第11章 标高投影
B
I
A
a
H
坡度的概念
A、B两点 的水平距 离
坡度 与 平距 的关系：
A
a
H
i
l=1/i
平距的概念
i=I/L=tga
即：i 值越大，直线越陡。
l=L/I=ctga
即：l 值越大，直线越缓。
1单位
I
A、B两点 的高度差
B
三、直线的标高投影
(一)直线的标高投影表示法 （1）用直线上两点的高程和直线的水平投影表示。
二、地形面的作图例题
例:
解：
填、挖坡度均为1∶1.5，求作倾斜道路的填、挖范围。
二、地形面的作图例题
例: 挖方坡度为1∶1，求作1-1、2-2、3-3线路断面图，并 确定开挖边界线。
解：
平距 关 l= 键 1/i 关 如何转换 键
0 1
2 3 4 5
平距 B平距 3、用面上一条倾斜直线和平面的坡度 A B坡度
？图中可以直接量到是：
4、在坡度线上标出刻度
b4
a3
0 1
2
3
4
5m
0
1
2
3
4
5m
三、标高投影中平面的作图问题
1. 求平面的等高线或坡度线 例： 求ABC平面的等高线、坡度线和水平倾角。 解： （1）连a3b4c8 （2）求边线上具有 整数标高的点 （3）作等高线 （4）作坡度线 （5）作辅助V投影
△Hac=ix5=2.5m Hc=HA+ △Hac=4+2.5=6.5m
四、直线上具有整数标高的点
如果直线上两端点的标高不是整数，可用比例分割的办法 求得直线上具有整数标高的点。
§11.3
平面的标高投影
一、平面的等高线和坡度线
平面被一组水平面截割，得到一组水平线，称其为平面的等高线。 平面的等高线为:一 组相互平行的水平线， 其标高投影仍相互平 行。 平面的最大坡度线 与等高线相互垂直， 其标高投影亦相互 垂直 平面的坡度与平距 ＝平面内最大坡度 线的坡度与平距
二、同坡曲面的标高投影
同坡曲面是一种直纹曲面，它是锥顶沿路面边线移动的直 圆锥的包络面。同坡曲面与锥面相切于素线上，它们有相同的 坡度。用水平面截割同坡曲面和圆锥，得它们的等高线，同标 高的等高线亦相切。
二、同坡曲面的标高投影
例: 求作弯曲坡道的填筑范围及各坡面间的交线。 解：
§11.5 地面的标高投影及作图问题
要点 求出等高 线之间的 距离: L= H /i
例:
倾斜坡道和土堤相连，求作填土范围和坡面间的交线。
解： 1、求各边对应的标高为0的等高线。 2、求各坡面间的交线。 3、在坡度线上标出刻度表示平面。
§11.4 曲面的标高投影
一、圆锥面的标高投影
圆锥面的等高线是圆。
一、圆锥面的标高投影
例:求作一端为半圆形的场地的填筑范围及各坡面间的交线。
例： 已知平面上一条标高为25的等高线和平面的坡度， 求作平面上具有整数标高的等高线。 解： 因i=1:1.5得l=1.5
例： 已知平面上一条斜直线AB的标高投影和平面的坡度，求 作过B点的坡度线和一组整数标高的等高线。
解：平面的坡度线在以底圆半径为3m，中心高为6m的圆锥的素线上
三、标高投影中平面的作图问题
为便于查看，标高值为等高距5倍的等高线用粗线表示。
例:
已知直管线两端的标高分别为31.2和 33.4，求管线AB与地面的交点。
35
k1
k2
k3
k4
34 33 32 31 30
1
a31.2 k1
33 32 31 30
1
k2
k3
34 33 32 31 30
k4
b33.4
二、地形面的作图例题
例: 填方坡度为1∶1.5，挖方坡度为1∶1，求作一端为半圆 形的场地的填挖范围及坡面间的交线。 解：
等高线 3 1 A E 1 3 2 2 标高 投影
B
平面倾角
二、平面的标高投影
在标高投影中表示平面有许多方法，例如：
（1）用确定平面的几何元素
（2）用一组等高线 （3）用一条等高线及标有坡度值的坡度线
（4）用面上一条倾斜直线和平面的坡度
（5）在坡度线上标出刻度
1、一组等高线
2、一条等高线+坡度线（带箭头和坡度值）
L2= 3/2 * 3 =4.5
要点 求出等高线之间的距离:
i= /i
△H /L
L= △H
例: 求作土堤边坡间及边坡与地面间的交线。 分 析 解题步骤
1、 与地面的交线即为：标高为0的等 1、求各边对应的标高为0的等高线。 高线。 2、求出各坡面与地面的交线后，各交 2、求各坡面间的交线。 3、在坡度线上标出刻度表示平面。 线的交点即为坡面间交线上的点。
§11.1 概述
标高投影概念
这种用水平投影加注高程数值来表示空间形
体的单面正投影称为标高投影。图中高程数值以
米为单位,称为标高，也叫高程。在图中应注明绘
图的比例或画出比例尺。 标高投影应包括水平投影、高程数值、绘图 比例三要素
用一组等间隔的水平面截割地形曲面，得到一组水平截交 线，称为等高线。将它们投射到水平投影面（基准面）上，并 标出各自的标高，即得标高投影图，也称地形图。 在实际工作中，通常以我国青岛附近的黄海平均海平面作 为基准面，所得的高程称为绝对高程，否则称为相对高程。
b4 c
3
d3 a3
0
1
2
3
4
5 m
（2）用直线上一点的高程和直线的坡度以 及用箭头指明下坡的方向来表示。
坡度 符号
箭头表示 下坡方向
0
1
2
3
4
5m
(二）求直线上点的标高
例: 已知直线AB的标高投影a4b10和直线上点C的水平投 影c，求AB的坡度i，平距l和点C的标高。
解：
i=H/L=(10-4)/12=1/2 l=1/i=2
