2015年考研数学一模拟练习题及答案

2015年考研数学一模拟练习题及答案（三）

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）设函数2

()ln(3)x f x t dt =

+?

则()f x '的零点个数（ ）

（A ）0

（B ）1 （C ）2

（D ）3

（2）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞

=，则（ ）

（A ）当

1n

n b

∞

=∑收敛时，

1n n

n a b

∞

=∑收敛. （B ）当

1n

n b

∞

=∑发散时，

1n n

n a b

∞

=∑发散.

（C ）当

1

n

n b

∞

=∑收敛时，

221

n n

n a b

∞

=∑收敛. （D ）当

1

n

n b

∞

=∑发散时，

221

n n

n a b

∞

=∑发散.

（3）已知函数()y f x =对一切非零x 满足

02()3[()]x x xf x x f x e e --''+=-00()0(0),f x x '==/则（ ）

（A ）0()f x 是()f x 的极大值 （B ）0()f x 是()f x 的极小值

（C ）00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点

（D ）0()f x 是()f x 的极值，但00(,())x f x 也不是曲线()y f x =的拐点 （4）设在区间[a,b]上1()0,()0,()0(),b

a

f x f x f x S f x dx '''><>=

?，令

231

()(),[()()](),2

S f b b a S f a f b b a =-=+-则 （ ）

（A ）123S S S << （B ）213S S S << （C ）312S S S << （D ）231S S S <<

（5）设矩阵111111111A --?? ?=-- ? ?--??，100020000B ?? ?

= ? ???

，则A 于B （ ）

（A ） 合同，且相似

（B ）合同，但不相似

（C ） 不合同，但相似

（D ）既不合同，也不相似

（6）设,A B 均为2阶矩阵，*

*

,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块

矩阵O A B O ??

???

的伴随矩阵为（ ）

（A ）**32O B A O ?? ???

（B ）**

23O

B A O ??

??? （C ）**32O A B O ??

???

（D ）**

23O A B

O ??

???

（7）设,,A B C 是三个相互独立随机事件，且0()1P C <<

，则下列给定的四对事件中不相互独立的是（ ）

（A ）A B +与C （B ）AC 与C （C ）A B -与C （D ）AB 与C （8）设随机变量12,,(1),n n X X X >独立同分布，且其方差2

0σ>，令1

1n

i i Y X n ==∑，

则（ ）

（A ）2

1

cov(,)Y X n

σ= （B ）2

1cov(

,)Y X σ=

（C ）212()n D Y X n σ++=

（D ）2

11()n D Y X n

σ+-= 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）设函数 20

3

sin ,0() ,0

x t dt x f x x a x ??≠=??

=??在0x =处连续，则a = （10

）

3

π=?

.

（11）设函数()y y x =由方程x y x y x sin )ln(3

2+=+确定，则

0|x dy

dx

== （12）曲线x x x y 22

3

++-=与x 轴所围成的图形的面积A 为 . （13））若4维列向量,αβ满足3T

β

α=，其中T β为β的转置，则矩阵T αβ的非零特征值

为 （14）设12,,

,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样

本均值和样本方差。若2X kS +为2

np 的无偏估计量，则k = 。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10

分）求极限lim x →+∞

（16）（本题满分10分）求微分方程???===+1

)0(',2)0()'(''22y y y

y y 的解

（17）（本题满分12分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内大于零，并满

足2

3()()()2

a xf x f x x a =+

为常数，又曲线)(x f y =与0,1==y x 所围的图形S 的面积值为2，求函数(),y f x =并问a 为何值时，图形S x 绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.

（18）（本题满分10分）就k 的不同取值情况，确定方程k x x =-

sin 2

π

在开区间(0,)2π

内

根的个数，并证明你的结论.

（19）（本题满分10分）求幂级数

()

1

21

121n n

n x

n -∞

=--∑的收敛域及和函数.

（20）（本题满分10分）已知向量组12301,2,1110a b βββ????????????===????????????-??????

向量组与向量组112,3α????=????-??230,1α??

??=??

????

3967α??

??=??

??-??

具有相同的秩，且3β可由

123,,ααα线性表示求a ,b 的值.

（21）（本题满分10分）设二次型()2

2

2

123123122313,,222f x x x x ax x x x x x ax x =+++--的正

负惯指数都是1，试计算a 的值并用正交变换将二次型化为标准型

（22（本题满分10分））已知随机变量,X Y 的联合概率密度为

4,01,0(,)0,xy x y x y ?≤

≤≤≤

?=?

?其它

，求,X Y 的联合分布函数(,)F x y

（23）（本题满分12分）设总体X 的概率密度为 2()2,()0,

x e x f x x θθ

θ--?>=?≤?若若

其中0θ>是未知参数.从总体X 中抽取简单随机样本12,,

,n X X X ，记

^

12min(,,...,)n X X X θ=，

（1）求总体X 的分布函数()

F x ；

（2）求统计量^

θ的分布函数^()F x θ

；

（3）如果用^

θ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.

