角平分线定理
角平分线的性质定理及其逆定理
4
挑战自我
如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD 是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD＝4cm，AC的长
A
(2)求证:AB＝AC＋CD.
E
C
D
B
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5
定理的逆命题该怎么说？
逆定理：在一个角的内部，且 到角的两边距离相
等的点，在这个角的平分线上。
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，
2
一.角平分线的性质
定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言E ⊥OB
∴PD=PE.
O
A
D
P
1
2
B
E
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3
例1: 已知：如图，E是∠BAC平分线上的一点， EB⊥AB，EC⊥AC，B，C分别是垂足。你能 得到哪些结论？为什么？
B
A
E
C
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求证： 点P在∠MBN的平分线上
M D
A P
E
B
C FN
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2、已知：如图，∠B= ∠C=90°，M是 BC的中点，DM平分∠ ADC
求证：AM平分∠DAB。
E
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小结 拓展
回味无穷
一.定理 角平分线上的点到这个角的两边距离 相等.
二.逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距 离相等的点,在这个角的平分线上.
三.遇到角平分线的问题,可以通过角平分线上的一点 向角的两边引垂线,以便充分运用角平分线定理
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12
小测1：
.已知:如图,∠C=900,∠B=300,
角平分线定理结论
角平分线定理结论
角平分线定理是指：在一个三角形中，从一个角的顶点引出一条
线段，将这个角分成两个相等的角，则这条线段称为该角的角平分线。
该定理的结论是：在一个三角形中，两条边上所作的角的平分线
相交于该三角形内部的一点，并且这个点到三角形三个顶点的距离相等。
这个结论可以用一些几何证明方法来证明，最常用的方法是通过
相似三角形和对应角的等于来证明。
具体来说，我们可以将三角形划分成两个相似三角形，其中一个
三角形的角平分线将另一个相似三角形的两个角平分线分成两个等角。
通过对应角的等于可得，这两个相似三角形的对应线段长度相等，即
这三条角平分线交于一点。
此外，因为三角形内角和为180度，这个点与三个顶点的连线可
以构成三个以交点为顶点的等角三角形，因此这个点到三角形三个顶
点的距离相等。
角平分线的性质定理和判定（经典）
第一部分：知识点回顾1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上第二部分：例题剖析例1. 已知：在等腰Rt Rt△△ABC 中，AC=BC AC=BC，，∠C=90°，AD 平分∠平分∠BAC BAC BAC，，DE DE⊥⊥AB 于点E ，AB=15cm AB=15cm，，（1）求证：）求证：BD+DE=AC BD+DE=AC BD+DE=AC．．（2）求△）求△DBE DBE 的周长．的周长．例2. 如图，∠如图，∠B=B=B=∠C=90°，∠C=90°，∠C=90°，M M 是BC 中点，中点，DM DM 平分∠平分∠ADC ADC ADC，求证：，求证：，求证：AM AM 平分∠平分∠DAB DAB DAB．．例3. 如图，已知△如图，已知△ABC ABC 的周长是2222，，OB OB、、OC 分别平分∠分别平分∠ABC ABC 和∠和∠ACB ACB ACB，，OD OD⊥⊥BC 于D ，且OD=3OD=3，△，△，△ABC ABC 的面积是多少？的面积是多少？角平分线的性质定理和判定第三部分：典型例题例1、已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ．【变式练习】如图，已知∠1=∠2，如图，已知∠1=∠2，P P 为BN 上的一点，PF⊥BC 于F ，PA=PC PA=PC，求证：∠PCB+∠BAP=180º，求证：∠PCB+∠BAP=180º，求证：∠PCB+∠BAP=180º例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ． （1）若连接AM ，则AM 是否平分∠BAD ？请你证明你的结论；？请你证明你的结论； （2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．有怎样的位置关系？请说明理由．（3）CD 、AB 、AD 间？直接写出结果【变式练习】如图，△如图，△ABC ABC 中，中，P P 是角平分线AD AD，，BE 的交点．的交点． 求证：点P 在∠在∠C C 的平分线上．21NPF CBA【变式练习】如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的三条边上的点，CE=BF ，△DCE 和△DBF 的面积相等．求证：AD 平分∠BAC ．例3.