高数第八章
第八章第一节 向量及其线性运算重点：1.方向角与方向余弦2.向量在轴上的投影典型题目：例7.已知两点M 1(2，2，2)和M 2（1.，3，0），计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角。
解：21M M =（1-2，3-2，0-2）=（-1，1，-2）， |21M M |=2222)(-(1)(-1)++=2211=++; COS α=-21,COS β=21,COS γ=-22; α=π32,β=3π,γ=43π.例9.设立方体的一条对角线为OM ，一条棱为OA ，且|OA|=a ，求.P rj 方向上的投影在解：记∠MOA=θ，有COS θ=31||||=OM OA ， θθ于是OA rjP =|3a θ||=COS ．θ马云赵振第二节数量积向量积混合积1.两向量的数量积a·b=│a││b│cos θθ为两向量间的角度（1）a·a=│a│2（2）如果两个向量垂直，那么数量积为0，反之亦然（3）数量积满足交换律，分配率结合律如下时才成立(Λa)·b=Λ（a·b）2.向量积a·b=│a││b│sin θ（1）b×a=-a×ba×b=0的充分必要条件是a平行于b（2）满足分配率结合律如下时才成立（3）(Λa)×b=a×（Λb）=Λ（a×b）用三阶行列式表示i j ka×b= │ a x a y a z │b x b y b z例题1.已知三角形ABC 的顶点分别是A （1,2,3）,B （3,4,5）,C （2,4,7），求三角形的面积解：S ABC =1∕2│c ││b │sinA=1∕2│c ×b │i j kc ×b= │ 2 2 2│=4i-6j+2k1 2 4S ABC =1∕2│4i-6j+2k │=2222)6(4+-+=142.a=3i-j-2k ，b=i+2j-k ，求3.（-2a ）·（3b ）4.a 、b 夹角的余弦解：（1）（-2a ）·（3b ）=-6（a·b ）=18二、cos<a,b>=a·b/│a │·│b │=3/221张浩康 赵奇第三节 曲面及其方程要点：1.几种常见二次曲面的标准方程：球面 ()()()2202020R z z y y x x =-+-+- 椭球面 1222222=++cz b y a x 单叶双曲面 1222222=-+cz b y a x 双叶双曲面 1222222=--cz b y a x 椭圆抛物面 z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面） z by a x =-2222 2.空间曲面方程1）一般方程 ()0,,=z y x F ；2）显式方程 ()y x F z ,=；3）参数方程 ()v u x x ,=()()平面上某区域为，其中uv D D v u v u y y ∈=,,()v u z z ,=3.设()平面上的曲线，则为yOz z y f C 0,:=1）();0,22=+±z y x f z C 轴旋转所得的曲面为绕2）().0,y 22=+±z x y f C 轴旋转所得的曲面为绕 旋转曲面由母线和旋转轴确定。
求旋转曲面方程时，平面曲线绕某坐标轴旋转，则该坐标轴对应的变量不变，而曲线方程中另一变量改写成该变量与第三变量平方和的正负平方根。
4.柱面方程1）()；，轴的柱面方程为母线平行于0y x z =F2）()；，轴的柱面方程为母线平行于0y x x =G3) ()；，轴的柱面方程为母线平行于0y x y =H当曲面方程中缺少一个变量时，则曲面为柱面，柱面方程须注意准线与母线两个要素。
练习题：已知椭球面S1是椭圆错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=1绕x 轴旋转而成，圆锥面S2是过点（4,0）且与椭圆错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=1相切的直线绕x 轴旋转而成。
<1>.求S1及S2的方程；<2>.求S1与S2之间的立体的体积。
答案：解：<1>.S1的方程为错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=1,过点（4,0）与错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=1的切线为y=错误！未找到引用源。
(错误！未找到引用源。
x-2).切点为（1，错误！未找到引用源。
