2018年北师大版八年级数学上册《第一章勾股定理》测试题含答案
2018-2019学年八年级数学上册第一章检测卷时间：120分钟 满分：120分一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确的选项) 1．下列各组数，能构成直角三角形的是( ) A ．4，5，6 B ．12，16，20 C ．5，10，13 D ．8，39，402．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝2.5cm ，AC ＝1.5cm ，则AB 的长为( ) A ．3.5cm B ．2cm C ．3cm D ．4cm3．如图，有一块边长为24米的正方形绿地，在绿地旁边B 处有健身器材，由于居住在A 处的居民践踏了绿地，小明想在A 处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”，请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是( )A ．3米B ．4米C ．5米D ．6米4．在△ABC 中，AB ＝12，BC ＝16，AC ＝20，则△ABC 的面积为( ) A ．96 B ．120 C ．160 D ．2005．如图，等腰三角形底边BC 的长为10cm ，腰长AB 为13cm ，则腰上的高为( ) A ．12cm B.6013cm C.12013cm D.135cm6．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，……，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为( )A ．2B ．4C ．8D ．16二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝9，AC ＝12，则AB ＝________．8．如图，一架长为4m的梯子，一端放在离墙脚2.4m处，另一端靠墙，则梯子顶端离墙脚________m.9．如图，在△ABC中，AB＝5cm，BC＝6cm，BC边上的中线AD＝4cm，则∠ADB 的度数是________．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝__________．11．如图是一种饮料的包装盒，其长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外部分的长度h的取值范围为____________．12．在△ABC中，若AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，则△ABC的周长为________．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．如图，∠B＝∠OAF＝90°，BO＝3cm，AB＝4cm，AF＝12cm，求：(1)AO，FO的长；(2)图中半圆的面积．14．一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以30km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距多远？15．已知一个直角三角形的周长是12cm，两直角边长的和为7cm，则此三角形的面积是多少？16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝16cm，正方形BCEF的面积为144cm2，BD⊥AC于点D，求BD的长．17．由若干个大小相同且边长为1的小正方形组成的方格中：(1)如图①，A，B，C是三个格点(即小正方形的顶点)，判断AB与BC的位置关系，并说明理由；(2)在图②中画出一个面积为10的正方形．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，AD⊥AB于点A，BC⊥AB 于点B.已知AD＝15km，BC＝10km，现要在铁路AB旁建一个货运站E(A，E，B在同一条直线上)，使得C，D两村到E站距离相等，问E站应建在离A地多少千米处？19．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(图中的四边形ABCD)，经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°，连接AC.(1)△ACD是直角三角形吗？为什么？(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？20．有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60cm，水深AE＝40cm.在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG＝60cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．(1)该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行才能使路程最短呢？请你画出它爬行的路线，并用箭头标注；(2)求蚂蚁爬行的最短路线长．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.(1)求BC边的长；(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．22．图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的长分别为a，b，斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a＋b的正方形内．(1)图乙、图丙中①②③都是正方形．由图可知：①是以________为边长的正方形，②是以________为边长的正方形，③的四条边长都是________，且每个角都是直角，所以③是以________为边长的正方形；(2)图乙中①的面积为________，②的面积为________，图丙中③的面积为________；(3)图乙中①②面积之和为__________；(4)图乙中①②的面积之和与图丙中正方形③的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？六、(本大题共12分)23．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C＝90°，如图①，则有a2＋b2＝c2；若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：a2＋b2＞c2，理由如下：如图②，过点A作AD⊥CB 于点D，设CD＝x.在Rt△ADC中，AD2＝b2－x2，在Rt△ADB中，AD2＝c2－(a－x)2，∴a2＋b2＝c2＋2ax.∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2＋b2＞c2，∴当△ABC为锐角三角形时，a2＋b2＞c2.所以小明的猜想是正确的．(1)请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2与c2的大小关系(温馨提示：在图③中，作BC边上的高)；(2)证明你猜想的结论是否正确．参考答案与解析1．B 2.B 3.D 4.A 5.C6．B 解析：第一个正方形的面积是64；第二个正方形的面积是32；第三个正方形的面积是16……第n 个正方形的面积是642n －1，∴正方形⑤的面积是6424＝4.故选B. 7．15 8.3.2 9.90° 10.4 11.3cm ≤h ≤4cm12．32或42 解析：∵AC ＝15，BC ＝13，AB 边上的高CD ＝12，∴AD 2＝AC 2－CD 2，即AD ＝9，BD 2＝BC 2－CD 2，即BD ＝5.如图①，CD 在△ABC 内部时，AB ＝AD ＋BD ＝9＋5＝14，此时，△ABC 的周长为14＋13＋15＝42；如图②，CD 在△ABC 外部时，AB ＝AD －BD ＝9－5＝4，此时，△ABC 的周长为4＋13＋15＝32.综上所述，△ABC 的周长为32或42.13．解：(1)∵在Rt △ABO 中，∠B ＝90°，BO ＝3cm ，AB ＝4cm ，∴AO 2＝BO 2＋AB 2＝25，∴AO ＝5cm.(1分)在Rt △AFO 中，由勾股定理得FO 2＝AO 2＋AF 2＝132，∴FO ＝13cm.(3分)(2)图中半圆的面积为12π×⎝⎛⎭⎫FO 22＝12π×1694＝169π8(cm 2)．(6分)14．解：作出图形，因为东北和东南方向的夹角为90°，所以△ABC 为直角三角形．(2分)在Rt △ABC 中，AC ＝16×0.5＝8(km)，BC ＝30×0.5＝15(km)，则AB 2＝AC 2＋BC 2＝172，解得AB ＝17km.(5分)答：它们离开港口半小时后相距17km.(6分)15．解：设两条直角边长分别为a cm ，b cm ，斜边长为c cm.由题意可知a ＋b ＋c ＝12①，a ＋b ＝7②，a 2＋b 2＝c 2③，(2分)∴c ＝12－(a ＋b )＝5，(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝49，2ab ＝49－25＝24，∴ab ＝12，(4分)∴S ＝12ab ＝12×12＝6(cm 2)．(6分)16．解：∵正方形BCEF 的面积为144cm 2，∴BC ＝12cm.∵∠ABC ＝90°，AB ＝16cm ，∴AC ＝20cm.(3分)∵BD ⊥AC ，∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12BD ·AC ，∴BD ＝485cm.(6分)17．解：(1)如图①，连接AC ，由勾股定理，得AB 2＝32＋22＝13，BC 2＝42＋62＝52，AC 2＝12＋82＝65，∴AB 2＋BC 2＝AC 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠ABC ＝90°，∴AB ⊥BC .(3分)(2)∵面积为10的正方形可以表示为32＋12＝10，∴四边形ABCD 即为所求，如图②所示．(6分)18．解：设AE ＝x km ，则BE ＝(25－x )km.(2分)根据题意列方程，得152＋x 2＝(25－x )2＋102，解得x ＝10.(7分)故E 站应建立在离A 地10km 处．(8分)19．解：(1)在Rt △ABC 中，∵AB ＝3m ，BC ＝4m ，∠B ＝90°，AB 2＋CB 2＝AC 2，∴AC ＝5m.(2分)在△ACD 中，AC ＝5m ，CD ＝12m ，DA ＝13m ，∴AC 2＋CD 2＝AD 2，∴△ACD 是直角三角形，且∠ACD ＝90°.(4分)(2)∵S △ABC ＝12×3×4＝6(m 2)，S △ACD ＝12×5×12＝30(m 2)，∴S四边形ABCD ＝6＋30＝36(m 2)，(6分)费用为36×100＝3600(元)．故铺满这块空地共需花费3600元．(8分)20．解：(1)如图，作点A 关于BC 的对称点A ′，连接A ′G 交BC 于点Q ，连接AQ ，蚂蚁沿着A →Q →G 的路线爬行时，路程最短．