苏教版数学九年级上册 压轴解答题同步优质(Word版 含答案)(1)

苏教版数学九年级上册 压轴解答题同步优质（Word 版 含答案）(1)

一、压轴题

1．如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：1

62

y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点B 、C ，且与直线2l ：1

2

y x =

交于点A .

（1）分别求出点A 、B 、C 的坐标；

（2）若D 是线段OA 上的点，且COD △的面积为12，求直线CD 的函数表达式； （3）在（2）的条件下，设P 是射线CD 上的点，在平面内里否存在点Q ，使以O 、

C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理

由. 2．问题提出

（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．

问题探究

（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且

2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．

问题解决

（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．

3．如图，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点p 从A 开始折线A ——B ——C ——D 以4cm/秒的 速度 移动，点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/秒的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t （秒）

（1）t 为何值时，四边形APQD 为矩形.

（2）如图（2），如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2cm ，那么t 为何值时，⊙P 和⊙Q 外切？ 4．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝﹣

1

3

x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，以AB 为斜边作等腰直角△ABC ，使点C 落在第一象限，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，作CE ⊥x 轴于点E ，连接ED 并延长交y 轴于点F ．

（1）如图（1），点P 为线段EF 上一点，点Q 为x 轴上一点，求AP +PQ 的最小值． （2）将直线l 进行平移，记平移后的直线为l 1，若直线l 1与直线AC 相交于点M ，与y 轴相交于点N ，是否存在这样的点M 、点N ，使得△CMN 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，已知矩形ABCD 中，BC =2cm ，AB =23cm ，点E 在边AB 上，点F 在边AD 上，点E 由A 向B 运动，连结EC 、EF ，在运动的过程中，始终保持EC ⊥EF ，△EFG 为等边三角形．

（1）求证△AEF ∽△BCE ；

（2）设BE 的长为xcm ，AF 的长为ycm ，求y 与x 的函数关系式，并写出线段AF 长的范围；

（3）若点H 是EG 的中点，试说明A 、E 、H 、F 四点在同一个圆上，并求在点E 由A 到B 运动过程中，点H 移动的距离．

6．如图1，有一块直角三角板，其中AB 16=，ACB 90∠=，CAB 30∠=，A 、B 在x 轴上，点A 的坐标为()20,0，圆M 的半径为33，圆心M 的坐标为(5,33-，圆M 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右做平移运动，运动时间为t 秒；

()1求点C的坐标；

()2当点M在ABC

∠的内部且M与直线BC相切时，求t的值；

()3如图2，点E、F分别是BC、AC的中点，连接EM、FM，在运动过程中，是否存在某一∠=？若存在，直接写出t的值，若不存在，请说明理由．

时刻，使EMF90

7．如图，在?ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．点P是边BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O交BD于E．

（1）如图1，当PB＝3时，求PA的长以及⊙O的半径；

（2）如图2，当∠APB＝2∠PBE时，求证：AE平分∠PAD；

（3）当AE与△ABD的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O的半径．

8．如图，B是O的半径OA上的一点（不与端点重合），过点B作OA的垂线交O于点C，D，连接OD，E是O上一点，CE CA

=，过点C作O的切线l，连接OE并延长交直线l于点F.

（1）①依题意补全图形.

②求证：∠OFC=∠ODC．

（2）连接FB，若B是OA的中点，O的半径是4，求FB的长.

9．某校网球队教练对球员进行接球训练，教练每次发球的高度、位置都一致．教练站在球场正中间端点A 的水平距离为x 米，与地面的距离为y 米，运行时间为t 秒，经过多次测试，得到如下部分数据： t 秒 0 1.5 2.5 4 6.5 7.5 9 … x 米 0 4 8 10 12 16 20 … y 米

2

4.56

5.84

6

5.84

4.56

2

…

（1）当t 为何值时，网球高度达到最大值？ （2）网球落在地面时，与端点A 的水平距离是多少？ （3）网球落在地面上弹起后，y 与x 满足()

2

56y a x k =-+

①用含a 的代数式表示k ；

②球网高度为1.2米，球场长24米，弹起后是否存在唯一击球点，可以将球沿直线扣杀到A 点，若有请求出a 的值，若没有请说明理由．

10．如图1,已知菱形ABCD 的边长为23，点A 在x 轴负半轴上，点B 在坐标原点．点D 的坐标为(?3，3),抛物线y=ax 2+b(a≠0)经过AB 、CD 两边的中点.

