高二数学空间中向量的概念和运算
方法感悟
1．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式
时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中
的表示，运用运算法则，化简到最简为止．
2．证明两向量共线的方法为：首先判断两向量中 是否有零向量．若有，则两向量共线；若两向量 a，b中，b≠0，且有a＝λb(λ∈R)，则a，b共线．
3．两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向 量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值 的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． 4．当a≠0时，由a· b＝0不能推出b一定是零向量， 这是因为任一个与a垂直的非零向量b，都有a· b＝
0，这由向量的几何意义就可以理解．
→ → → → → → (2)证明：∵AC1 · ＝(AB ＋AD ＋AA1 )· － BD (AD → AB) → → →2 → → →2 → → ＝ AB · ＋ AD ＋ AA1 · － AB －AD · － AD AD AB → → → → → → AA1 · ＝AA1 · －AA1 · AB AD AB ＝bacos120° －bacos120° ＝0. → → ∴AC1 ⊥BD ，即 AC1⊥BD.
→ → AB 则 a 也可记作_____，其模记作|AB|或|a|.
2．空间向量的加减法 → → 从任意一点 O 出发作OA＝a，OB＝b.并且从 A
→ → OC a－b 出发作AC＝b(如图所示)， a＋b＝____， 则 → BA ＝______.
思考感悟 1．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减
如图，已知长方体 ABCDA′B′C′D′， 化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向 量． → → (1)AA′－CB； → → → (2)AA′＋AB＋B′C′.
例1
【思路点拨】
(1) 分析题意
→ → → → → 将CB等价转化为DA → DA转化为－AD → 平行四边形法则 → 得出结论 → → (2) 应用平行四边形法则先求AA′ ＋AB → → → 应用三角形法则求AB′ ＋B′C′ → 得出结论
【思路点拨】 连接AM得 到△ADM，利用线段中点 的向量表示和三角形的重心 的意义，在△ADM中开始 进行向量运算．
→ → 【解】(1)连接 AM，在△ADM 中，DM＝DA＋ → AM， 由线段中点的向量表示知 1 → 1 → → AM＝ (AB＋AC)＝ (a＋b)， 2 2 → → 由相反向量的概念知DA＝－AD ＝－c， 1 → → → 1 所 以DM ＝DA ＋AM ＝ (a＋b)－ c＝ (a＋ b－ 2 2 2c)．
法完全一样吗？
提示：一样．因为空间中任意两个向量均可平
移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量
加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是
一样的．
3．空间向量加法的运算律
b＋a (1)交换律：a＋b＝_______.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
4．空间向量的数乘运算
λa (1)定义：实数λ与空间向量a的乘积______仍然是 向量 一个________，称为向量的数乘运算． (2)向量a与λa的关系
数乘向量与向量 数量积的结合律 交换律 分配律
(λa)· b＝λ(a· b) a· b＝b· a a· (b＋c)＝a· b＋ a· c
思考感悟 2．(1)两个向量a、b垂直的充要条件是a· b＝ 0，对吗？ (2)若a· b＝0，则a＝0或b＝0，对吗？ 提示：(1)不对；(2)不对．
课堂互动讲练
→ 1→ 11 (2)在△BCD 中，GM＝ DM＝ ·(a＋b－2c) 3 32 1 1 1 ＝ a＋ b－ c. 6 6 3 (3)在△ADG 中，注意到三角形重心的性质，得 2 → → → → AG ＝AD ＋DG＝c＋ DM 3 2 1→ 1→ ＝c＋ ( DB＋ DC) 32 2 1 → → → → ＝c＋ (AB－AD ＋AC－AD ) 3 1 1 ＝c＋ (a＋b－2c)＝ (a＋b＋c)． 3 3
1 → 解：(1)如图所示，取 AA′的中点为 E，则 AA′ 2 → ＝EA′ . → → 又BC＝A′D′， → → AB＝D′C′，
2 → 取 F 为 D′C′ 的 一 个 三 等 分 点(D′F ＝ 3 → D′C′)， 2→ → 则D′F＝ AB. 3 1 → → 2→ → → → ∴ AA′＋BC ＋ AB ＝EA′＋A′D′ ＋D′F 2 3 → ＝EF.(说明：表示方法不唯一)
四边形法则或三角形法则．在化简过程中遇到减 法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减 法法则进行运算，加、减法之间可相互转化．
空间向量的线性运算 空间向量加法、减法、数乘向量的意义及运算
律与平面向量类似．
例2 如图所示， 已知空间四边形 ABCD 中， 向量
→ → → AB＝a，AC＝b，AD ＝c，若 M 为 BC 中点，G 为 △BCD 的重心，试用 a、b、c 表示下列向量： → → → (1)DM；(2)GM；(3)AG .
考点突破
空间向量的加减运算
(1)计算两个空间向量的和或差时，与平面向量 完全相同．运算中掌握好三角形法则和平行四 边形法则是关键． (2)计算三个或多个空间向量的和或差时，要注 意以下几点：
①三角形法则和平行四边形法则；
②正确使用运算律； ③有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的 起点指向最后一个向量的终点的向量即表示这有 限个向量的和向量．
→ (2)连接 BD， 依题意知 M 为 BD 的中点， 则MN → → ＝MB＋BN 1→ 3 → 1 → → 3 → → ＝ DB＋ BC′ ＝ (DA＋AB)＋ (BC＋CC′ ) 2 4 2 4 1 3 → → → → ＝ (－AD ＋AB)＋ (AD ＋AA′ ) 2 4 1→ 1→ 3 → ＝ AB＋ AD ＋ AA′ . 2 4 4 1 1 3 ∴α＝ ，β＝ ，γ＝ . 2 4 4
【解】
→ → → → (1)AA′ －CB＝AA′ －DA
→ → → ＝AA′ ＋AD ＝AD′ . → → → (2)AA′ ＋AB＋B′C′ → → → ＝(AA′ ＋AB)＋B′C′ → → → ＝AB′ ＋B′C′＝AC′ . → → 向量AD′ 、AC′ 如图所示．
【名师点评】
化简向量表达式主要是利用平行
λ的范 围 λ>0
λ＝0 λ<0
方向关系
模的关系
方向相同 λa的模是 λa＝0，其方向是任意 a的模的 的 |λ|倍 方向相反
(3)空间向量的数乘运算律 设 λ、μ 是实数，则有①分配律：λ(a＋b)＝ λa＋λb _____________. ②结合律：λ(μ a)＝(λμ)a. 5．空间向量的数量积 → → (1)定义：从空间任意一点 O 出发作OA＝a， OB ＝b，则 θ＝_________就是 a，b 所成的角，a， ∠AOB b 的数量积 a· b＝|a||b|cosθ. (2)数量积的运算律：
【名师点评】 (1)求两点间的距离或某条线段 的长度的方法： 将此线段用向量表示后， 利用|a| ＝ |a|2＝ a· a求解． (2)证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向 向量垂直，即证明两向量的数量积为零．
自我挑战2 在三棱锥SABC中，SA⊥BC， SB⊥AC，求证：SC⊥AB.
