插值法及其应用【文献综述】
插值法综述《计算方法》学习报告.讲义
插值法综述一、插值法及其国内外研究进展1.插值法简介插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践，早在一千多年前，我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生之后才逐渐完善的，其应用也日益增多，特别是在计算机广泛使用之后，由于航空、机械加工、自动控制等实际问题的需要，使插值法在实践和理论上都显得更为重要，并得到了空前的发展。
2.国内外研究进展● 插值法在预测地基沉降的应用● 插值法在不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法的应用 ● 拉格朗日插值法在地震动的模拟研究中的应用 ● 插值法在结构抗震可靠性分析中的应用● 插值法在应力集中应变分布规律实验分析中的应用 3.代表性文献● 不等时距GM(1%2c1)模型预测地基沉降研究 秦亚琼 武汉理工大学学报(交通科学与工程版) 2008.2● 不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法 牛志伟 岩土力学 2008.3 ● 基于拉格朗日插值法的地震动的模拟 白 可 山西建筑 2010.10 ● 响应表面法用于结构抗震可靠性分析 张文元 世界地震工程 1997 ● 小议应力集中应变分布规律的实验方法 查珑珑 淮海工学院学报（自然科学版）2004.6二、插值法的原理【原理】设有n+1个互不相同的节点（i x ，i y ） （i=0，1，2，...n ）则存在唯一的多项式： 2012()...(1)nn n L x a a x a x a x =++++使得()(0,1,2,...)(2)n j j L x y j n ==证明：构造方程组20102000201121112012......(3)...n n nn n nn n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩令：0011111nn n nn x x x x A x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦01n a a X a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦01n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 方程组的矩阵形式如下：(4)AX Y=由于110()0nn i j i j A x x -===-≠∏∏所以方程组（4）有唯一解。
插值法的应用与研究
索。
１．１ 刘焯编制的《皇极历》
隋开皇二十年（ 公元 ６００） ， 天文学家刘焯在他编制的《皇极历》中，
在推算日月五星视运动度数时，用一次插值无法解释太阳行度数的不
规则性， 就首先创用了等间距二次插值公式［１］：
ｆ（ｎｌ＋ｓ）＝ｆ（ｎｌ）＋ ｓ ２ｌ
（△１＋△２）＋
ｓ ｌ
（△１－ △２）－
ｓ２ ２ｌ２
两 个 自 变 量 的 已 知 函 数 值 的 近 似 计 算 方 法 。这 种 方 法 是 很 有 使 用 价 值
的。例如， 在天文观测中， 人们不可能每时每刻都进行观测， 因此只能
得 到 日 月 五 星 某 些 时 刻 在 天 球 上 的 位 置 。利 用 这 些 观 测 记 录 推 算 日 月
后人是根本不满足先人的成果的， 他们还在继续探索着。到了郭
守敬， 王恂， 他们除了根据实测考证所有天文数据外， 还利用他们的数
学知识创立了新法， 并在历法上获得的辉煌成就， 而创立了《授时历》。
４１３
科技信息
○计算机与信息技术○ ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
２００７ 年 第 ３６ 期
ｌ２
上 列 “一 行 内 插 公 式 ”的 正 确 性 也 可 以 用 几 何 图 形 来 证 明 。就 一 切
推算方法而论 ， 一 行 的 《大 衍 历 》可 以 算 是 一 个 比 较 完 善 的 历 法 ， 在 唐
代颇有影响， 一直到徐昂的《宣明历》之前还在使用。
１．３ 曹士蔿制成《符天历》
唐 高 宗 时 ， 曹 士 蔿 制 成 《符 天 历 》， 对 当 时 占 主 导 地 位 的 历 法 传 统
方法做了三次重大改革， 其中第三次是以算式［１］：Ｒ＝Ｍ＋ （１８２－ Ｍ）Ｍ ３３００
插值法的应用与研究
插值法的应用与研究插值法是一种计算技术，它能够根据已知的函数或数据点，以计算更新的函数或数据点来进行拟合和外推。
插值算法的应用及其研究十分普遍，几乎每一个工程领域都可以看见它的身影。
本文将详细介绍插值法的应用、研究方法以及研究成果。
