帮你总结导数题型(共12类)

导数题型目录

1.导数的几何意义

2.导数四则运算构造新函数

3.利用导数研究函数单调性

4.利用导数研究函数极值和最值

5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数

6.函数极值点偏移问题

7.导函数零点不可求问题

8.双变量的处理策略

9.不等式恒成立求参数范围

10.不等式证明策略

11.双量词的处理策略

12.绝对值与导数结合问题

导数专题一导数几何意义

一.知识点睛

导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。

二.方法点拨：

1.求切线

①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y＝f(x)在点x=x0处的导数f′(x0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

②点（x0，y0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x1，y1)；(2)根据切点写出切线方程y－y1＝f′(x1)(x－x1) (3)利用点（x0，y0）在切线上求出（x1，y1）；(4)把（x1，y1）代入切线方程求得切线。

2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f′(x0) ②切点在曲线上③切点在切线上

三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式

四．跟踪练习

1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=f（-x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线方程是

2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln（x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x，则a=

A. 0

B.1

C.2

D.3

3.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=

4.（2014江西）若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是

5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+

x

b

（a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=2

1e x

上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为 A.1-ln2 B.

2（1-ln2） C.1+ln2 D.2(1+ln2)

7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+

4

15

x-9都相切，则a 等于 8.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A.

2

B.8

27

C.

2

2 D. 1

9.已知点P 在曲线y=

1

4

+x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 10.已知函数f （x ）=2x 3-3x.（1）求f （x ）在区间[-2，1]上的最大值；（2） 若过点P （1，t ）存在3条直线与曲线y=f （x ）相切，求t 的取值范围. 11. 已知函数f （x ）=4x-x 4，x ∈R. (1) 求f （x ）的单调区间

(2) 设曲线y=f （x ）与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y=g （x ），求证： 对于任意的实数x ，都有f （x ）≤g （x ）

(3) 若方程f （x ）=a （a 为实数）有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2-x 1≤-3

a

+431

.

导数专题二 利用导数四则运算构造新函数 一．知识点睛 导数四则运算法则：

[f(x)±g （x ）]’=f ′(x)±g ′(x) [f(x)·g （x ）]’=f ′(x)·g(x) +f(x)·g ′(x)

[ )()

(x g x f ]′=2[g(x)]

(x)f(x)g'(x)g(x)f'-

二．方法点拨

在解抽象不等式或比较大小时原函数的单调性对解题没有任何帮助，此时我们就要构造新函数，研究新函数的单调性来解抽象不等式或比较大小。

方法一1：移项，对含有导数的不等式进行移项处理，使不等式右边归0（因为导数与0的大小决定函数单调性）

2：观察，①若不等式左边是只含有f ′(x)的式子，可以用和差函数求导法则构造 ②若不等式左边含有f ′(x)和f(x)，并且中间是+，可以用积函数求导法则构造 ③若不等式左边含有f ′(x)和f(x)，并且中间是-，可以用商函数求导法则构造

方法二：根据题目所给出的抽象不等式，或者要比较大小的两个式子进行构造，在进行构造时要看结构，把抽象不等式两边或者要比较大小的式子结构相同化，根据相同结构构造以x 为主元的新函数。

三．常考题型：构造新函数解不等式或比较大小 四．跟踪练习

1. (2015广东调研)函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x ∈R,f ’（x ）＞2，则 f （x ）＞2x+4的解集为 （和差）

2.(2016贵州遵义)设函数f ’（x ）是函数f （x ）的导函数，对任意x ∈R ，有f （x ）+f ’（x ）＞0，则x 1 ＜x 2时，结论正确的是（积）

A: e x2f （x 1）＞e x1f （x 2） B: e x2f （x 1）＜e x1f （x 2） C: e x1f （x 1）＞e x2f （x 2） D: e x1f （x 1）＜e x2f （x 2）

3.若定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）+f ’（x ）＞1，f （0）=4，则不等式f （x ）＞

x e

3+1的解集为 （积与差）

4.若函数y=f （x ）在R 上可导且满足不等式xf ’（x ）＞﹣f （x ）恒成立，且常数a ，b 满足a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（积）

A: af （b ）＞bf(a) B:af(a)＞b(b) C: af(a)＜bf(b) D: a(b)＜b(a)

5.（2015济南）已知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），f ’（x ）为f （x ）的导函数，且满足f （x ）＜﹣xf ’（x ），则不等式f （x+1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集是 （积）

6.(2015新课标全国卷Ⅱ)设函数f ’（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （-1）=0，当x ＞0时，xf ’（x ）- f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（商）