）.所以S2的方程为错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
.<2>.记y1=错误！未找到引用源。
x-2,则y2=错误！未找到引用源。
,V=错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
x=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
闫润秋陆成杰第四节空间曲线及其方程（高等数学下册p32-p37）一、空间曲线的一般方程空间曲线可看做两个曲面的交线。
设有两个曲面的的方程F(x,y,z)=0 和G(x,y,z)=0它们的交线为C。
因曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组F(x,y,z)=0 （1）G(x,y,z)=0反之，如M点不在曲线C上，则M点的坐标不满足方程组（1）。
因此，曲线C可用方程组（1）表示例题：方程组221+=表示怎样的曲线？x y2x+3y+3z=6解：221+=表示母线平行于z轴的圆柱面，准线是xoy面上的圆，圆心为原点，x y半径为1. 2x+3y+3z=6表示平面，因此方程组表示平面与圆柱面的交线，交线为椭圆二、空间曲线的参数方程空间曲线C的方程也可用参数形式表示，只要将C上动点的坐标x,y,z表示为参数t的函数： x=x(t)y=(t)z=(t)随着t的变动可得曲线C的全部点。
例题：将一般曲线方程2229x y z ++= 化为参数方程y=x解：将y=x 代入2229x y z ++=得2229x z +=，变换得2222133x z += 由椭圆的参数方程，得 x θ=y θ= （02θπ≤≤）3sin z θ=即为已知曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C 的一般方程为F （x,y,z ）=0 （1）G （x,y,z ）=0 方程组（1）消去变量z 后所得方程H （x ，y ）=0 （2）、则当x ，y ，z 满足方程组（1）时，x ，y 必满足方程（2）.即曲线C 在方程（2）所表示的曲面上。
而方程（2）表示母线平行于z 轴的柱面（该柱面包含曲线C ）以曲线C 为准线、母线平行于z 轴的柱面叫空间曲线C 关于xoy 面的投影柱面投影柱面与xoy 面的交线叫做空间曲线C 在xoy 面上的投影曲线，简称投影则方程（2）所表示的曲面包含投影柱面，方程 H （x ，y ）=0Z=0表示的曲线必包含空间曲线C 在xoy 面上的投影例题：求曲线C 222z x y =--在各坐标面上的投影Z=1解：（1），在xoy 面上将方程组消去z 得 221x y +=Z=1所以在xoy 面上的投影为 221x y +=Z=0（2），在yoz 面上222z x y =-- 中z=1是母线平行于x 轴的柱面Z=1所以 ':yoz yoz c c ⊆ z=1x=0所以在yoz 面上的投影为线段 z=1 |y|≤1x=0（3），同理在zox 面上投影也为线段 z=1 |x|≤1y=0第三组：万程 蔡苏超第五节 平面及其方程概要：一、平面的点法式方程：如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫该平面的法线向量。
平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直。
平面上一点M 0（x 0，y 0，z 0）和它的一个法线向量n=（A ，B ，C ），设M （x,y,z ）是平面上任一点，向量M 0M 必与平面法线向量n 垂直，即n ·M 0M =0二、平面的一般方程：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，任取满足方程的一组数x 0，y 0，z 0即Ax 0+By 0+Cz 0+D=0,把上述两式相减得A （x-x 0）+B （y-y 0）+C （z-z 0）=0三、两平面的夹角：两平面的法线向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角 设两平面的法线向量依次为n 1=（A 1，B 1，C 1）和n 2=（A 2，B 2，C 2） cos θ =222222222111212121C B A C B A C C B B A A ++∙++++3. 求平面x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夹角。
