第八章参数模型功率谱估计资料
功率谱估计教材
1 ˆxx (m) r N
ˆ ( w) P BT
N |m|1
n 0
x ( n ) x ( n m)
m m
ˆxx (m) e jwm r
自相关法
由于在估计x的自相关函数时，数据的长度为N， 因此估计的自相关函数r̂xx(m)的长度为2N-1点：
ˆxx (m) r ˆxx (m) r 0
功率谱估计
--非参数估计方法
功率谱估计
经典功率谱估计（非参数法）
自相关法 周期图法
参数谱估计（参数法）
AR、MA、ARMA模型
经典谱估计法-自相关法
自相关法-BT(Blackman-Tukey提出)
随机信号的一个样本数据为[x(0),x(1),…,x(N-1)]，长 度为N。 先根据样本数据估计自相关函数r̂xx(m)，再利用FFT 变换，得到功率谱的估计PBT(w)。
m
jwm ˆ E[rxx (m)]e
窗函数法
则自相关函数的变化：
1 ˆxx (m)] E[r N
n
E[ x(n)v(n) x(n m)v(n m)]
1 E[ x(n) x(n m)] v(n)v(n m) N n
1 rxx (m) N
这样，功率谱估计为：
m N 1 m N 1
| m | N 1 else
ˆ ( w) P BT
jwm ˆ rxx (m) e
周期图法
相关法是利用样本数据对自相关函数进行估计， 进而估计功率谱密度，而周期图法则根据功率 谱密度的另一定义：
1 N 1 Pxx (w) lim E[ | x(n)e jwn |2 ] N N n 0
第8章 功率谱估计-第2讲
2 N p 1 min f p n n0
(3) 协方差法
N 1 2 min f p n n p
不加窗，效率高,潜在不稳 定因素
不加窗，更多数据--〉更好 的估计和更低误差；最小 化复合全局误差。
▲ ■
8.3 AR模型功率谱估计
1. AR模型功率谱估计原理 2. 基于Levinson-Durbin算法的自相关法 3. Burg算法 4. 非约束最小二乘法 5. AR模型阶次的选择 6. AR模型谱估计的性质
▲ ■
8.3.1 AR模型功率谱估计原理
假设模型的差分方程和系统函数分别用下式表示：
x(n) a p (k )(n k ) w(n)
k 1
设已求得 m 1 阶Yule-Walker方程
▲ ■
8.3.2 基于L-D的自相关法
rx (0) r (1) x rx (2) rx (m 1) rx (m 1) rx (m 2) rx (m 3) rx (m 2) rx (m 3) rx (0) rx (1) rx (0) p (1)
i 1
ˆ n p a p ,i x n p i x
▲ ■
8.3.1 AR模型功率谱估计原理
a p (1)
x n 1
ˆ n a p ,i x n i x
i 1
p
a p ( p 1)
▲
■
8.3.1 AR模型功率谱估计原理
假定 w(n)、x(n)都是实平稳的随机信号，w(n)为白 2 x(n) 为服从AR过程的因果信号。 噪声，方差为 ， 由AR模型的差分方程，有
功率谱估计
功率谱估计引言：对信号和系统进行的分析研究、处理有两类方法：一类是在时域内进行，维纳滤波、卡尔曼滤波以及自适应滤波等都属于时域处理方法；另一类方法是频域研究方法。
对于确定性信号，傅里叶变换是在频率分析研究的理论基础，但是在实际生活中大多数信号是随机信号，而随机信号的傅里叶变换是不存在的，在实际应用中，通常通过采集和观测平稳随机过程的一个抽样序列的一段（有限个）数据，根据这有限个已知的数据来估计随机过程的功率谱问题来对随机信号进行分析，这即是频率谱估计。
功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内通过用某种有效的方法来估计出其功率谱密度，从而得出信号、噪声及干扰的一些性质来，提取被淹没在噪声中的有用信号。
功率谱估计就是通过信号的相关性估计出接受到信号的功率随频率的变化关系，实际用途有滤波，信号识别（分析出信号的频率），信号分离，系统辨识等。
谱估计技术是现代信号处理的一个重要部分，还包括空间谱估计，高阶谱估计等。
按照Weiner —Khintchine 定理，随机信号的功率谱和其自相关函数服从傅里叶变换关系，可以得出功率谱的一个定义，如公式（1）所示：()jwm m xx jw xx e m re P -∞-∞=∑=)( 公式（1）对于平稳随机信号，服从各态历经性，集合平均可以用时间平均来代替，可以推出功率谱的另一定义。
如公式（2）所示：()])(121[2lim ∑-=-∞→+=N N n jwn N jw xx e n x N E e P 公式（2）频率谱估计主要分为经典谱估计和现代谱估计，经典谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零,相当于数据加窗,主要方法有相关法和周期图法;现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱,主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的,应用最广的是AR 参数模型。