A.(-∞，-1)∪（0,1）

B.（-1,0）∪（1，+∞）

C.(-∞，-1)∪（-1,0）

D.（0,1）∪（1，+∞）

7.设函数是R 上的奇函数，且f （-1）=0，当x ＞0时，（x 2+1）f ’（x ）-2xf(x)＜0,则不等式f （x ）＞0的解集为 （商）

8.已知定义在R 上的函数f （x ），满足3f （x ）＞f ’（x ）恒成立，且f （1）=e 3,则下列结论正确的是（商）

A.f （0)=1

B.f(0)＜1

C.f(2)＜e 6

D.f(2)＞e 6

9.已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足2016f （-x ）＜f ’（x ）恒成立，且f （1）=e -2016,则下列结论正确的是（商）

A.f(2016)＜0

B.f(2016)＜22016 e

C.f(2)＜0 D 。f （2）＞ e -4032

10.已知定义在（0，+∞）上的函数f （x ）的导函数f ’（x ）满足xf ’（x ）+f （x ）=

x

x

ln ，且f （e ）=

e 1，其中e 为自然对数的底数，则不等式

f （x ）+e ＞x+e 1

的解集是（） A.（0，e 1） B. （0，e ） C.（e 1，e ） D.（e

1

，+∞）

11.已知函数F （x ）=lnx （x ＞1）的图像与G （x ） 的图像关于直线y=x 对称，设函数f （x ）的导函数 f ’（x ）=

x x f x x G )(34

)( （x ＞0） ，且 f ’（3）=0，则当x ＞0 时，f （x ）

A.有极大值，无极小值

B.有极小值，无极大值

C.既无极大值，也无极小值

D.既有极大值，也有极小值

导数专题三 利用导数研究函数单调性 一．知识点睛

1.函数的导数与单调性之间的联系：

①一般地，设函数y=f （x ）在某个区间内可导，如果在这个区间内有f ′(x)＞0，那么函数y=f （x ）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内f ′(x)＜0，那么函数y=f （x ）为这个区间内的减函数。

②反过来，如果可导函数y=f （x ）在某个区间内单调递增，则在这个区间内f ′(x)≥0恒成立；如单调递减，则在这个区间内f ′(x)≤0恒成立

2.利用导数研究函数的单调性步骤：1.求定义域2.求导

3.令f ′(x)＞0，解不等式得增区间；令f ′(x)＜0解不等式求得减区间，注意函数如果有几个单调增（减）区间，中间只能用，不能用∪连接。

二．方法点拨

1.已知具体的函数确定它的单调区间，直接求导解不等式，确定单调区间

2.已知含参数的函数单调性，求参数的值或参数范围，处理方法有：①分离参数，转化为 f ′(x)≥（≤0）恒成立问题②导数含参分类讨论

3.已知含参数的函数，确定单调性，需要对参数范围进行分类讨论，分类讨论的4个标准：①二次项系数的正负②f ′(x)=0根的个数③f ′(x)=0根的大小④f ′(x)=0的根与给定区间的位置关系，另外需要优先判断能否利用因式分解法求出根

4.已知函数有n 个单调区间，求参数范围，等同于方程f ′(x)=0在此区间上有n-1个根，并且根不是重根。

5.已知函数在给定区间上不单调 f ′(x)在此区间上有异号零点 f ′(x)=0有根（且根不是重根）

6.已知函数在给定区间上有单调区间，等同于f ′(x) ＞0或f ′(x) ＜ 0在给定区间上有解 常考题型：⑴利用导数研究已知函数的单调性⑵导数含参求单调区间⑶已知含参函数单调性求参数范围⑷函数有几个单调区间的问题 三．跟踪练习

1.已知函数f （x ）=kx 3+3（k-1）x 2-k 2+1（k ＞0）的单调减区间是（0,4），则k 的值是 .

2.（2016全国卷Ⅰ）若函数f （x ）=x-3

1

sin2x+asinx 在（-∞，+∞）单调递增，则a 的取值范

围是

A.[-1，1]

B.[-1，

31] C.[-31，31] D.[-1，-3

1] 3.(2015四川)如果函数f （x ）=21（m-2）x 2+（n-8）x+1（m ≥0，n ≥0）在区间[2

1

,2]上单调递减，那么mn 的最大值为 A.16 B.18 C.25 D.

2

81 4.（2014新课标全国Ⅱ）若函数f （x ）=kx-lnx 在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范围是

A.(-∞，-2]

B.(-∞，-1]

C.[2，+∞)

D.[1，+∞]

5.(2016全国卷⒈第一小题)已知函数f （x ）=（x-2）e x +a （x-1）2，讨论函数f （x ）的单调性.

6.设函数f （x)=ax 2+bx+k(k ＞0)在x=0处取得极值，且曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0. （Ⅰ）求a ，b 的值

（Ⅱ）若函数g （x ）=)

(x f x

e ，讨论g （x ）的单调性.

