天津市部分区2020届高三数学质量调查试题(二)理(含解析)
,选 B.
【点睛】本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.
8.已知函数
，若关于 x 的方程
的实数根 a，b，c，则
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
【答案】D 【解析】
恰有三个不同 D.
【分析】 先作图，再确定
关系以及范围，即得结果.
【详解】作图可得，
，所以
，选 D.
【点睛】本题考查函数与方程，考查基本分析求解能力，属中档题.
1.已知全集
，集合
，
，则
A. {0，4}
B. {0，1，4}
C. {1，4}
【答案】B
【解析】
【分析】
先求全集，再求交集，最后根据补集得结果.
【详解】因为
，
所以
= {0，1，4}，选 B.
【点睛】本题考查交集与补集概念，考查基本求解能力，属基础题.
=（ ） D. {0，1}
,
2.设变量 x，y 满足约束条件
【点睛】本题考查二倍角公式、配角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基 础题.
16.某闯关游戏共有两关，游戏规则：先闯第一关，当第一关闯过后，才能进入第二关，两 关都闯过，则闯关成功，且每关各有两次闯关机会.已知闯关者甲第一关每次闯过的概率均
为 ，第二关每次闯过的概率均为 .假设他不放弃每次闯关机会，且每次闯关互不影响.
A. 3 【答案】C 【解析】 解：当 i=1 时， 当 i=4 时，
B. 1
C. 0
D. -1
；当 i=2 时，
；当 i=3 时，
，
，故选 C。
4.若
，
，
，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对数函数与指数函数单调性确定大小.
【详解】因
，
，
所以
，选 A.
12.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为
，在以坐标原点 O 为极点，x
轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的方程为
，则直线 l 与圆 C 的位置关系
为___________.
【答案】相交
【解析】
【分析】
先将圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离与半径大小关系确定位置关
系.
【详解】因为圆 C 的方程为
，所以
，
因此圆心到直线距离为
，所以直线与圆 C 相交.
【点睛】本题考查极坐标方程化为直角坐标方程以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解 能力，属基础题.
13. ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， ， _______. 【答案】 【解析】
，则 ABC 周长的最大值是
二、填空题。 9.已知 i 是虚数单位，则
________________.
【答案】
【解析】 【分析】 根据复数除法运算法则求解.
【详解】
.
【点睛】本题考查复数除法运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
10.某工厂生产 A，B，C 三种不同型号的产品，产量分别为 400，800，600 件，为检验产品 的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 90 件进行检验，则应从 C 种型号的 产品中抽取________件. 【答案】 【解析】 【分析】 根据分层抽样确定抽取数.
【详解】因为以线段 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点的坐标为(4，3)，
所以坐标原点到交点(4，3)距离等于半径 c，即
因为(4，3)在双曲线渐近线
上，所以
，
因为
,所以
，即双曲线的方程为
，选 A.
【点睛】本题考查双曲线渐近线与标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.
6.在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.则“
【分析】 根据余弦定理以及基本不等式求最值.
【详解】因为
，
所以
，当且仅当 时取等
号，因此
，即 ABC 周长的最大值是
【点睛】本题考查余弦定理以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
14.四个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子中，则恰有两个空盒的不同放法共有 __________种. 【答案】84 【解析】 分析：先选两个空盒子，再把 4 个小球分为 ， 两组，分到其余两个盒子里，即可得 到答案. 详解：先选两个空盒子，再把 4 个小球分为 ， 两组，
”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
由正弦定理得
，所以“
”是“ ”的充要条件，
选 C.
7.如图，AB，CD 是半径为 1 的圆 O 的两条直径，
，则
的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量表示化简数量积，即得结果. 【详解】
故有
.
故答案为：84. 点睛：本题考查的是排列、组合的实际应用，考查了计数原理，注意这种有条件的排列要分 两步走，先选元素再排列.
三、解答题(解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
15.已知函数
，.
(1)求 的最小正周期和最大值；
(2)讨论 在区间
上的单调性.
【答案】(1)
，其最大值为 . (2)见解析
天津市部分区 2020 年高三质量调查试卷(二)
数学(理工类)
参考公式：
如果事件 A，B 互斥，那么
.
如果事件 A，B 相互独立，那么
.
柱体的体积公式
，其中 S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.
锥体的体积公式
，其中 S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高.
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
【点睛】本题考查利用对数函数与指数函数单调性比较大小，考查基本分析求解能力，属基
为 础题.
5.已知双曲线
的左、右焦点分别为
，以线段 为直径的圆与
双曲线渐近线的一个交点的坐标为(4，3)，则此双曲线的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据坐标原点到交点距离等于半径得 c，再根据交点在渐近线可得 关系，解得 即可.
【解析】 【分析】 （1）列方程解出公比与首项，再代入等比数列通项公式得结果，（2）先化简 ，再利用裂 项相消法求和，即证得结果.
【详解】解：（1）设等比数列 的公比为 ，
由
得
，
解得 或
.
因为数列 为正项数列，所以 ，
所以，首项
，
故其通项公式为
.
（2）由（Ⅰ）得
所以
，
所以
. 【点睛】本题考查等比数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档 题.
【解析】 【分析】 （1）先根据二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求
周期与最值，（2）根据正弦函数性质求单调性. 【详解】解：（1）由题意，得
.
所以 的最小正周期
，其最大值为
.
（2）令
则函数
的单调递增区间是
.
由
,得
设
，
易知
.
所以，当
时, 在区间 上单调递增；在区间
上单调递减.
.
【解析】
【分析】
（1）根据条件列方程组，解得 即可，（2）设直线方程，与椭圆方程联立方程组，利用
韦达定理解得 B 点坐标，再根据条件得 T 点坐标，代入圆方程，解得直线斜率，即得结果.
【详解】解：（1）由椭圆的一个焦点为
知: ，即
.①.
又因为直线 的方程为
，即
，所以
.
由①解得
.
故所求椭圆 的标准方程为
且
；
当
时，
，函数 是在
上是减函数，
且
；
所以在区间
上，函数 的极大值为
，
的
由
，即Biblioteka ，解得 ，故所求实数 的取值范围是
.
（3）设
，由
，
，可得
，
，
. 所以
要证
，只需证
,
即证
，即
.
令
，于是
，
设函数
，求导得
，
所以函数 是
上的增函数，
所以
，即不等式
成立，
故所证不等式
成立
【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究函数零点以及利用导数证明不等式，考查综 合分析求解能力，属较难题.
20.设 ，函数
.
（1）若 ，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）若 无零点，求 a 的取值范围；
（3）若 有两个相异零点 、 ，求证：
.
【答案】(1)
(2)
(3)见证明
【解析】 【分析】 （1）先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得结果，（2）先求导数，再 根据导函数零点讨论函数单调性，根据单调性确定函数最大值，最后根据最大值小于零得结
，
（2）由已知得：随机变量的所有可能取值为 ，
所以，
，
，
.
从而
2
3
4
. 【点睛】本题考查分布列以及数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.
17.如图，DC⊥平面 ABC，
，
AB 的中点.
，
，P、Q 分别为 AE，
(1)证明： 平面 (2)求异面直线 与 所成角的余弦值； (3)求平面 与平面 所成锐二面角的大小。
天津市河西区2020年高三数学总复习质量调查试卷二含答案解析
2020年天津市河西区高考数学二模试卷一、选择题（共9小题）.1．设集合M ＝{x |x 2≤4}，集合N ＝{x |1≤x ≤2}，则∁M N ＝（ ） A ．{x |﹣2≤x ＜1}B ．{﹣2，﹣1，0}C ．{x |x ≤﹣2}D ．{x |0＜x ＜2}2．设p ：“条件A 与条件B 互斥”，q ：“条件A 与条件B 互为对立事件”，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分而不必要条件3．已知x 与y 之间的一组数据：x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7则y 与x 的线性回归方程为y ^=0.95x +a ，则a 的值为（ ）A ．0.325B ．0C ．2.2D ．2.64．已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝20y 的焦点重合，且双曲线上的一点P 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ） A ．x 29−y 216=1B ．x 216−y 29=1C ．y 29−x 216=1D ．y 216−x 29=15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，3c 2＝16S +3（b 2﹣a 2），则tan B ＝（ ） A ．23B ．32C ．43D ．346．已知正四棱锥P ﹣ABCD 的底面是边长为√2的正方形，其体积为43，若圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点，另一个底面的圆心为该棱锥的高的中点，则该圆柱的表面积为（ ） A ．πB ．2πC ．4πD ．6π7．函数f （x ）＝e |x ﹣1|﹣2cos （x ﹣1）的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且至少有两个数字是偶数的四位数，则这样的四位数的个数为（ ） A ．64B ．72C ．96D ．1449．已知函数f （x ）={|x −1|−1，x ≤2−12f(x −2)，x ＞2，若函数g （x ）＝x •f （x ）﹣a （a ≥﹣1）的零点个数为2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．23＜a ＜87或a =−1B ．23＜a ＜87C ．78＜a ＜32或a =−1 D ．78＜a ＜32二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．设复数z 满足（1+2i ）z ＝3﹣4i （i 为虚数单位），则|z |＝ ． 11．（2x x）6展开式中常数项为 （用数字作答）．