北京市海淀区高三数学上学期期中试题理
2021年海淀高三数学(理科) 年第一学期期中练习答案 doc
2021年海淀高三数学（理科）年第一学期期中练习答案 doc2021年海淀高三数学（理科）-年第一学期期中练习答案doc海淀区高三第一学期期中练习数学（理）参考答案和评分标准2022.11说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）问题编号答案二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．e?110.a？BC11．[2,]1b2c3b4d5c6a7d8b5212.1π13．314．10；{t|t?11或t?,n?n*且n?2}n?1ln2ln()n三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分）解：（i）设{an}的公差为d，根据标题的意思，有A2吗？a1？D5，s5？5a1？10天？？20 (2)分a1d5联立得?5a？10天？？20? 1.a1？？6.解决方案5分d?1?所以an??6?(n?1)?1?n?7………………7分（ii）因为an?n?7，所以sn?a1?ann(n?13)n?………………9分22数学参考答案第1页，共7页顺序n(n?13)?n?7，即n2?15n?14?0………………11分2解得n?1或n?14又n?n*，所以n?14因此，n的最小值是15。
13分16.（本小题满分13分）解决方案：（I）因为f（x）？2cos2x？cos（2x？π2）？2cos2x？sin2x？1.cos2x？sin2x?2sin(2x?π4)?1所以f(π8)?2sin(ππ4?4)?1?2?1（ⅱ）因为f(x)?2sin(2x?π4)?1那么，t？2π2? 圆周率和圆周率？SiNx的单调递减区间为（2kπ?π2,2kπ?3π2），(k?z)所以令2kπ?π2?2x?π4?2kπ?3π2解得kπ?π5π8?x?kπ?8所以函数f(x)的单调减区间为(kπ+π5π8,kπ?8)，(k?z)17.（本分题满分13分）解：（i）在?abc中，因为a?b?c?π所以t anc?tan[π?(a?b)]??tan(a?b)因为tan(a?b)?7，所以tanc??7数学参考答案第2页，共7页................... 2分………………4分................... 6分………………7分………………9分………………10分………………11分 (12)分。
2024年北京海淀区高三(上)期中数学试题及答案
2024北京海淀高三（上）期中数 学2024.11本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|01}A x x x =≤>或，{2,0,1,2}B =−，则AB =（A ）{2,2}−（B ）{2,1,2}− （C ）{2,0,2}−（D ）{2,0,1,2}−（2）若复数z 满足i 1i z ⋅=−，则z =（A ）1i −− （B ）1i −+ （C ）1i −（D ）1i +（3）若0a b <<，则下列不等式成立的是（A ）22a b < （B ）2a ab < （C ）b a a b > （D ）2b aa b+> （4）已知sin ()cos x f x x =，则π()4f '= （A ）1 （B ）2 （C ）1−（D ）2−（5）下列不等式成立的是（A ）0.3log 0.21< （B ）0.20.31< （C ）0.2log 0.30<（D ）0.30.21>（6）若2,,()23,x x a f x x x a ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩为增函数，则a 的取值范围是（A ）[1,)+∞（B ）[3,)+∞（C ）[1,3]−（D ）(,1][3,)−∞−+∞（7）若向量(,1)x =a ，(1,)y =−b ，则下列等式中，有且仅有一组实数,x y 使其成立的是（A ）0⋅=a b （B ）||||2+=a b （C ）||||=a b （D ）||2+=a b（8）大面积绿化增加了地表的绿植覆盖，可以调节小环境气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图. 假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误．．的是（A ）由上图推测，甲地的绿化好于乙地（B ）当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 （C ）当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 （D ）当日比存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相等（9）设无穷等差数列的前项积为n T . 若10a <，则“n T 有最大值”是“公差0d ≥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）已知数列{}n a 满足1(1)n n n a ra a +=−（1,2,3,n =），1(0,1)a ∈，则（A ）当2r =时，存在n 使得1n a ≥ （B ）当3r =时，存在n 使得0n a <（C ）当3r =时，存在正整数N ，当n N >时，1n n a a +> （D ）当2r =时，存在正整数N ，当n N >时，112024n n a a +−<第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2022-2023学年北京海淀区高三(上)期中数学试题及答案
2022北京海淀高三（上）期中数 学2022．11一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知全集{}0U x x =>，集合{}23A x x =≤≤，则UA =（ ）（A ）(0,2][3,)+∞（B ）(0,2)(3,)+∞（C ）(,2][3,)−∞+∞（D ）(,2)(3,)−∞+∞（2）在同一个坐标系中，函数log a y x =与(0x y a a =>且1)a ≠的图象可能是（ ）（3）已知向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则⋅=a b （ ）A ．4B ．C ．4−D ．−（4）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b =，222a b ==，48a =，则{}n b 的公比为（ ）（A ）2（B ）2−（C ）4（D ）4−（5）已知实数,a b 满足a b >，则下列不等式中正确的是（ ）（A ）||a b >（B ）||a b >（C ）2a ab >（D ）2ab b >（6）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称．若3sin 5α=，则cos β=（ ）（A ）45−（B ）45 （C ）35−（D ）35（7）已知函数()f x ．甲同学将()f x 的图象向上平移1个单位长度，得到图象1C ；乙同学将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到图象2C ．