7.已知函数f （x ）=x 3+（1-a ）x 2-a （a+2）x+b （a ，b ∈R ）

（Ⅰ）若函数f （x ）的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a ，b 的值.

（Ⅱ）若函数f （x ）在区间（-1,1）上不单调，求a 的取值范围.

8.设a 为实数，函数f （x ）=ax 3-ax 2+（a 2-1）x 在（-∞，0）和（1，+∞）都是增函数，求a 的取值范围.

9. 设f （x ）=ax 3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求出这3个单调区间. 10.已知函数f （x ）=x+alnx 在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g （x ）=f(x)+2

1x 2

-bx (1).求实数a 的值

(2).若函数g(x)存在单调递减区间，求实数b 的取值范围(3).设x 1，x 2（x 1＜ x 2）是函数 g （x ）的两个极值点，若b ≥2

7

，求g （x 1）-g （x 2）的最小值

导数专题四 利用导数研究函数的极值和最值 一．知识点睛

1.可导函数的极值：

①如果函数y=f(x)在点x=a 的函数值f(a)比它在点x=a 附近其他点的函数值都小,f ′(a)=0；而且在点x=a 附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，我们就把a 叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.

②如果函数y=f(x)在点x=b 的函数值f(b)比它在点x=b 附近其他点的函数值都大，f ′(b)=0；而且在点x=b 附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，我们就把b 叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值.

注意：①.可导函数y=f （x ）在点x 0取得极值的充要条件是f ′(x 0)=0，且在点x 0左侧和右侧，f ′(x)异号

②.导数为0的点不一定是极值点，比如y=x 3即导数为0的点是该点为极值点的必要条件，而不是充分条件。

③.若极值点处的导数存在，则一定为0

2.求可导函数极值的步骤：①.确定函数的定义域②求导f ′(x)③求方程f ′(x)=0的根④把定义域划分为部分区间，并列成表格，检查f ′(x)在方程根左右的符号，如果左正右负，那么

f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值。 二．方法点拨： 1.已知具体函数求极值

2.已知含参函数的极值点和极值，确定参数：①极值点处导数为0②由极值点，极值组成的坐标在曲线上，由这两点建立有关参数的方程，求出参数值以后还须检验，看参数是否符合函数取得极值的条件。

3.已知含参函数极值点个数，确定参数范围:

函数f （x ）的极值点 导函数 f ′(x) 的异号零点 f ′(x)=0的根 函数y=k 与函数y=g （x ）图像交点的横坐标

注意：导函数f ′(x)的零点并不是函数f （x ）的极值点，导函数f ′(x)的异号零点才对应函数f （x ）的极值点。因此方程f ′(x)=0的根及函数y=k 与函数y=g （x ）图像交点的横坐标，必须对应 f ′(x) 的异号零点。

方法总结：解决函数的零点，极值点，及方程根的关系问题时，优先考虑分离参数法，若分离参数不容易实现或者分离后依然不好解决问题，再考虑以下解题思路：（1）研究函数图像与X 轴的位置关系⑵研究非水平的动直线（定点直线系或者斜率不为0的平行直线系）与固定函数曲线的位置关系⑶研究动态曲线与曲线的位置关系。 4.含参数的函数极值（或最值）问题常在以下情况下需要分类讨论：

（1）导数为0时自变量的大小不确定需要讨论（2）导数为0时自变量是否在给定区间内不确定需要讨论（3）端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论（4）参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论。

常考题型：⑴已知函数的解析式求极值⑵根据极值点和极值求参数⑶根据极值个数求参数范围（4）求极值函数的最值 三．跟进练习

1.（2016四川）已知a 为函数f （x ）=x 3-12x 的极小值点，则a= A.-4 B.-2 C.4 D.2

2.（2015东北八校月考）已知函数f （x ）=x 3+3ax 2+3bx+c 在x=2处有极值，其图像在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0，则f （x ）的极大值与极小值之差为

3.（2016山东模拟）已知函数f （x ）=x x ln 1+，a ＞0，若函数f （x ）在区间（a ，a+2

1

）上存在极值，求实数a 的取值范围. 4.函数f （x ）=

3

1e 3x +me 2x

+（2m+1）e x +1有两个极值点，则实数m 的取值范围是 5.函数y=x 3-2ax+a 在区间（0,1）内有极小值，则实数a 的取值范围是 6.已知函数f （x ）=x 3-3ax-1，a ≠0. （Ⅰ）求f （x ）的单调区间

（Ⅱ）若f （x ）在x=-1处取得极值，直线y=m 与y=f （x ）的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围.

7.设函数f(x)=x 2+aln(1+x)有两个极值点x 1，x 2，且x 1 ＜ x 2.

