江西省临川一中2019-2020学年上学期第一次联合考试高三数学理科试题(无答案)
2019－2020届临川一中上学期第一次联合考试
高三数学试题（理）
命题人：曾冬平 唐梦静 审题人：张文军
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若21i z i
-=+，则=⋅z z （ ） A.－2 B. 2 C. 52 D. －52
2．设集合{}
{}2|2|3A x x a B x x a =>=<-，，若B A ⋂为空集，则实数a 的取值范围为（ ） A. (12)， B.(2)(1∞⋃+-∞，，） C. [12]， D. (1][2∞⋃+-∞，
，） 3． 设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2＞0”是“a ＞b ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．若函数x ax x f ln )(-=的图象上存在与直线042=-+y x 垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ）
A.(),2-+∞
B.),21
(+∞ C.(),21-+∞ D.),2(+∞
5．若00x y ><，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. 222x y x ->
B. 1222(1)
x y log x ->+
C. x y x +>-122
D. x y x ->-122 6． 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.
如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.” 黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形). 例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其
中一个黄金△ABC
中，1=2
BC AC . 根据这些信息，可得= 216cos （ ）
A.
B.
C. D.
7．若函数⎩⎨⎧>-≤+=1
),1(log 1,22)(2x x x x f x ，在(]a -∞，上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8．将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是( )
A.40
B.60
C.80
D.100
9．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是( )
A ．(30，42]
B ．(30，42)
C ．(42，56]
D ．(42，56)
10．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点， BF 1―→·BF 2―→≥14
F 1F 2―→2，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A.⎝⎛⎦⎤0，12
B.⎝⎛⎭⎫0，22
C.⎝
⎛⎦⎤0，33 D.⎝⎛⎭⎫12，1
11．设曲线y ＝cos x 与x 轴、y 轴、直线x ＝π6
围成的封闭图形的面积为b ，若g (x )＝2ln x －2bx 2－kx 在[1，＋∞]上的单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．[0，＋∞)
B ．(0，＋∞)
C ．[1，＋∞)
D ． (1，＋∞)
12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足221=+a a ，3
21+=+n n S a ，用][x 表示不超过x 的最大整数，设][n n a b =，数列{}n b 的前n 2项和为n T 2，则使20192>n T 成立的最小正整数n 是（ ）
A.5
B.6
C.7
D.8
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．921⎪⎭⎫ ⎝
⎛-x x 展开式中的常数项为 14．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且172a a -=，则=+7
911a S S . 15．如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯
视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是
2
2
直线x a
b y =
平行且21F AF △的周长为a 9，则双曲线的离心率为 . 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每道试题考生都必须
作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分.
17．△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知a cos B ＝(4c －b )cos A ．
（1）求cos A 的值；
（2）若b ＝4，点M 在线段BC 上，AB →＋AC →＝2AM →，|AM →|＝10，求△ABC 的面积．
18．如图，在三棱锥P -ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，AB ＝6，BC ＝23，AC ＝26，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且AD ＝2DB ，CE ＝2EB ，PD ⊥AC ．
(1)求证：PD ⊥平面ABC ；
(2)若直线PA 与平面ABC 所成的角为45°，
求平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角大小．
19．已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心率23，一个长轴顶点在直线2+=x y 上，若直线l 与椭圆交于Q P ，
（1）求该椭圆的方程.
（2）若k1·k2＝－1
4，试问
OPQ
△的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请理说明由．
20．抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点．每年来抚州参观旅游的人数不胜数．其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷
调查．若不去梦岛记1分，若继续去梦岛记2分．每位游客去梦岛的概率均为2
3，且游客之间的选择意愿相互
独立．
（1）从游客中随机抽取3人,记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；
（2）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为A m，求数列{A m}的前6项和；
（3）在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为B n，探讨B n与B n-1之间的关系，并求数列{B n}的通项公式．
21. 已知函数2211()21)((2)42
f x x lnx ax lnx x =----. （1）讨论f (x )的单调性.
（2）试问是否存在(]a e ∈-∞，，使得1()3sin 44a f x π>+
，对1)[x ∈+∞，恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程] (10分)
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==α
αsin cos y x （[0,2),απα∈为参数），在同一平面直角坐标系中，
经过伸缩变换'2'x x y y
=⎧⎨=⎩，得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）．
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线C 1的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线():0OA θβρ=>与曲线C 1交于点A ，射线():02OB π
θβρ=+>与曲线C 1交于点B ，求
221
1OA
OB +的值．
23．[选修4—5：不等式选讲] (10分) 已知函数21()|||1|(0)a f x x x a a
+=-+->，g()4|1|x x =-+．
（Ⅰ）当1a =时，求不等式5)(≥x f 的解集； （Ⅱ）若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集包含[]1,2，求a 的取值集合．。
精品解析：【校级联考】江西省临川第一中学等九校2019届高三3月联考理科数学试题(解析版)
2019年江西省高三联合考试数学试卷（理科）注意事项:1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解分式不等式求得集合A，求对数函数定义域求得集合B，由此求得两个集合的交集【详解】由解得，由解得，故，故选C.【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查对数函数定义域，考查集合的交集，属于基础题2.已知复数，则复数的虚部为（）A. 1B. -1C.D.【答案】A【解析】【分析】化简复数，求出其共轭复数，由此得到的虚部.【详解】依题意，故，其虚部为，故选A.【点睛】本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的虚部，属于基础题. 3.抛物线的焦点是直线与坐标轴交点，则抛物线准线方程是（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】先求得直线和坐标轴的焦点，由此求得的值，并求得准线方程.【详解】抛物线开口向上或者向下，焦点在轴上，直线与轴交点为，故，即抛物线的方程为，故准线方程为，故选D.【点睛】本小题主要考查直线和坐标轴的交点坐标的求法，考查已知抛物线的焦点求准线方程，属于基础题.4.下列命题中正确的是（ ） A. 若为真命题，则为真命题. B. “”是“”的充要条件. C. 命题“，则或”的逆否命题为“若或，则”.D. 命题：，使得，则：，使得.【答案】B 【解析】 【分析】根据且、或命题真假性判断A 选项真假，根据充要条件知识判断B 选项真假，根据逆否命题的概念判断C 选项真假，根据特称命题的否定是全称命题判断D 选项真假. 【详解】对于A 选项，当真时，可能一真一假，故可能是假命题，故A 选项为假命题.对于B选项，根据基本不等式和充要条件的知识可知，B 选项为真命题.对于C 选项，原命题的逆否命题为“若且，则”，故C 选项为假命题.对于D 选项，原命题为特称命题，其否定是全称命题，要注意否定结论，即：，使得.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查还有简单逻辑连接词真假性，考查充要条件，考查逆否命题，考查特称命题的否定是全称命题等知识，属于基础题.5.等差数列前项和为，，则（）A. 15B. 20C. 25D. 30【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的性质求得，利用前项和公式求得.【详解】由于数列为等差数列，故，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和公式，属于基础题. 这个等差数列的性质是：若，则，若，则.如果数列是等比数列，则数列的性质为：若，则，若，则.所以解有关等差或者等比数列的题目时，先观察一下题目所给条件中的下标是否有关系.6.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A. 2019B. 2018C. 2017D. 2016【答案】B【解析】【分析】运行程序，找出规律，当不满足时，退出循化，输出的值.【详解】运行程序，，判断是，，判断是，，……，依次类推，当为奇数时，为，当为偶数时，为，，判断否，输出，故选B. 【点睛】本小题主要考查程序框图的运算结果，考查合情推理，属于基础题.7.设，，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据的正负，计算出的值，由此比较出三者的大小.【详解】由于，故，，故，而，故，所以，故选A. 【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查分段函数的概念与性质，属于中档题.8.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】先根据三角函数图像求得的解析式，然后求得需要平移的单位长度.【详解】由于，故，所以，，由，求得，故，故需将图像上所有点向左平移个单位长度得到，故选A. 【点睛】本小题主要考查由三角函数图像求三角函数解析式，考查三角函数图像变换，属于基础题. 求解的过程中，首先利用图像上的最高点求得的值，要注意值的正负.第二根据图像上的半周期或者四分之一周期或者四分之三周期求得的值，第三根据图像上一个点的坐标求得的值.9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用底面的外心和高的一半求得球的半径，由此求得球的表面积.【详解】画出几何体的直观图如下图所示，设球心为，底面等边三角形的外心为，由三视图可知，设球的半径为，则，故球的表面积为，故选C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查几何体外接球的有关计算，考查数形结合的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.要找到几何体外接球的球心，主要根据几何体的结构，利用球心到球面上的点的距离相等，通过解直角三角形来求解出半径，从而求得球的表面积或者体积.10.已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支，两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】求得直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得两点坐标的关系，根据列方程，化简后求得离心率.【详解】设，依题意直线的方程为，代入双曲线方程并化简得，故，设焦点坐标为，由于以为直径的圆经过点，故，即，即，即，两边除以得，解得.故，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.11.已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的。
