图论算法总结及图论建模
数学建模图论
图论一．最短路问题问题描述：寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。
最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。
将问题抽象为赋权有向图或无向图G ，边上的权均非负 对每个顶点定义两个标记（()l v ，()z v ），其中：()l v ：表示从顶点到v 的一条路的权 ()z v ：v 的父亲点，用以确定最短路的路线S ：具有永久标号的顶点集1.1Dijkstra 算法：即在每一步改进这两个标记，使最终()l v 为最短路的权 输入：G 的带权邻接矩阵(,)w u v 步骤：（1） 赋初值：令0()0l u =，对0v u ≠，令()l v =∞，0={u }S ，0i =。
（2） 对每个(\)i i i v S S V S ∈=（即不属于上面S 集合的点），用min{(),()()}iu S l v l u w uv ∈+代替()l v ，这里()w uv 表示顶点u 和v 之间边的权值。
计算min{()}iu S l v ∈，把达到这个最小值的一个顶点记为1i u +，令11{}i i i S S u ++=⋃。
（3） 若1i V =-，则停止；若1i V <-，则用1i +代替i ，转（2）算法结束时，从0u 到各顶点v 的距离由v 的最后一次编号()l v 给出。
在v 进入i S 之前的编号()l v 叫T 标号，v 进入i S 之后的编号()l v 叫P 标号。
算法就是不断修改各顶点的T 标号，直至获得P 标号。
若在算法运行过程中，将每一顶点获得P 标号所由来的边在图上标明，则算法结束时，0u 至各顶点的最短路也在图上标示出来了。
理解：贪心算法。
选定初始点放在一个集合里，此时权值为0初始点搜索下一个相连接点，将所有相连接的点中离初始点最近的点纳入初始点所在的集合，并更新权值。
然后以新纳入的点为起点继续搜索，直到所有的点遍历。
图论期末总结
图论期末总结一、引言图论是一门研究图和网络结构的数学学科。
图论不仅在数学领域中有着广泛的应用，而且在计算机科学、物理学、化学、生物学等交叉学科中也扮演着重要的角色。
在本学期的图论课程中，我系统地学习了图论的基本概念、算法和应用，对图论的知识有了更深入的理解和认识。
在本文中，我将对本学期学习的图论知识进行总结和归纳。
二、基本概念1. 图的定义与表示：图是由一组顶点和一组边组成的数学模型。
在图中，顶点表示图中的实体，边表示顶点之间的关系。
图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
2. 图的类型：图可以分为有向图和无向图、加权图和非加权图、简单图和多重图等。
有向图的边具有方向性，无向图的边没有方向性。
加权图的边带有权重，非加权图的边没有权重。
简单图没有自环和平行边，多重图可以有自环和平行边。
3. 图的基本术语：顶点的度数是指与该顶点相关联的边的数量。
入度是有向图中指向该顶点的边的数量，出度是有向图中从该顶点发出的边的数量。
路径是由边连接的一系列顶点，路径的长度是指路径上边的数量。
连通图是指从一个顶点到任意其他顶点都存在路径。
三、图的算法1. 图的遍历算法：深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是两种常用的图遍历算法。
DFS从一个顶点出发，探索所有可能的路径，直到无法继续深入为止。
BFS从一个顶点开始，逐层探索图中的其他顶点，直到所有顶点都被访问过为止。
2. 最短路径算法：最短路径算法用来计算图中两个顶点之间的最短路径。
迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法是两种常用的最短路径算法。
迪杰斯特拉算法适用于没有负权边的图，通过每次选择到某个顶点的最短路径来逐步扩展最短路径树。
弗洛伊德算法适用于有负权边的图，通过每次更新两个顶点之间的最短路径来逐步求解最短路径。
3. 最小生成树算法：最小生成树算法用于找到连接图中所有顶点的最小代价树。
克鲁斯卡尔算法和普林姆算法是两种常用的最小生成树算法。
克鲁斯卡尔算法通过每次选择代价最小的边来逐步扩展最小生成树。
图论算法总结及图论建模
else if (v in S)
// 如果节点v还在栈内
Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