参数法功率谱估计
参数法功率谱估计一、信号的产生（一）信号组成在本实验中，需要事先产生待估计的信号，为了使实验结果较为明显，我产生了由两个不同频率的正弦信号（频率差相对较大）和加性高斯白噪声组成的信号。
（二）程序N=1024;n=0:N-1;xn=2*cos(2*pi*0.2*n)+ cos(2*pi*0.213*n)+randn(1,1024);这样就产生了加有白噪声的两个正弦信号其波形如下0100200300400500600-8-6-4-2246810(a) 两个正弦信号与白噪声叠加的时域波形二、参数模型法功率谱估计（一）算法原理简介1．参数模型法是现代谱估计的主要内容，思路如下：① 假定所研究的过程)(n x 是由一个白噪声序列)(n 激励一个因果稳定的可逆线性系统)(z H 的输出；② 由已知的)(n x ，或其自相关函数)(m r x 估计)(z H 的参数；③ 由)(z H 的参数来估计)(n x 的功率谱。
2．自回归模型，简称AR 模型，它是一个全极点的模型。
“自回归”的含义是：该模型现在的输出是现在的输入和过去p 个输出的加权和。
此模型可以表现为以下三式：① ∑=+--=p k k n u k n x a n x 1)()()(；② ∑=-+==p k kk z a z A z H 111)(1)(；③ 2121)(∑=-+=p k jwkk jw x e a e P σ。
3．AR 模型的正则方程建立了参数k a 和)(n x 的自相关函数的关系，公式如下：=)(m r x ∑=--p k x k k m r a 1)( 1≥m 时，=)(m r x 21)(σ+-∑=k r a pk x k 0=m 时。
（二）两种AR 模型阶次的算法1．Yule-Walker 算法(自相关法)（1）算法主要思想Yule-Walker 算法通过解Yule-Walker 方程获得AR 模型参数。
从低阶开始递推，直到阶次p ，给出了在每一个阶次时的所有参数。
第8章 功率谱估计-第1讲
n
RN ( n )e
jn
e jn
n 0 N 1 2
N 1
1 e jN sin N 2 j e j 1 e sin 2
▲
■
8.2.1 经典方法
2. 周期图法 它的频谱图如图所示。得到的功率谱估计是它 与真实功率谱的卷积，由于它与 函数比较有二 方面的差别，一是主瓣不是无限窄、二是有旁瓣 ，因此卷积的结果必然造成失真。
▲
■
8.2.1 经典方法
2. 周期图法 由于矩形窗谱存在旁瓣，也将产生两个结果，其 一是PSD主瓣内的能量，一是功率谱主瓣内的能 量“泄漏”到旁瓣使谱估计的方差增大，二是与 旁瓣卷积后得到的功率谱完全属于干扰。严重情 况下，强信号与旁瓣的卷积可能大于弱信号与主 瓣的卷积，使弱信号淹没在强信号的干扰中而无 法检测出来。
2 N m 1 k 1 m N
[rx2 (k ) rx (k m)rx (k m)]
▲ ■
8.2.1 经典方法
1. BT法
ˆx(m)] 0 ，并且 当 N 时，var[r
ˆx(m)] var[r ˆx (m)] var[r ˆx(m) 虽然是有偏估计，但是渐近一致估计，估计 r ˆx (m) 的方差。实际应用中多用这种有 量的方差小于 r ˆx (m) 表示。 偏自相关估计。也用符号 r
▲
■
10
8.1 总述
图a BT法
图b 最大熵法
图c Pisarenko谐波分解法
▲
■
第8章 功率谱估计
8.1 总述 8.2 谱估计的非参数化方法 8.3 AR模型功率谱估计
8.4 ARMA模型功率谱估计 8.5 最小方差谱估计
《功率谱估计》课件
实验数据展示 功率谱估计结果对比 误差分析 实验结论与展望
结果分析：对比不同方法的结果，分析优缺点 实验误差来源：讨论实验误差的来源，如设备、环境等因素 改进方向：提出针对实验误差的改进措施，提高实验精度 未来展望：探讨功率谱估计在未来的应用和发展趋势
功率谱估计的应用 案例
语音信号处理：用于语音分析和编码，提高语音质量 图像和视频信号处理：用于图像和视频的压缩和传输，降低带宽需求 雷达和声呐信号处理：用于目标检测和跟踪，提高定位精度
通信领域：用于调制解调、频 谱管理、频谱监测等
生物医学工程：用于心电图信 号处理、脑电图信号处理等
总结与展望
介绍了功率谱估计的基本概念和原理 分析了功率谱估计的常用方法 探讨了功率谱估计在实际应用中的优势和局限性 总结了本次PPT的主要内容和知识点
功率谱估计技术的进一步优化 拓展应用领域，如语音、图像等 结合深度学习等先进技术，提高估计精度 探索与其他领域的交叉研究，如信号处理、通信等