2020年江西省抚州市临川一中高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年江西省抚州市临川一中高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|(x−2)(x+1)>0}则C R A=()A. {x|−1<x<2}B. {x|−1≤x≤2}C. {x|x<−1}∪{x|x>2}D. {x|x≤−1}∪{x|x≥2}2.已知复数z=1+i，则|z2−1|=()A. 5B. 2√5C. √5D. 23.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图的曲线部分是四分之一圆弧，该几何体的表面上的两点M，N在正视图上的对应点分别为A(中点)，B，则一质点自点M沿着该几何体的侧面绕行一周到达点N的最短路径长为()A. √(π+4)2+1B. √π2+1C. √4π2+1D. √374.函数f(x)=13ax3+12ax2−2ax+2a+1的图像经过四个象限的一个充分但不必要条件是()A. −43<a<−13B. −1<a<−12C. −65<a<−316D. −2<a<05.已知△ABC的三个顶点是A(−a,0)，B(a,0)和C(a2,√32a)，则△ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 斜三角形6.下列函数图象不是轴对称图形的是()A. y=1xB. y=cosx，x∈[0,2π]C. y=√xD. y=lg|x|7.如图是一个2×2列联表，则表中m，n的值分别为()y 1 y 2 合计 x 1 a 35 45 x 2 7 b n 合计m73SA. 10，38B. 17，45C. 10，45D. 17，388. 一个圆经过以下两个点B(−3,0)，C(0,−2)，且圆心在y 轴上，则圆的标准方程为( )A.B. x 2+(y ±54)2=(134)2 C. x 2+(y −54)2=134D. x 2+(y −54)2=(134)29. 已知F 1(−8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|−|PF 2|=10，则P 点的轨迹是( )A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 直线D. 一条射线10. 向如图中所示正方形内随机地投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为( )A. 3518 B. 2536 C. 25144 D. 257211. 如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1，AC ⊥BC ，且CA =CC 1=√2CB ，则直线BC 1与直线AB 1所成角的余弦值为( )A. √55B. √53C. 2√55D. √151512. 已知函数f(x)=k(x −lnx)−e x x，若f(x)只有一个极值点，则实数k 的取值范围是( )A. (−e,+∞)B. (−∞,e)C. (−∞,e]D. (−∞,1e ]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.f(x)=(2−x)e2x的单调递增区间是__________．)5的展开式中x4的系数为________．14.(x2+2x15.如图，江岸边有一观察台CD高出江面30米，江中有两条船A和B，由观察台顶部C测得两船的俯角分别是45o和30o，若两船与观察台底部连线成30o角，则两船的距离是__________．16.已知函数f(x)=axlnx−e x(其中e为自然对数的底数)存在唯一的极值点，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设f(x)=6cos2x−√3sin2x．(1)求f(x)的最大值及最小正周期；α的值．(2)若锐角α满足f(α)=3−2√3，求tan4518.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC，F为A1B1的中点．求证：(1)B1C//平面FAC1；(2)平面FAC1⊥平面ABB1A1．19.已知函数(1)当a=−1时，求f(x)的单调区间；(2)当x∈[1,e]时，求f(x)的最小值．20. 已知函数，f(x)=log 2x −x +1，(x ∈[2,+∞))，数列{a n }满足a 1=2,a n+1a n=2,(n ∈N ∗)．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式a n ； (Ⅱ)求f(a 1)+f(a 2)+⋯+f(a n ).21. 设M 点为圆C ：x 2+y 2=4上的动点，点M 在x 轴上的投影为N.动点P 满足2PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，动点P 的轨迹为E ． (Ⅰ)求E 的方程；(Ⅱ)设E 的左顶点为D ，若直线l ：y =kx +m 与曲线E 交于两点A ，B(A,B 不是左右顶点)，且满足|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1−√32ty =−√3+12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=√22． (1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P(1,−√3)，直线l与曲线C相交于两点A，B，求1|PA|+1|PB|的值．23.设函数f(x)=|x−a|．(1)当a=−1时，解不等式f(x)≥7−|x−1|；(2)若f(x)≤2的解集为[−1,3]，m+2n=2mn−3a(m>0,n>0)，求证：m+2n≥6．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查一元二次不等式的解法和补集及其运算.化简集合A，结合数轴即可求出结果．解：由(x−2)(x+1)>0得x>2或x<−1，∴A={x|x<−1或x>2}，∴C R A={x|−1≤x≤2}．故选B．2.答案：C解析：本题主要考查了复数的四则运算，复数的模，属于基础题.先求出z2−1，再根据复数模的求法即可求得结果．解：由复数z=1+i，得z2−1=(1+i)2−1=2i−1，所以|z2−1|=√22+(−1)2=√5．故选：C．3.答案：A解析：本题考查几何体的三视图和多面体和旋转体上的最短距离(折叠与展开图)，属中档题，关键是根据三视图确定几何体的形状与尺寸，并将空间最短路径问题转化为侧面展开图的直线距离问题解：如图是由三视图得到的几何体，是有一个棱长为2的正方体去掉以一条棱为轴的底面半径r=2的圆柱的四分之一得到，×2π×r=π，圆柱部分的底面弧长为14其展开图如图所示，是长为4+π，宽为2的矩形，质点自点M沿着该几何体的侧面绕行一周到达点N的最短路径长为展开图中M、N的直线距离为，故选A．4.答案：B解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的导数，研究函数的极值是解决本题的关键．据选择项只要判断当a<0时的函数的导数，研究函数的极值，结合函数的图象特点进行求解即可解：根据选择项只要判断当a<0时，即可，函数的导数f′(x)=ax2+ax−2a=a(x−1)(x+2)．若a<0，当x<−2或x>1，f′(x)<0，当−2<x<1，f′(x)>0，即当x=−2时，函数取得极小值，当x=1时函数取得极大值，要使函数f(x)=13ax3+12ax2−2ax+2a+1的图象经过四个象限，则有f(−2)<0，且f(1)>0，∴−65<a<−316，即函数的图象经过四个象限的充要条件为−65<a<−316，则对应的充分但不必要条件为(−65,−316)的真子集，则−1<a<−12满足条件，故选：B．5.答案：C解析：本题主要考查了两点间的距离公式以及勾股定理判断，熟练掌握相关知识点和方法是解决此类问题的关键．解：由坐标可知|AB|=2a，|AC|=a2)(√3a2)=√3a，|BC|=a2)(√3a2)=a，所以|AB|2=|AC|2+|BC|2，则△ABC是直角三角形，故选C．6.答案：C解析：解：对于A，y=1x为轴对称图形，其对称轴y=x，或y=−x，对于B：y=cosx在x∈[0,2π]为轴对称图形，其对称轴x=π，对于C：y=√x不是轴对称图形，对于D：y=lg|x|为轴对称图形，其对称轴x=0，故选：C．根据常见函数的图象即可判断本题考查了函数的图象和性质，属于基础题7.答案：B解析：本题考查2×2列联表，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 由联表中数据即可求解．解：根据2×2列联表可知a +35=45，解得a =10，则m =a +7=17，又由35+b =73，解得b =38，则n =7+b =45，故选B ．8.答案：D解析：本题考查圆的标准方程的求法，训练了利用待定系数法求解圆的方程，是基础题．设圆心坐标为(0,b)，半径为r ，可得圆的方程为x 2+(y −b)2=r 2，把已知点的坐标代入，求解b 与r 值，则圆的方程可求．解：设圆心坐标为(0,b)，半径为r ， 则圆的方程为x 2+(y −b)2=r 2， 则{9+b 2=r 2(b +2)2=r 2, 解得b =54，r 2=16916，∴圆的标准方程为x 2+(y −54)2=(134)2． 故选D ．9.答案：D解析：F 1，F 2是两定点，|F 1F 2|=10，所以满足条件|PF 1|−|PF 2|=10的点P 的轨迹应为一条射线.故选D ．10.答案：C解析：根据几何概率的求法：镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、含面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解：观察这个图可知：阴影部分是一个小三角形，在直线AB 的方程为6x −3y −4=0中， 令x =1得A(1,23)， 令y =−1得B(16,−1)． ∴三角形ABC 的面积为S =12AC ×BC =12×(1+23)(1−16)=2536∵图中正方形的面积为4，∴飞镖落在阴影部分(三角形ABC 的内部)的概率是：25364=25144．故选：C ．11.答案：D解析：本题考查利用空间向量解决异面直线所成角的问题，向量夹角余弦的坐标公式，要清楚两异面直线的方向向量的夹角和这两异面直线所成角的关系．设CA =1，由条件及建立的空间直角坐标系，可求出点A ，B ，B 1，C 1几点的坐标，从而得到向量BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由向量夹角余弦的坐标公式即可求出cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >，从而便得出直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值．解：设CA =1，建立空间直角坐标系，如图，根据条件可求以下几点坐标：A(1,0，0)，B 1(0,1，√22)，B(0,0，√22)，C 1(0,1，0)；∴BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√22),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,1,√22)；∴cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1−12√1+24×√1+1+24=√1515．∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为√1515．故选D ．12.答案：C解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，是中档题． 求出函数的导数，令f ′(x)=0，解得x =1，或k =e x x，令ℎ(x)=e x x，根据函数的单调性结合ℎ(x)=e x x的图象，求出k 的范围即可． 解：函数f(x)=k(x −lnx)−e x x(k ∈R )，∴f ′(x)=(x−1)(kx−e x )x 2，x ∈(0,+∞)；令f′(x)=0，解得x =1，或k =e x x，设，则ℎ′(x)=e x x−e xx 2=e x (x−1)x 2，由ℎ′(x)>0，得x >1； 由ℎ′(x)<0得0<x <1．当x =1时，ℎ(x)取得极小值ℎ(1)=e ． 作出函数ℎ(x)=e x x的图象如图所示：结合函数ℎ(x)的图象，则k <e 时，函数f(x)只有一个极值点x =1；k=e时，函数f(x)也只有一个极值点x=1，满足条件；k>e时不满足条件，舍去．综上所述，实数k的取值范围是(−∞,e]．故选C．13.答案：(−∞,32)解析：f′(x)=−e2x+2(2−x)e2x=e2x(3−2x)，因为e2x>0恒成立，所以令f′(x)=e2x(3−2x)>0得x<32.即f(x)的单调递增区间为(−∞,32)．本题考察导数的基本计算和函数单调性的求解，属于基础题．14.答案：40解析：本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数．求出二项展开式的通项，计算可得结果．解：根据题意得，T r+1=C5r(x2)5−r(2x)r=C5r2r x10−3r，令10−3r=4，得r=2，∴(x2+2x)5的展开式中x4的系数为C5222=40．故答案为40．15.答案：30米解析：本题给出实际应用问题，求观察台旁边两条小船间的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．利用直线与平面所以及俯角的定义，化为两个特殊直角三角形的计算，再在底面△DAB中用余弦定理即可求出两船距离．解：如图，设C处观测小船A的俯角为45°，设C处观测小船B的俯角为30°，连接DA、DB，Rt△CDA中，∠CAD=45°，可得DA=CD=30米，Rt△CDB中，∠CBD=30°，可得DB=√3CD=30√3米，在△DAB中，DA=30米，DB=30√3米，∠ADB=30°，由余弦定理可得：AB2=DA2+DB2−2DA·DBcos30°=900．∴AB=30米(负值舍去)．故答案为30米．16.答案：解析：本题考查了利用导数求函数的极值问题，求出函数的导数，由已知条件结合零点存在定理进行判断即可．解：f′(x)=a lnx+a−e x=a(lnx+1)−e x，令f′(x)=0，即a(lnx+1)−e x=0，解得x=0，∴f(x)在x=0处存在极值为，f(0)=−e0=−1<0，又∵函数存在唯一的极值点，∴只需要f′(x)=a(lnx+1)−e x<0即可，∵e x在R上恒大于0，则只需a<0即可，∴a的取值范围为，故答案为．−√3sin2x17.