12．若直线3x+4y＝m与圆x2+y2＝m相切，则实数m＝．13．某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为；取出的3件产品中次品的件数X的期望是．14．已知x，y为正实数，且xy+2x+4y＝41，则x+y的最小值为15．在△ABC中，点M、N分别为CA、CB的中点，点G为AN与BM的交点，若AB=√5，CB＝1，且满足3AG→•MB→=CA→2+CB→2，则BC→⋅BA→=．AG→⋅AC→=．三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知函数f(x)=cos2x+√3sinxcosx−12（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[−π4，π4]上的单调性；17．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E为CC1的中点（1）求证：AC1∥平面BDE；（2）求证：A1E⊥平面BDE；（3）若F为BB1上的动点，使直线A1F与平面BDE所称角的正弦值是√63，求DF的长．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝3（a n﹣2）（n∈N*），数列{b n}是公差不为0的等差数列，且满足b 1=16a 1，b 5是b 2和b 14的等比中项．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求∑ 10i=11b i bi+1；（3）设数列{c n }的通项公式c n ={1，n ≠2k a k ，n =2k(k ∈N ∗)，求∑ 2ni=1(c i −1)2(n ∈N ∗)；19．如图，已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的一个焦点为（√3，0），（1，√32）是椭圆上的一个点． （1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上、下顶点分别为A ，B ，P （x 0，y 0）（x 0≠0）是椭圆上异于A ，B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 中点，直线AM 交直线l ：y ＝﹣1于点C ，N 为线段BC 的中点，如果△MON 的面积为32，求y 0的值．20．（16分）已知函数f(x)=e x −e x sinx ，x ∈[0，π2]（e 为自然对数的底数）． （1）求函数f （x ）的值域；（2）若不等式f （x ）≥k （x ﹣1）（1﹣sin x ）对任意x ∈[0，π2]恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：e x−1＞−12(x −32)2+1．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M＝{x|x2≤4}，集合N＝{x|1≤x≤2}，则∁M N＝（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{x|x≤﹣2}D．{x|0＜x＜2}解：因为集合M＝{x|x2≤4}＝{x|﹣2≤x≤2}，集合N＝{x|1≤x≤2}，∴∁M N＝[﹣2，1）．故选：A．2．设p：“条件A与条件B互斥”，q：“条件A与条件B互为对立事件”，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分而不必要条件解：由对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，可知“条件A与条件B互斥”，不一定有“条件A与条件B互为对立事件”，反之，由“条件A与条件B互为对立事件”，一定得到：“条件A与条件B互斥”．∴p是q的必要而不充分条件．故选：B．3．已知x与y之间的一组数据：x0134y 2.2 4.3 4.8 6.7则y与x的线性回归方程为y^=0.95x+a，则a的值为（）A ．0.325B ．0C ．2.2D ．2.6解：计算x =14×（0+1+3+4）＝2， y =14×（2.2+4.3+4.8+6.7）＝4.5， 代入y 与x 的线性回归方程y ^=0.95x +a 中， 解得a ＝4.5﹣0.95×2＝2.6． 故选：D ．4．已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝20y 的焦点重合，且双曲线上的一点P 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ） A ．x 29−y 216=1B ．x 216−y 29=1C ．y 29−x 216=1D ．y 216−x 29=1解：由抛物线x 2＝20y ，得2p ＝20，则p ＝10． ∴抛物线x 2＝20y 的焦点坐标为（0，5），可知双曲线是焦点在y 轴上的双曲线，设其方程为y 2a −x 2b =1（a ＞0，b ＞0）．则c ＝5．又双曲线上的一点P 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，∴2a ＝6，即a ＝3． ∴b 2＝c 2﹣a 2＝16．∴双曲线的标准方程为y 29−x 216=1．故选：C ．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，3c 2＝16S +3（b 2﹣a 2），则tan B ＝（ ）A ．23B ．32C ．43D ．34解：由正弦的面积公式知，S =12acsinB ，∵3c 2＝16S +3（b 2﹣a 2），∴3（c 2+a 2﹣b 2）＝16×12acsinB ，由余弦定理知，c 2+a 2﹣b 2＝2ac •cos B ， ∴3×2ac •cos B ＝8ac •sin B ，即tan B =sinB cosB =68=34． 故选：D ．6．已知正四棱锥P ﹣ABCD 的底面是边长为√2的正方形，其体积为43，若圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点，另一个底面的圆心为该棱锥的高的中点，则该圆柱的表面积为（ ） A ．πB ．2πC ．4πD ．6π解：设正四棱锥P ﹣ABCD 的顶点P 在底面的投影为O ，则V 正四棱锥=13S 底•PO =13×（√2）2×PO =23PO ，由题意可得23PO =43，所以PO ＝2，由题意可得所求的圆柱的底面直径2R ＝BD =√2×√2， 所以R ＝1，高h =PO2=1， 所以S 圆柱表面积＝2S 底+S 侧＝2πR 2+2πR •h ＝2π×12+2π×1×1＝4π， 故选：C ．7．函数f（x）＝e|x﹣1|﹣2cos（x﹣1）的部分图象可能是（）A．B．C．D．解：f（0）＝e﹣2cos1＞0，排除B，D，当x≥1时，f（x）＝e x﹣1﹣2cos（x﹣1），f′（x）＝e x﹣1+2sin（x﹣1），则当x≥2时，f′（x）＞0，即此时f（x）为增函数，排除C，故选：A．8．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且至少有两个数字是偶数的四位数，则这样的四位数的个数为（）A．64B．72C．96D．144解：根据题意，数字0，1，2，3，4，中有2个奇数，3个偶数，若组成的四位数要求至少有两个数字是偶数，则四位数中有2个或3个偶数，分2种情况讨论：①，四位数中有3个偶数，1个奇数；因为0不能在首位，有3种情况，选取一个奇数有C21=2种，与另两个偶数安排在其他三个位置，有A 33＝6种情况，则有3×2×6＝36个符合条件的四位数； ②，四位数中有2个偶数，2个奇数；若偶数中有0，在2、4中选出1个偶数，有C 21＝2种取法，其中0不能在首位，有3种情况，将其他3个数全排列，安排在其他三个位置，有A 33＝6种情况，则有2×3×6＝36个符合条件的四位数；若偶数中没有0，将其他4个数全排列，有A 44＝24个符合条件的四位数； 则一共有36+36+24＝96个符合条件的四位数； 故选：C ．9．已知函数f （x ）={|x −1|−1，x ≤2−12f(x −2)，x ＞2，若函数g （x ）＝x •f （x ）﹣a （a ≥﹣1）的零点个数为2，则实数a 的取值范围是（ ）A ．23＜a ＜87或a =−1B ．23＜a ＜87C ．78＜a ＜32或a =−1 D ．78＜a ＜32解：函数g （x ）＝x ・f （x ）﹣a 的零点个数恰为2个⇔y ＝f （x ）与y =ax 有两个交点．x ≤2时，f(x)={x −2，1≤x ≤2−x ，x ＜1，2＜x ≤4时，f （x ）=−12[|x ﹣3|﹣1]．4＜x ≤6时，f （x ）=14[|x ﹣5|﹣1]． …故函数y ＝f （x ）与y =a x 的图象如下．根据图象可得a ＞0且{a 3＜12a 7＞18或a ＝﹣1， ∴78＜a ＜32，故选：D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．设复数z 满足（1+2i ）z ＝3﹣4i （i 为虚数单位），则|z |＝ √5 ． 解：由（1+2i ）z ＝3﹣4i ，得z =3−4i1+2i， ∴|z |＝|3−4i 1+2i|=|3−4i||1+2i|=5=√5． 故答案为：√5． 11．（2x √x）6展开式中常数项为 60 （用数字作答）． 解：（2x x ）6展开式的通项为T r+1=C 6r (2x)6−r 1√x)r =(−1)r 26−r C 6r x 6−3r 2 令6−3r2=0得r ＝4故展开式中的常数项C 62(2x)2√x)4=60． 故答案为6012．若直线3x +4y ＝m 与圆x 2+y 2＝m 相切，则实数m ＝ 25 ．解：根据题意，圆x 2+y 2＝m ，必有m ＞0，其圆心为（0，0），半径r =√m ， 若直线3x +4y ＝m 与圆x 2+y 2＝m 相切，则有√9+16=√m ，解可得m ＝25；故答案为：25．13．某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为715；取出的3件产品中次品的件数X 的期望是35．解：（1）设取出的3件产品中次品的件数为X ，3件产品中恰好有一件次品的概率为P （X ＝1）=C 21C 82C 103=715；（2）∵X 可能为0，1，2 ∴P （X ＝0）=C 83C 103=715， P （X ＝1）=715，P （X ＝2）=C 22C 81C 103=115，∴X 的分布为：X 012P715715115则 E （X ）＝0×715+1×715+2×115=35；15514．已知x ，y 为正实数，且xy +2x +4y ＝41，则x +y 的最小值为 8 解：因为x ，y 为正实数，且xy +2x +4y ＝41， 所以x =41−4yy+2， 所以则x +y ＝y +41−4yy+2=−4(y+2)+49y+2+y =−6+49y+2+y +2≥−6+2√49y+2⋅(y +2)=8，当且仅当y +2=49y+2即y ＝5，x ＝3时取等号，此时x +y 取得最小值8． 故答案为：815．在△ABC 中，点M 、N 分别为CA 、CB 的中点，点G 为AN 与BM 的交点，若AB =√5，CB ＝1，且满足3AG →•MB →=CA →2+CB →2，则BC →⋅BA →= 1 ．AG →⋅AC →= 83．解：∵M 、N 分别是CA 、CB 的中点，点G 为AN 与BM 的交点，∴G 是△ABC 的重心，∴AG →=23AN →=13AB →+13AC →=13（CB →−CA →）−13CA →=13CB →−23CA →，又MB →=−12CA →+CB →，∴3AG →•MB →=（CB →−2CA →）•（CB →−12CA →）=CB →2+CA →2−52CB →⋅CA →，又3AG →•MB →=CA →2+CB →2，∴CB →⋅CA →=0，故BC ⊥AC ，∴AC =√AB 2−BC 2=2，∴BC →⋅BA →=BC →2=1，AG →⋅AC →=23AN →•AC →=23AC →2=83．3三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知函数f(x)=cos2x+√3sinxcosx−12（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[−π4，π4]上的单调性；解：（1）f(x)=12+12cos2x+√32sin2x−12=sin(2x+π6)，∴T＝π；（2）依题意，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ]，k∈Z；设A=[−π4，π4]，B=[−π3+kπ，π6+kπ]，易知A∩B=[−π4，π6]，∴当x∈[−π4，π4]时，f（x）在区间[−π4，π6]上单调递增，区间(π6，π4]上单调递减．