如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC=BC，∠ACD=90°．（1）求证：AB⊥平面EDC；（2）若P为FG上任一点，证明：EP∥平面BCD．17．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量ω（单位：千克）与肥料费用x（单位：百元）满足如下关系：ω=4﹣，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本2x（如是非的人工费用等）百元．已知这种水蜜桃的市场价格为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L（x）（单位：百元）．（1）求利润函数L（x）的关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？18．已知函数f（x）=alnx﹣bx3，a，b为实数，b≠0，e为自然对数的底数，e=2.71828．（1）当a＜0，b=﹣1时，设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最大值；（2）若关于x的方程f（x）=0在区间（1，e]上有两个不同的实数解，求的取值范围．19．已知椭圆C：的左焦点为F（﹣1，0），左准线为x=﹣2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l交椭圆C于A，B两点．①若直线l经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足，求证：λ+μ为常数；②若OA⊥OB（O为原点），求△AOB的面积的取值范围．=，其中n∈N*，λ，μ为非零常20．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1数．（1）若λ=3，μ=8，求证：{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是公差不等于零的等差数列．①求实数λ，μ的值；②数列{a n}的前n项和S n构成数列{S n}，从{S n}中取不同的四项按从小到大的顺序组成四项子数列．试问：是否存在首项为S1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，直线DE切圆O于点D，直线EO交圆O于A，B两点，DC⊥OB于点C，且DE=2BE，求证：2OC=3BC．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵的一个特征值λ1=﹣1，及对应的特征向量，求矩阵M的逆矩阵．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系．已知曲线C1的参数方程为，（α∈[0，2π]，α为参数），曲线C2的极坐标方程为，若曲线C1与曲线C2有且仅有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正实数，求证：．七、解答题（共2小题，满分20分）25．已知袋中装有大小相同的2个白球，2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n局得n（n∈N*）分的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X的分布列和数学期望E（X）．26．已知f n（x）=C n0x n﹣C n1（x﹣1）n+…+（﹣1）k C n k（x﹣k）n+…+（﹣1）n C n n （x﹣n）n，其中x∈R，n∈N*，k∈N，k≤n．（1）试求f1（x），f2（x），f3（x）的值；（2）试猜测f n（x）关于n的表达式，并证明你的结论．2017年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2}，故答案为：{x|﹣1＜x＜2}．2．已知i是虚数单位，复数z1=3+yi（y∈R），z2=2﹣i，且，则y=1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵复数z1=3+yi（y∈R），z2=2﹣i，且，∴=1+i，化为：3+yi=（2﹣i）（1+i）=3+i，∴y=1．故答案为：1．3．表是一个容量为10的样本数据分组后的频率分布，若利用组中中近似计算本组数据的平均数，则的值为19.7【考点】BB：众数、中位数、平均数．【分析】根据加权平均数的定义计算即可．【解答】解：根据题意，样本容量为10，利用组中中近似计算本组数据的平均数，则=×（14×2+17×1+20×3+23×4）=19.7．故答案为：19.7．4．已知直线2x﹣y=0为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为y=±x，结合题意可得=，又由双曲线离心率公式e2===1+，计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y=±x，又由其一条渐近线的方程为：2x﹣y=0，即y=，则有=，则其离心率e2===1+=，则有e=；故答案为：．5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n个自然数平方和的一般公式．如图是一个求前n个自然数平方和的算法流程图，若输入x的值为1，则输出的S的值为14．【考点】EF：程序框图．【分析】执行算法流程，写出每次循环得到的x，s的值，当s=14时满足条件s ＞5，输出S的值14即可．【解答】解：输入x=1，s=0，s=1≤5，x=2，s=1+4=5≤5，x=3，s=5+9=14＞5，输出s=14，故答案为：14．6．已知Ω1是集合{（x，y）|x2+y2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{（x，y）|y≤|x|}所表示的区域，向区域Ω1内随机的投一个点，则该点落在区域Ω2内的概率为．【考点】CF：几何概型．【分析】以面积为测度，求出相应区域的面积，可得结论．【解答】解：不等式x2+y2≤1表示的平面区域为Ω1，面积为π；Ω2是集合{（x，y）|y≤|x|}所表示的区域，对应的面积为π，∴所求概率为，故答案为．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q=3，S3+S4=，则a3=3．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q=3，S3+S4=，∴+=，解得a1=．则a3==3．故答案为：3．8．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为16．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出侧棱长，再计算四棱柱的侧面积．【解答】解：如图所示，直四棱柱底面ABCD是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，∴侧棱长为CC1==2；∴该直四棱柱的侧面积为S=4×2×2=16．故答案为：16．9．已知α是第二象限角，且sinα=，则tanβ=．【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，进而利用两角和的正切函数公式即可计算得解．【解答】解：∵α是第二象限角，且sinα=，∴cosα=﹣=﹣，tanα=﹣3，==﹣2，∴tanβ=．故答案为：．10．已知直线l：mx+y﹣2m﹣1=0，圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m=﹣1．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】利用配方法将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标和半径，判断出直线l过定点且在圆内，可得当l⊥PC时直线l被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长最短，即可得出结论．【解答】解：由C：x2+y2﹣2x﹣4y=0得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，∴圆心坐标是C（1，2），半径是，∵直线l：mx+y﹣2m﹣1=0过定点P（2，1），且在圆内，∴当l⊥PC时，直线l被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长最短，∴﹣m=﹣1，∴m=﹣1．故答案为﹣1．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足2bcosA=2c ﹣a ，则角B 的大小为．【考点】HP ：正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可得c 2+a 2﹣b 2=，进而利用余弦定理可求cosB=，结合范围B ∈（0，π），即可得解B 的值．【解答】解：∵2bcosA=2c ﹣a ，∴cosA==，整理可得：c 2+a 2﹣b 2=，∴cosB===，∵B ∈（0，π），∴B=．故答案为：．12．