若1C 与2C 恰好重合，则下列给出的()f x 中符合题意的是（ ）（A ）12()log f x x =（B ）2()log f x x =（C ）()2xf x =（D ）1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（8）已知函数()e e (0)x x f x a b ab −=+≠，则"0a b +="是"()f x 为奇函数"的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）若P 是ABC ∆内部或边上的一个动点，且AP xAB y AC =+，则xy 的最大值是（ ） （A ）14（B ）12（C ）1 （D ）2（10）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去．若经过n 次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于99100，则n 的最小值为（ ） （参考数据：1g20.301,1g30.477≈≈） （A ）9（B ）10（C ）11（D ）12第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． （11）若复数12i z =−，则z =____． （12）函数1()ln 1f x x x =+−的定义域是____． （13）已知向量(1,1)=a ，(,2)x tx =+b ．若存在实数x ，使得a 与b 的方向相同，则t 的一个取值为____． （14）若函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭和22()cos ()sin ()g x x x ϕϕ=+−+的图象的对称中心完全重合，则ω=____；π6g ⎛⎫= ⎪⎝⎭____．（15）已知函数21,1,(),1.x ax x f x ax x ⎧−++≤=⎨>⎩（1）当1a =时，()f x 的极值点个数为____；（2）若()f x 恰有两个极值点，则a 的取值范围是____．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． （16）（本小题13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为(1,2,)n S n =，且23a =，525S =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等比数列{}n b 的首项为1，公比为q ，在下列三个条件中选择一个，使得{}n b 的每一项都是{}n a 中的项．若*(),k m b a k m =∈N ，求m ．（用含k 的式子表示）条件①：1q =−； 条件②：2q =； 条件③：3q =． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分．（17）（本小题14分）已知函数2()2sin cos 2cos 1f x x x x =+−． （Ⅰ）求π4f ⎛⎫− ⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）求()f x 的最小正周期；（Ⅲ）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．（18）（本小题14分）已知函值321()3f x x x =−．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 在区间(1,]m −上的取值范围是4,03⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围．（19）（本小题14分）某自然保护区为研究某动物种群的生活习性，设立了两个相距12km 的观测站A 和B ，观测人员分别在,A B 处观测该动物种群，如图，某一时刻，该动物种群出现在点C 处，观测人员从两个观测站分别测得30BAC ∠=︒，60ABC =︒，经过一段时间后，该动物种群出现在点D 处，观测人员从两个观测站分别测得75BAD ∠=︒45ABD ∠=︒．（注：点,,,A B C D 在同一平面内）（Ⅰ）求ABD ∆的面积； （Ⅱ）求点,C D 之问的距离．（20）（本小题15分）已知函数s (n)iexx a f x −=．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）当1a =时，证明：函数()2y f x =−在区间(0,π)上有且仅有一个零点； （Ⅲ）若对任意[0,π]x ∈，不等式()2cos f x x ≥−恒成立，求a 的取值范围．（21）（本小题15分）对于一个m 行n 列的数表(2,3)m n A m n ⨯≥≥，用,i j a 表示数表中第i 行第j 列的数，{},0,1i j a ∈(1,2,,;i m =1,2,,)j n =．对于给定的正整数t ，若数表m n A ⨯满足以下两个条件，则称数表 m n A ⨯具有性质()p t ：①1,1j a =，,0(1,2,,)m j a j n ==；②,11,1,21,2,1,(1,2,,1)i i i i i n i n a a a a a a t i m +++−+−++−==−．（Ⅰ）以下给出数表1和数表2．（ⅰ）数表1是否具有性质(2)p ？说明理由；（ⅱ）是否存在正整数t ，使得数表2具有性质()p t ？若存在，直接写出t 的值，若不存在，说明理由； （Ⅱ）是否存在数表2023m A ⨯具有性质(6)p ？若存在，求出m 的最小值，若不存在，说明理由； （Ⅲ）给定偶数(3)n n >，对每一个{}2,3,,1t n ∈−，将集合{m n m A ⨯具有性质}()p t 中的最小元素记为()f t ．求()f t 的最大值．海淀区2022—2023学年第一学期期中练习高三数学参考答案一、选择题二、填空题（11 （12）(0,1)(1,)+∞ （13）答案不唯一，小于1的实数均可（14）2；1−或1 （15）2；(0,2)三、解答题（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为253,25a S ==, 所以113,54525.2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得11,2.a d =⎧⎨=⎩所以21n a n =−. （Ⅱ）选择条件③.因为11,3b q ==， 所以13n n b −=. 因为m k a b =, 即1213k m −−= .得1312k m −+=.因为*k ∈N ,13k −为奇数，131k −+为偶数，所以*m ∈N .可得1312k m −+=.（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）2()2sin()cos()2cos ()14444f ππππ−=−−+−−22(2(1222=⋅+− 1=−.（Ⅱ）()sin 2cos 2)4f x x x x π=+=+.所以()f x 的最小正周期为22T π==π. （Ⅲ）因为0,2x π≤≤所以52,444x πππ≤+≤当242x ππ+=，即8x π=时，()f x 取得最大值，所以()f x 在区间[0,]2π上的最大值为()8f π=；当5244x ππ+=，即2x π=时，()f x 取得最小值， 所以()f x 在区间[0,]2π上的最小值为()12f π=−.（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R .2'()2f x x x =−，令'()0f x =，120,2x x ==.由表可得，()f x 的单调递增区间为(,0),(2,)−∞+∞；单调递减区间为(0,2). （Ⅱ）由函数解析式及（Ⅰ）可知44(1),(0)0,(2),(3)033f f f f −=−==−=.