一、插值法在工程领域的应用1、物理建模中的应用插值可用于实验物理中的数值拟合，以进行物体状态表述；几何建模和曲面绘制中利用插值可以构建复杂的模型，以描述物体形状；统计方面插值可以用于估计场地内物理参量分布，如土壤、空气温度等；再者，建模还可以用插值法确定关节的运动轨迹。
2、数据处理中的应用插值法在数据处理中也能有很大的作用，用来平滑多峰型数据，以提高信号处理方法的精度；用来增大数据采样精度，以更加精准地表示动画和图像；用来求取自然界特征参量，以更准确地描述物体轨迹。
三、插值法的研究方法插值法的研究主要由以下方面组成：1、插值模型的建立常用的插值模型有牛顿插值、拉格朗日插值等，为了更精准地拟合函数，研究者在此基础上推出了多项式插值、多元插值等模型。
2、插值算法的设计插值算法主要是围绕以上各种插值模型设计的，可以采用基本设计，也可以采用复杂设计，以实现更快、更准确的数据拟合。
3、插值精度的验证插值精度由拟合准确度及影响因素决定，实验中可以设计精细的试验，以验证插值算法的准确性。
四、插值法的研究成果插值法的研究取得了令人满意的成果。
1、在应用拉格朗日插值法研究中，研究者提出了一种改进算法，在计算速度上比基本算法有较大提升；并提出了一种时变拉格朗日插值，在实验数据拟合中精度提高较多；2、常用的复合插值算法，如Lanczos插值法和样条插值法，在实际应用中也发挥了良好的效果。
3、研究者还提出了多项式插值算法，更超越了常规方法，在特定条件下可以实现更高的准确度，如以采样数据的准确度、计算速度和内存利用量等方面。
以上就是插值法的应用及其研究的相关内容，插值法在实际应用中，不仅发挥了关键的作用，也取得了满意的效果，它也必将迎来更大的发展空间。
插值法综述
H ( x) = H ( 2 x + 1) = a 0 + a1 x L a 2 n +1 x 2 n +1 。
6、分段低次插值（Piecewise Linear Interpolation） 通过插值点用折线段连接起来逼近 f ( x ) 。设已知区间 [a, b] 上的 n + 1 个节点 a = x 0 < x1 < L < x n = b 上的函数值 y i = f ( xi )(i = 0,1, L , n ) ，作一个折线函数 ϕ (x ) 满足： ① ϕ (x ) 是区间 [a, b] 上的连续函数；② ϕ (xi ) = y i (i = 0,1,2,L , n ) ；③ ϕ (x ) 在每个小区间
这 些 函 数 称 为 拉 格 朗 日 插 值 基 函 数 ， 而 ϕ n ( x) 它 是 至 多 n 次 多 项 式 ， 且 满 足
ϕ n ( x k ) = ∑ y i l i ( x k ) = y k (k = 0,1,2,..., n) 称其为 n 次拉格朗日插值多项式。
i =0
n
4、牛顿插值多项式： 设有函数 f ( x ) ， x0 , x1 , x 2 , L, 为一系列互不相等的点，称
f ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f [ x, x0 ] + ( x − x0 )( x − x1 ) f [ x 0 , x1 , x 2 ] + L + ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − x n −1 ) f [ x0 , x1 ,L x n ] + ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − x n ) f [ x, x0 , x1 ,L x n ] = N n ( x ) + Rn ( x ) 其中 N n ( x) = f ( x0 ) + ( x − x 0 ) f [ x, x0 ] + ( x − x0 )( x − x1 ) f [ x 0 , x1 , x 2 ] + L + ( x − x0 )( x − x1 ) K ( x − x n −1 ) f [ x0 , x1 , L x n ] Rn ( x) = ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − x n ) f [ x, x0 , x1 , L x n ] = ω n +1 ( x) f [ x, x0 , x1 , L x n ] 显然， N n ( x) 是满足插值条件的至多 n 次的多项式。可得 f ( xi ) = N n ( xi )(i = 0,1,L n) 。 因而它是 f ( x ) 的 n 次的插值多项式。我们称 N n ( x) 为牛顿插值多项式。 5、埃尔米特（Hermite）插值 设已知函数 y = f ( x) 在 n + 1 互异的节点 a ≤ x0 ≤ x1 ≤ L ≤ xn ≤ b 的值 yi = f ( xi ) (i = 1, 2,K n ) 和 y i' = f ' ( x i ) (i = 1, 2,K n ) ，要求一个至多 2n + 1 次的插值多项式