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB=，AC=t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若=，则△PBC 面积的最小值为．【考点】9H ：平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立直角坐标系，由向量的坐标运算得出P 的坐标， 利用基本不等式求得△PBC 面积的最小值． 【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A （0，0），B （，0），C （0，t ），∵=+=（4，0）+（0，1）=（4，1），∴P （4，1）；又|BC |=，BC 的方程为tx +=1，∴点P到直线BC的距离为d=，∴△PBC的面积为S=•|BC|•d=••=|4t+﹣1|≥•|2﹣1|=，当且仅当4t=，即t=时取等号，∴△PBC面积的最小值为．故答案为：．13．已知函数f（x）=，若函数g（x）=|f（x）|﹣3x+b有三个零点，则实数b的取值范围为．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数|f（x）﹣3x的解析式，画出函数的图象，利用函数的极值，转化求解即可．|【解答】解：函数f（x）=，若函数g（x）=|f（x）|﹣3x+b有三个零点，就是h（x）=|f（x）|﹣3x与y=﹣b有3个交点，h（x）=，画出两个函数的图象如图：，当x＜0时，﹣≥6，当且仅当x=﹣1时取等号，此时﹣b＞6，可得b＜﹣6；当0≤x≤4时，x﹣x2≤，当x=时取得最大值，满足条件的b∈（﹣，0]．综上，b∈．给答案为：．14．已知a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，则的最小值为7．【考点】7F：基本不等式．【分析】a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，可得=1．于是=+b2﹣1. +b==+2≥4，再利用柯西不等式（+b2）（1+1）≥即可得出．【解答】解：∵a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，∴=1．则=+b2﹣1．+b==+2≥2+2=4，当且仅当a=4，b=2时取等号．∴（+b2）（1+1）≥≥16，当且仅当a=4，b=2时取等号．∴+b2≥8，∴=+b2﹣1≥7．故答案为：7．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．已知向量．（1）当x=时，求的值；（2）若，且，求cos2x的值．【考点】9R：平面向量数量积的运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）求出向量的坐标，再计算数量积；（2）化简，得出cos（2x﹣）=，再利用和角公式计算cos2x．【解答】解：（1）当x=时，=（，﹣1），=（，），∴=﹣=．（2）=sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣，若=﹣，则sin（2x﹣）=，∵，∴2x﹣∈[﹣，]，∴cos（2x﹣）=．∴cos2x=cos（2x﹣+）=cos（2x﹣）cos﹣sin（2x﹣）sin=﹣=．16．如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC=BC，∠ACD=90°．（1）求证：AB⊥平面EDC；（2）若P为FG上任一点，证明：EP∥平面BCD．【考点】LS：直线与平面平行的判定；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出CD⊥AC，从而CD⊥平面ABC，进而CD⊥AB，再求出CE⊥AB，CE⊥AB，由此能证明AB⊥平面EDC．（2）连结EF、EG，推导出EF∥平面BCD，EG∥平面BCD，从而平面EFG∥平面BCD，由此能证明EP∥平面BCD．【解答】证明：（1）∵平面ABC⊥平面ACD，∠ACD=90°，∴CD⊥AC，∵平面ABC∩平面ACD=AC，CD⊂平面ACD，∴CD⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴CD⊥AB，∵AC=BC，E为AB的中点，∴CE⊥AB，又CE∩CD=C，CD⊂平面EDC，CE⊂平面EDC，∴AB⊥平面EDC．（2）连结EF、EG，∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD，又BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，∴EF∥平面BCD，同理可EG∥平面BCD，且EF∩EG=E，EF、EG⊂平面BCD，∴平面EFG∥平面BCD，∵P是FG上任一点，∴EP⊂平面EFG，∴EP∥平面BCD．17．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量ω（单位：千克）与肥料费用x（单位：百元）满足如下关系：ω=4﹣，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本2x（如是非的人工费用等）百元．已知这种水蜜桃的市场价格为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L（x）（单位：百元）．（1）求利润函数L（x）的关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）L（x）=16﹣x﹣2x=64﹣﹣3x（0≤x≤5）．（单位百元）．（2）法一：L（x）=67﹣利用基本不等式的性质即可得出最大值．法二：L′（x）=﹣3=，令：L′（x）=0，解得x=3．利用对数研究函数的单调性即可得出极大值与最大值【解答】解：（1）L（x）=16﹣x﹣2x=64﹣﹣3x（0≤x≤5）．（单位百元）．（2）法一：L（x）=67﹣≤67﹣=43，当且仅当x=3时取等号．∴当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4300元．法二：L′（x）=﹣3=，令：L′（x）=0，解得x=3．可得x ∈（0，3）时，L′（x ）＞0，函数L （x ）单调递增；x ∈（3，5]时，L′（x ）＜0，函数L （x ）单调递减．∴当x=3时，函数L （x ）取得极大值即最大值．∴当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4300元．18．已知函数f （x ）=alnx ﹣bx 3，a ，b 为实数，b ≠0，e 为自然对数的底数，e=2.71828． （1）当a ＜0，b=﹣1时，设函数f （x ）的最小值为g （a ），求g （a ）的最大值；（2）若关于x 的方程f （x ）=0在区间（1，e ]上有两个不同的实数解，求的取值范围．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值；6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出g （a ）的最大值即可；（2）问题转化为函数y 1=的图象与函数m （x ）=的图象有2个不同的交点，根据函数的单调性求出的范围即可．【解答】解：（1）b=﹣1时，f （x ）=alnx +x 3，则f′（x ）=，令f′（x ）=0，解得：x=，∵a ＜0，∴＞0，x ，f′（x ），f （x ）的变化如下：故g（a）=f （）=ln （﹣）﹣，令t （x ）=﹣xlnx +x ，则t′（x ）=﹣lnx ，令t′（x ）=0，解得：x=1， 且x=1时，t （x ）有最大值1， 故g （a ）的最大值是1，此时a=﹣3；（2）由题意得：方程alnx ﹣bx 3=0在区间（1，e ]上有2个不同的实数根，故=在区间（1，e ]上有2个不同是实数根，即函数y 1=的图象与函数m （x ）=的图象有2个不同的交点，∵m′（x ）=，令m′（x ）=0，得：x=，x ，m′（x ），m （x ）的变化如下：），∴x ∈（1，）时，m （x ）∈（3e ，+∞），x ∈（，e ]时，m （x ）∈（3e ，e 3]，故a ，b 满足的关系式是3e＜≤e 3，即的范围是（3e ，e 3]．19．已知椭圆C ：的左焦点为F （﹣1，0），左准线为x=﹣2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足，求证：λ+μ为常数；②若OA ⊥OB （O 为原点），求△AOB 的面积的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的左焦点为F（﹣1，0），左准线为x=﹣2，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）①设直线l的方程为y=k（x+1），则P（0，k），代入椭圆得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，由此利用韦达定理、向量知识，结合已知条件能证明λ+μ为常数﹣4．②当直线OA，OB分别与坐标轴重合时，△AOB的面积，当直线OA，OB的斜率均存在且不为零时，设OA：y=kx，OB：y=﹣，将y=kx代入椭圆C，得到x2+2k2x2=2，由此利用换元法结合已知条件能求出△AOB的面积的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆C：的左焦点为F（﹣1，0），左准线为x=﹣2，∴由题设知c=1，=2，a2=2c，∴a2=2，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的标准方程为=1．