①当(1,2)m ∈−时，4(1,],()3x m f x ∀∈−≠−，不符合题意；②当[2,3]m ∈时，()f x 在区间[1,]m −上的取值范围是4[,0]3−，符合题意；③当3m >时，由()f x 在区间(2,)+∞上单调递增可知()(3)0f m f >=，不符合题意. 综合上述，[2,3]m ∈（19）（本小题14分） 解：（Ⅰ）在ABD △中，75BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒,所以60ADB ∠=︒.由正弦定理：sin sin AD AB ABD ADB =∠∠，得sin 45sin 60AD AB=︒︒，所以，sin4512sin60AD AB︒=⋅==︒(km).1sin sin75sin(4530))2BAD∠=︒=︒+︒=+=,所以ABD△的面积为11sin123622ABDS AB AD BAD=⋅⋅∠=⨯⨯=+△(2km).（Ⅱ）由30BAC∠=︒，60ABC∠=︒, 得45CAD∠=︒,AC=在ACD△中由余弦定理，得2222cos363166260 CD AC AD AC AD CAD=+−⋅⋅∠=⨯+⨯−⨯=.所以，CD=(km).即点C, D之间的距离为km.（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）当2a=时，()e2sinxf x x=−，则(0)1f=.'()e2cosxf x x=−，则'(0)1f=−.曲线()f x在(0,(0))f处的切线方程为1y x=−+.（Ⅱ）当1a=时，记()()2e sin2xg x f x x=−=−−，则'()e cosxg x x=−.当(0,x∈π)时，0e e1,cos1x x>=<,所以'()'(0)0g x g>=.所以()g x在(0,)π上单调递增.因为(0)10,()e20g gπ=−<π=−>,所以函数()2y f x=−在区间(0,π)上有且仅有一个零点.（Ⅲ）设()()cos2h x f x x=+−e sin cos2x a x x=−+−.则'()e cos sinxh x a x x=−−.设()e cos sinxs x a x x=−−.则'()e cos sinxs x x a x=−+.因为当[0,]x ∈π时，0e e 1,cos 1,sin 0x x x ≥=, 所以当0a ≥时，[0,]x ∈π时，'()0s x ≥， 所以'()h x 在区间[0,]π上单调递增()*.（1）当1a >时，'(0)10h a =−<，'()e 0h a ππ=+>, 且'()h x 在区间[0,]π上单调递增， 所以存在唯一0(0,)x ∈π，使得0'()0h x =. 当0(0,)x x ∈时，'()0h x <， 所以()h x 在区间0(0,)x 上单调递减. 可得0()(0)0h x h <=，所以与题意不符.（2）当1a =时,()e sin cos 2x h x x x =−+−. '()e cos sin x h x x x =−−由()*可知：'()h x 在区间[0,]π上单调递增, 所以当[0,]x ∈π时，'()'(0)0h x h ≥=. 所以()h x 在区间[0,]π上单调递增. 所以()(0)0h x h =区间[0,]π上恒成立. 符合题意. （3）当1a <时,()e sin cos 2e sin cos 2x x h x a x x x x =−+−>−+−.由（2）可知，此时()0h x >在区间[0,]π上恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是(,1]−∞. （21）（本小题15分） 解：（Ⅰ）（ⅰ）数表1不具有性质(2)p .理由：2,13,12,23,22,33,3||||||12a a a a a a −+−+−=≠.（ⅱ）存在. 3t =时，数表2具有性质()p t .（Ⅱ）不存在数表2023m A ⨯具有性质(6)p .假设存在m 使得数表2023m A ⨯具有性质(6)p ，则,11,1,21,2,1,||||||6(1,2,,1)i i i i i n i n a a a a a a i m +++−+−++−==−.即在这两行中，有6列的数不同，设其中有k 列是第i 行的数为1，第1i +行的数为0，则有6k −列是第i 行的数为0，第1i +行的数为1.所以，从第i 行到第1i +行，一共增加了62k −个1，1的个数的奇偶性不变. ……7分 所以，任意两行中，1的个数的奇偶性相同.与数表2023m A ⨯第一行有2023个1，最后一行有0个1矛盾. 所以，不存在具有性质(6)p 的数表2023m A ⨯.（Ⅲ）()f t 的最大值的为1n +.定义1m −行n 列的数表(1)m n B −⨯： 其第i 行第j 列为,,1,||1,2,,1(1,2,,)i j i j i j b a a i m j n +=−=−=，.则,{0,1}i j b ∈，且,0i j b =表示,1,,i j i j a a +两数相同，,1i j b =表示,1,,i j i j a a +两数不同. 因为数表m n A ⨯的第1行确定，所以给定数表(1)m n B −⨯后，数表m n A ⨯唯一确定. ①先证()1f t n ≤+.我们按照如下方式，构造数表n n B ⨯：对于第21s −行和第2s 行，1,2,,2n s =， 令21,2121,21,0s s s s b b −−−==，2,212,20,1s s s s b b −==，且在这两行其余的2n −列中，任选相同的1t −列都为1，其他列都为0. 于是可得到具有性质()p t 的数表(1)n n A +⨯如下：第1列第2列第3列第4列第n -1列第n 列第1行 第3行 第5行 … 第n +1行 即对于每个{2,3,,1}t n ∈−，当1m n =+时，都存在数表m n A ⨯具有性质()p t .所以()1f t n ≤+.②再证1t n =−时，()1f t n ≥+. 记,1,2,...(1,2,,)i i i i n S a a a i m =+++=.因为1t n =−是奇数，所以i S 与+1i S 的奇偶性不相同(1,2,,1i m =−).因为10m S n S ==，， 所以m 是奇数.我们考虑(1)m n B −⨯的第i 行和1i +行，因为1t n =−，所以这两行中都有1n −列为1，1列为0. 若这两行相同，则数表m n A ⨯的第i 行和第2i +行相同，2i i S S +=.若这两行不同，设其分别在第,p q 列为0()p q ≠，则数表m n A ⨯的第i 行和第2i +行只在第,p q 列上不同，其他列都相同，2||2i i S S +−≤. 因为1,0m S n S ==，其中n 是偶数. 所以1224311||||22m m m m m m n S S S S S S S S −−−−=−=−+−++−≤⨯. 所以1m n ≥+，即(1)1f n n −≥+. 结合①，(1)1f n n −=+.综上所述，()f t 的最大值的为1n +.。
北京市海淀区高三数学上学期期中试题 理