if (DFN[u] == Low[u])
// 如果节点u是强连通分量的根
repeat
v = S.pop
// 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
print v
until (u== v)
}
算法演示
边的分类
一条边(u, v)可以按如下规则分类
• 树边(Tree Edges, T): v通过边(u, v)发现 • 后向边(Back Edges, B): u是v的后代 • 前向边(Forward Edges, F): v是u的后代 • 交叉边(Cross Edges, C): 其他边，可以连接同一个DFS树中没
1. 2. procedure tarjan(u:longint); var p:node; v:longint; begin f[u]:=false;inc(top);stack[top]:=u; instack[u]:=true;p:=head[u]; inc(time);dfn[u]:=time;low[u]:=time; while p^.key<>u do begin v:=p^.key; if f[v] then begin tarjan(v); low[u]:=min(low[u],low[v]);
tarjan(j); if (LOW[j]<LOW[i])
LOW[i]=LOW[j]; } else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])
LOW[i]=DFN[j]; }
if (DFN[i]==LOW[i]){ Bcnt++; do { j=Stap[Stop--]; instack[j]=false; Belong[j]=Bcnt; } while (j!=i);
数学建模-图论模型及算法
问题二：若巡视人员要在乡停留T=2小时，村停留t=1小时，汽车时 速V=35公里/小时，那么至少分几组能在24小时内走完？并找出最佳巡 视路线。
乡镇、村的公路网示意图
问题分析
根据53组数据我们得到它的邻接矩阵，利用Kruskal算法用Matlab编 程处理后得到加权网络图的最小生成树。
例1 最短路问题（SPP－shortest path problem）
一名货车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运 往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车 路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货车的运行速度是 恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的 最短路。
例2 公路连接问题
最小生成树的Kruskal算法： function [T c]=krusf(d,flag) if nargin==1
n=size(d,2); m=sum(sum(d~=0))/2; b=zeros(3,m); k=1; for i=1:n
for j=(i+1):n if d(i,j)~=0 b(1,k)=i;b(2,k)=j; b(3,k)=d(i,j); k=k+1; end
求最小生成树问题有很广泛的实际应用. 例如, 把n个乡镇 用高压电缆连接起来建立一个电网, 使所用的电缆长度之和最 短, 即费用最小, 就是一个求最小生成树问题.
最小生成树算法—Kruskal算法
• 思想：将图中所有边按权值从大到小排列，依次选所剩最 小的边加入边集T，只要不和前面加入的边构成回路，直到 T中有n-1条边，则T是最小生成树。
A
0 1 1
0 0 0
数学建模图论模型
任意两点均有通路的图称为连通图。
连通而无圈的图称为树，常用T=<V,E>表示树。
若图G’是图 G 的生成子图，且G’又是一棵树， 则称G’是图G 的生成树。
例 Ramsey问题
图1
图2
并且常记: V = v1, v2, … , vn, |V | = n ; E = {e1, e2, … , em}ek=vivj , |E | = m
称点vi , vj为边vivj的端点 在有向图中, 称点vi , vj分别为边vivj的 始点和终点. 该图称为n,m图
8
对于一个图G = V, E , 人们常用图形来表示它, 称其 为图解 凡是有向边, 在图解上都用箭头标明其方向.