如图，在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，且DE=2cm ，AB=9cm ，BC=6cm ，求△ABC 的面积．的面积．第四部分：思维误区第五部分：方法规律第七部分：巩固练习DAD M A B C N P E D B C A E F ADP7．如图，如图，已知在△已知在△ABC 中，90C Ð=，点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ^ 交AC 于E ．求证：BE 平分ABC Ð．8、如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB. 9.如图，在∠AOB 的两边OA ，OB 上分别取OM=ON ，OD=OE ，DN 和EM 相交于点C ． 求证：点C 在∠AOB 的平分线上．上．第八部分：中考体验ＢＤＡＥＣA ． 1B ． 2C ． 3D ． 4A ． 11 B ． 5.5 C ． 7D ． 3.5 3．（2010•鄂州）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．S △=7，A ． 4B ．3 C ．6 D ．5 间的距离为间的距离为 _________ ．2．（2011•恩施州）如图，AD △ABC DF AB F DE=DG △ADG △AED。
角平分线定理
角平分线定理角平分线定义:从一个角顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等角，这条射线叫做这个角角平分线。
■三角卷角平分线定义：三角形顶点到其内角角平分线交对边点连一条线段，叫三角形角平分线。
【注】三角形角平分线不是角平分线，是线段。
角平分线是射线。
B■拓展：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边距离相等！（即内心）。
■定理1:在角平分线上任意一点到这个角两边距离相等。
■逆定理：在一个角内部（包括顶点），且到这个角两边距离相等点在这个角角平分线上。
■定理2：三角形一个角平分线分对边所成两条线段及这个角两邻边对应成比例，如：在AABC 中，BD 平分ZABC,则AD： DC二AB： BC提供四种证明方法：已知，如图，AM为Z\ABC角平分线，求证AB / AC=MB / MC己知和证明1图证明：方法1:(面积法)SAABM=(l/2)・ AB ・ AM ・ sinZBAM,SAACM=(l/2)・ AC ・ AM ・ sinZCAM,AS A ABM： SAACM=AB:AC乂△ ABM和△ ACM是等高三角形，面积比等于底比,证明2图即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM ・•・ AB / AC=MB / MC方法2（相似形）过C作CN II AB交AM延长线于N则厶ABM^ANCM・•・ AB/NC=BM/CM又可证明ZCAN=ZANC/. AC=CN・•・ AB / AC=MB / MC证明3图方法3 （相似形）过M作MN II AB交AC于N则厶ABC^ANMC,・•・ AB/AC二MN/NC, AN/NC二BM/MC 又可证明ZCAM=ZAMN・・・AN=MN・•・ AB/AC=AN/NC・•・ AB / AC=MB / MCA方法4 （正弦定理）作三角形外接圆，AM交圆于D,由正弦定理，得,AD证明4图AB/sinZ BMA=BM/ sinZBAM,A AC/sinZ CMA 二CM/ sinZCAM又ZBAM二ZCAM, ZBMA+ZAMC=180°sinZBAM^sinZCAM, sinZBMA^sinZAMC,/. AB / AC=MB / MC。
三角形内角平分线性质定理
三角形内角平分线性质定理
三角形内角平分线性质定理有两个，其中一个是：若AD为△ABC内角平分线，则BD:DC=AB:AC；在该文中记为性质定理一。
另一个就是斯库顿定理。
斯库顿定理
斯库顿定理：若AD为△ABC内角平分线，则
AD^2=AB\cdot AC-BD\cdot CD\\
证明：作∠CDE=∠BAD=∠CAD，显然∠ADE=∠ABD，那么
△ADE∽△ABD，△DCE∽△ACD，所以
\begin{aligned} \frac{AD}{AB}&=\frac{AE}{AD}\\
\therefore\quad AD^2&=AB\cdot AE\\ \end{aligned}\\
\begin{aligned}
\frac{CE}{CD}&=\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{AB}\\
\therefore\quad BD\cdot CD&=AB\cdot CE\\
\end{aligned}\\
两个式子相加，即得所证。
推论
假设△ABC的三条边分别为a、b、c，由性质定理一可得：若AD为△ABC内角平分线，则
\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}\\
再由斯特瓦尔特定理，可知
AD^2=bc-\frac{bca^2}{(b+c)^2}\\
而斯库顿定理
\begin{aligned} AD²&=AB\cdot AC-BD\cdot CD\\ &=bc-BD\cdot CD \end{aligned}\\
所以
BD\cdot CD=\frac{bca^2}{(b+c)^2}\\。
角平分线比例定理
角平分线比例定理
角平分线比例定理是：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
角平分线成比例定理是数学中的一种定理，该定理指出三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