2015年考研数学一模拟练习题及答案（三）

一、选择题

（1）B （2）C （3）D （4）B （5）D （6）B （7）B （8）A 二、填空题 （9）13a =

（10）29(4)π- （11）1. （12）3712

（13））3 （14）1- 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤. （15

）求极限lim x →+∞

【解】

：lim x →+∞

lim

)

1lim

lim

2

x x x ====

根式有理化

（16）求微分方程???===+1

)0(',2)0()'(''22y y y

y y 的解

【解】：令dy dp p

y p y =='''，则得到 y p dy

dp

p =+22 令u p =2, 得到

y u dy

du

=+为关于y 的一阶线性方程. 且1)]0('[)0(0|22====y p x u

解得 y ce y u -+-=1 所以 2)0(121)0(0

|1--+-=+-===ce ce y x u

y , 0=c .

于是 1-=y u , 1-±=y p

dx y dy

±=-1

, 112c x y +±=-, 2

211c x y +±

=- 2)0(=y , 得到

12

1

=c , 得解 12

1+±

=-x y （17）设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内大于零，并满足

2

3()()()2

a xf x f x x a =+

为常数，又曲线)(x f y =与0,1==y x 所围的图形S 的面积值为2，求函数(),y f x =并问a 为何值时，图形S x 绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小. 【解】由题设知，当0,x =/时

2()()32

xf x f x a

x '-=

即

()3,2

d f x a

dx x ??=???? 根据此并由()0f x x =在点处的连续性，得

2

3(),[0,1]2

ax

f x Cx x =+∈

又由已知条件得

1

232100312()()|2

22C

ax Cx dx ax x =+=+?

C a 2

1

21+=

即

.4a C -=

因此

.)4(2

3)(2

x a ax x f -+=

旋转体的体积为

2

1

1

22003()()(4)2V a f x dx ax a x dx ππ??

==+-????

?

?

π)31631301(

2++=a a 11

()()0153

V a a π'=+=

得

5.a =- 又因

1

()015

V a ''=> 故5a =-时，旋转体体积最小.

（18）就k 的不同取值情况，确定方程k x x =-sin 2

π

在开区间(0,)2π

内根的个数，并证

明你的结论. 【解】设()sin ,2

f x x x π

=-

则

()f x 在]2,0[π上连续.由()1cos 0,2f x x π

'=-=

得()f x 在)2,0(π内的02

cos x arc π

=唯一的驻点

由于当0(0,),()0,x x f x '∈<时

0(,)2

x x π

∈当时，()0.f x '> 所以()f x 在],0[0x 上单调减少，在]2

,[0π

x 上单调增加， 因此0x 是()f x 在(0,

)2

π

内的唯一的最小值点，

最小值为000()sin .2

y f x x x π

==-

又因， 故在(0,

)()2

f x π

内的取值范围为).0,[0y

00(,0),0k y k y k ?<≥故当即或时，原方程在)2

,0(π

内没有根；

当0k y =时，原方程在)2

,0(π

内有唯一根0x ；

当)0,(0y k ∈时，原方程在00(0,)(,)2

x x π

和内各恰有一根，

即原方程在)2

,0(π

内恰有两个不同的根。

（19）求幂级数

()

1

21

121n n

n x

n -∞

=--∑的收敛域及和函数.

解：因为 ()()2221

221lim

lim 21n n n n n n

x n u x u x n ++→∞→∞-==+，所以当21x <, 即11x -<<时，原幂级数绝对收敛.

当1x =±时，级数为1

1

(1)21n n n -∞

=--∑，由莱布尼兹判别法显然收敛，故原幂级数的收敛

域为[1,1]-.

又 11221

11

(1)(1)2121n n n n n n x x x

n n --∞

∞

-==--=--∑∑ 令 ()121

1(1)(),1,121

n n n f x x x n -∞

-=-=∈--∑

则 ()()

2112

1

1

(1)1n n n f x x

x ∞

--='=

-=

+∑ 由于()00f =，所以 ()()()

00a r c t a n x

f

x f t

d t

f x

'=+=?. 从而幂级数的收敛域为[1,1]-，和函数为 arctan ,[1,1]x x x ∈-.

（20）已知向量组12301,2,1110a b βββ??????

??????===??????

??????-??????向量组与向量组112,3α????=????-?? 230,1α????=??????3967α??

??=??

??-??

具有相同的秩，且3β可由

123,,ααα线性表示求a,b 的值. 【解】 方法一：

因为12αα和线性无关，,23213ααα+=所以向量组123,,ααα线性相关，且秩为21,,2αα为它的一个极大线性无关组.