答案：解：(1)f(x)=61+cos2x2=3cos2x −√3sin2x +3 =2√3(√32cos2x −12sin2x)+3=2√3cos(2x +π6)+3故f(x)的最大值为2√3+3；最小正周期T =2π2=π(2)由f(α)=3−2√3得2√3cos(2α+π6)+3=3−2√3， 故cos(2α+π6)=−1又由0<α<π2得π6<2α+π6<π+π6，故2α+π6=π，解得α=512π． 从而tan 45α=tan π3=√3．解析：本题考查三角函数的图象与性质即三角函数的恒等变换，解决问题的关键是：(1)利用三角函数的二倍角公式及公式asinx +bcosx =√a 2+b 2sin(x +θ)化简为只含一个角一个函数名的三角函数，利用有界性及周期公式求出最大值最小正周期． (2)列出关于α的三角方程，求出α，求出正切值．18.答案：解：(1)证明：如图所示取AB 的中点E ，连接CE ，EB 1，∵F 为A 1B 1的中点，∴C 1F//CE ，AF//B 1E ，且C 1F ∩AF =F ，CE ∩B 1E =E ， ∴面B 1CE//平面FAC 1，∵B 1C ⊂B 1CE ， ∴B 1C//平面FAC 1(2)证明：直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，A 1A ⊥面A 1C 1B 1，∵C 1F ⊂面A 1C 1B 1，∴A 1A ⊥C 1F ， ∵AC =BC ，F 为A 1B 1的中点，∴A 1B 1⊥C 1F ，且AA 1∩A 1B 1，∴C 1F ⊥面AA 1C 1B 1B ，C1F⊂面A1C1B1，∴平面FAC1⊥平面ABB1A1．解析：(1)如图所示取AB的中点E，连接CE，EB1，可得面B1CE//平面FAC1，即B1C//平面FAC1 (2)只需证明C1F⊥面AA1C1B1B，即可得平面FAC1⊥平面ABB1A1．本题考查了线面平行、面面垂直的判定，关键是空间位置关系的判定与性质的应用，属于中档题．19.答案：解：(1)当a=−1时，，∴f′(x)=x−1x =x2−1x(x>0)，由f′(x)>0，解得x>1；由f′(x)<0，解得0<x<1，故f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)．(2)f′(x)=x−(a+1)+ax =x2−(a+1)x+ax=(x−1)(x−a)x(x>0)，当a≤1时，f(x)在[1,e]上为增函数，∴f(x)min=f(1)=92−a；当1<a<e时，f(x)在(1,a)上为减函数，在(a,e)上为增函数，；当a≥e时，f(x)在[1,e]上为减函数，∴f(x)min=f(e)=e22−(a+1)e+5+a，综上所述，当a≤1时，f(x)min=92−a；当1<a<e时，；当a≥e时，f(x)min=e22−(a+1)e+5+a解析：本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，属于中档题．(1)求出导函数，由f′(x)>0解得单调递增区间，由f′(x)<0解得单调递减区间；(2)求出导函数，由f′(x)=0的两根的的大小，分类讨论，求得函数在[1,e]上的单调性，得到最小值．20.答案：解：(I)∵a n+1a n =2，a1=2，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列∴a n=2×2n−1=2n；(II)由(I)可得f(a n)=log22n−2n+1=(n+1)−2n，∴f(a1)+f(a2)+⋯+f(a n)=[2+3+⋯+(n+1)]−(2+22+⋯+2n]=n(n+3)2−2n+1+2．解析：(I)根据a n+1a n=2，a 1=2，利用等比数列的定义可得数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，从而可求数列{a n }的通项公式a n ；(II)由(I)可得f(a n )=log 22n −2n +1=(n +1)−2n ，利用等差数列与等比数列的求和公式，可得结论．本题考查等比数列的定义，考查等差数列与等比数列的求和公式，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)设P(x,y)，M(x 0,y 0)，则N (x 0,0)，∴PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−x,−y )，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−y 0)， ∵2PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x 0=x ，y 0=2√3y3， 代入圆的方程得，x 2+43y 2=4， 即x 24+y 23=1，故动点P 的轨迹E 的方程为：x 24+y 23=1；证明：(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知，D (−2,0)， ∵|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴DA ⊥DB ，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由{y =kx +m x 24+y 23=1，消去y 得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0， ∴x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，…①∴y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+mk (x 1+x 2)+m 2，…② 由DA ⊥DB 得：y 1x 1+2×y 2x 2+2=−1， 即−y 1y 2=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4，…③由②③得：(k 2+1)x 1x 2+(2+mk )(x 1+x 2)+m 2+4=0，…④ 把①代入④并整理得：7m 2−16km +4k 2=0，得： (7m −2k )(m −2k )=0，即m =27k 或m =2k ，故直线l 的方程为y =k (x +27)，或y =k (x +2)， 当直线l 的方程为y =k (x +27)时，l 过定点(−27,0)；满足Δ>0当直线l 的方程为y =k (x +2)时，l 过定点(−2,0)，这与A ，B 不是左右顶点矛盾． 故直线l 的方程为y =k (x +27)，过定点(−27,0)．解析：本题考查了轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，难度较大．(Ⅰ)设P(x,y)，M(x 0,y 0)，由已知条件建立二者之间的关系，利用坐标转移法可得轨迹方程； (2)由向量条件结合矩形对角线相等可得DA ，DB 垂直，斜率之积为−1，再联立直线与椭圆方程，得根与系数关系，逐步求解得证．22.答案：解：(1)因为，所以，将，ρ2=x 2+y 2，代入上式，可得x 2+2y 2=8，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+2y 2=8； 因为直线l 的参数方程为{x =1−√32ty =−√3+12t, 消去参数t 得x +√3y +2=0，所以直线l 的普通方程为x +√3y +2=0； (2)易知点P(1,−√3)在直线l 上，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程， 可得5t 2−12√3t −4=0，设A,B 两点所对应的参数分别为t 1,t 2， 则t 1+t 2=12√35，t 1t 2=−45， 于是1|PA|+1|PB|=|PA|+|PB||PA||PB|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=4√2.解析：本题考查的知识点是椭圆的极坐标方程，直线的参数方程，直线参数方程中参数的几何意义，难度中档．(1)利用三种方程的转化方法，求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，可得5t 2−12√3t −4=0，利用参数的几何意义，求1|PA |+1|PB |的值．23.答案：解：(1)a =−1时，f(x)=|x +1|，f(x)≥7−|x −1|，即|x +1|+|x −1|≥7，故{x ≥1x +1+x −1≥7或{−1<x <1x +1+1−x ≥7或{x ≤−1−x −1+1−x ≥7, 解得：x ≥72或x ≤−72，故不等式的解集是(−∞,−72]∪[72,+∞)；(2)令f (x )≤2，即|x −a|≤2，解得−2+a ≤x ≤2+a ， 由f (x )≤2的解集是[−1,3]，易得a =1，m +2n =2mn −3， ∵m >0,n >0，由均值不等式可得m +2n ≥2√2mn ， 当且仅当m =2n =3时“=”成立， 故(m+2n 2)2≥(m +2n)+3，∴m +2n ≥6．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．(1)通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可； (2)求出a 的值，根据基本不等式的性质证明即可．。
江西省抚州市临川第一中学等2020届高三上学期第一次联考数学(理)试题 Word版含解析
2019—2020届临川一中上学期第一次联合考试高三数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若21iz i-=+，则z z ⋅=（ ） A. -2 B. 2C.52D. 52-【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的性质可知2||z z z ⋅=，直接利用复数模的性质即可求解. 【详解】因为21iz i-=+， 所以|2|510|||1|22i z i -===+ 2105||42z z z ⋅===，故选C. 【点睛】本题主要考查了复数模的性质，共轭复数的性质，属于中档题.2.设集合{}2A x x a =>，{}32B x x a =<-，若A B =∅I，则a 的取值范围为（ ）A. ()1,2B. ()(),12,-∞⋃+∞C. []1,2D. (][),12,-∞+∞U【答案】D 【解析】 【分析】集合的交集运算即求两个集合的公共元素，A B =∅I 说明集合,A B 没有公共元素，借助于数轴列式计算．【详解】因为A B φ⋂=，所以232a a ≥-，解得1a ≤或2a ≥. 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力与推理论证能力.3.设,a b ∈R ，则“()20a b a ->”是“a b >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断。
【详解】()20a b a ->，因为0a ≠，可推出a b >；a b >时，若0a =，则无法推出()20a b a ->，所以“()20a b a ->”是“a b >”的充分不必要条件，故选A 。
【点睛】本题主要考查分、必要条件的定义的应用。
4.若函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,-+∞ B. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. ()2,+∞【答案】D 【解析】 【分析】函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线,即()2f x '=有解，转化为12,0a x x=+>有解即可求出. 【详解】因为函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线， 所以函数()ln f x ax x =-的图象上存在斜率为2的切线， 故()12k f x a x'==-=有解， 所以12,0a x x =+>有解， 因为12,0y x x=+>的值域为(2,)+∞所以(2,)a ∈+∞.【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，方程有根的问题，转化思想，属于中档题.5.若0x >，0y <，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 222xyx -> B.()1222log 1x y x ->+ C. 221x y x ->+ D. 221x y x ->-【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质结合特殊值可得正确答案. 【详解】A 选项，取2,1x y ==-，不等式不成立； B 选项，0,0x y ><Q22,220x y x y ∴>->0,x >Q∴()12log 10x +<∴()1222log 1x yx ->+故B 正确；C 选项，取1,1x y ==-，不等式不成立，D 选项，当0x →， 21x →，11x -→，当0y <且0y →，21y →，所以220x y -→，而11x -→，所以不等式不成立.【点睛】本题主要考查了指数、对数函数性质，以及与不等式的交汇，属于中档题.6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，51BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A.154- B. 358+-C. 514-D.45+ 【答案】C 【解析】 【分析】要求sin 234︒的值，需将角234︒用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换公式解题．已知角有36︒，正五边形内角108︒，72ACB ∠=︒，已知三角函数值有1512cos72BCAC -︒==，所以234=272+90=144+90︒⨯︒︒︒︒，从而sin 234=cos144︒︒．【详解】由题可知72ACB ∠=︒，且1512cos724BCAC ︒==，251cos1442cos 721+︒=︒-=， 则()51sin 234sin 14490cos144+︒=︒+︒=︒=. 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力.7.若函数()()222,1log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，在(],a -∞上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ）A. (]1,17B. (]1,9C. []1,17D. []1,9【答案】C 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合已知条件求解即可.【详解】因为函数()()222,1log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，(,1]x ∈-∞时，函数为增函数，(1,)x ∈+∞时，函数为增函数，且(1)4,(17)4f f == 所以[1,17]a ∈.