现代谱估计法中几种不同模型参数估计法的比较
Burg算法
功率谱估计的古典算法与现代算法的比较——选取周期图法与Burg算法为例现代信号分析中, 对于常见的具有各态历经的平稳随机信号, 不可能用清楚的数学关系式来描述, 但可以利用给定的 N 个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度叫做功率谱估计(PSD)。
功率谱估计可以分为经典功率谱估计(非参数估计)和现代功率谱估计(参数估计)。
一、古典功率谱估计古典功率谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零, 相当于数据加窗经典功率谱估计方法分为: 相关函数法(BT 法)、周期图法以及两种改进的周期图估计法。
1、相关法相关法是以相关函数为媒介来计算功率谱的，所以又叫间接法，它的理论基础是维纳--辛钦定理。
先对数据工作区外的未知数据赋值为零，再由序列x(n)估计出自相关函数R(n)，最后对R(n)进行傅立叶变换, 便得到 x(n)的功率谱估计。
2、周期图法周期图法是由获得的N点数据构成的有限长序列直接求fft得其频谱，取频谱幅度的平方再除以N，以此作为对x(n)真实功率谱的估计。
3、改进的周期图法改进的周期图法的主要途径是平滑和平均。
平滑是用一个适当的窗函数与算出的功率谱进行卷积，使谱线平滑，这种方法得出的谱估计是无偏的，方差也小，但分辨率下降；平均就是将截取的数据段再分成L个平均的小段，分别计算功率谱后取功率谱的平均，当L趋于无穷大的时候，L个平均的方差趋于零，可以达到一致谱估计的目的。
由于存在旁瓣，会产生两个后果：一是功率谱主瓣能量泄露到旁瓣使谱估计的方差增大，二是与旁瓣卷积后得到的功率谱完全属于干扰，严重情况下，强信号与旁瓣的卷积可能大于弱信号与主瓣的卷积，使弱信号淹没在强信号的干扰中无法检测出来。
这是古典法谱估计的主要缺点，即便是改进的周期图法也无法克服分辨率低的缺点。
我们从中选取周期图法作比较，其算法实现如下：Fs=600; %采样频率n=0:1/Fs:1;%产生含有噪声的序列xn=cos(2*pi*40*n)+cos(2*pi*90*n)+0.1*randn(size(n));n=1:length(xn);figure(1);subplot(2,1,1);plot(n,xn);window=boxcar(length(xn));%矩形窗nfft=1024;[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs);subplot(2,1,2);plot(f,10*log10(Pxx));得到的图形为：二、现代谱估计参数模型法是现代谱估计中的主要内容，AR 模型参数的求解有三种方法：自相关法、Burg 递推算法和改进协方差法。
现代谱估计法及应用效果
二阶 PEF 输出误差功率为 ( 2b)
N- 1
E2 = =
n= 2 N- 1
E
2 [ ef2 ( n) ] 2 + [ eb 2 ( n) ]
E = R ( 3) 递推高一阶前、 后向预测误差, 即
p 2 wp
( 2c)
n= 2
ELeabharlann [ x( n) + a2 ( 1) x( n- 1) + a2 ( 2) x( n- 2) ] 2 +
2009 年 11 月
第 44 卷
增刊 1
# 处理技术 #
现代谱估计法及应用效果
刘志刚*
¹
李录明 º
赵冬梅 »
( ¹ 东方地球物理公司研究院 , 河北涿州 072751; º成都理工大学信息学院 , 四川成都 610059; » 东方地球物理公司物探技术研究中心 , 河北涿州 072751)
刘志刚 , 李录明 , 赵冬梅 . 现代谱估计法及应用 效果 . 石油地球物理勘探 , 2009 , 44 ( 增刊 1) : 5~ 9 摘要 本文针对 Burg 谱估计法中存在的问题 , 讨论了改进 Burg 谱估计法和改进协方差谱 估计法 , 以理论 信号为 测试对象 , 对不同谱估计法的应用效果进行了对比 , 结果表明 : ¹ Burg 谱估计法分辨率明显高于 Welch 谱估计法 , 但 Burg 谱估计法存在明显的峰值偏移 , 改进 Bur g 谱估计法几乎没有峰值偏移 ; º改进协方差谱估计法和 Burg 谱 估计法都具有较高的分辨率 , 而前者的波峰较后者更明显 、 尖锐 , 对于短数据 、 信号频率差异较小的信号 , 前者具有 更好的分辩效果, 还能抑制谱线分裂和出现假谱峰等问题 ; » Itakur a 算法求得的反射系数大于或等于 Bur g 谱估计 法求出的反射系数 , 使得接收到的信号更接近于实际输入信号 , 因此可用 Itakura 算法 替代 Burg 谱估计法 。 实际 地震剖面去噪结果表明 , 以高分辨率谱估计方法为基础的信噪分离方法具有较好的去噪效果 。 关键词 现代谱估计法 L evinson 递推算法 改进 Burg 谱估计法 改进协方差谱估计法 分辨率 反射系数