证明：（2）①由题设知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+1），则P（0，k），设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l代入椭圆得x2+2k2（x+1）2=2，整理，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，∴，，由，，知，，∴λ+μ=﹣=﹣=﹣（定值）．∴λ+μ为常数﹣4．解：②当直线OA，OB分别与坐标轴重合时，△AOB的面积，当直线OA，OB的斜率均存在且不为零时，设OA：y=kx，OB：y=﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx代入椭圆C，得到x2+2k2x2=2，∴，，同理，，，==，△AOB的面积S△AOB==，令t=k2+1∈[1，+∞），则S△AOB令μ=∈（0，1），则=∈[，）．综上所述，△AOB的面积的取值范围是[，]．=，其中n∈N*，λ，μ为非零常20．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1数．（1）若λ=3，μ=8，求证：{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是公差不等于零的等差数列．①求实数λ，μ的值；②数列{a n}的前n项和S n构成数列{S n}，从{S n}中取不同的四项按从小到大的顺序组成四项子数列．试问：是否存在首项为S 1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由．【考点】8H ：数列递推式．【分析】（1）λ=3，μ=8时，a n +1==3a n +2，化为：a n +1+1=3（a n +1），即可证明．（2）①设a n =a 1+（n ﹣1）d=dn ﹣d +1．由a n +1=，可得：a n +1（a n +2）=+4，（dn ﹣d +3）（dn +1）=λ（dn ﹣d +1）2+μ（dn ﹣d +1）+4，令n=1，2，3，解出即可得出．．②由①可得：S n ==n 2．设存在首项为S 1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017．则这四项为：三个奇数一个偶数，或者三个偶数一个奇数．1°三个奇数一个偶数：设S 1，S 2x +1，S 2y +1，S 2z 是满足条件的四项，则1+（2x +1）2+（2y +1）2+（2z ）2=2017，化为2（x 2+x +y 2+y +z 2）=1007，矛盾，舍去．2°三个偶数一个奇数，设S 1，S 2x ，S 2y ，S 2z 是满足条件的四项，则1+（2x ）2+（2y ）2+（2z ）2=2017，化为x 2+y 2+z 2=504．由504为偶数，x ，y ，z 中一个偶数两个奇数或者三个偶数．（i ）若x ，y ，z 中一个偶数两个奇数，不妨设x=2x 1，y=2y 1+1，z=2z 1+1，则2=251，矛盾．（ii ）若x ，y ，z 均为偶数，不妨设x=2x 1，y=2y 1，z=2z 1，则++=126，则x 1，y 1，z 1中有两个奇数一个偶数．不妨设x 1=2x 2，y 1=2y 2+1，z 1=2z 2+1，则=31．依此类推分类讨论即可得出．【解答】（1）证明：λ=3，μ=8时，a n +1==3a n +2，化为：a n +1+1=3（a n +1），∴：{a n +1}为等比数列，首项为2，公比为3．∴a n+1=2×3n﹣1，可得：a n=2×3n﹣1﹣1．（2）解：①设a n=a1+（n﹣1）d=dn﹣d+1．由a n+1=，可得：a n+1（a n+2）=+4，∴（dn﹣d+3）（dn+1）=λ（dn﹣d+1）2+μ（dn﹣d+1）+4，令n=1，2，3，解得：λ=1，μ=4，d=2．经过检验满足题意，可得：λ=1，μ=4，a n=2n﹣1．②由①可得：S n==n2．设存在首项为S1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017．则这四项为：三个奇数一个偶数，或者三个偶数一个奇数．1°三个奇数一个偶数：设S1，S2x+1，S2y+1，S2z是满足条件的四项，则1+（2x+1）2+（2y+1）2+（2z）2=2017，化为2（x2+x+y2+y+z2）=1007，矛盾，舍去．2°三个偶数一个奇数，设S1，S2x，S2y，S2z是满足条件的四项，则1+（2x）2+（2y）2+（2z）2=2017，化为x2+y2+z2=504．由504为偶数，x，y，z中一个偶数两个奇数或者三个偶数．（i）若x，y，z中一个偶数两个奇数，不妨设x=2x1，y=2y1+1，z=2z1+1，则2=251，矛盾．（ii）若x，y，z均为偶数，不妨设x=2x1，y=2y1，z=2z1，则++=126，则x1，y1，z1中有两个奇数一个偶数．不妨设x1=2x2，y1=2y2+1，z1=2z2+1，则=31．∵y2（y2+1），z2（z2+1）均为偶数，∴x2为奇数．不妨设0≤y2≤z2．当x2=1时，则+y2++z2=30， +y2≤14，检验可得：y2=0，z2=5，x2=1．当x2=3时，则+y2++z2=22， +y2≤10，检验可得：y2=1，z2=4，x2=3．当x2=5时，则+y2++z2=6， +y2≤2，检验可得：y2=0，z2=2，x2=5．即{S1，S4，S8，S44}，{S1，S12，S24，S36}，{S1，S4，S20，S40}为全部满足条件的四元子列．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，直线DE切圆O于点D，直线EO交圆O于A，B两点，DC⊥OB于点C，且DE=2BE，求证：2OC=3BC．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】连接OD，计算OC，BC，即可证明结论．【解答】证明：连接OD，设圆的半径为R，BE=x，则OD=R，DE=2BE=2x，Rt△ODE中，∵DC⊥OB，∴OD2=OC•OE，∴R2=OC（R+x），①∵直线DE切圆O于点D，∴DE2=BE•OE，∴4x2=x（R+x），②，∴x=，代入①，解的OC=，∴BC=OB﹣OC=，∴2OC=3BC．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵的一个特征值λ1=﹣1，及对应的特征向量，求矩阵M的逆矩阵．【考点】OV：特征值与特征向量的计算．【分析】利用特征值、特征向量的定义，建立方程，求出M，再求矩阵M的逆矩阵．【解答】解：由题意，=﹣1•，∴，∴a=2，b=2，∴M=，∴|M|=1×2﹣2×3=﹣4，∴M﹣1=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系．已知曲线C1的参数方程为，（α∈[0，2π]，α为参数），曲线C2的极坐标方程为，若曲线C1与曲线C2有且仅有一个公共点，求实数a的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】求出两曲线的普通方程，根据直线与圆相切列方程解出a．【解答】解：曲线C1的方程为（x﹣）2+（y﹣3）2=4，圆心坐标为（，3），半径为2．∵曲线C2的极坐标方程为，∴+=a，∴曲线C2的直角坐标方程为，∵曲线C1与曲线C2有且仅有一个公共点，∴=2，解得a=1或a=5．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正实数，求证：．【考点】R6：不等式的证明．【分析】不等式两边同时加上a+b+c，分组使用基本不等式即可得出结论．【解答】证明：∵a，b，c为正实数，∴a+≥2b，b+≥2c，c+≥2a，将上面三个式子相加得：a+b+c+≥2a+2b+2c，∴≥a+b+c．七、解答题（共2小题，满分20分）25．已知袋中装有大小相同的2个白球，2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n局得n（n∈N*）分的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X的分布列和数学期望E（X）．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值；（Ⅱ）由题意知随机变量X的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值，求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设在一局游戏中得3分为事件A，则P（A）==；（Ⅱ）由题意随机变量X的可能取值为1，2，3，4；且在一局游戏中得2分的概率为=；则P（X=1）==，P（X=2）=×=，P（X=3）=×（1﹣）×=，P（X=4）=×（1﹣）×=，∴X的分布列为：EX=1×+2×+3×+4×=．26．已知f n（x）=C n0x n﹣C n1（x﹣1）n+…+（﹣1）k C n k（x﹣k）n+…+（﹣1）n C n n （x﹣n）n，其中x∈R，n∈N*，k∈N，k≤n．（1）试求f1（x），f2（x），f3（x）的值；（2）试猜测f n（x）关于n的表达式，并证明你的结论．