海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科）本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则AB =A. {1}x x >B. {23}x x <<C. {13}x x <<D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则a 与b A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向D. 平行且反向3. 函数222x x y =+的最小值为A. 1B. 2C. D. 44. 已知命题:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为 A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解 B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解 C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解 D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解5. 已知函数,,log x b c y a y x y x ===的图象如图所示，则A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >> 6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是 A. ()f x 是偶函数 B. 函数()f x 最小值为34C.π2是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 在π0,2（）内是减函数 8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，则称A 为函数()2x f x =上的好位置点. 函数()2x f x =上的好位置点的个数为A. 0B. 1C. 2D. 大于2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀去高三上学期期中数学理科试卷及答案
北京市海淀去高三上学期期中数学理科试卷及答案Revised on July 13, 2021 at 16:25 pm北京市海淀区2011-2012学年高三年级第一学期期中练习数 学理科2011.11选择题共4O 分一、选择题：本大题共8小题;每小题5分;共40分.在每小题列出的四个选项中;选出符合题目要求的一项.1. 设集合{}|(21)(3)0A x x x =--<;{}|14B x x =≤≤;则A B =A. 1; +∞B.0;1(1,)+∞C. (,1)(1,0)-∞-- D. (,0)(0,1)-∞3. 已知等差数列{}n a 中;11a =;33a =-;则12345a a a a a ----= A. 15B. 17C. -15D. 164. 已知非零向量，a b ;那么“⋅>0a b ”是“向量，a b 方向相同”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6. 函数||()1x f x e =-的图象大致是7. 要得到函数sin cos y x x =-的图象;只需将函数cos sin y x x =-的图象A.3B. 2C.1D. O非选择题共110分二、填空题：本大题共6小题;每小题5分;共30分. 9. 曲线1y x=在x =2处的切线的斜率为__________. 10. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中;若22a =;则132a a +的最小值是_________11.点A 是函数()sin f x x =的图象与x 轴的一个交点如图所示.若图中阴影部分的面积等于矩形OABC 的面积;那么边AB 的长等于_________.12. 已知点A1;1;B5;3;向量AB 绕点A 逆时针 旋转32π到AC 的位置;那么点C 的坐标是________ 13. 在△ABC 中;角A;B;C 的对边分别是,,a b c ;a =8; b = 10;ΔABC 的面积为203;则△ABC 中最大角的正切值是_________. 14. 已知数列123:,,,,(3)n A a a a a n ≥;令{|,1}A i j T x x a a i j n ==+≤<≤ ; ()A card T 表示集合AT 中元素的个数.①若A:2;4;8;16;则()A card T =_________；②若1i i a a c +-=c 为常数. 11i n ≤≤-;则()A card T =_________.三、解答题：本大题共6小题;共80分.解答应写出文字说明;演算步骤或证明过程. 15. 本小题共13分已知函数2()sin 2cos 23sin 2f x x x x =-.I 求()f x 的最小正周期； I I 求()f x 在区间[0,]4π上的取值范围.16. 本小题共13分已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列; 23a =;且5a 是4a ; 8a 的等比中项. I 求数列{}n a 的通项公式；I I 设n S 为数列{}n a 的前n 项和;求使n n a S =成立的所有n 的值. 17. 本小题共13分某工厂生产某种产品;每日的成本C 单位：元与日产量x 单位:吨满足函数关系式C=10000+20x ;每日的销售额R 单位:元与日产量x 满足函数关系式 已知每日的利润y = R - C;且当x =30时y =-100. I 求a 的值；II 当日产量为多少吨时;毎日的利润可以达到最大;并求出最大值 18. 本小题共13分已知函数22()ln ()f x x ax a x a R =+-∈. I 若x =1是函数()y f x =的极值点;求a 的值； II 求函数()f x 的单调区间. 19. 本小题共14分设n S 为数列{}n a 的前n 项和;1n n S a λ=-λ为常数;1,2,3,n =.I 若232a a =;求λ的值；I I 是否存在实数λ;使得数列{}n a 是等差数列 若存在;求出λ的值；若不存在.请说明理由 1,2,3,;且1b =前n 项和n T20. 本小题共14分 已知函数2||,()2,x x Pf x x x x M∈⎧=⎨-+∈⎩其中P;M 是非空数集;且P M =∅;设(){|(),}f P y y f x x P ==∈. I 若(,0)P =-∞;[0,4]M =;求 ()()f P f M ；I I 是否存在实数3a >-;使得[3,]PM a =-;且()()[3,23]f P f M a =-- 若存在;请求出满足条件的实数a ;若不存在;请说明理由； I I I 若PM R =;且0M ∈;1P ∈;()f x 是单调递增函数;求集合P;M北京市海淀区2011-2012学年高三年级第一学期期中练习数 学理科2011.11参考答案 一、选择题1、A ；2、D ；3B 、；4、B ；5、D ；6、A ；7、C ；8、B ； 二、填空题9、14-；10、11、2π；12、(3,3)-；13、3或14、106,23,0c n c =⎧⎨-≠⎩，； 三、解答题15、解：1∵2()sin 2cos 22f x x x x =-=11cos 4sin 422xx -……4分=1sin 4cos 4222x x +-=sin(4)32x π+-……6分∴函数()f x 的最小正周期为π……7分2由1知：()f x=1sin(2)232x π+-;因为04x π≤≤;所以44333x πππ≤+≤所以sin(4)123x π-≤+≤……10分所以sin(4)1322x π≤+-≤-所以()f x 在区间[0,]4π上的取值范围是[2-……13分 16、解：1因为5a 是4a ; 8a 的等比中项;所以2548a a a =.……2分 设等差数列{}n a 的公差为d ;则2222(3)(2)(6)a d a d a d +=++;……4分因为23a =;所以220d d +=;因为0d ≠所以2d =-;……6分所以27n a n =-+……7分 2由27n a n =-+可知;15a =;所以1()2n n a a n S +=…9分(572)2n n+-=26n n =-…11分 由n n a S =可得：2276n n n -+=-所以1n =或7n =……13分17、解：1由题意可得：32127010000,0120301040020,120x ax x x y x x ⎧-++-<<⎪=⎨⎪-≥⎩……2分因为x =30时y =-100;所以3211003030270301000030a -=-⨯+⨯+⨯-..