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值求法，属于中档题.8.将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( ) A. 40 B. 60 C. 80 D. 100【答案】A 【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2 种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是：36240C = 种.本题选择A 选项.9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是（ ）A. (3042]，B. (30,42)C. (42,56]D. (42,56)【答案】A 【解析】依次运行程序框图中的程序可得：第一次，0212,2S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第二次，2226,3S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第三次，62312,4S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第四次，122420,5S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第五次，202530,6S k =+⨯==，满足条件，继续运行；第六次，302642,7S k =+⨯==，不满足条件，停止运行，输出7． 故判断框内m 的取值范围为3042m <≤．选A ．10.已知1F ，2F 为椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，2121214BF BF F F ⋅≥uuu r uuu r uuu u r ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. 1(0,]2B. 2(0,2C. 3(0,]3D. 1(,1)2【答案】C【解析】 【分析】用,,a b c 表示出21212,BF BF F F ⋅uuu r uuu r uuu u r ，解出不等式得出e 的范围. 【详解】由椭圆定义可知：12BF BF a ==，12OF OF c ==，则1sin cOBF e a∠==， 所以22121cos 12sin 12F BF OBF e ∠=-∠=-，因为2121214BF BF F F ⋅≥uuu r uuu r uuu u r ，即222(12)e a c -≥，22(12)e e -≥，即213e ≤.303e ∴<≤. 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，平面向量的数量积运算，属于中档题.11.设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ，若()22ln 2g x x bx kx =--在[]1,+∞上的单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）A. [)0,+∞B. ()0,∞+C. [)1,+∞ D. ()1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】由定积分可以求出b , ()22ln 2g x x bx kx =--在[]1,+∞上单调递减可转化为()0g x '≤在[]1,+∞上恒成立即可求解.【详解】由题意，6601cos sin 2|b xdx x ππ===⎰， 所以()22ln g x x x kx =--，因为()22ln g x x x kx =--在[]1,+∞上的单调递减，所以222()0x kx g x x--+'=≤在[]1,+∞上恒成立，即2()220h x x kx =--+≤在[]1,+∞上恒成立，只需14(1)0k h ⎧-≤⎪⎨⎪≤⎩，解得0k ≥.【点睛】本题主要考查了利用定积分求面积，函数的单调性与导数的关系，不等式的恒成立问题，属于中档题.12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122a a +=，123n n a S +=+，用[]x 表示不超过x 的最大整数，设[]n n b a =，数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则使22000n T >成立的最小正整数n 是（） A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 通项公式以及前n 项和n S ，利用二项式展开式化简[]n n b a =，求得2212211n n n n b b a a --+=+-，利用分组求和法求得数列{}n b 的前2n 项和2n T ，由此求得使22000n T >成立的最小正整数n 的值. 【详解】令1n =，得2123a a =+，又122a a +=，解得123a =，243a =，又123n n a S +=+，123n n a S -=+，所以12(2)n n a a n +=…，又212a a =，可求得23nn a =，()2213n n S =-.所以01111333(1)(1)2(31)333n n n n n n n n n n n C C C b ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅-⋅++⋅⋅-+--===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ， 即011211(1)C 3C 3C (1)3n n n n n n nnnb ----⎡⎤-=⋅-⋅++-+⎢⎥⎣⎦L ，所以2(1)(1)33n n n n b ⎡⎤---=+⎢⎥⎣⎦，即22,321,3n n n n b n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数，所以2212211n n n n b b a a --+=+-，因此()2222213nn n T S n n =-=--，当5n =时，1067T =；当6n =时，1227242000T =>.使22000n T >成立的最小正整数n 是6.故选B.【点睛】本题考查等比数列通项公式及前n 项和公式，考查分组求和法，考查推理论证能力和创新意识，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.912x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为______.【答案】212- 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求出. 【详解】因为993rr 22+19911=()()22r rr r r r T C x x C x----=-， 令9302r-=，解得3r =， 所以展开式中常数项为3349121=()22T C -=-. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式，属于中档题.14.设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且712a a =-，则1197S Sa =+______.【答案】32【解析】 【分析】由712a a =-可得12a d =-，利用前n 项和公式及通项公式即可求解. 【详解】因为712a a =-， 所以120a d =-≠，111111011332S a d d ⨯=+=，91989182S a d d ⨯=+=，7164a a d d =+=， 所以11973331842S d S a d d ==++.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式与前n 项和公式，属于中档题.15.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是______.2 【解析】 【分析】根据三视图画出空间图形的直观图，取AD 中点E ，连接BE ，PE ，CE ，将CD 平移到BE ，根据异面直线所成角的定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角，在直角三角形PBE ∆中，求出其正切值即可.【详解】作出直观图如图：取AD 中点E ，连接BE ，PE ，CE ， 因为CD //BE ，根据异面直线所成角的定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角， 由条件知，1,2,PE BE PE BE ==⊥，2tan 22PBE ∴∠==. 【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，空间图形的三视图，考查了空间想象能力、运算能力，属于中档题.16.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 是双曲线左支上的一点，若直线1AF 与直线by x a=平行且12AF F ∆的周长为9a ，则双曲线的离心率为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及三角形的周长可求出2111272||,||22a c a cAF AF --==，利用直线1AF 与直线by x a =平行知12cos a AF F c∠=，结合余弦定理即可求解. 【详解】由双曲线定义知21||||2AF AF a -=，又21||||92AF AF a c +=-解得2111272||,||22a c a cAF AF --==， 因为直线1AF 与直线by x a=平行， 所以12tan b AF F a ∠=，故12cos a AF F c∠=， 由余弦定理得：12cos a AF F c∠=222121||4||2||2AF c AF AF c +-=⋅即2211844144e e e e e-++=-，化简得2280e e +-=， 解得2e =或4e =-（舍去）.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，余弦定理，双曲线的离心率，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知()cos 4cos a B c b A =-. （1）求cos A 的值；（2）若4b =，点M 在线段BC 上，2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r，AM =uuu r ABC ∆的面积.【答案】（1）1cos 4A =；（2）【解析】 【分析】（1）由正弦定理将条件统一为三角函数，化简即可求解（2）2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r，两边平方可转化为关于c 的方程，求解代入三角形面积公式即可. 【详解】（1）∵()cos 4cos a B c b A =-，由正弦定理得：()sin cos 4sin sin cos A B C B A =-，即sin cos cos sin 4sin cos A B A B C A +=，即sin 4cos sin C A C =， 在ABC ∆中，sin 0C ≠，所以1cos 4A =.（2）2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r ，两边平方得：22224AB AC AB AC AM ++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由4b =，10AM =uuu r ，1cos 4A =，15sin A =得22124104c b c b ++⨯⨯⨯=⨯，可得216240c c ++=， 解得：4c =或6c =-（舍）， 所以ABC ∆的面积1sin 2152S bc A ==. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，向量数量积的性质，三角形面积公式，属于中档题.18.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，6AB =，23BC =，26AC =，,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2AD DB =，2CE EB =，PD AC ⊥.（1）求证：PD ⊥平面ABC ；（2）若PA 与平面ABC 所成的角为4π，求平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角.【答案】(1)证明见解析；(2)30°. 【解析】 试题分析：（1）由条件可得ABC ∆为直角三角形，且3cos ABC ∠=故由余弦定理可得22CD =所以222CD AD AC +=，从而CD AB ⊥，又由条件可得CD PD ⊥，故PD ⊥平面ABC ．（2）由,,PD CD AB 两两互相垂直可建立空间直角坐标系，结合条件可求得平面PAC 的法向量和平面DEP 的法向量，根据两法向量夹角的余弦值可得锐二面角的大小． 试题解析：（1）证明：连DE ，由题意知4,2AD BD ==． 222,AC BC AB +=Q90.ACB ∴∠=o∴cos 63BC ABC AB ∠=== 在BCD ∆中，由余弦定理得2222?· cos CD BC BD BC BD DBC ∴=+-∠412228.3=+-⨯⨯=CD ∴=222CD AD AC ∴+=,∴90CDA ∠=o , ∴CD AB ⊥,又因为PAB ABC ⊥平面平面， ∴,CD PAB ⊥平面 又PD ⊂PAB 平面，,CD PD ∴⊥又PD AC ⊥，=AC CD C ⋂， ∴PD ⊥平面ABC ．（2）由（1）知,,PD CD AB 两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，由PA 与平面ABC 所成的角为4π，知4PD =， 则()()()()0,4,0,22,0,0,0,2,0,0,0,4A C B P -∴()()()22,2,0,22,4,0,0,4,4CB AC PA =-==--u u u v u u u v u u u v因为2,2,AD DB CE EB ==//,DE AC ∴由（1）知,AC BC ⊥ PD ⊥平面ABC ， ∴ CB ⊥平面DEP∴()22,2,0CB =-u u u v为平面DEP 的一个法向量.设平面PAC 的法向量为(),,n x y z v=，则,,n AC n PA ⎧⊥⎨⊥⎩u u u u v v u u u v v ∴2240440x y y z ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，令1z =，则2,1x y ==-，∴)2,1,1n =-v为平面PAC 的一个法向量.