【考点】RG：数学归纳法；DC：二项式定理的应用．【分析】（1）利用组合数公式直接计算；（2）根据（1）的计算猜想公式，根据组合数的性质进行化简，将条件向假设式配凑得出．【解答】解：（1）f1（x）=x﹣（x﹣1）=x﹣x+1=1，f2（x）=﹣+=x2﹣2（x2﹣2x+1）+（x2﹣4x+4）=2，f3（x）=x3﹣（x﹣1）3+（x﹣2）2﹣（x﹣3）3=x3﹣3（x﹣1）3+3（x ﹣2）3﹣（x﹣3）3=6，（2）猜想：f n（x）=n!．证明：①当n=1时，猜想显然成立；②假设n=k时猜想成立，即f k（x）=C k0x k﹣C k1（x﹣1）k+（x﹣2）k+…+（﹣1）k Ck（x﹣k）k=k!，k则n=k+1时，f k（x）=C x k+1﹣（x﹣1）k+1+C（x﹣2）k+1+…+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1=xC x k﹣（x﹣1）（x﹣1）k+（x﹣2）C（x﹣2）k+…+（﹣1）k（x﹣k）（x﹣k）k+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1=x[C x k﹣（x﹣1）k+C（x﹣2）k+…+（﹣1）k（x﹣k）（x﹣k）k]+[（x﹣1）k﹣2C（x﹣2）k+…+（﹣1）k k（x﹣k）k]+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1=x[C x k﹣（+）（x﹣1）k+（）（x﹣2）k+…+（﹣1）k（+）（x ﹣k）k]+（k+1）[（x﹣1）k﹣（x﹣2）k…+（﹣1）k+1（x﹣k）k]+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1=x[x k﹣C k1（x﹣1）k+（x﹣2）k+…+（﹣1）k C k k（x﹣k）k]﹣x[（x﹣1）k+（x﹣2）k+…+（﹣1）k﹣1C k k﹣1（x﹣k）k+（﹣1）k C（x﹣k﹣1）k]+（k+1）[（x﹣1）k﹣（x﹣2）k…+（﹣1）k+1（x﹣k）k+（﹣1）k（x﹣k ﹣1）k]=xk!﹣xk!+（k+1）k!=（k+1）!．∴当n=k+1时，猜想成立．2017年5月31日。
(江苏)高三数学-江苏省2017年自主招生模拟考试数学试题 Word版含答案
数学与逻辑试卷毕业学校： 准考证号： 姓名：本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上，考试时间为120分钟．试卷满分150分．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把所选项前的字母代号填在答题卡．．．上的对应题的表格内） 1．关于x 的不等式x －m ＞0，恰有两个负整数解，则m 的取值范围是（ ▲ ） A ．3＜m ＜ 2 B ．3≤m ＜2C ．3≤m ≤ 2D ．3＜m ≤22．如图，已知AB ∥DE ,∠ABC =75°，∠CDE =145°，则∠BCD 的值为（ ▲ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．70°3．如图，在等腰Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠CAD ＝30°，则BD ׃ DC 等于（ ▲ ） A ．33B ．22 C ．21-D ．31-4．已知△ABC 的周长是24，M 为AB 的中点，MC =MA =5，则△ABC 的面积为（ ▲ ）A ．12B ．16C ．24D ．305．对于方程x 2－2|x |+2=m ，如果方程实根的个数为3个，则m 的值等于（ ▲ ）A ．1B ．3C ．2D ．2.56．某种商品的平均价格在一月份上调了10%，二月份下降了10%，三月份又上调了10%，则这种商品从原价到三月底的价格上升了 （ ▲ ）A ．10%B ．9.9%C ．8.5%D ．8.9%7．已知点P （1－2m ，m －1），则不论m 取什么值，该P 点必不在（ ▲ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限AB CD第3题第2题ABCDE8．已知三个关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0 ，bx 2+cx +a =0 ，cx 2+ax +b =0恰有一个公共实数根，则abc ac b bc a 222++的值为 （ ▲ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．已知x 、y 均为实数，且满足xy +x +y =5，x 2y +xy 2=6，则代数式 x 2+x y + y 2的值为（ ▲ ）A ．1B ．7C ．1或7D ．1110．四边形ABCD 内部有1000个点，以顶点A 、B 、C 、D 、和这1000个点能把原四边形分割成n 个 没有重叠的小三角形，则个数n 的值为 （ ▲ ）A ．2002B ．2001C ．2000D ．1001二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把结果直接填在答题卡．．．上的对应题中的横线上）11．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则2a －|a －b |= ▲ ．12．当x =a 或x =b （a ≠b ）时，代数式x 2－4x +2的值相等，则当x =a +b 时，代数式x 2－4x +2的值为 ▲ ．13．分解因式9－6y －x 2+y 2= ▲ ．14．如图，在平面直角坐标系xoy 中，四边形ODEF 和四边形ABCD 都是正方形，点F在y 轴的正半轴上，点C 在边DE 上，反比例函数4y x=的图象过点B 、E ．则 AB 的长为 ▲ ．15．如图，已知M （3，3），⊙M 的半径为2，四边形ABCD 是⊙M 的内接正方形，E16．如图，在矩形ABCD 中，AD =5，AB =15，E 、F 分别为矩形外两点，DF =BE = 4，AF =CE =3，则EF 等于 ▲ ．x17．如图，在矩形ABCD 的边AB 上有一点E ，且23=EB AE ，DA 边上有一点F ，且EF ＝18，将矩形沿EF 对折，A 落在边BC 上的点G ，则AB = ▲ ．18．如图，四边形ABCD 中，AB =BC =CD ，∠ABC =78，∠BCD =162，设AD 、BC 延长线交于E ，则∠AEB = ▲ ．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡．．．指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分8分）（1）计算：2131|()2sin 602---o（2）先化简，再求值：2121(1)1a a a a ++-⋅+，其中a 21.20．（本题满分6分）如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CN // AB ，DN 交AC 于点M ，MA = MC ． 求证：CD = AN ．时，S max ＝52＝25＜174. 当t ∈(5，10]时，S max ＝10×10－25＝75＜174. …………………10分 当t ∈(10，30]时，令－41t 2＋15t －50=174， …………………11分MBDA BCD FEG第17题第16题D CEBFABADC第18题解得t 1＝28，t 2＝32，10＜t ≤30，故t ＝28，所以河流污染发生28h 后将侵袭到乙城. …………………12分26．（本题满分10分）解：（1）由题意，∠C =90°，AC =8，BC =6，∴AB =10∵ AP =DE =x ，∴AD =PE =54x ，PD =53x ， …………………1分 点E 落在边BC 上，PE ∥AB ，∴AC CP =AB PE ，∴88x =504x∴ x =41200 …………………3分（2）∵△EDB 为等腰三角形①若DE =EB （如图）作EM ⊥AB 于M ，则DM =21DB =PE =AD =103， ∴54x=103，∴ x =625，∴AP =625………………………5分 ②若BD =DE （如图） x =10－54x ，解之x =950，∴AP =950。
2017年苏南五市单招二模卷答案--数学
2
33
直线 BS 的方程为 y 1 x 1， M (10 , 2)
2
33
………5 分
故 MN 8 ( 2) 10 3 33
………7 分
（3）直线 AS 的斜率 k 显然存在，且 k 0 ，故可设直线 AS 的方程为 y k (x 2) ，
从而 M (10 ,16k ) 33
(x
2)
10
x x
2x 2
12
0
3 x x 2
4
2 x4
原不等式的解集为 2，4
15． 2
………………2 分 ………………6 分 ………………8 分
《数学》答案及评分参考 第 1页（共 7 页）
17．（本题满分 10 分）
解：（1） f ( 3 x) f ( 3 x)
(0 x 100)
当且仅当
x
5 即x 2
25 46.25时,y max
425 16
………8 分
投资乙商品为 100-6.25＝93.75 万元
425
答:用 6.25 万元投资甲商品,93.75 万元投资乙商品,才能获得最大利润，为 万元.
16
…………10 分
21．（本题满分 14 分）
0 1 4
y2
1 4
x
，
x
0,
.
