2014北京市海淀区高三第一学期期末数学理科试有答案
北京市海淀区2014届高三上期中考试数学试题(理)(有答案)
海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科) 答案2013.11一、选择题1、A2、C3、B4、C5、B6、B7、D8、C二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9.210..211. a b c >> 12..2π3,π6 13..2λ> 14. 4；6(31)n - 三、解答题: 本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。
15.解：（Ⅰ）由60A =和332ABC S ∆=可得133sin6022bc =, ---------------------------2分 所以6bc =， --------------------------------------3分又32,b c =所以2,3b c ==. ------------------------------------5分（Ⅱ）因为2,3b c ==,60A =,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得 ------------------------------------7分2222367a =+-=，即7a =. ------------------------------------9分由正弦定理sin sin a b A B=可得------------------------------------11分 72sin sin60B =，------------------------------------12分 所以21sin B =.------------------------------------13分 16. 解：（I ）π()3cos4cos(4)2f x x x =-+------------------------------------2分 3cos4sin 4x x =+------------------------------------4分π2sin(4)3x =+------------------------------------6分 ()f x 最小正周期为πT 2=，------------------------------------8分 （II ）因为ππ64x -≤≤，所以ππ4π4333x -≤+≤-----------------------------------10分 所以3πsin(4)13x -≤+≤-----------------------------------12分 所以π32sin(4)23x -≤+≤， -----------------------------------13分 所以()f x 取值范围为[3,2]-. ------------------------------------14分17.解：（I ）由已知11,1AH t PH t =-=+ -------------------------------------1分所以APH ∆的面积为1()(11)1,1112f t t t t =-+-<<. ---------------------4分（II ）解法1. 111'()1(11)2221f t t t t =-++⨯-⨯+ 3(3)41t t -=+ -------------------------------------7分 由'()0f t =得3t =， -------------------------------------8分 函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况下表：t (1,3)-3 (3,11) '()f t +0 - ()f t↗ 极大值 ↘-----------------------------------12分 所以当3t =时，函数()f t 取得最大值8. ------------------------------------13分 解法2.由211()(11)1(11)(1),11122f t t t t t t =-+=-+-<< 设2()(11)(1),111g t t t t =-+-<<， -------------------------------------6分则2'()2(11)(1)(11)(11)(1122)3(3)(11)g t t t t t t t t t =--++-=--++=--.-------7分函数()g t 与'()g t 在定义域上的情况下表：t (1,3)-3 (3,11) '()g t +0 - ()g t↗ 极大值 ↘------------------------------------11分 所以当3t =时，函数()g t 取得最大值， -----------------------------------12分 所以当3t =时，函数()f t 取得最大值1(3)82g =.------------------------------------13分18.解：（I ）由②可得2112a a ⋅=，3122a a ⋅= -------------------------------2分 由①可得12a =. -------------------------------3分（II ）由②可得112n n a a +⋅=， ------------------------------6分所以数列{}n a 的通项公式2n n a =. ------------------------------7分（III ）由（II ）可得21(1)421n n n n b a +=+=++，易得1{4},{2}n n +分别为公比是4和2的等比数列，------------------------------8分由等比数列求和公式可得124(14)4(12)1(416)214123n n n n n S n n ++--=++=-++--.--13分19.解：（I ）因为1a =，2()42ln f x x x x =-+,所以2242'()(0)x x f x x x-+=>, ------------------------------1分 (1)3f =-，'(1)0f =, ------------------------------3分所以切线方程为3y =-. ------------------------------4分(II ）222(1)22(1)()'()(0)x a x a x x a f x x x x-++--==>, ----------------------------5分 由'()0f x =得12,1x a x ==, ------------------------------6分 当01a <<时，在(0,)x a ∈或(1,)x ∈+∞时'()0f x >，在(,1)x a ∈时'()0f x <,所以()f x 的单调增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间是(,1)a ； ---------------7分 当1a =时，在(0,)x ∈+∞时'()0f x ≥，所以()f x 的单调增区间是(0,)+∞；-----8分 当1a >时，在(0,1)x ∈或(,)x a ∈+∞时'()0f x >，在(1,)x a ∈时'()0f x <.所以()f x 的单调增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调减区间是(1,)a . ---------------10分 (III ）由（II ）可知()f x 在区间[1,e]上只可能有极小值点，所以()f x 在区间[1,e]上的最大值在区间的端点处取到，-------------------------12分 即有(1)12(1)0f a =-+≤且2(e)e 2(1)e 20f a a =-++≤,解得2e 2e 2e 2a -≥-. ---------------------14分 20.解：（I ）27,9,3；8,9,3；6,2,3. --------------------------------------3分（II ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a +=+,2312,(2)3k k k k a a a a ++=+=+； 若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a +=+,21(1)3k k a a +=+,31(1)13k k a a +≤++； 若k a 被3除余0，则由已知可得113k k a a +=,3123k k a a +≤+； 所以3123k k a a +≤+， 所以312(2)(3)33k k k k k a a a a a +-≥-+=- 所以，对于数列{}n a 中的任意一项k a ，“若3k a >，则3k k a a +>”.因为*k a ∈N ，所以31k k a a +-≥.所以数列{}n a 中必存在某一项3m a ≤（否则会与上述结论矛盾！）若3m a =,则121,2m m a a ++==；若2m a =,则123,1m m a a ++==,若1m a =,则122,3m m a a ++==, 由递推关系易得{1,2,3}A ⊆. ---------------------------------------8分 （III ）集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21.由已知递推关系可推得数列{}n a 满足：当{1,2,3}m a ∈时，总有3n n a a +=成立，其中,1,2,n m m m =++.下面考虑当12014a a =≤时，数列{}n a 中大于3的各项：按逆序排列各项，构成的数列记为{}n b ，由（I ）可得16b =或9，由（II ）的证明过程可知数列{}n b 的项满足： 3n n b b +>，且当n b 是3的倍数时，若使3n n b b +-最小，需使2112n n n b b b ++=-=-， 所以，满足3n n b b +-最小的数列{}n b 中，34b =或7，且33332k k b b +=-，所以33(1)13(1)k k b b +-=-，所以数列3{1}k b -是首项为41-或71-的公比为3的等比数列， 所以131(41)3k k b --=-⨯或131(71)3k k b --=-⨯，即331k k b =+或3231k k b =⨯+， 因为67320143<<，所以，当2014a ≤时，k 的最大值是6，所以118a b =，所以集合A 重元素个数()Card A 的最大值为21.---------------13分。
2014海淀区高三(上)期末数学(理科)