4、P'代替P,T'代替T,重复步骤2,3
定理2 设 T为V的子集，P=V-T，设 (1)对P中的任一点p,存在一条从a到p的最短路径,这条路径仅有P中的
点构成, (2)对于每一点t,它关于P的指标为l(t),令x为最小指标所在的点, 即:
l(x)mli(tn )} t{ ,T
(3)令P’=P Ux,T’=T-{x},l’(t)表示T'中结点t关于P'的指标,则
解：用四维01向量表示人,狼,羊,菜例在过河西河岸问的题状态(在
岸则分量取1;否则取0)，共有24 =16 种状态; 在河东岸 态类似记作。
由题设，状态(0,1,1,0)，(0,0,1,1)，(0,1,1,1)是不允许的
其对应状态：(1,0,0,1)， (1,1,0,0)，(1,0,0,0)也是不允许
数学建模中的图论方法
数学建模中的图论方法一、前言我们知道，数学建模比赛中有问题A和问题B。
一般而言，问题A是连续系统中的问题，问题B是失散系统中的问题。
因为我们在大学数学教育内容中，连续系统方面的知识的比率较大，而离散数学比率较小。
所以好多人有这样的感觉，A题下手快，而B题不好下手。
其他，在有限元素的失散系统中，相应的数学模型又可以区分为两类，一类是存在有效算法的所谓P类问题，即多项式时间内可以解决的问题。
但是这种问题在MCM中特别少见，事实上，由于比赛是开卷的，参照有关文件，使用现成的算法解决一个P类问题，不可以显示参赛者的建模及解决实诘问题能力之大小；还有一类所谓的NP问题，这种问题每一个都还没有成立有效的算法，或许真的就不行能有有效算法来解决。
命题经常以这种NPC问题为数学背景，找一个详细的实质模型来考验参赛者。
这样增添了成立数学模型的难度。
但是这也其实不是说没法求解。
一般来说，因为问题是详细的实例，我们可以找到特其他解法，或许可以给出一个近似解。
图论作为失散数学的一个重要分支，在工程技术、自然科学和经济管理中的好多方面都能供给有力的数学模型来解决实诘问题，所以吸引了好多研究人员去研究图论中的方法和算法。
应当说，我们对图论中的经典例子或多或少仍是有一些认识的，比方，哥尼斯堡七桥问题、中国邮递员问题、四色定理等等。
图论方法已经成为数学模型中的重要方法。
好多灾题因为归纳为图论问题被奇妙地解决。
并且，从历年的数学建模比赛看，出现图论模型的频次极大，比方：AMCM90B－扫雪问题；AMCM91B－找寻最优Steiner树；AMCM92B－紧迫修复系统的研制(最小生成树)AMCM94B－计算机传输数据的最小时间(边染色问题)CMCM93B－足球队排名(特点向量法)CMCM94B－锁具装箱问题(最大独立极点集、最小覆盖等用来证明最优性)CMCM98B－灾情巡视路线(最优回路)等等。
这里面都直接或是间接用到图论方面的知识。
数学建模中的图论算法及其应用研究
数学建模中的图论算法及其应用研究引言：数学建模是指利用数学方法和技巧对实际问题进行分析、抽象、描述、求解和预测的一种研究方法。
图论作为数学建模中的重要工具之一，被广泛应用于各个领域，如网络分析、交通规划、社交网络等。
本文将介绍数学建模中常用的图论算法，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、图论基础知识1.1 图的概念图是由一些点和连接这些点的边组成的集合。
点表示图中的实体或对象，边表示实体之间的关系。
图包含了很多重要的信息，例如节点的度、连通性等。
1.2 图的表示方法图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
邻接矩阵是一个二维矩阵，其中的元素表示节点之间是否相连。
邻接表是一个由链表构成的数组，数组的每个元素表示一个节点，每个节点的链表存储了与该节点相连的节点列表。
二、图的遍历算法2.1 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于图的遍历的算法。
从一个节点出发，递归地访问它的相邻节点，直到所有可达的节点都被访问过为止。
DFS可以用于寻找连通分量、路径搜索等问题。
2.2 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索是另一种图的遍历算法。
从一个节点出发，依次访问它的相邻节点，然后再依次访问相邻节点的相邻节点。
BFS可以用于寻找最短路径、网络分析等问题。
三、最短路径算法3.1 Dijkstra算法Dijkstra算法用于寻找图中两个节点之间的最短路径。
它基于贪心策略，从起点开始逐步扩展最短路径，直到到达终点或无法扩展为止。
Dijkstra算法在交通网络规划、电力网络优化等领域有广泛应用。
3.2 Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法用于寻找图中所有节点之间的最短路径。
它通过动态规划的思想，逐步更新每对节点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法在地理信息系统、通信网络等领域有重要应用。
四、最小生成树算法4.1 Prim算法Prim算法用于寻找连通图的最小生成树。
它从一个起始节点开始，逐步选择与当前生成树距离最近的节点，并将其加入最小生成树中。
图论建模方法
• 称图G与图H同构.记为G= H.如果存在V (G)与V(H)的一一对应.同时存 在E(G)与E(H)的一一对应.且保持顶点与边的关联关系不变.例如.在图 10. 3中·图G与图H同构.同构的图可看成同一个图.只是顶点与边的标 号可能不同而已.