………………4 分
（2）设用 x 万元投资甲商品,那么投资乙商品为 100-x 万元,总利润为 y 万元.
y 5 x 1 (100 x) 44
2017江苏跨地区职业学校对口单招二模联考试卷 数学二模试卷答案
2017年江苏跨地区职业学校单招二轮联考数学试卷 参考答案一、单项选择题1-5：CDBCA 6-10：BDCBD二、填空题11．1 12．-5 13．26 14．[]2,2- 15．3三、解答题16．解：（1）∵函数y =f （x ）的图像经过P （3，4），∴a 2=4． ……（2分） 又a ＞1，所以a =2． ……（3分） （2）由于f （lg ）=f （﹣2）= a ﹣3； f （﹣2.1）= a ﹣3.1 ……（5分） 当a ＞1时，y =a x 在（﹣∞，+∞）上为增函数，∵﹣3＞﹣3.1，∴a ﹣3＞a ﹣3.1． ……（7分） 即f （lg）＞f （﹣2.1）． ……（8分）17．（1）解：∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴当x ∈[﹣2，0]时，f （x ）=)(x f -- =2x +2x ； ……（3分）（2）证明：∵f （x +2）=﹣f （x ）∴f （x +4）=﹣)2(+x f =﹣[])(x f - =)(x f ； ……（6分） （3）解：∵f （x +4）=f （x ），∴f （x ）是以4为周期的周期函数； ……（7分）∴f （0）+f （1）+f （2）+···+f （2015）=504[f （0）+f （1）+f （2）+f （3）] =504[f （0）+f （1）+f （2）+f （﹣1）]=0． ……（10分）18．解：（1）由B B A C A sin )sin (sin sin sin 22-=-，得222b ab c a -=-， ∴ab c b a =-+222 ……（2分） ∴ab c b a C 2cos 222-+=21= ……（3分） 又∵0°＜C ＜180°，∴C =60° ……（5分）（2）S =21ab sin C =21×23ab =23sin A sin B =23sin A sin （120°－A ） =23sin A （sin120°cos A －cos120°sin A ） ……（8分） =3sin A cos A +3sin 2A=23sin2A －23cos2A +23=3sin （2A －30°）+23 ……（10分）∴当2A －30°=90°，即A =60°时，S max =233 ……（12分） （2）另解：6sin 2==C R c ， ……（6分）2126cos 22=-+=ab b a C ，ab b a =-+∴622， ……（7分） ab b a 222≥+ （b a =时取最值），ab ab 26≥+∴， ……（9分） ∴6≤ab ……（10分）6==∴b a 时，C ab S ABC sin 21=∆最大为233. ……（12分）19．解：（1）由频率分布直方图知组矩为0.1，4.3～4.4间的频数为100×0.1×0.1=1．4.4～4.5间的频数为100×0.1×0.3=3．又前4组的频数成等比数列，∴公比为3，前4组的频数分别为：1,3,9,27． ……（2分） 由图知4.6～4.7间的频数最大，为27，∴a =0.27， ……（3分） 根据后6组频数成等差数列，且共有100﹣13=87人．设公差为d ，则6×27+15d=87． ∴d =﹣5，从而b =27+22+17+12=78. ……（6分） （2）样本视力在[4.4，4.5）的有3人；在[5.0，5.1）的有7人． ……（7分） 从这10中任取2人的基本事件有C 210=45个； ……（8分） 设事件A ={抽取两人视力差大于0.1}，事件A 共有 C C 1713=21个． ……（10分） 根据古典概型的概率，P （A ）=2145=715． ……（11分） 故事件“|m ﹣n |＞0.1”的概率是715． ……（12分）20．解：（1）设投资为x 万元，A ，B 两产品获得的收益分别为f （x ），g （x ）万元， 由题意，f （x ）=k 1x ，g （x ）=，k 1，k 2≠0，x ≥0， ……（1分）又由图知f （1.8）=0.45，g （4）=2.5；解得，k 2=， ……（3分）∴f （x ）=（x ≥0），g （x ）=． ……（4分） （2）设对股票等风险型产品B 投资x 万元，则对债券等稳键型产品A 投资（10﹣x ）万元， 记家庭进行理财投资获取的收益为y 万元， ……（5分） 则y =，x ≥0． ……（6分）设，则x =t 2，0≤t ≤． ∴y =﹣， ……（8分） 当t =52，也即x =254时，y 取最大值6516． ……（9分） ∴对股票等风险型产品B 投资254万元，对债券等稳键型产品A 投资154万元时， 可获最大收益6516万元． ……（10分）21．解：（1）由题意得：==2，2a =4， ……（2分） 又a 2=b 2+c 2，联立以上可得：a 2=4，b 2=3，c 2=1． ……（3分） ∴椭圆C 的方程为+32y =1； ……（4分） （2）①设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=134222y x kx y ，消去x ，得0428)43(22=-++kx x k ， ……（5分） 0)43(1612822>++=∆k k 恒成立2214328k k x x +-=+，221434k x x +-= ……（7分）2)(2)2)(2(212122121+++=++=x x k x x k kx kx y y 243164342222++-++-=k k k k 2243126k k +-= ……（8分） 由，得0432121=+y y x x ， ……（9分）∴0434********22=+-++-k k k 解得412=k ，∴21±=k ……（11分） ②圆心O 到直线PQ 的距离为522122=+=k d ， ……（12分） ∴直线PQ 被圆O 截得的弦长为5352322=-=dl . ……（14分）22．解：设搭载A 产品x 件，B 产品y 件，则预计收益z =1000x +1200y ．……（1分） 则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥-≤+≤+0,002125.1155.12y x y x y x y x ，且,,N y N x ∈∈． ……（4分） 作出可行域如图所示：……（7分）作直线l ：1000x +1200y =0，即直线x +1.2y =0．把直线l 向右上方平移经过可行域上的点B ，此时z =1000x +1200y 取得最大值． ……（8分） 由2 1.51520==x y x y +⎧⎨-⎩，解得点M 的坐标为（3，6）． ∴当x =3，y =6时，z max =3×1000+6×1200=10200（百元）． ……（9分）答：搭载A 产品3件，B 产品6件，才能使总预计收益达到最大，最大预计收益为10200百元． ……（10分）23．解：（1）由向量=（S n ，1），=（2n ﹣1，12），∥， 可得12S n =2n ﹣1，即S n =2n +1﹣2， ……（2分） 当n ＞1时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（2n +1﹣2）﹣（2n ﹣2）=2n ； ……（4分）当n =1时，a 1=S 1=2，满足上式．则有数列{a n }的通项公式为a n =2n ，n ∈N *； ……（5分）（2）①x x f )21()(=，b 1=1，)(1)1(1n n b f b f -=-+， 可得nn b b --=+)21(1)21(11n b )21(=， ……（7分） 即有11=-+n n b b ，可得{b n }为首项和公差均为1的等差数列， ……（9分） 即有b n =n ； ……（10分）②2n n n n c a b n =+=+， ……（11分）前n 项和2(21)(22)[2)n n T n =++++++2(222)(12)n n =+++++++ ……（13分） 22221n n n ++-=+． ……（14分）。
江苏省南京市、盐城市2017届高三第二次模拟考试 数学 Word版含答案
江苏省南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学2017.3一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 函数()1ln1f x x=-的定义域为 . 2. 若复数z 满足()12z i i -=（i 是虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= .3.某校有三个兴趣小组，甲乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲乙不在同一个兴趣小组的概率为 .4.下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：现要从所有参加调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”中抽取8人，则n 的值为 . 5．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为 .6.记公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1421,50a S S =-=，则5S 的值为 .7.将函数()sin f x x =的图象向右平移3π个单位后得到函数()y g x =的图象，则函数()()y f x g x =+的最大值是 .8.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线26y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上的一点，,PA l ⊥A 为垂足，若直线AF 的斜率为k =PF 的长为 .9.