17．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E为CC1的中点（1）求证：AC1∥平面BDE；（2）求证：A1E⊥平面BDE；（3）若F 为BB 1上的动点，使直线A 1F 与平面BDE 所称角的正弦值是√63，求DF 的长．【解答】证明：（1）如图，连接AC ，交BD 于O 点，则O 为AC 的中点，连接EO ； ∵E 为CC 1的中点， ∴EO ∥AC 1，又∵EO ⊂平面BED ，AC 1⊄平面BED ∴AC 1∥平面BED ，（2）连接A 1B ，A 1C 1，AA 1＝2AB ＝2，E 为CC 1的中点， ∴BE =√2，A 1E =√3，A 1D =√5；∴在△A 1BE 中：BE 2+A 1E 2=A 1B 2，则△A 1BE 是直角三角形，∴A 1E ⊥BE ； 同理可证A 1E ⊥DE ； ∵BE ∩DE ＝E ； ∴A 1E ⊥平面BDE ．（3）以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD 1所在的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 根据条件知道以下几个点坐标：B （1，1，0），E （0，1，1），D （0，0，0），A 1（1，0，2），设F （1，1，m ），设A 1F 交平面BDE 于G （x 0，y 0，z 0），连接A 1G ，EG ，则∠A 1GE 便是直线A 1F 与平面BDE 所成角；先给出所用到的几个向量的坐标：BD →=(−1，−1，0)，BE →=（﹣1，0，1），BG →=（x 0﹣1，y 0﹣1，z 0），A 1G →=(x 0−1，y 0，z 0−2)，A 1E →=(−1，1，−1)． ∵G 在平面BDE 上，∴存在一组实数λ，μ使BG →=λBD →+μBE →，带入坐标得： （x 0﹣1，y 0﹣1，z 0）＝λ（﹣1，﹣1，0）+μ（﹣1，0，1），所以得到： {x 0−1=−λ−μy 0−1=−λz 0=μ，解得：x 0+y 0+z 0＝2； ① 又∵A 1G →与A 1F →共线，∴存在实数b 使A 1G →=bA 1F →； ∴带入坐标得：（x 0﹣1，y 0，z 0﹣2）＝b （0，1，m ﹣2）； ∴{x 0−1=0y 0=b z 0−2=b(m −2)，解得：{x 0=1z 0−2=y 0(m −2)； ②由①②得：x 0=1，y 0=m−3m−1，z 0=2m−1； 又直线A 1F 与平面BDE 所称角的正弦值是√63；∴A 1E A 1G=√63； ∴√3√(m−1)2+(m−1)2=√63，解得：m ＝﹣3．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝3（a n﹣2）（n∈N*），数列{b n}是公差不为0的等差数列，且满足b1=16a1，b5是b2和b14的等比中项．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求∑10i=11b i b i+1；（3）设数列{c n}的通项公式c n={1，n≠2ka k，n=2k(k∈N∗)，求∑2n i=1(c i−1)2(n∈N∗)；解：（1）∵2S n＝3（a n﹣2）（n∈N*），∴2S n﹣1＝3（a n﹣1﹣2）（n≥2），两式相减，整理得：a na n−1=3 （n≥2），当n＝1时，有2a1＝3（a1﹣2），解得a1＝6，∴数列{a n}是以6为首项，3为公比的等比数列，a n＝6×3n﹣1＝2×3n．设数列{b n}的公差为d，∵b1=16a1=1，b5是b2和b14的等比中项，∴（b5）2＝b2•b14，即（1+4d）2＝（1+d）（1+13d），解得d＝0或2，∵公差不为0，∴d＝2，故b n＝b1+（n﹣1）d＝2n﹣1；（2）∵1b n b n+1=1(2n−1)(2n+1)=12（12n−1−12n+1），∴∑10i=11b i b i+1=12（1−13+13−15+⋯+119−121）=1021； （3）∵c n ={1，n ≠2k a k ，n =2k（k ∈N *），a n ＝2×3n ，∴∑ 2ni=1(c i −1)2=∑ n i=1(a i −1)2=∑ n i=1(2×3i −1)2=∑ n i=1(4×9i −4×3i +1)＝4∑ n i=19i −4∑ n i=13i +n =12×9n +1﹣2×3n +1+n +32． 19．如图，已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的一个焦点为（√3，0），（1，√32）是椭圆上的一个点． （1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上、下顶点分别为A ，B ，P （x 0，y 0）（x 0≠0）是椭圆上异于A ，B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 中点，直线AM 交直线l ：y ＝﹣1于点C ，N 为线段BC 的中点，如果△MON 的面积为32，求y 0的值．解：（1）设椭圆方程为x 2a +y 2b =1，由题意，得c =√3．因为a 2﹣c 2＝b 2，所以b 2＝a 2﹣3． 又(1，√32)是椭圆上的一个点，所以1a +34a −3=1，解得a 2＝4或a 2=34（舍去），从而椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．（2）因为P （x 0，y 0），x 0≠0，则Q （0，y 0），且x 024+y 02=1．因为M 为线段PQ 中点，所以M(x2，y 0)．又A （0，1），所以直线AM 的方程为y =2(y 0−1)x 0x +1． 因为x 0≠0，∴y 0≠1，令y ＝﹣1，得C(x1−y 0，−1)．又B （0，﹣1），N 为线段BC 的中点，有N(x2(1−y 0)，−1)．所以NM →=(x 02−x02(1−y 0)，y 0+1)． 因此，OM →⋅NM →=x 02(x 02−x 02(1−y 0))+y 0⋅(y 0+1)=x 024−x 024(1−y 0)+y 02+y 0=(x 024+y 02)−x 024(1−y 0)+y 0=1−(1+y 0)+y 0=0．从而OM ⊥MN ．因为|OM|=√x 024+y 02=1，|ON|=√x 024(1−y 0)2+1=√1−y 02(1−y 0)2+1=√21−y 0， 所以在Rt △MON 中，|MN|=√|ON|2−|OM|2，因此S △MON =12|OM||MN|=12√1+y 01−y 0．从而有12√1+y 01−y 0=32，解得y 0=45． 20．（16分）已知函数f(x)=e x −e x sinx ，x ∈[0，π2]（e 为自然对数的底数）． （1）求函数f （x ）的值域；（2）若不等式f （x ）≥k （x ﹣1）（1﹣sin x ）对任意x ∈[0，π2]恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：e x−1＞−12(x −32)2+1．解：（1）f '（x ）＝e x ﹣e x （sin x +cos x ）＝e x （1﹣sin x ﹣cos x ）=e x [1−√2(sin(x +π4)]=−√2e x [sin(x +π4)−√22]，∵x ∈[0，π2]，∴x +π4∈[π4，3π4]，∴sin(x+π4)≥√22，所以f'（x）≤0，故函数f（x）在[0，π2]上单调递减，函数f（x）的最大值为f（0）＝e0﹣e0sin0＝1；f（x）的最小值为f(π2)=eπ2−eπ2sinπ2=0，所以函数f（x）的值域为[0，1]．（2）原不等式可化为e x（1﹣sin x）≥k（x﹣1）（1﹣sin x）…（*），因为1﹣sin x≥0恒成立，故（*）式可化为e x≥k（x﹣1）．令g（x）＝e x﹣kx+k，则g'（x）＝e x﹣k当k≤0时，g'（x）＝e x﹣k＞0，所以函数g（x）在[0，π2]上单调递增，故g（x）≥g（0）＝1+k≥0，所以﹣1≤k≤0；当k＞0时，令g'（x）＝e x﹣k＝0，得x＝lnk，且当x∈（0，lnk）时，g'（x）＝e x﹣k＜0；当x∈（lnk，+∞）时，g'（x）＝e x﹣k＞0．所以当lnk＜π2，即0＜k＜eπ2时，函数g（x）min＝g（lnk）＝2k﹣klnk＝k（2﹣lnk）＞0，成立；当lnk≥π2，即k≥eπ2时，函数g（x）在[0，π2]上单调递减，g(x)min=g(π2)=eπ2−kπ2+k≥0，解得eπ2≤k≤e π2π2−1综上，−1≤k≤e π2π2−1．（3）令ℎ(x)=e x−1+12(x−32)2−1，则ℎ′(x)=e x−1+x−32．由ℎ′(12)=e−12−1＜0，ℎ′(34)=e−14−34＞0，故存在x0∈(12，34)，使得h'（x0）＝0即e x0−1=32−x0．且当x∈（﹣∞，x0）时，h'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0．故当x＝x0时，函数h（x）有极小值，且是唯一的极小值，故函数ℎ(x)min=ℎ(x0)=e x0−1+12(x 0−32)2−1=−(x 0−32)+12(x 0−32)2−1=12[(x 0−32)−1]2−32=12(x 0−52)2−32，因为x 0∈(12，34)，所以12(x 0−52)2−32＞12(34−52)2−32=132＞0，故ℎ(x)=e x−1+12(x −32)2−1＞0，e x−1＞−12(x −32)2+1．。
天津市和平区2020届高三第二次质量(二模)数学试题(理)有答案(加精)
2020届高三第二次质量调查（二模）数学（理）试题第Ⅰ卷（满分40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}2|4,|4A x x B x x =≤=>，则A B =IA ．{}|22x x -<<B ．{}|22x x x <->或C ．{}|24x x x <-<<或2D ．{}|24x x x <-<≤或2 2.设变量,x y 满足约束条件2602600x y x y y +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为A ．6B ． 10C ．12D ．183.在ABC ∆中，若2,60,AB B ABC =∠=∆o 的面积为33S +=，则AC = A 36 C ．22．34.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出T 的值为A ．22B ．24C ． 39D ．415.对于实数0a >，“1a x <”是“1x a>”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6.若双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的一个焦点为()3,0F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A,B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为 A ．22154x y -= B ．22145x y -= C ．22163x y -= D ．22136x y -= 7.如图，等腰梯形ABCD 中，4, 2.AB BC CD ===若,E F 分别是,BC AB 上的点，且满足BE AF BC ABλ==，当0AE DF ⋅=u u u r u u u r 时，则有 A ．11,84λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ B ．13,48λ⎛⎫∈⎪⎝⎭ C ．31,82λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ D ．15,28λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭8.定义一种运算,,a a b a b b a b≤⎧⊗=⎨>⎩，若()2243x f x x x =⊗-+，当()()g x f x m =-有5个不同的零点时，则实数m 的取值范围是A ．()0,1B ．[]0,1C ．()1,3D ．[]1,3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上。
【KS5U解析】天津市部分区2020届高考二模数学试题 Word版含解析
所以 ，
，
当 时， 的最小值为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
三､解答题：本大题共5个小题，共75分；解答应写出必要的文字说明､推证过程或演算步骤.