五种估计参数的方法
五种估计参数的方法在统计学和数据分析中，参数估计是一种用于估计总体的未知参数的方法。
参数估计的目标是通过样本数据来推断总体参数的值。
下面将介绍五种常用的参数估计方法。
一、点估计点估计是最常见的参数估计方法之一。
它通过使用样本数据计算出一个单一的数值作为总体参数的估计值。
点估计的核心思想是选择一个最佳的估计量，使得该估计量在某种准则下达到最优。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是一种常用的点估计方法。
它的核心思想是选择使得样本观测值出现的概率最大的参数值作为估计值。
最大似然估计通常基于对总体分布的假设，通过最大化似然函数来寻找最优参数估计。
矩估计（Method of Moments，简称MoM）是另一种常用的点估计方法。
它的核心思想是使用样本矩和总体矩之间的差异来估计参数值。
矩估计首先计算样本矩，然后通过解方程组来求解参数的估计值。
二、区间估计点估计只给出了一个参数的估计值，而没有给出该估计值的不确定性范围。
为了更全面地描述参数的估计结果，我们需要使用区间估计。
区间估计是指在一定的置信水平下，给出一个区间范围，该范围内包含了真实参数值的可能取值。
常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是对总体参数的一个区间估计，表示我们对该参数的估计值的置信程度。
置信区间的计算依赖于样本数据的统计量和分布假设。
一般来说，置信区间的宽度与样本大小和置信水平有关，较大的样本和较高的置信水平可以得到更准确的估计。
预测区间是对未来观测值的一个区间估计，表示我们对未来观测值的可能取值范围的估计。
预测区间的计算依赖于样本数据的统计量、分布假设和预测误差的方差。
与置信区间类似，预测区间的宽度也与样本大小和置信水平有关。
三、贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯理论的参数估计方法。
它将参数看作是一个随机变量，并给出参数的后验分布。
贝叶斯估计的核心思想是根据样本数据和先验知识来更新参数的分布，从而得到参数的后验分布。
现代谱估计方法分析
现代谱估计方法分析刘传辉（绵阳职业技术学院 信息工程系，四川 绵阳 621000）摘要：谱分析是信号分析的一种工具。
功率谱估计就是基于有限的数据寻找信号、随机过程或系统的频率成分。
它表示随机信号频域的统计特征，有着明显的物理意义，是信号处理的重要研究内容。
研究随机信号在频域的功率分布情况，即功率谱密度或功率谱，功率谱估计有着广泛的应用。
关键词：功率谱；信号分析；信号处理；Matlab ；Simulink中图分类号： 文献标识码：Modern Spectral Estimation MethodsLiu Chuan Hui(Dept. of Information Engineering, Mian yang vocational and technical college , Mang Yang 621000,China)Abstract : Sp ectral analysis is a tool for signal analysis. Power spect rum est imat ion is based on limit ed dat a looking for signals, the frequency of random process or system components. It said random signal frequency-domain stat istical characterist ics, t here is a clear physical meaning, is an important signal processing research