基本不等式的几种基本形式
基本不等式题型20种
基本不等式题型20种不等式是数学中重要的概念，它描述了数之间的大小关系。
在解决实际问题和推导数学推论中，不等式起着非常重要的作用。
本文将介绍20种常见的基本不等式题型。
一、一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式类型。
例如：解不等式3x+4>10。
解：首先将不等式转化为等式：3x+4=10；然后解方程：3x=6；得到解：x=2。
二、一元二次不等式一元二次不等式是一元二次函数的不等式形式。
例如：解不等式x^2-5x+6>0。
解：首先求出一元二次函数的根：(x-2)(x-3)>0；然后画出函数的图像或根据韦达定理判断函数的正负；得到解：x<2或x>3。
三、绝对值不等式绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式。
例如：解不等式|2x-3|≥5。
解：将含有绝对值的不等式拆分为两个不等式：2x-3≥5或2x-3≤-5；然后求解这两个不等式得到：x≥4或x≤-1。
四、分式不等式分式不等式是含有分式的不等式。
例如：解不等式(3x-2)/(2x+1)≤1。
解：首先将不等式化简：3x-2≤2x+1；然后解方程：x≤3。
五、根式不等式根式不等式是含有根式的不等式。
例如：解不等式√(x-4)≥2。
解：将不等式平方得：x-4≥4；然后解方程：x≥8。
六、乘法不等式乘法不等式是含有乘法的不等式。
例如：解不等式2x(x-1)≤0。
解：将不等式化简：2x(x-1)≤0；然后求解这个不等式得到：0≤x≤1。
七、除法不等式除法不等式是含有除法的不等式。
例如：解不等式(3x+6)/(x+2)≤4。
解：首先将不等式转化为等式：(3x+6)/(x+2)=4；然后解方程：x=-5；由于分母不能为0，所以解为x<-2或x>-5。
八、加法不等式加法不等式是含有加法的不等式。
例如：解不等式x+2>5。
解：将不等式化简：x>3。
九、减法不等式减法不等式是含有减法的不等式。
例如：解不等式2x-5≥1。
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式完整版
基本不等式完整版一、知识点总结1.基本不等式原始形式：若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$。
2.基本不等式一般形式（均值不等式）：若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$。
3.基本不等式的两个重要变形：1）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
2）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5.常用结论：1）若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）。
2）若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）。
3）若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。
4）若 $a,b>0$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq \frac{a^2+b^2}{2}$。
5）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{1}{a+b}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\leq\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6.柯西不等式：1）若 $a,b,c,d\in\mathbb{R}$，则$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (ac+bd)^2$。
初等函数基本不等式
初等函数基本不等式以《初等函数基本不等式》为标题，写一篇3000字的中文文章初等函数基本不等式是数学中的基本不等式，涵盖了初等函数及其基本性质，对于许多研究和应用都有着非常重要的意义。
在本文中，我们将重点介绍初等函数基本不等式的形式、历史发展以及在各种应用领域中的表现。
首先，我们介绍初等函数基本不等式的形式。