几种插值法的应用和比较
插值法的应用与比较信科1302 万贤浩 132710381格朗日插值法在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法.许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解.如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式.数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现.1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起.1.1拉格朗日插值多项式图1已知平面上四个点：(−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)，拉格朗日多项式：)(x L （黑色）穿过所有点.而每个基本多项式：)(00x l y ,)(11x l y , )(22x l y 以及)(x l y ςς各穿过对应的一点，并在其它的三个点的x 值上取零.对于给定的若1+n 个点),(00y x ,),(11y x ,………),(n n y x ，对应于它们的次数不超过n 的拉格朗日多项式L 只有一个.如果计入次数更高的多项式，则有无穷个，因为所有与L 相差))((10x x x x --λ……)(n x x -的多项式都满足条件.对某个多项式函数，已知有给定的1+k 个取值点：),(00y x ,……,),(k k y x ,其中i x 对应着自变量的位置，而i y 对应着函数在这个位置的取值.假设任意两个不同的i x 都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：)()(0x l y x L j kj j ∑==，其中每个)(x l j 为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：)()()()()()()()()(111100,0k j k j j j j j j j kj i i ij i j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=--=++--≠=∏ ， 拉格朗日基本多项式()x l i 的特点是在j x 上取值为1，在其它的点i x ，j i ≠ 上取值为0. 例：设有某个多项式函数f ，已知它在三个点上的取值为：• 10)4(=f ， • 25.5)5(=f ， •1)6(=f ，要求)18(f 的值.首先写出每个拉格朗日基本多项式：())64)(54()6)(5(0----=x x x l ；())65)(45()6)(4(1----=x x x l ；())56)(46()5)(4(2----=x x x l ；然后应用拉格朗日插值法，就可以得到p 的表达式（p 为函数f 的插值函数）：)()6()()5()()4()(210x l f x l f x l f x p ++=)56)(46()5)(4(1)65)(45()6)(4(25.5)64)(54()6)(5(10----⨯+----⨯+----⨯=x x x x x x)13628(412+-=x x ，此时数值18就可以求出所需之值：11)18()18(-==p f .1.2插值多项式的存在性与唯一性存在性对于给定的1+k 个点：),(),,(00k k y x y x 拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点j x 取值为1，而在其他点取值都是0的多项式)(x l j .这样，多项式)(x l y j j 在点j x 取值为j y ， 而在其他点取值都是0.而多项式()∑==kj jj x ly x L 0)(就可以满足∑==++++==ki j j j i y y x l y x L 0000)()( ，在其它点取值为0的多项式容易找到，例如：)())(()(110k j j x x x x x x x x ----+- ，它在点j x 取值为：)()()(10k j j j i x x x x x x ---+ .由于已经假定i x 两两互不相同，因此上面的取值不等于0.于是，将多项式除以这个取值，就得到一个满足“在j x 取值为1，而在其他点取值都是0的多项式”：)()()()()()()()(111100k j k j j j j j j j i j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx l --------=--=++--∏， 这就是拉格朗日基本多项式. 