content. Of random signals in the frequency domain, power distribution, that is t he power spectral density or power spect rum. Power spectrum estimation has been widely used.Keywords: Power spectrum; Signal Analysis ; Signal Processing; Matlab ；Simulink0、引言随机信号一般不能用明确的数学关系式来描述，也无法预测其未来瞬间的精确值，对于这些随机性质的数据只能用概率和统计平均的方法来描述，比如均值、均方差、相关函数以及功率谱密度函数等，一个平稳随机信号的功率谱密度叫做谱估计。
现代信号处理论文(1)
AR 模型的功率谱估计BURG 算法的分析与仿真钱平（信号与信息处理 S101904010）一．引言现代谱估计法主要以随机过程的参数模型为基础，也可以称其为参数模型方法或简称模型方法。
现代谱估计技术的研究和应用主要起始于20世纪60年代，在分辨率的可靠性和滤波性能方面有较大进步。
目前，现代谱估计研究侧重于一维谱分析，其他如多维谱估计、多通道谱估计、高阶谱估计等的研究正在兴起，特别是双谱和三谱估计的研究受到重视，人们希望这些新方法能在提取信息、估计相位和描述非线性等方面获得更多的应用。
现代谱估计从方法上大致可分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计两种。
基于参数建摸的功率谱估计是现代功率谱估计的重要内容，其目的就是为了改善功率谱估计的频率分辨率，它主要包括AR 模型、MA 模型、ARMA 模型，其中基于AR 模型的功率谱估计是现代功率谱估计中最常用的一种方法，这是因为AR 模型参数的精确估计可以通过解一组线性方程求得，而对于MA 和ARMA 模型功率谱估计来说，其参数的精确估计需要解一组高阶的非线性方程。
在利用AR 模型进行功率谱估计时，必须计算出AR 模型的参数和激励白噪声序列的方差。
这些参数的提取算法主要包括自相关法、Burg 算法、协方差法、 改进的协方差法，以及最大似然估计法。
本章主要针对采用AR 模型的两种方法：Levinson-Durbin 递推算法、Burg 递推算法。
实际中，数字信号的功率谱只能用所得的有限次记录的有限长数据来予以估计，这就产生了功率谱估计这一研究领域。
功率谱的估计大致可分为经典功率谱估计和现代功率谱估计，针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出了现代谱估计，AR 模型谱估计就是现代谱估计常用的方法之一。
信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，通常是求其功率谱来进行频谱分析。
功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，在许多领域都发挥了重要作用。
参数估计的类型和优缺点
参数估计的类型和优缺点
参数估计是一种统计学方法，用于估计未知参数的值。
根据所使用的数据类型和模型假设，参数估计可以分为不同的类型，每种类型都有其优缺点。
以下是一些常见的参数估计类型及其优缺点：
1.点估计：点估计是最简单的参数估计形式，它使用单一的观测值或样本统计量来估计未
知参数的值。
优点是简单直观，计算方便；缺点是精度较低，且无法给出估计的不确定性或误差范围。
2.区间估计：区间估计使用样本统计量和某些统计方法来估计未知参数的可能取值范围。
优点是能够给出估计的不确定性或误差范围，从而更好地了解参数的精度；缺点是计算较为复杂，需要更多的数据和计算资源。
3.贝叶斯估计：贝叶斯估计基于贝叶斯定理，使用先验信息、样本信息和似然函数来估计
未知参数的后验分布。
优点是能够结合先验信息和样本信息，更好地了解参数的不确定性；缺点是需要主观设定先验分布，可能会受到主观因素的影响。
4.极大似然估计：极大似然估计通过最大化似然函数来估计未知参数的值。
优点是方法简
单、计算方便，且在某些情况下具有一致性和渐近正态性等优良性质；缺点是对某些复杂的模型或数据分布可能不适用。
5.最小二乘估计：最小二乘估计通过最小化误差的平方和来估计未知参数的值。
优点是计