证明：如图， → → → → → → SC＝SA＋AC，AB＝AS ＋SB， → → → → → → 则SC· ＝(SA＋AC)· ＋SB) AB (AS →2 → → → → → → ＝－SA ＋SA· ＋AC· ＋AC· SB AS SB → → → → ＝SA· －SA－AC)＋0 (SB → → → → → ＝SA· －AC)＝SA· ＝0. (AB CB → → ∴SC⊥AB，即 SC⊥AB.
向量的数量积及应用 (1)对向量的数量积的运算律应注意以下几点： ①要准确区分两向量数量积的运算性质与数乘 向量实数与实数之积之间的差异． ②数量积运算不满足消去律． 若a、b、c(b≠0)为实数，ab＝bc⇒a＝c；但对于 向量，就不正确，即a· b＝b· a＝c.由图可 c 以看出．
(2)由空间向量数量积得到的几个结论的应用： ①应用结论|a|＝ a· a可以求向量的模或空间图 形中的线段长度，用已知的线段对应向量表示 待求线段对应的向量，转化求解． ②应用结论 a⊥b⇔a· b＝0，可以证明空间中的 线线垂直．
3．1
空间中向量的概念和运算
学习目标
课前自主学案 3.1 课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标 1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示 方法和字母表示方法．
2．掌握空间向量的线性运算，数量积．3．能运用运算法则及运算Fra bibliotek解决一些简单几何问
题．
课前自主学案
温故夯基 1．平面上有______和______的量叫作向量，方向 大小 方向 相等 相同且模_____的向量称为相等向量． 2．向量可以进行加减和数乘运算，向量加法满足
_______律和______律． 交换 结合
知新益能 1．空间向量 (1)空间向量的定义 大小 方向 在空间，把具有______和______的量叫作空间向 量，向量的_______叫作向量的长度或模． 大小
(2)空间向量及其模的表示方法 长度 空间向量用有向线段表示，有向线段的______ 表示向量的模． 如图， 的起点是 A， a 终点是 B，
【名师点评】 (1)有限多个空间向量 a1 ，a2， a3，…，an 相加，可以从某点 O 出发，逐一引向 → → 量OA1＝a1，A1A2＝a2，…，An－ 1An ＝an.如图， 于是以所得折线 OA1A2…An 的起点 O 为起点， 终 → 点 An 为终点的向量OAn就是 a1，a2， …， n 的和， a → → → 即OAn ＝OA1 ＋A1A2 ＋…＋ An－ 1An ＝a1＋a2＋… ＋an.此即为空间向量的多边形法则． (2)用折线作向量的和时，若折线的终点与起点重 合，则和向量为零向量．
高二空间向量法知识点梳理
高二空间向量法知识点梳理介绍：在高中数学中，空间向量法是一个重要的概念。
它为我们解决空间中的几何问题提供了一个有力的工具。
本文将对高二空间向量法的知识点进行梳理和总结，以帮助读者更好地理解和运用这一方法。
一、向量及其运算1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用有向线段表示。
2. 向量的表示方法：可以用坐标表示，也可以用字母表示。
3. 向量的运算：包括加法、减法和数乘。
4. 向量的性质：零向量、单位向量等。
二、向量的模和方向角1. 向量的模：向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理求得。
2. 向量的方向角：向量的方向角是指与某一基准轴之间的夹角。
三、向量的共线与垂直1. 向量共线的判定：如果两个向量的夹角为0度或180度，则它们共线。
2. 向量垂直的判定：如果两个向量的内积为0，则它们垂直。
四、空间平面与直线的向量方程1. 空间平面的向量方程：可以通过平面上一点和法向量表示。
2. 直线的向量方程：可以通过直线上一点和方向向量表示。
五、向量的数量积与向量积1. 向量的数量积：也称为内积，表示两个向量之间的相似程度。
2. 向量的数量积的性质：包括交换律、分配律等。
3. 向量的向量积：也称为叉乘，表示两个向量所确定的平行四边形的面积与方向。
4. 向量的向量积的性质：包括分配律、反交换律等。
六、空间向量的线性运算与共面问题1. 空间向量的线性运算：包括向量的线性组合和线性相关性。
2. 共面向量的判定：如果三个向量在同一平面内，则它们共面。
七、空间直线与平面的位置关系1. 空间直线与平面的位置关系：包括平行、垂直和相交等情况。
总结：空间向量法是解决几何问题的重要方法，具有广泛的应用范围。
通过对高二空间向量法知识点的梳理和总结，我们可以更好地掌握和运用这一方法。
希望本文对你在学习空间向量法时有所帮助！。
高二数学空间向量知识点总结归纳
高二数学空间向量知识点总结归纳数学中的空间向量是指存在于三维空间中的有方向和大小的物理量。
在高二数学中，我们学习了关于空间向量的各种性质和运算法则，以及与之相关的应用。
本文将对高二数学空间向量的知识点进行总结和归纳。
一、空间向量的定义与表示方法在空间中，向量可以用有序数对或有序三元组表示。
通常，我们用大写字母表示向量，如AB、CD等。
表示向量的有序数组称为坐标，常用小写字母表示，如a、b、c等。
假设向量AB的坐标为(a₁, a₂,a₃)，则可表示为AB = a₁i + a₂j + a₃k，其中i、j、k分别表示x、y、z轴的单位向量。
二、向量的基本运算法则1. 向量的加法向量的加法遵循平行四边形法则，即将两个向量的起点相连接，然后以这条连线为对角线构建平行四边形，向量的和为平行四边形的对角线向量。
2. 向量的减法向量的减法可以转化为向量的加法，即A-B = A + (-B)，其中-B表示B的反向量。
所以，向量A减去向量B，可以先求出B的反向量，再用向量的加法进行计算。
3. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，用符号·表示。
设有两个向量A = a₁i + a₂j + a₃k和B = b₁i + b₂j + b₃k，则向量A和B的数量积为A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。
4. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，用符号×表示。
设有两个向量A = a₁i + a₂j + a₃k和B = b₁i + b₂j + b₃k，则向量A和B的向量积为A×B = (a₂b₃ - a₃b₂)i + (a₃b₁ - a₁b₃)j + (a₁b₂ - a₂b₁)k。
三、空间向量的性质与定理1. 平行向量如果两个向量的方向相同或相反，则它们被称为平行向量。
平行向量的数量积为零。
2. 垂直向量如果两个向量的数量积为零，则它们被称为垂直向量。
垂直向量的叉积也为零。
3. 向量共面如果三个向量可以放在同一个平面上，则它们被称为共面向量。
高二数学选择性必修 第1章 空间向量及其线性运算 课件(共71张PPT)
b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使_p_＝__x_a_＋__y_b_.