角平分线定理1：是描述角平分线上的点到角两边距离定量关系的定理，也可看作是角平分线的性质。
角平分线定理2：是将角平分线放到三角形中研究得出的线段等比例关系的定理，由它以及相关公式还可以推导出三角形内角平分线长与各线段间的定量关系。
角平分线的定理
角平分线的定理
角平分线是数学中的一种概念，又称为“垂直”或“弓箭折线”。
它可以用来表示两个同心圆圆心之间的连线。
直角平分线的定理认为，给定任意一个直角，该直角的对角线可以被垂直分割成两条相等的折线，称为“角平分线”。
在几何学中，角平分线最重要的作用是可以将给定的任何直角分成两个相等的角。
这意味着，当绘制一个直角时，将绘制的对角线以等分的折线方式将整个直角分割，每一条折线都会落在与直角有着相同的角度的位置。
角平分线有多种用途，其中最重要的应用是可以用来计算复杂图形的位置，例如矩形，七边形，五边形等。
比如，假设一个矩形要被绘制出来，我们可以通过使用角平分线来计算矩形的对角线的位置，从而绘制出带有最佳对称性的矩形。
另外，角平分线还可以被用来研究同心圆的性质。
假设有两个同心圆在一起，通过使用角平分线，就可以计算出两个同心圆圆心之间的距离，而且它的位置也确定了，这样就可以方便地绘制出同心圆。
在三角形中，角平分线定理也被广泛使用。
比如，它可以用来确定三角形的外心的位置，同时也可以确定三角形的内接圆的位置。
此外，借助角平分线，还可以确定平行四边形和正多边形的形状，以及它们中心点的位置等等。
总之，角平分线的定理被广泛应用于数学和几何学中。
它最重
要的作用在于可以帮助我们准确计算复杂图形之间的位置关系，为我们提供了许多方便的工具。
角平分线的所有定理
角平分线的所有定理
《角平分线的所有定理》
定理1：在△ABC中，如果∠B=90°，若点D在边BC上，使∠ADC=∠ABC，则直线AD是边AB的角平分线。
定理2：在△ABC中，若∠B≠90°，且∠ADC=∠ABC，则直线AD 是角ACD的角平分线。
定理3：在△ABC中，如果∠A=90°，若点D在边BC上，使∠BDC=∠ABC，则直线BD是边AB的角平分线。
定理4：在△ABC中，若∠A≠90°，且∠BDC=∠ABC，则直线BD 是角ACD的角平分线。
定理5：在△ABC中，如果∠C=90°，若点D在边AB上，使∠ADB=∠ABC，则直线AD是边BC的角平分线。
定理6：在△ABC中，若∠C≠90°，且∠ADB=∠ABC，则直线AD 是角ACD的角平分线。
定理7：在△ABC中，如果∠A=90°，若点D在边AB上，使∠BDC=∠ABC，则直线BD是边BC的角平分线。
定理8：在△ABC中，若∠A≠90°，且∠BDC=∠ABC，则直线BD 是角ACD的角平分线。
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【知识点拨】
1、三角形内角平分线的性质定理：
三角形内角的平分线内分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例。
（试证明）
2、三角形外角平分线性质定理：
三角形外角平分线分对边所得的两条线段和相邻的两边对应成比例。
3、常见问题
对于涉及角平分线的相关计算，常由角平分线性质定理列出比例式进行计算，对于关于角平分线的证明题，常由角平分线性质定理列出比例式进行代换，达到证明的目的。
【赛题精选】
例1、在△ABC中，∠C＝900，CD是∠C的平分线，且CA＝3，CB＝4。
求CD的长。
例2、若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB相交于点D，且PB＝4，PD＝3。
求AD·DC的值。
（2001年全国竞赛题）
【说明】角平分线性质定理又提供计算线段的方法，解题时要注意应用。
计算时要注意对应关系，正确书写比例式。
对于求线段ab 的值的题目，常由相关定理证出等积式ab ＝cd ，求出cd 的值即可。
例3、I 是△ABC 内角平分线的交点，AI 交对应边于D 。
求证：BC
AC AB ID AI +=。
例4、Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且
EG ∥AB 交CB 于G 。
试求：CF 与GB 的大小关系如何？（1998年“希望杯”邀请赛题）
【说明】欲证线段a ＝b ，由线段成比例定理得出含a 、b 的比例式，111n m x a =、222n m x b =， 然后证2211n m n m =，从而得到2
1x b x a =，再证21x x =，从而得到a ＝b 。
本题证法较多，如过点E 作EH ∥BC 交AB 于H ，则EH ＝GB ，再证EH ＝EC 、EC ＝CF ；或过F 作FM ⊥AB 于M ，证Rt △CEG ≌Rt △FMB 。
例5、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 交AB 于G ，AM 是BC 边的中线，交CG 于F 。
求证：AC ∥DF 。
【说明】三角形角平分线的性质为比例关系的转化提供了新的方法，从而开阔了解题思路，另外在证明几何题时，还应注意合比、等比性质的应用。
本题是由线段成比例证明两条直线平行的，这是证两条直线平行的新方法，对于题设
中有平行、角平分线条件证平行的题目，常用此方法证明。
例6、在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ＞b ＞c ，AS 、AS ’为∠A 的平分
线与外角的平分线，BT 、BT ’为∠B 的平分线与外角平分线，CU 、CU ’为∠C 的平分线及外角
平分线。
求证：
T T U U S S '='+'111。
（1990年上海市竞赛题）
【说明】通过本题的求解，我们得到
c
b a 111=+型几何题的又一种解法，即分别计算出a 、b 、
c 的值，再验证等式两边相等。
【针对训练】。