唯一性次数不超过k 的拉格朗日多项式至多只有一个，因为对任意两个次数不超过k 的拉格朗日多项式：1p 和2p ，它们的差21p p -在所有1+k 个点上取值都是0,因此必然是多项式)())((10k x x x x x x --- 的倍数.因此，如果这个差21p p -不等于0，次数就一定不小于1+k .但是21p p -是两个次数不超过k 的多项式之差，它的次数也不超过k ，所以021=-p p 也就是说21p p =.这样就证明了唯一性.1.3性质拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多项式n l l l ,,,10 （由某一组n x x x <<< 10 确定）可以看做是由次数不超过n 的多项式所组成的线性空间：[]X n K 的一组基底.首先，如果存在一组系数：n λλλ,,,10 使得，01100=+++=n n l l l P λλλ ，那么，一方面多项式p 是满足n n x P x P x P λλλ===)(,,)(,)(1100 的拉格朗日插值多项式，另一方面p 是零多项式，所以取值永远是0.所以010====n λλλ ，这证明了n l l l ,,,10 是线性无关的.同时它一共包含1+n 个多项式，恰好等于[]X n K 的维数.所以n l l l ,,,10 构成了[]X n K 的一组基底.拉格朗日基本多项式作为基底的好处是所有的多项式都是齐次的（都是n 次多项式）.1.4优点与缺点拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐.这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替.此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差.这类现象也被称为龙格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式.2 重心拉格朗日插值法重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一种改进.在拉格朗日插值法中，运用多项式)())(()(10k x x x x x x x l ---= ，图（2）拉格朗日插值法的数值稳定性：如图(2)，用于模拟一个十分平稳的函数时，插值多项式的取值可能会突然出现一个大的偏差（图中的14至15中间） 可以将拉格朗日基本多项式重新写为：∏≠=--=kji i i j jj x x x x x l x l ,0)(1)()(，定义重心权∏≠=-=k ji i i j j x x ,0)(1ω，上面的表达式可以简化为：jjj x x x l x l -=ω)()(，于是拉格朗日插值多项式变为：j kj jjy xx x l x L ∑=-=0)()(ω ， （1）即所谓的重心拉格朗日插值公式（第一型）或改进拉格朗日插值公式.它的优点是当插值点的个数增加一个时，将每个j ω都除以)(1+-k j x x ，就可以得到新的重心权1+k ω，计算复杂度为)(n O ，比重新计算每个基本多项式所需要的复杂度)(2n O 降了一个量级.将以上的拉格朗日插值多项式用来对函数1)(≡x g 插值，可以得到：∑=-=∀kj jjx x x l x g x 0)()(,ω，因为1)(≡x g 是一个多项式. 因此，将)(x L 除以)(x g 后可得到：∑∑==--=k j jjk j jjx x x x x L 00)(ωω， （2）这个公式被称为重心拉格朗日插值公式（第二型）或真正的重心拉格朗日插值公式.它继承了（1）式容易计算的特点，并且在代入x 值计算)(x L 的时候不必计算多项式)(x l 它的另一个优点是，结合切比雪夫节点进行插值的话，可以很好地模拟给定的函数，使得插值点个数趋于无穷时，最大偏差趋于零.同时，重心拉格朗日插值结合切比雪夫节点进行插值可以达到极佳的数值稳定性.第一型拉格朗日插值是向后稳定的，而第二型拉格朗日插值是向前稳定的，并且勒贝格常数很小.3.分段线性插值对于分段线性插值，我们看一下下面的情况.3.1问题的重诉已知211)(xx g +=,66≤≤-x 用分段线性插值法求插值，绘出插值结果图形，并观察插值误差.1.在[-6，6]中平均选取5个点作插值；2.在[-6，6]中平均选取11个点作插值；3.在[-6，6]中平均选取21个点作插值；4.在[-6，6]中平均选取41个点作插值.3.2问题的分析在数值计算中，已知数据通常是离散的，如果要得到这些离散点以外的其他点的函数值，就需要根据这些已知数据进行插值.而本题只提供了取样点和原函数)(x g .分析问题求解方法如下：（1）利用已知函数式211)(xx g +=计算取样点X 对应的函数值Y ；将Y X ,作为两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值.