例：已知平台顶面标高为3及各 分 析 坡面的坡度，求各坡面与地 1、 与地面的交线即为：标高为0的 面及坡面间的交线。 等高线。
2、求出各坡面与地面的交线后，各 交线的交点即为坡面间交线上的点。
L3= 3 * 3 =9 L1= 2/3 * 3 =2
3
解题步骤
1、求各边对应的标高为0的等高线。 2、求各坡面间的交线。
§11.2 点和直线的标高投影
一、点的标高投影
A
基面
高度为零
a5
0 1 2 3
标高
4 5m
C
c0 b -3
c0
a5
比例尺 低于基面 加负号
B
0 1 2 3 4 5
m
b -3
二、直线的坡度和平距
坡度：直线上任意两点的高度差与它们间的水平距离之比，用i表示。 平距：直线上任意两点的水平距离与它们间的高度差之比，用l表示。 坡度与平距互为倒数。
第11章
学习目标：
标高投影
能根据标高投影的形成原理，从标高投影中识别其反映 的地面特征； 能用标高投影中平面的各种表示方法，绘制平面的标高 投影； 能读懂曲面和地形（重点） 2、平面的标高投影； （重点） 3、地形面的标高投影；(重点、难点) 4、标高投影的应用举例。（难点）
2. 求平面间的交线 两平面上具有相同标高的等高线的交点，是交线上的点。
三、标高投影中平面的作图问题
2. 求平面间的交线 相交两平面的坡度相等时，在标高投影图上交线与两平面 的等高线有相同的夹角；两平面的坡度不等时，交线与陡坡平 面的等高线交角较小。
b
b
b
b
a= b
a≠ b
根据标高投影求平面交线举例：
I
A
a
H
坡度的概念
A、B两点 的水平距 离
坡度 与 平距 的关系：
A
a
H
i
l=1/i
平距的概念
i=I/L=tga
即：i 值越大，直线越陡。
l=L/I=ctga
即：l 值越大，直线越缓。
1单位
I
A、B两点 的高度差
B
三、直线的标高投影
(一)直线的标高投影表示法 （1）用直线上两点的高程和直线的水平投影表示。
二、地形面的作图例题
例:
解：
填、挖坡度均为1∶1.5，求作倾斜道路的填、挖范围。
二、地形面的作图例题
例: 挖方坡度为1∶1，求作1-1、2-2、3-3线路断面图，并 确定开挖边界线。
解：
平距 关 l= 键 1/i 关 如何转换 键
0 1
2 3 4 5
平距 B平距 3、用面上一条倾斜直线和平面的坡度 A B坡度
？图中可以直接量到是：
4、在坡度线上标出刻度
b4
a3
0 1
2
3
4
5m
0
1
2
3
4
5m
三、标高投影中平面的作图问题
1. 求平面的等高线或坡度线 例： 求ABC平面的等高线、坡度线和水平倾角。 解： （1）连a3b4c8 （2）求边线上具有 整数标高的点 （3）作等高线 （4）作坡度线 （5）作辅助V投影
△Hac=ix5=2.5m Hc=HA+ △Hac=4+2.5=6.5m
四、直线上具有整数标高的点
如果直线上两端点的标高不是整数，可用比例分割的办法 求得直线上具有整数标高的点。
§11.3
平面的标高投影
一、平面的等高线和坡度线
平面被一组水平面截割，得到一组水平线，称其为平面的等高线。 平面的等高线为:一 组相互平行的水平线， 其标高投影仍相互平 行。 平面的最大坡度线 与等高线相互垂直， 其标高投影亦相互 垂直 平面的坡度与平距 ＝平面内最大坡度 线的坡度与平距
二、同坡曲面的标高投影
同坡曲面是一种直纹曲面，它是锥顶沿路面边线移动的直 圆锥的包络面。同坡曲面与锥面相切于素线上，它们有相同的 坡度。用水平面截割同坡曲面和圆锥，得它们的等高线，同标 高的等高线亦相切。
二、同坡曲面的标高投影
例: 求作弯曲坡道的填筑范围及各坡面间的交线。 解：
§11.5 地面的标高投影及作图问题
要点 求出等高 线之间的 距离: L= H /i
例:
倾斜坡道和土堤相连，求作填土范围和坡面间的交线。
解： 1、求各边对应的标高为0的等高线。 2、求各坡面间的交线。 3、在坡度线上标出刻度表示平面。
§11.4 曲面的标高投影
一、圆锥面的标高投影
圆锥面的等高线是圆。
一、圆锥面的标高投影
例:求作一端为半圆形的场地的填筑范围及各坡面间的交线。
例： 已知平面上一条标高为25的等高线和平面的坡度， 求作平面上具有整数标高的等高线。 解： 因i=1:1.5得l=1.5
例： 已知平面上一条斜直线AB的标高投影和平面的坡度，求 作过B点的坡度线和一组整数标高的等高线。
解：平面的坡度线在以底圆半径为3m，中心高为6m的圆锥的素线上
三、标高投影中平面的作图问题
为便于查看，标高值为等高距5倍的等高线用粗线表示。
例:
已知直管线两端的标高分别为31.2和 33.4，求管线AB与地面的交点。
35
k1
k2
k3
k4
34 33 32 31 30
1
a31.2 k1
33 32 31 30
1
k2
k3
34 33 32 31 30
k4
b33.4
二、地形面的作图例题
例: 填方坡度为1∶1.5，挖方坡度为1∶1，求作一端为半圆 形的场地的填挖范围及坡面间的交线。 解：
等高线 3 1 A E 1 3 2 2 标高 投影
B
平面倾角
二、平面的标高投影
在标高投影中表示平面有许多方法，例如：
（1）用确定平面的几何元素
（2）用一组等高线 （3）用一条等高线及标有坡度值的坡度线
（4）用面上一条倾斜直线和平面的坡度
（5）在坡度线上标出刻度
1、一组等高线
2、一条等高线+坡度线（带箭头和坡度值）