……4分 所以3a =……5分 2当0120x <<时;32132701000030y x x x =-++-;……6分21627010y x x '=-++……8分 由216270010y x x '=-++=可得：190x =;230x =-舍……9分 所以当(0,90)x ∈时;原函数是增函数;当(90,120)x ∈时;原函数是减函数;所以当90x =时;y 取得最大值14300. ……11分当120x ≥时;10400208000y x =-≤..……12分所以当日产量为90吨时;每日的利润可以达到最大值14300元..……13分18、解：1函数()f x 的定义域为(0,)+∞……1分 21()2f x a a x x'=+-2221a x ax x -++=因为x =1是函数()y f x =的极值点;所以2(1)120f a a '=+-=……5分所以12a =-或1a =;经检验;12a =-或1a =时;x =1是函数()y f x =的极值点..所以a 的值是12-或1. ……6分2由1知：21()2f x a a x x'=+-2221a x ax x -++=若0a =;1()0f x x'=>.所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞……8分 若0a ≠;令(21)(1)()0ax ax f x x +-+'==解得112x a =-;21x a =……9分 当0a >时;()()f x f x '、的变化情况如下表 + 0极大值∴函数()y f x =的单调递增区间是1(0,)a ;单调递减区间是1(,)a +∞；……11分当0a <时;()()f x f x '、的变化情况如下表 + 0极大值∴函数()y f x =的单调递增区间是1(0,)2a -;单调递减区间是1(,)2a-+∞；……13分 19、1因为1n n S a λ=-;所以111a a λ=-;1221a a a λ+=-;12331a a a a λ++=-……1分由111a a λ=-可知：1λ≠. 所以111a λ=-;22(1)a λλ=-;233(1)a λλ=-因为232a a =;所以2234(1)(1)λλλλ=--;所以0λ=或2λ=……3分2假设存在实数λ;使得数列{}n a 是等差数列;则2132a a a =+……4分由1可得：22321(1)1(1)λλλλλ=+---.所以2232221(1)(1)λλλλλ-+=--;即10=;矛盾. 所以不存在实数λ;使得数列{}n a 是等差数列. ……6分3当2λ=时;21n n S a =- 所以1121(2)n n S a n --=-≥;且11a =.所以122n n n a a a -=- 即12(2)n n a a n -=≥ 所以;0n a ≠*n N ∈;且12(2)nn a n a -=≥ 所以数列{}n a 是以1为首相;以2为公比的等比数列. 所以12n n a -=*n N ∈……8分 因为1n n n b a b +=+1,2,3,n =且1b =11n n n a b --=+ 122n n n a a b ---=++=当1n =时;上式仍然成立. 所以212n n b +=*n N ∈…10分因为(1)nn n na c ab =+所以111122221(21)(21)(21)2n n n n n nn c ----⋅==++++⋅…11分 111211(21)(21)2121n n n n n---=-+⋅+++…12分 所以12n n T c c c =+++=211111112()22121212121n n --+-++-+++++=1121n-+=2121n n -+…14分 20、解：1因为(,0)P =-∞;[0,4]M =;所以()(0,)f P =+∞;()[8,1]f M =- 所以 ()()f P f M =[8,)-+∞…3分2若3M -∈;则(3)15[3,23]f a -=-∉--;不符合题意..所以3P -∈;从而(3)3f -=. 因为(3)3f -=[3,23]a ∈--;所以233a -≥;得3a ≥. 若3a >;则22233(1)12a x x x ->>--+=-+.因为P M =∅;所以23a -的原象0x P ∈且03x a <≤ 所以023x a =-a ≤得3a ≤;矛盾.. 所以3a =. 此时可取[3,1)[0,3]P =--;[1,0)M =-;满足题意. …8分3因为()f x 是单调递增函数;所以对任意0x <;有()(0)0f x f <=;所以x M ∈. 所以(,0)M -∞⊆.同理可证：(1,)+P ∞⊆.若存在001x <<;使得0x M ∈;则200001()2f x x x x >=-+> 于是2000[,2]x x x M -+⊆. 记21002x x x =-+(0,1)∈;22112x x x =-+;… 所以01[,]x x M ⊆. 同理可知12[,]x x M ⊆;… 由212n nn x x x +=-+得221112(1)n n n n x x x x +-=+-=- 所以22221201(1)(1)(1)nn n n x x x x +--=-=-==-对于0[,1)x x ∀∈;取002(1)2(1)[log log (1)1,log log (1)]x x x x -----中的自然数x n ;则1[,]x x n n x x x +∈M ⊆ 所以0[,1)x M ⊆. 综上所述;满足要求的P;M 必有如下表示：(0,)[1,)P t =+∞;(,0][,1)M t =-∞;其中01t <<或者(0,][1,)P t =+∞;(,0](,1)M t =-∞;其中01t <<或者[1,)P =+∞;(,1)M =-∞或者(0,)P =+∞;(,0]M =-∞.…8分 注：若直接写出结论;且正确;给2分..。
北京市海淀区2021届高三数学上学期期中练习试题 理（含解析）
2021-2021年海淀高三年级第一学期期中考试数学（理）试卷解析【试卷结构与特点】本次次海淀区的期中考试范围与往年大体一致，即：集合、函数、三角函数、平面向量、解三角形和数列。
1.本次考试的试题结构和高考的试题结构一致，即选择题8个，每题5分，填空题6个，每题5分，解答题6个，其中4题13分，另外两题14分（高考中14分的题目为立体几何和解析几何，本次期中并未涉及这两个知识内容）。
2.试卷整体难度与去年类似，可是难易程度的散布与去年期中考试不同，更类似于2021年的高考真题的难度散布，即常规大体问题的难度下降，产生了很多“送分题”；可是中档问题考核方向不变，可是考核方式有所改变，增强了知识方式之间的综合和深切明白得知识后的灵活视同；关于难题而言，从命题和设问的角度能够看出，依旧本着考察数学思想、思维方式的方向，同时鼓舞归纳猜想的特点依旧在其中，想完成问题，需要对概念和方式有明确的熟悉，而不是简单经历。
值得注意的是，第8题和第14题的题目难度有所下降，同时，第20题也与往常不同，并非是以组合数学为核心的问题，而变成了函数和不等式的综合考核，但思维方式类似。
3.由于具有以上特点，本次考试相较之前的考试具有了更好的区分度，靠着关于题目“熟悉”才能入手的考生无法在这次考核中取得较高的分数，加倍强调了知识和概念的明白得，和方式背后隐含的数学思想。
通过以上分析，高三的数学温习，题海战术与高考的要求是相违抗的，是一种低效的温习方式。
应在对基础知识和概念的明白得上多下功夫，试探和总结与做题并重，专门是要注重对重要数学思想和思维方式的训练和体会。