解：cos θ=222222112)1(121)1(2121++∙+-+⨯+⨯-+⨯=21 因此，所求夹角3πθ=。
4. 一平面通过两点1M （）和2M （）Q 且垂直于平面x+z+y=0,求它的方程。
解：设所求平面的一个法向量为n=(A,B,C) (1) 因为)20,1(--=MM 在所求平面上，他比与n 垂直，所以有-A-2C=0 (2)又因所求的平面垂直于已知平面xyz ，所以有A+B+C=0由（1）（2）得到A=-2CB=C由平面的点式法方程可知，所求平面方程为A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0.将A=-2C 及B=C 代入上式并约去C （c 0≠）便得2x-y-z=0- -----------------------------魏晨斌，邢浩坤第八章第六节空间直线及其方程<1>知识要点一、直线方程1.一般方程（交面式方程）0022221111=+++=+++D z C y B x A D z C y B x {A2.对称式方程（点向式方程）p z z n y y mx x 000-=-=- 其中()000,,z y x P 为直线上给定的已知点，()p n m s ,,= 为直线的方向向量。
3.参数式方程pt z z nty y mtx x +=+=+=000其中()000,,z y x P 为直线上的定点，()p n m s ,,=为直线的方向向量。
4.两点式方程()()是直线上两个定点。
其中，22221111121121121,,,,,z y x P z y x P z z z z y y y y x x x x --=--=--二、直线与直线、直线与平面间的关系 1、直线与直线的位置关系 设直线和直线的方程分别为：当两条直线 相交时，设两条直线的夹角为 ，而方向向量 的夹角为 ，则 或2、直线与平面的位置关系设直线L 的方程为： 平面 的方程为：2222:222y y x x z z L m n p ---==1111:111y y x x z z L m n p ---==1111212222////p m n L L S S m n p ==12121212120L L s s m m n n p p ⊥⊥++=θ12s s 、12L L 、ϕϕθ=ϕπθ=-000y y x x z z m n p---==πAx By Cz D +++=//0L s n mA nB pC π⊥++=当直线 和平面 相交时，直线 与它在平面上的投影线之间的夹角 称为直线与平面 的夹角。
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四、利用坐标作向量的线性运算
第一节
一、向量的概念
二、向量的线性运算
三、空间直角坐标系
五、向量的模、方向角、投影
向量及其线性运算
第八章
表示法:
向量的模 :
向量的大小,
一、向量的概念
向量:
(又称矢量).
既有大小, 又有方向的量称为向量
自由向量:
与起点无关的向量.
单位向量:
模为 1 的向量,
设又有 b＝ a ,
“ ”
则
例1. 设 M 为
解:
ABCD 对角线的交点,
已知 b＝ a ,
b＝0
a , b 同向
a , b 反向
a∥b
Ⅶ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅵ
ห้องสมุดไป่ตู้
Ⅴ
Ⅷ
Ⅳ
三、空间直角坐标系
由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
坐标原点
坐标轴
x轴(横轴)
y轴(纵轴)
z 轴(竖轴)
等距
解: 设该点为
解得
故所求点为
及
思考:
(1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
离的点 .
(1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
例如,
在坐标轴上的投影分别为
设 a 与 u 轴正向的夹角为 ,
, 即
投影的性质
2)
1)
(为实数)
例9.
设立方体的一条对角线为OM, 一条棱为 OA, 且
高数大一第八章知识点
高数大一第八章知识点近年来，数学在大学教育中的地位越来越重要，尤其是高等数学这门课程。
高等数学作为一门综合性的数学课程，不仅为学生提供了数学基础知识，也对他们培养了逻辑思维和解决问题的能力。