L2= 3/2 * 3 =4.5
要点 求出等高线之间的距离:
i= /i
△H /L
L= △H
例: 求作土堤边坡间及边坡与地面间的交线。 分 析 解题步骤
1、 与地面的交线即为：标高为0的等 1、求各边对应的标高为0的等高线。 高线。 2、求出各坡面与地面的交线后，各交 2、求各坡面间的交线。 3、在坡度线上标出刻度表示平面。 线的交点即为坡面间交线上的点。
§11.1 概述
标高投影概念
这种用水平投影加注高程数值来表示空间形
体的单面正投影称为标高投影。图中高程数值以
米为单位,称为标高，也叫高程。在图中应注明绘
图的比例或画出比例尺。 标高投影应包括水平投影、高程数值、绘图 比例三要素
用一组等间隔的水平面截割地形曲面，得到一组水平截交 线，称为等高线。将它们投射到水平投影面（基准面）上，并 标出各自的标高，即得标高投影图，也称地形图。 在实际工作中，通常以我国青岛附近的黄海平均海平面作 为基准面，所得的高程称为绝对高程，否则称为相对高程。
b4 c
3
d3 a3
0
1
2
3
4
5 m
（2）用直线上一点的高程和直线的坡度以 及用箭头指明下坡的方向来表示。
坡度 符号
箭头表示 下坡方向
0
1
2
3
4
5m
(二）求直线上点的标高
例: 已知直线AB的标高投影a4b10和直线上点C的水平投 影c，求AB的坡度i，平距l和点C的标高。
解：
i=H/L=(10-4)/12=1/2 l=1/i=2
例：已知平台顶面标高为3及各 分 析 坡面的坡度，求各坡面与地 1、 与地面的交线即为：标高为0的 面及坡面间的交线。 等高线。
2、求出各坡面与地面的交线后，各 交线的交点即为坡面间交线上的点。
L3= 3 * 3 =9 L1= 2/3 * 3 =2
3
解题步骤
1、求各边对应的标高为0的等高线。 2、求各坡面间的交线。
§11.2 点和直线的标高投影
一、点的标高投影
A
基面
高度为零
a5
0 1 2 3
标高
4 5m
C
c0 b -3
c0
a5
比例尺 低于基面 加负号
B
0 1 2 3 4 5
m
b -3
二、直线的坡度和平距
坡度：直线上任意两点的高度差与它们间的水平距离之比，用i表示。 平距：直线上任意两点的水平距离与它们间的高度差之比，用l表示。 坡度与平距互为倒数。
第11章
学习目标：
标高投影
能根据标高投影的形成原理，从标高投影中识别其反映 的地面特征； 能用标高投影中平面的各种表示方法，绘制平面的标高 投影； 能读懂曲面和地形（重点） 2、平面的标高投影； （重点） 3、地形面的标高投影；(重点、难点) 4、标高投影的应用举例。（难点）
2. 求平面间的交线 两平面上具有相同标高的等高线的交点，是交线上的点。
三、标高投影中平面的作图问题
2. 求平面间的交线 相交两平面的坡度相等时，在标高投影图上交线与两平面 的等高线有相同的夹角；两平面的坡度不等时，交线与陡坡平 面的等高线交角较小。
b
b
b
b
a= b
a≠ b
根据标高投影求平面交线举例：
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土木建筑工程制图与CAD教学大纲
《土木建筑工程制图及CAD》课程教学大纲Civil building engineering drawing and CAD课程代码：学分： 3总学时： 48学时讲课学时：40学时实验学时：0上机学时：8学时课程设计：0课程性质：学科基础课适用专业：工科类本科各专业先修课程：工程图学基础开课学期：第2学期其他：学位课一、课程的性质和目的《土木建筑工程制图及CAD》是一门既有系统理论，又有较多实践的专业基础课，同时也是高等工科院校培养土木类专业技术人才的必修课。
包括画法几何、工程制图和计算机绘图三部分内容。
画法几何主要研究用正投影法图示空间形体图解空间几何问题的基本理论和方法；工程制图则是应用画法几何的原理绘制和阅读工程图样的一门学科；计算机绘图是在画法几何与工程制图的基础上利用绘图软件绘制工程图样。
本课程的主要任务是：1. 培养绘制和阅读工程图样的能力；2. 培养空间几何问题的图解能力；3. 培养空间想象力和空间分析能力；4. 培养学生的计算机绘图能力；5. 培养严谨认真、耐心细致的工作作风。
二、课程教学内容第一章：绪论基本内容和要求：1.了解本学科性质、发展状况、基本要求及研究对象2.了解本课的任务及要求3.了解发展概况4.掌握本课程的特点及学习方法教学重点：本课程的主要内容及其特点。
教学难点：本课程的主要内容及其特点。
第二章：投影的基本知识基本内容和要求：1.了解投影的形成和分类、工程上常用的四种投影图2.掌握投影的形成和分类3.掌握正投影的基本性质4.掌握三面投影图教学重点：平行投影的基本性质、三面投影图的形成及其对应关系教学难点：平行投影的基本性质、三面投影图的形成及其对应关系第三章：点基本内容和要求：1.了解点的二、三面投影及其投影规律。