(1)求这条抛物线的函数解析式；

(2)将菱形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向匀速平移(如图2),过点B 作BE ⊥CD 于点E,交抛物线于点F,连接DF.设菱形ABCD 平移的时间为t 秒(0

4

5

，O 为坐标原点，A 点在x 轴的正半轴上，B ，C 两点都在第一象限．点P 以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O 运动一周，设运动时间为t （秒）．请解答下列问题：

（1）当CP⊥OA 时，求t 的值；

（2）当t ＜10时，求点P 的坐标（结果用含t 的代数式表示）；

（3）以点P 为圆心，以OP 为半径画圆，当⊙P 与菱形OABC 的一边所在直线相切时，请直接写出t 的值．

12．如图，正方形ABCD 中，点O 是线段AD 的中点，连接OC ，点P 是线段OC 上的动点，连接AP 并延长交CD 于点E ，连接DP 并延长交AB 或BC 于点F ， （1）如图①，当点F 与点B 重合时，

DE

DC

等于多少； （2）如图②，当点F 是线段AB 的中点时，求DE

DC

的值； （3）如图③，若DE CF ，求

DE

DC

的值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．(1)A(6，3)，B(12，0)，C(0，6)；(2)y=-x+6；(3)满足条件的Q 点坐标为：(-3，3)或22)或(6，6). 【解析】 【分析】

（1）根据坐标轴上点的坐标特点，可求出B,C 两点坐标.两个函数解析式联立形成二元一次方程组，可以确定A 点坐标.（2）根据坐标特点和已知条件，采用待定系数法，即可作答.（3）在（2）的条件下，设P 是射线CD 上的点，在平面内存在点Q ，使以O 、C 、P 、2为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑：①当四边形OP 1Q 1C 为菱形时，由∠COP 1=90°，得到四边形OP 1Q 1C 为正方形；②当四边形OP 2CQ 2为菱形时；③当四边形

OQ3P

3C为菱形时；分别求出Q坐标即可.【详解】

解：(1)由题意得

1

6

2

1

2

y x

y x

?

=-+??

?

?=

??

解得

6

3 x

y

=?

?

=?

∴A(6，3)

在y=-1

6

2

x+中，当y=0时，x=12，

∴B(12，0)

当x=0时，y=6，

∴C(0，6).

(2)∵点D在线段OA上，

∴设D(x，1

2

x) (0≤x≤6)

∵S△COD=12

∴1

2

×6x=12

x=4

∴D(4，2)，

设直线CD的表达式为y=kx+b，

把(10，6)与D(4，2)代入得

6

24

b

k b

=

?

?

=+?

解得

1

6 k

b

=-?

?

=

?

直线CD的表达式为y=-x+6

(3) 存在点2，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑：

①当四边形OP 1Q 1C 为菱形时OC==OP 1，由∠COP 1=90°，得到四边形OP 1Q 1C 为正方形，此时Q 1P 1=OP 1=OC=6，即Q:（6，6）；

② 当四边形OP 2CQ 2为菱形时，OP 2=CP 2 ，由C 坐标为（0，6），得到Q 2纵坐标为3，把y=3代入直线OQ 2解析式y=-x 中，得：x=-3，此时Q 2（-3，3）；

③当四边形0Q 3P 3C 为菱形时，OC=CP 3，则有OQ 3=OC=CP 3=P 3Q 3=6，设坐标为（x ，-x+6）， ∵OC=CP 3

∴x 2+x 2= CP 32= OC 2=62

解得，P 的坐标为，)

此时Q 3).

综上，点Q 的坐标是(-3，3)或，)或(6，6). 【点睛】

本题是一次函数、勾股定理、特殊的平行四边形的综合应用，是一道压轴题，在考试中第一问必须作答，二三问可以根据自己的情况进行取舍.

2．（1）12；（2）；（3）． 【解析】 【分析】

（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.

（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.