2014海淀区高三（上）期末数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）复数i（i+1）等于（）A．1+i B．﹣1﹣i C．1﹣i D．﹣1+i2．（5分）设非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式中一定成立的是（）A．B．ab＜b2C．a+b＞0 D．a﹣b＜03．（5分）下列极坐标方程表示圆的是（）A．ρ=1B．C．ρsinθ=1D．ρ（sinθ+cosθ）=14．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输入的n的值为6，那么运行相应程序，输出的n的值为（）A．3 B．5 C．10 D．165．（5分）的展开式中的常数项为（）A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣66．（5分）若实数x，y满足条件则z=3x﹣4y的最大值是（）A．﹣13 B．﹣3 C．﹣1 D．17．（5分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2．若点P是椭圆C上的动点，则的最大值为（）A． B．C．D．8．（5分）如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（）A．50种B．51种C．140种D．141种二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知点F（1，0）是抛物线C：y2=2px的焦点，则p=．10．（5分）在边长为2的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积．若在正方形ABCD中随机产生了10000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2000个，则在这次模拟中，不规则图形M的面积的估计值为．11．（5分）圆C：（θ为参数）的圆心坐标为；直线l：y=2x+1被圆C所截得的弦长为．12．（5分）如图，AB与圆O相切于点B，过点A作圆O的割线交圆O于C，D两点，BC⊥AD，AB=2AC=2，则圆O的直径等于．13．（5分）已知直线l过双曲线的左焦点F，且与以实轴为直径的圆相切，若直线l与双曲线的一条渐近线恰好平行，则该双曲线的离心率是．14．（5分）已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．（1）若该四棱锥的左视图为直角三角形，则它的体积为；（2）关于该四棱锥的下列结论中：①四棱锥中至少有两组侧面互相垂直；②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形；③四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面．所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）函数．（Ⅰ）在△ABC中，，求f（A）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程．16．（13分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立．（Ⅰ）求上图中a的值；（Ⅱ）队员甲进行三次射击，求击中目标靶的环数不低于8环的次数X的分布列及数学期望（频率当作概率使用）；（Ⅲ）由上图判断，在甲、乙两名队员中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论不需证明）17．（14分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，△PAC是边长为2的等边三角形，，AP=4AF．（Ⅰ）求证：PO⊥底面ABCD；（Ⅱ）求直线CP与平面BDF所成角的大小；（Ⅲ）在线段PB上是否存在一点M，使得CM∥平面BDF？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由．18．（13分）已知关于x的函数（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+1没有零点，求实数a取值范围．19．（14分）已知椭圆G：的离心率为，过椭圆G右焦点F的直线m：x=1与椭圆G交于点M（点M在第一象限）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）已知A为椭圆G的左顶点，平行于AM的直线l与椭圆相交于B，C两点．判断直线MB，MC 是否关于直线m对称，并说明理由．20．（13分）若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数f（x）是等比源函数．（Ⅰ）判断下列函数：①y=x2；②；③y=log2x中，哪些是等比源函数？（不需证明）（Ⅱ）判断函数f（x）=2x+1是否为等比源函数，并证明你的结论；（Ⅲ）证明：∀d，b∈N*，函数g（x）=dx+b都是等比源函数．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】i（i+1）=i2+i=﹣1+i．故选：D．2．【解答】∵a＜b，∴a﹣b＜0．故选：D．3．【解答】∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴ρ=1即ρ2=x2+y2=1，表示圆；表示直线x=0；ρsinθ=1表示直线y=1；ρ（sinθ+cosθ）=1表示直线x+y﹣1=0，故选：A．4．【解答】进入循环前n=6．i=0，此时n为偶数，故n==3，i=1，满足继续进行循环的条件；当n=3．i=1，此时n为奇数，故n=3n+1=10，i=2，满足继续进行循环的条件；n=10．i=2，此时n为偶数，故n==5，i=3，不满足继续进行循环的条件；故输出的n值为5故选：B5．【解答】展开式中的通项公式为T r+1=•x6﹣2r•（﹣2）r•x﹣r=（﹣2）r••x6﹣3r，令6﹣3r=0，求得r=2，故展开式中的常数项为4×3=12，故选：A．6．【解答】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，3），C（1，1），B（3，3）．设z=F（x，y）=3x﹣4y，将直线l：z=3x﹣4y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经点C时，目标函数z达到最大值，=F（1，1）=﹣1，∴z最大值故选：C7．【解答】如图所示，由椭圆C：可得：a2=4，b2=3，=1．∴F1（﹣1，0），F2（1，0）．∵AF2⊥F1F2，∴．设P（x，y），则．又，∴==．∴的最大值为．故选：B．8．【解答】因为第1天和第7天吃的水果数相同，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中水果数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有=141种．故选D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】∵抛物线y2=2px的焦点坐标为（1，0），∴=1，p=2．故答案为：2．10．【解答】由题意，∵在正方形ABCD中随机产生了10000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2000个，∴概率P==，∵边长为2的正方形ABCD的面积为4，∴不规则图形M的面积的估计值为=．故答案为：11．【解答】圆的普通方程为：x2+（y﹣1）2=4，∴圆心坐标为（0，1），∴圆心到直线l：y=2x+1的距离为0，即圆心在直线l上，则直线l：y=2x+1被圆C所截得的弦长为直径即4．故答案为：（0，1）；4．12．【解答】如图所示，连接DB．∵BC⊥CD，∴BD是⊙O的直径．在Rt△ABC中，∵AB=2AC=2，∴∠ABC=30°．∴∠A=60°．∵AB与⊙O相切于点B，BD是⊙O的直径．∴DB⊥AB，∴DB=AB•tan60°=．故答案为：2．13．【解答】由题意可得：双曲线C：的渐近线方程为：，所以设直线l的方程为：，则直线l与双曲线的另一条渐近线的交点为：P（，﹣），所以=（﹣a﹣，），=（a﹣，）．因为P恰好在以A1A2为直径的圆上，所以PA1⊥PA2，即•=0，即（﹣a﹣，）•（a﹣，）=0所以整理可得：b2c2=4a4﹣a2c2所以结合b2=c2﹣a2可得：2a2=c2，所以e==，故答案为：．14．【解答】（1）由四棱锥的俯视图可知，该四棱锥底面为ABCD为正方形，PO垂直于BC于点O，其中O为BC的中点，若该四棱锥的左视图为直角三角形，则△BPC为直角三角形，且为等腰直角三角形，∵B0=1，∴PO=BO=1，则它的体积为；（2）由四棱锥的直观图可知，PO⊥面ABCD，则PO⊥AB，PO⊥CD，又AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB⊥面PBC，CD⊥面PBC，∴面ABC⊥面PBC，面PCD⊥面PBC，∴①正确．②由①知，侧面ABP和PCD为直角三角形，当BP⊥PC时，△PBC为直角三角形，∴侧面可能存在三个直角三角形，∴②正确．③若四个侧面互相垂直，则由四个侧面围成的几何体为柱体，不可能是锥体，∴③正确．故答案为：；①②③．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）由sinx+cosx≠0得．==cosx+sinx=，因为在△ABC中，，所以，所以，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以f（x）的最小正周期T=2π．因为函数y=sinx的对称轴为，又由，得，所以f（x）的对称轴的方程为．16．【解答】（Ⅰ）由上图可得0.01+a+0.19+0.29+0.45=1，∴a=0.06；（Ⅱ）由图可得队员甲击中目标靶的环数不低于8环的概率为0.45+0.29+0.01=0.75，由题意可知随机变量X的取值为：0，1，2，3，事件“X=k”的含义是在3次射击中，恰有k次击中目标靶的环数不低于8环，，即X的分布列为所以X的期望是；（Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定．17．【解答】（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，所以O为AC，BD中点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又因为PA=PC，PB=PD，所以PO⊥AC，PO⊥BD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以PO⊥底面ABCD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）解：由底面ABCD是菱形可得AC⊥BD，又由（Ⅰ）可知PO⊥AC，PO⊥BD．如图，以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．由△PAC是边长为2的等边三角形，，可得．所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）所以，．由已知可得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）设平面BDF的法向量为=（x，y，z），则令x=1，则，所以=（1，0，﹣）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）因为cos=﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以直线CP与平面BDF所成角的正弦值为，所以直线CP与平面BDF所成角的大小为30°．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（Ⅲ）解：设=λ（0≤λ≤1），则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）若使CM∥平面BDF，需且仅需=0且CM⊄平面BDF，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）所以在线段PB上存在一点M，使得CM∥平面BDF．此时=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）18．【解答】（Ⅰ）因为函数，所以，x∈R；当a=﹣1时，f（x），f′（x）的情况如下表：所以，当a=﹣1时，函数f（x）的极小值为f（2）=﹣e﹣2；（Ⅱ）因为，①当a＜0时，F（x），F′（x）的情况如下表：因为F（1）=1＞0，若使函数F（x）没有零点，需且仅需，解得a＞﹣e2，所以此时﹣e2＜a＜0；②当a＞0时，F（x），F′（x）的情况如下表：因为F（2）＞F（1）＞0，且，所以此时函数F（x）总存在零点．综上所述，所求实数a的取值范围是{a|﹣e2＜a＜0}．19．【解答】（Ⅰ）∵椭圆G：的离心率为，过椭圆G右焦点F的直线m：x=1与椭圆G交于点M（点M在第一象限），∴c=1，（1分），解得a=2，（2分）∴b2=a2﹣c2=3，（3分）∴椭圆的方程为．（4分）（Ⅱ）∵A为椭圆G的左顶点，∴，（6分）∴由题意可设直线，n≠1．（7分）设B（x1，y1），C（x2，y2），由，得x2+nx+n2﹣3=0．由题意得△=n2﹣4（n2﹣3）=12﹣3n2＞0，即n∈（﹣2，2）且n≠1．（8分）．（9分）∵，（10分）=，（13分）所以直线MB，MC关于直线m对称．（14分）20．【解答】（Ⅰ）解：对于函数y=x2，分别取x=1，2，4，对应的函数值为1，4，16，构成等比数列，符合等比源函数定义，∴函数y=x2是等比源函数；对于函数，分别取x=1，2，4，对应的函数值为1，，构成等比数列，符合等比源函数定义，∴函数是等比源函数；对于函数y=log2x，分别取x=2，4，16，对应的函数值为1，2，4，构成等比数列，符合等比源函数定义，∴函数y=log2x是等比源函数．∴①②③都是等比源函数；（Ⅱ）解：函数f（x）=2x+1不是等比源函数．证明如下：假设存在正整数m，n，k且m＜n＜k，使得f（m），f（n），f（k）成等比数列，则（2n+1）2=（2m+1）（2k+1），整理得22n+2n+1=2m+k+2m+2k，等式两边同除以2m，得22n﹣m+2n﹣m+1=2k+2k﹣m+1．∵n﹣m≥1，k﹣m≥2，∴等式左边为偶数，等式右边为奇数，∴等式22n﹣m+2n﹣m+1=2k+2k﹣m+1不可能成立，∴假设不成立，说明函数f（x）=2x+1不是等比源函数；（Ⅲ）证明：∵∀b，n∈N*，都有g（n+1）﹣g（n）=d，∴∀d，b∈N*，数列{g（n）}都是以g（1）为首项，公差为d的等差数列．∀d，b∈N*，g（1），g（1）（1+d），g（1）（1+d）2成等比数列，∵g（1）（1+d）=g（1）+（g（1）+1﹣1）d=g[g（1）+1]，g（1）（1+d）2=g（1）+（2g（1）+g（1）d+1﹣1）d=g[2g（1）+g（1）d+1]，∴g（1），g[g（1）+1]，g[2g（1）+g（1）d+1]∈{g（n）|n∈N*}，∴∀d，b∈N*，函数g（x）=dx+b都是等比源函数．。