(Ⅰ)求a 的取值范围，并讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）证明：f （ x 2）＞

4

2

ln 21-.

导数专题五 知零点个数求参数范围 一．知识点睛： (1)函数f （x ）零点

方程f （x ）=0的根

函数f （x ）的图像与x 轴交点的横坐

标 函数g （x ）与h （x ）图像交点的横坐标（f （x ）=g （x ）-h （x ））

(2)零点存在性定理:如果函数y=f （x ）在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f （a ）·f （b ）＜0，那么函数y=f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ，b ），使得f （c ）=0，这个c 也就是方程f （x ）=0的根. 二.方法点拨：

1.根据零点情况求参数的值或范围

（1）数形结合法：将函数解析式（方程）适当变形，转化为图像易得的函数与一个含参的函数的差的等式，在同一坐标系中画出这两个函数的图像，结合函数的单调性,周期性,奇偶性等性质及图像求解.

（2）分离参数法：将参数分离，化为a=g （x ）的形式，进而转化为求函数最值的问题，对于解答题，这种解法还需要用零点存在性定理严格证明个数.

（3）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过不等式确定参数范围. 2.解答题中零点存在区间端点的选取方法

在给定区间上寻找一个函数g （x ），通过先证明f （x ）≥g(x)(或f （x ）≤g(x)），再求 g （x ）的零点x 0，或找到x 0使g （x 0)＞0（或g （x 0)＜0）就得到f （x 0）≥0 （或f （x 0）≤0） 跟踪练习：

1.（2015安徽）设x3+ax+b=0，其中a ，b 均为实数.下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是

①a=-3，b=-3②a=-3，b=2③a=-3，b ＞2④a=0，b=2⑤a=1，b=2

2.（2015新课标全国Ⅰ）设函数f （x ）=e x （2x-1）-ax+a ，其中a ＜1，若存在唯一的整数x 0使得f （x 0）＜0，则a 的取值范围是 A.[-

e 23，1） B.[-e 23，43） C.[e 23，43）D.[e

23，1）

3.方程x 3-6x 2+9x-10=0的实根的个数是（ ）

A.3

B.2

C.1

D.0 4.（2013年山东卷）设函数f （x ）=

x e

x

2+c ，（1）求f （x ）的单调区间.最大值（2）讨论关于x 的方程▕ lnx ▕=f （x ）根的个数.

5.（2016全国卷Ⅰ）已知函数f （x ）=（x-2）e x +a 2)1(-x .

(Ⅰ)讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）若f （x ）有两个零点，求a 的取值范围. 6.（2015全国卷Ⅰ）已知函数f （x ）=x 3+ax+

4

1

，g （x ）=-lnx.（1）当a 为何值时，x 轴为曲线y=f （x ）的切线（2）用min ｛m,n}表示m ，n 中的最小值，设函数h （x ）= min ｛f （x ）,g （x ）}（x ＞0），讨论h （x ）零点的个数.

专题六 极值点偏移问题

一．知识点睛

（1）产生原因：函数极值点左右两边图像升降速度不一样，导致极值点发生了偏移。 （2）极值点x 0偏左：极值点附近图像左陡右缓，f （x 1）=f （x 2)，则x 1+x 2 ＞2x 0，x=

2

21x x +

处切线与x 轴不平行

若f （x ）上凸（f ′(x) 递减），则f ′(

2

2

1x x +)＜ f ′(x 0)=0，若f （x ）下凸（f ′(x) 递增），则f ′(

2

2

1x x +) ＞f ′(x 0)=0 （3）极值点x 0偏右：极值点附近图像左缓右陡 ，f （x 1）=f （x 2)，则x 1+x 2 ＜2x 0，x=2

21x x +处切线与x 轴不平行

若f （x ）上凸（f ′(x) 递减），则f ′(

2

2

1x x +)＞f ′(x 0)=0，若f （x ）下凸（f ′(x) 递增），则f ′(2

2

1x x +) ＜f ′(x 0)=0

二，方法点睛

1.不含参的极值点偏移问题

方法一：1.构造函数F （x ）=f （x ）-f （2x 0-x ）（x ＞x 0）

2.对函数F （x ）求导，判断导数符号，确定F （x ）的单调性

3.结合F （x 0）=0，判断F （x ）的符号，确定f （x ）与f （2x 0-x ）（x ＞x 0）的大小关系

4.由f （x 1）=f （x 2)＜f （2x 0-x 2），得f （x 1）＜f （2x 0-x 2） 或者 由f （x 1）=f （x 2)＞f （2x 0-x 2），得f （x 1）＞f （2x 0-x 2）

5.结合f(x)单调性得x 1＞2x 0-x 2 或x 1＜2x 0-x 2，从而x 1 +x 2＞2x 0或x 1 +x 2＜2x 0 方法二：利用对数平均不等式

ab ＜

b a b a ln ln --＜2

b

a +（a ＞0，

b ＞0，a ≠b ）

指数平均不等式 e

2

n m +＜n m n e m e --＜2

n e m e +

利用对数均值不等式证明极值点偏移问题，关键是通过变形得到三个式子：x 1+x 2，x 1-x 2，2

1x x

方法三：引入一个变量

2

1x x =t ，结合题目所给条件解出x 1、x 2，把所要证明的多变量不等式转

化为单变量t 的不等式，构造函数g （t ），不等式变为g （t ）＞0或者g （t ）＜0，求出g （t ）的最值即得到证明.