它是一个比较常见的数学不等式，可以简写为f(x) g(x)或f(x) g(x)，又称为初等不等式。
它可以用来描述数学对象之间的关系，并为其它定理推导提供了依据。
它的实际形式可以是以下几种：1.和不等式：f(x) =aixiaiyi2.分不等式：f(x) =f(x) dxg(x) dx3.量不等式：f(x) = ||f|| ||g||4.函数不等式：f(x) g(x)，其中f(x)是凸函数初等函数基本不等式的发展历史可以追溯到古希腊的数学思想，此时此刻，不等式已经成为数学领域中一种基本概念。
古希腊数学家凯撒若连乌斯（Caesar Eureelius）曾将不等式应用到特殊几何体，他也是初等函数基本不等式的创始人之一。
17世纪，英国数学家约翰汉普顿（John Hampton）将不等式应用到差分方程组中，成为初等函数的第一位开拓者。
随后，法国数学家弗朗西斯得拉克（Francois de Laplace）和英国数学家大卫拉森（David Ranson）也先后推出了自己的初等函数基本不等式理论。
初等函数基本不等式有着丰富的应用范围，主要表现在以下几个方面：1. 优化问题：初等函数基本不等式可以用来解决优化问题，如最小值与最大值求解，极限求解等。
2.数不变性：初等函数基本不等式可以保证函数的不变性，即函数的变化不会影响其他变量的变化。
3.微分方程的解法：初等函数基本不等式可以用于求解偏微分方程，特别是热传导方程的求解。
4.分几何中的应用：初等函数基本不等式在微分几何中也有着重要的作用，它可以用来研究几何图像与函数之间的关系。
基本不等式变式
基本不等式变式
基本不等式是一个数学命题，用来描述数之间的大小关系。
它由数学家喀斯提在19世纪初提出。
基本不等式有以下三种常见的变式：
1. 加减不等式：若a > b，则a + c > b + c，a - c > b - c。
这意味着若两个数的大小关系已知，将它们分别加上或减去相同的数，不等关系将得到保持。
2. 积不等式：若a > b且c > 0，则ac > bc；若a > b且c < 0，则ac < bc。
这表示当一个正数乘以一个大于它的数时，不等关系将得到保持；同样地，当一个负数乘以一个小于它的数时，不等关系也将得到保持。
3. 商不等式：若a > b且c > 0，则a/c > b/c；若a > b且c < 0，则a/c < b/c。
这指出当一个正数除以一个小于它的数时，不等关系将得到保持；同样地，当一个负数除以一个大于它的数时，不等关系也将得到保持。
基本不等式的变式被广泛应用于数学和科学等领域，能够帮助我们推导和解决各种数学问题。
基本不等式四个式子
基本不等式四个式子说到数学，很多人都直接想起了那些看起来非常抽象、枯燥的公式。
你知道的，像什么勾股定理、积分公式啥的，感觉就像数学老师一说，就有种要考的味道扑面而来。
不过，你要说基本不等式，嘿，别急，听我慢慢道来，这可不是什么难啃的骨头。
想当初，我也是对这些公式一脸懵，觉得自己肯定是学不懂了，毕竟数学这事儿，大家都知道一头雾水是常态。
但说来也奇怪，随着对这些不等式的了解，竟然渐渐地上手了，反而觉得挺有意思的。
今天咱就来聊聊这些基本不等式，看看怎么通过这些“门槛式”的数学知识，给我们的生活增添点不一样的色彩。
首先得说，不等式四个式子其实就是一些看起来挺简单，但其实大有玄机的数学关系。
别看它们名字这么“严肃”，一旦你掌握了它们，绝对会觉得，“哎呀，原来这么简单嘛！”比如说，大家应该听过“柯西不等式”，它告诉我们：两个数的平方和，永远大于等于它们的乘积。
嘿，这是不是有点类似我们日常生活中的道理？有时候你花再多心思、用再多精力去做一件事，结果往往也不如你偶然的一点灵感或者直觉来的高效。
是不是有点“努力不一定成功，但不努力肯定失败”这种味道？再说了，这柯西不等式可是大有用处的哦，数学家们用它来证明了好多看似不可能的定理。
在咱们日常生活中，它简直是活跃在各个领域的“小帮手”。
你想啊，数学界有个问题叫做“最优化问题”，就是要找到最好的方案。
你要知道，这个问题可是难住了无数人，很多大佬都被它折腾了好久。
你看这不等式一出来，它就成了打破僵局的“秘密武器”。
是不是有点像你和你的朋友一起吃火锅，火锅底料虽然辣，但也总能找到平衡，大家都能吃得刚刚好。
是不是很形象？不过，话说回来，咱们还得提提“赫尔德不等式”。
这个不等式啊，说起来就有点儿“老辣”了，它有点像我们街头巷尾的“老炮儿”——看似不起眼，但往往一出手，就把复杂的事儿给办得溜得不行。
它其实就是对两个向量进行约束，换句话说，就是给我们一个数学领域里的“限速条”。
