不定积分中有理函数的分解(1).
有理函数的不定积分(1)
R(
x)
P( Q(
x) x)
为真分式
,
求
R(
x)dx
的步骤：
1. 将 Q(x) 在实数范围内分解成一次式和二 次质因式的乘积 .
2. 将 R( x) P( x) 拆成若干个部分分式之和.
Q( x)
(分解后的部分分式必须是最简分式).
3. 求出各部分分式的原函数 , 即可求得 R( x)dx .
11
1dx
,
其中A _____,B _____,C _______；
3、计算
2
dx sin
x
, 可用万能代换sin
x
___________,
dx _____________；
4、计算
dx
, 令t ___,x ___,dx ____ .
ax b m
32
5、有理函数的原函数都是_________ .
2(1 x)2 1 x
2、ln( x sin x) C ；
3、
(1 x 2 )3
1 x2 C；
3x3
x
4、 sin x 1 ln(sec x tan x) C ； 2 cos2 x 2
5、 8(1
x4
x
8
)
1 arctan 8
x4
C
；
6、 2 x C ,或sec x x tan x C ； 1 tan x 2
原式
(t
2
1)
t
(t
2t 2 1)2
dt
2
t
t
2
2
1
dt
2
(1
t
2
1
) 1
不定积分求解运算法则
不定积分求解运算法则不定积分求解是微积分中的重要内容之一，它可以用来求解函数的原函数，为我们提供了求解定积分和解微分方程等问题的基础。
在求解不定积分时，我们需要掌握一些运算法则，这些法则可以帮助我们更加高效地求解不定积分。
一、基本积分法则基本积分法则主要包括线性性、积化和差化和常数乘积的法则。
1.线性性：若f(x)和g(x)是连续函数，k为常数，则有：∫(kf(x) + g(x))dx = k∫f(x)dx + ∫g(x)dx2.积化和差化：对于连续函数f(x)和g(x)，有：∫(f(x) ± g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx3.常数乘积法则：对于连续函数f(x)和常数k，有：∫k f(x)dx = k∫f(x)dx二、换元积分法则换元积分法则也称为u-置换法，它是利用复合函数的求导和求逆的关系进行积分的一种方法。
1.一元换元法则：设u=g(x)是x的可导函数，f(u)是u的原函数，则有：∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du2.多元换元法则：对于多元函数，设u=g(x,y)和v=h(x,y)是x,y的可导函数，f(u,v)是u,v的原函数，则有：∬f(g(x, y), h(x, y))(∂(g, h)/∂(x, y))dxdy = ∬f(u, v)dudv 三、分部积分法则分部积分法是利用求导的乘积法则进行积分的方法，可以将一个积分转化为两个因子相乘的形式，从而简化计算。
1.一元分部积分法则：设u=f(x)和v=g(x)是可导函数，f'(x)和g'(x)是它们的导数，则有：∫u v' dx = uv - ∫u'v dx2.多元分部积分法则：对于多元函数，设u=f(x,y)和v=g(x,y)是可导函数，f'(x,y)和g'(x,y)是它们的导数，则有：∫∫u ∂v/∂x dA = ∮uv dy - ∫∫∂u/∂y v dA四、有理函数分解积分法则有理函数分解积分法用于求解有理函数的不定积分，即把一个有理函数表示为几个基本函数的和的形式。
不定积分假分式拆分技巧(一)
不定积分假分式拆分技巧(一)不定积分假分式拆分1. 引言在数学的学习过程中，不定积分是一个很重要的概念。
而对于不定积分中的假分式拆分问题，更是需要一些技巧和方法来处理。
本文将介绍一些常用的技巧，帮助读者更好地理解和解决不定积分中的假分式拆分问题。
2. 假分式的定义假分式是指分子的次数大于或等于分母次数的有理函数。
在计算不定积分的过程中，遇到假分式时，通常需要进行拆分，将其分解成更简单的部分，方便后续的计算。
3. 基本思路假分式的拆分可以使用部分分数分解法来实现。
具体的步骤如下：1.检查假分式的分母是否可以因式分解，如果可以，进行因式分解；2.根据因式分解的结果，将假分式拆分成若干个简单的分式，每个分式的分母是一个不可再分解的因式。
4. 常见的拆分类型真分式的拆分当假分式的分子次数小于分母次数时，可以将其拆分为一个多项式和一个真分式。
对于真分式的拆分，可以采用多项式长除法进行求解。