因此被插值函数是一个单变量函数，可利用一维插值处理该数据插值问题.一维插值采用的方法通常有拉格朗日多项式插值（本题采用3次多项式插值），3次样条插值法和分段线性插值.（2）分别利用以上插值方法求插值.以0.5个单位为步长划分区间[-6，6]，并将每一点作为插值函数的取样点.再根据插值函数计算所选取样点的函数值.最后再利用所得函数值画出相应的函数图象，并与原函数)(x g 的图象进行对比.3.3问题的假设为了解决上述分析所提到的问题，本题可以作出如下假设：（1）假设原函数)(x g 仅作为求解取样点对应的样点值的函数关系式.而其他各点的函数值都是未知量，叙用插值函数计算.（2）为了得到理想的对比函数图象，假设)(x g 为已知的标准函数.可以选取0.5个单位为步长划分区间[-6，6]，分别计算插值函数和标准函数)(x g 在该区间的取样点的函数值.画出函数图象进行对比.3.4分段线性插值原理给定区间[]b a ,, 将其分割成b x x x a n =<<<= 10，已知函数)(x f y =在这些插值结点的函数值为),1,0)((n k x f y k k ==；求一个分段函数)(x I k ,使其满足：(1) k k h y x I =)(，),1,0(n k =；(2) 在每个区间[]1,+k k x x 上, )(x I h 是个一次函数.易知,)(x I h 是个折线函数, 在每个区间[]1,+k k x x 上,),1,0(n k =1111)(++++--+--=k kk kk k k k k h y x x x x y x x x x x I ,于是, )(x I h 在[]b a ,上是连续的，但其一阶导数是不连续的. 于是即可得到如下分段线性插值函数：)()(0x l y x I ni i i n ∑==,其中⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≤--=≤≤--=+++---.,0;,;0,111111其他时舍去时，且当时舍去时，且当n i x x x x x x x i x x x xx x x l i i i i i i i i ii i3.5问题的求解在MATLAB 中实现分段线性插值，最近点插值，3次多项式插值，3次样条插值的命令为interp 1,其调用格式为: Y 1=interp 1(X ,Y ,X 1，’method ’)函数根据X ,Y 的值，计算函数在X 1处的值.X ,Y 是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X 1是一个向量或标量，描述欲插值点，Y 1是一个与X 1等长的插值结果.method 是插值方法，包括：linear ：分段线性插值.它是把与插值点靠近的两个数据点用直线连接，然后在直线让选取对应插值点的数.nearest ：近点插值法.根据已知两点间的插值点与这两点间的位置远近插值.当插值点距离前点远时,取前点的值,否则取后点的值.cubic ：3次多项式插值.根据已知数据求出一个3次多项式，然后根据多项式进行插值. spline ：3次样条插值.在每个分段（子区间）内构造一个3次多项式，使其插值函数除满足插值条件外，还要求个节点处具有光滑条件.再根据已知数据求出样条函数后,按照样条函数插值.运用Matlab 工具软件编写代码，并分别画出图形如下： (一)在[-6，6]中平均选取5个点作插值：-10-5051000.20.40.60.81分段线性插值-10-50510-0.500.513次样条插值-10-5051000.20.40.60.81最近点插值-10-5051000.20.40.60.813次多项式插值（二）在[-6，6]中平均选取11个点作插值：-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.81（三）在[-6，6]中平均选取21个点作插值：-10-5051000.20.40.60.81分段线性插值-10-551000.20.40.60.813次样条插值-10-551000.20.40.60.81-10-551000.20.40.60.813次多项式插值（四）在[-6，6]中平均选取41个点作插值-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.8100.20.40.60.8100.20.40.60.813次多项式插值3.6 分段插值方法的优劣性分析从以上对比函数图象可以看出，分段线性插值其总体光滑程度不够.在数学上，光滑程度的定量描述是函数(曲线) 的k 阶导数存在且连续，则称该曲线具有k 阶光滑性.一般情况下，阶数越高光滑程度越好.分段线性插值具有零阶光滑性，也就是不光滑.3次样条插值就是较低次数的多项式而达到较高阶光滑性的方法.总体上分段线性插值具有以下特点：优点: 1.分段线性插值在计算上具有简洁方便的特点.2.分段线性插值与3次多项式插值函数在每个小区间上相对于原函数都有很强的收敛性，（舍入误差影响不大），数值稳定性好且容易在计算机上编程实现等优点缺点: 分段线性插值在节点处具有不光滑性的缺点(不能保证节点处插值函数的导数连续)，从而不能满足某些工程技术上的要求.而3次样条插值却具有在节点处光滑的特点.。