(5分)(2)∵在Rt △A ′EG 中，A ′E ＝2AB －AE ＝80cm ，EG ＝60cm ，∴由勾股定理得A ′G ＝100cm ，(7分)∴最短路线长为AQ ＋QG ＝A ′Q ＋QG ＝100cm.(8分)21．解：(1)∵在Rt △ABC 中，BC 2＝AB 2－AC 2＝102－62＝64，∴BC ＝8cm.(2分) (2)由题意知BP ＝2t cm ，分两种情况进行讨论：①当∠APB 为直角时，点P 与点C 重合，如图①，BP ＝BC ＝8cm ，即t ＝4；(4分)②当∠BAP 为直角时，如图②，BP ＝2t cm ，CP ＝(2t －8)cm ，AC ＝6cm.在Rt △ACP 中，AP 2＝62＋(2t －8)2，在Rt △BAP 中，AB 2＋AP 2＝BP 2，(6分)∴102＋[62＋(2t －8)2]＝(2t )2，解得t ＝254.故当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或254.(9分)22．解：(1)a b c c (2分) (2)a 2 b 2 c 2(4分) (3)a 2＋b 2(5分)(4)由图乙和图丙可知大正方形的边长为a ＋b ，则面积为(a ＋b )2，图乙中把大正方形的面积分为了四部分，分别是边长为a 的正方形，边长为b 的正方形，还有两个长为a 、宽为b 的长方形，(7分)根据面积相等得(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ，由图丙可得(a ＋b )2＝c 2＋4×12ab .所以a 2＋b 2＝c 2.(9分)23．(1)解：当△ABC 为钝角三角形时，a 2＋b 2与c 2的大小关系为a 2＋b 2＜c 2.(3分) (2)证明：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .(5分)设CD ＝x .在Rt △ADC 中，AD 2＝b 2－x 2，在Rt △ADB 中，AD 2＝c 2－(a ＋x )2，∴a 2＋b 2＝c 2－2ax .(8分)∵a ＞0，x ＞0，∴2ax ＞0，∴a 2＋b 2＜c 2，∴当△ABC 为钝角三角形时，a 2＋b 2＜c 2.(12分)。
2018年秋北师大版八年级上册数学第一章勾股定理同步练习含答案
第一章勾股定理1.1探索勾股定理第1课时认识勾股定理1.若4ABC 中，/ C=90° ,(1)若a=5, b=12,则c=(2)若a=6, c=10,贝^ b二(3)若a ： b=3 : 4, c=10,则a=2.某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为 2 m,宽为1.5 m,现需要在相对白勺顶点间用一块木棒加固，木板的长为3.直角三角形两直角边长分别为5 cm, 12 cm,则斜边上的高为4.等腰三角形的腰长为13 cm,底边长为10 cm,则面积为（）.2A.30 cmB.130 cm2C.120 cm2 2D.60 cm5.轮船从海中岛A出发，先向北航行9km,又往西航行9 km,由于遇到冰山，只好又向南航行4 km,再向西航行6 km,再折向北航行2 km, 最后又向西航行9 km,到达目的地B,求AB两地间的距离.6. 一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断要从树底开始爬多高?7.折叠长方形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的F点处,AB=8 cm, BC=10 cm,求EC 的长.参考答案:1.(1) 13;⑵ 8; (3) 6, 8.2.2.5m.1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理1.在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五” .你知道它的意思吗?它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为 3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52(1)请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢?(2)请你观察下列图形，直角三角形ABC 的两条直角边的长分别为 AC=7, BC=4,请你研究这个直角三角形的斜边 AB 的长的平方是否等于2.下图甲是任意一个直角三角形 ABC,它的两条直角边的边长分别为 a 、b,斜边长为c. 如图乙、内那样分别取四个与直角三角形 ABC 全等的三角形，放在边长为a+b 的正方 形内.3. —cm4. 13 D.5. 25km.6. 4.7. 3 cm.42+72?①图乙和图丙中(1) (2) (3)是否为正方形？为什么？②图中(1) (2) (3)的面积分别是多少？③图中(1) (2)的面积之和是多少？④图中(1) (2)的面积之和与正方形(3)的面积有什么关系？为什么?由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？1.(1)边长的平万即以此边长为边的正1故可通过面积验证.分别以这个直角三角形 向外做正方形，如右图：AC=4, BC=3,S 正方形 ABED = S 正方形 FCGH — 4S RtAABC1 . 1=(3+4)2-4X -X3X 4=72 — 24=252即 AB 2=25,又 AC=4, BC=3,AC 2+BC 2=42+32=25• ・AB 2=AC 2+BC 2(2)如图(图见题干中图)2— 2 4 C / 2 . r\2 S 正方形 ABED = S 正方形 KLCJ — 4S RtAABC =(4+7)X 1 X4X 7=121 — 56=65=42+72 2 里甲 国乙 图丙2.①图乙、图丙中(1) (2) (3)都是正方形.易得(1)是以a为边长的正方形,(2) 是以b为边长的正方形，(3)的四条边长都是c,且每个角都是直角，所以(3)是以c为边长的正方形.②图中（1）的面积为a2,（2）的面积为b2,（3）的面积为c2.③图中（1）（2）面积之和为a2+b2④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.因为图乙、图内都是以a+b为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a+b）2减去四个RD ABC的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理 .1.2 一定是直角三角形吗1.如图在ABC中，BAC = 90 , AD BC于D,则图中互余的角有A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对2.如果直角三角形的两边的长分别为3、4,则斜边长为3.已知：四边形ABCD中，BD、AC相交于O,且BD垂直AC,求证:_2 ____ 2 _2 ____ 2AB CD AD BC 。
2018年八年级数学上册测试题及答案(1-6章)
八年级上册数学评价检测试卷第一章 勾股定理班级 姓名 学号 评价等级一、选择题1．以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（ ） （A ）4cm ，8cm ，7cm （B ） 2cm ，2cm ，2cm （C ） 2cm ，2cm ，4cm （D ）13cm ，12 cm ，5 cm2．一个三角形的三边长分别为15cm ，20cm ，25cm ，则这个三角形最长边上的高为（ ） （A ）12cm （B ）10cm （C ）12.5cm （D ）10.5cm3．Rt ∆ABC 的两边长分别为3和4，若一个正方形的边长是∆ABC 的第三边，则这个正方形的面积是（ ） （A ）25 （B ）7 （C ）12 （D ）25或74．有长度为9cm ，12cm ，15cm ，36cm ，39cm 的五根木棒，可搭成（首尾连接）直角三角形的个数为 （ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个5．将直角三角形的三边长扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ） （A ）直角三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）以上结论都不对 6．在△ABC 中，AB =12cm ， AC =9cm ，BC =15cm ，下列关系成立的是（ ） （A ）B C A ∠+∠>∠ （B ）B C A ∠+∠=∠ （C ）B C A ∠+∠<∠ （D ）以上都不对7．小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底，竹竿高出水面0.5m ，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水平刚好相齐，河水的深度为（ ） （A ）2m （B ）2.5cm （C ）2.25m （D ）3m 8．若一个三角形三边满足ab c b a 2)(22=-+，则这个三角形是（ ）（A ）直角三角形 （B ）等腰直角三角形 （C ）等腰三角形 （D ）以上结论都不对 9．一架250cm 的梯子斜靠在墙上，这时梯足与墙的终端距离为70cm ，如果梯子顶端沿墙下滑40cm ，那么梯足将向外滑动（ ） （A ）150cm（B ）90cm（C ）80cm（D ）40cm10．三角形三边长分别为12+n 、n n 222+、1222++n n （n 为自然数），则此三角形是（ ） （A ）直角三角形 （B ）等腰直角三角形 （C ）等腰三角形 （D ）以上结论都不对二、填空题11．写四组勾股数组.______，______，______，______.12．若一个直角三角形的三边为三个连续的偶数，则它的周长为____________。
2018年北师大版八年级数学上册《第一章勾股定理》测试题含答案