• 定义10. 3在无向图中.与顶点v关联的边的数目(环算两次)称为v的度. 记为dG (v).简记为d (v).对有向图.顶点v少的出关联边数称为出度.记 为dG' (v)或d' (v).人关联边数称为入度.记dG (v)或d(v).显然
• 我们可用定义或图形表示一个图.但注意到图的关联关系和邻接关系. 还可以用矩阵来表示一个图.从而更有利于计算机处理.
• 定义10. 5设G是(n.m)图·则以矩阵A = (aij) nx m表G的关联矩阵.其 中
• 以H=(hij )nx n表T邻接矩阵.其中hij为以顶点vi和vj为端点的边数(i,j =1.2...…n).
• 有n个顶点m条边的图称为(n,m)图.(n,0)图叫零图.特别地.(0,0)图叫空 图.(1 ,0)图叫平凡图.没有环与平行边的图称为简单图.任意两顶点都相 邻的简单图称为完全图.有n个顶点的完全图记为Kn.若V(G)能分解为 V1与V2,使得
图论算法介绍
if （a[i,k]=1）and (a[k,j]=1) then a[i,j]=1 (a[i,j]=1表示i可达j，a[i,j]=0表示i不可达j）。
var
link，longlink：array[1..20，1..20] of boolean；{ 无向图和无向图的传递闭包。其
中
l o n g l i n k[i,
例如：公路交通图，边以距离w为权。
例
2
2
1
3
1
3
有向完全图 例
245
无向完全图 5
1
例 1
3
6
图与子图
57
32
46
G2
顶点5的度：3 顶点2的度：4
3
6
例 245
1
3
6
G1
顶点2入度：1 出度：3 顶点4入度：1 出度：0
例
路径：1，2，3，5，6，3 路径长度：5
245
简单路径：1，2，3，5
❖ 图 G = (V, E)
V = 顶点集 E = 边集 = V V的子集
结点集V＝｛a， b， c， d｝ 边集E＝｛e1， e2， e3， e4， e5｝ 其中e1＝（a， b）， e2＝（a， c），
e3＝（a， d）， e4＝（b， c）， e5＝（c， d）。
(一)、计算无向图的传递闭包
v1→v2→v4→v8→v5 →v3→v6→v7
算法结构:
调用一次dfs(i)， 可按深度优先搜索 的顺序访问处理结 点i所在的连通分 支（或强连通分 支），dfs(i)的时 间复杂度为W(n2)。 整个图按深度优先 搜索顺序遍历的过 程如下：
显然，为了避免重复访问同一个顶点，必须 记住每个顶点是否被访问过。为此，可设置 一个布尔向量visited[1..n],它的初值为 false，一旦访问了顶点vi，便将visited[i] 置为ture。 图的深度优先搜索是一个递归过程，可以使 用栈来存储那些暂时不访问的邻接点.类似于 树的前序遍历，它的特点是尽可能先对纵深 方向进行搜索，故称之深度优先搜索。
10数模-图论方法
v1
e1 e2 e3 e4 e5
0 1 1 1 0 0
1
0
0
1
0
0
v2
v3
0 0 0 0 0e7 e9 v5
v4
0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
e8
v6 A ( D ) 一 般 不 是 对 称 矩 阵
D ( V 20, 21E /8/2) , V { v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 , v 6 } , E { e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6 , e 7 , e 8 8, e 9 }
链、迹、路、回、圈
链 ( c h a i n ) 或 途 径 ( w a l k ) ： 图 中 顶 点 和 边 交 替 出 现 的 序 列 链 的 长 度 ( le n g th ) ： 链 中 边 的 个 数