【试卷分析】一、选择题部份1.设集合{}|1A x R x=∈>，{}|12B x R x=∈-≤≤，那么A B=（）A.[)1,-+∞ B.()1,+∞ C.(]1,2 D.[)1,1-【分析】此题考查集合的表示与运算，难度不大，把握表示方式、了解运算概念即可解决。
海淀区2024-2025学年高三第一学期期中数学试题(详细解答)
北京市海淀区2024-2025学年高三上学期期中练习数学试题本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.(1)已知集合A={x|x ≤ 0或x>1}，B={-2，0，1，2}，则A ∩B=( ) A.{-2,2} B.{-2,1,2} C.{-2,0,2} D.{-2,0,1,2} 【分析]利用交集的定义可求得集合A ∩B.【解] 因为集合A={x|x ≤0或x >1}，B={-2,0,1,2}，则A ∩B={-2,0,2},故选:C. 2.若复数z 满足i ·Z=1-i ，则Z=( ) A. 1 + i B. -1 + i C. 1 -i D. -1 -i 【分析]根据给定条件，利用复数乘法运算计算即得. [解]由i ·z=1-i ，得-i ²∙z=(1-i)·(-i)，所以z=-1-i.故选:D 3.若a<b<0，则下列不等式成立的是( ) A.a 2<b 2 B. a 2<ab C. ba >ab D.ba +ab ->2【分析]根据不等式的性质及基本不等式，逐项分析即可得解.【解]因为a<b<0，所以-a>-b>0，所以(−a)2>(−b)2，即a 2>b 2 ，故A 错误; 因为a<b<0，所以a 2> ab ，故B 错误;4. 已知 f(x) = sin xcos x ，则f'(π4) = ( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2【分析]求出函数的导函数，计算得解. 【解]：因为f(x)= sin x cos x ,所以f'(π4) = 112=2.故选:B5. 下列不等式成立的是( )【分析]根据指数函数和对数函数的单调性判断各选项即可. 【解]因为函数y=log 0.3x 在(0,+∞)上单调递减，因为函数y=0.2x 在R 上单调递减，6. 若f(x)={x 2，x ≥a 2x +3,x <a在R 上为增函数，则a 的取值范围是( )A.[1,+∞)B.[3,+∞)C.[-1,3]D.(-∞,-1]U[3,+∞)【分析]根据分段函数的单调性列式运算得解.[解]因为f(x)是R 上单调递增函数所以{a ≥0a 2≥2a +3解得a≥3.所以实数a 的取值范围为[3,+∞),故选:B.画图像法：选B(7)已知向量a ⃗ = (x ，1)，b⃗⃗=(-1，y)，则下列等式中，有且仅有一组实数x ，y 使其成立的是 (A)a ⃗·b ⃗⃗=0 ( B) l a ⃗l+|b ⃗⃗| = 2 (C) |a ⃗| =|b ⃗⃗| (D) l a ⃗+b⃗⃗| = 2 解：分析A ：a ⃗·b ⃗⃗=0，-x+y=0.x ，y 有无数组解. 分析B ： l a ⃗l+|b ⃗⃗| = 2,a ⃗⃗⃗⃗·b⃗⃗=0，√x 2+1+√y 2+1=2,x=0,y=0, 有且仅有一组实数x ，y 使其成立的.故B 正确。
北京市海淀区2023~2024学年高三上期中数学参考答案
第 1 页（共 7 页）海淀区2023—2024学年第一学期期中练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）B （2）A （3）D （4）C （5）C （6）D（7）C（8）C（9）B （10）A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （ 11 ）(1,0)(0,)-+∞（12）43（13）1- 1（答案不唯一）（14）3π2 π8（15）①③三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共14分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q .因为23a =，1310a a +=， 所以13a q ⋅=，21110a a q +⋅=． 所以13,1,q a =⎧⎨=⎩或11,39.q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩因为n a 均为整数， 所以13,1.q a =⎧⎨=⎩所以13n n a -= (1,2,3,)n =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，312n n S -=(1,2,3,)n =．所以1113131132323222k k k k k S S +++--+-=⋅-⋅=， 2112131311322222k k k k k S S +++++--+-=-⋅=．第 2 页（共 7 页）所以1121132322k k k k k S S S S +++++-=-=.所以3k S ，12k S +，2k S +是以1132k ++为公差的等差数列．（17）（共14分）解：选择条件①：π()13f =.（Ⅰ）因为()2cos cos()f x x x ϕ=⋅+，所以ππ2cos cos()133ϕ⋅+=，即πcos()13ϕ+=.所以π2π()3k k ϕ=-∈Z .因为||2ϕπ<，所以π3ϕ=-． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：π()2cos cos()3f x x x =⋅-12cos (cos )2x x x =212cos 22x x =⋅11cos2222x x =+ π1cos(2)32x =-+.因为π[,0]2x ∈-，所以4πππ2333x ---≤≤．所以当π2π3x -=-，即π3x =-时，πcos(2)3x -取得最小值1-. 所以()f x 在区间π[,0]2-上的最小值是12-；当ππ233x -=-，即0x =时，πcos(2)3x -取得最大值12． 所以()f x 在区间π[,0]2-上的最大值是1．第 3 页（共 7 页）选择条件③：x ∀∈R ，2π()()3f x f ≥. （Ⅰ）由题意得：()2cos cos()f x x x ϕ=⋅+2cos (cos cos sin sin )x x x ϕϕ=⋅-⋅ 22cos cos sin 2sin x x ϕϕ=⋅-⋅cos2cos sin 2sin cos x x ϕϕϕ=⋅-⋅+ cos(2)cos x ϕϕ=++.因为x ∀∈R ，2π()()3f x f ≥， 所以()f x 的最小值为2π()3f ，即4πcos()13ϕ+=-.所以4ππ(21)π2π()33k k k ϕ=+-=-∈Z . 因为||2ϕπ<，所以π3ϕ=-． （Ⅱ）同选择条件①的（Ⅱ）.（18）（共12分）解：（Ⅰ）由题意令240x -=得2x =±．所以(2,0)A -，(2,0)B .因为点(,0)P t 在线段AB 上（不与端点重合）， 所以22t -<<.因为APQ △为等腰直角三角形， 所以||||PQ AP =.由题意可知点Q 在x 轴上方， 所以(,2)Q t t +． 因为点Q 在曲线C 上， 所以224t t +=-.所以12t =-（舍），21t =，即(1,3)Q .所以APQ △的面积为119||||33222AP PQ =⨯⨯=．第 4 页（共 7 页）（Ⅱ）由题意可知2(,4)Q t t -，22t -<<.所以23211()(2)(4)(248)22S t t t t t t =+-=--++．所以21'()(344)2S t t t =--+.令23440t t --+=，得12t =-，223t =． ()S t 与'()S t 在区间(2,2)-上的情况如下：因为2()327S =，所以当23t =时，()S t 取得最大值12827．