你可以把它理解成，一旦你在做某件事情的时候，限制了自己的某些操作，可能最后能事半功倍。
高中6个基本不等式的公式
高中6个基本不等式的公式高中6个基本不等式的公式总的来说，高中数学中的6个基本不等式公式是：(一)、二次不等式：ax²+bx+c>0；(二)、三角不等式：sinα+cosα>1；(三)、平方和不等式：a²+b²>2ab；(四)、指数不等式：an>bn；(五)、对数不等式：lnA<lnB；(六)、比较不等式：a>b。
一、二次不等式所谓的二次不等式，指的是形如ax²+bx+c>0的不等式结构，它是十分重要的，用来描述我们一类由双曲线组成的函数。
双曲线函数是一类非线性函数，受到各种外部因素的作用不会改变函数的存在形式，尽管其具体的参数可能会发生变化。
二、三角不等式三角不等式是一类与三角学相关的不等式，它们非常重要，有助于我们正确推理出三角形的其他特征。
其中最为重要的是sinα+cosα>1，这个不等式说明了在三角形内，任意一个角的正弦值是小于它的余弦值的，而它们的和则要大于1.三、平方和不等式平方和不等式有助于我们正确推断出空间里的形状的特性，它的形式如a²+b²>2ab，它推断了如果有两个边的长度为a和b，其和的平方要大于两者的乘积，也就是说任何一个正方形都有其两条边之和要大于两边乘积的特性。
四、指数不等式指数不等式是一类非常重要的数学不等式，它们由an>bn构成，例如4²>2³，这种不等式用来推断出当前指数的大小的变化，即指数不等式可以用来推断出更大的数值要比较小的数值大。
五、对数不等式对数不等式是由lnA<lnB构成的一类逆函数，即任何一个大于0的数值，当它们取反数之后所得到的值都是小于0的，但是它们仍然可以用来推断出比较大小的特性。
六、比较不等式比较不等式是一类用来推断出大小的不等式，它们最为重要的形式就是a>b，它们能够用来快速准确的推断出大数比小数大的情况，不需要拆分细节就可以迅速的把握出其大小之间的差异。
基本不等式(共43张)ppt课件
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
基本不等式公式大全
基本不等式公式大全基本不等式是数学中非常重要的概念，它在数学推导和解题过程中起着至关重要的作用。
本文将对基本不等式的相关公式进行全面的介绍和总结，希望能够对读者有所帮助。
1. 一元一次不等式。
一元一次不等式是最简单的不等式形式，一般表示为ax+b>0或ax+b<0，其中a和b为实数，且a≠0。
解一元一次不等式的关键在于求出不等式的解集，常用的方法有图解法和代入法。
2. 一元二次不等式。
一元二次不等式是一元二次方程不等式，一般表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其中a、b和c为实数，且a≠0。
解一元二次不等式的关键在于求出不等式的解集，常用的方法有配方法、图解法和代入法。
3. 绝对值不等式。
绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式，一般表示为|ax+b|>c或|ax+b|<c，其中a、b和c为实数，且a≠0。
解绝对值不等式的关键在于将绝对值不等式转化为对应的复合不等式，并求出不等式的解集。
4. 分式不等式。
分式不等式是含有分式的不等式，一般表示为f(x)>0或f(x)<0，其中f(x)为有理函数。
解分式不等式的关键在于求出不等式的定义域和分子分母的符号，然后根据符号表确定不等式的解集。
5. 复合不等式。
复合不等式是由多个不等式组合而成的不等式，一般表示为f(g(x))>0或f(g(x))<0，其中f(x)和g(x)为函数。
解复合不等式的关键在于将复合不等式转化为对应的简单不等式，并求出不等式的解集。
以上是关于基本不等式的相关公式和解题方法的介绍，希望能够对读者有所帮助。
在实际应用中，不等式是数学建模和优化问题中的重要工具，掌握不等式的相关知识对于解决实际问题具有重要意义。
希望读者能够通过学习和实践，更加熟练地运用不等式解决实际问题，提高数学解题能力。
三元基本不等式
三元基本不等式三元基本不等式是一类数学描述，它将三个非负实数组成一个差分不等式。
它在一定程度上体现了一种不等式分析规律，这种不等式分析规律对多种数学问题都很有帮助。
三元基本不等式的形式是：① ax + by + cz ≥ 0② ax + by + cz ≤ 0③ ax + by + cz ≠ 0其中，a、b、c是非负实数，x、y、z是任意实数。