迹 ( tr a il) ： 边 不 重 复 的 链 称 为 迹
路 ( p a t h ) ： 顶 点 不 重 复 的 链 称 为 路 或 轨
2021/8/2
16
图的匹配，完备匹配
图 G 的 一 个 匹 配 ： G 的 一 个 边 的 集 合 ， 其 中 任 意 两 条 边 无 公 共 顶 点 。 图 G 的 完 备 匹 配 ： G 的 一 个 匹 配 ， 其 中 边 的 顶 点 包 括 了 图 G 的 所 有 顶 点
2021/8/2
1
数学建模中的图论方法
一、图论基本概念 二、算法的概念 三、图论问题及其算法列举
四、图论常用算法简介
参考资料：《数学实验》 重庆大学数学系编 科学出版社2000年出版
2021/8/2
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边的分类
▪ 一条边(u, v)可以按如下规则分类
• 树边(Tree Edges, T): v通过边(u, v)发现 • 后向边(Back Edges, B): u是v的后代 • 前向边(Forward Edges, F): v是u的后代 • 交叉边(Cross Edges, C): 其他边，可以连示方法：邻接矩阵与邻接表 ▪ V*V的二维数组A，A[i][j]=0,若(i,j)不相连，A[i][j]=1,若(i,j)相连
▪ 图1
▪ 图1的邻接矩阵表示
邻接矩阵
▪ 无向图的邻接矩阵是对称的 ▪ 优点：查找/删除某条边是O(1)的 ▪ 缺点
• 遍历某一点的邻居是O(V)的 • 空间复杂度很大，O(V*V)
深度优先遍历(DFS)
▪ 初始化: time为0, 所有点为白色, dfs森林为空 ▪ 对每个白色点u执行一次DFS-VISIT(u) ▪ 时间复杂度为O(n+m)
DFS树的性质
▪ 括号结构性质
▪ 对于任意结点对(u, v), 考虑区间[d[u], f[u]]和[d[v], f[v]], 以下三个性质恰有一个成立:
图论算法总结
图的基本概念
图的基本概念
▪ 二元组 G(V,E) 称为图(graph)。 V为结点(node)或顶点(vertex)集。 E为图中结点之间的边的集合。
▪ 点，用数字0…n-1表示 ▪ 点对 (u,v) 称为边(edge)或称弧(arc) ▪ 对于边 (u,v)∈E
-u和v邻接(adjacent) -e和u、v关联(incident)
▪ 非连通图有多个连通分量(connected component, cc), 每个连通分 量是一个极大连通子图(maximal connected subgraph)
完全图和补图
▪ 完全图:N个顶点的图，有N(N-1)/2个节点 ▪ 对于(u,v), 若邻接则改为非邻接, 若非邻接则改为邻接, 得到的图
邻接表
▪ 每个结点的邻居形成一个链表
▪ 图2
▪ 图2的邻接表表示
邻接表
▪ 优点
• 快速遍历某点所有邻居 • 占用存储空间小，是O（边数）的，在稀疏图上的效率远胜
邻接表
▪ 缺点：查找/删除边不是常数时间
图的遍历算法
一、宽度优先遍历(BFS) 二、深度优先遍历(DFS)
宽度优先遍历(BFS)
▪ 给定图G和一个源点s, 宽度优先遍历按照从近到远的顺序考虑各条 边. 算法求出从s到各点的距离
更严格地
-任意点都不相同的叫严格不相交路(vertex-disjoint path) -同理定义边不相交(edge-disjoint path)路
▪ 注意: 汉语中圈和环经常混用(包括一些固定术语). 由于一般不讨 论自环(self-loop), 所以以后假设二者等价而不会引起混淆
连通性
▪ 如果任意两点都有路径, 则称图是连通(connected)的, 否则称图是 非连通的.