重复因式的拆分当假分式的分母出现了重复因式时，可以将其拆分为多个分式，每个分式对应于该重复因式的一个次幂。
二次因式的拆分当假分式的分母含有二次因式时，可以采用部分分数分解法对其进行拆分。
先将二次因式分解为一次因式的乘积，然后再将每个一次因式进行拆分。
5. 拆分技巧和方法分解因式在进行假分式拆分时，首先要将分母进行因式分解。
根据多项式的特点，有时候可以通过提取公因式、配方法、公式等方式将多项式进行因式分解，从而得到更简单的分式。
设定未知数在进行假分式的拆分过程中，可以设定未知数，并构建方程组。
通过求解方程组，得到未知数的值，进而得到拆分后的分式。
同分子异分母的拆分当假分式的分母一致，而分子不同时，可以将其合并为一个公共的分母，然后对应的分子进行拆分，最后再合并结果。
6. 结论不定积分假分式拆分是数学中重要的技巧和方法。
通过使用部分分数分解法，我们可以将假分式拆分为更简单的分式，从而方便计算不定积分。
本文介绍了假分式拆分的基本思路、常见拆分类型及拆分的技巧和方法。
求有理函数的不定积分中如何对分母因式分解
求有理函数的不定积分中如何对分母因式分解就是在实数范围内分解因式，下面看如何做部分分式：R(x)=\frac{2x^4-x^3+4x^2+9x-10}{x^5+x^4-5x^3-2x^2+4x-8}=\frac{P(x)}{Q(x)}而分母可分解为 Q(x)=(x-2)(x+2)^2(x^2-x+1)预先求出 P(2)=48,P(-2)=28,P'(-2)=-83 是有好处的。
由此设部分分式 R(x)=\frac{A_0}{x-2}+\frac{A_1}{x+2}+\frac{A_2}{(x+2)^2}+\frac{Bx+C}{x^2 -x+1} (※)要求出 A_0 ,两端同乘 x-2 :(x-2)R(x)=\frac{P(x)}{(x+2)^2(x^2-x+1)}=A_0+(x-2)\Big[\frac{A_1}{x+2}+...\Big]令 x=2 可得： A_0=\frac{P(2)}{(2+2)^2(2^2-2+1)}=\frac{48}{48}=1为了求 A_1 , A_2 两端同乘 (x+2)^2 :\frac{P(x)}{(x-2)(x^2-x+1)}=A_1(x+2)+A_2+(x+2)^2\Big[\frac{1}{x-2}+...\Big](*)令 x=-2 直接得到： A_2=-1 ,而要求 A_1 ,必须对 (*) 式求一下导，然后再令 x=-2最右边一堆可以不管了，因为得0，就剩下了： A_1=\lim_{x \rightarrow -2}\Big[\frac{P(x)}{(x-2)(x^2-x+1)}\Big]’=\lim_{x \rightarrow -2}\Big[\frac{P(x)}{(x-2)(x^2-x+1)}\Big]\Big[\frac{P'(x)}{P(x)}-\frac{1}{x-2}-\frac{2x-1}{x^2-x+1}\Big]=\Big[\frac{28}{-28}\Big]\Big[-\frac{83}{28}+\frac14+\frac57\Big]=\Big[-1\Big]\Big[-\frac{83}{28}+\frac{27}{28}\Big]=\frac{56}{28}=2为了求 Bx+C ,在(※)式两端同乘 (x^2-x+1) :\frac{P(x)}{(x-2)(x+2)^2}=Bx+C+(x^2-x+1)\Big[\frac1{x-2}+...\Big]令 x^2-x+1=0 可得： Bx+C=\frac{2x^4-x^3+4x^2+9x-10}{(x-2)(x^2+4x+4)}|_{x^2-x+1=0}分子可以用长除法得出：2x^4-x^3+4x^2+9x-10=(2x^2+x+3)(x^2-x+1)+11x-13Bx+C=\frac{11x-13}{(x-2)(5x+3)}=\frac{11x-13}{5x^2-7x-6}=\frac{11x-13}{5(x-1)-7x-6}=\frac{11x-13}{-2x-11}\frac{2x-13}{2x-13}=\frac{22x^2-169x+169}{-4x^2+4x+143}=\frac{22(x-1)-169x+169}{-4(x-1)+4x+143}=\frac{-147x+147}{147}=-x+1所以： R(x)=\frac{2x^4-x^3+4x^2+9x-10}{(x-2)(x+2)^2(x^2-x+1)}=\frac1{x-2}+\frac2{x+2}-\frac1{(x+2)^2}+\frac{1-x}{x^2-x+1}可见求Bx+C 相当麻烦，其实用特殊值法就行，在A_0,A_1,A_2 已经求出的条件下,令 x=0 ,可得方程：\frac54=-\frac12+1-\frac14+C,C=1 ,求 B 可以用x=\infty ,在两端乘以 x ,再令 x\rightarrow\infty 可得方程： 2=1+2+B,B=-1。