16.天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，促进学生各科平衡发展，提升学生综合素养.该校教务处要求各班针对薄弱学科生成立特色学科“兴趣学习小组”(每位学生只能参加一个小组)，以便课间学生进行相互帮扶.已知该校某班语文､数学､英语三个兴趣小组学生人数分别为10人､10人､15人.经过一段时间的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步.现采用分层抽样的方法从该班的语文，数学，英语三个兴趣小组中抽取7人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查.
17.已知各项均为正数的数列 ，满足 ( ).
（1）求证： 为等比数列，并写出其通项公式；
（2）设 ( )，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明见解析， .（2）
【解析】
【分析】
（1）由 可得 ，然后两式相减得 ，然后求出 即可
（2）利用错位相减法求出 即可.
【详解】（1）因为 ( )， ①
所以，当 时，有 ，②
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合复数的运算法则可得 ，进而可得 ，求得 后，由复数模的概念即可得解.
【详解】由题意 ，
所以复数 的实部为 ，解得 ，
所以 ，所以 .
故选：D
【点睛】本题考查了复数的运算、复数实部的概念以及复数模的概念，属于基础题.
4.函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ( 为常数)，则 （ ）
2020年天津市河东区高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2020年天津市河东区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1．i是虚数单位，已知=bi+1，则a+b为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．1﹣i2．执行如图所示的程序框图，则S的值为（）A．55 B．65 C．36 D．783．已知双曲线的一个焦点为F1（5，0），它的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．4．已知函数f（x）=lnx与g（x）=，则它们的图象交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不确定5．“a=2“是“点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外”的什么条件（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件6．在三角形ABC中，∠A的平分线为AD，点D在边BC上，AD=3，AC=4，CD=2，则cosA的值为（）A．B．C．﹣D．7．如图所示，在三角形ABC中，AD⊥BC，AD=1，BC=4，点E为AC的中点，=，则AB的长度为（）A．2 B．C．D．8．已知f（c）=（c﹣a）（c﹣b），其中a+b=1﹣c且c≥0，a≥0，b≥0．则f（c）的取值范围为（）A．[﹣，1]B．[0，1]C．[0，]D．[﹣，1]二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．某学校的学生人数为高一年级150人，高二年级180人，高三年级210人，为了调查该学校学生视力情况需要抽取72人作为样本，若采用分层抽样的方式，则高一和高二年级一共抽取的人数为．10．（﹣）5的展开式中的常数项是（用数字作答）．11．如图所示，一款儿童玩具的三视图中俯视图是以3为半径的圆，则该儿童玩具的体积为．12．曲线y=sinx与直线y=x所围成的平面图形的面积是．13．如图所示，圆O上的弦AB不为直径，DA切圆O于点A，点E在BA的延长线上且DE∥AC，点C为BD与圆交点，若AE=3，DE=6，CD=2，则AD=．14．已知函数f（x）=|x﹣a|+a，g（x）=4﹣x2，若存在x∈R使g（x）≥f（x），则a的取值范围是．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．已知函数f（x）=cos（2x﹣）sin2x﹣（x∈R）（1）求函数f（x）的最小正周期及其单调减区间；（2）求函数f（x）在[﹣，0]上的最大值和最小值．16．某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数ξ的分布列与期望．17．如图四棱锥P﹣ABCD，三角形ABC为正三角形，边长为2，AD⊥DC，AD=1，PO垂直于平面ABCD于O，O为AC的中点，PO=1．（1）证明PA⊥BO；（2）证明DO∥平面PAB；（3）平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值．18．椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点为Q，O为坐标原点，过OQ的中点作x轴的垂钱与椭圆在第一象限交于点A，点A的纵坐标为c，c为半焦距．（1）求椭圆的离心率；（2）过点A斜率为的直线l与椭圆交于另一点B，以AB为直径的圆过点P（，），求三角形APB的面积．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等差数列，b1=﹣1，b n＞0（n≥2），b2S n+a n=2且3a2=2a3+a1．（1）求{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=，T n=++…+，证明：T n＜．20．已知函数f（x）=ae x x﹣2ae x﹣x2+x．（1）求函数f（x）在（2，f（2））处切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）对任意x1，x2∈[0，1]，f（x2）﹣f（x1）≤a+1恒成立，求a的范围．2020年天津市河东区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1．i是虚数单位，已知=bi+1，则a+b为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：由==bi+1，得a=1，b=﹣1，∴a+b=0．故选：B．2．执行如图所示的程序框图，则S的值为（）A．55 B．65 C．36 D．78【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的a，S，i的值，当i=13时不满足条件i ≤12，退出循环，输出S的值为78，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=0，i=1，S=0执行循环体，a=3，S=3，i=3满足条件i≤12，执行循环体，a=7，S=10，i=5满足条件i≤12，执行循环体，a=11，S=21，i=7满足条件i≤12，执行循环体，a=15，S=36，i=9满足条件i≤12，执行循环体，a=19，S=55，i=11满足条件i≤12，执行循环体，a=23，S=78，i=13不满足条件i≤12，退出循环，输出S的值为78．故选：D．3．已知双曲线的一个焦点为F1（5，0），它的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的渐近线方程，利用待定系数法进行求解即可．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±x，即，∴对应的双曲线方程为，∵双曲线的一个焦点为F1（5，0），∴c=5，且λ＞0，则﹣=1，则a2=9λ，b2=16λ，则c2=9λ+16λ=25λ=25，则λ=1，即双曲线的方程为，故选：C4．已知函数f（x）=lnx与g（x）=，则它们的图象交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不确定【考点】函数的图象．【分析】令h（x）=lnx﹣，判断h（x）的单调性并计算h（x）的极值，根据极值与0的大小关系判断h（x）的零点个数，得出答案．【解答】解：令h（x）=lnx﹣，则h′（x）=．∴当0＜x＜e时，h′（x）＞0，当x＞e时，h′（x）＜0．∴当x=e时，h（x）取得最大值h（e）=0．∴h（x）=lnx﹣只有一个零点，即f（x）与g（x）的图象只有1个交点，故选：B．5．“a=2“是“点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外”的什么条件（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外，则≤4，解出即可判断出结论．【解答】解：圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0配方化为：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4，若点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外，则≤4，解得≤a≤2+2，∴“a=2“是“点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外”的充分不必要条件．故选：A．6．在三角形ABC中，∠A的平分线为AD，点D在边BC上，AD=3，AC=4，CD=2，则cosA的值为（）A．B．C．﹣D．【考点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算．【分析】直接利用余弦定理求出A的一半的余弦函数，然后利用二倍角公式求解即可．【解答】解：在三角形ABC中，∠A的平分线为AD，点D在边BC上，AD=3，AC=4，CD=2，则cos===，cosA=2cos2﹣1=2×﹣1=．故选：D．7．如图所示，在三角形ABC中，AD⊥BC，AD=1，BC=4，点E为AC的中点，=，则AB的长度为（）A．2 B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可以D为坐标原点，BC，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，并设BD=x，从而CD=4﹣x，这样便可写出图形上各点的坐标，从而可求出向量的坐标，根据进行向量数量积的坐标运算便可建立关于x的方程，解出x，从而得出点B的坐标，从而便可得出AB的长度．【解答】解：以D为原点，分别以BC，AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设BD=x，CD=4﹣x，则：D（0，0），A（0，﹣1），B（﹣x，0），C（4﹣x，0），E（）；∴；∴；∵x＞0，∴解得x=1；∴B（﹣1，0），又A（0，﹣1）；∴．故选：C．8．已知f（c）=（c﹣a）（c﹣b），其中a+b=1﹣c且c≥0，a≥0，b≥0．则f（c）的取值范围为（）A．[﹣，1]B．[0，1]C．[0，]D．[﹣，1]【考点】函数的值域．【分析】由f（c）=（c﹣a）（c﹣b）=c2﹣（a+b）c+ab，缩小后利用配方法求得f（c）的最小值；然后再由基本不等式放大，再由配方法求得f（c）的最大值．【解答】解：f（c）=（c﹣a）（c﹣b）=c2﹣（a+b）c+ab≥c2﹣c（a+b）=c2﹣c（1﹣c）=，当c=，a=0，b=时，f（c）=，∴f（c）的最小值为﹣；又f（c）=c2﹣（1﹣c）c+ab===，由0≤c=1﹣a﹣b≤1，得当c=1时，f（c）有最大值为1．∴f（c）的取值范围为[]．故选：A．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．某学校的学生人数为高一年级150人，高二年级180人，高三年级210人，为了调查该学校学生视力情况需要抽取72人作为样本，若采用分层抽样的方式，则高一和高二年级一共抽取的人数为44．【考点】分层抽样方法．【分析】先求出每个个体被抽到的概率以及高一和高二年级的总人数，用高一和高二年级的总人数乘以每个个体被抽到的概率，即得所求．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，而高一和高二年级的总人数是150+180=330，故高一和高二年级一共抽取的人数为330×=44，故答案为：4410．（﹣）5的展开式中的常数项是﹣80（用数字作答）．【考点】二项式系数的性质．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：（﹣）5的二项展开式的通项公式为T r+1=•（）5﹣r•（﹣1）r•（）r=（﹣2）r••，令15﹣5r=0，解得r=3，故展开式中的常数项为﹣80．故答案为：﹣80．11．如图所示，一款儿童玩具的三视图中俯视图是以3为半径的圆，则该儿童玩具的体积为54π．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个球，下面是一个圆锥．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个球，下面是一个圆锥．∴该儿童玩具的体积V=×33+×6=54π．故答案为：54π．12．曲线y=sinx与直线y=x所围成的平面图形的面积是2﹣．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】分别画出直线y=x与曲线y=sinx的图象，确定出交点，积分区间，则问题可解【解答】解：分别画出直线y=x与曲线y=sinx，如图所示，则y=x与曲线y=sinx的交点坐标是（﹣，0），（0，0），（，0），∴直线y=x与曲线y=sinx围成的区域面积S=2（sinx﹣x）dx=2（﹣cosx﹣x2）|=2[（0﹣）+1]|=2﹣；故答案为：2﹣．13．如图所示，圆O上的弦AB不为直径，DA切圆O于点A，点E在BA的延长线上且DE∥AC，点C为BD与圆交点，若AE=3，DE=6，CD=2，则AD=4．【考点】弦切角；与圆有关的比例线段．【分析】利用圆的弦切角定理与平行线的性质可证明△ADE∽△DBE．解得AB，再利用平行线的性质可得BC，利用切线长定理即可得出．【解答】解：∵DA切圆O于点A，∴∠DAC=∠B．