（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点

N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长. 【详解】

（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，

135BAC ∠=，

180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，

BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ， BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，

BD AD ∴=，

在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，

222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =，

4AB =

222232BD AB ∴===，解得：4BD =，

6AC =，

11

641222

ABC

S

AC BD ∴=

?=??=．

（2）如解图2所示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，

D 关于AB 的对称点Q ，CQ 交AB 于点P ，

PD PQ ∴=，

PC PD PC PQ CQ ∴+=+=，

点P 为AB 上的动点，

PC PD CQ ∴+≥，

∴当点P 处于解图2中的位置，PC PD +取最小值，且最小值为CQ 的长度，

点C 为半圆AB 的中点，

90COB ∴∠=，

90BOD COD COB ∠+∠=∠=，

11

903033

BOD COB ∴∠=∠=?=，

10AB =，

11

10522

OD AB ∴==?=，

在Rt ODH △中，由作图知，90OHD ∠=，且30HOD BOD ∠=∠=，

155

,222DH OD QH DH ∴==∴==，

2

222553522OH OD DH ??∴=-=-=

???

， 由作图知，四边形OMQH 为矩形，

553,22

OM QH MQ OH ∴==

==

， 515

522

CM OM OC ∴=+=+

=，

2

2

2215535322CQ CM MQ ??

??∴=+=+= ? ? ?????

， PC PD ∴+的最小值为53．

（3）如解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、， 点P 关于OA 的对称点S ，点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交

OB 于点F ，

PE SE ∴=，FP FN =，SOA POA ∠=∠，

,NOB POB OS OP ON ∠=∠==，

．PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=，

SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠， E 为OA 上的点，F 为OB 上的点 PE EF FP SN ∴++≥，

∴当点E F 、处于解图3的位置时，PE EF FP ++的长度取最小值，最小值为SN 的长度，

45POA POB AOB ∠+∠=∠=， 45SOA NOB ∴∠+∠=，

454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=．

扇形AOB 的半径为20，

20OS ON OP ∴===，

在Rt SON 中，90SON ∠=，20,90OS ON SON ==∠=

PE EF FP ∴++的长度的最小值为202

【点睛】

本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.

3．（1）4；（2）t为4s，20

3

s，

28

3

s时，⊙P与⊙Q外切．

【解析】

试题分析：（1）四边形APQD为矩形，也就是AP=DQ，分别用含t的代数式表示，解即可；

（2）主要考虑有四种情况，一种是P在AB上，一种是P在BC上时．一种是P在CD上时，又分为两种情况，一种是P在Q右侧，一种是P在Q左侧．并根据每一种情况，找出相等关系，解即可．

试题解析：（1）根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形．此时，4t=20-t，解得t=4（s）．

答：t为4时，四边形APQD为矩形

（2）当PQ=4时，⊙P与⊙Q外切．

①如果点P在AB上运动．只有当四边形APQD为矩形时，PQ=4．由（1），得t=4（s）；

②如果点P在BC上运动．此时t≥5，则CQ≥5，PQ≥CQ≥5＞4，∴⊙P与⊙Q外离；

③如果点P在CD上运动，且点P在点Q的右侧．可得CQ=t，CP=4t-24．当CQ-CP=4时，

⊙P与⊙Q外切．此时，t-（4t-24）=4，解得t=20

3

（s）；

④如果点P在CD上运动，且点P在点Q的左侧．当CP-CQ=4时，⊙P与⊙Q外切．此时，4t-24-t=4，

解得t=

28

3

（s ）， ∵点P 从A 开始沿折线A-B-C-D 移动到D 需要11s ，点Q 从C 开始沿CD 边移动到D 需要20s ，而

28

3

＜11， ∴当t 为4s ，

203s ，283

s 时，⊙P 与⊙Q 外切． 考点：1.矩形的性质；2.圆与圆的位置关系．

4．（1）AP +PQ 的最小值为4；（2）存在，M 点坐标为(﹣12，﹣4)或(12，8)． 【解析】 【分析】

（1）由直线解析式易求AB 两点坐标，利用等腰直角△ABC 构造K 字形全等易得OE ＝CE ＝4，C 点坐标为（4，4）DB ＝∠CEB ＝90?，可知B 、C 、D 、E 四点共圆，由等腰直角△ABC 可知∠CBD ＝45?，同弧所对圆周角相等可知∠CED ＝45?，所以∠OEF ＝45?，CE 、OE 是关于EF 对称，作PH ⊥CE 于H ，作PG ⊥OE 于Q ，AK ⊥EC 于K ．把AP +PQ 的最小值问题转化为垂线段最短解决问题．

（2）由直线l 与直线AC 成45?可知∠AMN ＝45?，由直线AC 解析式可设M 点坐标为（x ，1

22

x +），N 在y 轴上，可设N （0，y ）构造K 字形全等即可求出M 点坐标．

【详解】

解：（1）过A 点作AK ⊥CE ，

在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90?，AC ＝BC ， ∵CE ⊥x 轴，

∴∠ACK +∠ECB ＝90?，∠ECB +∠CBE ＝90?， ∴∠ACK ＝∠CBE 在△AKC 和△CEB 中，

AKC CEB ACK CBE AC CB ∠=∠??

