二次函数压轴题——角的存在性

二次函数压轴题——角的存在性

一．解答题（共5小题）

例1．（2013•河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作

PE⊥x轴于点E，交CD于点F．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．

（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．

例2．（2012•惠山区校级模拟）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，

﹣3）两点，与x轴交于另一点B．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）已知点D（m，﹣m﹣1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．

（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB=∠CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

例3．（2014•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线

y=﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点

A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD．

（1）若点A的坐标是（﹣4，4）．

①求b，c的值；

②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；

（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．

练习1．（2013•十堰）已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于

C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（﹣1，0）．

（1）求D点的坐标；

（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；

（3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．

2．（2012•合川区模拟）如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点B（﹣3，

0），与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求直线BC及二次函数的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D，与x轴的另一个交点为A．点P在抛物线的对称轴上，且

∠APD=∠ACB，求点P的坐标；

（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．

2015年05月13日1873957725的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共5小题）

1．（2013•河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴

于点E，交CD于点F．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．

（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．

考点：二次函数综合题．

专题：压轴题．

分析：（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）本问采用数形结合的数学思想求解．将直线y=x+2沿y轴向上或向下平移2

个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．联立解析式解方程组，即可求出m的值；

（3）本问符合条件的点P有2个，如答图2所示，注意不要漏解．在求点P坐标的时候，需要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相似三角形，解方程求出点P的坐标．

解答：

解：（1）在直线解析式y=x+2中，令x=0，得y=2，

∴C（0，2）．

∵点C（0，2）、D（3，）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，

∴，

解得b=，c=2，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．

（2）∵PF∥OC，且以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，

∴PF=OC=2，

∴将直线y=x+2沿y轴向上、下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧

的交点，即为所求之交点．

由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．

将直线y=x+2沿y轴向上平移2个单位，得到直线y=x+4，

联立，

解得x1=1，x2=2，

∴m1=1，m2=2；

将直线y=x+2沿y轴向下平移2个单位，得到直线y=x，

联立，

解得x3=，x4=（在y轴左侧，不合题意，舍去），

∴m3=．

∴当m为值为1，2或时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形．

（3）存在．

理由：设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+2），F（m，m+2）．

如答图2所示，过点C作CM⊥PE于点M，则CM=m，EM=2，

∴FM=y F﹣EM=m，

∴tan∠CFM=2．

在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF=m．

过点P作PN⊥CD于点N，

则PN=FN•tan∠PFN=FN•tan∠CFM=2FN．

∵∠PCF=45°，

∴PN=CN，

而PN=2FN，

∴FN=CF=m，PN=2FN=m，

在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF==m．∵PF=y P﹣y F=（﹣m2+m+2）﹣（m+2）=﹣m2+3m，∴﹣m2+3m=m，

整理得：m2﹣m=0，

解得m=0（舍去）或m=，

∴P（，）；

同理求得，另一点为P（，）．

∴符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．