第07章孤子和光孤子概述

FPU 通常把能量放到对应的线性问题的几个最低模中。在线性问题中第一个模的能量永远保持不变， 没有新的模被激发。在非线性问题中，能量从低模传到较高模，FPU 希望这个过程继续下去，直到能量在 所有被安排到他们的计算方案中的模上变得均匀分布为止。他们在 x 空间中取了 64 个点，即有 64 个不同 的模。他们希望看到能量在这 64 个棋上的分布．那么，所观察到的演变过程就能够作为一种更复杂的物 理系统的热化模型。 现在，碰到了很令人惊奇的事情——至少，这似乎使得参加这个问题研究的，或听到过它的每一个人 都感到惊奇，能量并不热化！ 事实上，初始时刻能量在所有最低模中，经过在几个低阶模之间来回传递 之后， 重新聚集在最低模， 准确度为 1~2％， 随后过程近似重复。 他们知道， 这种现象并不是庞加莱(Poincare) 回归性的例子。在 63 个独立运动的质量系统中，回归所需的时间是很长的。说得确切一点，系统似乎像 一组线性耦合的谐振子那样在环面上作准周期运动(如果两个基本频率是： 1 , 2 ，且 1 / 2 m1 / m2 ，
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(McLaughlin)发表综述文章， 在电子、 光学界普及了孤子知识。 同年， 长谷川 (Ahasegawa) 和托皮特 (Tappert) 预言光纤孤子的存在。1975 年，克鲁汉森 (Krumhansl) 和施切弗 (Schieffer) 开始研究了孤波的统计力学。 第三阶段 (1973~)，把孤子的概论广泛应用于物理学、生物学、天文学等各个领域。同时，开展高维 孤子的研究，1980 年非线性效应专刊 Physica D 问世，与此同时，光纤中的孤子已在实验中产生出来。此 后的发展更是突飞猛进，文献数不胜数，各种专著及述评琳琅满目，有关专为 h 的 N 个非线性弹簧一个连一个，两端的连着固定边界。当这些弹簧被压缩或伸长 时，他们产 生一个力：
f k ( a2 )
其中， k 是线性弹性系数， a 取正值，它是非线性强弱的度量，支配这晶格运动的动力学方程是：
myitt k ( yi1 2 yi yi1 )[1 a( yi1 yi1 )] ， i 1,2,, N 1, y0 y N 0 yi 是第 i 个质量从它的平衡位置算起的位移， yitt 是 yi 对时间的二次导数。
图 7.1.1
孤立波
他以物理学家的敏锐，注意到这个现象绝非一般水波，因为在一般情况下，人们所观察到的水波总是 由一串具有周期特点的波列组成的。如果把石子投入水面的一个短暂的冲击所激发的圆形圈，不是一个而 是一串，数学上，这可以由一个波动方程来描述， 其解是周期性的波列。 Russell 以不同寻常的敏锐注意到， 他所观察到的那个波，绝对不可能是波动方程的解。随后 Russell 进一步提出，他所碰到的孤立的对象实 际上是流体力学的一个稳定解，他那时已命名为“孤立波” (solitory wave)，可以说孤波现象的发现是“观察 机遇+敏锐思想”的结果。它与冲击波 (其波前有奇异性) 不同，“孤立波”到处正则，没有奇异性，而且它 不扩散，因此同普通的波包不同，后者是要弥散的。10 年之后 (1844) 年，Russell 在浅水槽中做了一些实 验，用多种方法激发，看到了相同的现象。此后，他把毕生大部分精力用确定这种著名波的性质及其实验 上。但是，起初 Russell 的学说并未能成功地使当时的物理学家信服，而是面临着自来当时科学界权威的 反对和怀疑。斯托克斯 (Stokes) 和爱里 (Airy) 都对不改变行波是否能够完全处在水面之上这一点提出疑 问，并且把波幅减小认为是这种波本来就不是永形波的一种标志。罗素正确地认为，这种波幅衰减是由于 摩擦造成的。事实上，斯托克期斯在他的 1849 年的论文中利用正弦波的小振幅展开，证明了唯一的永形 波大体上是正弦状的， 由于非线性项， 对波形 (二次和高次谐波) 和速度 (它变为弱依赖于波幅) 要进行修 正。当然运动方程的一般解是椭圆余弦波 (conoidal wave)，斯托克斯所发现的是这个解的另一种极限情况 (椭圆函数的模趋近于 0，而不是 1) 。后来，斯托克斯打算承认他的错误。当水深和波长的比近似地为 1