∠=∠??=?

， △AKC ≌△CEB （AAS ） ∴AK ＝CE ，CK ＝BE ， ∵四边形AOEK 是矩形， ∴AO ＝EK ＝BE ， 由直线l ：y ＝﹣1

3

x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，可知A 点坐标为（0，2），B （6，0）

∴E 点坐标为（4，0），C 点坐标为（4，4）， ∵∠CDB ＝∠CEB ＝90?， ∴B 、C 、D 、E 四点共圆，

∵CD CD

=，∠CBA＝45?，

∴∠CED＝45?，

∴FE平分∠CEO，

过P点作PH⊥CE于H，作PG⊥OE于G，过A点作AK⊥EC于K．∴PH＝PQ，

∵PA+PQ＝PA+PH≥AK＝OE，

∴OE＝4，

∴AP+PQ≥4，

∴AP+PQ的最小值为4．

（2）∵A点坐标为（0，2），C点坐标为（4，4），

设直线AC解析式为：y＝kx+b

把（0，2），（4，4）代入得

2

44

b

k b

=

?

?

=+?

解得

1

2

2 k

b

?

=?

?

?=?

∴直线AC解析式为：y＝1

2

2

x+，

设M点坐标为（x，1

2

2

x+），N坐标为（0，y）．

∵MN∥AB，∠CAB＝45?，

∴∠CMN＝45?，

△CMN为等腰直角三角形有两种情况：

Ⅰ．如解图2﹣1，∠MNC＝90?，MN＝CN．

同（1）理过N点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等，同（1）理得：SN＝CR，MS ＝NR．

∴

4

1

24

2

x y

x y

-=-

?

?

?

+-=

??

，解得：

12

8

x

y

=-

?

?

=-

?

，

∴M点坐标为（﹣12，﹣4）

Ⅱ．如解图2﹣2，∠MNC＝90?，MN＝CN．

过C点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等，同（1）得：MS＝CF，CS＝FN．

∴

44

1

244

2

x y

x

-=-

?

?

?

+-=

??

，解得：

12

12

x

y

=

?

?

=

?

，

∴M点坐标为（12，8）

综上所述：使得△CMN为等腰直角三角形得M点坐标为（﹣12，﹣4）或（12，8）．

【点睛】

本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，垂线段最短等知识，解题的关键是中用转化的思想思考问题，学会添加常用辅助线，在平面直角坐标系中构造K 字形全等三角形求点坐标解决问题，属于中考压轴题． 5．（1）详见解析；（2）21y 32x x =-,3

02

AF ≤≤；(3)3. 【解析】 【分析】

（1）由∠A =∠B =90°，∠AFE =∠BEC ，得△AEF ∽△BCE ；（2）由（1）△AEF ∽BCE 得

AF AE BE BC =，23y x

x -=，即2132y x x =-+，然后求函数最值；（3）连接FH ，取EF 的中点M ，证MA =ME =MF =MH ，则A 、E 、H 、F 在同一圆上；连接AH ，证∠EFH =30°由A 、E 、H 、F 在同一圆上，得∠EAH =∠EFH =30°，线段AH 即为H 移动的路径，在直角三角形ABH 中，

3

60AH sin AB =?=

，可进一步求AH.