2.含有参数的极值点偏移问题

含有参数的极值点偏移问题，在原有的双变量x 1，x 2的基础上，又多了一个参数，我们首先想到的（1）根据f （x 1）=f （x 2）建立等式（2）消去参数，如果等式是有关指数式，我们考虑两边取对数，通过加减乘除等恒等变形消去参数（3）利用对数平均不等式求解或者以参数为媒介，构造一个变元的新函数，一般来说都是引入一个变元t=2

1x x 三．跟进练习

1.已知a ＞b ＞0，a b =b a ，有如下四个结论：

①b ＜e ②b ＞e ③ a ，b 满足ab ＜e 2④ab ＞e 2，则正确结论的序号是 A.②③ B.①④ C ②④ D ①③

2.(2015长春四模拟)已知函数f （x ）=e x -ax 有两个零点x 1＜x 2，则下列说法错误的是（） A.a ＞e B.x 1+x 2＞2 C. x 1x 2＞1 D.有极小值点x 0，且x 1+x 2＜2x 0

3.（2016新课标Ⅰ卷）已知函数f （x ）=（x-2）e x +a （x-1）2 有两个零点 (1)求a 的取值范围

(2)设x 1，x 2是f （x ）的两个零点，证明：x 1+x 2＜2

4.（2017届安徽第三次联考）已知函数f （x ）=2ln （x+1）+2

1mx 2

-（m+1）x 有且只有一个

极值.

（1）求实数m 的取值范围 （2）若f （x 1）=f （x 2）（x 1≠x 2），求证：x 1+x 2＞2 5.已知函数f （x ）=e x -kx+k(k ∈R) (1)试讨论函数f （x ）的单调性；（2）若该函数有两个不同的零点x 1，x 2.试求（Ⅰ）实数k 的取值范围； （Ⅱ）证明：x 1+x 2＞4

6.（2014年江苏南通二模）设函数f （x ）=e x -ax+a （a ∈R ）,其图像与x 轴交于A （x 1，0）.B （x 2，0）两点，且x 1＜x 2。

（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）证明：f ′（

2

1x x ）＜0

7.(2016年3月兰州一诊)已知函数f （x ）=e x -ax-1(a 为常数)，曲线y=f （x ）在与y 轴的交点A

处的切线的斜率为-1.

（Ⅰ）求a 的值及函数y=f （x ）的单调区间 ；（Ⅱ）若x 1＜ln2，x 2＞ln2，且f （x 1）=f （x 2），试证明：x 1+x 2＜2ln2.

专题七 导函数零点不可求问题 一．知识点睛

利用导数求函数的单调区间或者极值时，会发现方程f ′(x) =0是一个超越方程或二次方程，我们无法求出方程根或者求出的根很复杂，此时我们无从下手，如何处理呢？ 二．方法点拨

方法一 特值探点 当导数零点不可求时，可用特殊值进行试探，涉及lnx 的复合函数时，可令x=e t ，尤其是令x=1或者e 进行试探；涉及e x 的复合函数中，可令x=ln t ，尤其是令x=0或者1进行试探 方法二 虚设零点

1.假设x 0是方程f ′(x) =0的根，反代消参，构造关于零点的单一函数

①如果问题要求解或证明的结论与参数无关，我们虚设零点后，一般不要用参数表示零点，而是反过来用零点表示参数，然后把极值函数变成关于零点的单一函数，构造新函数求最值 ②如果f ′(x) =0是二次方程，有两个根x 1，x 2，我们可以利用韦达定理建立x 1+x 2，x 1x 2与参数的关系式，再考虑用零点表示参数，利用恒等变形构造 出

2

1x x

，令t=

2

1x x ，把极值函数转化为单一变量t 的函数

③整体代换，把超越式转化为一般式 f ′(x) =0是一个超越方程，无法求出根的具体值，可以虚设f ′(x 0)=0，通过整体代换将超越式化成普通的代数式 方法三 多次求导