∴3cos ,2412||n CB n CB n CB ⋅===-⋅u u u v v u u u v vu u v u u u u v 故平面PAC 与平面PDE 3所以平面PAC 与平面PDE 的锐二面角为30o ． 点睛：（1）在建立空间直角坐标系后求平面的法向量时，首先要判断一下条件中是否有垂直于面的直线．若有，则可将直线的方向向量直接作为平面的法向量，以减少运算量．（2）求二面角的余弦值时，在求得两平面法向量夹角的余弦值后，要根据图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后再求出二面角的余弦值．19.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率2，一个长轴顶点在直线2y x =+上，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k . （1）求该椭圆的方程. （2）若1214k k ⋅=-，试问OPQ ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）OPQ ∆的面积为定值1. 【解析】 【分析】（1）根据离心率及长轴即可写出椭圆标准方程（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，求PQ ，点O 到直线y kx m =+的距离21md k =+，写出三角形面积，化简即可求证.【详解】由c e a ==，又由于0a b >>，一个长轴顶点在直线2y x =+上，可得：2a =，c =，1b =.（1）故此椭圆的方程为2214x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 联立椭圆的方程得：()222418440k x kmx m +++-=， 由()()222264441440k m k m ∆=-+->，可得2241m k <+， 则122841km x x k +=-+，21224441m x x k -⋅=+，12PQ x x=-=，又点O到直线y kx m=+的距离d=，122OPQS d PQ m∆=⋅⋅=，由于2121212121214y y x x mk kx x x x++⋅===-，可得：22421k m=-，故2212OPQS mm∆=⋅=，当直线PQ的斜率不存在时，可算得：1OPQS∆=，故OPQ∆的面积为定值1.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，考查了学生的运算能力及推理能力，属于难题.20.抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点.每年来抚州参观旅游的人数不胜数.其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查.若不去梦岛记1分，若继续去梦岛记2分.每位游客去梦岛的概率均为23，且游客之间的选择意愿相互独立.（1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为m A，求数列{}m A的前6项和；（3）在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为n B，探讨n B与1n B-之间的关系，并求数列{}n B的通项公式.【答案】（1）详见解析；（2）364729；（3）1213n nB B-=-+；322553nnB⎛⎫=+⋅-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）根据n 次独立重复试验模型可求解（2）总分恰为m 的概率13mm A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求前6项和即可（3）已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得不到n 分的情况只有先得1n -分，再得2分，概率为123n B -，可得递推关系1213n n B B -=-+，构造等比数列求解即可. 【详解】（1）X 可能取值为3，4，5，6()3113327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()21321643327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()223211253327P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3286327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， 故其分布列为()5E X =.（2）总分恰为m 的概率13mm A ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故6611(1)36433172913S -==-.（3）已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得不到n 分的情况只有先得1n -分，再得2分，概率为123n B -，而113B =， 故1213n n B B --=，即1213n n B B -=-+，可得1323535n n B B -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，134515B -=-， 所以13425153n n B -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭可得322553nn B ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了n 次独立重复试验，分布列、期望，等比数列求和，由递推关系式求通项公式，属于难题.21.已知函数()()()22112ln 1ln 242f x x x ax x x =----. （1）讨论()f x 的单调性.（2）试问是否存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2) 存在；a 的取值范围为(]2,e . 【解析】 【分析】（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞，所以()0f x '=得12,x a x e ==，所以通过对a 与0,e 的大小关系进行分类讨论得()f x 的单调性；(2)假设存在满足题意的a 的值，由题意需()min 13sin 44a f x π>+，所以由(1)的单调性求()min f x 即可；又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，所以可以考虑从区间[)1,+∞内任取一个x 值代入，解出a 的取值范围，从而将(],a e ∈-∞的范围缩小减少讨论.【详解】解：（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞. 当a e =时，()()()ln 10f x x e x '=--≥，()f x 在()0,∞+上单调递增当0a ≤时，0x a ->，()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增 当0a e <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在()0,a ，(),e +∞上单调递增； 当a e >时，()f x 在(),e a 上单调递减，在()0,e ，(),a +∞上单调递增.（2）假设存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立. 则()31123sin 444a f a π=->+，即8sin1504a a π-->， 设()8sin 154xg x x π=--，则存在(],x e ∈-∞，使得()0g x >， 因为()8cos044xg x ππ='->，所以()g x 在(],x e ∈-∞上单调递增， 因为()20g =，所以()0g x >时2x >即2a >. 又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立时，需()min 13sin 44a f x π>+， 所以由（1）得：当a e =时，()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()min 331=2=244f x f a e =--， 且3123sin 444e e π->+成立，从而a e =满足题意. 当2e a <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在[)1,a ，(),e +∞上单调递增，所以()()2113sin ,4413sin ,444a f e a f e ea ππ⎧>+⎪⎪⎨⎪=->+⎪⎩所以22,4sin 1204a a ea e π>⎧⎪⎨--->⎪⎩（*） 设()()24sin 1242xh x ex e x e π=---<<，()4cos044xh x e ππ=-'>，则()h x 在()2,e 上单调递增，因为()228130h e e =-->，所以()h x 的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为()2,+∞， 所以2x e <<即2e a <<.综上，存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，且a 的取值范围为(]2,e .【点睛】求可导函数()f x 的单调区间的一般步骤是：（1）求定义域；（2）求()f x '；（3）讨论()f x '的零点是否存在；若()f x '的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内；（4）判断()f x '在每个区间内的正负号，得()f x 的单调区间.当()f x a >在区间D 上恒成立时，需()min f x a >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（[0,2),απα∈为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'2,'x x y y=⎧⎨=⎩得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线():0OA θβρ=>与曲线1C 交于点A ，射线():02OB πθβρ=+>与曲线1C 交于点B ，求2211OAOB +的值． 【答案】（Ⅰ）224x y +=，2222416cos sin ρθρθ+=；（Ⅱ）516. 【解析】【分析】 （Ⅰ）消去参数，求得曲线C 的直角方程为224x y +=，再根据图象的变换公式，即可求解曲线1C 的方程，进而得到其极坐标方程；（Ⅱ）将()0θβρ=>代入2222416cos sin ρθρθ+=，根据极坐标中极经的几何意义，即可求解。
2020届江西省抚州市临川第一中学高三上学期期中数学(理)试题(解析版)
【解析】对集合和集合进行化简，然后根据集合的交集运算，得到答案.A B 【详解】由题得或，2{|40}{|0A x x x x x =->=<4}x >，2{|40}{|22}x x x x -≤=-≤≤，{|20}B x x =-≤< 故选：C ．【点睛】本题考查解不含参的二次不等式，集合的交集运算，属于简单题.．已知角α终边上一点M 的坐标为，则（）(1,3)sin 2α=B ．C ．D ．12-1232-32【答案】D的值，结合的范围得到答案.)2cos αα-α【详解】，1sin(2)2απ-=-，即，1sin 22α=-12sin cos 2αα=-，2(sin cos )1αα-=-132sin cos 122αα=+=，所以，,02π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭sin cos αα<所以得到.sin cos αα-=62-故选：D ．【点睛】上的图象大致是（ ）．．．．时，，排除B ，1x =1(1)sin103f =-<故选：A.【点睛】本题考查函数图像的识别，属于简单题.．已知x ，y 满足约束条件，则的最小值是（ ）1400y x y x y ≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩2z x y =+8B ．6C ．3D ．3---【答案】B【解析】根据约束条件画出可行域，然后将目标函数化为斜截式，得到过点时，直线的截距最小，B 从而得到答案.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，【点睛】本题考查线性规划求最值，属于简单题6．已知函数在R 上为增函数，则的取值范围是（ ）22ln ,1()1,1x x f x x ax a x ≥⎧=⎨-+-+<⎩a B ．C ．D ．(,1]-∞[1,)+∞(,2]-∞[2,)+∞【答案】D 【解析】由为增函数，得到其在每段上都为增函数，得到时，二次函数对称轴大于等于()f x 1x <时，二次函数对应的值应小于等于对数函数的值，才能保证单调递增，从而得到答案1x =()f x 【详解】若函数在R 上为增函数，()f x 则在两段上都应为单调递增函数，时，，1<()221f x x ax a =-+-+对称轴为，所以，2a x =12a ≥【解析】根据，得到的值，由，得，按照向量tan 2θ=cos θ()()()()数量积的运算律，得到关于和的方程，同除，设，解得的值，得到答案.ar bar b x a= x 【详解】，，得，tan 2θ=0θπ≤≤3cos 3θ=，得，)()2b a b-⊥+ ()()20a b a b -⋅+= ，2220a b b -⋅-= ，3cos 3b a b a bθ=⋅⋅=⋅ ，223203a a b b -⋅-=B ．C ．D ．1234【答案】C【解析】根据题意得到平移后的解析式，再将函数化为sin()63y x ωωππ=++cos()3y x πω=+，从而得到，得到的表达式，根据的范围，得到答案.5sin()6x ωπ+52636k ωπππ+=+πωω【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，sin()3y x ωπ=+6π得到函数的图象，sin()63y x ωωππ=++，5cos()sin()36x x ωωππ=+=+52,636k ωπππ+=+πω，故，12()()f x f x <<12()()<g x g x 在上也是增函数，()g x (0+)∞，，所以为偶函数.()()()g x xf x xf x -=--=()g x ，，2log 4.1(2,3)∈0.22(1,2)∈，0.2212log 4.1<<<π，0.20.2(2)(2)g g =-=，b a c <<:C ．