(3)空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x，
y), 使A→P＝_xA_→_B_＋__yA_→C__或对空间任意一点 O，有O→P＝O_→_A_＋__xA_→_B_＋__yA_→_C.
返 首 页
21
4．在三棱锥 A-BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则A→B＋12B→C －32D→E－A→D化简的结果为________．
0 [延长DE交边BC于
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 D [共四条 AB，A1B1，CD，C1D1.]
返 首 页
20
3．点 C 在线段 AB 上，且|AB|＝5，|BC|＝3，A→B＝λB→C，则 λ＝ ________.
－53 [因为 C 在线段 AB 上，所以A→B与B→C方向相反，又因|AB| ＝5，|BC|＝3，故 λ＝－53.]
充要条件是存在实数 λ 使_a_＝__λ_b_.
(4)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则对于 直线 l 上任意一点 P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知， 存在实数 λ，使得O→P＝λa.
返 首 页
14
5．共面向量
(1)定义：平行于_同__一__个_平__面__的向量叫做共面向量．
定理及推论的应用．(重点、难 观想象和逻辑推理的核心素养.
点)
返 首 页
3
情景 导学 探新 知
返 首 页
4
国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观 赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图 1，游客的实际位移是什 么？可以用什么数学概念来表示这个过程？
(完整版)高二空间向量知识点归纳总结
一．知识要点1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算：定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
b a B A OA OB +=+=；b a OB OA BA -=-=；)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则 3. 共线向量： （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ= <=>OB y OA x OC +=，其中1=+y x（4）与a 共线的单位向量为||a a ±4. 共面向量 ： （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使。
b y a x p += （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>OC z OB y OA x OP ++=，其中1=++z y x5. 空间向量基本定理：如果三个向量c b a ,,不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组z y x ,,，使c z b y a x p ++=。
若三向量c b a ,,不共面，我们{}c b a ,,把叫做空间的一个基底，c b a ,,叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间向量及其运算
空间向量及其运算1．空间向量(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法：①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A 终点为B 的向量，记为AB →，模为|AB →|．②字母表示法：可以用字母a ，b ，c ，…表示，模为|a |，|b |，|c |，…． 2.【几类特殊的向量】(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量．(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． (6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面． 3．空间向量的线性运算类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．图1 图2(1)如图1，OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ，CA →＝OA →－OC →＝a －b ． (2)如图2，DA →＋DC →＋DD 1→＝DB 1→．即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．(3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a ，则实数λ与空间向量a 相乘的运算称为数乘向量，记作λa ．其中：①当λ≠0且a ≠0时，λa 的模为|λ||a |，而且λa 的方向：(ⅰ)当λ＞0时，与a 的方向相同；(ⅰ)当λ＜0时，与a 的方向相反． ②当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0．(4)空间向量的线性运算满足如下运算律：对于实数λ与μ，向量a 与b ，有①λa ＋μa ＝(λ＋μ)a ；②λ(a ＋b )＝λa ＋λb ． 4．空间向量的数量积 (1)空间向量的夹角如果〈a ，b 〉＝π2，那么向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b ． (2)空间向量数量积的定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积(或内积)，记作a·b ． (3)数量积的几何意义 ①向量的投影如图所示， 过向量a 的始点和终点分别向b 所在的直线作垂线，即可得到向量a 在向量b 上的投影a ′.②数量积的几何意义：a 与b 的数量积等于a 在b 上的投影a ′的数量与b 的长度的乘积，特别地，a 与单位向量e 的数量积等于a 在e 上的投影a ′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0. (4)空间向量数量积的性质：①a ⊥b ⇔a ·b ＝0；②a ·a ＝|a |2＝a 2；③|a ·b |≤|a ||b |；④(λa )·b ＝λ(a ·b )；⑤a ·b ＝b ·a (交换律)；5．共面向量定理如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使c＝x a＋y b．思考1：平面向量基本定理中对于向量a与b有什么条件，在空间中能成立吗？【名师提醒】平面向量基本定理中要求向量a与b不共线，在空间中仍然成立．【新高二数学专题】考点一概念的辨析【例1】（2020·全国高二课时练习）下列命题中，假命题是（）A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相等【新高二数学专题】1.（2020•龙岩期末）在平行六面体中，与向量相等的向量共有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．（2020·全国高二课时练习）在下列命题中：①若向量,a b共线，则,a b所在的直线平行；②若向量,a b所在的直线是异面直线，则,a b一定不共面；③若三个向量,a b c，三个向量一定也共面；，两两共面，则,a b c④已知三个向量,a b c=++.，，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p xa yb zc 其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3考点二 空间向量的线性运算【例2】2020·江西赣州.高二期中（理））在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（）A ．1223EF AC AB AD →→→→=+-B ．112223EF AC AB AD →→→→=--+C ．112223EF AC AB AD →→→→=-+D ．112223EF AC AB AD →→→→=-+-【新高二数学专题】1.（多选题）已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，则下列四式中其中正确的有（ ） A ．AB CB AC -= B ．AC AB B C CC ''''=++ C ．AA CC ''=D ．AB BB BC C C AC '''+++=2．