2018-2019学年八年级数学上册第一章检测卷时间：120分钟满分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确的选项 ） 1 •下列各组数，能构成直角三角形的是 （ ）A . 4, 5, 6B • 12, 16, 20C . 5, 10, 13D . 8, 39, 402.如图，在 Rt △ ABC 中，/ A = 90° BC = 2.5cm , AC = 1.5cm ，贝U AB 的长为（）A . 3.5cmB . 2cmC . 3cmD . 4cm3.如图，有一块边长为 24米的正方形绿地，在绿地旁边 B 处有健身器材，由于居住在A 处的居民践踏了绿地，小明想在A 处树立一个标牌“少走■米，踏之何忍”，请你计算后帮小明在标牌的“■”填上适当的数字是（ ）A . 3米B . 4米C . 5米D . 6米4. 在△ ABC 中，AB = 12, BC = 16, AC = 20,则厶 ABC 的面积为（ ）A . 96B . 120C . 160D . 200 5.如图，等腰三角形底边BC 的长为10cm ,腰长AB 为13cm ，则腰上的高为（）A . 12cmB.60cm介120 c.：jy cmD.6.如图所示为一种“羊头”形图案， 其作法是：从正方形①开始, 向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②, 类推，若正方形①的面积为 64，则正方形⑤的面积为（ ）以它的一边为斜边,”，依此i s24米13二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.在 Rt △ ABC 中，/ C = 90 ° BC = 9, AC = 12,贝U AB =____________A . 2B . 4C . 8D . 16①8•如图，一架长为4m 的梯子，一端放在离墙脚 2.4m 处，另一端靠墙，则梯子顶端离墙脚 _________ m .半径画弧，交 AB 于点D ，贝U BD =12.在△ ABC 中，若 AC = 15, BC = 13, AB 边上的高 CD = 12,则厶ABC 的周长为 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13.如图，/ B =Z OAF = 90° BO = 3cm , AB = 4cm , AF = 12cm ，求: (1) A0, FO 的长； (2) 图中半圆的面积.AD = 4cm ，则/ ADB10.如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB = 90° AC = 6, BC = 8，以点A 为圆心, AC 长为11.如图是一种饮料的包装盒，其长、宽、高分别为 16cm 的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外部分的长度4cm , 3cm, 12cm ，现有一长为 h 的取值范围为 ______________9.如图，在△ ABC 中,边上的中线14. 一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以30km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距多远？15. 已知一个直角三角形的周长是12cm,两直角边长的和为7cm，则此三角形的面积是多少？216.如图，在Rt△ ABC 中，/ ABC = 90° AB= 16cm,正方形BCEF 的面积为144cm , BD丄AC于点D，求BD的长.17.由若干个大小相同且边长为1的小正方形组成的方格中：⑴如图①，A, B, C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的位置关系，并说明理由；⑵在图②中画出一个面积为10的正方形.四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.如图，铁路上A, B两点相距25km , C, D为两村庄，AD丄AB于点A, BC丄AB 于点B.已知AD = 15km , BC = 10km，现要在铁路AB旁建一个货运站E（A, E , B在同一条直线上），使得C, D两村到E站距离相等，问E站应建在离A地多少千米处？19. 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD）,经测量, 在四边形ABCD 中，AB= 3m, BC = 4m, CD = 12m, DA = 13m,/ B= 90° 连接AC.100元，试问铺满这块空（1）△ ACD是直角三角形吗？为什么？（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米地共需花费多少元？20. 有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD = 80cm ，高AB = 60cm ，水深AE = 40cm.在水面上紧贴内壁 G 处有一块面包屑，G 在水面线EF 上，且EG = 60cm ,一只蚂蚁想从鱼缸外的 A 点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的 G 处吃面包屑.(1) 该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行才能使路程最短呢？请你画出它爬行的路线，并用箭 头标注； (2) 求蚂蚁爬行的最短路线长.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21.如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB = 90° AB = 10cm , AC = 6cm ，动点 P 从点 B 出发 沿射线BC 以2cm/s 的速度移动，设运动的时间为ts.⑴求BC 边的长；(2)当厶ABP 为直角三角形时，求 t 的值.r___ 1__ . 1UF 122•图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的长分别为a, b,斜边长为c. 如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为 a + b的正方形内.(1) 图乙、图丙中①②③都是正方形.由图可知：①是以_____________ 为边长的正方形，②是以________ 为边长的正方形，③的四条边长都是____________ ，且每个角都是直角，所以③是以________ 为边长的正方形；(2) 图乙中①的面积为________ ，②的面积为__________ ，图丙中③的面积为__________ :(3) 图乙中①②面积之和为___________ ;⑷图乙中①②的面积之和与图丙中正方形③的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？六、(本大题共12分)23.在△ ABC 中，BC= a，AC = b，AB= c，若/ C= 90° 如图①，则有a2+ b2= c2; 若厶ABC 为锐角三角形时，小明猜想：a2+ b2> c2,理由如下：如图②，过点A作AD丄CB于点D，设CD = x.在Rt△ ADC 中，AD2= b2—x2,在Rt△ ADB 中，AD2= c2—(a—x)2，A a2 + b2= c2+ 2ax. •/ a> 0，x>0，A 2ax>0，A a2+ b2>c2，•••当△ ABC 为锐角三角形时，a2+ b2> c2.所以小明的猜想是正确的.(1) 请你猜想，当厶ABC为钝角三角形时，a2+ b2与c2的大小关系(温馨提示：在图③中，作BC 边上的高);(2) 证明你猜想的结论是否正确.参考答案与解析1. B2.B3.D4.A5.C6. B 解析：第一个正方形的面积是 64 ;第二个正方形的面积是 32;第三个正方形的 面积是16,,第 n 个正方形的面积是2^^1 ,•••正方形⑤的面积是 624 = 4.故选 B.7. 15 8.3.2 9.90 ° 10.411.3cm < h < 4cm2 2 212. 32 或 42 解析：T AC = 15, BC = 13, AB 边上的高 CD = 12,二 AD = AC — CD , 即 AD = 9, BD 1 2= BC 2— CD 2,即卩 BD = 5.如图①，CD 在厶 ABC 内部时，AB = AD + BD = 9+ 5 = 14,此时，△ ABC 的周长为14+ 13+ 15= 42;如图②，CD 在厶ABC 外部时，AB = AD — BD= 9— 5= 4,此时，△ ABC 的周长为 4+ 13+ 15= 32.综上所述，△ ABC 的周长为 32 或 42.11 48•AC = 20cm.（3 分）•/ BD 丄 AC ,「. S ^ABC =^AB BC = ；BD AC ,• BD =cm.（6 分）2 2517. 解：（1）如图①，连接 AC ,由勾股定理，得 AB 2=32 + 22= 13, BC 2= 42+ 6^ 52, AC 2 = 12 + 82 = 65 , • AB 2 + BC 2 = AC 2 , ABC 是直角三角形，且/ABC = 90° , •AB 丄 BC.（3 分）图②图①13.解：（1） •••在 Rt △ ABO 中，/ B = 90°, BO = 3cm , AB = 4cm ,「. AO 2= BO 2 + AB 2 =25,• AO = 5cm.（1 分）在 Rt △ AFO 中，由勾股定理得 FO 2= AO 2+ AF 2= 132, • FO = 13cm.（3 分）14.解：作出图形，因为东北和东南方向的夹角为 90°所以△ ABC 为直角三角形.（2 分）在 Rt △ ABC 中，AC = 16X 0.5= 8（km ）, BC = 30X 0.5 = 15（km ），贝U AB 2= AC 2+ BC 2= 172, 解得 AB = 17km.（5 分）答：它们离开港口半小时后相距 17km.（6分）15. 解：设两条直角边长分别为 acm , bcm ,斜边长为ccm.由题意可知a + b + c = 12①， a + b = 7②，a 2 + b 2= c 2③，（2 分）• c = 12— （a + b ） = 5, （a + b ）2= a 2+ b 2+ 2ab = 49, 2ab = 49 —25 = 24,「. ab = 12, （4 分）• S = ^ab = 1X 12= 6（cm 2）. （6 分）216. 解：T •正方形 BCEF 的面积为 144cm ,• BC = 12cm.v/ ABC = 90°, AB = 16cm ,（2） •••面积为10的正方形可以表示为 32+ 12= 10,二四边形ABCD 即为所求，如图②所 示.（6分）18. 解：设 AE = xkm ，贝U BE = （25 — x ）km.（2 分）根据题意列方程，得 152+ x 2= （25 — x ）2 + 102,解得x = 10.（7分）故E 站应建立在离 A 地10km 处.（8分） 19. 解：（1）在 Rt △ ABC 中，•/ AB = 3m , BC = 4m , / B = 90° AB + CB = AC , A AC =5m.（2 分）在厶 ACD 中，AC = 5m , CD = 12m , DA = 13m , A AC 2 + CD 2= AD 2,A ^ ACD 是直角三角形，且/ ACD = 90°.（4分）（2） S ^ABC = 1 X 3 X 4 = 6（皿2） , S A ACD = ? X 5 X *12 = 30（m 2） , A S 四边形 ABCD = 6 + 30 = 36（m ）, （6分）费用为36 X 100= 3600（元）.故铺满这块空地共需花费 3600元.（8分）20. 解：（1）如图，作点 A 关于BC 的对称点 A 连接A'G 交BC 于点Q ,连接 AQ ,蚂蚁沿着A T Q T G 的路线爬行时，路程最短. （5分）⑵图中半圆的面积为2仃2）图① 图②（6分）1 169 169 n(2)•••在Rt A A'EG 中，A'E = 2AB —AE = 80cm, EG = 60cm,A 由勾股定理得A'G = 100cm, (7 分)A最短路线长为AQ+ QG = A Q+ QG = 100cm.(8 分)21.