数值分析中的插值理论及应用
数值分析中的插值理论及应用数值分析是一门研究数学运算方法在计算机上实现的学科。
在数值分析中，插值是一种常用的数值近似方法，用于估计或预测在给定数据点之间的未知数值。
本文将介绍插值理论的基本概念和常见方法，并探讨其在实际应用中的作用和意义。
一、插值理论的概念插值是指通过已知数据点之间的数值关系，计算得出新的数据点的数值。
在数值分析中，插值主要用于以下两个方面：1. 数据重建：在给定的数据点上，通过插值方法得到相应函数的近似曲线。
这样可以对已知数据进行补充和估计，使数据更加完整。
2. 函数逼近：在某个区间内，通过数据点之间的插值方法得到一个与原函数相似的函数，以便分析和处理。
二、常见的插值方法以下是数值分析中常见的几种插值方法：1. 线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一，其思想是通过已知数据点的连线来估计新数据点的数值。
线性插值适用于数据点之间变化较为平缓的情况。
2. 拉格朗日插值：拉格朗日插值是一种多项式插值方法，通过已知数据点和一个构造的拉格朗日多项式，计算新数据点的数值。
拉格朗日插值适用于任意数据分布的情况。
3. 牛顿插值：牛顿插值是一种基于差商的插值方法，通过已知数据点和一个构造的牛顿插值多项式，计算新数据点的数值。
牛顿插值适用于数据点较为密集的情况。
4. 样条插值：样条插值是一种光滑插值方法，通过已知数据点和一个构造的光滑曲线，计算新数据点的数值。
样条插值适用于数据点较为离散和分段光滑的情况。
三、插值方法的应用插值方法在各个领域都有广泛的应用，以下是一些典型的应用场景：1. 数学建模：在数学建模中，常常需要通过已知数据点进行函数逼近和数值预测。
插值方法可以用来构建逼近函数和预测模型，为建模提供支持。
2. 图像处理：在图像处理中，插值方法可以用于图像的放大、缩小和重建。
通过已知像素点之间的插值，可以获得新的像素点的数值，从而改变图像的大小和清晰度。
3. 数据分析：在大数据分析中，常常需要对缺失数据进行估计和填补。
插值法的分类与应用
插值法的方法与应用武汉科技大学城市建设学院琚婷婷 结构工程 201108710014【摘要】文章讨论插值法在数值分析中的中心地位和重要作用，比较插值法间的优缺点，应用以及各种方法之间的相互联系。
【关键词】插值法；应用。
1．插值问题的提出在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，但是这些关系的显示表达式不一定都知道，通常只是由观察或测试得到一些离散数值，所以只能从这些数据构造函数的近似表达式，有时虽然给出了解析表达式，但由于解析表达式过于复杂，使用或计算起来十分麻烦。
这就需要建立函数的某种近似表达，而插值法就是构造函数的近似表达式的方法。
2．插值法的数学表达由于代数多项式是最简单而又便于计算的函数，所以经常采用多项式作为插值函数，称为多项式插值。
多项式插值法有拉格朗日插值法，牛顿插值法、埃尔米特插值法，分段插值法和样条插值法等。
其基本思想都是用高次代数多项式或分段的低次多项式作为被插值函数f (x)的近似解析表达式。
3．常用多项式插值公式构造(I)拉格朗日插值n 次拉格朗日插值多项式p n (x)对可表示为p n (x)= y i l i (x)n i=0= y i ( x −xj x i −x jn j ≠0i ≠j n i=0) 其中l i x ,i =0,1,2∙∙∙,n 称为插值基函数，插值余项为：R n (x)= f (x)- p n (x)=f n +1 (ξ)n+1 ！ (x −x i )n i=0拉格朗日插值多项式在理论分析中非常方便，因为它的结构紧凑，利用基函数很容易推导和形象的描述算法，但是也有一些缺点，当插值节点增加、减少或其位置变化时，整个插值多项式的结构都会改变，这就不利于实际计算，增加了算法复杂度，此时我们通常采用牛顿插值多项式算法。
(2)牛顿插值多项式牛顿插值多项式为N(x)=f(x0)+f x0,x1(x−x0)++⋅⋅⋅+f［x0,x1,⋅⋅⋅,x n］(x−x0)(x−x1)⋅⋅⋅(x−x n−1)用它插值时，首先要计算各阶差商，而各高阶差商可归结为一阶差商的逐次计算。
插值法在数字图像处理中的应用
插值法在数字图像处理中的应用一、引言数字图像处理的对象涉及到社会生活的许多领域。
而图像的放大作为数字图像处理中的基本操作尤为重要。
插值法是一种古老的数学方法，尤其是近几十年发展起来的二维插值，是图像处理中不可或缺的方法。