若3sin ,0,652ππαα⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos α的值为 .10.,αβ是两个不同的平面，,m n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是 .（填上所有正确的序号）①若//,m αβα⊂，则//m β； ②若//,m n αα⊂，则//m n ； ③若,,n m n αβαβ⊥=⊥，则m β⊥；④若,,m n m αβα⊥⊥⊥，则m β⊥11.在平面直角坐标系xoy 中，直线1:20l kx y -+=与直线2:20l x ky +-=相交于点P ，则当k 实数变化时，点P 到直线40x y --=的距离的最大值为 . 12.若函数()22cos 38f x x m x m m =-++-有唯一的零点，则满足条件的实数m 的所有的集合为 .13.已知平面向量()()1,2,2,2AC BD ==-，则AB CD ⋅的最小值为 .14.已知函数()()ln f x x e a x b =+--，其中e 为自然对数的底数，若不等式()0f x ≤恒成立，则ba的最小值为 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.（本题满分14分）如图，在ABC ∆中，D 为边BC 上一点，6,3, 2.AD BD DC ===（1）若AD BC ⊥，求BAC ∠的大小； （2）若4ABC π∠=，求ADC ∆的面积.16.（本题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面,.PAB AP AB ⊥ （1）求证：CD AP ⊥；（2）若CD PD ⊥，求证：//CD 平面PAB .17.（本题满分14分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD,然后再矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）.设小正方形的边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB,BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a b ≥.（1）当90a =时，求纸盒的侧面积的最大值；（2）试确定,,a b x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值.18.（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，焦点在x 轴上的椭圆222:18x y C b+=经过点(),2b c ，其中e 为椭圆C 的离心率，过点()1,0T 作斜率为()0k k >的直线交椭圆C 于A,B 两点（A 在x 轴下方）.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M,N ，求2AT BTMN ⋅的值； （3）记直线l 与y 轴的交点为P,若25AP TB =，求直线l 的斜率k .19.（本题满分16分）已知函数()1x f x e ax =--，其中e 为自然对数的底数，a R ∈. （1）若a e =，函数()()2g x e x =-.①求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；②若函数()()(),,f x x mF x g x x m≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域为R,求实数m 的取值范围；（2）若存在实数[]12,0,2x x ∈，使得()()12f x f x =，且121x x -≥，求证：212e a e -≤≤-.20.（本题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}{},n n b c 满足()()1211,22n n n n n n n S a a Sn b a n c n n+++++=-+=-，其中.n N *∈ （1）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求数列{}n c 的通项公式； （2）若存在实数λ，使得对一切n N *∈，有n n b c λ≤≤，求证：数列{}n a 是等差数列.江苏省南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学附加卷21.【选做题】在A,B,C,D 四个小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答题纸的指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆的顶点A,C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M. （1）若BC 是圆O 的切线，且AB=8，BC=4，求线段AM 的长； （2）若线段BC 与圆O 交于另一点N,且AB=2AC,求证：BN=2MN.B.选修4-2：矩阵与变换设,a b R ∈，若直线:70l ax y +-=在矩阵301A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的变化作用下，得到的直线为:9910l x y '+-=，求实数,a b 的值. C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线315:45x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），与曲线24:4x k C y k ⎧=⎨=⎩（k为参数）交于A,B 两点，求线段AB 的长.D.选修4-5：不等式选讲设a b ≠，求证：()42242264a a b b ab a b ++>+.【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，12,,,3A A AB ABC E F π==∠=分别是1,BC A C 的中点.（1）求异面直线,EF AD 所成角的余弦值；（2）点M 在线段1A D 上，11A MA Dλ=,若//CM 平面AEF ，求实数λ的值.23.（本小题满分10分） 现有()()12,2n n n n N *+≥∈个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：设k M 是第k 行中的最大数，其中1,k n k N *≤≤∈，记12n M M M <<<的概率为n p（1）求2p 的值；（2）证明：()21.1!n n C p n +>+。
2017盐城单招二模数学试卷
市 2017 年一般高校独自招生第二次调研考试一试卷数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（填补题．分，考试时. 解答题）两卷满分 150间 120分钟．第Ⅰ卷（共 40 分）注意事项：将第Ⅰ卷每题的答案序号写在答题纸上一、选择题：（本大题共10 小题，每题 4 分，共 40 分，每题列出的四个选项中，只有一项为哪一项切合要求的）1. 设A- 4,2，a1, a 2, B9, a5,1 a ,已知 A B9 ，则 a（）A . 3 B. 10 C. -3 D.10和32.设z的共轭复数为z，若 z z 4 ， z z 8 ，则z等于（）AzA . iB .i C.1 D.iS B 3. 在以下图的电路中，用逻辑变量 A 、B、C 表示 S，则 S=（）A . ABC B.ABCCC. A(B C ) D . A B C4.某项工程的流程图以下 (单位：天 )则此工程的重点路径是（）A．A→F→B→E→G B．A →L→C→ F→B→E→GC．A→F→M →D→E→G D．A→L→ C→ F→M→ D→E→G5.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A.75B.60C.45D.306.已知偶函数 f (x) 在0,3 递加，则 f (3), f (log 213), f () 之间的大小关系是（）24A ．f (3) f (log 21) f (3) B ．f (3) f (3) f (log 21 ) 4224C．f (3) f (log 21) f (3) D ．f (log21) f (3) f (3) 24427.函数 y cos2 x3cos(2x)2的最小值是（）A ．2B ．01D．6 C．48.(x 1 )8的睁开式中 x 5的系数为（）xA．56B． -56C． 28D． -289. 已知两定点A( 2,0)， B(1,0)，假如动点P知足PA 2 PB ，则点P的轨迹所包围的面积等于（）A ．B ．4C．8D．910. 设f (x)(1)x a, ( x0)x仅有二个解，则实数a的取值围为（3，若 f ( x)）f (x1), ( x0)A．[1,2] B ．(,2)C．(2,3)D．(1,3)第Ⅰ卷的答题纸题号12345678910答案第Ⅱ卷（共110 分）5 小题，每题4 分，共 20开始二、填空题：（本大题共分，把答案填在题中的横线上）k=111．假如履行右边的程序框图，那么输出的S.S=012.某商场小家电组 2014 年 12 月购进一批货物，商品查收单以下否表：k ≤ 50是输出SS=S+2k结束k=k+1商品名称购进数目（件）进价（元）售价（元）A 牌剃须刀150100120B 牌电熨斗11080115C 牌电吹风1006090则这一批货物的收益率为.13.若函数 f ( x)sin x,sin x cos x，则 f ( x) 的最小值为．cos x,sin x cosx14.若圆 x2y 22mx m2 4 0 与圆 x 2y 22x 4my 4m28 0 相切，则实数 m 的取值会合是.15. 已知三个函数y2x， y x2， y8的图象都经过点 A ，且点 A 在直线xx y1 (m0, n0) 上，则log2m log2 n 的最小值为.m2n三、解答题：（本大题共8 题，共90 分）16．