解：(1) •••在Rt△ ABC 中，BC2= AB2—AC2= 102—62= 64, A BC= 8cm.(2 分)(2)由题意知BP= 2tcm，分两种情况进行讨论：①当/ APB为直角时，点P与点C重合，如图①，BP = BC= 8cm，即t = 4; (4分)②当/ BAP为直角时，如图②，BP= 2tcm, CP = (2t—8)cm, AC= 6cm.在Rt△ ACP 中，AP2= 62+ (2t—8)2，在Rt△ BAP 中，AB2+ AP225=BP2, (6 分)A 102+ [62+ (2t—8)勺=(2t)2，解得t= 22 23 24 25.故当△ ABP 为直角三角形时，t= 4或学.（9分）22解：（1）a b c c（2 分）（2）a2b2c2（4 分）2 2（3） a + b（5 分）（4）由图乙和图丙可知大正方形的边长为a+ b,则面积为（a +b）2,图乙中把大正方形的面积分为了四部分，分别是边长为a的正方形，边长为b的正方形，还有两个长为a、宽为2 2 2 」，一. _____________ 2 2 1b的长方形，（7分）根据面积相等得（a + b）= a + b +2ab,由图丙可得（a+ b）= c + 4X^ab. 所以a2 + b2= c2.（9 分）23（1）解：当△ ABC为钝角三角形时，a2+ b2与c2的大小关系为a2+ b2v c2.（3分）（2）证明：如图，过点A作AD丄BC于点D.（5分）设CD = x.在Rt△ ADC中，AD2= b2 —x2,在Rt△ ADB 中，AD2= c2—（a+ X）2,A a2+ b2= c2—2ax.（8 分）•/ a> 0, x> 0, A 2ax> 0, A a2+ b2v C2,A当厶ABC 为钝角三角形时，a2+ b2v c2.（12 分）4。
北师大版八年级上册数学第一章 勾股定理含答案【参考答案】
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=5，BC=3，那么AC等于（）A. B.3 C.4 D.52、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q。
若QH=2PE，PQ=15，则CR的长为（)A.14B.15C.8D.63、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD 于F，则PE+PF等于（）A. B. C. D.4、直角三角形的两条直角边长分别为4和6，那么斜边长是（）A.2B.2C.52D.5、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积．下列方案中，错误的是( )A. B. C. D.6、⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3 cm，则⊙O的直径为（）A.4 cmB.5 cmC.8 cmD.10 cm7、⊙o的半径是13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则AB与CD的距离是（）A.7B.17C.7或17D.48、如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（）A.7B.8C.9D.109、若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方为（）A.169B.169或119C.169或225D.22510、如图所示，在矩形ABCD中，AD=8，DC=4，将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF（点,A,B,E在同一直线上），连接CF，则CF=( )A.10B.12C.D.11、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）A. B. C. D.12、如图，在边长为2的正方形中，点为对角线上一动点，于点，于点，连接，则的最小值为（）A.1B.C.D.13、如图，在△ABC中， AB＝3，AC＝2．当∠B最大时，BC的长是（）A.1B.5C.D.14、以下列各数为边长，不能组成直角三角形的是（）A.3，4，5B.4，5，6C.5，12，13D.6，8，1015、如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边＝6＋3 ．其中正确的结论有（）形AOBO′A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共10题，共计30分)16、如果一个直角二角形的两条直角边的长分别是5和12，那么这个直角三角形斜边长是________。
2018年北师大版八年级数学上册《第一章勾股定理》试卷含答案
第一章勾股定理测试题(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.直角三角形的最长边的长为10,一条直角边长为6,另一条直角边长为()A.6B.8C.10D.42.如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以到达建筑物的高度是()A.12米B.13米C.14米D.15米3.下面四组线段能够组成直角三角形的是()A.2,3,4B.3,4,5C.6,7,8D.7,8,94.一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长,但他把这三个数据与其他的数据弄混了,请你帮他找出来,是 ()A.13,12,12B.12,12,8C.13,10,12D.5,8,45.如图所示,一个高1.5米,宽3.6米的大门,需要在相对的顶点间用一条木板加固,则这块木板的长度是()A.3.8米B.3.9米C.4米D.4.4米6.一部电视机屏幕的长为58厘米,宽为46厘米,则这部电视机的大小规格为(实际测量误差忽略不计) ()A.34英寸(87厘米)B.29英寸(74厘米)C.25英寸(64厘米)D.21英寸(54厘米)7.如图所示,在ΔABC中,AB=AC=10,AD⊥BC于点D,若AD=6,则ΔABC 的周长是 ()A.36B.40C.38D.328.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m,当它把绳子的下端拉开5m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为()A.8mB.10mC.12mD.14m9.RtΔABC中,∠C=90°,若两条直角边长的和为a+b=14cm,斜边长c=10cm,则RtΔABC的面积为()A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm210.如图所示,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,两船相距()A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里二、填空题(每小题4分,共32分)11.小明要把一根长为70cm的木棒放到一个长、宽、高分别为50cm,40cm,30cm的木箱中,他能放进去吗?.12.如图所示,李明从家出发向正北方向走了1200米,接着向正东方向走到离家2000米远的地方,这时,李明向正东方向走了米.13.如图所示,小明将一张长为20cm,宽为15cm的长方形纸剪去了一角,量得AB=3cm,CD=4cm,则剪去的直角三角形的斜边长为.。
2018-2019学年北师大版八年级数学上册《第一章勾股定理》单元检测题（含答案解析）
2018-2019学年北师⼤版⼋年级数学上册《第⼀章勾股定理》单元检测题（含答案解析）勾股定理测试时间：100分钟总分：100⼀、选择题（本⼤题共10⼩题，共30.0分）1.在中，，，BC边上的⾼，则另⼀边BC等于A. 10B. 8C. 6或10D. 8或102.如图，?ABCD的对⾓线AC，BD交于点O，，，且AC：：3，那么AC的长为A. B. C. 3 D. 43.如图，以为直径分别向外作半圆，若，，则A. 2B. 6C.D.4.直⾓三⾓形的斜边为20cm，两直⾓边之⽐为3：4，那么这个直⾓三⾓形的周长为A. 27cmB. 30cmC. 40cmD. 48cm5.如图所⽰，的顶点A、B、C在边长为1的正⽅形⽹格的格点上，于点D，则BD的长为A.B.C.D.6.如图，直线L上有三个正⽅形a，b，c，若a，c的⾯积分别为1和9，则b的⾯积为A. 8B. 9C. 10D. 117.已知直⾓三⾓形的两条边长分别是3和5，那么这个三⾓形的第三条边的长为A. 4B. 16C.D. 4或8.“赵爽弦图”巧妙地利⽤⾯积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所⽰的“赵爽弦图”是由四个全等的直⾓三⾓形和⼀个⼩正⽅形拼成的⼀个⼤正⽅形，设直⾓三⾓形较长直⾓边长为a，较短直⾓边长为b，若，⼤正⽅形的⾯积为13，则⼩正⽅形的⾯积为A. 3B. 4C. 5D. 69.如图，将⼀根长为24cm的筷⼦，置于底⾯直径为5cm，⾼为12cm的圆柱形⽔杯中，设筷⼦露在杯⼦外⾯的长度为hcm，则h的取值范围是( )A.B.C.D.10.如图，在矩形ABCD中，，，将其折叠使AB落在对⾓线AC上，得到折痕AE，那么BE的长度为A. B. C. D.⼆、填空题（本⼤题共10⼩题，共30.0分）11.如图，有⼀块⽥地的形状和尺⼨如图所⽰，则它的⾯积为______ ．12.在中，已知两边长为5、12，则第三边的长为______ ．13.如图，某会展中⼼在会展期间准备将⾼5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平⽅⽶18元，请你帮助计算⼀下，铺完这个楼道⾄少需要______ 元钱．14.如图，有⼀个长为50cm，宽为30cm，⾼为40cm的长⽅体⽊箱，⼀根长70cm的⽊棍______放⼊填“能”或“不能”．15.如图，等腰三⾓形ABC的底边BC长为4，⾯积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上⼀动点，则周长的最⼩值为______．16.如图，矩形ABCD中，，，点E是BC边上⼀点，连接AE，把沿AE折叠，使点B落在点处当为直⾓三⾓形时，的长为______．17.如图，等腰中，，AD是底边上的⾼，若，，则______cm．18.课本中有这样⼀句话：“利⽤勾股定理可以作出，，线段如图所⽰”即：，过A作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；以此类推，得______ ．19.如图，等腰三⾓形ABC的底边BC长为4，⾯积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上⼀动点，则的周长的最⼩值为______．20.如图，在平⾯直⾓坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处若，，则点E的坐标是______ ．三、计算题（本⼤题共4⼩题，共24.0分）21.如图，⼀架长为5⽶的梯⼦AB斜靠在与地⾯OM垂直的墙ON上，梯⼦底端距离墙ON有3⽶．。
北师大版八年级勾股定理练习题(含答案)