算简便，适用于多种线性回归模型；缺点是对模型的假设要求较高，且容易受到异常值的影响。
ARMA现代谱估计
M
(2)求 ak , bk与 c k 之间的关系式
B( z ) 1 从关系式： 可以得到： A( z ) ( z ) C
k 0
ak z
p
k
( bk z )( c h z h ) k 0 h 0
k
q
M
(a0 c0 1)
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b1 c p 1 c p 2 q b2 c p 2 b cp q c p q
c p 1- q
当该矩阵是非奇异矩阵时，由上式可以求出系数{bk }的估 计值
jw
B (e ) B (e ) B (e )
2 * jw jw 2 jw
2
A (e ) A(e )
* jw jw
A(e jw )
2
( 4)
这样,如果激励白噪声的方差 2 及模型的参数a1......ap , b1......bq 已知，那么由上式可以求出X(n)的功率谱。
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10
MA(moving-average)模型
在(1)中，若 a1......a p 全为零；那么(1)(3)及(4)式分别变为：
x(n) u (n) bk u (n k )
k 1
p
H ( z ) B( z ) 1 bk z k
（2）对信号的AR模型，选择恰当的模型阶数p；
参数估计的三种方法
参数估计的三种方法参数估计是统计学中的一项重要任务，其目的是通过已知的样本数据来推断未知的总体参数。
常用的参数估计方法包括点估计、区间估计和最大似然估计。
点估计是一种常见的参数估计方法，其目标是通过样本数据估计出总体参数的一个“最佳”的值。
其中最简单的点估计方法是样本均值估计。
假设我们有一个总体，其均值为μ，我们从总体中随机抽取一个样本，并计算出样本的平均值x。
根据大数定律，当样本容量足够大时，样本均值会无偏地估计总体均值，即E(x) = μ。
因此，我们可以用样本的平均值作为总体均值的点估计。
另一个常用的点估计方法是极大似然估计。
极大似然估计的思想是寻找参数值，使得给定观测数据出现的概率最大。
具体来说，我们定义一个参数θ的似然函数L(θ|x)，其中θ是参数，x是观测数据。
极大似然估计即求解使得似然函数取得最大值的θ值。
举个例子，假设我们有一个二项分布的总体，其中参数p表示成功的概率，我们从总体中抽取一个样本，得到x个成功的观测值。
那么，样本观测出现的概率可以表示为二项分布的概率质量函数，即L(p|x) = C(nx, x) * p^x * (1-p)^(n-x)，其中C(nx, x)是组合数。
我们通过求解使得似然函数取得最大值的p值，来估计总体成功的概率。
与点估计相比，区间估计提供了一个更加全面的参数估计结果。
区间估计指的是通过样本数据推断总体参数的一个区间范围。
常用的区间估计方法包括置信区间和预测区间。
置信区间是指通过已知样本数据得到的一个参数估计区间，使得这个估计区间能以一个预先定义的置信水平包含总体参数的真值。
置信水平通常由置信系数（1-α）来表示，其中α为显著性水平。
置信区间的计算方法根据不同的总体分布和参数类型而异。
举个例子，当总体为正态分布且总体方差已知时，可以利用正态分布的性质计算得到一个置信区间。
预测区间是指通过对总体参数的一个估计，再结合对新样本观测的不确定性，得到一个对新样本值的一个区间估计。
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即 a1 , !, ap , 2 , 根据前 p + 1 个自相关函数r x ( 0) ,
rx ( 1) , !, r x ( p ) , 就可利用 Y ule Walker 方 程求出
模型参数, 从而估计出信号 x ( n) 的功率谱。
2 B urg 算法
Burg 算法是建立在数据基础上的模型 参数求 解的有效算法, 其计算递推公式如下:
3. 3 用 P isar enro 谐波分解法估计数据正弦频率
Pisarenro 谐波分解法主要用于混有白噪 声的 正弦信号频率估计及功率谱估计。通过相关阵的特 征分解, 基于噪声子空间进行频率估计及功率谱估 计。信号功率谱图及频率估计如图 3 及表 1 所示。
函数中对自相关函数的估计比较准确。
表 1 信号频率实际及估计值