海淀区高三年级第一学期理科数学期末测试及答案
海淀区高三年级第一学期理科数学期末测试一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．已知=-=αα2cos ,53cos 则（ ）A ．257 B ．257-C ．2524D ．2524-2．已知抛物线的方程为y 2=4x ，则此抛物线的焦点坐标为（ ）A ．（－1，0）B ．（0，－1）C ．（1，0）D ．（0，1）3．设集合1,,},4,3,2,1{22=+∈=nym xA n m A 则方程表示焦点位于x 轴上的椭圆有（ ）A ．6个B ．8个C ．12个D ．16个4．已知三条不同直线m 、n 、l ，两个不同平面βα,，有下列命题： ①βαββαα////,//,,⇒⊂⊂n m n m②ααα⊥⇒⊥⊥⊂⊂l n l m l n m ,,, ③αββαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥n m n n m ,,, ④αα//,//m n n m ⇒⊂ 其中正确的命题是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．③5．某台机器上安装甲乙两个元件，这两个元件的使用寿命互不影响.已知甲元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，要使两个元件中至少有一个的使用寿命超过1年的概率至少为0.9，则乙元件的使用寿命超过1年的概率至少为 （ ）A ．0.3B ．0.6C ．0.75D ．0.96．已知函数),20,0)(sin(πϕωϕω≤<>+=x y且此函数的图象如图所示，则点P （),ϕω的坐标是 （ ） A ．)2,2(πB ．)4,2(πC ．)2,4(πD ．)4,4(π7．已知向量),sin 3,cos 3(),sin ,cos 2(ββαα==b a 若向量a 与b 的夹角为60°，则直线 21)s i n ()c o s (021s i n c o s 22=++-=+-ββααy x y x 与圆的位置关系是 （ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交且过圆心8．动点P 为椭圆)0(12222>>=+b a by ax 上异于椭圆顶点（±a ，0）的一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，动圆C 与线段F 1、P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ）A ．一条直线B ．双曲线的右支C ．抛物线D ．椭圆二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．已知双曲线1422=-xy，则其渐近线方程是 ，离心率e= .10．在复平面内，复数i z i z 32,121+=+=对应的点分别为A 、B 、O 为坐标原点，OB OA OP λ+=.若点P 在第四象限内，则实数λ的取值范围是 .11．等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2=. 12．已知正四棱锥P —ABCD 中，PA=2，AB=2，M 是侧棱PC 的中点，则异面直线PA 与BM 所成角大小为 .13．动点P 在平面区域|)||(|2:221y x y x C +≤+内，动点Q 在曲线1)4()4(:222=-+-y x C上，则平面区域C 1的面积为 ，|PQ|的最小值为 . 14．已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD=60°， 长为2的线段MN 的一个端点M 在 DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD上运动.则MN 中点P 的轨迹与直平行 六面体表面所围成的几何体中较小体积值 为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题共13分）在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若B c a C b c o s )2(c o s -=. （Ⅰ）求∠B 的大小； （Ⅱ）若,4,7=+=c a b 求三角形ABC 的面积.16．（本小题共13分）已知圆C 的方程为：.422=+y x（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 交于A 、B 两点，若,32||=AB 求直线l 的方程；（Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行与x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量 ON OM OQ +=，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.17．（本小题共13分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，,6,3,1,901===︒=∠AA CA CB ACB M 为侧棱CC 1上一点，AM ⊥BA 1 （Ⅰ）求证：AM ⊥平面A 1BC ； （Ⅱ）求二面角B —AM —C 的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABM 的距离.18．（本小题共14分）设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+=. （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当0＜a ＜2时，求函数]30[1)()(2，在区间---=ax x x f x g 的最小值.19．（本小题共14分）设椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的焦点分别为F 1（－1，0）、F 2（1，0），右准线l 交x 轴于点A ，且.221AF AF =（Ⅰ）试求椭圆的方程； （Ⅱ）过F 1、F 2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图所示），试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值.20．（本小题共13分）已知函数f （x ）的定义域为[0，1]，且满足下列条件： ①对于任意;4)1(,3)(],1,0[=≥∈f x f x ，且总有②若.3)()()(,1,0,021212121-+≥+≤+≥≥x f x f x x f x x x x 则有 （Ⅰ）求f （0）的值； （Ⅱ）求证：4)(≤x f ； （Ⅲ）当33)(,...)3,2,1](31,31(1+<=∈-x x f n x n n时，试证明：.参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号1 2 3 4 5 6 7 8答案B C A D C B C A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．x y 2±=，（缺一扣1分）25 10．3121-<<-λ 11．－912．4π13．π48+，122- 14．92π三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分）解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得sin B cos C = 2sin A cos B －cos B sin C …………………………………………………2分 ∴2sin A cos B = sin B cos C +cos B sin C = sin(B +C )又在三角形ABC 中，sin (B +C ) = sin A ≠0 ………………………………………3分 ∴2sinAcosB = sinA ，即在△ABC 中，cosB=21，………………………………5分3π=B ………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）B ac c a b cos 27222-+==ac c a -+=∴227………………………………………………………………8分又ac c a c a 216)(222++==+3=∴ac …………………………………………………………………………10分 B ac S ABC sin 21=∴∆43323321=⨯⨯=∴∆ABC S …………………………………………………13分16．（共13分）解：（Ⅰ）①直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x =1，l 与圆的两个交点坐标为（1，3）和（1，－3），其距离为32 满足题意………………………………………1分 ②若直线l 不垂直于x 轴，设其方和为)1(2-=-x k y ，即02=+--k y kx …………………………………………………………2分 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得d =1…………………3分 1|2|12++-=∴kk ，43=k ，………………………………………………………4分故所求直线方程为0543=+-y x ………………………………………………5分 综上所述，所求直线方程为0543=+-y x 或x =1……………………………6分（Ⅱ）设点M 的坐标为)0)(,(000≠y y x ，Q 点坐标为（x ，y ）则N 点坐标是),0(0y …7分,ON OM OQ +=2,)2,(),(0000y y x x y x y x ===∴即………………………………………………9分又)0(44,4222020≠=+∴=+y yx y x ……………………………………………11分∴Q 点的轨迹方程是)0(,116422≠=+y yx…………………………………………12分轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆，除去短轴端点. …………………………………13分注：多端点时，合计扣1分.17．