（19）（共13分）解：（Ⅰ）连接AB .因为135ADB ∠=︒，120BDC ∠=︒，所以105ADC ∠=︒． 因为45ACD ∠=︒， 所以30CAD ∠=︒. 在ACD △中，sin sin CD ADCAD ACD=∠∠． 所以AD =． 因为30BCD ∠=︒， 所以30DBC ∠=︒． 所以BD CD =.在ABD △中，2222cos135AB AD BD AD BD =+-⋅︒25CD =.因为50CD =，第 5 页（共 7 页）所以AB ==，即A ，B两点之间的距离为m . （Ⅱ）CD 与AB 不垂直．理由如下：延长CD 交AB 于点E . 在ABD △中，sin sin AB ADADB ABD=∠∠.所以1sin 2ABD ∠<. 因为090ABD ︒<∠<︒， 所以30ABD ∠<︒.所以18090BEC CBE BCD ∠=︒-∠-∠>︒. 所以直线CD 与直线AB 不垂直．（20）（共14分）解：（Ⅰ）因为1(1)4f =，2(4)19f =，所以11,1422,1619a b a b +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩解得0,3.a b =⎧⎨=⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）得()f x =．所以'()f x =2=.令'()0f x =，得1x =．当(0,1)x ∈时，'()0f x >；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x <. 所以()f x 的单调递增区间是(0,1)；单调递减区间是(1,)+∞. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知当1x =时，()f x 取得最大值14. ①当14m =时，存在直线14y =是曲线()y f x =在点1(1,)4处的切线，且1()4f x ≤EDCBA第 6 页（共 7 页）对[0,)x ∈+∞恒成立，符合题意． ②当14m >时，设直线y kx m =+为曲线()y f x =的切线，切点为00(,)x y ，则000,1.4x y >⎧⎪⎨≤⎪⎩ 所以000y mk x -=<． 取1mx k=-，则10x >.因为11()03f x x =>+，10kx m +=，所以11()kx m f x +<，即存在1(0,)x ∈+∞，11()kx m f x +<，不符合题意. 综上可知，m 的最大值是14．（21）（共15分）解：（Ⅰ）19A =,235A =． （Ⅱ）由题意知221()332n n S =-⨯-. ①若j 为奇数，则111()02j j j j S S a ++-==-<.所以 j ∉Ω．②若j 为偶数，则当1,2,k j j =++时，211211[()()][()()]0322322j k j k k j S S -=⨯---≥⨯->. 所以 j ∈Ω．所以 {|2,1,2,}x x m m Ω===.（Ⅲ）（1）若Ω为有限集，设其最大元素为m （若Ω为空集，取0m =），则当1,2,j m m =++时，存在k j >满足0k j S S -<.令11i m =+，1min{*|,0}n n n k i i k k i S S +=∈>-<N （1,2,n =），则第 7 页（共 7 页）10n n n i i A S S +=-<. 所以 sgn()1n A =-（1,2,n =）；（2）若Ω为无限集，设12{,,}j j Ω=，其中12j j <<，记1n n n j j B S S +=-，则0n B ≥（1,2,n =）.①若数列{}n B 中只有有限项为正数，记max{*|0}n m n B =∈>N （若{}n B 中没有正数项，取0m =），则0m n B +=（1,2,n =）．令n m n i j +=（1,2,n =），则10n n n i i m n A S S B ++=-==（1,2,n =）.所以 sgn()0n A =（1,2,n =）；②若数列{}n B 中有无穷项为正数，将这些项依次记为12,,t t B B ，其中12t t <<，则10n t t nnt j j B S S +=->（1,2,n =）.令n n t i j =（1,2,n =），则+1+1+11+++=0tt n n n n n nn j j t t t t A S S B B B B -=-=>.所以 sgn()1n A =（1,2,n =）.综上所述，对任意的无穷数列{}n a 都存在数列{}n i ，使得{sgn()}n A 为常数列.。
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海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科）本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则AB =A. {1}x x >B. {23}x x <<C. {13}x x <<D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则a 与b A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向D. 平行且反向3. 函数222x x y =+的最小值为 A. 1B. 2C. 22D. 44. 已知命题:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为 A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解 B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解 C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解 D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解5. 已知函数,,log x b c y a y x y x ===的图象如图所示，则A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >> 6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是 A. ()f x 是偶函数 B. 函数()f x 最小值为34C.π2是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 在π0,2（）内是减函数 8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，则称A 为函数()2x f x =上的好位置点. 函数()2x f x =上的好位置点的个数为A. 0B. 1C. 2D. 大于2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 已知数列{}n a 的前n 项和31n n S =+，则23a a +=_____. 10. 若角θ的终边过点(3,4)P -，则sin(π)θ-=____.11. 已知正方形ABCD 边长为1，E 是线段CD 的中点，则AE BD ⋅=____.12. 去年某地的月平均气温y （℃）与月份x （月）近似地满足函数ππsin()66y a b x =++（,a b 为常数）. 若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为 ℃.13. 