【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断，根据函数的性质比较大小，属于中档题.{}a S a a a S S，211(1)3141a q a q q -==⋅--，311(1)9181a q a q q -=⋅--.41(1)1a q q -=-115161a q ⋅-，，成等比数列，2mS 3S 4S ，2324S mS S =⋅，211193158141161a a a m q q q ⎫⋅=⋅⋅⋅⋅⎪---⎭2111315a a a m ⎫⎪⎪=⋅⋅⋅⋅，212x y ++=，111(21)()21x y x y ++++1121(3)(322)212y x x y +=++≥++当且仅当，时取等号，12=1y x x y ++21x y +=时取得最小值.22,223y =-=-322+故选：B.【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，的妙用求最值，属于中档题.1．已知函数，若存在实数a ，使得函数恰好有4个零点，321,()3,x x x m f x x m x m ⎧-+≤⎪=⎨⎪->⎩()()g x f x a =-上单调递增，(0,2)画出函数的大致图象如图所示，()f x 由图可知当时，存在直线与函数图象的交点为4个；2m >y a =()f x 当时，直线与函数图象的交点至多为3个；02m <≤y a =()f x 当时，直线与函数图象的交点至多为2个；0m ≤y a =()f x 的取值范围为.m (2,)+∞故选：B.【解析】根据题意可知时，函数有周期性，判断的范围，然后利用周期性，得4x >()f x 25log 6+到，代入时的解析式，得到答案.()()225log 61log 6f f +=+4x ≤【详解】由题意时，函数，4x >()()1f x f x =-所以在时，周期为，()f x ()4,+∞1因为，所以，，22log 63<<()25log 67,10+∈()21log 63,4+∈所以()()225log 61log 6f f +=+.21log 622612+==⨯=故答案为：.12【点睛】本题考查函数的周期性，求分段函数的值，属于简单题.14．已知等差数列，其前项和为，若，则的最大值为________．{}n a n n S 253924,a a S S +==n S 【答案】72【解析】根据，得到，结合，得到数列的前6项为正，从而得39S S =670a a +=25240a a +=>{}n a 到时，的最大值，得到答案.6n =n S 【详解】由，得39S S =4567890,a a a a a a +++++=根据等差数列下标公式可得670,a a +=又，25240a a +=>所以数列的前项为正，{}n a 6所以当时，6n =有最大值，且.n S 616253()3()72S a a a a =+=+=故答案为：.72【点睛】，23AD BD BA BC BA =-=- 2133BE BC BA=+221333AD BE BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 221439BC BA BC BA --⋅149432cos6039⨯-⨯-⨯⨯⨯︒.444333--=故答案为：.43时，单调递增，22,33ππππ-≤≤+∈k x k k Z()f x 时，单调递减，5+2,33x k k πππ<<π+∈Z ()f x 在处取得极大值即最大值，()x 23x k k π=π+∈Z，.max 131333()sinsin(2)3232224f x ππ=+⨯=+⨯=故答案为：.334【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性和最大值，属于简单题.三、解答题2πππ.sin 2cos 21x x --π2sin(2)16x =--的最小正周期为.π()2sin(2)16f x x =--π），，，1()3f α=-π12sin(2)163α--=-π1sin(2)63α-=，所以，(0,)2πα∈π52(,)666αππ-∈-，所以.π11sin(2)632α-=<π2(0,)66απ-∈，2ππ22cos(2)1sin (2)663αα-=--=ππsin 2=sin[(2)]66αα-+ππππsin(2)cos cos(2)sin6666αα-+-3221322+也满足上式，所以.2=2()n a n n *=∈N ，122212121n n n b b ba n+++==+++ ，1122122(2,)212121n n b b bn n n *--+++=-≥∈+++N 两式作差得，，所以，221nn b =+122(2,)n n b n n +*=+≥∈N 时，又满足上式，所以.1=11,2,63b b ==16b =122()n n b n +*=+∈N ）因为2,4n n n n a bc n n =-=⋅，231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅ ，2311222(1)22n n n n +=⨯+⨯++-⨯+⋅ 两式相减，得，23122222n n n T n +-=++++-⋅（1）若，求2DC BD =（2）求面积的最小值ABC △32c =【解析】（1）根据已知条件，结合，利用三角形面积公式，表示出面积，从而得到12ABD ADC S BD S DC ==△△，在、中，利用余弦定理表示出和，然后代入已2AB =ABD △ACD cos BAD ∠cos CAD ∠知条件，解得的值；（2）设，所以，在中，由余弦定理可知c BD x =bDC xc =,ABD ACD △△，得到关于的方程，消去得到关于的方程，得到2223()332323bxb xc c b +--==,,x b c x ,b c ，分类讨论，分别研究面积，从而得到其最小值.)()0c bc b c --=ABC △【详解】）因为，，2DC BD =BAD CAD ∠=∠，12ABD ADC S BD S DC ==△△1sin 12AB AD BADAB ⋅⋅∠化简，得.()()0b c bc b c ---=时，为等边三角形，此时; c =ABC △2,3ABC b c S ===△时，由基本不等式可得，得到，即b c =+2bc b c bc =+≥2bc ≥4bc ≥时取等号，此时.2c ==13sin 60324ABC S bc bc =︒=≥△综上可得，面积的最小值为.ABC △3【点睛】本题考查三角形面积公式，余弦定理解三角形，利用基本不等式求和的最小值，涉及分类讨论的思想，属于中档题.．已知函数且，满足，且，其中.()(0,xf x a b a =+>1)a ≠(1)3f =(1)4()+3f n f n +=n *∈N ）求函数的解析式；()f x或(舍去)，41a b =⎧⎨=-⎩36a b =-⎧⎨=⎩.()=41xf x -）由（1）得()41().n f n n *=-∈N ，即，所以，141n -≥1144341n n --⨯-⨯≥14134n n --≥⨯，，1()4134n n n -=-≥⨯111()34n f n -≤⨯1111(1)(2)(3)()f f f f n ++++21111(1)444n -⨯++++ 111()1()144n n --⨯=⨯）当时，，，0a =x x ，，(1)1=(1)2f '=故曲线在处的切线方程为：，即.()f x 1x =12(1)y x -=-210x y --=），，ln ()(1)x af x x x x +=+>22221ln ln 1()1x a x x a f 'x x x x ---+=+-=，则，2()ln 1x x x a =--+2121()2x F'x x x x -=-=时，，所以函数在上单调递增，(1,)∈+∞()0F'x >()F x (1,)+∞，故(1)2a =-时，，，在上单调递增，无极值；2a ≤()0F x >()0f 'x >()f x (1,)+∞时，，，2a >(1)0F <2()ln 1F a a a a =--+，则，2()ln 1x x x x =--+2121()21x x G'x x x x --=--=【答案】（1）见解析；（2）证明见解析【解析】（1）对求导，得到，然后判断的根的情况，得到的正负，然()f x ()f x '()0f x '=()f x '后得到的单调性；（2）由（1）可得，且，由()f x 1m >2211(0,1)1t m m m m =--=∈+-得，所以只需证，令221)0,t mt t -+==212t m t +=32ln 20,(0,1)t t t t t --+>∈，，利用导数研究出的单调性和最值，结合，得到32ln 2x x x x =--+0x >()h x (1)0h =时，，从而得以证明.(0,1)()0h x >【详解】）由题意，知，对于方程，，221()(0)x mx f 'x x x -+=>221=0x mx -+24(1)m ∆=-时，，，在上单调递增.01m <≤24(1)0m ∆=-≤()0f 'x ≥()f x (0,)+∞时，令，则，，1m >()0f 'x =21x m m =--21x m m =+-，3ln 20,(0,1)t t t t --+>∈，，3)2ln 2x x x x x =--+0x >，2()2ln 31x x x =-+，，2)2ln 31x x x =-+0x >，2226()6x x x x x -=-=时，，单调递增；33x <<'()0x ϕ>)'(h x 时，，单调递减，33>'()0x ϕ<)'(h x ，max 33)()2ln 033h'==<'()0h x <()h x (0,)+∞(1)0h =。
江西省临川一中2019-2020年上学期第一次联合考试高三数学理科试题(无答案)
2019－2020届临川一中上学期第一次联合考试高三数学试题（理）命题人：曾冬平 唐梦静 审题人：张文军一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若21i z i-=+，则=⋅z z （ ） A.－2 B. 2 C. 52 D. －522．设集合{}{}2|2|3A x x a B x x a =>=<-，，若B A ⋂为空集，则实数a 的取值范围为（ ） A. (12)， B.(2)(1∞⋃+-∞，，） C. [12]， D. (1][2∞⋃+-∞，，） 3． 设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2＞0”是“a ＞b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．若函数x ax x f ln )(-=的图象上存在与直线042=-+y x 垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A.(),2-+∞B.),21(+∞ C.(),21-+∞ D.),2(+∞5．若00x y ><，，则下列不等式一定成立的是（ ）A. 222x y x ->B. 1222(1)x y log x ->+C. x y x +>-122D. x y x ->-122 6． 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.” 黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形). 例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，BC AC 根据这些信息，可得= 216cos （ ）A. 48+-B. 14-C. 38+-D.14- 7．若函数⎩⎨⎧>-≤+=1),1(log 1,22)(2x x x x f x ，在(]a -∞，上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ）A. (]17,1B. (]9,1C.[]17,1D. []9,18．将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是( )A.40B.60C.80D.1009．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是( )A ．(30，42]B ．(30，42)C ．(42，56]D ．(42，56)10．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点， BF 1―→·BF 2―→≥14F 1F 2―→2，则椭圆的离心率的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，22 C.⎝⎛⎦⎤0，33 D.⎝⎛⎭⎫12，111．设曲线y ＝cos x 与x 轴、y 轴、直线x ＝π6围成的封闭图形的面积为b ，若g (x )＝2ln x －2bx 2－kx 在[1，＋∞]上的单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[1，＋∞)D ． (1，＋∞)12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足221=+a a ，321+=+n n S a ，用][x 表示不超过x 的最大整数，设][n n a b =，数列{}n b 的前n 2项和为n T 2，则使20192>n T 成立的最小正整数n 是（ ）A.5B.6C.7D.8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．921⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中的常数项为 14．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且172a a -=，则=+7911a S S . 15．如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是16．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，，点A 是双曲线左支上的一点，若直线1AF 与直线x ab y =平行且21F AF △的周长为a 9，则双曲线的离心率为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17．△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知a cos B ＝(4c －b )cos A ．（1）求cos A 的值；（2）若b ＝4，点M 在线段BC 上，AB →＋AC →＝2AM →，|AM →|＝10，求△ABC 的面积．18．如图，在三棱锥P -ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，AB ＝6，BC ＝23，AC ＝26，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且AD ＝2DB ，CE ＝2EB ，PD ⊥AC ．