摘要: 为了克服经典的功率谱估计方法存在的方差大、分辨率低 的缺点, 产生了现 代谱估计 法。首先介绍 了现代 谱
估计法中的几种模型参数估计法, 通过仿 真比较了 其性能, 并对 模型阶 次的选 择作了 分析, 对实际 的工程 应用有 一
定的参考价值。
关键词: 自相关法; Burg 法; Pisar enr o 谐波分解法
参考文献
图 3 Pisar enr o 谐波分解 法信号功率谱估计图
由图 3 及表 1 可以看出: P isarenr o 谐波分解法 对正弦信号频率的估计较精确, 这主要是由于 Peig
[ 1] H ayes M H. Statistical Dig ital Signal Pro cessing and M odeling [ M ] . N ew Y ork: John W iley & So ns,
频率 真实值 估计值
f 1∀
0. 1
0. 099 9
f 2∀
0. 25 0. 249 0
f 3∀
0. 26 0. 260 0
4 结束语
参数模型法是现代谱估计的主要内容, 在对模 型的参数估计中, 不仅不同的参数估计方法对功率 谱估计的精度有所不同, 而且谱估计的质量受模型 阶次的影响, 阶次过低, 谱太平滑, 反映不出谱峰; 阶 次过大, 容易产生虚假峰值。阶次的选择需要在实 际中对所得结果作多次比较后, 予以确定。1 自相关法来自对于 AR 模型, 有:
p
x ( n) = - akx ( n- k) + u( n)
( 1)
k= 1
式中: u( n) 、x ( n) 为实平稳的随机信号; u( n) 为白噪
声; 2 为方差。
经过推导, 可得:
收稿日期: 2008- 05- 13
第 1期
支冬栋等: 现代谱估计法中几种不同模型参数估计法的比较
101
p
- akr x ( m - k) , m 1
rx ( m) =
k= 1 p
( 2)
- akr x ( k ) + 2 , m = 0
k= 1
式中: rx ( m) 为 x ( n) 的自相关函数。
上式是 AR 模型 的正则方 程( Yule Walker 方
程) 。因此, 一个 p 阶 AR 模型共有 p + 1 个参数,
Inc. , 1996. [ 2] 胡 广 书. 数 字 信 号 处 理 [ M ] . 北 京: 清 华 大 学 出 版
社, 2003. [ 3] 徐立军, 张锐, 杨红兵. A RM A 谱估计 简介及 方法[ J] .
重庆科技学院学报, 2005( 2) : 78- 80.
式中: k m = N - 1
n= m
N- 1
, m=
|
e
f m-
1
(
n)
|
2+
| ebm- 1 ( n- 1) | 2
n= m
n= m
1 , 2, !, p , km 中的 初 始条 件 为e0 f ( n) = x ( n ) , e0 b( n) = x ( n) 。
由此可通过迭代求得模型参数, 从而估算出信 号的功率谱。需要特别说明的是, 上述迭代过程是 建立在数据驱动基础上的, 避开了先估计自相关函 数的步骤。
0引言
功率谱在随机信号分析与变换中起着类似于频 谱在确定性信号分析中的作用。经典功率谱估计方 法由于无法实现功率谱密度原始定义中的求均值和 求极限的运算, 对周期图法假定了数据窗以外的数 据全为零, 对自相关法假定了在延迟窗以外的自相 关函数全为零, 这使得传统功率谱估计方法存在方 差性能较差、分辨率较低等缺点。为了克服传统谱 估计方法的这些缺陷, 一些专家学者提出了现代谱 估计方法。其中, 参数模型法由于将信号看成是一 随机输入序列通过一线性系统的输出, 通过建立模 型来估计信号的功率谱, 不仅数学表达式简单明了, 而且有明显的物理意义, 已经成为现代谱估计的重 要方法, 在实际应用中获得了广泛的应用。
rx ( m) =
^am( k ) = ^am- 1 ( k) + ^km^a m- 1 ( m - k ) ,
k = 1, 2, !, m - 1
( 3)
^am( k ) = ^k m
^ m = ( 1 - | ^km | )^ m- 1
( 4)
N- 1
-2
e
f m-
1(
n)
e
b* m-
1(
n-
1)
自回归( AR) 模型、移动平均( M A) 模型和自回 归/ 移动平均( A RM A) 模型是功率谱估计中最主要