两点的相对位置及重影点2.掌握点的两面投影3.掌握点的三面投影4.熟悉掌握两点的相对位置教学重点：点的投影规律及两点的相对位置教学难点：点的投影规律及两点的相对位置第四章：直线基本内容和要求：1.了解各种位置直线的投影特性、直线上的点及两直线的相对位置2.掌握直线的投影3掌握直线对投影面的各种相对位置4.掌握线段的实长及其对投影面的倾角5.了解直线上的点6.掌握两直线的相对位置7.掌握垂直两直线的投影教学重点：利用直角三角形法求线段实长和倾角的方法、垂直两直线的投影特性教学难点：利用直角三角形法求线段实长和倾角的方法、垂直两直线的投影特性第五章：平面基本内容和要求：1.了解各种位置平面的投影及平面的表示方法2.了解平面的表示方法3.掌握平面对投影面的各种相对位置4.掌握平面内的点和直线教学重点：平面上点和直线及平面上的特殊位置直线的求作方法教学难点：平面上点和直线及平面上的特殊位置直线的求作方法第六章：直线与平面、平面与平面的相对位置基本内容和要求：1.掌握直线与平面、平面与平面的平行问题、相交问题、垂直问题及点、线、面综合作图问题。
道路工程习题第十章 标高投影(1)
• ②以标高为4的等高线的两端分别为圆心，以L=4为半径在两侧分 别作圆弧，再过标高为1的等高线的两端分别作两个圆弧的切线， 得到两侧坡面的等高线。
• ③坡面和地面的等高线的水平距离L=平距*高差=2/3 *4= 8/3单位， 根据水平距离即可租出标高为零的等高线。
•10-3 求直线a5b4与地形面 的交点。
分析：
• ①已知干道两侧边坡的坡度为1，则平距为1个单位。依次画出 边坡等高线；
• ②道路的两条路边线即为同坡曲面的导线，求出弯道的两边缘 线的四等分点，即在导线上取整数标高点，作为锥顶的位置， 分别作正圆锥；
• ③在正圆锥所处的位置上，用半径R=l, 2l, 3l, 4l 作各个正圆锥 的等高线；
高线相交得出两平面等高线的交点。 • ⑤连接标高为61、62和63的等高线的交点，得出两平面的交线。
•10-2 求斜引道的坡面和 坡面的交线以及坡面和地 面的交线。
水平距离L= 平距*高差=2/3 *4= 8/3单位
分析：
• ①标高为0和标高为4的两条等高线之间的水平距离L等于他们的高 度差除以平面的坡度，即高度差乘以平距，即L=4*1=4。
•10-4 求平面和地形面的 交线。
26 25 23 21 19
17
分析：
• ①已知平面的坡度为1，则平距为1，依次画出平面的等高线； • ②求出①所画出等高线与地形面的等高线的交点。 • ③依次用平滑曲线-5 一倾斜弯道与干道 相连，设地面标高为零， 求坡面与地面、坡面与坡 面的交线。
分析：
•①本题是求按a5b4方向垂直平面（垂直水平面）切下去与地形面的 交线 。 •②采用辅助垂直水平面法，求出辅助面与已知平面的交线，就是系 列等高线，交点就是辅助面与已知平面交线上的点 。 •③延长a5b4并过辅助垂直水平面与等高线的作a5b4的垂线，与辅助 面上的等高线相交，形成交点。 •④ 依次平滑连接交点，则形成交线。 •⑤ 画出直线，与交线相交求出交点，k1与k2。
• ③坡面和地面的等高线的水平距离L=平距*高差=2/3 *4= 8/3单位， 根据水平距离即可租出标高为零的等高线。
•10-3 求直线a5b4与地形面 的交点。
分析：
• ①已知干道两侧边坡的坡度为1，则平距为1个单位。依次画出 边坡等高线；
• ②道路的两条路边线即为同坡曲面的导线，求出弯道的两边缘 线的四等分点，即在导线上取整数标高点，作为锥顶的位置， 分别作正圆锥；
• ③在正圆锥所处的位置上，用半径R=l, 2l, 3l, 4l 作各个正圆锥 的等高线；
高线相交得出两平面等高线的交点。 • ⑤连接标高为61、62和63的等高线的交点，得出两平面的交线。
•10-2 求斜引道的坡面和 坡面的交线以及坡面和地 面的交线。
水平距离L= 平距*高差=2/3 *4= 8/3单位
分析：
• ①标高为0和标高为4的两条等高线之间的水平距离L等于他们的高 度差除以平面的坡度，即高度差乘以平距，即L=4*1=4。
•10-4 求平面和地形面的 交线。
26 25 23 21 19
17
分析：
• ①已知平面的坡度为1，则平距为1，依次画出平面的等高线； • ②求出①所画出等高线与地形面的等高线的交点。 • ③依次用平滑曲线-5 一倾斜弯道与干道 相连，设地面标高为零， 求坡面与地面、坡面与坡 面的交线。
分析：
•①本题是求按a5b4方向垂直平面（垂直水平面）切下去与地形面的 交线 。 •②采用辅助垂直水平面法，求出辅助面与已知平面的交线，就是系 列等高线，交点就是辅助面与已知平面交线上的点 。 •③延长a5b4并过辅助垂直水平面与等高线的作a5b4的垂线，与辅助 面上的等高线相交，形成交点。 •④ 依次平滑连接交点，则形成交线。 •⑤ 画出直线，与交线相交求出交点，k1与k2。
标高投影
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解：先分别与刻度点e1、f2、g3、b4为圆心， 作素线坡度为l/l的正圆锥的标高投影，然后 引直线与各圆锥面的相同标高等高线相切，得 边坡的等高线。 以a4为圆心作正圆锥面上标高为0的等高 线，然后过的d0引直线与它相切，即得变坡上 标高为零的等高线。分别过点hi、i2、j3引线 与它平行，即得边坡上标高为1、2、3的等高 线。 最后求相邻边坡的交线b4n0和a4m0 。所 得标高投影图，如右图所示。
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第三节
建筑物与地形面的交线
１、定义 ：工程建筑物的交线是指建 筑物表面上坡面间的交线。
２、求解方法:辅助平面法