顾名思义，多次求导，把导数式变得越来越简单，来解决零点问题

方法四 局部求导：f ′(x)很难判断正负和求出零点，可以分离构造函数g （x ），使f ′(x)= g （x ）·M （x ），其中M （x ）恒正或恒负（2）求函数g （x ）的导数 g ′(x) ，研究 g ′(x)的零点和g （x ）的性质（3）由函数g （x ）的性质，分析确定函数f （x ）的性质. 方法五 整合重组

此法常见于利用构造法证明不等式，如果直接构造函数难以求出导数的零点，可以通过整合重组函数解析式，将原函数转化为简单，易于求导数零点的函数 三．跟进练习

1.（2015年新课标Ⅰ卷）设函数f （x ）=e 2x -alnx.（1）谈论f （x ）导函数的 f ′(x)的零点的个数（2）证明：当a ＞0时，f （x ）≥2a+aln a

2

2. (2014新课标全国Ⅰ卷) 设函数f （x ）=ae x lnx+

x

x be 1

，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y=e （x-1）+2

（Ⅰ）求a ，b ；（Ⅱ）证明：f （x ）＞1

3. （2015年四川高考文科试题）已知函数f （x ）=-2xlnx+x 2-2ax+a 2，其中a ＞0

（Ⅰ）设g （x ）是f （x ）的导函数，谈论g （x ）的单调性

（Ⅱ）证明：存在a ∈（0，1），使得f （x ）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f （x ）=0在区间（1，+∞）内有唯一解.

4.（2015江苏卷）已知函数f （x ）=x 3+ax 2+b （a ，b ∈R ） （1）试讨论f （x ）的单调性；

（2）若b=c-a （实数c 是与a 无关的常数），当函数f （x ）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（-∞，-3）∪（1，

23）∪（2

3

，+∞），求c 的值 5.（2014甘肃二诊）设函数f （x ）=e x -ax-2 （1）求f （x ）的单调区间

（2）若a=1，k 为整数，且当x ＞0时，（x-k ）f ′(x)+x+1＞0，求k 的最大值.

专题八 双变量的处理策略 一．知识点睛

所要求最值的式子或者所要证明的不等式中有两个变量，这一类题型我们通常要把变量的个数变少，转化为含单变量的问题 二，方法点拨

方法一：所要证明的不等式中含有两个变量x 1，x 2，我们可以指定其中一个变量x 1为主元，x 2为常数，构造单变量函数

方法二：整体代换，通过换元，化双变量为单变量 方法三：整合结构，把结构相同化，构造新函数 方法四：划归为值域或最值思想

三，跟进训练

1.（2015新课标全国Ⅱ）设函数f （x ）=e mx +x 2-mx.

（Ⅰ）证明：f （x ）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增； （Ⅱ）若对于任意x 1，x 2 ∈[-1,1]，都有)2()1(x f x f ≤e-1，求m 的取值范围.

2.定义：设函数f （x ）在（a,b ）内可导，若f ′(x)为区间（a,b ）内的增函数，则称f （x ）为（a,b ）内的下凸函数.

（Ⅰ）已知f （x ）=e x -ax 3+x 在（0，+∞）内为下凸函数，试求实数a 的取值范围； （Ⅱ）设f （x ）为（a ，b ）内的下凸函数，求证：对于任意正数λ1，λ2， λ1+λ2 =1，不等式f （λ1x 1+λ2x 2 ）≤λ1f （x 1）+λ2 f （x 2）对任意的x 1，x 2 ∈（a,b ）恒成立. 3.已知函数f （x ）=x-1-alnx （a ∈R ）

（1）若曲线y=f （x ）在x=1处的切线方程为3x-y-3=0，求实数a 的值. （2）求证：f （x ）≥0恒成立的充要条件是a=1

（3）若a ＜0，且对任意x 1，x 2 ∈（0,1]，都有f （x 1）-f （x 2）≤4

2

1

11x x -

，求实数a 的取值范围. 4.已知函数f （x ）=

2

1x 2

-ax+（a-1）lnx ，a ＞1. （Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；

（Ⅱ）证明：若a ＜5，则对于任意x 1，x 2 ∈（0,+∞），x 1≠x 2 ，有2

1)

2()1(x x x f x f --＞-1

专题九 不等式含参恒成立问题 一．知识点睛

不等式恒成立求参数范围这一类题型往往与构造新函数，求函数的最值联系在一起 二．方法点拨

1.分离参数法 通过恒等变形把含有变量和参数的式子分别放在不等式的两边，转化为求不含参函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围

2.含参分类讨论 构造新函数，利用导数研究函数的单调性，由于导数中含有参数，此时就要对参数的范围进行分类讨论

3.端点验证法 例如对于任意x ∈[x 0，+∞），f （x ）≥0，求参数取值范围，如果验证区间端点值f （x 0）=0，那么不等式f （x ）≥0转化为f （x ）≥f （x 0），接下来我们可以先由 f （x ）单调递增，求得参数取值范围，再验证当参数不在这个范围时不等式不是恒成立就可以了。