（2020·宝山.上海交大附中高二期末）在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为11AC 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++B ．1122a b c --+C ．1122a b c -+D ．1122-++a b c3．（2020·张家口市宣化第一中学高二月考）如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD +12（BC -BD ）等于（ ）A ．ADB ．FAC ．AFD ．EF 考点三 空间向量的共线、共面问题【例3】如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，请判断向量EF 与AD ＋BC 是否共线？【例4】（2020•珠海期末）已知A ，B ，C 三点不共线，点M 满足．，，三个向量是否共面点M 是否在平面ABC 内【新高二数学专题】1．（2020·全国高二）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______． 2．（2020•日照期末）如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且，．求证：向量，，共面．3.（2020·浙江高二期末）在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，,,E F G 分别在棱1,,BB BC BA 上，且满足134BE BB =，12BF BC =，12BG BA =，O 是平面1B GF ，平面ACE 与平面11B BDD 的一个公共点，设BO xBG yBF zBE =++，则x y z ++= A.45B.65C.75D.85考点四 空间向量的数量积【例5】 （2020·山东高二期末（理））在棱长为2的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则(AE CF ⋅= ) A ．0B ．2-C ．2D ．3-【例6】 （2020·全国高二课时练习）已知平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.。
高二数学向量知识点及公式
高二数学向量知识点及公式向量是数学中重要的概念之一，它在几何、代数和物理等领域都有广泛的应用。
在高二数学学习中，向量是一个重要的知识点。
本文将介绍高二数学中的向量知识点及相关公式。
一、向量的定义和表示方式在数学中，向量可以定义为具有大小和方向的量。
我们通常用箭头来表示一个向量，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量通常用有序数对来表示，例如AB向量可以表示为AB=(x, y)。
其中x表示向量在x轴上的分量，y表示向量在y轴上的分量。
二、向量的相等和零向量向量的相等表示两个向量的大小和方向完全相同。
如果向量AB=(x1, y1)，向量CD=(x2, y2)，当且仅当x1=x2且y1=y2时，向量AB与向量CD相等。
零向量是一个特殊的向量，它的大小为0且没有方向。
零向量通常用0来表示，即0=(0, 0)。
三、向量的运算1. 向量的加法向量的加法定义为：向量AB+向量CD=(x1+x2, y1+y2)。
即将两个向量的对应分量分别相加，得到一个新的向量。
2. 向量的减法向量的减法定义为：向量AB-向量CD=(x1-x2, y1-y2)。
即将两个向量的对应分量分别相减，得到一个新的向量。
3. 向量的数乘向量的数乘定义为：k*向量AB=(k*x, k*y)。
即将向量的分量分别乘以一个实数k，得到一个新的向量。
四、向量的线性相关与线性无关如果存在不全为零的实数k，使得k*向量AB+向量CD=0，那么向量AB与向量CD就是线性相关的。
换句话说，线性相关的向量可以通过数乘和加法运算得到零向量。
如果向量AB与向量CD线性相关，那么它们之间存在线性关系式k*向量AB=向量CD。
这个式子的解不止一个，所以线性相关的向量存在无穷多个线性关系式。
如果向量AB与向量CD线性无关，那么它们之间不存在线性关系式k*向量AB=向量CD。
换句话说，线性无关的向量不能通过数乘和加法运算使得两个向量相等。
五、向量的模和单位向量向量的模（长度）定义为：|向量AB|=√(x^2+y^2)。
高二数学空间向量及其运算2
； 市场营销培训/html/hometopfenlei/topzongcaipeixun/zongcaipeixun4/
；
地向前疾行。画面下方的文字说此人为病中的穷孩子募捐，正在旅途中。画中心有大字———跟穷人一起上路。 这位汉子一定走过了千山万水，不然不会有如此深邃的目光。他刚毅的表情背后掩饰着隐痛，用这条假肢走，每一步恐怕都要痛。那么———如图所示———他正徒步穿越新 疆的独山子、玛纳斯、一碗泉，甘肃的马莲井、黄羊镇、娘娘坎，然后经陕鄂湘粤到香港。他是香港人。一个忍痛的行者用假肢穿越过大西北的旷野，信念像火苗一样越烧越旺：让没钱的孩子治病。 照片用镀铝金属镶框，内置灯光照明，一幅连一幅延伸到前面。画面上的汉子像排队一 样，一个接一个向你迎面走来，昂着头，有些吃力地移脚。然后是一行比一行小的字———跟穷人一起上路。 香港街头，很少见到通常印象中的穷人，大家似乎衣食丰足。在这幅视觉冲击力强烈的招贴画中，“穷人”两字竟很尊贵，关注他们如同每个人的责任。 就是说，此刻我感动了， 血液从各处奔涌而出，冲撞全身。心里默念：跟穷人一起上路！跟穷人一起上路…… 这时，耳边歌声趋近，不远的地方有一支乐队。四个淡蓝色牛仔装的年轻人弹唱，三男一女。隧道高瓦数的橙光把他们的脸庞勾勒得十分柔和。他们沉静吟唱美国乡村歌曲，弹电贝司的女孩子很卖力， 头发在肩膀上跳。他们脚下一只干草色的牛仔礼帽里有散钞，纸卡写着“为脊髓灰质炎病童筹款”。 乡村歌曲在海底隧道回荡，宁静而朴素。曲调如RICHQEDMAFX的风格，把渴盼压在了心里，舒展、大度而倔犟。譬如fool’Sgame。又如myconfession。吉他、蓝色牛仔装和他们头发上金 黄的轮廓光，与音乐一起构成了奇妙的效果，身后招贴画上的独行者目光炯炯，简直就要破壁而出了。 我想站下多听一会儿，但听众只有我一个人。别人扔下钱匆匆而行，我把仅有的一些港元扔进干草色的礼帽里，感到轻松。这几天我被这钱弄得枯燥，买东西剩下的这点钱，大件买不 成，小件又不想买，还得动脑筋找打折的商店，比如“SOGO”，又要算计地铁费用等等，哪如此刻省心。 乡村歌曲对爱情、忧伤和前途均有独特的诠释方式，就像枝头上的花与瓶里的花不一样，像赤脚在五月的玉米地里走过，脚丫缝感到土壤的湿润，像衣衫带着松香味，指甲缝里有洗 不尽的新鲜泥土。但我把所有的钱放进礼帽之后，伫立倾听就有一些惭愧。我想有钱真是不错，隔一会儿，往那里扔点钱，再接着听。但是把钱分几次给一个募集善款的乐队，似乎也不像话。 他们并没有用目光驱人，眼神里多少还有一些谢意，感谢我目不转睛地倾听。跟港人比，我有 许多时间，但仍然不能长久流连。 乡村歌曲的声音离我越来越远，我用目光接过一幅又一幅的“跟穷人一起上路”，向出口走去。这时口袋空空，我把它翻出来，像两只兔子耳朵在腿侧垂着。我童年曾玩过这样的游戏，那时没有钱，口袋里是一些纸团。现在演习一遍，竟很新鲜，好像 洗手套一样把自己翻过来洗干净了。 善良是一棵矮树 如今是"利益原则"至上的年代.经商的人把利润置于首位,并为此拼搏.不经商的人在这种社会氛围的笼罩之下,也把利益上的得失作为思考的砝码. 在这种情形下,如果哪一个人偶尔提到了"善良"这个词,会使很多人感到意外.善良?什么 善良? 人们对善良已感到陌生了. 但是在表面上看起来排斥善良的时代,肯定是人们最需要善良的岁月.虽然有人说"如果我善良,肯定会吃亏",但稍稍想一下,造假酒把人眼睛喝瞎的人唯独缺少善良. 人可以宣称:我的钱已经赚足了,但没有人说:我的善良已经饱和了. 阔人安双层防盗门,再 装防盗锁,又入保险,不就是恐惧别人的不善良么? 中国青少年基金会四处游说,为山区失学孩子募集学费,也是企图通过人们仅存的一点善良来使那些可怜的孩子多念上几天书. 反过来想,如今是一个充满恐慌的年代,是恐慌没有钱吗?是,又不完全是.缺那一部分东西,就叫做善良. 许许多多 的际遇可以这样来表述: 升官发财靠的是自己的拼搏,安居乐业需要别人的善良. 渴望之在中国大行其道,普遍传达了这样的渴望:我们需要善良.需要谁的善良呢?当然是别人的善良. 一句话,我们恨不能把老婆领导邻居和在街上见到的每一个人都变成刘慧芳和宋大成,自己可在王沪生与王 亚茹之间游离. 这部戏榨出了中国人的虚伪,虽然它在艺术上极幼稚. 如果你让哪一个人率先善良起来,他肯定不干,并反问"别人为什么不去善良". 仰仗别人的善良得以苟活,虽然可怜,但还不至于可悲.中国人的可悲在于,当有人以圣人的姿态播施善良时,会受到"集体无意识"的讥讽. 雷锋 具有完善的人格,不是难以摆脱被嘲弄的命运吗? 因此,人们虽然希望别人对自己善良有加,但别人的善良又衬出自己的冷酷,结果又触努了他. 如果善良与邪恶分别是两棵树的话,好看的是邪恶之树. 邪恶之树茂盛,绿叶如盖,果实鲜艳. 