(1)求证：PD ⊥平面ABC ；(2)若直线PA 与平面ABC 所成的角为45°，求平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角大小．19．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率23，一个长轴顶点在直线2+=x y 上，若直线l 与椭圆交于Q P ，两点，O为坐标原点，直线OP的斜率为1k，直线OQ的斜率为2k．（1）求该椭圆的方程.（2）若k1·k2＝－14，试问OPQ△的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请理说明由．20．抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点．每年来抚州参观旅游的人数不胜数．其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查．若不去梦岛记1分，若继续去梦岛记2分．每位游客去梦岛的概率均为23，且游客之间的选择意愿相互独立．（1）从游客中随机抽取3人,记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为A m，求数列{A m}的前6项和；（3）在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为B n，探讨B n与B n-1之间的关系，并求数列{B n}的通项公式．21. 已知函数2211()21)((2)42f x x lnx ax lnx x =----. （1）讨论f (x )的单调性.（2）试问是否存在(]a e ∈-∞，，使得1()3sin 44a f x π>+，对1)[x ∈+∞，恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程] (10分) 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos y x （[0,2),απα∈为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'2'x x y y=⎧⎨=⎩，得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线C 1的极坐标方程；（Ⅱ）若射线():0OA θβρ=>与曲线C 1交于点A ，射线():02OB πθβρ=+>与曲线C 1交于点B ，求2211OAOB +的值．23．[选修4—5：不等式选讲] (10分) 已知函数21()|||1|(0)a f x x x a a+=-+->，g()4|1|x x =-+．（Ⅰ）当1a =时，求不等式5)(≥x f 的解集； （Ⅱ）若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集包含[]1,2，求a 的取值集合．。
江西省临川一中2019-2020年上学期第一次联合考试高三数学理科试题(无答案)
2019－2020届临川一中上学期第一次联合考试高三数学试题（理）命题人：曾冬平 唐梦静 审题人：张文军一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若21i z i-=+，则=⋅z z （ ） A.－2 B. 2 C. 52 D. －522．设集合{}{}2|2|3A x x a B x x a =>=<-，，若B A ⋂为空集，则实数a 的取值范围为（ ） A. (12)， B.(2)(1∞⋃+-∞，，） C. [12]， D. (1][2∞⋃+-∞，，） 3． 设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2＞0”是“a ＞b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．若函数x ax x f ln )(-=的图象上存在与直线042=-+y x 垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A.(),2-+∞B.),21(+∞ C.(),21-+∞ D.),2(+∞5．若00x y ><，，则下列不等式一定成立的是（ ）A. 222x y x ->B. 1222(1)x y log x ->+C. x y x +>-122D. x y x ->-122 6． 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.” 黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形). 例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，BC AC 根据这些信息，可得= 216cos （ ）A. 48+-B. 14-C. 38+-D.14- 7．若函数⎩⎨⎧>-≤+=1),1(log 1,22)(2x x x x f x ，在(]a -∞，上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ）A. (]17,1B. (]9,1C.[]17,1D. []9,18．将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是( )A.40B.60C.80D.1009．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是( )A ．(30，42]B ．(30，42)C ．(42，56]D ．(42，56)10．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点， BF 1―→·BF 2―→≥14F 1F 2―→2，则椭圆的离心率的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，22 C.⎝⎛⎦⎤0，33 D.⎝⎛⎭⎫12，111．设曲线y ＝cos x 与x 轴、y 轴、直线x ＝π6围成的封闭图形的面积为b ，若g (x )＝2ln x －2bx 2－kx 在[1，＋∞]上的单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[1，＋∞)D ． (1，＋∞)12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足221=+a a ，321+=+n n S a ，用][x 表示不超过x 的最大整数，设][n n a b =，数列{}n b 的前n 2项和为n T 2，则使20192>n T 成立的最小正整数n 是（ ）A.5B.6C.7D.8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．921⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中的常数项为 14．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且172a a -=，则=+7911a S S . 15．如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是16．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，，点A 是双曲线左支上的一点，若直线1AF 与直线x ab y =平行且21F AF △的周长为a 9，则双曲线的离心率为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17．△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知a cos B ＝(4c －b )cos A ．（1）求cos A 的值；（2）若b ＝4，点M 在线段BC 上，AB →＋AC →＝2AM →，|AM →|＝10，求△ABC 的面积．18．如图，在三棱锥P -ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，AB ＝6，BC ＝23，AC ＝26，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且AD ＝2DB ，CE ＝2EB ，PD ⊥AC ．(1)求证：PD ⊥平面ABC ；(2)若直线PA 与平面ABC 所成的角为45°，求平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角大小．19．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率23，一个长轴顶点在直线2+=x y 上，若直线l 与椭圆交于Q P ，两点，O为坐标原点，直线OP的斜率为1k，直线OQ的斜率为2k．（1）求该椭圆的方程.（2）若k1·k2＝－14，试问OPQ△的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请理说明由．20．抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点．每年来抚州参观旅游的人数不胜数．其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查．若不去梦岛记1分，若继续去梦岛记2分．每位游客去梦岛的概率均为23，且游客之间的选择意愿相互独立．（1）从游客中随机抽取3人,记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为A m，求数列{A m}的前6项和；（3）在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为B n，探讨B n与B n-1之间的关系，并求数列{B n}的通项公式．21. 已知函数2211()21)((2)42f x x lnx ax lnx x =----. （1）讨论f (x )的单调性.（2）试问是否存在(]a e ∈-∞，，使得1()3sin 44a f x π>+，对1)[x ∈+∞，恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程] (10分) 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos y x （[0,2),απα∈为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'2'x x y y=⎧⎨=⎩，得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线C 1的极坐标方程；（Ⅱ）若射线():0OA θβρ=>与曲线C 1交于点A ，射线():02OB πθβρ=+>与曲线C 1交于点B ，求2211OAOB +的值．23．[选修4—5：不等式选讲] (10分) 已知函数21()|||1|(0)a f x x x a a+=-+->，g()4|1|x x =-+．（Ⅰ）当1a =时，求不等式5)(≥x f 的解集； （Ⅱ）若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集包含[]1,2，求a 的取值集合．。
2019-2020年高三上学期第一次联考试题 数学(理) 含答案
俯视图正视图xx 高三第一次联考2019-2020年高三上学期第一次联考试题 数学（理） 含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意.）1．已知集合{|5},{|20}A x Z x B x x =∈<=-≥，则等于（ ）A ．（2，5）B ．C ．{2，3，4}D ．{3，4，5}2．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）A ．y ＝e xB ．y ＝ln x 2C ．y ＝xD ．y ＝sin x3．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为（ ）A ．－23B ．－13C ．13D ．234．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则（ ） A ．2B ．1C ．D ．5．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个函数的图像，则“是偶函数”是“φ＝π4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．右图是一个几何体的三视图，则该几何体体积是（ ）A ．14B ．15C ．16D ．188．已知是等差数列的前n 项和，且，给出下列五个命题： ①；②；③；④数列中的最大项为；⑤.其中正确命题的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．19．过双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 的左焦点F 作圆的切线，设切点为M ，延长FM 交双曲线于点N ，若点M 为线段FN 的中点，则双曲线C 1的离心率为（ ）A ．B ．C ．+1D ． 10．已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且，，则球面面积为（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知点C 为线段上一点，为直线外一点，PC 是角的平分线，为PC 上一点，满足)0||||(>+=λλAP AC ，，，则的值为（ ）A.B. 3C. 4D.12．已知函数，则函数的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．等比数列的各项均为正数，且，则＝________. 14．已知函数满足，函数关于点对称，，则_________.15．设满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则的取值范围是__________.16．对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称为函数的“反比点”.下列函数中具有“反比点”的是_________.①； ②； ③，；④； ⑤.三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分） 在中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，已知，. （1）求的值；（2）若，D 为的中点，求CD 的长.18．（本小题满分12分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17。
2019届江西省临川一中高三上学期名校联考(数学理)(PDF版)
单位 12 C．向左平移 单位 12
A．向右平移