北师大版八年级勾股定理练习题(含答案)work Information Technology Company.2020YEAR北师大版八年级数学上勾股定理练习题一、基础达标:1. 下列说法正确的是（）A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边， 90∠A，则a2＋b2＝c2；=D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边， 90=∠C，则a2＋b2＝c2．2. Rt△ABC的三条边长分别是a、b、c，则下列各式成立的是（）A．c+ C. cba<a>+ D.bba=+ B. c22c2a=+b3．如果Rt△的两直角边长分别为k2－1，2k（k >1），那么它的斜边长是（）A、2kB、k+1C、k2－1D、k2+14. 已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A．121 B．120 C．90 D．不能确定6．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或337.※直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（）（A2d （Bd （C）2d （D）d8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ）A ：3 B ：4 C ：5 D ：79．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（ ）A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对10．已知a 、b 、c是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 ．12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿. 13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是 三角形． 15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.16. 在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____． 17．若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是 ，另外一边的平方是 ．18．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ． 19． 一长方形的一边长为cm 3，面积为ACB212cm ，那么它的一条对角线长是 ．二、综合发展:1．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗3.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？AEB4．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m，棚宽a=4m，棚的长为12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？观测点答案:一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案: D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3．解析：设另一条直角边为x，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x．然后再求它的周长.答案：C．4．解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解. 答案：C.5． 解析: 勾股定理得到：22215817=-，另一条直角边是15，所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=．答案: 260cm ．6． 解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．答案:222c b a =+，c ，直角，斜，直角．7． 解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角．8． 解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90，3．9． 解析：由勾股定理知道：22222291215=-=-=AC AB BC ，所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．10． 解析:长方形面积长×宽，即12长×3，长4=，所以一条对角线长为5．答案：cm 5． 二、综合发展11． 解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．答案：5m ．12解析：因为222252015=+，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅，∴12=x ．答案：12cm13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m,所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m 2) ．14．解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m ，也就是两树树梢之间的距离是13m ，两再利用时间关系式求解.答案：6.5s．15．解析：本题和14题相似，可以求出BC的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s，可得速度是20m/s=72km/h＞70km/h．答案：这辆小汽车超速了．。
初中数学北师大版八年级上册 第一章 勾股定理单元测试(含答案)
第一章勾股定理一、选择题1. 若a，b，c为△ABC的三边长，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是( )A．a=1.5，b=2，c=2.5B．a:b:c=3:4:5C．∠A+∠B=∠C D．∠A:∠B:∠C=3:4:52. 在Rt△ABC中，若∠C=90∘，AC=3，BC=4，则点C到直线AB的距离为( )A．3B．4C．5D．2.43. 如图，四边形ABCD中，∠B=90∘，且AB=BC=2，CD=3，DA=1，则∠DAB的度数为( )A．90∘B．120∘C．135∘D．150∘4. 如图，在高为5 m，坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要( )A．17 m B．18 m C．25 m D．26 m5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )A．47B．13C．11D．86. 如图，将一根长度为8 cm，自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把皮筋中点C竖直向上拉升3 cm到点D，则此时该弹性皮筋被拉长了( )A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．2 cm7. 如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90∘，并测得BC长为16 m，若已知AC比AB长8 m，则A点和B点之间的距离为( )A．25 m B．12 m C．13 m D．43 m8. 如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则AD的长为( )A．259B．258C．157D．207二、填空题9. 在△ABC中，∠C=90∘．（1）已知a=10，b=24，那么c=．（2）已知b:c=4:5，a=9，那么b=，c=．10. 如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AH=6，EF=2，那么AB等于．11. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为．12. 如图，一个长方体长4 cm，宽3 cm，高12 cm，则它上下两底面的对角线MN的长为cm．13. 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则可以判断△ABC的形状为．14. 如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=∘（点A，B，P是网格线的交点）．15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD=2，BC=4，则AB2+CD2=．三、解答题16. 在Rt△ABC中，∠C=90∘．(1) 已知a=8，c=17，求b．(2) 已知b=40，c=41，求a．17. 如图，在四边形ABCD中，∠DBC=90∘，AB=9，AD=12，BC=8，DC=17，求四边形ABCD的面积．18. 如图，滑竿在机械槽内运动，∠C=90∘，AB=2.5 m，BC=1.5 m，当底端B向右移动0.5 m时，顶端A下滑了多少米？19. 假期中，王强和同学到某海岛上去旅游．他们按照如图所示路线．在点A登陆后租借了自行车，骑车往东走8千米，又往北走2千米；遇到障碍后往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，走了1千米到达景点B．登陆点A到景点B的直线距离是多少千米？20. 若正整数a，b，c（a<b<c）满足a2+b2=c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．观察下列两类“勾股数”：第一类（a是奇数）：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，⋯⋯第二类（a是偶数）：(6,8,10)，(8,15,17)，(10,24,26)，⋯⋯(1) 请再写出两组勾股数，每类各写一组；(2) 分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明(a,b,c)是“勾股数”．答案一、选择题1. D2. D3. C4. A5. B6. D7. B8. D二、填空题9. 26；12；1510. 1011. x2+62=(10−x)212. 1313. 直角三角形14. 4515. 20三、解答题16.(1) 15．(2) 9．17. ∵∠DBC=90∘，DC=17，BC=8，∴BD2=CD2−BC2=172−82=225=152，∴BD=15．∵AD2+AB2=122+92=144+81=225，BD 2=225， ∴AD 2+AB 2=BD 2，∴△ABD 是直角三角形，且 ∠A =90∘，∴ 四边形 ABCD 的面积 =△ABD 的面积 +∠CBD 的面积 =12×9×12+12×15×8=54+60=114．18. 依题意得 AB =DE =2.5 m ，BC =1.5 m ，∠C =90∘，∴AC 2+BC 2=AB 2，即 AC 2+1.52=2.52，解得 AC =2 m ． ∵BD =0.5 m ， ∴CD =2 m ．在 Rt △ECD 中，CE 2+CD 2=DE 2， ∴CE =1.5 m ， ∴AE =0.5 m ．答：顶端 A 下滑了 0.5 m ．19. 10 千米．20.(1) 第一组（a 是奇数）：9,40,41（答案不唯一）；第二组（a 是偶数）：12,35,37（答案不唯一）．(2) 当 a 为奇数时，b =a 2−12，c =a 2+12；当 a 为偶数时，b =a 24−1，c =a 24+1．证明：当 a 为奇数时，a 2+b 2=a 2+(a 2−12)2=(a 2+12)2=c 2，∴(a,b,c ) 是“勾股数”．当 a 为偶数时，a 2+b 2=a 2+(a 24−1)2=(a 24+1)2=c 2，∴(a,b,c ) 是“勾股数”．。