善良之树生长缓慢,不引人注目,有时没有果实. 这就 是人们拒绝善良的道理所在. 如果仅仅从生长与结果来判断树的价值,那也只是它的价值之一,而不是价值的全部. 当人们把眼光投入果实时,善良之树在做什么呢?它在地下默默的固沙,在没有人烟之处亮出一片风景,在清新每人吸入的氧气. 然而善良也有果实,那就是人性的纯粹和人性的 辉煌. 邪恶之树尽管疯长,但颓衰也过于迅速了.罂粟花不也是极美丽吗?然而消失得也迅速. 贝多芬说,"没有一棵善良的灵魂,就没有美德可言." 这是说善良与美德是密不可分的,但对于不需要美德的人来说,似乎可以不需要善良了. 还有一句格言很精彩,但不是名人说的,而是我的一位朋 友田睿口述,"如果善良也是一种武器的话,我在生活中惟一的武器就是善良." 这话令人玩味再三. 生活并不仅仅是"吃亏是福"的问题,敢于善良也不是敢于吃亏.善良常常是无损失可言.作为一种天性,善良的人往往能化险为夷. 因而善良之树也是常青之树. 草原牧歌写意 蒙古人感到心里 涌动悠长的情绪，张口让它出来，便成牧歌。 夏季在蒙古高原是老天爷用力抖开的长长的绿绸子，从巴丹吉林到敖嫩古雅。这么长，如从楼兰古国到高句丽，备上九匹好马也要跑上两个月。老天爷另外一块用力抖开的绸子是冬天，白缎的。 蒙古人在起伏的绿绸上行走，他们惯于骑马， 一走路就像鸭子那样摇摇摆摆的，背手眯眼。在这样的土地上走，炊烟里必有牛粪火的气味，榆木桩子拴着沉思状的雪青马，牛群在雨后的草滩上走过，蹄印里汪着积水。这里没有路，只留勒勒车的两道辙印。人的前胸和后背都是无语苍凉的草原。太阳从银灰的云层偶一露头，远处有一 块草地便绿得耀眼，金色的阳光在草叶上急速爬过，不久淡化了。起风的时候，空气透明，草浪像骨牌一样向同一方向倒伏，风的部队快速潜行。这时，黯绿的草色逼入眼里，似有悲抑。但如此辽远的天地似又不容人啼哭，所有的景物无不沉实厚重。置身此地，蒙古人感到心里涌动悠长 的情绪，张口让它出来，便成牧歌。 牧歌宛如情歌，无不极尽委婉。这是许多说也说不尽的曲折。情感一物，在尽境已无话可说了，这样就有汉人在京剧中的拖腔与蒙古人在牧歌中的长调。长调，像旅人在背上的行囊中装进尽可能多的什物，又像魔术师从口袋中拽出无穷尽的彩带。就 这样，蒙古人在目光望不到边的草原生活，无论走累了歇息，无论伫望，无论宴筵征战远徙祷祝，心里总要遇到一首歌。蒙古民歌俯仰皆是，一旗编有《蒙古民歌三百首》，一盟编有《蒙古民歌三千首》，然而千万何止。 刚刚听到蒙古民歌的人，听出悠远，是第一楼台。听出蒙古民歌 的苍凉悲抑，乃第二楼台。在第三重境界，会听到蒙古人的心肠多么柔软，像绸子一样柔软。粗糙的北地，像一块磨石，把人的筋骨磨硬，心肠磨软了。因此，他们会把最好的肉食和奶食送给借宿的路人。 在蒙古民歌中，那些用手指和心灵摩挲得极好的佛珠，是《达那巴拉》、《诺恩 吉亚》、《云良》、《嘎达梅林》、《小黄马》、《达古拉》、《金珠尔玛》。这些歌的信息能量太丰富太辽远了。像这样的好歌，还可以像百科全书一样列下去。 骑马听歌 他们脸上藏着很深的东西，不是智谋心机，而像岩石那样的表情，对访客轻轻地看一眼，就不再看了。访客是我 们，拜谒五当召喇嘛庙的俗世人。 到五当召的时候，天擦黑，洼地显出积雪的亮光。吃完饭的小喇嘛背书包去上课。他们紫色的僧衣和寺院白玛草掺泥而成的暗红外墙同一。小喇嘛们十四、五岁。一位倚柱子打IP电话，用蒙古语。这时，他腰里手机响了，莫扎特的四小节乐曲。另一个 小喇嘛和当地孩子钩冰玩儿，把一块冰用脚往自己这面钩，像盘球。一会儿，打电话和钩冰的小喇嘛安静下来，看我们。我们看他们。我想从他们脸上看出想家、学习藏文和寺院生活留下的痕迹，看不到。他们神色童稚，像小孩子一样东张西望。 接待我们的三位“大喇嘛”也只有二十 多岁，一位是住持，僧衣袖口半尺滚金。他们眉眼深处藏着东西，彼此明白，咱们不明白。同行的人说，喇嘛相貌好啊。他们英武又柔和，脸上没有迟疑、迫急这些“生活中”的人们常见的表情。在佛堂，我们坐好，听喇嘛诵经。藏语的经文高低错落，像泉水穿壁，闪着流动的光。诵经 如有和声领唱，美妙难传。 我们去拜谒成吉思汗陵，路过五当召。它和拉卜楞寺并列，同为第三大喇嘛庙。从这儿出来，心里还有经文萦绕。打个不确切的比方，诵经像葛利高利圣歌一样，属无伴奏合唱，织体丰满，铺垫烘托，密密麻麻又顿挫有致，像巴赫的音乐。世上很多东西都与 巴赫牵连。内蒙广播合唱团有一首混声四部无伴奏合唱：《四海》，流传于哲里木盟一带，是祝酒歌。歌里所说的“四海”，指东南西北海，各海绿波荡漾，槟榔树的叶子在微风中飘落，亲朋好友到了，喝酒吧。 有趣在，歌词的“东海”如回旋曲（意大利文：RONDO）中的主题A，与其 它主题相对出现。第一段，东海绿波荡漾；第二段，东海南海绿波荡漾；第三段，东海西海绿波荡漾；第四段，东海北海绿波荡漾。A与B、与C、与D对应。东海是领导。还有，海与槟榔叶子都不是蒙古人常见之物，却出现在歌词里。这首合唱的衬词是“哲咴”。哲咴！哲咴！哲咴！他们 唱起来排山倒海。这样劝酒，酒不喝是不成了。听说，有一帮不喝酒的环保日本人，听说过此歌，纷纷站起来自己找酒倒上，大白尽饮，再倒上。 在五当召，我们叩拜了从头世到七世活佛的舍利灵骨，
1.1.1空间向量及其运算(第1课时空间向量的概念及线性运算)课件高二上学期数学人教B版选择性
D.若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 = 是四边形 ABCD 为平行四边形的
充要条件
探究点二
空间向量的线性运算
【例2】 如图,已知长方体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量表达式,并在图中
标出化简结果的向量.
(1)' − ;
(2)' + + ''.
解 (1)' − = ' − = ' + = '+'' = '.
(1)写出与向量BC相等的向量;
(2)写出与向量BC相反的向量;
(3)写出与向量EF平行的向量.
解 (1)与 相等的向量有 , '', ''.
(2)与 相反的向量有 , , '', ''.
(3)与 平行的向量有' , ', ' , ', .
= '
1
1 1
1
1
''=-c+ b- a=- a+ b-c.
2
2 2
2
2
1
+ 2 (''
+ '')
4. (多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC和BD的交点为O,设
=a,=b,1 =c,则下列结论正确的是( AC )
A.=b-a
B.1 =a-b+c
相等向量 大小相等,方向相同 的向量称为相等向量
与向量a大小 相等
相反向量
向量,记作 -a
高二数学空间向量
1§3.1.1-2空间向量及其运算学习目标1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．学习过程一、课前准备复习1：平面向量基本概念：具有和的量叫向量，叫向量的模（或长度）；叫零向量，记着；叫单位向量.叫相反向量，a的相反向量记着.叫相等向量. 向量的表示方法有，，和共三种方法.复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：1. 向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.2. 实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝.(2)当λ＞0时，λa与A. ；当λ＜0时，λa与A. ；当λ＝0时，λa＝.3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？加法交换律：a ＋b＝b ＋a加法结合律：(a＋b )＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb复习3：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量,a b，若b是非零向量，则a 与b平行的充要条件是二、新课导学探究任务一：空间向量的相关概念问题：什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中，OB=，AB=，试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求,.a b a b+-a.b2. 点C在线段AB上，且52ACCB=,则AC=AB, BC=AB.反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？⑴加法交换律：A. + B. = B. + a；⑵加法结合律：(A. + b) + C. =A. + (B. + c)；⑶数乘分配律：λ(A. + b)=λA. +λb ．例1 已知平行六面体''''ABCD A B C D-（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：AB BC+⑴；'AB AD AA++⑵；1'2AB AD CC++⑶1(')2ABAD AA++⑷．变式：在上图中，用',,AB AD AA表示'',AC BD和'DB.