（共13分）证明：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -中，易知面⊥11A ACC 面ABC ， ︒=∠90ACB ，11A A C C BC 面⊥∴，……………………………………………………………2分 11A A C C AM 面⊆ AM BC ⊥∴B BA BC BA AM =⊥11 ，且BC A AM 1平面⊥∴……………………………………………………………4分解：（Ⅱ）设AM 与A 1C 的交点为O ，连结BO ，由（Ⅰ）可 知AM ⊥OB ，且AM ⊥OC ，所以∠BOC 为二面角 B －AM －C 的平面角，…………………………5分在Rt △ACM 和Rt △A 1AC 中，∠OAC+∠ACO=90°， ∴∠AA 1C=∠MAC ∴Rt △ACM~ Rt △A 1AC ∴AC 2= MC ²AA 1 ∴26=MC ……………………………………7分∴在Rt △ACM 中，223=AMCO AM MC AC ⋅=⋅21211=∴CO∴在Rt △BCO 中，1tan ==COBC BOC .︒=∠∴45BOC ，故所求二面角的大小 为45°………………………………9分 （Ⅲ）设点C 到平面ABM 的距离为h ，易知2=BO ，可知2322232121=⨯⨯=⋅⋅=∆BO AM S ABM ……………………………10分A B C M A B M C V V --= ………………………………………………………………11分 A B C A B MS MC hS∆∆⋅=∴313122232326=⨯=⋅=∴∆∆A B MA B CS S MC h∴点C 到平面ABM 的距离为22………………………………………………13分解法二：（Ⅰ）同解法一…………………………4分 （Ⅱ）如图以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,1,0(),6,0,3(),0,0,3(1B A A ，设 M （0，0，z 1） 1BA AM ⊥ .01=⋅∴BA AM 即06031=++-z ，故261=z ，所以)26,0,0(M …………………6分设向量m =（x ，y ，z ）为平面AMB 的法向量，则m ⊥AM ，m ⊥AB ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AB m AM m 即,030263⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-y x z x 令x =1，平面AMB 的一个法向量为m =)2,3,1(，……………………………………………………………………8分 显然向量CB 是平面AMC 的一个法向量22||||,cos =⋅⋅>=<CB m CB m CB m易知，m 与CB 所夹的角等于二面角B －AM －C 的大小，故所求二面角的大小为 45°. ………………………………………………………………………………9分 （Ⅲ）所求距离为：2263||==⋅m CB m即点C 到平面ABM 的距离为22………………………………………………13分18．（共14分）解：（Ⅰ）.1)2(212)1(2)('++=+-+=x x x x x x f …………………………2分由0)('>x f 得012>-<<-x x 或；由0)('<x f ，得.012<<--<x x 或 又)(x f 定义域为（－1，+∞）∴所以函数f (x )的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（－1，0）…5分 （Ⅱ）)1(212)(x n ax x x g +--=，定义域为（－1，+∞） 1)2(122)('+--=+--=x ax a x a x g ……………………………………………7分0202,20>->-∴<<aa a a 且由0)('>x g 得aa x ->2，即)(x g 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,2a a上单调递增；由0)('<x g 得aa x -<<-21，即)(x g 在⎪⎭⎫⎝⎛--a a2,1上单调递减…………8分 ①时 )(,320x g a a<-<在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 2,0上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛-3,2a a 上单调递增； ∴在区间[0，3]上，ana aa g x g --=-=2221)2()(min ； (2)30<<a …10分②当)(,32,223x g aa a ≥-<≤时在（0，3）上单调递减，∴在区间[0，3]上，42136)3()(min n a g x g --==…………………………13分 综上可知，当230<<a 时，在区间[0，3]上，ana aa g x g --=-=2221)2()(min ；当223<≤a 时，在区间[0，3]上42136)3()(min n a g x g --==.…14分19．（共14分）解：（Ⅰ）由题意，),0,(,22||221a A C F F ∴==…………………………………2分212AF AF = 2F ∴为AF 1的中点……………………………………………3分2,322==∴b a即：椭圆方程为.12322=+yx……………………………………………………5分（Ⅱ）当直线DE 与x 轴垂直时，342||2==abDE ，此时322||==a MN ，四边形DMEN 的面积为42||||=⋅MN DE .同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积为42||||=⋅MN DE .…7 分当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设DE ∶)1(+=x k y ，代入椭圆方程，消去 y 得：.0)63(6)32(2222=-+++k x k x k设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+,3263,326),,(),,(222122212211k k x x kkx x y x E y x D 则…………………………………8分所以，231344)(||222122121++⋅=-+=-kkx x x x x x ，所以，2221232)1(34||1||kk x x kDE ++=-+=，同理，.32)11(34)1(32)1)1((34||2222kkkkMN ++=-++-=………………………………10分所以，四边形的面积222232)11(3432)1(34212||||kkkk MN DE S ++⋅++⋅=⋅=13)1(6)21(242222++++=kkkk ，…………………………………12分 令uuu S kk u 61344613)2(24,122+-=++=+=得因为,2122≥+=kk u当2596,2,1==±=S u k 时，且S 是以u 为自变量的增函数，所以42596<≤S .综上可知，四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为2596.…………………14分20．（共13分）解：（Ⅰ）令021==x x ，由①对于任意]1,0[∈x ，总有3)0(,3)(≥∴≥f x f ……………………………1分 又由②得 3)0(,3)0(2)0(≤-≥f f f 即；……………………………………2分 .3)0(=∴f …………………………………………………………………………3分证明：（Ⅱ）任取2121]1,0[,x x x x <∈且设，则3)()()]([)(1211212--+≥-+=x x f x f x x x f x f ， 因为1012≤-<x x ，所以03)(,3)(1212≥--≥-x x f x x f 即，).()(21x f x f ≤∴………………………………………………………………5分 .4)1()(,]1,0[=≤∈∴f x f x 时当……………………………………………7分（Ⅲ）先用数学归纳法证明：)(331)31(*11N n f n n ∈+≤-- （1）当n =1时，331314)1()31(+=+===f f ，不等式成立；（2）假设当n=k 时，)(331)31(*11N k f k k ∈+≤--由6)31()31()31(3)3131()31()]3131(31[)31(1-++≥-++≥++=-kkkkkkkkkk f f f f f f f得≤)31(3kf 9316)31(11+≤+--k k f331)31(+≤∴kkf即当n=k+1时，不等式成立. 由（1）（2）可知，不等式331)31(+≤∴kkf 对一切正整数都成立.于是，当)31(331331333,...)3,2,1](31,31(111---≥+=+⨯>+=∈n n nn nf x n x 时，，而x ∈[0，1]，f （x ）单调递增)31()31(1-<∴n nf f 所以33)31()31(1+<<∴-x f f n n……………………………………13分。
数学理卷·2014届北京市海淀区高三上学期期末考试(2014.01)扫描版
---------------------------------------------4 分
（Ⅱ）由题意可得点 A(−2,0), M (1, 3) , 2
------------------------------------------6 分
所以由题意可设直线 l : y = 1 x + n , n ≠ 1 .------------------------------------------7 分 2Leabharlann +1>0
，解得
a > −e2 ,-------------------9 分
所以此时 −e2 < a < 0 ；
-----------------------------------------------10 分
②当 a > 0 时， F(x), F '(x) 的情况如下表：
第 8 页 共 11 页
=
1 2
x1
+
n
−
3 2
+
1 2
x2
+n− 3 2
=1+
n −1
+
n −1
x1 − 1
x2 −1
x1 − 1 x2 − 1
= 1 + (n − 1)(x1 + x2 − 2) x1x2 − ( x1 + x2 ) + 1
=1−
(n − 1)(n + 2) n2 + n − 2
=
0，
---------------------------------13 分
所以 sin A = 1 − cos2 A = 4 ,------------------------------------7 分 5
2014海淀一模数学试题参考答案(理科)2014海淀一模数学试题参考答案(理科)