北师大版八年级数学上册 第一章 勾股定理--动点问题 练习(含答案)
《勾股定理--动点问题》一、单选题1．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝90°，若P 是AC 上的一个动点，则AP+BP+CP 的最小值是（ ）A ．14.8B ．15C ．15.2D ．162．如图，Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AB ＝25cm ，AC ＝7cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度运动，设运动时间为ts ，当△APB 为等腰三角形时，t 的值为（ ）A ．62596或252B ．252或24或12C ．62596或24或12D ．62596或252或243．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，连接AC ，∠BAC ＝45°，∠CAD ＝30°，CD ＝2，点P 是四边形ABCD 边上的一个动点，若点P 到AC 的距离为3，则点P 的位置有（ ）A ．4处B ．3处C ．2处D ．1处4．如图，在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，则DE+DF ＝（ ）A ．5B ．8C ．13D ．4.85．已知Rt △BCE 和Rt △ADE 按如图方式摆放，∠A ＝∠B ＝90°，A 、E 、B 在一条直线上，AD ＝3，AE ＝4，EB ＝5，BC ＝12，M 是线段AD 上的动点，N 是线段BC 上的动点，MN 的长度不可能是（ ）A ．9B ．12C ．14D ．16二、填空题6．如图，已知∠AOM＝45°，OA=2，点B是射线OM上的一个动点．当△AOB为等腰三角形时，线段OB的长度为 ．7．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝6，BC＝8，P是BC边上的一动点（P不与点B、C重合），∠B＝∠APE，边PE与AC交于点D，当△APD为等腰三角形时，则PB的长为 ．8．如图，在△ABC中，OA＝4，OB＝3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是 ．9．如图，在三角形△ABC中，∠A＝45°，AB＝8，CD为AB边上的高，CD＝6，点P为边BC上的一动点，P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点，连接P1P2，则线段P1P2长度的取值范围是 ．三、解答题10．如图，∠AOB＝90°，点C在OA边上，OA＝36cm，OB＝12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C 点相遇，求BC的长度？11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm．点P从点A出发沿AB方向以1cm/s 的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒．（1）求BC的长；（2）当t＝2时，求P，Q两点之间的距离；（3）当AP＝CQ时，求t的值？12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm，点P从点A沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B，点Q从点B沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C，P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒．（1）求BC的长；（2）运动几秒后，△PBQ是等腰三角形；（3）运动过程中，直线PQ能否平分△ABC的周长，若能，求出t的值，若不能，请说明理由．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC移动至点C，设运动时间为t秒．（1）求BC的长；（2）在点P的运动过程中，是否存在某个时刻t，使得点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．14．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？15．某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练．已知：△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3；机器人从点C出发，沿着△ABC边按C→B→A→C的方向匀速移动到点C停止；机器人移动速度为每秒1个单位，移动至拐角处调整方向需要0.5秒（即在B、A处拐弯时分别用时0.5秒）．设机器人所用时间为t秒时，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）．（1）点C到AB边的距离是 ；（2）是否存在这样的时刻，使△PBC为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．16．如图1，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．（1）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE；（2）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD．17．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长；（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？18．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求AC的长及斜边AB上的高；（2）①当点P在AC延长线上运动时，CP的长为 ；（用含t的代数式表示）②若点P在∠ABC的角平分线上，则t的值为 ；（3）在整个运动中，直接写出△ABP是等腰三角形时t的值．度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求AC的长．（2）求斜边AB上的高．（3）①当点P在BC上时，PC的长为 ．（用含t的代数式表示）②若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为 ．（4）在整个运动过程中，直接写出△PBC是等腰三角形时t的值．答案一、单选题1．【思路点拨】利用勾股定理求出AC，根据垂线段最短，求出BP的最小值即可解决问题．【解题过程】解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=AB2+BC2=62+82=10，∵AP+BP+PC＝BP+AC＝BP+10，根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP的值最小，最小值BP=AB⋅BCAC =245= 4.8，∴AP+BP+CP的最小值＝10+4.8＝14.8，故选：A．2．【思路点拨】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【解题过程】解：∵∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，∴BC＝24cm．①当BP＝BA＝25时，∴t=252．②当AB＝AP时，BP＝2BC＝48cm，∴t＝24．③当PB＝PA时，PB＝PA＝2t cm，CP＝（24﹣2t）cm，AC＝7cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，∴（2t）2＝72+（24﹣2t）2，解得t=62596．综上，当△ABP为等腰三角形时，t=252或24或62596，3．【思路点拨】根据勾股定理，可以求得AC、AD、BC和AB的长，然后即可得到点D到AC的距离和点B到AC 的距离，从而可以得到满足条件的点P有几处，本题得以解决．【解题过程】解：∵∠CAD＝30°，CD＝2，∠D＝90°，∴AC＝4，AD=AC2−C D2=42−22=23，∴在Rt△ADC中，斜边AC上的高是：AD⋅CDAC =23×24=3，∵AC＝4，∠B＝90°，∠BAC＝45°，∴AB＝BC＝22，∴在Rt△ABC中，斜边AC上的高是：BC⋅ABAC =22×224=2，∵3＜2，点P是四边形ABCD边上的一个动点，点P到AC的距离为3，∴点P的位置在点D处，或者边BC上或者边AB上，即满足条件的点P有3处，故选：B．4．【思路点拨】连接CD，过C点作底边AB上的高CG，根据S△ABC＝S△ACD+S△DCB不难求得DE+DF的值．【解题过程】解：连接CD，过C点作底边AB上的高CG，∵AC＝BC＝5，AB＝8，∴BG＝4，CG=BC2−B G2=52−42=3，∵S△ABC＝S△ACD+S△DCB，∴AB•CG＝AC•DE+BC•DF，∴8×3＝5×（DE+DF）∴DE+DF＝4.8．故选：D．5．【思路点拨】根据已知条件易求AB＝9，AD∥BC，再确定MN的最大值及最小值可求出MN的取值范围，进而可求解．【解题过程】解：∵AE＝4，EB＝5，∴AB＝AE+EB＝4+5＝9，∵∠DAE＝∠B＝90°，∴∠DAE+∠B＝180°，∴AD∥BC，当M点与A点重合，N点与C点重合时，如图，∵∠B＝90°，BC＝12，∴MN=AB2+BC2=92+122=15；当M点与A点重合，N点与B点重合时，如图，MN＝AB＝9，∴9≤MN≤15，∴MN的长度不可能是16，故选：D．二、填空题6．【思路点拨】分三种情况，当OB＝AB，OA＝AB，OA＝OB时，由等腰三角形的性质可求出答案．【解题过程】解：当△AOB为等腰三角形时，分三种情况：①如图，OB＝AB，∴∠O＝∠OAB，∵∠AOM＝45°，∴∠ABO＝90°，∴OB＝1；②如图，OA＝OB=2；③如图，OA＝AB，∴∠O＝∠ABO＝45°，∴∠A＝90°，∴OB=OA2+AB2=2+2=2．