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例题4： 拟用一 倾斜的直路面 ABCD连接标高为0 的地平面和标高 为4的平台（图 a），斜路面两侧 的边坡坡度为l/l， 平台的边坡坡度 为3/2。试作标高 投影图。
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平面的常用表示法
1、几何元素表示法：五种方法表示 2、用一条等高线和平面的坡度线表示平面（右图） 3、用一条倾斜直线和平面的坡度表示平面（左图）
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两平面相交
１、定义：两面（平面或曲面）上相同 标高等高线的交点连线，就是两面的交 线 。
２、解法：用引辅助平面的方法求它们 的交线。所引辅助平面与两已知平面的 交线,分别是两已知平面上相同整数标 高的等高线，他们必然相交于一点。引 两个辅助平面，可得两个交点，连接起 来，即得交线。
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平面对H面的倾角
平面上最大斜度线与它的H面投影之 间的夹角 ，就是平面对H面的倾角。
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例题2：已知一平面Q，由a4.2、b7.5、c1三点 所给定（图a），试求平面Q的坡度线。 解：只要先作出平面的等高线，就可以画出 Qi 。为此，先连各点，并任取两边（例如 a4.2b7.5和b7.5 c1），在其上刻度。然后连 接两边同一标高的刻度点，得出各等高线， 再在适当位置引线垂直于等高线，即可作出 Qi（图b）
解：先分别与刻度点e1、f2、g3、b4为圆心， 作素线坡度为l/l的正圆锥的标高投影，然后 引直线与各圆锥面的相同标高等高线相切，得 边坡的等高线。 以a4为圆心作正圆锥面上标高为0的等高 线，然后过的d0引直线与它相切，即得变坡上 标高为零的等高线。分别过点hi、i2、j3引线 与它平行，即得边坡上标高为1、2、3的等高 线。 最后求相邻边坡的交线b4n0和a4m0 。所 得标高投影图，如右图所示。
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第三节
建筑物与地形面的交线
１、定义 ：工程建筑物的交线是指建 筑物表面上坡面间的交线。
２、求解方法:辅助平面法
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例题4： 拟用一 倾斜的直路面 ABCD连接标高为0 的地平面和标高 为4的平台（图 a），斜路面两侧 的边坡坡度为l/l， 平台的边坡坡度 为3/2。试作标高 投影图。
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平面的常用表示法
1、几何元素表示法：五种方法表示 2、用一条等高线和平面的坡度线表示平面（右图） 3、用一条倾斜直线和平面的坡度表示平面（左图）
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两平面相交
１、定义：两面（平面或曲面）上相同 标高等高线的交点连线，就是两面的交 线 。
２、解法：用引辅助平面的方法求它们 的交线。所引辅助平面与两已知平面的 交线,分别是两已知平面上相同整数标 高的等高线，他们必然相交于一点。引 两个辅助平面，可得两个交点，连接起 来，即得交线。
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平面对H面的倾角
平面上最大斜度线与它的H面投影之 间的夹角 ，就是平面对H面的倾角。
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例题2：已知一平面Q，由a4.2、b7.5、c1三点 所给定（图a），试求平面Q的坡度线。 解：只要先作出平面的等高线，就可以画出 Qi 。为此，先连各点，并任取两边（例如 a4.2b7.5和b7.5 c1），在其上刻度。然后连 接两边同一标高的刻度点，得出各等高线， 再在适当位置引线垂直于等高线，即可作出 Qi（图b）
建筑工程制图课件：标高投影共26页PPT
如 i＝1/2， 则 l＝1/i＝2。 应用：∵一直线的坡度i是常数，∴在已知直线上任取一
点都能计算出它的标高，或已知直线上任意一点的高程，即可 确定它的 H 投影的位置。
【例1-1】已知直线AB的标高投影b3a7，求直线BA上C点 的高程。
【解】（1）求直 线BA的坡度
由图中比例尺量得 LBA=8 m，而HBA=(73)m＝4m，∴直线BA 的坡度i=HBA/LBA＝4/8 ＝1/2。
2、直线的坡度和平距 （1）坡度
直线上任意两点的高度差 直线的坡度 ( i ) ＝
该两点的水平距离
例: 直线AB的坡度 i= H = tana L 上式含义： 当直线上两点间
的水平距离为一个单 位时的高度差。
【例】已知直线AB的标高投影，求直线的坡度。
【解】直线AB的H＝（6－3）＝3 m， L＝6 m (用比例尺量取），则该直线的 坡度
【解】平面