海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科） 2014.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.C2.D3.D4. A5.B6. B7.C8. B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.9610.1611.212.3413.32414.9；3 (本题第一空3分，第二空2分)三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15．解： （Ⅰ）π()sin3f x x = ---------------------------2分(1)(0)(0)1f fg -=------------------------------3分π3sinsin 03=-=.-------------------------------5分（Ⅱ）(1)()π()sin()sin 1333f t f tg t t t t t ππ+-==+-+-------------------------------6分πππsincos cos sin sin 33333t t t ππ=+- ------------------------------7分1π3πsin 233t t =-------------------------------8分ππsin()33t =--------------------------------10分因为33[,]22t ∈-，所以ππ5ππ[,]3366t -∈-，------------------------------11分所以π1sin()[1,]332t π-∈-，-----------------------------12分所以()g t 在33[,]22-上的取值范围是1[,1]2------------------------------13分16.解：（Ⅰ）甲公司员工A 投递快递件数的平均数为36，众数为33. --------------------------------2分（Ⅱ）设a 为乙公司员工B 投递件数，则当a =34时，X =136元，当a >35时，354(35)7X a =⨯+-⨯元，X 的可能取值为136,147,154,189,203 -------------------------------4分{说明：X 取值都对给4分，若计算有错，在4分基础上错1个扣1分，4分扣完为止}X 的分布列为：X136147154189203P110310 210 310110--------------------------------------9分{说明：每个概率值给1分，不化简不扣分，随机变量值计算错误的此处不再重复扣分}13231()1361471541892031010101010E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1655==165.5()10元--------------------------------------11分（Ⅲ）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元.------------------------------------13分17．（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，交线为BD ，又在ABD ∆中，AE BD ⊥于E ，AE ⊂平面ABD所以AE ⊥平面BCD .--------------------------------------3分（Ⅱ）由（Ⅰ）结论AE ⊥平面BCD 可得AE EF ⊥.由题意可知EF BD ⊥，又AE ⊥BD .如图，以E 为坐标原点，分别以,,EF ED EA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E xyz ---------------------------4分不妨设2AB BD DC AD ====，则1BE ED ==. 由图1条件计算得，3AE =23BC =3BF =则3(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),3),((3,2,0)3E D B AF C --------5分 (3,1,0),(0,1,3)DC AD ==.由AE ⊥平面BCD 可知平面DCB 的法向量为EA . -----------------------------------6分设平面ADC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.DC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即30,30.x y y z +=-=⎪⎩ 令1z =，则3,1y x ==，所以3,1)=-n .------------------------------------8分平面DCB 的法向量为EA 所以5cos ,||||EA EA EA ⋅<>==⋅n n n ， 所以二面角A DC B --5------------------------------9分（Ⅲ）设AM AF λ=，其中[0,1]λ∈.由于3(3)3AF =， yzxE CA 1D F所以3(3)3AM AF λλ==，其中[0,1]λ∈ --------------------------10分所以3,0,(1)33EM EA AM λ⎛=+=- ⎝--------------------------11分由0EM ⋅=n ，即3303λλ=-(1-）---------------------------12分解得3=(0,1)4λ∈.-----------------------------13分所以在线段AF 上存在点M 使EM ADC ∥平面，且34AM AF =.-------------14分 18．解（Ⅰ）e axy a '=，-----------------------------------2分因为曲线C 在点（0，1）处的切线为L ：2y x m =+，所以120m =⨯+且0|2x y ='=.----------------------------------4分解得1m =，2a =-----------------------------------5分（Ⅱ）法1：对于任意实数a ，曲线C 总在直线的y ax b =+的上方，等价于 ∀x ,a R ∈，都有eaxax b >+，即∀x ,a ∈R ，e 0axax b -->恒成立，--------------------------------------6分令()e axg x ax b =--，----------------------------------------7分①若a=0，则()1g x b =-，所以实数b 的取值范围是1b <；----------------------------------------8分②若0a ≠,()(e 1)axg x a '=-，由'()0g x =得0x =， ----------------------------------------9分'(),g x 的情况如下：x0∞（-,）0 ∞（0,+）'()g x -+()g x极小值-----------------------------------------11分所以()g x 的最小值为(0)1g b =-，-------------------------------------------12分所以实数b 的取值范围是1b <；综上，实数b 的取值范围是1b <．--------------------------------------13分法2：对于任意实数a ，曲线C 总在直线的y ax b =+的上方，等价于∀x ,a R ∈，都有eaxax b >+，即∀x ,a ∈R ，e ax b ax <-恒成立， -------------------------------------------6分令t ax =，则等价于∀t ∈R ，e tb t <-恒成立，令()e t g t t =-，则()e 1tg t '=-，-----------------------------------------7分由'()0g t =得0t =， ----------------------------------------9分'(),(g t g t 的情况如下：t 0∞（-,）0 ∞（0,+）'()g t -+()g t极小值-----------------------------------------11分所以()e tg t t =-的最小值为(0)1g =， ------------------------------------------12分实数b 的取值范围是1b <． --------------------------------------------13分19．解：（Ⅰ）设00(,)A x y ,00(,)-B x y ，---------------------------------------1分因为∆ABM 为等边三角形，所以003||1|=-y x . ---------------------------------2分又点00(,)A x y 在椭圆上，所以0022003|||1|,3239,y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去0y ，-----------------------------------------3分得到2003280--=x x ，解得02=x 或043=-x ，----------------------------------4分当02=x 时，23||3=AB ； 当043=-x 时，143||9=AB .-----------------------------------------5分{说明：若少一种情况扣2分}（Ⅱ）法1：根据题意可知，直线AB 斜率存在.设直线AB :=+y kx m ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点为00(,)N x y ，联立22239,⎧+=⎨=+⎩x y y kx m消去y 得222(23)6390+++-=k x kmx m ，------------------6分由0∆>得到222960--<m k ① ----------------------------7分所以122623+=-+kmx x k ,121224()223+=++=+my y k x x m k ， ----------------------------8分所以2232(,)2323-++km mN k k ，又(1,0)M如果∆ABM 为等边三角形，则有⊥MN AB ， --------------------------9分所以1MN k k ⨯=-，即2222313123mk k km k+⨯=---+，------------------------------10分化简2320k km ++=，②------------------------------11分由②得232k m k+=-，代入①得2222(32)23(32)0k k k +-+<，化简得2340+<k ，不成立，-------------------------------------13分{此步化简成42291880k k k++<或4291880k k ++<或22(32)(34)0k k ++<都给分} 故∆ABM 不能为等边三角形.-------------------------------------14分法2：设11(,)A x y ，则2211239x y +=，且1[3,3]x ∈-，所以222221111121||(1)(1)3(3)133MA x y x x x =-+=-+-=-+----------------8分 设22(,)B x y ，同理可得221||(3)13MB x =-+2[3,3]x ∈- -----------------9分因为21(3)13y x =-+在[3,3]-上单调 所以，有12x x =⇔||||MA MB =， ---------------------------------11分因为,A B 不关于x 轴对称，所以12x x ≠.所以||||MA MB ≠， ---------------------------------13分所以∆ABM 不可能为等边三角形. ---------------------------------14分20.解：（Ⅰ）设点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列是123,,B B B ,由正交点列的定义可知13(0,2),(5,2)B B ,设2(,)B x y ，1223(3,2),(2,2)=-=A A A A ，1223(,2)(5,2)=-=--B B x y B B x y ，，由正交点列的定义可知12120A A B B ⋅=,23230A A B B ⋅=,即32(2)0,,2(5)2(2)0x y x y --=⎧⎨-+-=⎩解得25=⎧⎨=⎩x y 所以点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列是123(0,2),(2,5),(5,2)B B B .------3分 （Ⅱ）由题可得122334(3,1),(3,1)(3,1)A A A A A A ==-=，， 设点列1234,,,B B B B 是点列1234,,,A A A A 的正交点列，则可设121232343(1,3),(1,3)(1,3)λλλ=-==-B B B B B B ，,λλλ∈123，，Z 因为1144,A B A B 与与相同，所以有λλλλλλ⎧⎪⎨⎪⎩123123-+-=9,（1）3+3+3=1.