第七章
孤子和光孤子概述
7.1
导
言
孤子是能量的一种传播方式，它们以特定的形状和速度传播，在彼此碰撞后仍能保持各自的形状与速 度。孤子的研究最初是从对一些非线性色散的波动方程开始的，比较著名的有：KdV 方程、非线性薛定谔 (NLS) 方程和正弦-高登 (sine-Gordon) 方程等。这些方程得自于等离体中的离子声学波、光脉冲的自陡效 应 (self-steepening) 以及超短脉中在共振介质中的传播等问题。尽管这些问题以及得出的方程极不相同， 但是却有着共同的特点，它们给出的孤子解都可以像粒子那样相互碰撞，它们可以分裂为较小的“碎片”等 等。 在光学中，至少有五种情况可以支持孤立波现象： 1) 自感应透明现象所支持的 sine-Gordon 孤子； 2) 二级非线性效应引起的三波相互作用过程所支持的 Sine-Gordon 孤子； 3) 由三阶非线性效应即克尔 (Kerr) 效应支持的自聚焦空间孤子通道； 4) 非线性波导中，由三阶非线性性效应支持的传输孤子； 5) 周期性结构与腔中的孤子。 在本章里，将对孤子的概念给以介绍，并对上面所提到的三种方程与它们的解给以讨论与解释。并对 简并介质的自感透明理论给以推导，并着重讨论光纤中的孤子。
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罗素在 1844 年《论波动》中，记叙了他在爱丁堡一戈拉斯高运河上的一次经历：那时我正在观看 一只用两匹马拉着的船沿狭窄的河道快速前进，当这只船突然停下来的时候，河道中曾为船只推动的水体 并不停下来，而是聚集在船头周围猛烈地激荡着。忽然，一个孤立的巨大的隆起离船而去，滚滚向前疾驶。 这是滚圆而光滑的一团水，持续地沿河道行进，看不出有明显的减速。我在马背上跟随着它，赶上它每小 时八、九英里的速度，它一直保持着约 30 英尺长，一到一英尺半高的原始形状(图 7.1.1)。最后，它的高 度渐减，我在追逐它一到二英里之后，它在河道的弯曲处消失了．这就是我在 1834 年 8 月间看到那个奇 持而美丽现象的一次机遇……
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的时候 (对于孤波而言，这个比值是小量)，他发现的波 (Stokes 波) 本身是不稳定的，这一点是有某种讽 刺意味。在深水中，他所考虑那类几乎是单色的波列要分裂成一系列的波群。 直到 19 世经 70 年代，罗素的工作才最终被证明是正确的，并且由同行中的佼佼者对它在科学上的重 要性进行评价。直到，鲍辛斯基 (Boussinesq, 1872) 和瑞利 (Lord Rayleigh, 1876) 年发表的论文，发现了 自由表面的双曲正割函数的平方解，才告一段落。事实上，Boussinesq 1972 的论文做的要更多一些，引进 了现代分析所用的许多思想。尤其是，他找到第三守恒定律的守恒密度，一个他称之为不稳定的矩量。他 导出了冠以他的名字的水波近似方程的解。在这个近似中，运动依然是双向的，但是色散和非线性平衡的 基本思想出来了。