Input 345 32 22 31 23 11
Output 4
样例解释 #... .##. ##..
深度优先遍历(DFS)
▪ 新发现的结点先扩展 ▪ 得到的可能不是一棵树而是森林, 即深度优先森林(Depth-first
forest) ▪ 特别之处: 引入时间戳(timestamp) ▪ 发现时间d[v]: 变灰的时间 ▪ 结束时间f[v]: 变黑的时间 ▪ 1<=d[v] < f[v] <= 2|V|
▪ 整棵树的根为s
Avoid The Lakes （NOI题库2405）
▪ 题目大意：
▪ 给出N*M个格子，给出K个已经被淹没的格子，其他格子都是 干的，求最大的湖的面积（一个格子的面积视为1），如果两个 湿的格子四联通（上下左右），则视为这两个格子同属于一个湖
▪ 输入格式： ▪ 第一行N，M，K ▪ 接下来K个格子的坐标
▪ 子图(subgraph): 边的子集和相关联的点集
图的基本概念
▪ 有向图：边都是单向(unidirectional)的, 因此边(u,v)是有序数对. 有时用弧(arc)专指有向边
▪ 带权图：可以给边加权(weight), 成为带权图, 或加权图(weighted graph). 权通常代表费用、距离等, 可以是正数, 也可以是负数
▪ 宽度优先的过程对结点着色.
• 白色: 没有考虑过的点 • 黑色: 已经完全考虑过的点 • 灰色: 发现过, 但没有处理过, 是遍历边界
▪ 依次处理每个灰色结点u, 对于邻接边(u, v), 把v着成灰色并加入树 中, 在树中u是v的父亲(parent)或称前驱(predecessor). 距离d[v] = d[u] + 1
为原图的补图 ▪ 完全图=原图∪补图 ▪ 团：完全子图
生成树
▪ 树：N个点，N-1条边的连通图（无环连通图） ▪ 生成树: 包含某图G所有点的树 ▪ 一个图G是树当且仅当以下任意一个条件成立
• G有V-1条边, 无圈 • G有V-1条边, 连通 • 任意两点只有唯一的简单路径 • G连通, 但任意删除一条边后不连通
• 完全分离 • u的区间完全包含在v的区间内, 则在dfs树上u是v的后代 • v的区间完全包含在u的区间内, 则在dfs树上v是u的后代
DFS树的性质
▪ 定理(嵌套区间定理): ▪ 在DFS森林中v是u的后代当且仅当d[u]<d[v]<f[v]<f[u],
即区间包含关系. 由区间性质立即得到.
▪ 稠密性：边和V(V-1)/2相比非常少的称为稀疏图(sparse graph), 它的补图为稠密图(dense graph)
路径和圈
▪ 一条路径(path)是一个结点序列, 路上的相邻结点在图上是邻接的 ▪ 如果结点和边都不重复出现, 则称为简单路径(simple path). 如果
除了起点和终点相同外没有重复顶点和边, 称为圈(cycle). ▪ 不相交路(disjoint path)表示没有除了起点和终点没有公共点的路.
有后代关系的两个结点, 也可以连接不同DFS树中的结点
▪ 判断后代关系可以借助定理1
边分类算法
▪ 当(u, v)第一次被遍历, 考虑v的颜色