不定积分中有理函数的分解
不定积分中有理函数的分解
赵晓艾
【期刊名称】《河北理科教学研究》
【年(卷),期】2008(000)004
【摘要】@@ 1 有理函数的相关概念rn有理函数是指两个多项式之商
R(x)=P(x)/Q(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0/bmxm+bm-1xm-
1+…b0,(an≠0,bm≠0).
【总页数】1页(P38)
【作者】赵晓艾
【作者单位】山东省枣庄学院,277160
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.一道三角有理函数不定积分解法的探讨
2.不定积分中有理函数的分解
3.三角有理函数不定积分的求解
4.探讨求三角有理函数不定积分的技巧
5.一类有理函数不定积分的简便计算方法及其应用
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
有理函数的不定积分解读
取 x 2, 并将 A, B 值代入 (1) C 1
1 x( x 1)2
1 x
(x
1 1)2
1. x1
7
例2 求积分
(1
1 2 x )(1
x2 ) dx.
1
A Bx C
解 (1 2x)(1 x2 ) 1 2x 1 x2 ,
1 A(1 x2 ) (Bx C)(1 2x), 整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C)x C A,
x
cos
x
dx.
解
由万能置换公式
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
dx
1
2 u2
du,
1
sin sin x
x
cos
x
dx
(1
2u u)(1
u2
du )
2u (1
1
u2 u)(1
1 u2 u2 ) du
15
(1 (1
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
,
dx
1
2 u2
du
R(sin x,cos x)dx
2u 1 u2 2
R
1
u2
,
1
u2
不定积分解法总结
不定积分解题方法总结不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。
本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。
希望本文能起到抛砖引玉的作用，为读者在学习不定积分时提供思路。
文中如有错误之处，望读者批评指正。
1 换元积分法换元积分法分为第一换元法（凑微分法）、第二换元法两种基本方法。
而在解题过程中我们更加关注的是如何换元，一种好的换元方法会让题目的解答变得简便。
1.当出现22x a ±，22a x -形式时，一般使用t a x sin ⋅=，t a x sec ⋅=，t a x tan ⋅=三种代换形式。
Cx a x x a dxCt t t t a x x a dx +++=+++==+⎰⎰⎰222222ln tan sec ln sec tan2.当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。
Cx x x C t t t tdt t t tdt t x t dx x ++-=++-=--==⎰⎰⎰sin 2cos 2sin 2cos 2)cos cos (2sin 2sin但当根号内出现高次幂时可能保留根号，c x dt t dttt dt t t tdt t tt tx x xdx +-=--=--=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅=--⎰⎰⎰⎰⎰661212512621212arcsin 6111611111111113.当被积函数只有形式简单的三角函数时考虑使用万能代换法。