探究任务二：空间向量的共线问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？ 新知：空间向量的共线：1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.2. 空间向量共线：定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠）， //a b 的充要条件是存在唯一实数λ，使得 推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是试试：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+ ()3CD a b =- ，求证: A,B,C 三点共线.反思：充分理解两个向量,a b 共线向量的充要条件中的0b ≠，注意零向量与任何向量共线.例 1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP xOA yOB =+，且x +y ＝1，试判断A,B,P 三点是否共线？变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12OP OA tOB =+，那么t ＝例2 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C 上，且CG:GA '=2:1,设CD =a ，',CB b CC c ==，试用向量,,a b c 表示向量',,,CA CA CM CG .变式1：已知长方体''''ABCD A B C D -，M 是对角线AC '中点，化简下列表达式： ⑴ 'AA CB - ; ⑵ '''''AB B C C D ++⑶ '111222AD AB A A +-变式2：如图，已知,,A B C 不共线，从平面ABC 外任一点O ，作出点,,,P Q R S ,使得： ⑴22OP OA AB AC =++ ⑵32OQ OA AB AC =-- ⑶32OR OA AB AC =+-⑷23OS OA AB AC =+-.结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． 例2 化简下列各式：⑴ AB BC CA ++; ⑵;AB MB BO OM +++ ⑶;AB AC BD CD -+- ⑷ OA OD DC --.变式：化简下列各式： ⑸ OA OC BO CO +++; ⑹ AB AD DC --;⑺ NQ QP MN MP ++-.小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化. ※ 动手试试练 1. 已知平行六面体''''ABC D AB C D -, M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列表达式：⑴ 111AA A B +;⑵ 11111122A B A D +;⑶ 111111122AA A B A D ++⑷ 1111AB BC CC C A A A ++++. 练2. 下列说法正确的是（ ）A. 向量a 与非零向量b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；B. 任意两个共线向量不一定是共线向量；C. 任意两个共线向量相等；D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=.3练 3. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++，0a ≠，若//a b ，求实数.x三、总结提升平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.学习评价※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法中正确的是（ ）A. 若∣a ∣=∣b ∣，则a ，b 的长度相同，方向相反或相同;B. 若a 与b 是相反向量，则∣a ∣=∣b ∣;C. 空间向量的减法满足结合律;D. 在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC +=. 2. 长方体''''ABCD A B C D -中，化简'''''AA A B A D ++=3. 已知向量a ，b 是两个非零向量，00,a b 是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ）A. 00a b =B. 00a b =或00a b =-C. 01a =D. ∣0a ∣=∣0b ∣4. 在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+,则四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形5. 下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 空间向量不可以平行移动 C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D. 同向且等长的有向线段表示同一向量6. 下列说法正确的是（ ）A.a 与非零向量b 共线,b 与c 共线，则a 与c 共线B. 任意两个相等向量不一定共线C. 任意两个共线向量相等D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=7 正方体''''A B C D AB C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，若''BB xAD yAB zAA =++,则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .8. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP = OA + OB .9. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O为A 1C 与B 1D 的交点,则'1()3AB AD AA ++=AO10. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是AC 与BD 交点，若',,AB a AD b AA c ===，则与'B M 相等的向量是（ ）A. 1122a b c -++；B. 1122a b c ++；C. 1122a b c -+；D. 1122a b c --+.11. 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11AC 是（ ） A. 有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量.12. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，若''BB xAD yAB zAA =++,则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .13. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP = OA + OB .14. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为A 1C 与B 1D的交点,则'1()3AB AD AA ++= AO . 15. 在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ）. A ．0 B.1 C. 2 D. 316. 若324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++， 0a ≠，若//a b ，求实数,x y .17.已知两个非零向量21,e e 不共线,12,AB e e =+121228,33AC e e AD e e =+=-. 求证：,,,A B C D 共面．§3.1.3-5空间向量的数量积及坐标表示学习目标1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．3.掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；4. 掌握空间向量的坐标运算的规律；5.掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；学习过程一、课前准备（预习教材P 90~ P 92，找出疑惑之处）复习1：什么是平面向量a 与b 的数量积？复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC 中，求AB BC ∙.