∵DE∥AC，∴∠DAC=∠ADE．∴∠ADE=∠B．又∠AED公用，∴△ADE∽△DBE．∴，即=，解得AB=9．由DE∥AC，∴=，∴，解得BC=6．∵DA切圆O于点A，∴AD2=DC•DB=2×（2+6）=16，解得AD=4．故答案为：4．14．已知函数f（x）=|x﹣a|+a，g（x）=4﹣x2，若存在x∈R使g（x）≥f（x），则a的取值范围是．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】通过讨论x的范围结合二次函数的性质得到△≥0，求出a的范围即可．【解答】解：若存在x∈R使g（x）≥f（x），即x2+|x﹣a|+a﹣4≤0有解，x≥a时，x2+x﹣4≤0，显然有解，x＜a时，x2﹣x+2a﹣4≤0，由△=1﹣4（2a﹣4）≥0，解得：a≤，故答案为：．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．已知函数f（x）=cos（2x﹣）sin2x﹣（x∈R）（1）求函数f（x）的最小正周期及其单调减区间；（2）求函数f（x）在[﹣，0]上的最大值和最小值．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由两角和与差的正弦化积，由周期公式求得周期，再由复合函数的单调性求得函数f（x）的单调减区间；（2）由x得范围求出相位的范围，则函数f（x）在[﹣，0]上的最大值和最小值可求．【解答】解：（1）=，最小正周期T=．由，得，∴函数f（x）的单调减区间为[]，k∈Z；（2）由x∈[﹣，0]，得4x∈[]，∴，则f（x）在[﹣，0]上的最大值为，最小值为．16．某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数ξ的分布列与期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）直接利用古典概型的概率计算方法求解即可．（2）ξ的取值为0、1、2、3，求出对应的概率，得到分布列然后求解期望．【解答】解：（1）事件A“选派的三人中恰有2人会法语的概率为；…（2）ξ的取值为0、1、2、3，则，，，；分布列为：ξ0 1 2 3P．…17．如图四棱锥P﹣ABCD，三角形ABC为正三角形，边长为2，AD⊥DC，AD=1，PO垂直于平面ABCD于O，O为AC的中点，PO=1．（1）证明PA⊥BO；（2）证明DO∥平面PAB；（3）平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，求出相关点的坐标，推出，，利用，证明PA⊥BO．（2）求出平面APB法向量为=（x0，y0，z0），求出，通过，证明DO∥平面PAB．（3）求出平面DPC法向量为，结合（2），利用空间向量的数量积求解平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：如图以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则，A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，1，0），O（，，0），P（，，1）…=（，，1），=（1，，0），，∴PA⊥BO．…（2）证明：=（，，1），=（，﹣1，0），设平面APB法向量为=（x0，y0，z0）可得，令x°=1，则=（1，，）…．=（，，0），，DO∥平面PAB…（3）=（，，1），=（，0，0）设平面DPC法向量为，可得，令y°=1，则=（0，1，）…．平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为…18．椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点为Q，O为坐标原点，过OQ的中点作x轴的垂钱与椭圆在第一象限交于点A，点A的纵坐标为c，c为半焦距．（1）求椭圆的离心率；（2）过点A斜率为的直线l与椭圆交于另一点B，以AB为直径的圆过点P（，），求三角形APB的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意得到A点坐标，代入椭圆方程即可求得椭圆的离心率；（2）把椭圆方程用含有a的代数式表示，写出直线l的方程，联立直线方程和椭圆方程，求得B的坐标，由数量积为0求得a值，得到，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：（1）由题意可知，点A的坐标为（，），∴，即，∴b2=3c2，联立b2=a2﹣c2，得a2﹣c2=3c2，即a2=4c2，∴；（2）由（1）得，A（），则过A（）且斜率为的直线方程为y﹣=（x﹣），即y=，椭圆方程为，联立，得2x2+ax﹣a2=0，解得：B（﹣a，0），∵AB为直径的圆过点P（，），∴，即﹣（）（）﹣=0．解得：a=﹣5（舍），或a=．∴，，则=，，∴=．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等差数列，b1=﹣1，b n＞0（n≥2），b2S n+a n=2且3a2=2a3+a1．（1）求{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=，T n=++…+，证明：T n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设b n的公差为d，d＞1，b1=﹣1，b n＞0（n≥2），b2S n+a n=2且3a2=2a3+a1．求出d，然后求解{b n}、{a n}的通项公式．（2）c n=，利用错位相减法求解T n，即可证明T n＜．【解答】解：（1）设b n的公差为d，d＞1，b2=﹣1+d，b n=﹣1+d（n﹣1）当n=1时，当n≥2时，b2S n+a n①b2S n﹣1+a n﹣1②由①﹣②得到，由已知，解为d=2，d=1（舍）{b n}、{a n}的通项公式分别为n∈N*…（2）证明：、当n≥2时，，设①②由①﹣②得到，整理为．∴…20．已知函数f（x）=ae x x﹣2ae x﹣x2+x．（1）求函数f（x）在（2，f（2））处切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）对任意x1，x2∈[0，1]，f（x2）﹣f（x1）≤a+1恒成立，求a的范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求出f（x）的导数f′（x）=（x﹣1）（ae x﹣1），对a讨论，分a≤0时，a=时，a＞时，0＜a＜时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0可得减区间；（3）通过讨论a的范围，确定函数在闭区间[0，1]上的单调性，求出f（x）在[0，1]上的最大值和最小值，解关于a的不等式，求出即可．【解答】解：（1）函数f（x）=ae x x﹣2ae x﹣x2+x的导数为：f′（x）=a（e x+xe x）﹣2ae x﹣x+1=（x﹣1）（ae x﹣1），可得f（x）在（2，f（2））处切线斜率为ae2﹣1，切点为（2，0），即有切线的方程为y﹣0=（ae2﹣1）（x﹣2），即为y=（ae2﹣1）（x﹣2）；（2）由f（x）的导数为f′（x）=（x﹣1）（ae x﹣1），①当a=0时，f′（x）=﹣（x﹣1），当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；②当a＜0时，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；③当a＞0时，若a=，则f′（x）=（x﹣1）（e x﹣1﹣1），f（x）在R上递增；若a＞，则f′（x）＞0即为（x﹣1）（x﹣ln）＞0，可得x＞1或x＜ln；f′（x）＜0即为（x﹣1）（x﹣ln）＜0，可得ln＜x＜1；若0＜a＜，则f′（x）＞0即为（x﹣1）（x﹣ln）＞0，可得x＜1或x＞ln；f′（x）＜0即为（x﹣1）（x﹣ln）＜0，可得1＜x＜ln．综上可得，a≤0时，f（x）的增区间为（﹣∞，1），减区间为（1，+∞）；a=时，f（x）的增区间为R；a＞时，f（x）的增区间为（1，+∞），（﹣∞，ln），减区间为（ln，1）；0＜a＜时，f（x）的增区间为（ln，+∞），（﹣∞，1），减区间为（1，ln）；（3）由（2）得：①a≤0时，f（x）在[0，1]递增，f（x）max=f（1）=﹣ae，f（x）min=f（0）=﹣2a，∴﹣ae+2a≤a+1，解得：≤a≤0，②0＜a≤时，ln＞1，∴f（x）在[0，1]递增，f（x）max=f（1）=﹣ae，f（x）min=f（0）=﹣2a，∴﹣ae+2a≤a+1，解得：≤a，故0＜a≤符合题意，③＜a＜1时，0＜ln＜1，f（x）在[0，ln）递增，在（ln，1]递减，而f（1）﹣f（0）=+a（2﹣e）＜0，∴f（x）max=f（ln）=，f（x）min=f（1）=﹣ae，∴2ln﹣2﹣+ae﹣）≤a+1，不等式无解，④a≥1时，f（x）在[0，1]递减，∴f（x）max=f（0）=﹣2a，f（x）min=f（1）=﹣ae，∴﹣2a+ae﹣≤a+1，解得：a≥﹣，综上，a∈[，]∪[1，+∞）．2020年8月16日。
2020天津市部分区二模数学试题参考答案(02.06稿)
天津市部分区2020年高三质量调查试卷（二）数学试卷参考答案一、选择题：(本大题共9个小题，每小题5分，共45分)二、填空题：(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)10．221916x y -= 11．2- 12． 13．2 14．2；10 15．920-三、解答题：（本大题共5个小题，共75分）16．解：（1）依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2:2:3，因此，采用分层抽样方法从中抽取7人，应从语文、数学、英语三个兴趣小组中分别 抽取2人、2人、3人． ……………………………………………………………3分 （2）（ⅰ）依题意，得随机变量X 的所有可能取值为2，3，4．………………4分所以，45247()(2,3,4)k kC C P X k k C -⋅===．…………………………………………5分 因此，所求随机变量X 的分布列为………………………………………………10分故随机变量X 的数学期望为1020520()2343535357E X =⨯+⨯+⨯=． ……………………………………11分 （ⅱ）依题意，设事件B 为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格的有2人”；事件C 为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人”.则有M B C =U ，且B 与C 互斥. 由①知，()(2),()(3)P B P X P C P X ====，所以6()()(2)(3).7P M P B C P X P X ===+==U ………………………13分 故事件M 发生的概率为67． ……………………………………………………14分 17.（1）证明：因为()2=31n n S a -（n ∈N *）， ①所以，当2n ≥时，有()-1-12=31n n S a -， ② ……………………………1分 ①-②得()()112=3n n n n S S a a ----， 即12=33n n n a a a --，所以1=3n n a a -（n ∈N *，2n ≥）．………………………3分 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列． …………………………………………4分 又由①得()112=31S a -，所以13a =． …………………………………………5分所以111333n n nn a a q --==⨯=． …………………………………………………7分（2）解：由题意及（1）得()()21213=-=-n n n b n a n ． ………………………8分 所以()121333213=⨯+⨯++-⋅L n n T n ， ③所以()()23131333233213+=⨯+⨯++-⋅+-⋅L n n n T n n ， ④ …………10分 ③-④，得()1231213232323213+-=⨯+⨯+⨯++⨯--⋅L n n n T n………………12分()()11231323333213+=-+++++--⋅L n n n()()()1133132213621331++-=-+⨯--⋅=----n n n n n ， …………14分故()1313n n T n +=+-． …………………………………………………………15分18.（1）证明：因为AB //CD ，90∠=oBAD ，所以90ADC ∠=o.又因为1==AD CD ，所以ACD ∆是等腰直角三角形,所以AC =45CAD ∠=o ． …………………………………………………2分又因为90∠=oBAD ，45ABC ∠=o，所以90ACB ∠=o，即AC BC ⊥． ………………………………………………3分 因为⊥PC 底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC BC ⊥.又PC AC C =I ,所以BC ⊥平面PAC ． ………………………………………6分 （2）解：在Rt ∆ABC 中, 45ABC ∠=o，AC =BC =由（1）知，BC ⊥平面PAC ，所以BPC ∠是直线PB 与平面PAC所成的角，则sin BPC ∠=． ………7分 在Rt ∆PBC 中, sin 3BC PB BPC ===∠所以2PC ==． ……………………………………………………8分【方法一】以点C 为原点，分别以,,AC CB CP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -． …………………………9分 则()()()()0,0,0,0,0,2,,C P A B . 因为E 为PB的中点，所以0,12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以(),0,2CA CE ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ．