2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析 专题10 概率统计(原卷版)

专题10 概率统计

古典概率、离散型随机变量的分布列、均值与方差是高考的热点题型，去年竟有解答题作为压轴题，常与排列、组合、概率等知识综合命题．以实际问题为背景考查离散型随机变量的均值与方差在实际问题中的应用，注重与数列、不等式、函数、导数等知识的综合考查，是高考的主要命题方向．

预测2020年会有一大一小或一大二小.客观题较易.主观题有三种可能，一是通过一题考查统计案例及概率(文理兼顾，偏重理科)，难度控制在中等；二是只考查统计案例问题（文理一视同仁），难度中等；三是同去年一样，作为压轴题（偏重理科）.考查考生分析问题、解决问题的能力以及数学的应用意识.

一、单选题

1．（2020届山东省日照市高三上期末联考）两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为5

6

和

3

4

，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )

A．1

2

B．

1

3

C．

5

12

D．

1

6

2．（2020届山东省潍坊市高三上期中）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．则田忌获胜的概率为（）

A．1

3

B．

1

6

C．

1

9

D．

1

36

3．（2020届山东省德州市高三上期末）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（）

A．1

66

B．

1

55

C．

5

66

D．

5

11

4．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、

挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ） A ．

59

B ．

49

C ．

716

D ．

916

5．（2020届山东省九校高三上学期联考）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）

A ．1

5 B ．

815 C ．35

D ．320

6．（2020届山东省潍坊市高三上期中）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t 生活垃圾．经分拣以后数据统计如下表（单位：t ）：根据样本估计本市生活垃圾投放情况，下列说法错误的是（ ）

A ．厨余垃圾投放正确的概率为

2

3

B ．居民生活垃圾投放错误的概率为

310

C ．该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱

D ．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000 7．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知随机变量ξ服从正态分布(

)2

1,N σ

，若(4)0.9P ξ<=，则

1()2P ξ-<<=（ ）

A ．0.2

B ．0.3

C ．0.4

D ．0.6

二、多选题

8．（2020届山东省日照市高三上期末联考）某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是（ ）

A ．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前

B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前

C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前

D ．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前

9．（2020届山东省德州市高三上期末）针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的4

5

，女生喜欢抖音的人数占女生人数3

5

，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人 附表：

()20P K k ≥

0.050 0.010 k

3.841

6.635

附：()()()()()

2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++ A ．25

B ．45

C ．60

D ．75

10．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（ ）

A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加

B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓

C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位

D ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势

11．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：cm ）如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是（ ）

A ．女生身高的极差为12

B ．男生身高的均值较大

C ．女生身高的中位数为165

D ．男生身高的方差较小

12．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）下列判断正确的是（ ） A ．若随机变量ξ服从正态分布(

)2

1,N σ

，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；

B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件；

C ．若随机变量ξ服从二项分布：414,B ξ?

?

~ ???

,则()1E ξ=； D ．22am bm >是a b >的充分不必要条件.

13．（2020届山东省临沂市高三上期末）为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg ）情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示.

对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A ．他们健身后，体重在区间[)90,100内的人增加了2个 B ．他们健身后，体重在区间[)100,110内的人数没有改变 C ．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kg

D ．他们健身后，原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少

14．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）某市有A ，B ，C ，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为

23，游览B ，C 和D 的概率都是1

2

，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（ ） A ．游客至多游览一个景点的概率1

4

B ．()328

P X == C ．()1424P X ==

D ．()136

E X =

15．（2019·山东高三月考）下列判断正确的是（ ） A ．若随机变量ξ服从正态分布(

)2

1,N σ

，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；

B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件；

C ．若随机变量ξ服从二项分布：414,

B ξ?

?

~ ???

,则()1E ξ=；

D ．22am bm >是a b >的充分不必要条件.

16．（2020届山东省烟台市高三上期末）某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算2K 的观测值 4.762k ≈，则可以推断出（ ）

A ．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为

3

5

B ．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意

C ．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异

D ．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 三、填空题

17．（2020届山东省烟台市高三上期末）已知随机变量(

)2

1,X N σ

:，()110.4P X -<<=，则

()3P X ≥=__________．

18．（2020届山东省德州市高三上期末）随机变量X 的取值为0、1、2，()00.2P X ==，0.4DX =，则EX =______. 四、解答题

19．（2020届山东省潍坊市高三上期末）读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”:

已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人

(1)求,n p 的值;

(2)根据已知条件完成下面的22?列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关? 非读书之星 读书之星 总计 男

女 10

55

总计

(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望()E X

附：()()()()()

2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.

()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

20．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：

并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:

（1）求出相关系数r 的大小，并判断管理时间y 与土地使用面积x 是否线性相关？ （2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？

（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x ,求x 的分布列及数学期望． 参考公式：

1

()()

n

i

x x y y r --=

∑2

2

(),()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++

其中n a b c d =+++．临界值表：

25.2≈

21．（2020届山东省烟台市高三上期末）某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为

1

3

. （1）求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；

（2）为提高生产效益，该企业决定招聘名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修.已知每名维修工人每

月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元.此外，统计表明，每月在不出故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在1n =与2n =之中选其一，应选用哪个？（实际获利=生产线创造利润-维修工人工资）

22．（2020届山东省日照市高三上期末联考）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产

()515x x ≤≤万件的该种产品所需要的总成本()32

231630910

x C x x x =-++（万元），依据产品尺寸，产

品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在[)25.26,25.30，

[)25.30,25.34，[)25.34,25.38，[)25.38,25.42，[)25.42,25.46，[)25.46,25.50，[]25.50,25.54（单

位：mm ）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.