的坡度线对H面 的倾角a＝该平
面对H面的倾角 a。
作图步骤：
（1）作等高线；
（2）作坡度线；
（3）求倾角a。
综合特征：1、平面上的坡度线与等高线
互相垂直，它们的H投影也互相垂直；2、坡
度线的坡度，代表平面的坡度。
（三）平面的表示法以及在平面上作等高线的方法 在标高投影中常用以下三种平面的表示法和作等高线的 方法： 1、用两条等高线表示平面 【例1-4】已知两条等高线20、10所表示的平面，求作高程 为18、16、14、12的等高线。
§1-2 直线和平面的标高投影 一、直线的标高投影
1、直线的标高投影表示法 直线的标高投影表示法有以下两种：
（1）直线的水平投影和直线上两点高程。 （2）直线上一点的高程和直线的方向。
点都能计算出它的标高，或已知直线上任意一点的高程，即可 确定它的 H 投影的位置。
【例1-1】已知直线AB的标高投影b3a7，求直线BA上C点 的高程。
【解】（1）求直 线BA的坡度
由图中比例尺量得 LBA=8 m，而HBA=(73)m＝4m，∴直线BA 的坡度i=HBA/LBA＝4/8 ＝1/2。
2、直线的坡度和平距 （1）坡度
直线上任意两点的高度差 直线的坡度 ( i ) ＝
该两点的水平距离
例: 直线AB的坡度 i= H = tana L 上式含义： 当直线上两点间
的水平距离为一个单 位时的高度差。
【例】已知直线AB的标高投影，求直线的坡度。
【解】直线AB的H＝（6－3）＝3 m， L＝6 m (用比例尺量取），则该直线的 坡度
【解】平面
的坡度线对H面 的倾角a＝该平
面对H面的倾角 a。
作图步骤：
（1）作等高线；
（2）作坡度线；
（3）求倾角a。
综合特征：1、平面上的坡度线与等高线
互相垂直，它们的H投影也互相垂直；2、坡
度线的坡度，代表平面的坡度。
（三）平面的表示法以及在平面上作等高线的方法 在标高投影中常用以下三种平面的表示法和作等高线的 方法： 1、用两条等高线表示平面 【例1-4】已知两条等高线20、10所表示的平面，求作高程 为18、16、14、12的等高线。
§1-2 直线和平面的标高投影 一、直线的标高投影
1、直线的标高投影表示法 直线的标高投影表示法有以下两种：
（1）直线的水平投影和直线上两点高程。 （2）直线上一点的高程和直线的方向。
标高投影
a3 b2
0 1
1:4
a3
2
3m
例1：已知直线AB的标高投影，求该直线的坡度、平
距及线上整数高程点 。
b10.5
b10.5 g9 h10
b10.5
a4.5
0 2 4
a4.5
6m
a4.5
c5
d6
e7
f8
解：
（1）求坡度和平距 根据绘图比例尺量得A、B两点水平距离LAB 为12m，则 直线的坡度为
H AB 10.5 4.5 1 i L AB 12 2
第十章、标高投影
工程建筑物是建在地面上或地面下的，与地面产 生交线。而地形面往往是不规则的复杂曲面，很难用 正投影的方法表达清楚，标高投影则能够很好地解决 这个问题。标高投影法是在水平投影上标注高度数字 表达空间形体的图示方法，由此得到的单面正投影图 称为标高投影图。
标高投影的单位以米计， 是单面正投影，标高 是以某海平面为基准面的，为绝对标高，有些时候采 用相对标高,已选定的水平面为基准面。
（2）求开挖线。可先求开挖线上一系列点。
21 20 19 18
18.00
18 19 20 21 22
18
19
20
21 22 22
21
20
19 18
18
19
20
21 22 22
21
20
19 18
0 2 4 6 8m
0 2 4 6 8m
例2：已知地形面的标高投影，要在地面上修建一高程
21m的平台，挖方坡度为1：1.5，填方坡度为1：2，求 平台各坡面与地面的交线和坡面交线。
例1：在高程为1m的地面上修建一圆形平台，平台顶
标高投影
第十章标高投影10．1标高投影的基本知识道路、桥梁等建筑物都是修建在地面上的，总是要与地面发生联系。
因此，常常需要画出表达地面形状的图形----地形图。
而一般的地面是不规则的曲面，且水平尺寸比高度尺寸大得多，用多面正投影法或轴测投影法都表示不清楚。
为了满足生产的需要，人们创造出了与地形面相适应的表达方法，即标高投影法。
当我们用两个投影表达物体时，如果水平投影能反映出物体的特征，则正面投影只起到提供物体上各特征点、线、面的高度的作用。
若能在水平投影中标明它的特征点、线、面的高度，也可以完全确定物体的空间位置。
如上图，画出四棱台的平面图，并注上其顶面和底面的高度数值（0.00和2.00）及绘图比例，示坡线，就完全确定了四棱台的形状和大小。
这种用水平投影加注高度数值表示空间物体的方法，称为标高投影法。
10.2点和直线的标高投影一、点的标高投影：设水平面H为基准面，它的高度民主数值为零。
基准面以上为正，基准面以下为负。
A、B、C三点分别在H面上方3m，5m，下方2m，作A、B、C三点在H面上的正投影，在其投影图上字母a,b,c的右下角分别标出它们距H面的高度民主数值，得a3,b5,c-2，即为A、B、C三点的标高投影。
板书演示数值3，5和-2称为A、B、C的高程或标高，单位为米，在图中不需注明。
在实际中，选择基准时，尽量不采用负高程。
在工程图中一般采用与测量相一致的基准面，即青岛黄海平均海水面，作为我国同意的高程起算面。