在大一的课程中，第八章是高等数学的重要一环。
本文将介绍高数大一第八章的知识点。
第八章主要内容为无穷级数、收敛与发散以及幂函数的泰勒展开。
首先，我们来看无穷级数的概念。
无穷级数是由一连串的数相加（或相减）所得到的无穷和。
其中，部分和是指对级数中的前n 项（n是一个整数）进行求和。
当部分和的极限存在时，我们称此无穷级数是收敛的；当部分和的极限不存在或正负无穷大时，我们称此无穷级数是发散的。
接下来，我们来探讨无穷级数的收敛性判别法。
在第八章中，我们学习了几种常见的判别法，比如比较判别法、比值判别法、根值判别法和积分判别法。
这些判别法可以帮助我们判断一个无穷级数是收敛还是发散，并且有时还可以估计出它的收敛域。
在学完无穷级数之后，我们来了解一下幂函数的泰勒展开。
泰勒展开是一种用无穷级数表示函数的方法，通过将一个函数表示成一系列的多项式来近似描述函数的行为。
泰勒展开的核心思想是将函数在某个点x=a处展开为幂级数。
通过求导和求导数值的换元，我们可以推导出求幂函数的泰勒展开的方法，并运用它来计算函数的近似值。
除了以上介绍的知识点，第八章还包括对数函数和指数函数的性质以及它们的图像、对数级数和指数级数等内容。
这些内容都是为了加深对高等数学的理解和应用。
总结来说，高数大一第八章是无穷级数、收敛与发散以及幂函数的泰勒展开。
通过研究这些知识点，我们可以理解数列的收敛性质，掌握无穷级数的收敛性判别法，学会求解幂函数的泰勒展开，进而提高数学推理和解题的能力。
这些知识点不仅对高等数学的学习有帮助，也对其他数学学科的学习有重要意义。
在实际应用中，第八章的知识点在物理学、工程学和经济学等学科中起着重要作用。
通过无穷级数的理论，我们可以对物理学中的波动和振动进行分析；通过幂函数的泰勒展开，我们可以在工程学中进行精确计算；通过收敛性的判别法，我们可以在经济学中对收益和成本进行预测和分析。
高等数学第八章
1 , x r Q ， x Q， D( x r ) D( x ) . x I. 0 , x r I, 即任意正有理数是 D( x ) 的周期，但正有理数
中不存在最小值， D( x ) 无最小正周期 故 .
负整数集： {， 2,1} , 整数集： {， 1 0， } Z Z ，1 ， ，
有理数集： {全体有理数 , Q } 无理数集： {全体无理数 , I } 实数集： Q I . R
3.常用不等式:
x , x0, 绝对值 : x R , x x , x 0 .
1 . x R, x 0 .
o
2 . x R, x x x .
o
3 . x h (h 0) h x h .
o
4 . x h (h 0) x h 或 x h .
o
5 . x, y R , x y x y x y .
1.1 函数的概念及其初等性质
1.1.1 预 备 知 识
1.一些常用的符号
“对每一个” . : 表示“对任意一个”或 “至少有一个” . ：表示“存在一个”或 “ ：表示“可推出”或若，则”.
或 ：表示“当且仅当”“充分必要” 或“等价” .
2.常用数集 自然数集： * {0,1,2,} , 正整数集： ( N ) {1,2,3,} , N Z
若 在周期函数 f ( x ) 的所有周期中存在 最小的正 周期 T ， 则称这个最小正周期T 为 f ( x ) 的 基本周期 . 通常我们所说的函数的 周期都是指基本周期.
常 用
f ( x ) sinx, cos x 的周期为T 2 , f ( x ) tan x, cot x 的周期为 T , F ( x) Asin( x B) C 的周期为T 2 ,
高等数学第八章知识点总结
高等数学第八章知识点总结第八章是高等数学中的重要章节，主要涉及到数列和级数的概念和性质。
本文将对数列和级数的基本概念、极限、收敛性以及常见的数列和级数进行总结和归纳。
1. 数列的概念和性质数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列可以有界，也可以无界。
数列的性质包括有界性、单调性和有界单调性。
1.1 有界性：如果存在一个正数M，对于数列的每一项a_n，都有|a_n|≤M，那么称数列是有界的。
1.2 单调性：如果对于数列的每一项a_n，都有a_n≤a_(n+1)（或a_n≥a_(n+1)），那么称数列是递增的（或递减的）。
1.3 有界单调性：如果数列既是递增的又是有界的，那么称数列是有界递增的；如果数列既是递减的又是有界的，那么称数列是有界递减的。