1895 这个问题留给了考特威格 (Korteweg) 和德伏瑞斯 (de Vries)， 即 60 年之后，考特 威格 (Korteweg) 和德伏瑞斯 (de Vries)导出了著名的 KdV 方程，这是以他们名字的单向传播的方程，他 们显然不知道鲍辛斯基 (Boussinesq) 和瑞利 (Raileigh) 的工作，并仍然企图回答了爱里 (Airy) 和斯托克 斯的异议，解释了 Russell 的浅水波。 与此同时，在 1876~1882 年发现了贝克隆 (Backlund) 变换，成为后来发展孤子理论的重要基础。 第二阶段大致可划为 1955-1975。 1955 年的 FPU 数值模拟实验，这是另一个在表面上看起来毫不相关，但在后来的发展中证明与孤波 现象有着紧密联系的实验。是本世经 50 年代由费米 (Fermie), 帕斯卡 (Pasta) 和乌拉姆 Ulam (FPU)。1955 年所进行的计算机模拟实验。Fermie, Pasta, Ulam 用计算机计算了一维非线性晶格在各个振动模之间的转 换，发现在时间足够长时能量又回到了开始的分布，这与经典理论是背道而驰的，即：只要有非线性效应 存在，能量就会均会，各态经历的现象就会出现。或者说，任何微弱的非线性作用，可导致系统由非平衡 态向平衡态过渡。由于 FPU 问题是在频域考察的，因此未能发出孤波解。后来，托戴 (Toda) 研究了这种 模的非线性振动，得到了孤波解，使 FPU 问题得到正解的解答，从而激发起人们对孤立波的研究兴趣。 感兴趣的问题是：为什么固体有有限的热传导率？固体采用一维晶格模型，即一组由弹簧连接在一起 的质量，1914 年，德拜 (Debye) 认为晶格的热传导其有限性是由于弹簧中的非线性力的非谐性引起的。 有效热传导率是无穷大； 如果这个力是线性的 (胡克定律) ， 能量由独立的基本 (或简正) 模无阻碍地传输， 不需要温度梯度去推动热量从晶格的一端传到晶格的另一端，不能得出扩散方程。德拜想像，如果晶格是 弱非线性的，(从线性弹簧计算出来的) 简正模由于非线性效应发生相互作用，因而阻碍了能量的传播，大 量的这种非线性相互作用 (声子碰撞) 的净效应将体现在具有有限输运系数的扩散方程之中。他们主张， 使所有能量都处在最低模或者在开头几个最低模的光滑初始状态，由于非线性耦合效应，最后终将驰豫到 统计平衡状态。在那种状态下，能量将在平均意义上均匀分布于各个模。于是弛豫时间是扩散系数的一种 度量。 被 FPU 用来描述他们的长为 L 的一维晶体的模型，是由一排 N-1 个完全相的质量 m 组成的，它们之
m1 , m2 是互质的整数，则初始状态将近似地在时间
2m2
2
之后回归)．但是，这是怎样发生的呢?为什么非
线性不激励所有的傅里叶模呢? 在恰当的坐标中考察时，系统等价于一组离散的谐振子，答案果真是这样 的吗? 令人欣慰的是，FPU 实验的令人费解的结果并没有被所有的人所忽视。普林斯顿大学的两位应用数学 家克鲁斯克尔 (Martin Kruskal) 和赞巴斯基 (Norman Zabusky) 抓住时机。他们准备把反常现象弄明白。 在此过程中，他们发现了孤子和一个奇妙的非线性行为的新世界。今天，这些非线性行为已经吸引了无数 物理学家的创造力，丰富了以前发现的许多数学构造，并赋予它新的生命。 1962 年，佩里 (Perring) 和斯克尔米 (Skyrme) 将 sine-Gordon 方程用于基本粒子研究； 1965 年，赞巴斯基 (Zabusky) 和克鲁斯克尔 (Kruskal) 命名 Soliton；这通常认为是孤子发现的标志。 1967 年， Gardner, Greene, Kruskal 和 Miura 发明了求解 KdV 方程的逆散射方法， 同年， 麦考尔 (McCall) 和汉姆 (Hahm) 做出了激光自感应透明的孤子实验， 1973 年，斯科特 (Scott) ，邱 (Chu) ，麦劳伦