4.数形结合法 f （x ）≥g （x ）恒成立，我们只需要看图，当参数在什么范围内取值时对于

任意x ∈R 函数f （x ）的图像在g （x ）图像的上方或者与之相切。

三．跟进训练

1.定义在R 上的函数f （x ），如果存在函数g （x ）=ax+b （a ，b 为常数），使得f （x ）≥g

（x ）对一切实数x 都成立，则称g （x ）为函数f （x ）的一个承托函数.给出如下命题： lnx ，x ＞0

（1）函数g （x ）=-2是函数f （x ）= 的一个承托函数； 1，x ≤0

（2）函数g （x ）=x-1是函数f （x ）=x+sinx 的一个承托函数；

（3）若函数g （x ）=ax 是函数f （x ）=e x 的一个承托函数，则a 的取值范围是[0，e]； （4）值域是R 的函数f （x ）不存在承托函数；其中，所有正确命题的序号是

2.（2014辽宁）当x ∈[-2，1]时，不等式ax 3-x 2+4x+3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是 A.[-5，-3] B.[-6，-

8

9

] C.[-6，-2] D.[-4，-3] 3.（2015山东）设函数f （x ）=ln （x+1）+a （x 2-x ），其中a ∈R

（Ⅰ）讨论函数f （x ）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若?x ＞0，f （x ）≥0成立，求a 的取值范围.

4.（2016全国卷Ⅱ文）已知函数f （x ）=（x+1）lnx-a （x-1）. （Ⅰ）当a=4时，求曲线y=f （x ）在（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）若当x ∈（1，+∞）时，f （x ）＞0，求a 的取值范围.

5.（2016四川卷）设函数f （x ）=ax 2-a-lnx ，其中a ∈R （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性

（Ⅱ）确定a 的所有可能取值，使得f （x ）＞x

1-e 1-x

在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718…

为自然对数的底数）.

专题十 不等式的证明 一．知识点睛

不等式的证明实质上考查的还是利用导数研究函数的单调性或最值，以及不等式的放缩。 二．方法点拨 1.构造函数法

①直接作差 例如f （x ）≥g （x ）含有一个变量，但涉及两个函数，我们可以通过移项作差得到f （x ）-g （x ）≥0，构造新函数h （x ）=f （x ）-g （x ） 转化为证函数h （x ）min ≥0

②构造形似函数：通过对不等式的同解变形，如移项，通分，取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子，根据相同结构构造新函数

在构造函数的过程中，涉及lnx 以及e x 的项，应把lnx 单独分离出来，e x 与其他函数可以组合，这样便于判断导函数的符号。

③适当放缩后再构造：若所构造函数最值不易求解，可将所证明的不等式进行放缩，再重新构造新函数

④构造双函数：若直接构造函数求导，难以判断符号，导数的零点也不易求得，因此单调性和极值点都不易获得，从而构造f （x ）和g （x ），利用其最值求解。

⑤换元后构造新函数，如果不等式比较复杂，并且涉及到多个变量，我们可以考虑整体换元，把不等式化简，再来证明换元后的不等式，运算就显得相对简单了。 2.数形结合

要证f （x ）≥g （x ）恒成立，我们只需要看图得知当x ∈R 时函数f （x ）的图像在g （x ）图像的上方或者与之相切。 三．跟进训练

1.（2014新课标Ⅰ卷）设函数f （x ）=ae x lnx+

x

x be 1

-，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y=e （x-1）+2 （Ⅰ）求a ，b ； （Ⅱ）证明：f （x ）＞1

2.（2016新课标卷Ⅰ）（Ⅰ）讨论函数f （x ）=2

2+-x x e x

的单调性，并证明当x ＞0时 （x-2）e x +x+2＞0

（Ⅱ）证明：当a ∈[0,1）时，函数g （x ）=2x

a

ax x e --（x ＞0）有最小值.设g （x ）的最

小值为h （a ），求函数h （a ）的值域。

3.（2016全国卷Ⅲ）设函数f （x ）=αcos2x+（α-1）·（cosx+1），其中α＞0，记)(x f 的最大值为A.

（Ⅰ）求f ′(x) ；（Ⅱ）求A （Ⅲ）证明)('x f ≤2A 4.(2013新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)=e x -ln(x+m).

（Ⅰ）求设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）当m ≤2时,证明f(x)＞0

专题十一 量词的处理策略 一．知识点睛

常见的量词有两个：全称量词?和存在量词?