解：（1）在矩形ABCD 中，∠A =∠B =90°， ∴∠AEF +∠AFE =90°， ∵EF ⊥CE ， ∴∠AEF +∠BEC =90°， ∴∠AFE =∠BEC ， ∴△AEF ∽△BCE ； （2）由（1）△AEF ∽BEC 得

AF AE BE BC =，23y x

x -=， ∴2

132

y x x =-+， ∵2132y x x =-+=213(3)22x --+， 当3x =

时，y 有最大值为

3

2

， ∴302

AF ≤≤

； （3）如图1，连接FH ，取EF 的中点M ， 在等边三角形EFG 中，∵点H 是EG 的中点， ∴∠EHF =90°， ∴ME =MF =MH ，

在直角三角形AEF 中，MA =ME =MF ， ∴MA =ME =MF =MH ， 则A 、E 、H 、F 在同一圆上； 如图2，连接AH ，

∵△EFG 为等边三角形，H 为EG 中点，∴∠EFH =30° ∵A 、E 、H 、F 在同一圆上∴∠EAH =∠EFH =30°， 如图2所示的线段AH 即为H 移动的路径，

在直角三角形ABH 中，3

60AH sin AB =?=

， ∵AB =23

所以点H 移动的距离为3． 【点睛】

此题主要考查圆的综合问题，会证明三角形相似，会分析四点共圆，会运用二次函数分析最值，会分析最短轨迹并解直角三角形是得分的关键． 6．（1）()

C 8,43；（2）t=18s ；（3）t 1513=±． 【解析】 【分析】

（1）如图1中，作CH ⊥AB 于H ．解直角三角形求出CH ，OH 即可．

（2）如图1﹣1中，设⊙M 与直线BC 相切于点N ，作MH ⊥AB 于H ．求出OH 的长即可解决问题．

（3）设M （﹣5+t ，33），EF 1

2

=AB =8，由∠EMF =90°，可得EM 2+MF 2=EF 2，由此构建方程即可解决问题． 【详解】

（1）如图1中，作CH ⊥AB 于H ．

∵A （20，0），AB =16，∴OA =20，OB =4．在Rt △ABC 中，∵∠ACB =90°，AB =16，∠CAB =30°，∴BC 1

2

=AB =8，CH =BC ?sin60°=43，BH =BC ?cos60°=4，∴OH =8，∴C （8，43）．

（2）如图1﹣1中，设⊙M 与直线BC 相切于点N ，作MH ⊥AB 于H ．

∵MN =MH 3MN ⊥BC ，MH ⊥BA ，∴∠MBH =∠MBN =30°，∴BH 3==9，∴点M 的运动路径的长为5+4+9=18，∴当点M 在∠ABC 的内部且⊙M 与直线BC 相切时，t 的值为18s ．

（3）∵C （8，3B （4，0），A （20，0）．

∵CE =EB ，CF =FA ，∴E （6，），F （14，），设M （﹣5+t ，），EF 1

2

=

AB =8．

∵∠EMF =90°，∴EM 2+MF 2=EF 2，∴（6+5﹣t ）2+2+（14+5﹣t ）2+2=82，

整理得：t 2﹣30t +212=0，解得：t =15 【点睛】

本题是圆的综合题，考查了平移变换，解直角三角形，切线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

7．（1）PA O 的半径为

3

；（2）见解析；（3）⊙O 的半径为2或

【解析】 【分析】

（1）过点A 作BP 的垂线，作直径AM ，先在Rt △ABH 中求出BH ，AH 的长，再在Rt △AHP 中用勾股定理求出AP 的长，在Rt △AMP 中通过锐角三角函数求出直径AM 的长，即求出半径的值；

（2）证∠APB ＝∠PAD ＝2∠PAE ，即可推出结论；

（3）分三种情况：当AE ⊥BD 时，AB 是⊙O 的直径，可直接求出半径；当AE ⊥AD 时，连接OB ，OE ，延长AE 交BC 于F ，通过证△BFE ∽△DAE ，求出BE 的长，再证△OBE 是等边三角形，即得到半径的值；当AE ⊥AB 时，过点D 作BC 的垂线，通过证△BPE ∽△BND ，求出PE ，AE 的长，再利用勾股定理求出直径BE 的长，即可得到半径的值． 【详解】

（1）如图1，过点A 作BP 的垂线，垂足为H ，作直径AM ，连接MP ， 在Rt △ABH 中，∠ABH ＝60°， ∴∠BAH ＝30°， ∴BH ＝

1

2

AB ＝2，AH ＝AB ?sin60°＝ ∴HP ＝BP ﹣BH ＝1， ∴在Rt △AHP 中，

AP ∵AB 是直径， ∴∠APM ＝90°，

在Rt △AMP 中，∠M ＝∠ABP ＝60°，

∴AM ＝AP

sin 60?