…………10分设平面ACE 法向量为(),,m x y z =u r，则0,0,CA m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r即0,0.2y z ⎧=+=⎩ 令2y =，得0,x z ==(0,2,m =u r． ………………………12分由BC ⊥平面PAC ，则()0,1,0n =r为平面PAC 的一个法向量． ……………13分所以cos ,m n m n m n⋅===u r ru r r u r r ． 故所求二面角P AC E --…………………………………15分 【方法二】以点C 为原点，分别以,,CB CA CP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -． ………………………9分 则()()())0,0,0,0,0,2,,C P A B.因为E 为PB的中点，所以012E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，所以(),2CA CE ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ． …………10分设平面ACE 法向量为(),,m x y z =u r，则0,0,CA m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r即0,0.2x z =+=⎩ 令2x =，得0,y z ==．所以(2,0,m =u r． ………………………12分由BC ⊥平面PAC ，则()1,0,0n =r为平面PAC 的一个法向量.………………13分所以cos ,3m n m n m n⋅===u r ru r r u r r ． 故所求二面角P AC E --……………………………………15分 19.（1）解：设椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c （0c >），则26c =，所以3c =． ……………………………………………………………1分因为直线AB 过C 的焦点1F ，且2ABF ∆的周长是， 所以()()()2112224AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==所以a =． ……………………………………………………………………2分 所以2221899b a c =-=-=． …………………………………………………3分所以，椭圆C 的方程是221189x y +=． ……………………………………………4分（2）（ⅰ）证明：由题意得，直线OP ：1y k x =，直线OQ ：2y k x =. 因为直线,OP OQ 与圆M 相切，=,化简，得22210010(6)260x k x y k y --+-=； 同理，得222020020(6)260x k x y k y --+-=．……………………………………6分所以12,k k 是一元二次方程2220000(6)260x k x y k y --+-=的两实数根，则有20122066y k k x -⋅=-．………………………………………………………………7分又因为点00(,)M x y 在C 上，所以22001189x y +=，即2200192y x =-， 所以()22001222001136122662x x k k x x --===---（定值）． ……………………………9分 （ⅱ）解：22OP OQ +是定值，且定值为27． ……………………………10分 理由如下：【方法一】设),(,),(2211y x Q y x P .由（1）、（2）联立方程组122,1,189y k x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得212122112118,1218.12x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ …………11分 所以2221112118(1)12k x y k ++=+． …………………………………………………12分同理，得2222222218(1)12k x y k ++=+． ……………………………………………13分 由（2）知1212k k =-， 所以2222221122OP OQ x y x y +=+++2212221218(1)18(1)1212k k k k ++=+++ 22112211118(1())18(1)211212()2k k k k +-+=+++-2121275412k k +=+27=， 所以22=27OP OQ +（定值）．……………………………………………15分 【方法二】设),(,),(2211y x Q y x P , 由（2）知1212k k =-，所以2222121214y y x x =． ………………………………11分 因为),(,),(2211y x Q y x P 在C 上，所以221122221,1891,189x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 即 2211222219,219.2y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ………………………………12分 所以22221212111(9)(9)224x x x x --=，整理得221218x x +=， 所以222212121199922y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ………………………………14分 故有22=27OP OQ +（定值）.………………………………………………15分 20.解：（1）由题意,得()()()()sin cos 4cos sin 2sin 4x x x f x e x x e x x e x '=-+++=+，………1分所以()04f '=．因为()03f =，所以()340y x -=-，即所求曲线()=y f x 在点()()0,0f 处的切线方程为430x y -+=． ………3分 （2）易知，函数()h x 的定义域为R ，()2sin '=+g x x ， 且有()()''=-h x f x ()'ag x()()()()2sin 4sin 22sin 2=+-+=-+x x e x a x e a x ．……………5分由于sin 20+>x 在∈x R 上恒成立，所以①当0≤a 时，20->xe a 在∈x R 上恒成立，此时()0'>h x ，所以，()h x 在区间(),-∞+∞上单调递增． ……………………………………7分 ②当0>a 时，由()0'>h x ，即20->xe a ，解得ln2>ax ； 由()0'<h x ，即20-<xe a ，解得ln2<a x . 所以，()h x 在区间,ln 2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭a 上单调递减； 在区间ln,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭a 上单调递增． ………………………………………9分 （3）易知，cos 0+-≤xx mx e等价于cos 0--≤x e x x m .设()cos ϕ=--x x e x x m （50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ）．…………………………………10分 由题意，对50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，不等式cos 0+-≤x x m x e 恒成立， 只需()max 0ϕ≤x ． ………………………………………………………………11分 易得()()cos sin 1'ϕ=--x x e x x ，50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x . 令()()cos sin 1=--x t x e x x ，50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ， 所以()()2sin '=-x t x e x ． ……………………………………………………13分 显然，当50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()0'≤t x 恒成立. 所以函数()t x 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递减，所以()()00≤=t x t ， 即()0'ϕ≤x 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 恒成立．……………………………………………14分 所以，函数()ϕx 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递减. 所以有()()max 010ϕ=ϕ=-≤x m ， …………………………………………15分 所以1≥m .故所求实数m 的取值范围是[)1,+∞． …………………………………………16分。
2020年天津市部分区高考数学二模试卷
2020年天津市部分区高考数学二模试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合{1A =-，0，1}，{1B =-，2，3}，{|11}C x R x =∈-<„，则()(A B C =U I)A ．{1}-B ．{1-，0}C ．{1-，1}D ．{1-，0，1}2．（5分）已知命题:p x R ∃∈，2230x x ++<，则命题p 的否定是( ) A ．x R ∃∈，2230x x ++> B ．x R ∀∈，2230x x ++„C ．x R ∀∈，2230x x ++…D ．x R ∀∈，2230x x ++>3．（5分）已知i 为虚数单位，若复数1()2aiz a R i+=∈-的实部为1-，则||(z = ) A ．13BC ．53D4．（5分）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x …时，()2(x f x x a a =++为常数），则f （a ）(= )A ．12B ．32 C ．32-D ．2-5．（5分）若sin()3πθ-=，(0,)θπ∈，则cos()(6πθ-= )A ．0B ．12C ．1 D6．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，10100S =，则7(a = ) A ．11B ．13C ．15D ．177．（5分）已知3log 0.3a =，0.3log 2b =，0.23c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>8．（5分）若函数()cos(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<在区间[,]66ππ-上单调递减，且在区间(0,)6π上存在零点，则ϕ的取值范围是( ) A ．(,]62ππB ．25[,)36ππ C ．2(,]23ππD ．[,)32ππ9．（5分）已知函数2171,20,()6,0,x x x f x lnx x e ⎧++-<⎪=⎨⎪<⎩„„函数()g x kx =．若关于x 的方程()()0f x g x -=有3个互异的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．15(,)6eB ．11[,]3eC ．15[,]36D ．1(0,)e二、填空题：本大题共6小题，共30分；答题直接填写结果，不必写计算或推证过程.10．（5分）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为(5,0)F ，且一条渐近线方程是43y x =，则该双曲线的方程是 ．11．（5分）若6()ax x +的展开式中的常数项为160-，则实数a = ．12．（5分）已知点(,)P x y 在直线230x y +-=上，则24x y +的最小值为 ．13．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2sin cos()04a C c A π--=，则cos A = ．14．（5分）如图，点O 是长方体1111ABCD A B C D -的中心，E ，F ，G ，H 分别为其所在棱的中点，且1BC BB =．记棱AB 的长度为l ，点O 到平面11BCC B 的距离为0l ，则l = 0l ；若该长方体的体积为120，则四棱锥O EFGH -的体积为 ．15．（5分）在梯形ABCD 中，//AB CD ，90DAB ∠=︒，2AB =，1CD AD ==，若点M 在线段BD 上，则AM CM u u u u r u u u u rg的最小值为 ． 三、解答题：本大题共5个小题，共75分；解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤.16．（14分）天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，促进学生各科平衡发展，提升学生综合素养．该校教务处要求各班针对薄弱学科生成立特色学科“兴趣学习小组”（每位学生只能参加一个小组），以便课间学生进行相互帮扶．已知该校某班语文、数学、英语三个兴趣小组学生人数分别为10人、10人、15人．经过一段时间的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步．现采用分层抽样的方法从该班的语文，数学，英语三个兴趣小组中抽取7人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查．（1）应从语文，数学，英语三个兴趣小组中分别抽取多少人？（2）若抽取的7人中恰好有5人三科成绩全部及格，其余2人三科成绩不全及格．现从这7人中随机抽取4人做进一步的调查．（ⅰ）记X 表示随机抽取4人中，语文，数学，英语三科成绩全及格的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（ⅱ）设M 为事件“抽取的4人中，有人成绩不全及格”，求事件M 发生的概率． 17．（15分）已知各项均为正数的数列{}n a ，满足*23(1)()n n S a n N =-∈． （1）求证：{}n a 为等比数列，并写出其通项公式； （2）设*(21)()n n b n a n N =-∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（15分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是直角梯形，PC ⊥底面ABCD ，//AB CD ，90BAD ∠=︒，1AD CD ==，45ABC ∠=︒，E 为PB 的中点． （1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）若直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为3，求二面角P AC E --的余弦值．19．（15分）已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，其焦距为6，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长是122 （1）求C 的方程；（2）若0(M x ，0)y 是C 上的动点，从点(O O 是坐标系原点）向圆2200()()6x x y y -+-=作两条切线，分别交C 于P ，Q 两点．已知直线OP ，OQ 的斜率存在，并分别记为1k ，2k ． （ⅰ）求证：12k k 为定值；（ⅱ）试问22||||OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 20．（16分）已知函数()(sin cos 4)x f x e x x =-+，函数()2cos g x x x =-，其中 2.71828e =⋯。