由于向量组123,,βββ与321,,ααα具有相同的秩，故123,,βββ线性相关. 从而行列式

,00

111210|,,|321=-=b

a βββ

由此解得3.a b =又3β可由321,,ααα线性表示，从而可由12,αα线性表示， 于是123,,ααβ线性相关. 因此有

,00

1310231|,,|321=-=b

βββ

化简得2100,b -= 于是.5.15==b a 方法二：

因3β可由123,,ααα线性表示，故线性方程组

12313920613170x b x x ????????????=????????????--??????

有解，对增广矩阵施行初等行变换：

139

139139

2120610612120126317001020

3210006b b b b b b b ?

???

?????

?-??????

→---→?????

?????--?

?

????-??-

??

由非齐次线性方程有解的条件知

,0612103=--b b 解得

5b =

又因为12,αα线性无关，21323ααα+=

所以向量组123,,ααα的秩为2，而题设321,,ααα与321,,βββ同秩， 从而有

,00

111215

0|,,|321==a βββ

由此解得

15.a =

（21）设二次型()222

123123122313,,222f x x x x ax x x x x x ax x =+++--的正负惯指数都是1，

试计算a 的值并用正交变换将二次型化为标准型。

【解】：二次型的矩阵为1

11

111a A a a -?? ?

=- ? ?--??

由二次型的正负惯性指数都是1，可知()2r A =，21

11

1(2)(1)01

1

a

A a

a a a -=-=-+-=-- 所以2a =-，或1a =

又1a =时，显然()1r A =，故只取2a =- 此时

(3)(3)E A λλλλ-=+-

所以A 的特征值是3,3,0-

当13λ=时，解方程组(3)0E A X -=，得基础解系为1(1,0,1)T α= 当23λ=-时，解方程组(3)0E A X --=，得基础解系为2(1,2,1)T α=-- 当30λ=时，解方程组(0)0E A X -=，得基础解系为3(1,1,1)T α=- 将123,,ααα单位化得

123,,T T T βββ===, 因此所求的正交变换为

1122330x y

x y x y ??????? ? ? ?= ? ? ? ? ?

????? 所求的标准型为2

2

1233y y -

（22）已知随机变量,X Y 的联合概率密度为4,01,01

(,)0,xy x y x y ?≤≤≤≤?=??其它

，求,X Y 的

联合分布函数(,)F x y

【解】：由分布函数的定义可知{}(,),F x y P X x Y y =≤≤，由于,X Y 只在区域

01,01X Y ≤≤≤≤上取值。

因此，当1,1x y ≥≥时，{}(,),1F x y P X x Y y =≤≤=， 当00x y <<或时，{}(,),0F x y P X x Y y =≤≤=。 当01,01x y ≤<≤<时，

{}220

,(,),(,)4y x

u x v y

F x y P X x Y y f u v dudv dv uvdu x y ≤≤=≤≤=

==????

当01,1x y ≤<≥时，

{}120

,(,),(,)4x

u x v y

F x y P X x Y y f u v dudv dv uvdu x ≤≤=≤≤=

==????

当1,01x y ≥≤<时，

{}1

20

,(,),(,)4y u x v y

F x y P X x Y y f u v dudv dv uvdu y ≤≤=≤≤=

==????

则2200220,00

4,01,01(,)01,1

1,0111,1y x

x y dv uvdu x y x y F x y x x y y x y x y <

=≤<≥??≥≤

?≥≥??

??或，，， （23）设总体X 的概率密度为 2()2,()0,

x e x f x x θθ

θ--?>=?≤?若若

其中0θ>是未知参数.从总体X 中抽取简单随机样本12,,

,n X X X ，记

^

12min(,,...,)n X X X θ=，

（1） 求总体X 的分布函数()

F x ；

（2） 求统计量^

θ的分布函数^()F x θ

；

（3） 如果用^

θ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.

【解】： （1）()()x

F x f t dt -∞

=

?

，当x θ≤，()0F x =；

当x θ>时，2()2()()21x

t x F x e dt e θθθ

----=

=-?.

（2）^

12min(,,...,)n X X X θ=，所以

{}

{}{}{}{}{}

{}

[]

121212122()

2()()min(,,...,)1min(,,...,)1,,,111()0, 1, 1111, , n n n n n

n

x x F x P x P X X X x P X X X x P X x X x X x P X x P X x P X x F x x x e x e x θθθθθθθθ----=≤=≤=->=->>>=->>>=--??≤≤??=--=-???->>?????2()2()1, 0, 1, 1, n

n x n x x x e

x e x θθθθθθ----??????????≤≤??=-=??

>->??

（3）θ的概率密度为'

2()

0, ()()2, n x x f x F x ne

x θθθθθ

--≤?==?

>?，所以

2()0

1

()22n x E xf x dx x ne dx n

θθθθ+∞

+∞

---∞

===+

?

?

，可见E θθ≠，即θ不是θ的无偏估计.