单位 6 D．向左平移 单位 6
B．向右平移
9． 阿波罗尼斯（约公元前 262-190 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 k （ k 0 且k 1 ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点 A, B 间的距离为 4，动点 P 与
bn n2 ，
又 cn
……8 分
2n 1 1 1 2 2 n (n 1) n (n 1) 2
2
Tn c1 c2 cn 1
1 1 1 1 1 1 3 2 2 1 2 2 2 2 3 n (n 1) (n 1) 2
． ． ．
14．函数 f ( x) e x e （其中 e 为自然对数的底）的图象与坐标轴所围封闭图形的面积为 15．已知数列 {an } ，其中 an n2 (1)n n ，若数列 {an } 为递增数列，则实数 的取值范围为 16．在 ABC 中，
1 1 tan C ，则 cos C 的最大值为 tan A tan B
江西省临川一中 2019 届高三上学期名校联考 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1． 2019 年 6 月 7 日，令人期待、激人奋进、引人遐想…，相信那将会属于你的“福数”，此时，映入你 眼帘的是：“ i ，一个虚数单位，复数 z i 2019 i 6 i 7 ，那么 | z | ( 之旅． A． 5 B． 3 C．1 D． 2 )”．由此，踏上你的追梦
7． 某几何体三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为 ( A． 6 C． 12 B． 8 D． 24
精品解析：【校级联考】江西省临川第一中学等九校2019届高三3月联考理科数学试题(解析版)
2019年江西省高三联合考试数学试卷（理科）注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解分式不等式求得集合A，求对数函数定义域求得集合B，由此求得两个集合的交集【详解】由解得，由解得，故，故选C.【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查对数函数定义域，考查集合的交集，属于基础题2.已知复数，则复数的虚部为（）A. 1B. -1C.D.【答案】A【解析】【分析】化简复数，求出其共轭复数，由此得到的虚部.【详解】依题意，故，其虚部为，故选A.【点睛】本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的虚部，属于基础题.3.抛物线的焦点是直线与坐标轴交点，则抛物线准线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得直线和坐标轴的焦点，由此求得的值，并求得准线方程.【详解】抛物线开口向上或者向下，焦点在轴上，直线与轴交点为，故，即抛物线的方程为，故准线方程为，故选D.【点睛】本小题主要考查直线和坐标轴的交点坐标的求法，考查已知抛物线的焦点求准线方程，属于基础题.4.下列命题中正确的是（）A. 若为真命题，则为真命题.B. “”是“”的充要条件.C. 命题“，则或”的逆否命题为“若或，则”.D. 命题：，使得，则：，使得.【答案】B【解析】【分析】根据且、或命题真假性判断A选项真假，根据充要条件知识判断B选项真假，根据逆否命题的概念判断C 选项真假，根据特称命题的否定是全称命题判断D选项真假.【详解】对于A选项，当真时，可能一真一假，故可能是假命题，故A选项为假命题.对于B 选项，根据基本不等式和充要条件的知识可知，B选项为真命题.对于C选项，原命题的逆否命题为“若且，则”，故C选项为假命题.对于D选项，原命题为特称命题，其否定是全称命题，要注意否定结论，即：，使得.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查还有简单逻辑连接词真假性，考查充要条件，考查逆否命题，考查特称命题的否定是全称命题等知识，属于基础题.5.等差数列前项和为，，则（）A. 15B. 20C. 25D. 30【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的性质求得，利用前项和公式求得.【详解】由于数列为等差数列，故，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和公式，属于基础题. 这个等差数列的性质是：若，则，若，则.如果数列是等比数列，则数列的性质为：若，则，若，则.所以解有关等差或者等比数列的题目时，先观察一下题目所给条件中的下标是否有关系.6.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A. 2019B. 2018C. 2017D. 2016【答案】B【解析】【分析】运行程序，找出规律，当不满足时，退出循化，输出的值.【详解】运行程序，，判断是，，判断是，，……，依次类推，当为奇数时，为，当为偶数时，为，，判断否，输出，故选B. 【点睛】本小题主要考查程序框图的运算结果，考查合情推理，属于基础题.7.设，，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据的正负，计算出的值，由此比较出三者的大小.【详解】由于，故，，故，而，故，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查分段函数的概念与性质，属于中档题.8.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】先根据三角函数图像求得的解析式，然后求得需要平移的单位长度.【详解】由于，故，所以，，由，求得，故，故需将图像上所有点向左平移个单位长度得到，故选A. 【点睛】本小题主要考查由三角函数图像求三角函数解析式，考查三角函数图像变换，属于基础题. 求解的过程中，首先利用图像上的最高点求得的值，要注意值的正负.第二根据图像上的半周期或者四分之一周期或者四分之三周期求得的值，第三根据图像上一个点的坐标求得的值.9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用底面的外心和高的一半求得球的半径，由此求得球的表面积.【详解】画出几何体的直观图如下图所示，设球心为，底面等边三角形的外心为，由三视图可知，设球的半径为，则，故球的表面积为，故选C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查几何体外接球的有关计算，考查数形结合的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.要找到几何体外接球的球心，主要根据几何体的结构，利用球心到球面上的点的距离相等，通过解直角三角形来求解出半径，从而求得球的表面积或者体积.10.已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支，两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】求得直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得两点坐标的关系，根据列方程，化简后求得离心率.【详解】设，依题意直线的方程为，代入双曲线方程并化简得，故，设焦点坐标为，由于以为直径的圆经过点，故，即，即，即，两边除以得，解得.故，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.11.已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的。
江西省临川一中,南昌二中等九校重点中学协作体2019届高三第一次联考数学(理)试题(解析版)
江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体2019届高三第一次联考数学（理）试题满分：150分时间：120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，，其中，则（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】，其中，解得，，故选2.已知命题，命题，若命题是命题的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意化简A，B，将条件转化为A B，列出不等关系解得a的范围即可.【详解】∵，，又命题是命题的必要不充分条件，∴B A，由数轴可得： a，故选D.【点睛】本题考查了必要不充分条件的概念，涉及解一元二次不等式，以及子集的应用，属于基础题.3.两个正数，的等差中项是5，等比中项是，则双曲线的离心率等于（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由题设条件结合数列的性质解得a，b，再由双曲线的性质求得，可得答案．【详解】由题设知，解得a＝6，b＝4，∴，∴．故选：C．【点睛】本题借助数列的性质考查双曲线的简单性质，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．4.已知实数，满足线性约束条件，则其表示的平面区域外接圆的面积为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二元一次不等式组表示平面区域进行作图，根据三角形的形状确定外接圆的直径，求外接圆的半径，即可得到结论．【详解】由线性约束条件，画出可行域如图（及内部，又与y=x垂直，∴为直角，即三角形ABC为直角三角形，∴外接圆的直径为AC，又A(-1,3),C(-1,-1),AC=4, ∴外接圆的半径r=2，∴外接圆的面积为=4，故选C.【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及三角形的外接圆问题，利用数形结合是解决本题的关键．5.为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，.该班某学生的脚长为23，据此估计其身高为（）.A. 160B. 166C. 170D. 172【答案】B【解析】【分析】计算、，求出b，的值，写出回归方程，利用回归方程计算所求的值．【详解】根据题意，计算x i＝25，y i＝174，；∴174﹣4×25＝74，∴4x+74，当x＝24时，计算4×23+74＝166，据此估计其身高为166（厘米）．故选：B．【点睛】本题考查了线性回归方程的求法及应用问题，是基础题．6.函数图像向左平移个单位后图像关于轴对称，则的值可能为（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简f(x)，再根据函数图象平移变换法则，求出平移后的函数解析式，根据对称性求出满足条件的a的值．【详解】函数,将其图象向左平移a个单位（a＞0），所得图象的解析式为：y＝2sin[2（x+a）﹣]，由平移后所得图象关于y轴对称，则2a﹣＝kπ，即a＝，又，当k＝0时，a．故选：B．【点睛】本题考查的知识点是函数图象的平移变换及正弦型函数的对称性，其中根据已知函数的解析式，求出平移后图象对应的函数解析式是解答本题的关键，属于基础题．7.已知，则（）A. 18B. 24C. 36D. 56【答案】B【解析】，故，.8.《九章算术》是中国古代数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”翻译成现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，执行第二步：第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，知道所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.现给出更相减损术的程序图如图所示，如果输入的，，则输出的为（）.A. 3B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【详解】∵，，满足a，b都是偶数，则a＝＝57，b＝＝15,k=2；不满足a，b都是偶数，且不满足a=b，满足a>b，则a=57-15=42，n=1,不满足a=b，满足a>b，则a=42-15=27，n=2,不满足a=b，满足a>b，则a=27-15=12，n=3,不满足a=b，不满足a>b，则c=12,a=15,b=12,则a=15-12=3，n=4,不满足a=b，不满足a>b，则c=3,a=12,b=3,则a=12-3=9，n=5,不满足a=b，满足a>b，则a=9-3=6，n=6,不满足a=b，满足a>b，则a=6-3=3，n=7,满足a=b，结束循环,输出n=7,故选：C．【点睛】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9.已知扇形，，扇形半径为，是弧上一点，若，则（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将已知等式两边同时平方，利用数量积的运算法则计算，可得到cos，即可求得结果.【详解】由，两边同时平方得=，则有3=4+1+2=5+22cos，∴cos，，故选D.【点睛】本题考查了向量数量积的运算，考查了夹角的求法，属于基础题.10.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由三视图还原该几何体得到三棱锥，将三棱锥放在对应的正方体中，结合正弦定理求出三棱锥A﹣BCD的四个面的面积，求和即可．【详解】由三视图知该几何体是如图所示的三棱锥A﹣BCD，将该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，A 是棱的中点，在△ADC中，AC＝2，且CD∴AD=，2=4；在△ABD中，AB＝2，BD=4，由余弦定理得，cos∠DAB，∴sin∠DAB，∴2,又与均为边长为4的正方形面积的一半，即为8，∴三棱锥A﹣BCD的表面积为12+2=，故选：A．【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，解题关键是由三视图还原为几何体，是中档题．11.已知以圆的圆心为焦点的抛物线与圆在第一象限交于点，电商抛物线上任意一点与直线垂直，垂足为，则的最大值为（）.A. -1B. 2C. 1D. 8【答案】C【解析】试题分析：求得圆心，可得抛物线C1方程，与圆C的交点A，运用抛物线的定义和三点共线，即可得到所求最大值．详解：圆C：（x﹣1）2+y2=4的圆心为焦点（1，0）的抛物线方程为y2=4x，由，解得A（1，2），抛物线C2：x2=8y的焦点为F（0，2），准线方程为y=﹣2，即有|BM|﹣|AB|=|BF|﹣|AB|≤|AF|=1，当且仅当A，B，F（A在B，F之间）三点共线，可得最大值1，故选：C.点睛：本题考查圆方程和抛物线的定义和方程的运用，考查方程思想和定义法解题，以及三点共线取得最值，属于中档题，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。