二、直线的标高投影：在标高投影中，直线的位置也是由直线上的两个点或直线上一点和直线的方向确定。
因此，直线的表示法有以下两种：1、直线的水平投影和线上两点的高程。
板书图演示2、直线的方向加注坡度和线上一点的高程，如坡度1：2表示直线的方向，箭头指向下坡。
三、直线的坡度和平距：1、直线的坡度i：直线上两点的水平距离为1米时的高度差数值，即：坡度i=高度差H/水平距离L=tgα（与水平面夹角）由上式可看出，坡度是直线对水平面倾角的正切。
第十一章 标高投影画法几何及土木工程制图
何问题，所以像填挖边坡的交线、坡脚等问题也常用标高投影来求 解。
第十一章 标高投影
4
§11-1 点和直线的标高投影
标高投影的基准面是水平面，但在必要时增加铅垂面作为 辅助投影面，就能把单面投影转化为多面正投影。为了作图的 需要，标高投影图上应画出比例尺或指明绘图比例。
标高投影法不限于在土建工程中使用，在机械工程中像飞 机、船舶、汽车等产品的外壳，也常用类似的方法表示，但基 准面不一定是水平面。
27
§11-3 曲面的标高投影
二、同坡曲面的标高投影
同坡曲面可以看作是锥轴始终垂直于水平面而锥顶沿着空间曲线L运动 的直圆锥的包络曲面。同坡曲面是直纹面，它与圆锥面的切线为同坡曲面上 的坡度线，其坡度等于锥顶半角的余切。用水平面截割同坡曲面及圆锥面， 所得的交线相切，即同坡曲面上的等高线与圆锥面上的同高程的等高线相 切。
第十一章 标高投影
8
§11-1 点和直线的标高投影
例11-1 已知直线AB 的标高投影a9b5 和直线上点C 到点 A 的水平距离L=4m，试求直线AB 的坡度i、平距l 和点C 的高程。
解： 使用图中的比例尺量得点a9和点b5之间的距离为10 m,
于是可求得直线的坡度为：
i = H/L =(9-5)/10 = 2/5
面间的交线。（点 击鼠标看作图）
第十一章 标高投影
21
§11-2 平面的标高投影
最后，以点a6 为圆心，以LAB=6:1/3=18 m 为半径作圆弧， 与坡面上高程为0 的等高线交于b0，a6b0 即为所求的坡面上的一 条坡度i=1:3 的倾斜直线。
边坡面上常画出示坡线，示坡线是一组长短相间、垂直于 等高线的细实线，从高程值大的一侧画向小的一侧。
第十一章 标高投影
4
§11-1 点和直线的标高投影
标高投影的基准面是水平面，但在必要时增加铅垂面作为 辅助投影面，就能把单面投影转化为多面正投影。为了作图的 需要，标高投影图上应画出比例尺或指明绘图比例。
标高投影法不限于在土建工程中使用，在机械工程中像飞 机、船舶、汽车等产品的外壳，也常用类似的方法表示，但基 准面不一定是水平面。
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§11-3 曲面的标高投影
二、同坡曲面的标高投影
同坡曲面可以看作是锥轴始终垂直于水平面而锥顶沿着空间曲线L运动 的直圆锥的包络曲面。同坡曲面是直纹面，它与圆锥面的切线为同坡曲面上 的坡度线，其坡度等于锥顶半角的余切。用水平面截割同坡曲面及圆锥面， 所得的交线相切，即同坡曲面上的等高线与圆锥面上的同高程的等高线相 切。
第十一章 标高投影
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§11-1 点和直线的标高投影
例11-1 已知直线AB 的标高投影a9b5 和直线上点C 到点 A 的水平距离L=4m，试求直线AB 的坡度i、平距l 和点C 的高程。
解： 使用图中的比例尺量得点a9和点b5之间的距离为10 m,
于是可求得直线的坡度为：
i = H/L =(9-5)/10 = 2/5
面间的交线。（点 击鼠标看作图）
第十一章 标高投影
21
§11-2 平面的标高投影
最后，以点a6 为圆心，以LAB=6:1/3=18 m 为半径作圆弧， 与坡面上高程为0 的等高线交于b0，a6b0 即为所求的坡面上的一 条坡度i=1:3 的倾斜直线。
边坡面上常画出示坡线，示坡线是一组长短相间、垂直于 等高线的细实线，从高程值大的一侧画向小的一侧。
标高投影详解
们在高程为零的水平基准
面H上的正投影a、b、c，
并在它们的投影符号字母 的右下角加注各点距离水
平基准面H的高程数字4、0、
-2，这些标注的高程数字称
为点A、B、C的标高，于
是就得到了这三个点的标 高投影。这三个点的标高 投影，也称为它们的标高 投影图，如图2.226b所示。
标高投影详解
(a)立体图
(b)标高投影 图2.226点的标高投影
2021/1/31
Wang cheng第ga2n章g 画法几何
2.10 标高投影
1
2.10 标 高 投 影
2.10.1 点和直线 2.10.2 2.10.3 曲线、曲面和地面 2.10.4
标高投影详解
2021/1/31
Wang cheng第ga2n章g 画法几何
2.10 标高投影
2
《技术制图 投影法》GB/T 14692—1993规定：标高投影中
面，并作出这个平面上的坡度线的准确的下降方向，以及平面
上的高程为3m至7m的诸等高线。
［解］
L=0.5x6 =3m
(a)已知条件
(b)作图原理
（c）作图过程和作图结果
图2.236 作通过a8b2、坡度为1∶0.5和已知大致下降方向的平面， 准确的下降方向，以及平面上的高程为3m至7m的等高线
标高投影详解
24
(2)同坡曲面
(a)已知条件