2. 数列的极限数列的极限是数列中的数值趋于无穷时的极限值。
数列的极限可以是有限的，也可以是无限的。
2.1 数列的收敛性：如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有|a_n-a|<ε，那么称数列{a_n}收敛于a。
反之，如果不存在这样的实数a，则称数列{a_n}发散。
2.2 数列的极限存在唯一性：如果数列{a_n}收敛于a，并且又收敛于b，那么a=b。
3. 数列的运算数列的运算包括数列的加法、数列的乘法和数列的数乘。
3.1 数列的加法：若{a_n}和{b_n}是两个数列，定义数列{c_n} = {a_n + b_n}，则称{c_n}为{a_n}和{b_n}的和。
3.2 数列的乘法：若{a_n}和{b_n}是两个数列，定义数列{c_n} = {a_n * b_n}，则称{c_n}为{a_n}和{b_n}的乘积。
3.3 数列的数乘：若{a_n}是一个数列，k是一个实数，定义数列{b_n} = {k * a_n}，则称{b_n}为{a_n}的数乘。
4. 级数的概念和性质级数是数列的和，级数的性质包括收敛性、发散性和级数的收敛域。
高数知识点总结大一第八章
高数知识点总结大一第八章高数知识点总结——大一第八章第八章是大一学生学习高等数学课程的一个重要章节，主要涉及到微分方程与微分方程应用。
微分方程作为高数的重要分支之一，对于大一学生来说是一个相对较难掌握的概念。
在本文中，我们将对大一第八章的知识点进行总结和梳理，着重讲解微分方程的基本概念以及应用。
1. 微分方程的定义与类型微分方程是含有未知函数的导数或微分的方程，通常由函数本身、函数的导数和自变量构成。
根据方程中未知函数的阶数和方程中导数的最高阶数，微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两种类型。
常微分方程只涉及未知函数的一阶及以下导数，而偏微分方程涉及到未知函数的高阶导数。
2. 微分方程的解与解的存在唯一性对于一个微分方程，如果存在一个函数能够使方程成立，那么我们称这个函数为微分方程的解。
解的存在性和唯一性是微分方程研究中非常重要的问题。
根据解的存在性和唯一性定理，对于一阶线性常微分方程，只需满足某些条件，就能够保证存在唯一解。
3. 齐次与非齐次线性微分方程齐次线性微分方程的特点是其当中只有未知函数及其导数，不含自变量，且各项的次数都相同。
非齐次线性微分方程则多了一个非齐次项，依据齐次与非齐次方程的性质，我们可以采用特解叠加原理求解齐次线性微分方程。
4. 一阶线性微分方程的求解一阶线性微分方程是我们学习微分方程的一个重要的基础，其形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)。
可以通过分离变量的方法、两端除以积分因子的方法以及其他一些方法来求解这类微分方程。
其中，积分因子是一个非常关键的概念，能够将一些无法直接求解的微分方程转化为可以求解的形式。
5. 高阶线性微分方程与欧拉方程高阶线性微分方程是指二阶及以上的微分方程。
与一阶线性微分方程相比，高阶线性微分方程的求解要更加复杂。
在求解高阶线性微分方程时，我们可以采用特征根法、常系数法以及其他一些方法来求解。
欧拉方程是高阶线性微分方程中的一种特殊情况，通过一定的转化和代换，可以将欧拉方程转化为常系数线性微分方程，并进一步求解。
高等数学教材第八章
高等数学教材第八章第八章：多元函数的微分学第一节：多元函数的极限与连续性在高等数学中，多元函数是指与多个自变量相关的函数。
多元函数的微分学则是研究多元函数的导数、极限和连续性的数学分支。
多元函数的极限是指当自变量趋于某一点时，函数值的变化趋势。
与一元函数类似，我们也可以讨论多元函数在某一点处的左极限、右极限，以及无穷远处的极限。
根据多元函数极限的定义，我们可以得到一元函数极限的特例。
多元函数的连续性则是指函数在某一点的极限等于函数在该点的函数值。
如果一个多元函数在定义域的每一点都是连续的，我们称其为连续函数。
与一元函数连续性的概念类似，多元函数的连续性包括点连续性和区间连续性两种情况。
第二节：多元函数的偏导数和全微分在研究多元函数的微分学时，最重要的概念之一就是偏导数。
偏导数是多元函数对于某个自变量的导数，而将其他自变量视为常数。
通过偏导数，我们可以研究多元函数在不同自变量方向上的变化情况。
与偏导数相关的概念是全导数和全微分。
全导数是指多元函数对于所有自变量的导数，而全微分则是全导数与自变量的微小增量之积。