本文主要讨论了最近邻插值法和双线性插值法，并分别用这两种算法实现了图像的放大，从而得出这两种不同算法之间的差异。
二、插值法（一）一维插值已知n+1个节点(xj,yj)(j=0,1,2…n,其中xj互不相同。
不妨设a=x0<x 1<⋯<xn=b),求任一插值点x∗（≠xj）处的值y∗。
构造一个相对简单的函数,通过全部节点，即yj=f(xj)（j=0,1,2…n），再用f(x)计算插值，即y∗=f(x∗)。
其中一维插值法常见的有拉格朗日插值法、埃尔米特插值法和分段低次插值及三次条样插值法等。
（二）二维插值一维插值节点为一维变量，插值函数是一元函数（曲线）。
若节点是二维的，插值函数就是二元函数，即曲面。
如已知n个节点（xi,yi,zi）（如图1），通过全部已知节点，即zi=f xi,yi ,(i=0,1,2…,n)，再用，进行插值，即z= f(x,y)。
常用的插值法有最近邻插值法和双线性插值法：y∗=f(x∗)。
图1.最近邻插值法最近邻插值法就是把所求点的值与它附近的（2×−2）4个邻近的值作比较，取与它的值就近的节点的值为的插值点函数值。
在图像处理中，最近邻插值即选择离它所映射到的位置最近的输入像素的灰度值为插值结果。
若几何变换后输出的图像上坐标为（x′,y′）的像素点在原图像上的对应坐标为（u,v），则近邻插值公式为：g x′,y′ =f(x,y)x=[u+0.5]y=[v+0.5]其中[ ]表示取整。
2．双线性插值法双线性插值法是一片一片空间二次曲面构成，其形式如下：f x,y = ax+b cy+d其中有四个待定系数，利用该函数在矩形的四个顶点（插值节点）的函数值，得到四个代数方程，正好确定四个系数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
文献综述
信息与计算科学
插值法及其应用
插值问题是数值计算中基础而又核心的问题. 在许多实际问题及科学研究中, 因素之间往往存在着函数关系, 然而, 这种关系经常很难有明显的解析表达, 通常只是有观察与测试得到一些离散数值.有时即使给出了解析表达式, 却由于表达过于复杂, 不仅使用不便, 而且不易与进行计算与理论分析. 例如在工程实际问题中, 我们也经常会碰到诸如此类的函数计算问题, 被计算的函数有时不容易直接计算, 如表达式过于复杂或者只希望能用一个“简单函数”逼近被计算函数, 然后用该简单函数的函数值近似代替被计算函数的函数值. 这种方法就叫插值逼近或者插值法. 插值法要求给出函数的一个函数表, 然后选定一种简单)(x f 的函数形式, 比如多项式、分段线性函数及三角多项式等, 通过已知的函数表来确定一个简单的函数作为的近似, 概括地说, 就是用简单函数为离散数组建立连续模型. )(x )(x f 插值方法是一类古老的数学方法, 它来自生产实践. 早在数千多年前, 由于经典的牛顿力学尚未诞生, 因而人们无法用解析式描述日月五星的运行规律. 我们的祖先凭借插值方法, 利用对日月五星运行规律的有限个观测值获得了比较完整的日月五星的运行规律. 在一千多年前的隋唐时期, 中华先贤在制定历法的过程中就已经广泛地运用了插值技术. 公元6世纪, 隋朝刘焊已将等距结点的二次插值应用于天文计算. 但插值的基本理论和结果是在微积分产生以后才逐步完善的, 随后其应用也日益增多, 特别是在电子计算机广泛使用以后, 由于航空、造船、精密机械加工等实际问题的需要,
使插值法在实践上或理论上显得更为重要, 并得到进一步发展.
经典的插值方法以Taylor 插值和Lagrange 插值为代表. Taylor 插值利用函数在定义域内某点处的阶至n 阶导数信息给出复杂函数或未知函数的近似多项式表达式, Lagrange 插0值利用多个离散点的函数信息给出函数的近似多项式的表达式, 进一步根据插值结果对复杂函数或未知函数相关的理论和应用问题做出讨论.因此Taylor 插值和Lagrange 插值有着紧密的联系, Taylor 插值可以看作Lagrange 插值的极限形式；Lagrange 插值则是Taylor 插值的离散化形式.Lagrange 插值的优点是插值多项式特别容易建立, 缺点是增加节点时原有
多项式不能利用, 必须重新建立, 即所有基函数都要重新计算, 这就造成计算量的浪费；Newton插值多项式是代数插值的另一种表现形式, 当增加节点时它具有所谓的“承袭性”. .
在很多实际应用问题中, 为了保证插值函数能更好的密合原来的函数, 不但要求插值函数“过点”, 即插值函数和被插值函数在节点上具有相同的函数值, 而且要求“相切”, 即两者在节点处还具有相同的导数值, 这类插值称作切触插值, 即Hermite插值.由于Taylor 插值利用的是“一点”的各阶导数信息, Lagrange插值利用的“多点”函数信息, 而Hermite插值即利用函数值信息又利用导数信息, 所以Hermite插值是Taylor插值和Lagrange插值的综合和推广.
