2021上海市长宁区高三数学一模答案

2020学年第一学期高三数学质量检测试卷

参考答案与评分标准

一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．()1,2- 2．π 3．0 4．3.0

5．15 6．

12

7．1- 8．[]1,1- 9．1 10．3- 11．19 12．45

二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13. B 14. D 15. C 16 . A

三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：（1）OP ⊥底面OAB

由题意高h =2r =，

所以母线4l = ………………2分 圆锥的侧面积=S lr 214222

1⨯⨯⨯=ππ8= ………………6分 （2）取OA 的中点为N ，因为M 为AB 的中点

所以//MN OB ，PMN ∠就是直线PM 与直线OB 所成的角 ………………2分 因为OB OA ⊥，OB OP ⊥，

所以OB ⊥平面POA ，MN ⊥平面POA ，MN PN ⊥ ………………4分

在Rt △PNM 中，PN ==112

MN OB == …………6分

所以PMN ∠

即直线PM 与直线OB ………………8分

18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

解：设()11,A x y ，()22,B x y ，

（1）()1,0F ，得1n = …………2分

直线l 的方程1x my =+代入2

4y x =得，2440y myx --= 所以124y y m +=，124y y =- …………4分

AB =

=()2418m =+=

所以1m =± …………7分

（2）抛物线24y x =的准线方程为1x =- …………1分

设()31,C y -，由OA 的方程为11

y y x x =， 得1311

4y y x y =-=- …………4分 由（1）知124y y =-，即214y y =-

…………6分 所以32y y =，BC 平行于x 轴 …………7分

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：（1）连接BD ，由题意ABD ∆是等边三角形，所以20BD =

又因为105ADC ∠=，所以45DBC ∠= …………2分 在BCD ∆中，sin sin BC BD BDC C

=∠∠， …………4分 得BC=3

620≈16（米） …………6分 （2）设θ=∠ADC ， 则3BDC πθ∠=-

，23CBD πθ∠=-， 在BCD ∆中，

sin sin sin CD BC BD CBD BDC C ==

∠∠∠， 所以3BC πθ⎛⎫=-

⎪⎝

⎭，23DC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ …………4分

所需板材的长度=40+⎪⎭⎫ ⎝⎛-3sin 3340πθ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-θπ32sin 3340 =θsin 33

4040+

， …………6分 答：当2ADC π∠=时，所需板材最长为334040+≈73（米）. …………8分

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 解：（1） 当0=a 时，()32f x x x =-，()3

2f x x x -=-+ 所以()()f x f x =--，()y f x =为奇函数. …………2分 当0≠a 时，()11f a =-，()11f a -=+,

因为()()11f f -≠±，所以()x f 既不是奇函数也不是偶函数. …………4分

（2）原问题可化为122a x x >+在区间⎥⎦

⎤⎢⎣⎡1,21有解，…………1分 函数122y x x =+在区间⎥⎦

⎤⎢⎣⎡1,21单调递减, …………3分 所以min 52

y =

, …………4分 所以a 的取值范围是5(,)2+∞ …………6分 （3）假设存在对称中心(),m n ，则

()()()3232222222x ax x m x a m x m x n +-+-+---=恒成立

得()()

2232621248442m a x m a x m am m n +-+++-=恒成立…………2分 所以23262012408442m a m am m am m n +=⎧⎪+=⎨⎪+-=⎩

…………4分 得3

a m =-，322273a a n =+ 所以函数()y f x =有对称中心322(,)3273

a a a -+ …………6分

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 解（1）数列{}n a 的通项为n a n =，22a =，33a =， …………2分 因为23292

a a =不是正整数，所以不是数列{}n a 的项， 所以数列{}n a 不是“X 数列”. …………4分

（2）数列{}n a 的前n 项和()

21n n S n =-∈*N ,所以12n n a -=. …………2分 当3n ≥时，取1k m =-，2l m =-， …………4分 则221122k l n k n l

a a a ---===，所以数列{}n a 是“Y 数列”. …………6分 （3）证明：记21

a q a =，因为数列{}n a 是各项均为正数的递增数列， 所以1q >,且当k l >时, 1k l

a a >. …………1分 若k l > ,2k k n k k l l l

a a a a a a a a ==⨯>>，则n k l >>.① ………2分 因为数列{}n a 是“X 数列”，所以存在i j >,且23i j

a a a =， 由①知,31i j >>≥，所以2,1i j == 即222311

a a a q a ==，即1a ，2a ，3a 成等比数列. …………4分 因为数列{}n a 是“X 数列”，存在正整数k 、l ()k l >，使得24k l

a a a =， 由①得，4k l >>,所以3k l ≥>， 进而22141k l k l

a a a q a --==，记421n k l =--∈*N . 因为数列{}n a 是“Y 数列”存在正整数m ，使得233312

m a a q a a q a ==⨯=， 由1q >，得3m a a >. …………6分

若43411n a a q a q =<，再由2314a a q a =<，

得423n <<，与4n ∈*N 矛盾；

若341m a a q a >=，则34m a a a <<，与数列{}n a 递增矛盾，

所以341a a q =,即1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列. …………8分