全微分在多元函数微分学中具有重要的应用价值。
第三节：多元函数的微分多元函数的微分是指函数在某一点处的局部线性近似。
通过微分，我们可以求得函数在某点处的切线、法线以及在该点附近的变化情况。
多元函数的微分是通过偏导数和全微分推导而来的。
通过求得多变量的微分，我们可以进一步研究函数的最值、优化问题等。
第四节：多元函数的导数多元函数的导数是指函数在某一点处的变化率。
与一元函数的导数类比，多元函数的导数也可以用于求得函数的极值、切线与法线方程等问题。
多元函数的导数是通过偏导数推导而来的。
通过求得各个自变量的偏导数，并将其组合成一个向量，我们可以得到多元函数的导数。
第五节：多元函数的高阶导数多元函数的高阶导数是对多层次的导数求导的结果。
与一元函数的高阶导数类似，多元函数的高阶导数可以用于求函数的高阶变化率，进一步研究函数的性质和行为。
高等数学第八章教材答案
高等数学第八章教材答案[注意：本文适用于自主学习及交流，而非代表课堂考试答案。
在学习过程中，应先自行尝试解答问题，再对比与本文答案的异同，以强化掌握知识的能力。
]第一节：导数与微分1. (1)导数定义为函数在某一点的瞬时变化率，可用以下公式计算:f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h(2)若函数f(x)在区间[a,b]上连续且在(a,b)内可导，则在(a,b)内，存在一点c使得f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)2. 利用导数的四则运算法则、链式法则等，可以求解各种类型的题目，如函数的导数、隐函数求导、参数方程求导等。
3. 微分是导数的几何解释，微分形式为df = f'(x)dx。
微分可用于近似计算函数值的变化，例如：f(x+Δx) ≈ f(x) + f'(x)Δx第二节：不定积分与定积分1. 不定积分用符号∫表示，表示求一个函数的原函数。
常用的不定积分公式有：① ∫1/x dx = ln|x| + C② ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (n≠-1)2. 定积分表示曲线与x轴之间的面积，用符号∫[a,b]表示。
计算定积分可采用以下方法：①几何法：根据几何图形的面积计算原则，求出曲线与x轴之间的面积。
②换元法：根据换元积分法则，将被积函数的自变量进行适当的变量代换。
③分部积分法：根据积分的乘积法则，将被积函数进行适当的乘法分解。
3. 牛顿-莱布尼茨公式是计算定积分的重要工具，公式表达为：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)其中，F(x)为f(x)的一个原函数。
第三节：定积分的应用1. 定积分可用于计算曲线与x轴之间的面积、曲线的弧长、旋转体的体积、质量等物理量。
2. 面积计算：利用定积分求得曲线与x轴之间的面积，可以通过以下公式求解：S = ∫[a,b] |f(x)| dx3. 弧长计算：弧长公式为：L = ∫[a,b] √[1 + (dy/dx)^2] dx4. 旋转体体积计算：将曲线绕x轴或y轴旋转一周形成的空间曲面，其体积可通过以下公式求解：V = ∫[a,b] πy^2 dx 或V = ∫[a,b] πx^2 dy第四节：多元函数微积分基础1. 多元函数的偏导数可以理解为函数关于某个自变量的导数。
高等数学第八章笔记
高等数学第八章笔记一、多元函数的基本概念。
1. 多元函数的定义。
- 设D是n维空间R^n中的一个非空子集，映射f:D→ R称为定义在D 上的n元函数，记为z = f(x_1,x_2,·s,x_n)，(x_1,x_2,·s,x_n)∈ D。
- 当n = 2时，z=f(x,y)，(x,y)∈ D，D是xy-平面上的一个区域。
2. 多元函数的极限。
- 设函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)的某去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数varepsilon，总存在正数δ，使得当0<√((x - x_0))^2+(y - y_{0)^2}<δ时，都有| f(x,y)-A|成立，则称常数A为函数z = f(x,y)当(x,y)to(x_0,y_0)时的极限，记作lim_(x,y)to(x_{0,y_0)}f(x,y)=A。