（2）因为λλλ∈123，，Z ，方程（2）显然不成立，所以有序整点列12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列；---------------8分（Ⅲ）5n n ∀≥∈，N ，都存在整点列()A n 无正交点列. -------------------------9分5n n ∀≥∈，N ，设1(,),i i i i A A a b +=其中,i i a b 是一对互质整数，1,2,3,1i n =-若有序整点列123,,,n B B B B 是点列123,,,n A A A A 正交点列,则1(,),1,2,3,,1λ+=-=-i i i i i B B b a i n ，则有11=1111=11,(1).(2)n n i i i i i n n i i i i i b a a b λλ--=--=⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑∑∑①当n 为偶数时，取1,(0,0)A 1,=3=,1,2,3,,1-1⎧=-⎨⎩i i i a b i n i 为奇数，，为偶数.由于123,,,n B B B B 是整点列，所以有i λ∈Z ，1,2,3,,1i n =-.等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立， 所以该点列123,,,n A A A A 无正交点列；②当n 为奇数时，取1,(0,0)A 11=3,2=a b ,1,=3=,2,3,,1-1⎧=-⎨⎩i i i a b i n i 为奇数，，为偶数, 由于123,,,n B B B B 是整点列，所以有i λ∈Z ，1,2,3,,1i n =-.等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立， 所以该点列123,,,n A A A A 无正交点列.综上所述，5n n ∀≥∈，N ，都不存在无正交点列的有序整数点列()A n ----------13分。
2014-2015海淀区高三第一学期期末数学(理)试题(有答案)高清版
数学（理）答案及评分参考一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）B （4）C （5）B （6）A （7）C （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9）15（10）11）3 （12）2π3（13）13；4（14）11,,A B D 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）ϕ的值是π6. ………………2分0x 的值是53. (5)分（Ⅱ）由题意可得：11ππ()cos(π())cos(π)sin π3362f x x x x +=++=+=-. ………………7分所以1π()()cos(π)sin π36f x f x x x ++=+- ππcos πcos sin πsin sin π66x x x =--………………8分1πsin πsin π2x x x =--3ππsin ππ)23x x x =-=+. ………………10分 因为11[,]23x ∈-，所以ππ2ππ633x -≤+≤.所以当ππ03x +=，即13x =-时，()g x当π2ππ33x +=，即13x =时，()g x 取得最小值2-. ………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为530350⨯=，女同学的人数为520250⨯=. ………………4分（Ⅱ）由题意可得：2323551(3)10A A P X A ===. ………………6分 因为321105a b +++=， 所以15b =. ………………8分 所以113232101105105EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.………………10分 （Ⅲ）2212s s =. (13)分（17）（共14分） 证明：（Ⅰ）连接1BC .在正方形11ABB A 中，1AB BB .因为 平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B平面111BB C C BB =，AB平面11ABB A ，所以 AB 平面11BB C C . ………………1分 因为 1B C 平面11BB C C ，所以1ABB C . ………………2分在菱形11BB C C 中，11BC B C .因为 1BC 平面1ABC ，AB平面1ABC ，1BC AB B ，CBC 1B 1A 1A所以 1B C 平面1ABC . (4)分 因为1AC 平面1ABC ，所以 1B C ⊥1AC .………………5分（Ⅱ）EF ∥平面ABC ，理由如下： (6)分取BC 的中点G ，连接,GE GA . 因为 E 是1B C 的中点， 所以GE ∥1BB ，且GE 112BB . 因为 F 是1AA 的中点， 所以AF112AA . 在正方形11ABB A 中，1AA ∥1BB ，1AA 1BB .所以 GE ∥AF ，且GEAF .所以 四边形GEFA 为平行四边形.所以 EF ∥GA . ………………8分 因为 EF平面ABC ，GA平面ABC ，所以 EF ∥平面ABC . ………………9分（Ⅲ）在平面11BB C C 内过点B 作1Bz BB .由（Ⅰ）可知：AB平面11BB C C . 以点B 为坐标原点，分别以1,BA BB 所在的直线为,x y轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，设(2,0,0)A ，则1(0,2,0)B . 在菱形11BB C C 中，11=60BB C ∠，所以(0,C -，1(0,1C .GFECB C 1B 1A 1A设平面1ACC 的一个法向量为(,,1)x y =n .因为10,0AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即(,,1)(2,0,(,,1)(0,2,0)0,x y x y ⎧⋅--=⎪⎨⋅=⎪⎩所以20,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即=n .………………11分由（Ⅰ）可知：1CB 是平面1ABC 的一个法向量.………………12分所以1113((0,3,2cos ,CBCB CB ⋅⋅<>===⋅n n n . 所以二面角1B AC C --的余弦值为7.………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）由22143x y +=得：2,a b ==. 所以椭圆M 的短轴长为………………2分 因为1c ==， 所以12c e a ==，即M 的离心率为12. ………………4分（Ⅱ）由题意知：1(2,0),(1,0)C F --，设000(,)(22)B x y x -<<，则2200143x y+=. (7)分因为10000(1,)(2,)BF BC x y x y ⋅=---⋅---2200023x x y =+++………………9分20013504x x =++>，………………11分 所以π(0,)2B ∠∈.所以点B 不在以AC 为直径的圆上，即：不存在直线l ，使得点B 在以AC 为直径的圆上. (13)分另解：由题意可设直线l 的方程为1x my =-，1122(,),(,)A x y B x y .由221,431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得：22(34)690m y my +--=. 所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+. ………………7分 所以1122(2,)(2,)CA CB x y x y ⋅=+⋅+21212(1)()1m y y m y y =++++22296(1)13434m m m m m -=++⋅+++ 25034m -=<+. ………………9分因为cos (1,0)CA CB C CA CB⋅=∈-⋅，所以π(,π)2C ∠∈. ………………11分所以π(0,)2B ∠∈.所以点B 不在以AC 为直径的圆上，即：不存在直线l ，使得点B 在以AC 为直径的圆上.………………13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）函数()f x 是偶函数，证明如下： ………………1分对于ππ[,]22x ∀∈-，则ππ[,]22x -∈-. ………………2分因为()cos()sin()cos sin ()f x a x x x a x x x f x -=---=+=，所以()f x 是偶函数. ………………4分 （Ⅱ）当0a >时，因为 ()cos sin 0f x a x x x =+>，ππ[,]22x ∈-恒成立， 所以集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为0. ………………5分 当0a =时，令()sin 0f x x x ==，由ππ[,]22x ∈-， 得0x =.所以集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为1. ………………6分 当0a <时，因为 π'()sin sin cos (1)sin cos 0,(0,)2f x a x x x x a x x x x =-++=-+>∈，所以函数()f x 是π[0,]2上的增函数. ………………8分因为ππ(0)0,()022f a f =<=>，所以()f x 在π(0,)2上只有一个零点.由()f x 是偶函数可知，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为 2. ………………10分综上所述，当0a >时，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为0；当0a =时，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为1；当0a <时，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为2.（Ⅲ）函数()f x 有3个极值点. ………………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）因为123224(,),(,),(,)a a a a a a T ∈，所以21(,)0T d a a =，23(,)0T d a a =，24(,)1T d a a =，故2()1T l a =.………………1分因为24(,)a a T ∈，所以42(,)0T d a a =.所以4414243()(,)(,)(,)1012T T T T l a d a a d a a d a a =++≤++=.所以当244143(,),(,),(,)a a a a a a T ∈时，4()T l a 取得最大值2. ………………3分 （Ⅱ）由(,)T d a b 的定义可知：(,)(,)1T T d a b d b a +=.所以122113311()[(,)(,)][(,)(,)]n T i T T T T i la d a a d a a d a a d a a ==+++∑1111[(,)(,)][(,)(,)]T n T n T n n T n n d a a d a a d a a d a a --+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++21(1)2n C n n ==-. ………………6分设删去的两个数为(),()T k T m l a l a ，则1()()(1)2T k T m l a l a n n M +=--. 由题意可知：()1,()1T k T m l a n l a n ≤-≤-，且当其中一个不等式中等号成立，不放设()1T k l a n =-时，(,)1T k m d a a =，(,)0T m k d a a =.所以()2T m l a n ≤-. ………………7分 所以()()1223T k T m l a l a n n n +≤-+-=-. 所以1()()(1)232T k T m l a l a n n M n +=--≤-，即1(5)32M n n ≥-+. ………………8分（Ⅲ）对于满足()1T i l a n <-（1,2,3,,i n =）的每一个集合T ，集合S 中都存在三个不同的元素,,e f g ，使得(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=恒成立，理由如下：任取集合T ，由()1T i l a n <-（1,2,3,,i n =）可知，12(),(),,()T T T n l a l a l a ⋅⋅⋅中存在最大数，不妨记为()T l f （若最大数不唯一，任取一个）.因为()1T l f n <-，所以存在e S ∈，使得(,)0T d f e =，即(,)e f T ∈. 由()1T l f ≥可设集合{|(,)}G x S f x T =∈∈≠∅. 则G 中一定存在元素g 使得(,)1T d g e =. 否则，()()1T T l e l f ≥+，与()T l f 是最大数矛盾.所以(,)1T d f g =，(,)1T d g e =，即(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=. ………………14分。