(b)作图原理和作图方法
（c）作图过程 图2.245
标高投影详解
（d）作图结果
2021/1/31
Wang cheng第ga2n章g 画法几何
2.10 标高投影
25
[例题2.78］如图2.246a所示，设地面是标高为16的水平面，有 一条弯曲的斜引道与顶面标高为20的平台相连，所有填筑坡面 的坡度都是1∶1，求作坡面与地面以及坡面与坡面的交线。
面H上的正投影a、b、c，
并在它们的投影符号字母 的右下角加注各点距离水
平基准面H的高程数字4、0、
-2，这些标注的高程数字称
为点A、B、C的标高，于
是就得到了这三个点的标 高投影。这三个点的标高 投影，也称为它们的标高 投影图，如图2.226b所示。
标高投影详解
(a)立体图
(b)标高投影 图2.226点的标高投影
2021/1/31
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2.10 标高投影
1
2.10 标 高 投 影
2.10.1 点和直线 2.10.2 2.10.3 曲线、曲面和地面 2.10.4
标高投影详解
2021/1/31
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2.10 标高投影
2
《技术制图 投影法》GB/T 14692—1993规定：标高投影中
面，并作出这个平面上的坡度线的准确的下降方向，以及平面
上的高程为3m至7m的诸等高线。
［解］
L=0.5x6 =3m
(a)已知条件
(b)作图原理
（c）作图过程和作图结果
图2.236 作通过a8b2、坡度为1∶0.5和已知大致下降方向的平面， 准确的下降方向，以及平面上的高程为3m至7m的等高线
标高投影详解
24
(2)同坡曲面
(a)已知条件
(b)作图原理和作图方法
（c）作图过程 图2.245
标高投影详解
（d）作图结果
2021/1/31
Wang cheng第ga2n章g 画法几何
2.10 标高投影
25
[例题2.78］如图2.246a所示，设地面是标高为16的水平面，有 一条弯曲的斜引道与顶面标高为20的平台相连，所有填筑坡面 的坡度都是1∶1，求作坡面与地面以及坡面与坡面的交线。
第11章 标高投影
教学内容：
1、 点和直线的标高投影； 2、平面的标高投影； （重点） 3、地形面的标高投影；(重点、难点) 4、标高投影的应用举例。（难点）
§11.1 概述
标高投影概念
这种用水平投影加注高程数值来表示空间形
体的单面正投影称为标高投影。图中高程数值以
米为单位,称为标高，也叫高程。在图中应注明绘
图的比例或画出比例尺。 标高投影应包括水平投影、高程数值、绘图 比例(或比例尺）三要素
等高线 3 1 A E 1 3 2 2 标高 投影
B
平面倾角
二、平面的标高投影
在标高投影中表示平面有许多方法，例如： （1）用确定平面的几何元素 （2）用一组等高线 （3）用一条等高线及标有坡度值的坡度线 （4）用面上一条倾斜直线和平面的坡度
（5）在坡度线上标出刻度
1、一组等高线
平距 关 l= 键 1/i
2、求出各坡面与地面的交线后，各 交线的交点即为坡面间交线上的点。
L3= 3 * 3 =9 L1= 2/3 * 3 =2
3
解题步骤
1、求各边对应的标高为0的等高线。 2、求各坡面间的交线。
L2= 3/2 * 3 =4.5
要点 求出等高线之间的距离:
i= /i
△H /L
L= △H
例: 求作土堤边坡间及边坡与地面间的交线。 分 析 解题步骤
2、一条等高线+坡度线（带箭头和坡度值）
如何转换
0
1
234ຫໍສະໝຸດ 5平距 B平距 3、用面上一条倾斜直线和平面的坡度 A B坡度
？图中可以直接量到是：
4、在坡度线上标出刻度
b4
a3
0 1
2
3
4
5m
《标高投影》PPT课件
L÷L÷==1(1(/42/452=4-=-42444m2m) )
根据坝顶的 高程为45m 画出。
图4-23a
6m 马道宽3m
整理ppt
土坝示意图
24
【例4-13】P149 如图4-25所示，在所给的地形图上，需修建一个广 场，广场的高程为27m，填方边坡为1:2，挖方边坡为1:1.5。求作填、 挖方坡面的坡脚线、开挖线，以及各坡面之间的交线。
H H b6
a3
坡度
a3 b6 1:200
表整理示p法pt一
b6 1:200
表示法二
2
2. 直线的坡度和平距
（1）坡度 直线上任意两点的高度差与该两点的水平距离之比，称 为该直线的坡度，用 i 表示。
i= HL=tana
H
（2）平距 当直线上两点的高度差为一个单
a3
位时，这两点间的水平距离称为该直线的平距，
整理ppt
17
§4-3 曲面的标高投影
在标高投影中，用一系列水平面来截曲面，画出这些截交线的 标高投影，就是曲面的标高投影。
一、正圆锥面
4
3
2 1
4 32 1 0
0
(a)正圆锥面的正面投影
(b)正圆锥面的标高投影
图4-16 圆锥面的标高投影
0 12 3 4
©倒圆锥面的标高投影
✓ 正圆锥面上的等高线都是同心圆，高差相等时，其水平距离也 相等。
1:1.5
1:2
1.00
1:1
L2
L3
1.00
L1
1:1.5
5.00
0 2 4 6 8m
L2
图4-13a
图4-13b
【解】（1）作开挖线 地面高程为5m，故开挖线就是高程为5m的等高线，