（此题满分 8分）已知指数函数 y g(x) 满足：g(2)=4．定义域为R的函数g( x)nf (x)是奇函数．2g (x)m（1）求y g(x) 的分析式；（2）求m，n的值．17．（此题满分 10 分）已知函数 f (x) log2[( a1) x a 1] 的定义域为(1, )．（1）求a的取值围；（ 2）解不等式：a x2x a8 3 x．18.（此题满分 12 分）在ABC 中，角A, B,C所对的边分别为A 2 5 a, b, c ，且知足 cos，uuur uuur253 ．AB AC（1）求ABC 的面积；（2）若b c 6，求a的值．19．（此题满分12 分）求以下事件的概率：（ 1）口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外完整同样，四个人按次序挨次从中摸出一球，事件 A ＝ { 第二个人摸到白球} ；(2) 已知函数f(x)＝－ x2＋ax－ b，若 a、b 都是从区间 [0,4] 任取的一个数，事件 B ＝{ f(1)＞0建立}．20．（此题满分10 分）某公司投入81 万元经销某产品，经销时间共60 个月，市场调研表示，1,1x20, x N该公司在经销这个产品时期第x 个月的收益 f ( x)121x60, x（单位：万x,N10元），为了获取更多的收益，公司将每个月获取的收益投入到次月的经营中，记第x 个月的当月收益率 g (x)第 x个月的收益 f (3)．，比如： g (3)81 f (1) f (2)第 x个月前的资本总和（1）求g(10)；（2）求第x个月的当月收益率g( x) ；（3）该公司经销此产品时期，哪一个月的当月收益率最大，并求该月的当月收益率．21．（此题满分 14 分）椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为1，且点（1，23）在该椭圆上．2（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C订交于A, B两点，若AOB 的面积为6 2 ，7求圆心在原点O 且与直线l相切的圆的方程.22．（此题满分 10 分）某钢材厂要将两种大小不一样的钢板截成A、B、C三种规格，加工数据以下表：A规格B规格C规格第一种钢板121第二种钢板113需求121527每第一种钢板的面积为2，第二种为2，请你为该厂计划一下，应当分别截这两种钢板1m 2 m多少，能够获取所需的三种规格成品，并且使所用钢板的面积最小？23．（此题满分 14 分）已知数列 { a n } 知足a1 1 ，且 a n2a n 1 2 n (n 2, 且 n N * ) ．（1）求证：数列 { an } 是等差数列；（2）求数列 { a n } 的通项公式；2n（3）设数列 { a n } 的前n项之和S n，求证：S n2n 3．n2市 2017 年一般高校独自招生第二次调研考试一试卷数学答案一、选择题：题号12345678910答案 B DC A C A B C B C二、填空题：11. 255012. 33.1%214.0,2,21215. 4 13.,525三、解答题：16.解：⑴设y g (x) a x , (a0且 a1)由 g( 2)4得： a 24, a 2, g(x) 2 x；⑵由题意得： f (0)0 ，g( 0)n0 ，则 n g(0) 1，m2g( 0)12 x12f (x)2 x 1，则 f ( 1)2m m111 112121m 1， f (1)21 1m 4m由 f ( 1)f(1) 得：21，解得： m 2.m1m417.解：⑴由题意得：(a 1) x a10 ，则 (a1) x a 1定义域为 (1,) ，a10,a1；⑵由⑴得： a 1 ，不等式化为：x 2x 83x，即： x22x 8 0解得： x x2或x 4 .18.解：⑴由 cosA2 5 得 cos A 2 cos 2A13，则 sin A425255uuur uuur 3得： ABAC cos A3 ，即 bc 33, bc5由AB AC11 45SABCbc sin A 2 2 25；5⑵ cos A(b c)22bc a 23 36 10 a 22 5.2bc，510，解得 a19.解：⑴只考虑第二个人的摸球状况，他可能摸到这4 个球中的任何一个，这 4 种结果的出现是等可能的，第二个人摸到白球的结果有2 种，则“第二个人摸到白球”的概率P( A)214；2⑵ a, b 都是从区间 [0,4] 任取的一个数， 其组成的所有地区为 (a, b) 0 a4,0b 4 ，其面积为 S 正方形44 16 ，0 a 4由 f (1)1a b0得 ab 1，则知足事件 B 的 a, b 条件为 0 b4 ，其地区如图a b1所示，此中 A(1,0), B(4,3), C(4,0) ，则 S ABC1 3 3 9 ，22B9S9P( B)ABC2.ACS正方形163220.解：⑴由题意得：f (1) f (2)f (9)1 ，则 g(10)f (10)11 1；81 f (1) f (2)f (9)81 1 1181 9 90⑵当 1 x20 时， f (1)f (2)f ( x1) f ( x)1g( x)1111 ，81 f (1)f (2)f ( x 1) 81 1 11 81 (x 1)x 80当 21 x 60 时，1f ( x)xg( x)10 81f (1) f (2)f ( 21)f (x 1)81 11f (21)f ( x 1)1 x 1 x2x1010x 281 2021x 1101121 x 121) x 160010102 (10)( x101 , (1 x 20, x N )x第 x 个月的当月收益率g (x)80 ；2x, (21 x 60, x N )x 2x 1600⑶当 1x20 时， g( x)1，此时 g(x) 的最大值为g(1)1x80；81当 21x 60时，g( x)2x2x 2 x 16001600x 1xx1600 2 1600,当且仅当 x 1600 ,即x 40等号建立 ，即 g( x) max2x x 792 1 当 x40 时， g( x) max 2又， 7979 812 ． 答：该公司经销此产品时期，第40 个月的当月收益率最大，最大值为7921.解：⑴设椭圆方程为 x 2y 2 1,(ab 0)a 2b2c1a 2a24x2y2由题意得：1 91，解得椭圆方程为1 ；a 24b 2b 23，43a 2b 2c 2⑵由⑴知： F 1 ( 1,0)当直线 lx 轴时， A( 1, 3 ), B( 1, 3) ，此时 S AOB1 AB OF 13，不切合题意，2222故可设直线 l 方程为 y k( x 1), ky kx k 得： (3 4k 2 ) x28k 2 x 4k212 0由2 4y 23x 12设 A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) ，则有 x 1x 28k 24k 2 124k 2, x 1 x 24k 23 3则 y 1y 2k (x 1 x 2 ) 2k6k 2，3 4ky 1 y 2( kx 1 k)(kx 2k) k 2 x 1 x 2 k 2 ( x 1x 2 ) k 23 9k 24k 2由 S1OF 1y 16 21 136k 2 36k 22 y 2 得：72 (3 4k 2 )23 4k 2，解得： k 21, (k 218 舍）17由题意得： 圆 O 半径 r 00 kk ，则 r2 ，则圆 O 的方程为 x 2 y 21 .k 2k 2112222.解：设需要截第一种钢板 x ，第二种钢板 y ，所用钢板面积为zm 2则有： min zx2 yx y 12 2x y 15x 3y，作出可行域：27x, y N平移直线 x2 yt ，由x y 12 得交点为 (9 , 15)x 3y 272 2但 x, y N ，因此在可行域的整数点中， 在交点邻近的整数点( 4,8)或 (6,7) 都可使 z 有最小值，且 z min4 2 8 20答：第一种截法是截第一种钢板 4，第二种钢板 8；第二种截法是截第一种钢板6，第二种钢板 7，两种方法都最少使用钢板20 m 2 .23.⑴证明：a n an 12a n 12nan 12a n 1 2n 2a n 11，2n2n 12 n2n 12na n1 ，公差为 1；数列 {2n } 是等差数列，其首项为2a n1， a n 1) 2n；⑵解：由⑴知：n(n2n22⑶证明：S n12322222S n1222作差：S n 12223则S n4(12n 1 )(n112523(n 1 )2n22323( n3n2) 2 ( n122n(n)2n121) 2n 1，即S n 1 4(2n 121) 2n 121)(n1) 2n 1 2即：S n2n 1 3 n 2n 1 2 n，则 S n 3 2 2n2n 2n2n即 S n3 3 2 n2n 2 n3(2n 3) 2n( 2n 3)2n，S n2n 3 ，命题得证.2 n。
2017年单招数学试题(二)
单招数学试题模拟题
一、选择题（4×10=40分）
1、已知集合A={a 、b 、x}，B={x ，y ，z}，则A B ⋃=( )
A 、φ
B 、{x}
C 、{a,b,x,y,z}
D 、｛a ，b ，y ，z ｝
2、已知f （x ）=x 2-1，则f （-1）=（ ）
A 、-2
B 、-1
C 、0
D 、1
3、不等式（x-2）（x+1）≤0的解集是（ ）
A 、（-1,2）
B 、（-∞，-1）⋃ （2，+∞）
C 、[-1,2]
D 、(-∞ ,-1]⋃[2,+∞）
4、“a=0”是“ab=0”的（ ）
A 充分但不必要条件
B 、必要但不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
二、填空题（10×3=30分）
1、函数f （x ）=x -2 +lg （x-1）的定义域是 ；
2、1+2+3 +100= ；
3、cos30 cos15 -sin30 sin15 的值是 ；
三、解答题（15×2=30分）
1、冰箱里放了形状相同的3罐可乐，2罐橙汁和4罐冰茶，小明从中任意取出1罐饮用，设事件C={取出可乐或橙汁}，试用概率的加法公式计算P （C ）.