2014北京海淀区高三期末数学(理)试题答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （理）2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由sin cos 0x x +≠得ππ,4x k k ≠-∈Z . 因为cos2()2sin sin cos xf x x x x =++22cossin 2sin sin cos x x x x x-=++-----------------------------------2分cos sin x x =+ π)4x =+，-------------------------------------4分因为在ABC ∆中，3cos 05A =-<，-------------------------------------5分 所以4sin 5A ==,------------------------------------7分 所以431()sin cos 555f A A A =+=-=. -----------------------------------8分9． 2 10． 45 11. (0,1)；412． 13．14． 43；①②③（Ⅱ）由（Ⅰ）可得π())4f x x +,所以()f x 的最小正周期2πT =.-----------------------------------10分 因为函数sin y x=的对称轴为ππ+,2x k k =∈Z,-----------------------------------11分又由πππ+,42x k k +=∈Z ,得ππ+,4x k k =∈Z , 所以()f x 的对称轴的方程为ππ+,4x k k =∈Z.----------------------------------13分 16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由上图可得0.010.190.290.451a ++++=,所以a =.--------------------------------3分（Ⅱ）由图可得队员甲击中目标靶的环数不低于8环的概率为0.450.290.010.75++=----------------------------------4分由题意可知随机变量X 的取值为：0,1,2,3.----------------------------------5分事件“X k =”的含义是在3次射击中，恰有k 次击中目标靶的环数不低于8环.3333()1(0,1,2,3)44kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭----------------------------------8分 即X 的分布列为所以X的期望是1927279()0123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.------------------------10分 （Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定.---------------------------------13分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为底面ABCD 是菱形，AC BD O =,所以O 为,AC BD 中点.-------------------------------------1分 又因为,PA PC PB PD ==,所以,P O A ⊥⊥,---------------------------------------3分 所以PO ⊥底面A.----------------------------------------4分（Ⅱ）由底面ABCD 是菱形可得AC BD ⊥,又由（Ⅰ）可知,PO AC PO BD ⊥⊥.如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -.由PAC ∆是边长为2的等边三角形，PB PD ==，可得PO OB OD === 所以(1,,0)A C P -.---------------------------------------5分所以CP =,(AP =-.由已知可得13(,0,44O FOA A =+= -----------------------------------------6分设平面BDF 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,OB OF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,30.4x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 令1x =，则z =，所以(1,0,=n .----------------------------------------8分因为1c os 2||||CP CP CP ⋅<⋅>==-⋅n n n，----------------------------------------9分所以直线CP 与平面BDF 所成角的正弦值为12，所以直线CP与平面B D F所成角的大小为30.-----------------------------------------10分 （Ⅲ）设BMBPλ=(01)λ≤≤，则)CM CB BM CB BP λλ=+=+=-.---------------------------------11分若使CM ∥平面B D F ，需且仅需0CM ⋅=n 且CM ⊄平面B D F ，---------------------12分解得1[0,3λ=∈,----------------------------------------13分所以在线段PB 上存在一点M ，使得CM ∥平面BDF .此时BM BP=13.-----------------------------------14分 18.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）2e (2)(2)'()(e )e x x xa x a x f x ----==，x ∈R .------------------------------------------2分当1a =-时，()f x ,'()f x 的情况如下表：所以，当1a =-时，函数()f x 的极小值为2e --.-----------------------------------------6分 （Ⅱ）(2)'()'()exa x F x f x --==. ①当0a <时，(),'()F x F x 的情况如下表：--------------------------------7分因为(F =>,------------------------------8分若使函数()F x 没有零点，需且仅需2(2)10e aF =+>，解得2e a >-,-------------------9分所以此时2e 0a -<<；-----------------------------------------------10分②当0a >时，(),'()F x F x 的情况如下表：--------11分 因为(2F F >>,且10110101110e 10e 10(1)0eea aaF a------=<<,---------------------------12分所以此时函数()F x 总存在零点.--------------------------------------------13分综上所述，所求实数a 的取值范围是2e 0a -<<. 19.（本小题共14分） 解：（Ⅰ）由题意得1c =,---------------------------------------1分 由12c a =可得2a =,------------------------------------------2分 所以23b a c =-=,-------------------------------------------3分 所以椭圆的方程为22143x y +=.---------------------------------------------4分 （Ⅱ）由题意可得点3(2,0),(1,)2A M -,------------------------------------------6分所以由题意可设直线1:2l y x n =+,1n ≠.------------------------------------------7分 设1122(,),(,)B x y C x y ，由221,4312x y y x n ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x nx n ++-=. 由题意可得2224(3)1230n n n ∆=--=->,即(2,2)n ∈-且1n ≠.-------------------------8分21212,3x x n x x n +=-=-.-------------------------------------9分 因为1212332211MB MCy y k k x x --+=+-- -----------------------------------10分121212121212131311222211111(1)(2)1()1x n x n n n x x x x n x x x x x x +-+---=+=++-----+-=+-++ 2(1)(2)102n n n n -+=-=+-，---------------------------------13分 所以直线,M B M C 关于直线m对称.---------------------------------14分 20.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）①②③都是等比源函数.-----------------------------------3分 （Ⅱ）函数()2x f x =+不是等比源函数.------------------------------------4分 证明如下：假设存在正整数,,m n k 且m n k <<，使得(),(),()f m f n f k 成等比数列，2(21)(21)(21)n mk +=++，整理得2122222n n m k m k+++=++，-------------------------5分等式两边同除以2,m 得2122221n m n m k k m --+-+=++.