现在, 插值技术应用越来越广泛了. 当我们尚未认识到某一事物的本质时, 常从其观测点出发, 利用插值技术以加深或拓展对该事物的认识或解决某些特定的问题.
密钥共享即是插值法的应用之一. 在现代密码体制中, 数据的加密算法是公开的, 数据的安全性主要取决于对密钥的保护. 现在基于Lagrange插值多项式也研究出了一种密钥共享方法, 解决了密钥保护问题.
目前实际中使用的也不仅仅局限与上述的插值方法, 很多都是对经典方法的改进, 例如《空间插值法在地阶梯度场中的分析》一文中介绍了4种空间插值法在房产估值中的应用, 4种空间插值方法都各有优缺点, 作者通过对各种方法研究比较, 最后选择克里金插值法作为住宅用地地价梯度场研究的主要方法.根据其研究成果房地产决策者和规划者可以对城市居住用地的土地利用向最有效使用方向调整, 最大限度的实现土地的最高使用价值.
随着计算机的发展以及图像处理的重要性, 插值法在计算机图像处理中也有着重要的作用.图像放大是一种常用的数字图像处理技术, 在航天航天、医学、通讯、多媒体等领域有着广泛的应用, 常用的图像插值算法中, 最临近插值算法的实现最为简单、方便, 但它只是原始像素简单复制到其邻域内, 放大图像会出现明显的方块或锯齿, 即我们平时所说的失真.目前较为好的方法之一即双线性插值算法, 双线性插值算法利用映射点在输入图形的4个邻点的灰度值对映射点进行插值, 即插值点处的数值用待插点最近的4个点的值加权求得. 双线性插值能够较好的消除锯齿, 放大后图像平滑性好.但是其缺点是图像高频信息丢失严重, 即图像细节与轮廓的模糊, 影响了放大图像的清晰度.因此在双线性插值放大技术的基础之上, 加入边缘锐化处理, 增强平滑图像的轮廓, 使放大后的图像有较好的清晰度.
插值法的基本理论和结果是在微积分产生以后才逐步完善的, 其应用也日益增多, 特别是在电子计算机广泛使用以后, 由于航空、造船、精密机械加工等实际问题的需要, 使插
值法在实践上或理论上显得更为重要, 并得到进一步发展.
参考文献
[1]李庆扬, 王能超, 易大义.数值分析.第4版[M].北京:清华大学出版社, 2001.
[2]黄铎, 陈兰平, 王凤.数值分析[M].北京:科学出版社, 2000.
[3]沈燮昌.多项式最佳逼近实现[M].上海:上海科学技术出版社, 1984.
[4]Stoer J, Bulirsh R. Introduction to Numerical Analysis[M].New York:Springer-Verlag, 1980 .
[5]吴才斌．插值法及其应用[J].湖北大学成人教育学院学报, 1999, 17(5):77-80.
[6]杨士俊, 王兴华.Hermite插值多项式的差商表示及其应用[J].高校应用数学学报, 2006,
21(1):70-78.
[7]姜琴, 周天宏.常见的插值法及其应用[J].郧阳师范高等专科学校学报, 2006, 26(3):6-8.
[8]陈文略, 王子羊.三次样条插值在工程拟合中的应用[J].华中师范大学学报, 2004,
38(4):418-422.
[9]朱春钢.二元线性样条插值[J].应用数学, 2006, 19(3):575-579.
[10]李洪杰.关于三次样条插值方法在应用中的一点改进[J].计算机与应用化学, 1991,
8(3):187-190.
[11]王芳.牛顿插值法在数学中的应用[J].浙江师范大学学报, 1994, 17(4):67-73.
[12]张元巨.Hermite插值的一种新形式[J].苏州科技学院学报, 2004, 24(3):27-29.
[13]文畅平.埃米尔特插值函数的工程应用[J].人民黄河, 2006, 28(4):69-70.
[14]C.R.Selvaraj. Lacunary interpolation by consine polynomials [J].Hungar, 1994, 64(4):361-
372.
[15]R.D.Riess. Error estimates of hermite interpolation [J].BIT, 1973, 13:338-343.。