复习3：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x 轴和y 轴上的 向量 ,i j 作为基底，对平面上任意向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a xi y j =+，，则称有序对(),x y 为向量a 的 ，即a ＝ .二、新课导学探究任务一：空间向量的数量积定义和性质问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？ 新知：1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量,a b ，在空间 一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作 . 试试：⑴ 范围: ,a b ≤<>≤,a b 〈〉=0时,a b 与 ;,a b 〈〉=π时,a b 与⑵ ,,a b b a <>=<>成立吗？⑶,a b <>= ，则称a 与b 互相垂直，记作 . 2) 向量的数量积：已知向量,a b ，则 叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅= .规定:零向量与任意向量的数量积等于零. 反思：⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？ ⑵ 0a ∙= （选0还是0） ⑶ 你能说出a b ⋅的几何意义吗？ 3) 空间向量数量积的性质：（1）设单位向量e ，则||cos ,a e a a e ⋅=<>． （2）a b a b ⊥⇔⋅= ． （3）a a ⋅= ＝ .4) 空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅． （2）a b b a ⋅=⋅（交换律）．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律 反思：⑴ )()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅（吗？举例说明.⑵ 若a b a c ⋅=⋅，则b c =吗？举例说明.⑶ 若0a b ⋅=，则00a b ==或吗？为什么？※ 典型例题例1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.变式1：用向量方法证明：已知：,m n是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥. 求证：l α⊥．5例 2 如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，23BD =，3CD =，30ABD ∠=，60ABC ∠=，求AB 与CD的夹角的余弦值变式：如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB =2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角为（ ）A. 60°B. 90°C. 105°D. 75°例3 如图，在平行四边形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，4,3AB AD ==,'5AA =,90BAD ∠=︒,'BAA ∠= 'DAA ∠=60°,求'AC 的长.探究任务二：空间向量的正交分解问题：对空间的任意向量a ，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？ 新知：⑴ 空间向量的正交分解：空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量11a λ、22a λ、33a λ，使112233a a a a λλλ=++. 如果123,,a a a 两两 ，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c ， 对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把 的一个基底，,,a b c 都叫做基向量.反思：空间任意一个向量的基底有 个.⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝表示.⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++，则称有序实数组{,,}x y z 为向量a 的坐标，记着p = .⑸设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB ＝ . ⑹向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 ⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； ⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； ⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈； ⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++. 试试：1. 设23a i j k =-+，则向量a 的坐标为 .2. 若A (1,0,2)，B (3,1,1)-，则AB ＝ .3. 已知a ＝(2,3,5)-，b ＝(3,1,4)--，求a ＋b ，a －b ，8a ，a ·b※ 典型例题例1 已知向量,,a b c 是空间的一个基底，从向量,,a b c 中选哪一个向量，一定可以与向量,p a b =+q a b =-构成空间的另一个基底？变式：已知O,A,B,C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C 是否共面？小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面. 例2 如图，M,N 分别是四面体QABC 的边OA,BC 的中点，P ,Q 是MN 的三等分点，用,,OA OB OC 表示OP 和OQ .D A B C变式：已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点G 是侧面''BB C C 的中心，且OA a =，',OC b OO c ==，试用向量,,a b c 表示下列向量: ⑴''',,;OB BA CA ⑵ OG .探究任务三：空间向量坐标表示夹角和距离公式 问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？ 新知：1. 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，则｜a ｜＝ 2. 两个向量的夹角公式：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，由向量数量积定义： a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞，又由向量数量积坐标运算公式：a ·b ＝ ， 由此可以得出：cos ＜a ,b ＞＝ 试试：① 当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 所成角是 ； ② 当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 所成角是 ； ③ 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a 与b 所成角是 ， 即a 与b 的位置关系是 ，用符合表示为 . 反思：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴ a //B. ⇔ a 与b 所成角是 ⇔ a 与b 的坐标关系为 ；⑵ a ⊥b ⇔a 与b 的坐标关系为 ； 3. 两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的长度为：222211212()()()AB x x y y z z =-+-+-.4. 线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的中点坐标为: . ※ 典型例题例1. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．变式：如上图,在正方体1111ABCD A B C D -中，1111113A BB E D F ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦值．例2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F 分别是111,BB D B 的中点，求证：1EF DA ⊥.