综上所述，OB的长为1或2或2．故答案为：1或2或2．7．【思路点拨】需要分类讨论：①当AP＝PD时，易得△ABP≌△PCD．②当AD＝PD时，根据等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形的面积公式求得答案．③当AD＝AP时，点P与点B重合．【解题过程】解：①当AP＝PD时，则△ABP≌△PCD，则PC＝AB＝6，故PB＝2．②当AD＝PD时，∴∠PAD＝∠APD，∵∠B＝∠APD＝∠C，∴∠PAD＝∠C，∴PA＝PC，过A作AG⊥BC于G，∴CG＝4，∴AG=AC2−C G2=62−42=25，过P作PH⊥AC于H，∴CH＝3，设PC＝x，∴S△APC=12AG•PC=12AC•PH，∴5x＝3×PH，x，∴PH=53∵PC2＝PH2+CH2，∴x2＝（5x）2+9，3（负值舍去），解得：x=92∴PC=9，2∴PB=7；2③当AD＝AP时，点P与点B重合，不合题意．．综上所述，PB的长为2或72故答案为：2或7．28．【思路点拨】分为三种情况：①PQ＝BP，②BQ＝QP，③BQ＝BP，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求解．【解题过程】解：∵OA＝8，OB＝6，C点与A点关于直线OB对称，∴BC＝AB=42+32=5，分为3种情况：①当PB＝PQ时，∵C点与A点关于直线OB对称，∴∠BAO＝∠BCO，∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BPQ＝∠BCO，∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ＝∠BCO+∠CBP，∴∠APQ＝∠CBP，在△APQ与△CBP中，{∠QAP=∠PCB∠APQ=∠CBP，QP=PB∴△APQ≌△CBP（AAS），∴PA＝BC，此时OP＝5﹣4＝1；②当BQ＝BP时，∠BPQ＝∠BQP，∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BAO＝∠BQP，根据三角形外角性质得：∠BQP＞∠BAO，∴这种情况不存在；③当QB＝QP时，∠QBP＝∠BPQ＝∠BAO，∴PB＝PA，设OP＝x，则PB＝PA＝4﹣x，在Rt△OBP中，PB2＝OP2+OB2，∴（4﹣x）2＝x2+32，解得：x=7；8∵点P在AC上，∴点P在点O左边，此时OP=7．8．∴当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是1或78故答案为：1或7．89．【思路点拨】如图，连接AP1，AP，AP2，作AH⊥BC于H．证明△P1AP2是等腰直角三角形，推出P1P2=2 PA，求出PA的取值范围即可解决问题．【解题过程】解：如图，连接AP1，AP，AP2，作AH⊥BC于H．∵P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点，∴AP＝AP1＝AP2，∠PAB＝∠BAP1，∠PAC＝∠CAP2，∵∠BAC＝45°，∴∠P1AP2是等腰直角三角形，∴P1P2=2AP2=2PA．∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°，∴AD＝DC＝6，∴AC＝62＞AB，∵AB＝8，∴BD＝2，BC=BD2+CD2=4+36=210，∵S△ABC=12•BC•AH=12•AB•CD，∴AH=8×6210=12510，∵12105≤PA≤62，∴2455≤P1P2≤12．故答案为2455≤P1P2≤12．三、解答题10．解：∵点P、Q同时出发，且速度相同，∴BC＝CA，设BC＝xcm，则CA＝xcm，∵OA＝36cm∴OC＝（36﹣x）cm，∵∠AOB＝90°∴OB2+OC2＝BC2，∴122+（36﹣x）2＝x2，解得：x＝20，∴BC＝20cm．11．解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm，∴BC=AC2−A B2=24cm．（2）如图，连接PQ，BP＝7﹣2＝5，BQ＝6×2＝12，在直角△BPQ中，由勾股定理得到：PQ=BP2+BQ2=13（cm）；（3）设t秒后，AP＝CQ．则t＝24﹣6t，．解得 t=247秒，AP＝CQ．答：P、Q两点运动24712．解：（1）由勾股定理得，BC=AC2−A B2=252−72=24（cm）；（2）∵△PBQ是等腰三角形，∠B＝90°，∴BP＝BQ，则7﹣1×t＝6t，解得t＝1，∴运动1秒后，△PBQ是等腰三角形；（3）假设直线PQ能平分△ABC的周长，则BP+BQ=12(AB+BC+AC)=12(7+24+25)=28（cm），则7﹣1×t+6t＝28，解得t=215，当t=215时，点Q的运动路程为6×215=25.2＞24，∴直线PQ不能平分△ABC的周长．13．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=AB2−A C2=102−62=8（cm）；（2）存在，理由如下：如图，当点P恰好运动到∠BAC平分线上时，点P到直线AB的距离与点P到点C的距离相等，由已知可得：BP＝2tcm，PC＝BC﹣BP＝（8﹣2t）cm，连接AP，过点P作PE⊥AB于E，如图所示：则PE＝PC＝（8﹣2t）cm，在△AEP与△ACP中，{∠PAE=∠PAC∠AEP=∠C=90°AP=AP，∴△AEP≌△ACP（AAS），∴AE＝AC＝6cm，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4（cm），在Rt△BEP中，由勾股定理得：BP2＝BE2+PE2，即（2t）2＝42+（8﹣2t）2，解得：t=52，即当t的值为52时，点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等．14．解：（1）∵运动时间为4秒，∴BQ＝2×4＝8（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣1×4＝12（cm），在Rt△PQB中，根据勾股定理得：PQ=BQ2+BP2=82+122=413（cm）；（2）设运动时间为t秒，则BQ＝2t（cm），BP＝（16﹣t）（cm），根据题意得：2t＝16﹣t，解得：t=163，即出发163秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；（3）当点Q在CA边上，且△CQB形成直角三角形时，过点B作CA的垂线，垂足即为点Q．在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC=AB2+BC2=162+122=20（cm），根据三角形面积公式可得：BQ=AB⋅BCAC =12×1620=485（cm），在Rt△BCQ中，根据勾股定理得：CQ=BC2−B Q2=122−(485)2=365（cm），（12+365）÷2＝9.6（秒），当点Q运动到点A时，△CQB也形成直角三角形，（12+20）÷2＝16（秒）．∴当点Q在边CA上运动时，出发9.6或16秒钟后，△CQB能形成直角三角形．15．解：（1）△ABC中，∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∵AB＝5，BC＝3，∵52＝AC2+32，∴AC＝4，∴点C到AB边的距离=AC⋅BCAB =3×45= 2.4；故答案为：2.4；（2）存在，使△PBC为等腰三角形时，P在AB上或在AC上，当P在AB上时，①BC＝BP，如图1，∵BP＝t﹣0.5﹣3，∴t﹣0.5﹣3＝3，解得：t＝6.5；②CB＝CP，如图2，过点C作CD⊥AB于D，则BD＝PD，由（1）知：CD＝2.4，∵BC＝3，∴BD=32−2．42=1.8，∴BP＝3.6，∴t＝3.6+3+0.5＝7.1；③PB＝CP，如图3，∴∠B＝∠PCB，∵∠ACP+∠PCB＝∠A+∠B＝90°，∴∠ACP＝∠A，∴AP＝CP＝BP＝2.5，∴t＝2.5+0.5+3＝6；当P在AC上，如图4，CB＝CP＝3，∴t＝3+5+0.5+0.5+4﹣3＝10．综上所述，t的值为6.5或7.1或6或10．16．解：（1）∵AC⊥CB，AC＝15，AB＝25∴BC＝20，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠EAD，∵AC⊥CB，DE⊥AB，∴∠EDA＝∠ECA＝90°，∵AE＝AE，∴△ACE≌△ADE（AAS），∴CE＝DE，AC＝AD＝15，设CE＝x，则BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10在Rt△BED中∴x2+102＝（20﹣x）2，∴x＝7.5，∴CE＝7.5．（2）①当AD＝AC时，△ACD为等腰三角形∵AC＝15，∴AD＝AC＝15．②当CD＝AD时，△ACD为等腰三角形∵CD＝AD，∴∠DCA＝∠CAD，∵∠CAB+∠B＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠BCD，∴BD＝CD，∴CD＝BD＝DA＝12.5，③当CD＝AC时，△ACD为等腰三角形，如图1中，作CH⊥BA于点H，则12•AB•CH=12•AC•BC，∵AC＝15，BC＝20，AB＝25，∴CH＝12，在Rt△ACH中，AH=AC2−C H2=9，∵CD＝AC，CH⊥BA，∴DH＝HA＝9，∴AD＝18．17．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴有勾股定理得AC＝8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm∴出发2秒后，则CP＝2cm，那么AP＝6cm．∵∠C＝90°，∴由勾股定理得PB＝210cm∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝6+10+210=（16+210）cm；（2）如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D，∵BP平分∠ABC，∴PD＝PC．在Rt△BPD与Rt△BPC中，{PD=PCBP=BP，∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），∴BD＝BC＝6 cm，∴AD＝10﹣6＝4 cm．设PC＝x cm，则PA＝（8﹣x）cm在Rt△APD中，PD2+AD2＝PA2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴当t＝3秒时，AP平分∠CAB；（3）若P在边AC上时，BC＝CP＝6cm，此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；若P在AB边上时，有两种情况：①若使BP＝CB＝6cm，此时AP＝4cm，P运动的路程为12cm，所以用的时间为12s，故t＝12s时△BCP为等腰三角形；②若CP＝BC＝6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，根据勾股定理求得BP＝7.2cm，所以P运动的路程为18﹣7.2＝10.8cm，∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；③若BP＝CP时，则∠PCB＝∠PBC，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC ∴PA＝PB＝5cm∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．