使用万能代换2tanxt =，()()()cxdt tdt ttdt tt t dx x++=++=++=+++=+⎰⎰⎰⎰312tan2arctan322/14/3111121221sin 212222对于万能代换法有些同学可能觉得形式和计算麻烦而排斥使用，但是万能代换可以把三角函数直接转变为有理函数形式，其后可以直接参照有理函数的积分法。
这不失为解题的一种好方法。
不定积分拆项
不定积分拆项
在积分中，拆项是指将被积函数进行拆分或分解，使得积分可以更容易计算。
不定积分的拆项有多种方法，以下介绍其中几种常见的拆项方法：
1. 分式拆分：对于有分式形式的被积函数，可以通过分式拆分将其拆解为几个简单分式的和或差，从而更容易计算。
例如，对于有理函数 $\frac{1}{x(x+1)}$ 可以使用分式拆分方法将其拆解为 $\frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$ 的形式，再进行不定积分。
2. 部分分数拆分：对于有理函数，可以使用部分分数拆分方法将其拆解为若干个部分分数的和或差，从而更容易计算。
部分分数拆分的基本思想是将有理函数表示为一个多项式的形式再进行拆解。
例如，将 $\frac{2x+1}{x^2+4x+3}$ 拆解为
$\frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+3}$ 的形式，再进行不定积分。
3. 倒代换：对于某些特殊的被积函数，可以通过倒代换（反代换）的方式进行拆项。
倒代换是指通过变量代换将被积函数转化为另一个较为简单的表达式，再进行不定积分。
例如，对于$\int \frac{1}{x\sqrt{1+x}} dx$ 可以使用倒代换 $u =
\sqrt{1+x}$，将被积函数转化为 $\int \frac{2}{u^2-1} du$ 的形式，再进行不定积分。
以上是不定积分中常用的拆项方法，拆项的具体方法需要根据被积函数的具体形式和特点选择适合的拆项方法进行处理。
2.2.1有理函数和可化为有理函数的不定积分
(u 1) u2 4
u
2 sec
(2
2sec tan sec 1)2tan
d
2
d cos
2
t tan 2
2
1
t2 1 t2
1 t2
dt
t
2
2
dt 3
2 arctan t C 2 arctan( 1 tan ) C.
3
3
3
32
得
dx
2 arctan x2 2x 3 C.
1 1
t2 t2
,
2
2
2
dx
d(
2
arctan
t
)
1
2 t
2
dt
代入原积分式，得到
2t 1 t2 2
R(sin x,cos x)dx
R
1
t
2
,
1
t
2
1
t
2
dt
.
例3
求
sin
1 sin x x(1 cos
x)
dx.
解
令
t
tan
x 2
,
则
1 sin x dx
sin x(1 cos x)
bx
c
a ( x
b )2 2a
4ac b2 4a 2
,
若记
u
x
b 2a
,
k2
4ac b2 4a 2
,
则
ax2
bx
c
化为
(i) a (u2 k2 ), 或 (ii) a (u2 k2 ), 或 (iii) a (k 2 u2 ).
因此可分别设
(i) u k tan t; (ii) u k sect; (iii) u k sin t.
有理函数的不定积分
A Mx + N ; ( k ∈N+ , p2 − 4q < 0) (x − a)k (x2 + p x + q)k
注：
1）若Q( x)含有因子( x − a) k , 则分解式中含有： ] [ Ak A1 A2 + +⋯ + ( A1 , A2 ,⋯ , Ak 为常数）； k 2 x − a ( x − a) ( x − a)
x x 2sin 2 cos 2
x 2tan 2
1+ sin x x 例 ∫ 5. dx(令t = tan ) sin x(1+ cos x) 2
=∫
1+
2t
2t 1+t 2
1−t 2 ) 1 2( + 1+t 1+t 2
⋅ 2 2 dt 1+t
1 1 = ∫ t + 2 + dt 2 t
1 1 2 = t + 2t + ln t + C 2 2
1 2x x x 1 = tan + tan + ln tan + C 4 2 2 2 2
例6. 求
dx x 1 2 解法1: 解法 ∫ (令t = tan ) = ∫ ⋅ dt 2 2t 1 + t 1+ sin x 2 1+
dx 例4. 求 ∫ 4 x +1 1 (x2 +1) − (x2 −1) 解: 原式 = ∫ dx 4 2 x +1
1+ 1 1− 1 1 1 x2 x2 = ∫ 2 dx − ∫ 2 dx 2 x +1 2 x +1 2 2