2024届天津市部分区高三质量调查(二)数学(答案版)
天津市部分区2024年高三质量调查试卷（二）数学参考答案一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。
10．1129i 1313- 11．601213．13，4514．1125,328AP a b =+15．()1,0,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭三、解答题：本大题共5小题，共75分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分14分）(Ⅰ)由余弦定理得2222cos c a b ab C =+- …………1分222179232b b b =+-⨯⨯， …………2分所以1b =. …………4分(Ⅱ)由正弦定理得sin sin b c B C =，即1sin sin 3B π=， …………6分解得sin 14B =…………8分(Ⅲ)在ABC ∆中，3C π= ，所以223A B B π-=-…………9分因为a b >，所以B 为锐角，cos 14B ==…………10分sin 22sin cos 2141414B B B ==⨯⨯=…………11分211cos22cos 114B B =-=…………12分所以，21sin()sin(2)sin 232A B B B B π-=-=+=…………14分17.（本小题满分15分）因为DA ⊥平面ABC ，,AB AC ⊥以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，由已知可得(0,0,0),(1,0,0,),(0,1,0),(0,0,2),(0,1,1)A B C D E …………1分 (Ⅰ)证明：因为M 为AD 的中点，所以(0,0,1)M ，所以 (0,1,0)EM =-，(1,0,2),BD =- …………2分0BD EM ⋅=， …………3分所以BD EM ⊥ …………4分 所以EM BD ⊥ …………5分 (Ⅱ)(1,0,2),(1,1,0)BD BC =-=-…………6分设平面DBC 的法向量(,,)n x y z =，则BD n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令1z =得2,x y == 所以(2,2,1)n = …………8分 平面ABC 的法向量(0,0,2)AD = 设平面DBC 与平面ABC 夹角为θ21cos cos ,233AD n θ=<>==⨯ 所以平面DBC 与平面ABC 夹角的余弦值为13. …………10分(Ⅲ)设(,,)N x y z 且BN BC λ=，(01)λ≤≤(1,,)(1,1,0)x y z λ-=-，则1,,0x y z λλ=-==所以(1,,0)N λλ-，所以(1,1,1),(0,1,2)EN CD λλ=---=-……12分|cos ,|10EN CD <>==…………13分 241670λλ-+= 解得 12λ=或 72λ= （舍） …………14分因为BC =，所以BN =. …………15分 18.（本小题满分15分） (Ⅰ)由题意28a =，4a =， …………1分又因为1,22c e c a ===所以…………2分 所以 22212b a c =-= …………3分椭圆的方程为2216211x y +=. …………4分(Ⅱ)由题可知：斜率存在且不为零，设直线l 的方程为(4)y k x =+，(,),(0,)M M N M x y N y …………5分由22164)112(x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩ 得2222(34)3264480k x k x k +++-= …………6分 226448(4)34M k x k --⋅=+ …………7分 22216+12243434M Mk kx y k k -==++，所以 …………8分 又 4N y k = …………9分 由题意得：1122,6OF c A F a c ===+= …………10分又因为11229OMF A F N S S ∆∆=由112112112221162292M MOMF A N F N NOF y y S S A y F y ∆∆⨯===⨯2243+4423M Nky k y k ==得…………13分2k =±………14分 所以直线l的方程(4)2y x =±+…………15分 19.（本小题满分15分）(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ，由题意39,3d d == ………1分 1192318,2a d a +==………2分 所以332n a n =+………3分 当2n ≥时，12n n S b -=-，所以11n n n n n b S S b b -+=-=-，所以12n nb b +=………4分 当1n =时，1222,4b b b =-=，212bb =………5分所以{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n b = ………6分(Ⅱ)1111212112233(3)3(2121)22n n n n n n b n n i i b i i a i i +++---+===∑=∑+=∑+--+ ………8分33[2(21)(22)(221)]22[2(221)]23322233(342)222942n n n n n nn n n n nn n n n =+++++++-+⨯++-=⨯+⨯=⨯-+⨯=⨯………10分(Ⅲ)32n n n c ==< ………11分 所以231111136932222n i n i c n =∑<⨯+⨯+⨯++⨯设23111136932222n n B n =⨯+⨯+⨯++⨯则234111111369322222n n B n +=⨯+⨯+⨯++⨯2341111111111333333222222211(1)13322333122212n n n n n n n B n n n +++=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯-⨯-=⨯-⨯=---………13分 所以16(36)2n n B n =-+………14分1N ,(36)02n n n *∈+>因为所以所以1n i i c =∑<6. ………15分 20.（本小题满分16分） 解：(Ⅰ)由()x f x e ax =-，可知'()x f x e a =-， ………1分因为()y f x =在())1(,1f 处的切线斜率为2，所以'(1)2f e a =-=， ………2分所以，2-=e a . ………3分 (Ⅱ)证明：当0=a 时，2(2)x f x e =，x xx f -+<11)2(,即x x e x -+<112，即2111x x e x-<+. 令x x x x g 2)1ln()1ln()(++--=，只需0)(<x g 即可. ………4分0)1)(1(221111)('2<+--=++---=x x x x x x g .所以，)(x g 在)10(，∈x 上单调递减. ………6分 所以，0)0()(=<g x g 成立， ………7分 即211ln0x x e x-+<，故2111xx e x-<+得证 所以)10(，∈∀x xxx f -+<11)2(. ………8分 (Ⅲ)若1sin )(>+x x f 在区间)0(∞+，上恒成立，即1sin >+-x ax e x 在区间)0(∞+，上恒成立.令x ax e x x sin )(+-=ϕ.则x a e x x cos )('+-=ϕ， ………9分 令()cos x m x e a x =-+，'()sin x m x e x =-0≥，所以)(x m 在)0(∞+∈，x 时单调递增. ………10分 可知)(x m a m -=>2)0(. ………11分 ①2≤a 时，0)(>x m ，即0)('>x ϕ，所以)(x ϕ在)0(∞+∈，x 时单调递增. 所以1)0()(=>ϕϕx 成立. ………13分 ①2>a 时，02)0(<-=a m ， 当+∞→x 时，0)(>x m ，所以),0(0+∞∈∃x 使得0)(0=x m . ………14分 当),0(0x x ∈时，0)(<x m ，即0)('<x ϕ，所以)(x ϕ此时单调递减； 当),(0+∞∈x x 时，0)(>x m ，即0)('>x ϕ，所以)(x ϕ此时单调递增； 所以，=min )(x ϕ1)0()(0=<ϕϕx 不成立，舍去. ………15分 综上，2≤a . ………16分。
2020-2021学年天津市高三二模数学试题(理科)及答案解析
第二学期高三年级总复习质量调查（二）数学试卷（理工类）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足(34)|43|i z i-=+，则z的虚部为（）A．4-B．45-C．4D．452.设x，y满足24,1,22,x yx yx y+≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z x y=+（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值3.已知命题p：对任意x R∈，总有20x>；q：“1x>”是“2x>”的充分不必要条件，在下列命题为真命题的是（）A．()p q∧⌝B．()()p q⌝∧⌝C．()p q⌝∧D．p q∧4.执行如图的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S=（）A ．4B ．5C ．6D ．75.已知a ，b ，c 分贝为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，A ∠=（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 6.若直线20ax by -+=（0a >，0b >）被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则11a b+的最小值为（ ）A ．32+BC ．14D ．32+ 7.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：2221x y -=，过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积（ ）A ．4B ．2C ．8D ．168.已知()|21|xf x =-，当a b c <<时，有()()()f a f c f b >>，则必有（ ） A ．0a <，0b <，0c < B ．0a <，0b >，0c > C ．22ac -<D ．1222ac<+<第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=，若()U A B =∅I ð，则m = ． 10.若8(x 的展开式中4x 的系数为7，则实数a = ． 11.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是 ．12.如图，在ABC ∆中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r，则λμ+= ．13.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为(cos sin )2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 的公共点的直角坐标为 ．14.已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数(())1y f f x =+的所有零点构成的集合为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知向量1(cos ,)2a x =-r ，(3,cos 2)b x x =r ，x R ∈，设函数()f x a b =⋅r r ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 16.盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1-分，现从盒内任取3个球． （Ⅰ）求取出的3个球中至少有一个红球的概率； （Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列及期望．17.如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：//DF 平面ABE ；（Ⅱ）求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP 的长；若不存在，请说明理由．