因为1,2n m k m -≥-≥，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数， 所以等式2122221n m n m k k m --+-+=++不可能成立，所以假设不成立，说明函数()21xf x =+不是等比源函数. -----------------------------8分 （Ⅲ）法1：因为*,b n ∀∈N ，都有(1)()g n g n d +-=，所以*,d b ∀∈N ，数列{()}g n 都是以(1)g 为首项公差为d 的等差数列.*,d b ∀∈N ，2(1),(1)(1),(1)(1)g g d g d ++成等比数列，因为(1)(1)(1)((1)11)[(1)1]g d g g d g g +=++-=+，2(1)(1)(1)(2(1)(1)11)[2(1)(1)1]g d g g g d d g g g d +=+++-=++，所以(1),[(1)1],[2(1)(1)1]g g g g g g d +++*{()|}g n n ∈∈N ， 所以*,d b ∀∈N ，函数()g x dx b =+都是等比源函数.-------------------------------------------13分 （Ⅲ）法2：因为*,b n ∀∈N ，都有(1)()g n g n d +-=，所以*,d b ∀∈N ，数列{()}g n 都是以(1)g 为首项公差为d 的等差数列.由2()(1)()g m g g k =⋅，（其中1m k <<）可得 2[(1)(1)](1)[(1)(1)]g m d g g k d +-=⋅+-，整理得 (1)[2(1)(1)](1)(1)m g m d g k -+-=-，令(1)1m g =+，则(1)[2(1)(1)](1)(1)g g g d g k +=-， 所以2(1)(1)1k g g d =++，所以*,d b ∀∈N ，数列{()}g n 中总存在三项(1),[(1)1],[2(1)(1)1]g g g g g g d +++成等比数列.所以*,d b ∀∈N ，函数()g x dx b =+都是等比源函数.-------------------------------------------13分。
北京市海淀区2014届海淀高三上学期期中考试数学理试题带答案
海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科) 2013.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B = ( ) A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D.{2}2.下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( ) A. ()f x x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D.()tan f x x =3. 在ABC ∆中，若tan 2A =-，则cos A =( )A.55 B.55-C.255D.255-4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC，则实数m 的值为( )A. 2-B. 12-C.12D. 25.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（B ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)n n a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（ ） A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7.已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧∈-⎪=⎨⎪++∈+∞⎩若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为（ ） A. 2[,0)3- B.[1,0)- C.[2,3) D. (0,)+∞8.已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=，在下列给出结论中：①π是()f x 的一个周期； ②()f x 的图象关于直线x 4π=对称； ③()f x 在(,0)2π-上单调递减. 其中，正确结论的个数为（ ） A. 0个B.1个C. 2个D. 3个二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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海淀区高三年级第一学期期末练习 数学 （理科2）
2014.1
本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1. 复数
2
1i
-化简的结果为 A.1i + B.1i -+ C. 1i - D.1i --
2.已知直线2,:2x t l y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与圆2cos 1,:2sin x C y θθ=+⎧⎨
=⎩
（θ为参数），则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是
A.π
,(1,0)4 B.π,(1,0)4- C.
3π,(1,0)4 D.3π
,(1,0)4
- 3.向量(3,4),(,2)x ==a b , 若||⋅=a b a ,则实数x 的值为 A.1- B.12-
C.1
3
- D.1 4.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出 的,n S 的值分别为
A.4,30n S ==
B.5,30n S ==
C.4,45n S ==
D.5,45n S ==
5.如图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于,A B 两点，
弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中，错误．．的结论是 Ａ.BEC ∆∽DEA ∆ B.ACE ACP ∠=∠ C.2DE OE EP =⋅ D.2PC PA AB =⋅
6.数列{}n a 满足111,n n a a r a r +==⋅+（*
,n r ∈∈N R 且0r ≠），则“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C.充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
7. 用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为
A. 144
B.120
C. 108
D.72
B
8. 椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，
使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是
A.12(,)33
B.1(,1)2
C. 2(,1)3
D.111
(,)(,1)322
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______.
10.数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有
n m
n m
a a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和n S =_____.
11. 在261
(3)x x
+的展开式中，常数项为______.(用数字作答)
12. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为_________.
13. 点(,)P x y 在不等式组 0,3,1x x y y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥+⎩
表示的平面区域内，
若点(,)P x y 到直线1y kx =-
的最大距离为___.k =
14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -表面上运动，且PA r =
（0r <<，记点P 的轨迹的长度为()f r ，则1
()2
f =______________;关于r 的方
程()f r k =的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15. （本小题满分13分）
已知函数21
()cos cos 2222
x x x f x =+-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别
为,,a b c .
（I ）求()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）若()1,f B C +
=1a b ==，求角C 的大小.
D
A
B
C
左视图
16.（本小题满分13分）
汽车租赁公司为了调查A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:
（I ）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；
（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率； （Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.
17. （本小题满分14分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，
12,AB AC AA ===E 是BC 中点.
（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；
（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； （Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.
18. （本小题满分13分）
已知函数e ().1
ax
f x x =-
（I ） 当1a =时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.
E
C 1
B 1
A 1
C
B
A
19. （本小题满分14分）
已知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N . （Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）已知O 为原点，求证：MON ∠为定值.
20. （本小题满分13分）
已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()
f x y x
=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2
()
f x y x =
在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”. 我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. (Ⅰ)已知函数3
2
()2f x x hx hx =--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围； (Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，
求证：(24)0d d t +->；
(Ⅲ)定义集合{}
2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,
请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.。