设函数2,1,()(0log ,1,xa a x f x a x x ⎧-⎪=>⎨>⎪⎩≤，且1)a ≠.①若32a =，则函数()f x 的值域为______； ②若()f x 在R 上是增函数，则a 的取值范围是_____.14. 已知函数()f x 的定义域为R . ,a b ∀∈R ，若此函数同时满足：①当0a b +=时，有()()0f a f b +=； ②当0a b +>时，有()()0f a f b +>， 则称函数()f x 为Ω函数.在下列函数中：①sin y x x =+；②13()3x x y =-；③0,0,1,0x y x x=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩.是Ω函数的为____.（填出所有符合要求的函数序号）三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15.（本小题满分13分）已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 满足1n n n b b a +-=，且2318,24b b =-=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求n b 取得最小值时n 的值.16.（本小题满分13分）已知函数π()cos(2)cos23f x x x =--.（Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间.17.（本小题满分13分）已知函数3()9f x x x =-，函数2()3g x x a =+.（Ⅰ）已知直线l 是曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线，且l 与曲线()y g x =相切，求a 的值； （Ⅱ）若方程()()f x g x =有三个不同实数解，求实数a 的取值范围.18. （本小题满分13分）如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在边BC 的延长线上，且2BC CD =,AD =（Ⅰ）求CD 的长； （Ⅱ）求sin BAD ∠的值.19. （本小题满分14分）已知函数2()e ()x f x x ax a =++. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：当4a ≥时，函数()f x 存在最小值.20.（本小题满分14分）已知数列{}n a 是无穷数列，满足11lg |lg lg |n n n a a a +-=-（2,3,4,n =）.（Ⅰ）若122,3a a ==，求345,,a a a 的值；（Ⅱ）求证：“数列{}n a 中存在*()k a k ∈N 使得lg 0k a =”是“数列{}n a 中有无数多项是1”的充要条件；（Ⅲ）求证：在数列{}n a 中*()k a k ∃∈N ,使得12k a <≤.海淀区高三年级第一学期期中练习 数 学（理科）答案解析 2016.11一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则AB =A. {1}x x >B. {23}x x <<C. {13}x x <<D. {2x x >或1}x < 【考点】集合的运算，一元二次不等式。
解析：集合B ＝{x|1＜x ＜3}，所以，AB ={23}x x <<，故选B 。
2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则a 与b A. 垂直B. 不垂直也不平行C. 平行且同向D. 平行且反向【考点】平面向量的定义，考查向量平行的判定。
解析：因为2(1,2)2b a =--=-，所以，两个向量平行，且方向相反。
选D 。
3. 函数222x xy =+的最小值为 A. 1B. 2C. 22D. 4【考点】基本不等式，指数函数的性质。
解析：因为2x＞0，所以，有222222222xx x x y =+≥=222xx =，即12x =时取得最小值。
选C 。
4. 已知命题:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解 【考点】命题的否定。
解析：命题的否定，把“存在”改为“任意“，并否定结论，所以，选A 。
5. 已知函数,,log x b c y a y x y x ===的图象如图所示，则A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >>【考点】指数函数、幂函数、对数函数的图象。
解析：根据幂函数的性质，由图可知：0＜b ＜1，由指数函数图象的性质，知：1a >，又当x ＝1时，1y a =＜2，所以，12a <<；由对数函数图象的性质，知1c >，又x ＝2时，由图象可知：log 21c <， 所以，c ＞2，所以，选C 。
6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【考点】平面向量，充分必要条件。
解析：若||||a b a b +>-，则22||||a b a b +>-，化简，可得：0a b >，反过来也成立，故选C 。
7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是 A. ()f x 是偶函数 B. 函数()f x 最小值为34C.π2是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 在π0,2（）内是减函数 【考点】三角函数的图象及其性质。
解析：由42()cos ()sin ()()f x x x f x -=-+-=，知函数()f x 是偶函数，故A 正确。
所以，C 也正确，选D 。
8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，则称A 为函数()2x f x =上的好位置点. 函数()2x f x =上的好位置点的个数为A. 0B. 1C. 2D. 大于2 【考点】指数函数的图象及其性质，应用知识解决问题的能力。
解析：设A （,2xx ），B （2,2xx -），若ABC ∆为等边三角形，则C （11,2x x --），且AC ＝AB ＝2，即121(22)xx -+-＝2，即222x -＝3，又因为y ＝222x -单调递增，所以，方程有唯一解。
第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 已知数列{}n a 的前n 项和31nn S =+，则23a a +=_____. 【考点】数列的前n 项和。
解析：2331a a S S +=-＝（27＋1）－（3＋1）＝24。
故填空24。
10. 若角θ的终边过点(3,4)P -，则sin(π)θ-=____. 【考点】三角函数的定义。
解析：角θ的终边过点(3,4)P -，所以，4sin 5θ=-，sin(π)θ-=4sin 5θ-=，答案：4511. 已知正方形ABCD 边长为1，E 是线段CD 的中点，则AE BD ⋅=____. 【考点】平面向量。
解析：以B 为原点，BC 向右方向为x 轴正方向，BA 向上方向为y 轴正方向，建立直角坐标系，则各点坐标为：A （0,1），B （0,0），D （1,1），E （1，12）， 所以，AE BD ＝（1，－12）（1,1）＝12，答案：1212. 去年某地的月平均气温y （℃）与月份x （月）近似地满足函数ππsin()66y a b x =++（,a b 为常数）. 若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为 ℃.【考点】：三角函数的图象，三函数的运算。