产品的品质情况和相应的价格m （元/件）与年产量x 之间的函数关系如下表所示. 产品品质 立品尺寸的范围

价格m 与产量x 的函数关系式

优

[)25.34,25.46

34m x =-+

中

[)25.26,25.34 3

255m x =-+

差 []25.46,25.54

3

205

m x =-+

以频率作为概率解决如下问题： （1）求实数a 的值；

（2）当产量x 确定时，设不同品质的产品价格为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列； （3）估计当年产量x 为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.

23．（2020届山东省九校高三上学期联考）学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现

为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等，记此类解答为“B 类解答”.为评估此类解答导致的失分情况，某市教研室做了一项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B 类解答”的题目，扫描后由近百名数学老师集体评阅，统计发现，满分12分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表：

某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.（假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“B 类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响）.

（1）本次数学考试中甲同学某题（满分12分）的解答属于“B 类解答”，求甲同学此题得分X 的分布列及数学期望()E X ；

（2）本次数学考试有6个解答题，每题满分均为12分，同学乙6个题的解答均为“B 类解答”，记该同学6个题中得分为()12345i x x x x x x <<<<的题目个数为i a ，()1,2,3,4,5i a N i ==，5

1

6i

i a

==∑，计算事件

“1454a a a ++=”的概率.

24．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.

项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为p (01)p <<，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0.

项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别

为p 和1p -.

（1）若投资项目一，记1X 为盈利的天坑院的个数，求()1E X （用p 表示）； （2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为2X 百万元，求()2E X （用p 表示）；

（3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由. 25．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.

（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果） （2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：

①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；

②根据上表数据，求物理成绩y 关于数学成绩x 的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？ 附：线性回归方程$

y bx a =+，

其中1

2

1

()()

()

n

i

i

i n

i

i x x y y b x x ==--=

-∑∑，a y bx =-.

26．（2020届山东省德州市高三上期末）某公司为了了解年研发资金投人量x （单位：亿元）对年销售额y

（单位：亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量i x 和年销售额i y 的数据，进行了对比分析，建立了两个函数模型：①2y x αβ=+，②x t

y e

λ+=，其中α、β、λ、t 均为常数，e 为自然对数的底数.并得

到一些统计量的值.令2

i i u x =，()ln 1,2,,12i i v y i ==???，经计算得如下数据：

（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ （2）（ⅰ）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

（ⅱ）若下一年销售额y 需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x 是多少亿元？

附：①相关系数()()

n

i

i

x x y y r --=

∑

回归直线$$y a

bx =+$中公式分别为：()()

()

1

2

1

n i

i

i n

i

i x x y y b x x ==--=-∑∑$，a y bx =-$$；

②参考数据：308477=?9.4868≈， 4.499890e ≈.

27

．（2020·湖北高三期末（理））某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.

（1）根据以上数据完成22

?列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.

（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p（每次抽奖互不影响，且p的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望.

附：参考公式和数据：

()

()()()()

2

2

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

，n a b c d

=+++.

附表：

28．（2020届山东省滨州市高三上期末）近年，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，某省采用33

+模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，每门科目满分均为150分.另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每门科目满分均为100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n名学生进行调查，其中，女生抽取45人.

（1）求n的值；

（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的n名学生进行问卷调查（假定每名学生在“物理”和“地理”这两个科目中必须选择一个科目且

只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的一个不完整的22?列联表，请将下面的22?列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由； 选择“物理” 选择“地理”

总计 男生

10

女生 25

总计

（3）在抽取到的45名女生中，按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中抽取4人，设这4人中选择“物理”的人数为X ，求X 的分布列及期望.附：

22

()()()()()

n ad bc K a b a c c d b d -=++++，n a b c d =+++

()20P K k ≥ 0.05 0.01 0.005 0.001

0k

3.841 6.635 7.879 10.828

29．（2020届山东省潍坊市高三上期中）如图，直角坐标系中，圆的方程为22

1x y +=，()1,0A ，

13,22??- ? ???B ，13,22C ??-- ? ???

为圆上三个定点，某同学从A 点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子n 次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为()n P A ，()n P B ，()n P C ．例如：掷骰子一次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为()1P A O =，()112P B =

，()1

1

2

P C =．

（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A ，B ，C 处的概率；

（2）掷骰子N 次时，若以X 轴非负半轴为始边，以射线OA ，OB ，OC 为终边的角的余弦值记为随机变量n X ，求4X 的分布列和数学期望；

（3）记()n n P A a =，()n n P B b =，()n n P C c =，其中1n

n n a b c ++=．证明：数列13n b ?

?-????

是等比数列，并求2020a .