2、某公司推出一款新产品，其成本为500元/件，经实销得知：当销售价为650元/件时一周可卖出350件；当销售价为800元/件时一周可卖出200件。
如果销售量y 可以近似的看销售价x 的一次函数y=kx-b ，问销售价定为多少时，此产品一周能获得的利润最大，并求出最大利润。
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数学试卷 答案及评分参考
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
D
A
C
B
D
B
B
C
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
11．（11101）2
12． 1 2
13．144
………8 分
答： 生产甲产品 20 吨，乙产品 10 吨，每天可获得的最大利润为 24 万元.
………10 分
23．（本题满分 14 分）
解：（1） A, B,C 成等差数列， 2B A C
又ABC
3B , B 3
3
sin A sin C sin B 2 1
3x 5y 110 且约束条件为： 5x 2 y 120 ，
x 0, y 0
作出可行域（如图）.
………4 分
………6 分
3x 5y 110
x 20
由
5x
2
y
120
，解得
y
10
，∴点
M
的坐标为（20,10）.
目标函数在点（20,10）处取到最大值，最大值为 z max 7 20 10 10 240（千元）
(x
2)
10
x x
2x 2
12
0
3 x x 2
4
2 x4
原不等式的解集为 2，4
15． 2
………………2 分 ………………6 分 ………………8 分
《数学》答案及评分参考 第 1页（共 7 页）
17．（本题满分 10 分）
解：（1） f ( 3 x) f ( 3 x)
0 1 4
y2
1 4
x
，
x
0,
.
………………4 分
（2）设用 x 万元投资甲商品,那么投资乙商品为 100-x 万元,总利润为 y 万元.
y 5 x 1 (100 x) 44
1 x 5 x 25 44
1 ( x 5)2 425
4
2 16
ac
b
32
a1
1 2
,q
1 2
an
(1)n 2
2分 4分
《数学》答案及评分参考 第 6页（共 7 页）
(2)b1
a1
1 2
,
bn1 bn an
bn 1
bn
an
(1)n 2
n
1,
b2
b1
(
1 2
1
)
n
2, b3
b2
(1)2 2
(0 x 100)
当且仅当
x
5 即x 2
25 4
6.25
时,
y max
425 16
………8 分
投资乙商品为 100-6.25＝93.75 万元
425
答:用 6.25 万元投资甲商品,93.75 万元投资乙商品,才能获得最大利润，为 万元.
16
…………10 分
21．（本题满分 14 分）
T= 2 = 2
《数学》答案及评分参考
………………3 分 ………………4 分
第 2页（共 7 页）
(2) f (C) sin(2C ) 1 1 62
sin(2C ) 1 62
2C 5 66
C 3
cos( B) 2sin A 2
(
1 2n 1
1 2n
)] 1
n 2n 1
．14分
《数学》答案及评分参考 第 7页（共 7 页）
2 2
,
1
4k 4k
2
),
………10 分
又 B(2, 0)
由
y
x
1 4k
10 3
(x
2)
得
x
y
10 3 13kN Nhomakorabea10 3
,
1) 3k
故| MN | 16k 1 3 3k
………12 分
k 0,| MN | 16k 1 2 16k 1 8 又
sin B 2sin A
b 2a
S
ABC
1 2
ab
sin
C
2 3 1 a 2a 3
2
2
a 2,b 4
c2 a2 b2 2ab cos C
4 16 2 2 4 1 2
12
c 2 3
6分 8 分 10 分 12 分
解：（1）由已知得，椭圆 C 的左顶点为 A(2, 0), 上顶点为 D(0,1),a 2,b 1
故椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 4
《数学》答案及评分参考
第 4页（共 7 页）
………3 分
（2）当点 S 落在点 D 时，
直线 AS 的方程为 y 1 x 1 ， M (10 , 8)
共4种
故点 P 落在区域 C： x2 y2 10 上的概率为 4 . 9
（2）区域 M 为一边长为 2 的正方形，其面积为 4 ，
区域 C
的面积为10
2
，则豆子落在区域 M 上的概率为
5
.
6分 12分
《数学》答案及评分参考 第 3页（共 7 页）
20．（本题满分 10 分）
14．5
三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分）
16．（本题满分 8 分） 解：原不等式等价于
lg(x 1) lg(x 2) 1
x
1
0
x 2 0
lg(x 1) (x 2) lg10 x 1
x 2
(x 1) x 2
y k (x 2)
由 x2 4
y2
1
得 (1 4k 2)x2 16k 2x 16k 2 4 0
设 S (x1, y1), 则
(2)
x1
16k 1
2 4k
4
2
得
x1
2 8k 2 1 4k2
，从而
y1
4k 1 4k2
即
S
(
2 1
8k 4k
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
3 3k
3 3k 3
当且仅当 16k 1 ，即 k 1 时等号成立
3 3k
4
k 1 时，线段 MN 的长度取最小值 8
4
3
《数学》答案及评分参考 第 5页（共 7 页）
………14 分
22．（本题满分 10 分）
解：设生产甲产品 x 吨，乙产品 y 吨，每天可获得的利润为 z 千元. 则目标函数为： max z 7x 10y ．
n
3, b4
b3
(
1
3
)
2
n
n
1, bn
bn1
( 1 )n1 2
6分
以上 n 1个式子相加得
b
n
b1
(
1 2
1
)
(
1 2
)
2
(
1 2
3
)
(
1 2
)
n1
1
[1
(
1
n1
)]
2 2
1 1
2
1 (1)n1 2
bn
1 2
1
(
1 2
n1
)
bn
2
33
直线 BS 的方程为 y 1 x 1， M (10 , 2)
2
33
………5 分
故 MN 8 ( 2) 10 3 33
………7 分
（3）直线 AS 的斜率 k 显然存在，且 k 0 ，故可设直线 AS 的方程为 y k (x 2) ，
从而 M (10 ,16k ) 33
解：（1）
P1
:
y1
ax n
过点
(1,
5), (4, 4
5) 2
5
4
a
1n
5 2
a
4n
a
n
5 4 1 2
y1
5 4
1
x2
，
x 0,
………………2 分
P2 : y2 bx c 过点 (0, 0), (4,1)
c b
19．（本题满分 12 分） 解：（1）点 P 坐标有：（0，0），（0，2），（0，4），（2，0），（2，2），（2，4），（4，0），
（4，2），（4，4），共 9 种，
2分
其中落在区域 C： x2 y2 10 上的点 P 的坐标有（0，0），（0，2），（2，0），（2，2），