的参数模型, 其中 AR 模型由线性方程描述, 而 M A 和 ARMA 模型则由非线性方程描述。由于 MA 和 ARMA 模型均可用高阶的 AR 模型来近似, 因此这 里主要分析讨 论 AR 模 型参数不同估 计方法的性 能。对于 AR 模型参数的估 计, 有 自相关法、Burg 法等, 本文以被白噪声污染了的 3 个正弦信号为例, 分析了不同方法对模型参数估计精度的影响, 并与 对正弦信号频率有良好估计能力的 Pisar enro 谐波 分解法进行了比较。
( 1. Nav y L og istic Department, Beijing 100841, China; 2. N avy Eng ineering U niversit y, W uhan 430033, China)
Abstract: T he modern spect rum est im at ion m et hod is dev elo ped t o overcome t he short comings of t he classical spect rum est imatio n met hod such as larg e variance and lo w resolution. T his paper first ly int roduces several mo del param et er est imat io n m et hods in moder n spect rum estimat ion, t hen com pares t he perf orm ances of t he models thro ug h simulat ion, and analyzes t he select ion of t heir ex ponent number, w hich has def init e ref erence v alue t o t he pract ical engineering applicatio n. Key words: aut ocorrelation method; Burg m et hod; Pisarenro harmo nic decomposit ion m et hod
3. 1 用自相关法求解模型系数, 并估计信号功率谱 由于模型参数估计中, 模型阶数的选择也会对
模型参数的求解精度产生影响, 因此在仿真中也充 分考虑了这一点, 分析比较了不同阶次对参数估计 的影响。图 1 为模型阶数 p = 8, 11, 14, 24 时信号的 频谱估计图。
图 1 不同阶数时自相关法 信号功率谱估计图
2009 年 2 月 第 32 卷第 1 期
舰船 电 子 对抗
SH IPBO ARD EL ECT RO NI C CO U NT ERM EA SU R E
Feb. 2009
V ol. 32 N o. 1
现代谱估计法中几种不同模型参数估计法的比较
支冬栋1 , 卫红凯2 , 杜 斌1
( 1. 海军后勤部, 北京 100841; 2. 海军工程大学, 武汉 430033)
时, 能识别出相邻的峰值信号, 但可能产生谱分裂现 象( 如 p = 24 时在 0. 1 附近) 。 3. 2 B ur g 法求解模型系数, 估计信号功率谱
同样在仿真中, 也比较不 同阶次下对 Burg 法 参数估计精度的影响, 并将估计结果与自相关法的
10 2
舰船 电子 对 抗
估计结果进行比较。图 2 为模型阶数 p = 8, 11, 14, 20 时信号的频谱估计图。
中图分类号: T N911. 7
文献标识码: A
文章编号: CN 32 1413( 2009) 01 0100 03
Comparison of Several Different Model Parameter Methods in
Modern Spectrum Estimation
ZH I Dong dong1 , WEI H ong kai2 , DU Bin1
第 32 卷
图 2 不同阶 数时 Burg 法信号功率谱估计图
对以上功率谱图进行分析: Burg 法比自相关法 对功率谱的估计效果要好很多, 能够识别小信噪比 的信号( f 1 = 0. 1) , 对于相邻峰值的 2 个信号( f 2 = 0. 25, f 3= 0. 26) 也可以识别, 但可能产生频率漂移 现象( 如阶数 p = 8 时在 f 1 = 0. 1 处) 。随着模型阶 次的增加, 信号的分辨 率增大, 但会产生虚假 峰值 ( 如阶数 p = 20 时尤为明显) 。