＝3

，

∴⊙O的半径为

3

，

即PA⊙O

（2）当∠APB＝2∠PBE时，

∵∠PBE＝∠PAE，

∴∠APB＝2∠PAE，

在平行四边形ABCD中，AD∥BC，

∴∠APB＝∠PAD，

∴∠PAD＝2∠PAE，

∴∠PAE＝∠DAE，

∴AE平分∠PAD；

（3）①如图3﹣1，当AE⊥BD时，∠AEB＝90°，

∴AB是⊙O的直径，

∴r＝1

2

AB＝2；

②如图3﹣2，当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，∵AD∥BC，

∴AF⊥BC，△BFE∽△DAE，

∴BF

AD ＝

EF

AE

，

在Rt△ABF中，∠ABF＝60°，

∴AF＝AB?sin60°＝

BF＝1

2

AB＝2，

∴2

8

，

∴EF，

在Rt△BFE中，

BE

5

，∵∠BOE＝2∠BAE＝60°，OB＝OE，

∴△OBE是等边三角形，

∴r；

③当AE⊥AB时，∠BAE＝90°，

∴AE为⊙O的直径，

∴∠BPE＝90°，

如图3﹣3，过点D 作BC 的垂线，交BC 的延长线于点N ，延开PE 交AD 于点Q ， 在Rt △DCN 中，∠DCN ＝60°，DC ＝4， ∴DN ＝DC ?sin60°＝23，CN ＝1

2

CD ＝2， ∴PQ ＝DN ＝23， 设QE ＝x ，则PE ＝23﹣x ，

在Rt △AEQ 中，∠QAE ＝∠BAD ﹣BAE ＝30°， ∴AE ＝2QE ＝2x ， ∵PE ∥DN ， ∴△BPE ∽△BND ， ∴PE DN ＝BP

BN

， ∴

2323

x -＝BP

10， ∴BP ＝10﹣

53

3

x ， 在Rt △ABE 与Rt △BPE 中， AB 2+AE 2＝BP 2+PE 2， ∴16+4x 2＝（10﹣

53

3

x ）2+（23﹣x ）2， 解得，x 1＝63（舍），x 2＝3， ∴AE ＝23，

∴BE ＝22AB AE +＝224(23)+＝27， ∴r ＝7， ∴⊙O 的半径为2或

47

或7．

【点睛】

此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知圆的基本性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质.

8．（1）①补图见解析；②证明见解析；（2）FB=21

【解析】

【分析】

（1）①根据题意，补全图形即可；

②由CD⊥OA可得∠ODC+∠AOD=90°，根据垂径定理可得AD AC

=，利用等量代换可得AD CE

=，根据圆周角定理可得∠EOC=∠AOD，由切线性质可得OC⊥FC，可得

∠OFC+∠FOC=90°，即可证明∠OFC=∠ODC；

（2）连接BF，作BG⊥l于G，根据OB=1

2

OA，可得∠OCB=30°，利用勾股定理可求出BC

的长，根据垂径定理可得CD的长，由（1）可知∠OFC=∠ODC，可得FC=CD，由BG⊥l，OC⊥l可得OC//BG，根据平行线的性质可得∠CBG=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可求出CG的长，利用勾股定理可求出BG的长，即可求出FG的长，利用勾股定理求出FB 的长即可.

【详解】

（1）①延长OE，交直线l于F，如图即为所求，

②∵OA⊥CD，OA为⊙O半径，

∴AD AC

=，

∵CE CA

=，

∴AD CE

=，

∴∠EOC=∠AOD，

∵FC是⊙O的切线，

∴OC⊥FC，

∴∠OFC+∠FOC=90°，

∴∠OFC=∠ODC.

（2）连接BF，作BG⊥l于G，

∵B是OA的中点，⊙O半径为4，

∴OB=1

2

OA=

1

2

OC=2，

∵OA⊥CD，

∴∠OCD=30°，22

OC OB

-22

42

-3∴CD=2BC=43

由（1）可知∠OFC=∠ODC，

∴FC=CD=3

∵BG⊥l，OC⊥l，

∴OC//BG，

∴∠CBG=∠OCD=30°，

∴CG=1

2

322

BC CG

-，

∴FG=FC+CG=53，

∴22

FG BG

+21