三元基本不等式具有如下有用的性质：1.交换律：ax + by + cz 的大小，无论x、y、z的顺序如何排列都不会变化；2.合取规则：当a≥0、b≥0时，ax + by + cz ≥ 0 或ax + by + cz ≤ 0；3.析取规则：当a<0、b<0时，ax + by + cz ≠ 0；4.复合规则：当abc≠0、ax + by + cz ≥ 0或ax + by + cz ≤ 0时，x、y、z的顺序不会影响ax + by + cz的结果；5.结合规则：当abc≠0、ax + by + cz ≠ 0时，x、y、z的顺序会影响ax + by + cz的结果；三元基本不等式在数学中有很多应用，主要有以下几个方面：1. 应用于渐近线方向问题：可以将渐近线方向问题转换成三元基本不等式，从而求解最优解；2. 应用于凸包问题：可以将凸包问题转换成多元不等式，结合三元基本不等式求解最优解；3. 应用于最小凸多面体问题：可以将最小凸多面体问题转换成多元不等式，结合三元基本不等式求解最优解；4. 应用于多维函数极值问题：可以将多维函数极值问题转换成多元不等式，结合三元基本不等式求解最优解；5. 应用于凸优化问题：可以将凸优化问题转换成多元不等式，结合三元基本不等式求解最优解；6. 应用于最优化原理：可以将最优化问题转换成多元不等式，结合三元基本不等式求解最优解；以上就是关于三元基本不等式的性质和应用的总结，可以看出三元基本不等式在数学中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地分析复杂的数学问题，取得更优的解决方案。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2、a>0, b>0, a+b=S, 则ab有最_____ 值，为_________.
【练习】
(1) 用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少 时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(2) 一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少 时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
x?1
【例题3】
某工厂要建造一个长方体形无盖贮水 池, 其容积为4800m3, 深为3m. 如果池底每 平方米的造价为150元, 池壁每平方米的造 价为120元, 怎样设计水池能使总造价最低? 最低总造价是多少？
1. 和定积大于积定和小
（1）如果 x ? y是定值 S, 那么 x ? y时，积 xy有 最大值 1 S 2 . 4
x
x
x
取等号，从而 x 2 ? 1 ? 2得到 ? x
【探究3】
当x ? (0, ? ]时, 函数 x
可否由 sin x ? 4 ? 2 sin x ? 4 ? 4得到 ?
sin x
sin x
小结
运用基本不等式求最值必备的三个条件： 一正、二定、三相等
（2）如果 xy是定值 P , 那么x ? y时，和 x ? y有 最小值 2 P .
2. 运用基本不等式求最值必须同时满足 的三个条件.
（1）各项均为正数（一正 ）； （2）其和或积为常数（二 定）； （3）等号必须成立（三相 等）.
必修五《考一本》第30课时
一、温故知新
1、基本不等式的几种基本形式
（1）a 2 ? b2 ? 2ab，当且仅当 a ? b时， 等号成立 .
（2） ab ? a ? b（a ? 0, b ? 0） 2
2、不等式链
a 2 ? b2 ? a ? b ? ab ? 2 (a ? 0, b ? 0)
2
2
1? 1
ab
二、新知探究
1. a>0, b>0, ab=P为定值，则a+b有 最_____值，为______。
3、探索运用基本不等式求最值的条件
【探究1】
能否由 x ? 1 ? 2 x ?1 ? 2说明函数y ? x ? 1
x
x
x
的最小值是 2?
【探究2】
当x ? 0时，函数 y ? x 2 ? 1 的最小值能否由 x
x 2 ? 1 ? 2 x 2 ?1 ? 2 x , 当x 2 ? 1 即x ? 1时
【例题1】
已知0 ? x ? 1 , 求y ? 1 x(1 ? 2x)的最大值 .
2
2
【例题2】
求下列函数的最值 : （1）已知 x ? 0, 求y ? 2 ? x ? 4 的最大值 .
x （2）已知 x ? 2, 求x ? 1 的最小值 .
x? 2 （3）已知 x ? ? 1, 求f ( x) ? x 2 ? x ? 1 的最小值 .