∴t＝6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形．18．解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP=AC2+PC2=164=241．答：AP的长为241．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根据勾股定理，得AB=64+256=320=85若BA＝BP，则 2t＝85，解得t＝45；若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为45、16、5．（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：则∠AED＝∠PED＝90°，∴∠PED＝∠ACB＝90°，∴PD平分∠APC，∴∠EPD＝∠CPD，又∵PD＝PD，∴△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，解得：t＝5；②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：同①得：△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，解得：t＝11；综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．19．解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，由勾股定理得：AC＝4．设斜边AB上的高为h，∵12AB•h=12AC•BC，∴5h＝3×4，∴h＝2.4．∴AC的长为4，斜边AB上的高为2.4；（2）已知点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，①当点P在CB上时，点P运动的长度为：AC+CP＝2t，∵AC＝4，∴CP＝2t﹣AC＝2t﹣4．故答案为：2t﹣4．②若点P在∠ABC的角平分线上，则：设PM＝PC＝y，则AP＝4﹣y，在Rt△APM中，AM2+PM2＝AP2，∴22+y2＝（4﹣y）2，解得y=32，(4−32)÷2=54，即若点P在∠ABC的角平分线上，则t的值为54．故答案为：54．（3）当AB作为底边时，如图所示：∵APAM =AP2.5=54，∴AP＝3.125，此时t＝3.125÷2＝1.5625；当AB作为腰时，如图所示：AP1＝AB＝5，此时t＝5÷2＝2.5；AP2＝2AC＝8，此时t＝4，综上，t的值为1.5625或2.5或4．20．解：（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC=AB2−B C2=102−62=8；（2）设边AB上的高为h则S△ABC =12AC⋅BC=12AB⋅h，∴12×6×8=12×10⋅h，∴h=245，答：斜边AB上的高为245；（3）①当点P在BC上时，点P运动的长度为AB+BP＝2t，则PC＝BC﹣BP＝6﹣（2t﹣10）＝6﹣2t+10＝16﹣2t；②当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，如图：∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB，∴PD＝PC，有①知，PC＝16﹣2t，BP＝2t﹣10，∴PD＝16﹣2t，在Rt△ACP和Rt△ADP中，{AP=APPD=PC，∴Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），∴AD＝AC＝8，又∵AB＝10，∴BD＝2，在Rt△BDP中，由勾股定理得：22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，解得：t=20．3．故答案为：①16﹣2t；②203（4）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AB上，①当点P在线段AB上时，若BC＝BP，则点P运动的长度为AP＝2t，∵AP＝AB﹣BP＝10﹣6＝4，∴2t＝4，∴t＝2；②若PC＝BC，如图，过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，∴AB•CH＝AC•BC，∴10CH＝8×6，∴CH=245，在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH=BC2−C H2=62−(245)2=185= 3.6，∴BP＝2BH＝7.2，∴点P运动的长度为：AP＝AB﹣BP＝10﹣7.2＝2.8，∴2t＝2.8，∴t＝1.4；③若PC＝PB，如图所示，过点P作PQ⊥BC于点Q，则BQ＝CQ=12×BC＝3，∠PQB＝90°，∴∠ACB＝∠PQB＝90°，∴PQ∥AC，∴PQ为△ABC的中位线，∴PQ=12×AC=12×8＝4，在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP=BQ2+PQ2=32+42=5，点P运动的长度为AP＝2t，AP＝AB﹣BP＝10﹣5＝5，∴2t＝5，∴t＝2.5．综上，t的值为1.4或2或2.5．。
北师大版八年级上册数学第一章 勾股定理含答案(各地真题)
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为（）A. B. C. D.2、如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A.12米B.13米C.14米D.15米3、一木杆在离地面5m处析断，木杆顶端落在木杆底端12m处，则木杆析断前高为（）A.18mB.13mC.17mD.12m4、三角形的三边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是( )．A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形5、如图所示，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A. B. C. D.6、已知的三边长分别为9，40，41，则的面积为（）A.171B.180C.820D.不能确定7、如右图，△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2 , l2，l3之间的距离为3 ,则AC的长是（）A. B. C. D.8、下列几组数，能作为直角三角形的三边的是（）A.5，12，23B.0.6，0.8，1C.20，30，50D.4, 5，69、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A. B.2 C.3 D.210、如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（）A.4B.5C.D.11、如图，直线y=x+1分别与x轴、y轴相交于点A，B，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴于点A1，再过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以点A为圆心，AB1长为半径画弧交x轴于点A2，…，按此做法进行下去，则点B4的坐标是（）A.（2 ，2 ）B.（3，4）C.（4，4）D.（4 ﹣1，4 ）12、如图，△ABC为格点三角形（顶点皆在边长相等的正方形网格的交叉点处），则cosB等于（）A. B. C. D.13、同学甲要从A点出发到距离A点1000米的C地去，他先沿北偏东70°方向到达B地，然后再沿北偏西20°方向走了600米到达目的地C，由此可知AB 之间的距离为（）A.700米B.700 米C.800米D.800 米14、如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A.90°B.60°C.45°D.30°15、如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD的内部，将AF延长后交边BC于点G，且，则的值为________.17、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点，E、F分别为边AC、BC上的点，且AE＝AD，BF＝BD．若DE＝，DF＝2则∠EDF＝________°，线段AB的长度=________.18、如图，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则CM的长为________.19、如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2，，之间的距离为3，则的长是________.20、某同学掷出的铅球在平地上砸出一个直径约为10cm，深约为2cm的小坑，则该铅球的直径约为________.21、我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若BD=3，AE=4，则正方形ODCE的边长等于________．22、已知矩形OABC中，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，B的坐标为(10，5)，点P在边BC上，点A关于OP的对称点为A'，若点A'到直线BC 的距离为4，则点A'的坐标可能为________．23、矩形ABCD中，AB=10，BC=3，E为AB边的中点，P为CD边上的点，且△AEP是腰长为5的等腰三角形，则DP=________．24、如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向900米处，船C在点A南偏东15°方向1200米处，则船B与船C之间的距离为________米.25、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=1，则AB2+BC2+AC2=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，求AB与CD的长．27、如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？28、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少米？29、计算:①已知：a+ =1+ ，求a2+ 的值．②如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形ABCD的面积。