18.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)n S n n =+（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足：3122331313131n n n b b b ba =++++++++…，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅲ）令4n nn a b c =（*n N ∈），求数列{}n c 的前n 项和n T ． 19.在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：22420x y x +-+=的圆心．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线1l ，2l ，当直线1l ，2l 都与圆C 相切时，求P 的坐标．20.设k R ∈，函数()ln f x x kx =-．（Ⅰ）若2k =，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 无零点，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若()f x 有两个相异零点1x ，2x ，求证：12ln ln 2x x +>．第二学期高三年级总复习质量调查（二）数学试卷（理工类）答案一、选择题1-5:DBADC 6-8: ACD 二、填空题9.1或2 10.12 11.233 12.12 13.(2,4)-14.113,,24⎧--⎨⎩三、解答题15.解：（Ⅰ）1()cos cos 22f x a b x x x =⋅=-rr1sin 2cos 222x x =-sin(2)6x π=-， 最小正周期为T π=． （Ⅱ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 由sin y x =图象可知,62x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时单调递增，5,26x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递减， 所以当266x ππ-=-，即0x =时，()f x 取最小值12-； 当262x ππ-=，即3x π=时，()f x 取最大值1．16.解：（Ⅰ）37397112C P C =-=．（Ⅱ）记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则1221232433995()()()42C C C C P B C P B P C C C +=+=+=． （Ⅲ）ξ可能的取值为0,1,2,3．36395(0)21C P C ξ===，12363945(1)84C C P C ξ===，2136393(2)14C C P C ξ===，33391(3)84C P C ξ===． ξ的分布列为：ξ123P521 4584 314 18454531()0123121841484E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 17.（Ⅰ）证明：取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(1,0,0)A ，(1,2,0)B，E，(1,F -，∴(1,BE =--u u u r ，(0,2,0)AB =u u u r， 设平面ABE 的法向量(,,)n x y z =r，∴20,20,x y y ⎧--=⎪⎨=⎪⎩不妨设n =r ，又(1,DF =-u u u r，∴0DF n ⋅==u u u r r，∴DF n ⊥u u u r r ，又∵DF ⊄平面ABE ， ∴//DF 平面ABE ．（Ⅱ）解：∵(1,BE =--u u u r，(BF =-u u u r ， 设平面BEF 的法向量(,,)m x y z =u r，∴20,20,x y x ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩不妨设4)m =u r ，∴|cos |||31||||m n m n θ⋅===⋅u r ru r r ， ∴平面ABE 与平面EFB（Ⅲ）设(1,2,3)DP DF λλ==-u u u r u u ur(,2,3)λλλ=-，[]0,1λ∈，∴(,2,3)P λλλ-，∴(1,22,3)BP λλλ=---u u u r， 又∵平面ABE 的法向量(3,0,1)n =r，∴222|333|3sin |cos ,|2(1)(22)3BP n λλθλλλ--+=<>==++-+u u u r r， ∴28610λλ-+=， ∴12λ=或14λ=． 当12λ=时，33(,1,)22BP =--u u u r ，∴||2BP =u u u r ； 当14λ=时，533(,,)424BP =--u u u r ，∴||2BP =u u u r ． 综上，||2BP =u u u r．18.解：（Ⅰ）当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=，知12a =满足该式， ∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =．（Ⅱ）31223(1)31313131n n n b b b ba n =++++≥++++…，① 3+112+123+13131313131n n n n n b b b b ba =++++++++++…，② ②-①得111231n n n n b a a +++=-=+，112(31)n n b ++=+， 而18b =，故2(31)nn b =+（*n N ∈）．（Ⅲ）∵(31)34n n n nn a b c n n n ==+=⋅+， ∴123n n T c c c c =++++…23(1323333)(12)nn n =⨯+⨯+⨯++⨯++++……，令231323333nn H n =⨯+⨯+⨯++⨯…，③则234131323333n n H n +=⨯+⨯+⨯++⨯…，④③-④得，231233333nn n H n +-=++++-⨯…13(13)313n n n +-=-⨯-，1(21)334n n n H +-⋅+=，∴数列{}n c 的前n 项和1(21)33(1)42n n n n n T +-⋅++=+．19.解：（Ⅰ）由C ：22420x y x +-+=，得22(2)2x y -+=，故圆C 的圆心为点(2,0)，从而可设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，其焦距为2c ，由题设知2c =，12e =，所以24a c ==，22212b a c =-=， 故椭圆E 的方程为2211612x y +=． （Ⅱ）设点P 的坐标为00(,)x y ，1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则1l ，2l 的方程分别诶1l ：010()y y k x x -=-，2l ：020()y y k x x -=-，且1212k k =， 由1l 与圆C ：22(2)2x y -+=相切，=222010010(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦， 同理可得222020020(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦， 从而1k ，2k 是方程2220000(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦的两个实根， 于是202200(2)20,8(2)20,x x y ⎧--≠⎪⎨⎡⎤∆=-+->⎪⎣⎦⎩① 且20122021(2)22y k k x -==--， 由220020201,161221,(2)22x y y x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪--⎩得20058360x x --=解得02x =-或0185x =． 由02x =-，得03y =±；由0185x =，得0y =，它们满足①式，故点P 的坐标为(2,3)-或(2,3)--或18(,55或18(,55-． 20.解：（Ⅰ）函数的定义域为(0,)+∞，11'()kxf x k x x-=-=， 当2k =时，'(1)1f =-，则切线方程为(2)(1)y x --=--，即10x y ++=． （Ⅱ）①若0k <时，则'()0f x >，()f x 是区间(0,)+∞上的增函数， ∵(1)0f k =->，()(1)0kkkf e k ke k e =-=-<，∴(1)()0kf f e ⋅<，函数()f x 在区间(0,)+∞有唯一零点；②若0k =，()ln f x x =有唯一零点1x =； ③若0k >，令'()0f x =，得1x k=， 在区间1(0,)k上，'()0f x >，函数()f x 是增函数； 在区间1(,)k+∞上，'()0f x <，函数()f x 是减函数； 故在区间(0,)+∞上，()f x 的最大值为11()ln 1ln 1f k k k=-=--， 由于()f x 无零点，须使1()ln 10f k k=--<，解得1k e >， 故所求实数k 的取值范围是1(,)e +∞．（Ⅲ）设()f x 的两个相异零点为1x ，2x ，设120x x >>， ∵1()0f x =，2()0f x =，∴11ln 0x kx -=，22ln 0x kx -=， ∴1212ln ln ()x x k x x -=-，1212ln ln ()x x k x x +=+，∵212x x e >w ，要证12ln ln 2x x +>，只需证12()2k x x +>， 只需121212ln ln 2x x x x x x ->-+，等价于1122122()ln x x x x x x ->+， 设121x t x =>上式转化为2(1)ln 1t t t ->+（1t >）， 设2(1)()ln 1t g t t t -=-+，22(1)'()0(1)t g t t t -=>+， ∴()g t 在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)0g t g >=，∴2(1)ln 1t t t ->+，∴12ln ln 2x x +>．。
天津市和平区 2020届高三第二次质量调查(二模)数学(含答案)
两点，且线段 的中点 落在另一条渐近线上，则双曲线 的方程是( )
B．
C．
D．
7．把函数 A.
的图象向右平移 个单位⻓度，得到函数
是偶函数，则实数的最小值是（ ）
B.
C.
D.
的图象，若函数
8．已知、 A．
， B．
，则当
取最小值时，
C．
D.
的值为( )
9．已知函数
，函数 g(x)＝f(1－x)－kx＋k－ 恰有三个不同的零点，则 k 的取值
2 名女同学.
所以所求概率
.
……………………4 分
（Ⅱ ）由题意可知，ξ的所有可能取值为 0,1,2,3，
……………………5 分
…………6 分
…………8 分
所以 的分布列为: …………12 分
…………10 分
…………11 分
0
12
3
9
3 45
5
P
112 7 112 56
＝0× 9 ＋1×3＋2× 45 ＋3× 5 ＝3. ……………………14 分 112 7 112 56 2
，为线段 的中点．则 ，则 的最小值为___________．
_______ ;
三、解答题：本大题共 5 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
3
16.(本小题满分 14 分)
为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了数学、英语两个学习兴趣小组，两组的人数如下表
所示：
组别
性别
（Ⅰ ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ ）若
，求 的值；
两点.
（Ⅲ）设直线 ， 若不存在，请说明理由.
的斜率分别为 ， ，是否存在实数，使得
天津市部分区2020届高三质量调查试卷及参考答案
天津市部分区2020年高三质量调查试卷( 二)语文试卷本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试用时150分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共11小题，每小题3分，共33分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、(9分)阅读下面的一段文字，完成1~3题。
读书要读性价比高的原典，比如读一部皇皇巨著《老子》，就胜读坊间万卷陋著。
上无老子，则万古如长夜，或者说“天柱折，地维绝”也不为过，《老子》对思想界乃至全人类影响之大，无人比肩。
古今中外几人能望其项背?。
《老子》思想的质量、密度之高，字字珠玑的诗化语言之精美，为历代经典罕见，其洋洋八十一章、浩浩五千言，构建的思想殿堂，远胜玉阙琼宫;后学高山仰止、望洋兴叹，顶礼膜拜，无可( )，只要其中一章，也足令作者载入史册。
《老子》思想浩渺深邃， .其名言隽语( ), 耳熟能详者，如“道可道，非常道;名可名，非常名。
无，名天地之始;有，名万物之母。
”“祸兮，福之所倚;福兮，祸之所伏。
”“信言不美，美言不信。
”往往寥寥数语，几乎把万物、思维之“义理”揭示、涵盖殆尽，达到形而上辩证思维之极致，令人思之无穷，取之不竭，受用不尽，让人不禁叹服其辩证法的（ )。
这种极具想象力。
洞透力的辩证思维，我们未必学得来，但得窥其门墙亦为幸事。
1.依次填入括号内的词语，最恰当的一组是（）A.逾越举不胜举无与伦比B.跨越俯拾皆是无与伦比C.逾越举不胜举精妙绝伦D.跨越俯拾皆是精妙绝伦2.在选文中横线处填入句子，表述最恰当的一项是（）A.光耀百代，普照人类，已成中华民族的精神血脉、文化基因B.普照人类，光耀百代，已成中华民族的文化基因、精神血脉C.已成中华民族的文化基因、精神血脉，光耀百代，普照人类D.已成中华民族的精神血脉、文化基因，普照人类，光耀百代3.下列对选文中涉及的相关内容解说，不恰当的一项是（）A.列传，史书的一种体裁，是我国纪传体史书中列叙历史人物事迹的传记，常与本纪、世家等体裁并列。