信号的分类
信号的时域和频域 表示
功率谱估计的基本 概念
功率谱估计的应用 场景
功率谱估计的方法
FFT算法原理 FFT算法优缺点分析
FFT算法实现步骤
FFT算法在功率谱估计中的应 用
最小二乘法的基本 原理
功率谱估计的数学 模型
基于最小二乘法的 实现过程
算法的优缺点及改 进方向
卡尔曼滤波原理
功率谱估计与卡尔 曼滤波结合
《功率谱估计》PPT 课件
汇报人：PPT
目录
添加目录标题
功率谱估计的基本 概念
功率谱估计的方法
功率谱估计的原理 与步骤
功率谱估计的实验 与分析
功率谱估计的应用 案例
添加章节标题
功率谱估计的经典方法PPT课件
吉林大学通信工程学院信息科学实验室
6
时间平均
（11）一个平稳随机过程的一个取样序列的时间平均等于它的集合平
均，则称它是遍历性随机过程。时间平均记为 x(n) ，则取样序列的算术
平均值和时间取样自相关序列定义为
x(n) lim 1
功率谱估计的经典方法
版权所有
吉林大学通信工程学院信息科学实验室
1
离散随机过程
为了描述随机变量，引入了概率分布函数、概率密度函数以及随机变 量的数字特征。这些函数或参数都是针对一维随机变量定义的。统称一 维统计特征。
但对于离散随机过程，因为它是由无限多个随机变量构成的时间序列
xn, n ，因此为完整地描述它，仅知道随机变量的特征是不
Syy(z)
Ryy(m) zm
Rxx(m
p)Rhh (
p)
zm
m
m p
Rxx(n)Rhh ( p)
z n z p
Sxx(z)Shh (z)
m n
S
xx
(
z
)H
(
z
)
H
(
z
1
)
协方差序列的z变换
Sxx(z) Cxx(m) zm , m
称为平稳随机过程的功率谱。在今后的讨论中总假设随机信号的均值为
零，所以有
Sxx(z) Rxx(m) zm , m
由于 Rxx(m) Rxx(m) ，则有 Sxx (z) Sxx (z 1) 。
《功率谱估计》课件
目录
• 引言 • 功率谱估计的基本原理 • 常见功率谱估计方法 • 现代功率谱估计方法 • 功率谱估计的性能评估 • 实际应用案例分析
01
引言
功率谱估计的定义
功率谱估计是对信号的频率内容进行描述的方法，通过分析信号在不同频率的功 率分布情况，可以了解信号的特性。
功率谱估计可以分为非参数方法和参数方法两类，其中非参数方法包括傅里叶变 换、Welch方法等，而参数方法则包括AR模型、MA模型、和ARMA模型等。
非参数模型
不假设信号的功率谱具有特定参数形式，而是直接从数据中估计功率谱。
03
常见功率谱估计方法
直接法
定义
直接法是通过测量信号的样本值，利用离散 傅里叶变换（DFT）直接计算信号的频谱。
特点
计算简单，但容易受到频率偏移和相位失真的影响 。
应用场景
适用于信号频率稳定且对相位精度要求不高 的场合。
间接法
THANKS
感谢观看
分辨率与假峰率
分辨率（Resolution）
衡量功率谱估计中能够区分两个相近频率成分的能力。分辨率越高，说明估计的功率谱能够更好地分 辨出相近的频率成分。
假峰率（False Peak Rate）
衡量估计的功率谱中出现的虚假频率峰的概率。假峰率越低，说明估计的功率谱中虚假频率峰的出现 概率越小。
06
特点
能够减小频谱泄漏效应，提高频 谱分辨率。
应用场景
适用于信号持续时间较短或需要 高分辨率频谱分析的场合。
最大熵法
定义
最大熵法是一种基于信息论的方法，通过最 大化熵函数来估计信号的功率谱。
特点
能够提供平滑且连续的功率谱估计，但计算 复杂度较高。
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rx (0) rx (1)
rx (0) rx (P)
rx* (1) rx (0)
rx (P 1)
r
* x
(
P)
r*x (P 1)
rx (0)
Digital Signal Processing
AR模型功率谱估计过程
Digital Signal Processing
Y-W方程的Levesion-Durbin 算法
Digital Signal Processing
第八章 参数模型功率谱估计
经典功率谱估计的局限性
✓基于DFT的频谱分析等效对取样数据进行周期拓展，不符 合随机信号的统计特性
✓取样数据长度N较短时，频域分辨率较低
✓经典功率谱估计方差特性较差，且不是一致估计
Digital Signal Processing
参数模型法
✓观测数据序列 xN (n), n 0,1,..., N 1 当作模型输出
✓设定误差准则，使模型的输出逼近实际观测数据，并由此估 计模型参数 ✓根据模型参数外推观测序列这外的数据 ✓根据模型参数估计功率谱
没有直接针对估计参数——功率 谱进行逼近，没有从统计意义上 对功率谱估计建模
Digital Signal Processing
P
P