- 注意：(x,y)to(x_0,y_0)是指(x,y)以任何方式趋向于(x_0,y_0)。
3. 多元函数的连续性。
- 设函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)的某邻域内有定义，如果lim_(x,y)to(x_{0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)，则称函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)处连续。
- 如果函数z = f(x,y)在区域D内的每一点都连续，则称函数z = f(x,y)在区域D内连续。
二、偏导数。
1. 偏导数的定义。
- 设函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)的某邻域内有定义，固定y = y_0，函数z = f(x,y_0)在x = x_0处的导数，称为函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)对x的偏导数，记作f_x(x_0,y_0)或(∂ z)/(∂ x)|_(x_{0,y_0)}，即f_x(x_0,y_0)=lim_Δ xto0frac{f(x_0+Δ x,y_0) - f(x_0,y_0)}{Δ x}。
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T x(t0), y(t0), z(t0)
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
x(t0 )(x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
限，记为
lim f( x, y) A,
( x, y x0 , y0 )
或 f(x,y) A,( x, y)( x0, y0 )
例 考察函数
g( x,
y)
xy
x2 y2
,
x2 y2 0 ,
0 , x2 y2 0
当 ( x, y ) ( 0 , 0 ) 时的极限
解 当 ( x, y ) 沿 y 轴趋向于原点，即当 y 0 而
若函数 u u(x, y), v v(x, y) 在点(x, y) 处有偏导 数，则 z f (u) 在对应点(u, v) 处有连续偏导数， 则复合函数 z f [u(x, y), v(x, y)] 在点(x, y) 处也存 在偏导数，并且
两种特殊情况：
（二） 隐函数的求导法则
设方程 F (x , y) = 0 确定了函数 y = y(x)，两端 对 x 求导，得
f（x0，y0）=C
第二节 偏导数
一、偏导数的概念及几何意义 二、高阶偏导数 三、复合函数与隐函数的求导法则
一、偏导数的概念及几何意义
（一） 偏导数的概念
定义 设函数
在点
的某邻域内极限
存在,则称此极限为函数 的偏导数，记为
注意:
同样可定义对 y 的偏导数为
若函数 z f ( x, y)在域 D 内每一点 ( x, y)处对 x
高数第八章知识点
, y(t)
( t )
给出，函数 f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f [x(t), y(t)]
x2 (t) y2 (t)dt
( )
L
注意:
1. 定积分的下限 一定要小于上限 ;
2. f ( x, y)中x, y不彼此独立, 而是相互有关的.
特殊情形
(1) L : y y(x) a x b.
f (x, y)ds
b
f [x, y(x)]
1 y2 (x)dx.
(a b)
L
a
(2) L : x x( y) c y d.
f (x, y)ds
d
f [x( y), y]
1 x2 ( y)dy.
第一卦限部分。
x2 y2在
三、第二类曲面积分的概念
变力F P(x, y) i Q(x, y) j沿L AB所作的功：
W P(x, y)dx Q(x, y)dy
L
第二类曲线积分又称为对坐标的曲线 积分。
性质
也称为对坐标的曲线积分
(1) L P(x, y)dx Q(x, y)dy L P(x, y)dx LQ(x, y)dy
y 2
ds
1
dy
2
dx
dx
1 1 dx 2x
y2=2x
yds 2 2x 1 1 dx
L
0
2x
0
2x
2 2x＋1dx 1 (5 5 1)
0
3
解2： L : x y 2 , 0≤y≤2 2