二．方法点睛

不管是双量词问题还是单量词问题，我们都可以转化为求函数的最值 单量词问题

类型一 ?x ∈D ，f （x ）≥g （x ）我们可以①构造一个辅助函数h （x ）=f （x ）-g （x ），问题等价于h （x ）min ≥0恒成立②分离参数，变成形如h （x ）≥m （t ）的形式，问题等价于h （x ）min ≥m （t ），得到一个有关参数t 的不等式，解不等式就可以求得参数t 的范围

类型二 ?x ∈D ，f （x ）≥g （x ）我们可以①构造一个辅助函数h （x ）=f （x ）-g （x ），问题等价于h （x ）max ≥0②分离参数，变成形如h （x ）≥m （t ）的形式，问题等价于h （x ）max ≥m （t ） 类型三 ?x ∈D ，f （x ）=t ，则t ∈｛y

y=f （x ），x ∈D }

双量词问题

类型一 ?x 1∈D 1，?x 2∈D 2，f （x 1）＞g （x 2），则f （x ）min ＞g （x ）max 类型二 ?x 1∈D 1，?x 2∈D 2，f （x 1）＞g （x 2），则f （x ）min ＞g （x ）min 类型三 ?x 1∈D 1，?x 2∈D 2，f （x 1）＞g （x 2），则f （x ）max ＞g （x ）max 类型四 ?x 1∈D 1，?x 2∈D 2，f （x 1）＞g （x 2），则f （x ）max ＞g （x ）min 类型五 ?x 1∈D 1，?x 2∈D 2，f （x 1）=g （x 2），则range f （x ）?range g （x ） 类型六 ?x 1∈D 1，?x 2∈D 2，f （x 1）=g （x 2），则range f （x ）?range g （x ）≠? 三．跟进训练

1.已知函数f （x ）=-1

4

42+++x x x ，g （x ）=lnx-21x 2+27，实数a ，b 满足a ＜b ＜-1.若?x 1∈[a,b],?x 2

∈(0,+∞),使得f （x 1）=g （x 2）成立，则b-a 的最大值为 2.已知函数f （x ）=x 2 -

3

2ax 3

（a ＞0），x ∈R （1）求f （x ）的单调区间和极值；

（2）若对于任意的x 1∈（2，+∞)，都存在x 2∈（1，+∞），使得f （x 1）·f （x 2）=1.求a 的取值

范围

3.已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）.

(1)若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；

(2)求f（x）的单调区间；

(3)设g（x）=x2-2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0,1],使得f（x1）＜g（x2），求a 的取值范围.

专题十二 绝对值与导数结合问题

一．知识点睛

①去绝对值的法则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 ②绝对值的几何意义：

a 表示数a 的点到原点的距离；a x -表示数x 的点到表示数a 的点的距离

③绝对值不等式：

b a - ≤ b a ±≤b

a +

二．方法点拨 类型一

)2()1(x f x f -≤a 转化为f （x ）max －f(x)min ≤a

类型二

)2()1(x f x f -≤a 21x x -，可以先假设x 1≤x 2，利用函数f （x ）的单调性把绝对值去掉。

若f （x ）单调递增，则转化为f （x 1）－f （x 2）≤ax 2－ax 1，移项把两边结构化相同，变为f （x 1）+a x 1≤f （x 2）+ax 2，构造辅助函数g （x ）=f(x)+ax,函数g （x ）单调递增； 若f （x ）单调递减，则转化为f （x 2）－f （x 1）≤ax 2－ax 1，移项把两边结构化相同，变为f （x 1）－ax 1≥f （x 2）－ax 2，构造辅助函数g （x ）=f(x)－ax,函数g （x ）单调递减 类型三

)2()1(x f x f - ≤)

2()1(x g x g -，先假设x 1≤x 2，利用单调性进行转化后构造新函数

跟进训练

1.（2015新课标Ⅱ）若函数f （x ）=e mx +x 2-mx

（1）证明：函数f （x ）在（-∞，0）单调递减，在（0，,+∞）单调递增； （2）若对于任意x 1，x 2∈[-1，1]，都有

)2()1(x f x f -≤e-1，求m 的取值范围.

2.（2016天津卷理科）设函数f （x ）=（x-1）3-ax-b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R. （1）求f （x ）的单调区间；

（2）若f （x ）存在极值点x 0，且f （x 1）=f （x 0），其中x 1≠x 0，求证：x 1+2x 0=3； （3）设a ＞0，函数g （x ）=

)(x f ，求证：g （x ）在区间[0，2]上的最大值不小于

4

1. 3.已知函数f （x ）=x 3-3ax 2-9a 2x+a 3. (1)设a=1,求函数f （x ）的极值；

(2)若a ＞4

1

，且当x ∈[1，4a]时，)('x f ≤12a 恒成立，试确定a 的取值范围.