变式：如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AB 的中点，求1DB 与CM 所成角的余弦值.小结：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公式计算. ※ 动手试试7练1. 已知向量,a b 满足1a=，2b =，3a b +=，则a b -=____. 练 2. 222,,22a b a b ==⋅=-已知, 则a b 与的夹角大小为_____.练3. 已知A (3,3,1)、B (1，0，5)，求：⑴线段AB 的中点坐标和长度；⑵到A 、B 两点距离相等的点(,,)P x y z 的坐标x 、y 、z 满足的条件．三、总结提升 ※ 学习小结1..向量的数量积的定义和几何意义.2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.3. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；4. 空间向量坐标表示及其运算5. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；6. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标，然后再代入公式进行计算. ※ 知识拓展 1.向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法.2.建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，通过作辅助线来创造建系的图形.3.在平面内取正交基底建立坐标系后，坐标平面内的任意一个向量，都可以用二元有序实数对表示，平面向量又称二维向量.空间向量可用三元有序实数组表示，空间向量又称三维向量.二维向量和三维向量统称为几何向量.学习评价 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列命题中：①若0a b ∙=，则a ，b 中至少一个为0 ②若a 0≠且a b a c ∙=∙，则b c = ③()()a b c a b c ∙∙=∙∙ ④22(32)(32)94a b a b a b +∙-=-正确有个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3π，则下面向量中与212e e -垂直的是（ ） A. 12e e + B. 12e e - C. 1e D. 2e 3.已知ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边为,,a b c ，且3,1a b ==,30C ∠=︒,则BC CA ∙= 4. 已知4a =，2b =，且a 和b 不共线，当 a b λ+与a b λ-的夹角是锐角时，λ的取值范围是 .5. 已知向量,a b 满足4a =，2b =，3a b -=，则a b +=____6. 若{}a,,b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ） A.,,a a b a b +- B. ,,b a b a b +-C. ,,c a b a b +-D. 2,,a b a b a b ++- 7. 设i 、j 、k 为空间直角坐标系O -xyz 中x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，且AB i j k =-+-，则点B 的坐标是 8. 在三棱锥OABC 中，G 是ABC ∆的重心（三条中线的交点），选取,,OA OB OC 为基底，试用基底表示OG ＝9. 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，E 为BB 1中点，则E 的坐标是 .10. 已知关于x 的方程()222350x t x t t --+++=有两个实根，c a tb =+，且()()1,1,3,1,0,2a b =-=-， 当t ＝ 时，c 的模取得最大值. 11. 若a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则312123a a ab b b ==是//a b 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不不要条件 12. 已知()()2,1,3,4,2,a b x =-=-，且a b ⊥， 则x ＝ .13. 已知()()1,0,0,0,1,1A B -,OA OB λ+与OB 的夹角为120°，则λ的值为（ ）A. 66±B. 66C. 66- D. 6±14. 若()()2,2,0,3,2,a x b x x ==-，且,a b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ）A. 4x <-B. 40x -<<C. 04x <<D. 4x > 15. 已知 ()()1,2,,,1,2a y b x =-=， 且(2)//(2)a b a b +-，则（ ）A. 1,13x y ==B. 1,42x y ==-C. 12,4x y ==- D. 1,1x y ==-课后作业：1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B. 1 C. 2 D. 32．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11AC 是（ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 3．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2）， c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ=（ ） A. 627 B. 637 C. 647 D. 6574．若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．56. 32,2,a i j k b i j k =+-=-+则53a b ∙=（ ）A ．－15B ．－ 5C ．－3D ．－1 7.如图，空间四边形OABC 中，,OA a OB b ==， OC c =，点M 在OA 上，且OM =2MA ,点N 为BC 的中点，则MN = .8. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，190,1,2,6A B C CB C A A A ∠=︒===,点M 是1CC 的中点，求证：1AM BA ⊥.9.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,E F G 分别是11,,DD BD BB 的中点. ⑴ 求证：EF CF ⊥；⑵ 求EF 与CG 所成角的余弦；⑶ 求CE 的长.10. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M,N 分别为棱11,A A B B 的中点，求CM 和1D N 所成角的余弦值.。
高二数学空间向量笔记
空间向量笔记一、向量的概念与表示1.向量：既有大小又有方向的量。
在数学中，我们用有向线段来表示向量。
2.向量的模：向量的大小或长度，记作|a|。
计算公式为：|a| = √(x^2 + y^2+ z^2)。
3.向量的坐标表示：在直角坐标系中，向量a = (x, y, z)表示a的三个分量。
4.向量的数量积：两个向量的点乘，记作a ·b。
计算公式为：a ·b = |a| ×|b| × cosθ，其中θ是两向量的夹角。
二、向量的基本定理1.三个向量i, j, k满足i = (1,0,0)，j = (0,1,0)，k = (0,0,1)，它们相互独立，可以表示空间中的任意向量。
2.任意向量a可以表示为i、j、k的线性组合，即：a = xi + yj + zk。
三、向量的运算1.向量的加法：平行四边形法则。
2.向量的数乘：标量与向量的乘法，满足分配律。
3.向量的减法：减法可以转换为加法，a - b = a + (-b)。
4.向量的向量积：定义了两个向量a和b的向量积为一个新向量c，记作c =a × b。
向量积满足反交换律，即a ×b = -b × a。
5.向量的混合积：三个向量的混合积定义为(a, b, c)，计算公式为：(a, b, c) =a · (b × c)。
混合积满足反交换律和分配律。
四、向量的应用1.向量在速度和加速度的研究中的应用：通过研究速度和加速度的向量性质，可以深入理解物体运动的过程。
2.向量在力的合成与分解中的应用：在物理学中，力可以视为向量，通过向量的合成与分解可以研究力的作用效果。
3.向量在解决实际问题的应用：例如，在物理、工程、航天等领域，可以使用向量来解决很多实际问题。