e(n) x(n) xˆ(n) x(n) ak x(n k) He (z) 1 ak zk A(z)
k 1
k 1
Digital Signal Processing
✓P阶后向线性预测 x(n), x(n 1),..., x(n P 1)
8．1ARMA模型
ARMA模型
2 u
Q
H (z)
B(z) A( z )
br z r
r 1
P
1 ak zk
k 1
P
Q
x(n) ak x(n k) bru(n r)
k 1
r0
x(n), n ~
Digital Signal Processing
ARMA模型功率谱估计
✓前提：已估计出模型参数
Levesion-Durbin算法是一种递推算法
✓P=1 Yule-Walker方程
rx
(0)
rx (1)
r* rx
x (1) (0)
1 a1,1
1
0
a1,1 rx (1) / rx (0)
1
2 u
rx (0) 1
a1,1
2
✓设p-1阶AR模型参数 p1, ap1,k , k 1, 2,..., p 1 推导p阶模型参数
P
rx (m) ak rx (k)] 0, m 0,1,..., P k 1
Digital Signal Processing
✓P阶前向线性预测和AR模型的关系
▪Yule-Walker方程和Wiener-Hopf方程完全等效
▪AR模型白噪声输入方差
2 u
和最优前向线性预测的最
小均方误差 min 等效
rx (0) aP 0
R
a
OuP2
Digital Signal Processing
✓自相关矩阵R的特性
▪当随机序列是实数时，R是一个Toeplitz矩阵
rx (0)
R
rx (1)
rx (P)
rx (1) rx (0)
rx (P 1)
rx (P) rx (0)
rx (P
1)
rx (1)
rx (0) rx (P)
rx (1) rx (0)
rx (P 1)
▪当随机序列是复数时，R是一个Hermitian矩阵
rx (P)
rx
(P
1)
rx (0)
rx (0)
R
rx (1)
rx (P)
rx (1) rx (0)
rx (P 1)
rx (P) rx (P 1)
▪ H (z)是具有因果性的最小相位系统
Digital Signal Processing
ARMA模型的进一步分类
P
✓自回归（AR）模型 x(n) ak x(n k) u(n) k 1 Q
✓滑动平均（MA）模型 x(n) bru(n r) r0
✓模型参数求解 ▪AR模型参数的求解只需求解线性方程组
8．3基于线性预测理论的AR模型参数计算
线性预测
✓P阶前向线性预测
x(n 1), x(n 2),..., x(n P)
前P个采集数据估计n时刻的值
P
xˆ(n) ak x(n k)
k 1
e(n) x(n) xˆ(n)
min
E
e(n)
2
▪前向预测Wiener-Hopf方程
P
rx (0) ak rx (k)] min k 1
rx
(m)
E
x(n)x(n
m)
E
x(n)[u(n
m)
P
ak
x(n
m
k
)]
k 1
P
rxu (m) akrx (k)], m 0,1,..., P k 1
rx (0)
rx (1)
rx (P)
rx (1) rx (0)
rx (P 1)
rx (P) rx (P 1)
1 a1
2 u
0
ARMA模型功率谱的多重性
✓共轭零点
( zr , zr* )
共轭极点 ( 1 , 1 ) zr zr*
构成的功率谱形状相同
✓ARMA型功率谱不能区分最小相位系统和最大相位系统，区分
因果系统和非因果系统
✓定义平稳高斯分布 ARMA(P,Q) 的过程
▪ x(n)是零均值高斯分布的白噪声经过线性非移变系统的输出
ap,p kp
ap,k
ap1,k
k
* p
a p 1, k
,
k
1, 2,..., p
p
p 1 (1
kp
2)Biblioteka Digital Signal Processing
Matlab函数[px,w]=pyulear(x,p,[nfft],’range’)
Digital Signal Processing
P,Q, ak (k 1 ~ P),br (r 0 ~ Q)
Sx (e j ) Sx (e j ) H (e j ) 2
2 u
B( z ) B( z 1 ) A(z) A(z1)
ze j
2 u
B(e j )B(e A(e j ) A(e
j ) j )
Digital Signal Processing
▪MA和ARMA模型参数的求解需要求解非线性方程组
✓不同模型之间关系
一个有限阶次的MA模型，或一个有限阶次的ARMA模型 可以用一个阶次足够大的AR模型逼近
Digital Signal Processing
8．2AR模型的Y-W方程及功率谱估计
ARMA模型的Yule-Walker方程
P
x(n) ak x(n k) u(n) k 1